herramientas y control

Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Ing. Martha Tesén Arroyo 2

INTRODUCCIÓN

El ingrediente básico en la nueva concepción del control de calidad es la utilización

masiva del método científico y, en concreto, de la estadística, en la planificación de

recogida y análisis de los datos necesarios para la toma de decisiones tendentes a

mejorar todos los procesos. Un control de calidad del que no se deriven actuaciones

constantes para el perfeccionamiento de los sistemas no es un control de calidad

verdadero.

El control de la calidad es el proceso por el cual medimos las variables del proceso o

producto como por ejemplo el tamaño de un producto, su forma, componentes, color y

otras características físicas y químicas, pero también puede medir el volumen de

producción y los costos, o sea el proceso en sí.

El control estadístico de la calidad es la recopilación, análisis e interpretación de datos

para su uso en el control de calidad, mediante el Control Estadístico de la Calidad se

determina las variaciones que se dan en el proceso de producción a través de sus

diferentes etapas generalmente se utilizan dos métodos estadísticos: El control del

proceso y muestreo por aceptación.

La calidad es responsabilidad de todas las personas de la empresa y no sólo del

departamento de Control de Calidad, Para que este concepto no se quede en una

simple exhortación, es necesario suministrar herramientas a todo el personal para que

pueda integrarse en las tareas del control integral de la calidad. Ello requiere

incrementar los esfuerzos en la capacitación de todo el personal y, sobre todo, la

educación a partir del propio trabajo cotidiano. Esta educación, debe comenzar con los

futuros ingenieros de la empresa y, con esta texto, se pretende el inicio de este

proceso básico en la formación de cualquier Ingeniero en especial el Ingeniero

Industrial, el cual tiene como función la optimización de los proceso en una empresa.



INDICE

Página

INTRODUCCIÓN.......................... 8

I. CALIDAD_ COMPETITIVIDAD................... 8

1.1 Calidad...........................

1.2 Competitividad ...........................

1.3 Productividad ............................

8

9

12

II. DEFINICIONES BÁSICAS ...................... 16

2.1 Definiciones Básicas ....................... 16

2.2 Control de Calidad ....................... 20

2.3 Control Estadístico ...................... 21

2.4 Variabilidad .......................... 21

III. CAPITULO ............................. 26

3.1 Medidas de Tendencia Central .................... 28

3.2 Medidas de Dispersión ó Variabilidad ............... 33

3.3 Medidas de Forma ........................ 44

3.4 Medidas de Localización ..................... 47

3.5 Estudio Real de Capacidad ................... 50

IV. SPSS...............................

4.1 Ejecución del SPSS ........................ 54

4.2 Ventana para la definición de Variable............... 56

4.3 Ventana de Ingreso de Datos ..................... 60

4.4 Guardar datos y resultados ..................... 62

4.5 Abrir archivo de datos o resultados .................. 64

4.6 Análisis de resultados ......................... 65

V. HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS................... 90

5.1 Hojas de control...........................

5.2. Histograma................................

5.3 Diagrama de Pareto.........................

5.4 Diagrama de Dispersión.......................

5.5 Graficas de control.......................

92

94

106

117

126

VI. BIBLIOGRAFÍA............................. 183

ANEXOS.............................

184



ÍNDICE DE TABLAS

Página

Tabla 2.1 Tiempo de espera para ser atendidos en caja de pago (min).....

22

Tabla 2.2 Causa comunes y causas especiales que origina la variabilidad.... 23

Tabla 3.1. Datos del peso de conservas de esparrago (g)........ 28

Tabla 3.2 Tabla de simetría _valor del sesgo.............. 4

Tabla 3.3 Tabla de apuntamiento _valor de la curtosis .......... 46

Tabla. 3.4. Análisis de la capacidad del proceso............ 51

Tabla 3.5. Características de los egresados universitarios........ 52

Tabla 4.1 Data de la investigación................... 66

Tabla 4.2. Datos del peso de conservas de esparrago (g)........ 76

Tabla 5.1 diámetro de 100 tubos................... 95

Tabla 5.2: Tabla de frecuencia.................... 97

Tabla 5.3 Peso de embutidos (g)................... 105

Tabla 5.4 Frecuencias de los defectos encontrados en la pintura..... 108

Tabla 5.5 Tabla para el Diagrama de Pareto................ 108

Tabla 5.6. Datos de publicidad versus artículos vendidos ......... 122

Tabla 5.7 . Sumatorias de las “x” “y”.................. 123

Tabla 5.8.Datos para el proceso del empaquetado de jamonadas.... 132

Tabla 5.9 Datos de fracciones defectuosas del proceso del empaquetado de jamonadas......................

133

Tabla 5.10 Datos de inspecciones y pruebas finales de una producto textil 141

Tabla 5.11 muestra de inspecciones y pruebas finales de una producto textil..........................

141

Tabla 5.12 Datos del inspección de acabado de mesas......... 148

Tabla 5.13 Número promedio de defectos por unidad......... 149

Tabla 5.14 Defectos en mototaxis.................. 155

Tabla 5.15 Número promedio de defectos por mototaxi ui....... 156

Tabla 5.16. Pesos de llenado de bolsas de fresas congeladas..... 167

Tabla 5.17. Peso del llenado de envases de Yogurt........... 168

Tabla 5.18. Peso promedio y rango del llenado de envases de Yogurt.... 169



ÍNDICE DE FIGURAS

Página

Figura 1.1. Factores de la competividad................ 12

Figura 1.2. La Productividad y sus Componentes............. 12

Figura 2.1. Clasificación de las variables................. 18

Fig. 3.1 Histograma del peso de conservas (g).............. 38

Figura 3.2 Interpretación de los histogramas ............... 43

Figura 4.1.Inicio de Ejecución SPSS ................. 54

Figura 4.2.Inicio del SPSS........................ 55

Figura 4.3.Vista de datos y vista de variables.............. 55

Figura 4.4.Vista de variables....................... 56

Figura 4.5. Ingreso de variables..................... 56

Figura 4.6. Tipo de variables....................... 57

Figura 4.7. Tipo de variables: anchura.................. 57

Figura 4.8. Etiqueta de valor..................... 58

Figura 4.9. Etiqueta........................... 58

Figura 4.10. Etiquetado de variables.................. 58

Figura 4.11. Etiquetado de valor.................... 59

Figura 4.12. Medida ............................ 59

Figura 4.13. Vista de datos ...................... 60

Figura 4.14. Ingreso de datos..................... 60

Figura 4.15. Etiquetas de valor.................... 61

Figura 4.16. Vista de datos final.................... 61

Figura 4.17. Guardar archivos.................... 62

Figura 4.18. Guardar archivos en carpetas ................ 62

Figura 4.19. Archivo guardado 1................... 63

Figura 4.20. Archivo guardado 2.................... 63

Figura 4.21. Guardar resultados.................... 64

Figura 4.22 Abrir archivos........................ 64

Figura 4.23.Abrir archivos de datos................... 64

Figura 4.24 Análisis de resultados.................. 65

Figura 4.25 Generación de vista de variables............... 67

Figura 4.26. Ingreso de datos.................... 67

Figura 4.27. Etiqueta de valor de la base de datos........... 68

Figura 4.28. Base de datos...................... 68

Figura 4.29. Guardar archivo ..................... 69



Figura 4.30. Análisis _Estadísticas_frecuencias............ 69

Figura 4.31. Análisis_Estadísticas_frecuencias............ 70

Figura 4.32. Frecuencias_ estadísticas................. 70

Figura 4.33. Frecuencias: Gráficos.................. 71

Figura 4.34. Análisis descriptivo opción explorar............ 71

Figura 4.35. Análisis descriptivo opción explorar: variables........ 72

Figura 4.36. Análisis descriptivo opción explorar : Estadísticos..... 72

Figura 4.37. Análisis descriptivo opción explorar : gráficos....... 73

Figura 4.38. Generación del análisis descriptivo............. 73

Figura 4.39. Generación de resultados del análisis descriptivo ...... 74

Figura 4.40. Presentación de resultados del análisis descriptivo..... 74

Figura 4.41. Pegado de los resultados del análisis descriptivo ...... 75

Figura 4.42. Resultados del análisis descriptivo pegados en Word..... 75

Figura 4.43. Base de datos...................... 76

Figura 4.44. Análisis estadístico descriptivo.............. 76

Figura 4.45. Análisis estadístico descriptivo frecuencias: Estadísticos... 77

Figura 4.46. Análisis estadístico descriptivo frecuencias: Gráficos..... 77

Figura 4.47. Histograma de peso de conservas (g)........... 78

Figura 4.48. Generación del diagrama de cajas.............. 78

Figura 4.49. Diagrama de cajas:.................... 79

Figura 4.50. Diagrama de cajas: definición del diagrama......... 79

Figura 4.51. Diagrama de cajas: resultados............... 82

Figura 4.52. Diagrama de cajas de los pesos de las conservas (g)..... 82

Figura 4.53. Edición del Diagrama de cajas: Paso 1........... 83

Figura 4.54. Edición del Diagrama de cajas: trasponer.......... 83

Figura 4.55. Edición del Diagrama de cajas: trasponer......... 84

Figura 4.56. Edición del Diagrama de cajas: cambio de color....... 84

Figura 4.57. Edición del diagrama de cajas: cambio de color....... 85

Figura 4.58. Edición del diagrama de cajas: tamaño de letra, números.. 85

Figura 4.59. Edición del diagrama de cajas: estilos de texto...... 86

Figura 4.60. Edición del diagrama de cajas: escala............ 86

Figura 4.61. Diagrama de cajas editado................ 87

Figura 4.62. Histograma a editar................... 87

Figura 5.1 . Hoja de Control de Calidad de Materia Prima......... 93

Figura 5.2. Figura 5.2 Histograma de diámetro en mm......... 99

Figura 5.3 Diagrama de Pareto..................... 109



Figura 5.4 Gráfica de Control por atributos............... 130

Figura 5.5 .Gráfica de Control p para el proceso de envasado de jamonada 136

Figura 5.6. Gráfica de control u para mototaxis defectuosos......... 160

Figura 5.7. Gráfica de control de media:peso 182

Figura 5.8. Gráfica de control de desviación: peso........... 183



CAPÍTULO I

CALIDAD

1.1 Calidad

Definir calidad no es tan fácil, este concepto con el transcurrir del tiempo ha

evolucionado pues tenemos a varios autores denominados filósofos de calidad,

quienes han aportado en su definición, entre ellos tenemos:

Walter Shewart (1891-1967). Define la calidad como un problema de variación, el cual

puede ser controlado y prevenido mediante la eliminación a tiempo de las causas que

lo provocan (gráficos de control). Introduce el concepto de control estadístico de

calidad. Fue el primero en reconocer que en toda producción industrial se da variación

en el proceso.

William Edwards Deming (1900-1993). Calidad es un grado predecible de

uniformidad y confiabilidad a bajo costo, y adecuado al mercado. Es lo que el cliente

desea y necesita. Calidad es la reducción de la variabilidad “productividad mejora

cuando la variabilidad disminuye”

Feingenbaum (1992-2000).Calidad es la resultante total de las características de

Marketing, Ingeniería, Producción y Mantenimiento de un producto o servicio, a través

de las cuales el mismo producto o servicio, en uso, atenderá las expectativas del

cliente.

Kaoru Ishikawa (1915-1989). La Calidad tiene que ser construida en cada diseño y

cada proceso. Calidad es lo que realmente trae satisfacción a los consumidores.

Joseph Moses Juran (1904-2008). Calidad es el nivel de satisfacción alcanzado por

un determinado producto en el cumplimiento de los objetivos de un usuario, durante su

utilización, llamado adecuación de uso

Philip B. Crosby (1926-2001). Calidad es el cumplimiento de los requerimientos, es

decir la conformidad con las exigencias de consumidor. Además menciona que se

puede producir con Cero Defectos, un error que ha sido prevenido no necesita

reparación. Para Crosby prevención significa perfección. La calidad es gratis, lo que

cuesta dinero son las cosas sin calidad todas las acciones que involucran no hacer las

cosas bien a la primera.



Genichi Taguchi (1924).La calidad se debe definir en forma monetaria por medio de

la función de pérdida, en donde a mayor variación de una especificación con respecto

al valor nominal, mayor (exponencialmente) es la pérdida monetaria transferida al

consumidor.

Thomas Peters (1942).La calidad definida por los clientes y/o consumidores, en

función a sus necesidades y deseos, procediendo a fijar las especificaciones de los

productos y servicios en función de aquellos.

Los personajes descritos anteriormente de una manera u otra han contribuido al

concepto de término calidad.

Al realizar la pregunta a mis estudiantes ¿Qué es Calidad? las respuestas es variada

pero todos coinciden en estas palabras “satisfacción del cliente” es decir la

percepción del cliente acerca del grado con el cual sus necesidades o expectativas

han sido cumplidas.

Por lo tanto podemos decir que la calidad es un juicio que el cliente tiene sobre un

servicio o producto, resultado del grado con el cual un conjunto de características

inherentes al producto cumple con sus requerimientos.

Según ISO 9000:2005 define calidad como: Grado en el que un conjunto de

características inherentes cumple con los requisitos. Entendiéndose como

requisito a necesidad o expectativa establecida, generalmente implícita u

obligatoria.[1]

Para los clientes siempre se les deben brindar productos y servicios que satisfagan

sus necesidades. Debemos recordar que un producto o servicio es el resultado de un

proceso mediante el cual un conjunto de actividades mutuamente relacionadas o que

interactúan, las cuales transforman elementos de entrada en resultados.

La norma ISO 9000:2005 utiliza la expresión producto para designar el resultado de un

proceso. Considera cuatro categorías genéricas de productos:

1. Servicios (transporte,.),

2. Software (aplicaciones informáticas, información,.),

3. Hardware (partes mecánicas, elementos tangibles,.) y

4. Materiales procesados (lubricantes,.).



La mayoría de los productos contienen elementos que pertenecen a diferentes

categorías genéricas de producto. Además menciona que la denominación del

producto en cada caso como servicio, software, hardware o material procesado

depende del elemento dominante. Por ejemplo, el producto ofrecido "automóvil" está

compuesto por hardware (por ejemplo, las ruedas), materiales procesados (por

ejemplo, combustible, líquido refrigerante), software (por ejemplo, los programas

informáticos de control del motor, el manual del conductor), y servicios (por ejemplo,

las explicaciones relativas a su funcionamiento proporcionadas por el vendedor). [1].

Un servicio es el resultado de llevar a cabo necesariamente al menos una actividad

en la interfaz entre el proveedor y el cliente y generalmente es intangible. La

prestación de un servicio puede implicar, por ejemplo:

- Una actividad realizada sobre un producto tangible suministrado por el cliente

(por ejemplo, reparación de un automóvil);

- Una actividad realizada sobre un producto intangible suministrado por el cliente

(por ejemplo, la declaración de ingresos necesaria para preparar la devolución

de los impuestos);

- La entrega de un producto intangible (por ejemplo, la entrega de información en

el contexto de la transmisión de conocimiento);

- La creación de una ambientación para el cliente (por ejemplo, en hoteles y

restaurantes).

Definir la calidad de un servicio resulta más subjetivo e impreciso que definir la calidad

de un producto. El producto tangible existe antes de entregarlo al cliente y se puede

inspeccionar y medir sus variables, mientras que el servicio se produce y entrega en el

mismo acto, por lo que debe prestarse con la calidad requerida sin posibilidad de

sustitución. Como la belleza, la calidad de un servicio “depende del color del cristal con

el que se mira”.

El software se compone de información, generalmente es intangible y puede

presentarse bajo la forma de propuestas, transacciones o procedimientos.

El hardware es generalmente tangible y su magnitud es una característica contable.

Los materiales procesados generalmente son tangibles y su magnitud es una

característica continua. El hardware y los materiales procesados frecuentemente son

denominados como bienes.



Los clientes necesitan productos o servicios con características que satisfagan sus

necesidades y expectativas. Estas necesidades y expectativas se expresan en la

especificación del producto o servicio y son generalmente denominadas como

requisitos del cliente con un valor añadido.

Los requisitos son las necesidades o expectativas establecidas por las partes

interesadas, las obligatorias o las que se consideran implícitas por hábito o práctica

común para la organización, sus clientes o partes interesadas. Debemos entender a

las necesidades implícitas son los requerimientos no especificados de forma explícita

por el cliente ni por el proveedor (pero que el cliente espera ver satisfechas), se refiere

a los requerimientos no regulados en un contrato. No es significativo del valor o estima

que genera en el cliente la necesidad de adquirir un bien. ( y es precisamente ese

valor es lo que distingue la calidad de un bien por encima de los demás).

Como se mencionó anteriormente la satisfacción del cliente depende de la percepción

de éste sobre el grado en que se han cumplido sus requisitos. Los requisitos para los

productos o servicios y, en algunos casos, los procesos asociados pueden estar

contenidos en las especificaciones técnicas, normas de producto o servicio, normas de

proceso, acuerdos contractuales y requisitos reglamentarios. En cualquier caso, es

finalmente el cliente quien determina la aceptabilidad del producto servicio.

La globalización exige ahora aún más a las empresas brindar productos de calidad, la

calidad como se mencionó es la satisfacción del cliente, se dice que hay satisfacción

cuando el cliente recibe del producto o servicio al menos lo que esperaba.

La importancia del control de calidad va desde la planeación de las actividades para

que los requisitos de la calidad del producto o servicios se cumplan además es

necesario implementar estrategias de mejora, con la finalidad de reducir costos e

incrementar la productividad.

La calidad siempre va de la mano con dos términos :La competitividad y Productividad.

1.2. Competitividad. Se define a la competitividad como la capacidad que tiene una

empresa para generar valor para el cliente y sus proveedores de mejor manera

que sus competidores. [2]

Esta capacidad se manifiesta por medio de niveles adecuados para diferentes

componentes de los factores de la competitividad tales como la calidad de producto,

el precio y la calidad del servicio. Una empresa en más competitivo cuando ofrece


calidad a bajo precio y mediante un buen servicio. En la figura 1.1 se visualiza

factores de la competitividad.


componentes de los factores de la competitividad tales como

el precio y la calidad del servicio.

calidad a bajo precio y mediante un buen servicio. En la figura 1.1 se visualiza los

factores de la competitividad.

Figura 1.1. Factores de la competividad

1.3 La Productividad. Se entiende como la rela

empleados, por lo tanto se mide mediante el cociente: resultados logrados entre

recursos empleados.

��Los resultados logrados pueden medirse en unidades producidas, piezas vendidas,

clientes atendidos etc.

amientas y Control Estadístico de la Calidad

Ing. Martha Tesén Arroyo

calidad a bajo precio y mediante un buen servicio. En la figura 1.1 se visualiza


componentes de los factores de la competitividad tales como la calidad de producto,

el precio y la calidad del servicio. Una empresa en más competitivo cuando ofrece


Figura 1.1. Factores de la competividad Fuente: Adaptado. [2]

Se entiende como la relación entre lo producido y los medios


��

ogrados pueden medirse en unidades producidas, piezas vendidas,




la calidad de producto,

competitivo cuando ofrece


ción entre lo producido y los medios


ogrados pueden medirse en unidades producidas, piezas vendidas,


Los recursos empleados se cuantifican por medio de número de trabajadores, tiempo

total empleado, horas máquina, materia prima utilizada

Nos preguntamos ¿De qué m

de una empresa?.

Se puede mejorar la productividad de una empresa maximizando los

resultados y optimizando los recursos empleados. Es así que la

productividad suele dividirse en dos componentes la eficacia y la eficie

La eficiencia es la relación entre los resultados logrados y los recursos empleados, se

mejorar optimizando el uso de recursos empleados, lo cual implica reducir tiempos

desperdiciados, paros de equipos, falta de material, retrasos, etc.

La Eficacia. Es el grado de con el cual las actividades previstas son realizadas y los

resultados planeados son logrados. Es decir ser eficaz es cumplir con objetivos y se

atiende maximizando los resultados

Para un mejor entendimiento suponemos que en una

productividad se mide a través de las latas de conservas producidas entre el tiempo

total empleado.

��

Entonces la eficiencia será la relación entre el tiempo útil y el tiempo total mientras

��

La eficacia será el cociente entre las latas de conservas producidas y el tiempo

��

Gutiérrez y de la Vara (2009) sugiere dos programas para mejorar la productividad

mejorar la eficiencia y la eficacia. Al mejorar la eficiencia se busca




total empleado, horas máquina, materia prima utilizada

De qué manera podemos mejorar la productividad



productividad suele dividirse en dos componentes la eficacia y la eficiencia.

es la relación entre los resultados logrados y los recursos empleados, se


desperdiciados, paros de equipos, falta de material, retrasos, etc. [2]

con el cual las actividades previstas son realizadas y los


atiende maximizando los resultados [2].

Para un mejor entendimiento suponemos que en una industria de conservas la


��

tonces la eficiencia será la relación entre el tiempo útil y el tiempo total mientras

��

La eficacia será el cociente entre las latas de conservas producidas y el tiempo

��


mejorar la eficiencia y la eficacia. Al mejorar la eficiencia se busca reducir tiempos



anera podemos mejorar la productividad



es la relación entre los resultados logrados y los recursos empleados, se


con el cual las actividades previstas son realizadas y los


industria de conservas la


tonces la eficiencia será la relación entre el tiempo útil y el tiempo total mientras

La eficacia será el cociente entre las latas de conservas producidas y el tiempo útil.


reducir tiempos


desperdiciados, paros de equipos, falta de material, retrasos, falta de balances en las

capacidades, retraso en los suministros y en las órdenes de compra, así como el

mantenimientos y reparaciones no programadas etc.

Ahora si hablamos de la mejora de la eficacia en la cual se busca la disminución de

los productos con defectos, las fallas en los arranques y en la operación de los

procesos. es decir se busca disminuir las deficiencias en los materiales, diseños y

equipos, además de incrementar y mejorar las habilidades del personal y generar

programas que ayuden a las personas a realizar mejor su trabajo.

Por ejemplo en la empresa de conservas se determino que la eficacia era de un 50%,

es decir que en esta empresa se desperdicia el 5

aspectos como la organización, la logística etc.

Además se determino que la eficacia promedio fue de un 80% , lo cual significa que si

se planean materiales y actividades para producir 100 latas de conservas al final sol

80 latas en promedio están libres de defectos y las otras 20 se quedaron a lo largo

del proceso por algún tipo de defecto, de estas 20 algunas podrán recuperarse y otras

se convertirán en desperdicio.

De esta manera la multiplicar la eficiencia con la

productividad promedio del 40%.

Figura 1.2. La Productividad y sus Componentes





mantenimientos y reparaciones no programadas etc.

de la mejora de la eficacia en la cual se busca la disminución de



rementar y mejorar las habilidades del personal y generar

programas que ayuden a las personas a realizar mejor su trabajo.


es decir que en esta empresa se desperdicia el 50% del tiempo en promedio en otros

aspectos como la organización, la logística etc.


se planean materiales y actividades para producir 100 latas de conservas al final sol



se convertirán en desperdicio.

De esta manera la multiplicar la eficiencia con la eficacia se obtendrá el una

productividad promedio del 40%.

Figura 1.2. La Productividad y sus Componentes

Fuente: Adoptado de [2]




de la mejora de la eficacia en la cual se busca la disminución de



rementar y mejorar las habilidades del personal y generar


0% del tiempo en promedio en otros


se planean materiales y actividades para producir 100 latas de conservas al final solo



eficacia se obtendrá el una



En la figura 1.2 se ejemplifica lo mencionado anteriormente. El reto de los ingenieros

es mejorar esta productividad y se puede realizar mediante la mejora continua ya sea

mediante acciones preventivas y correctivas. Las acciones preventivas sirven para

eliminar la causa de una inconformidad potencial u otra situación indeseable, con

esto se enfoca a prevenir ocurrencias. Las acciones correctivas son aquellas que

eliminan la causa de la inconformidad detectada y se emplea para prevenir la

recurrencia.



CAPÍTULO II

DEFINICIONES BÁSICAS

2.1 Definiciones Estadísticas

Antes de iniciar con los la definición del control estadístico de la calidad es

necesario tener en claro algunas definiciones estadísticas.

� Estadística.

Es la Ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos científicos para

recolectar, organizar, resumir y analizar datos, para obtener conclusiones válidas para

la toma de decisiones razonables basadas con tal análisis. La estadística se divide en:

Descriptiva y Inferencial. [3]

Estadística Descriptiva. La estadística descriptiva, es la estadística que sólo se

ocupa de describir y analizar un grupo de datos, sin sacar conclusiones sobre un

grupo mayor. [3]

Estadística Inferencial. La estadística inferencial, es un conjunto de

procedimientos que nos permiten efectuar generalizaciones de la muestra a la

población. Se utiliza para probar hipótesis y estimar parámetros, se basa en el

concepto de distribución muestral. [3]

� Unidad de Análisis o Unidad de Observación. Es la unidad indivisible a quien se

estudia, del cual se obtiene el dato estadístico. También se define como el objeto

de estudio. Puede ser una paciente, una planta, un pescado, una lata de conserva,

etc.

� Población. Es el conjunto de unidades de observación o elementos de la misma

especie que se pretende estudiar en una investigación científica y de la cual se

obtiene una muestra.



� Muestra. Es un subconjunto de la población sobre quienes se va estudiar, la cual

debe haberse elegido al azar (aleatorio) y debe ser representativa de la población a

la cual pertenece, esto quiere decir sin sesgos. En general la muestra es toda parte

representativa y adecuada de la población. A partir del análisis de la muestra

obtenida correctamente y al azar, se puede hallar conclusiones que sean

extrapolables a la población de origen. Para elegir la muestra debe apelarse a un

determinado método de muestreo.

� Estadístico. Es una medida de resumen que nos describe algunas características

de interés y cuyo valor es calculado usando sólo los valores de los elementos o

unidades de una muestra.

Algunos estadísticos conocidos y más usados son:

La media muestral denotado por

La varianza muestral denotado por S2

La proporción muestral denotado por p

El total muestral denotado por x

El coeficiente de correlación muestral denotado por r

� Dato. Es el valor de la variable asociada a un elemento de la población o muestra.

Este valor puede ser un número o una palabra.

� Variable. Es una característica o propiedad determinada de las unidades de

análisis, sea medible o no. Esta propiedad hace que las unidades de análisis de un

grupo pueden diferir de las de otro grupo en la muestra o población de estudio.

Clasificación de Variables. En la Figura 2.1 se muestran la clasificación de las

variables.

a. Por Su Naturaleza. Se clasifican en

- Variable Cuantitativa: Es la que se puede medir. Habitualmente es llamada

variable numérica o métrica, estas se clasifican en: discretas y continuas

Variables Cuantitativas Discretas: Tienen un recorrido finito o a lo más

numerable. Ejemplos: Número de latas de conserva que ingresan a una



autoclave, número de alumnos matriculados en el curso de control de

calidad, número de plantas Agroindustriales del departamento de

Lambayeque, número de dientes con caries, número de hijos por familia.

etc.

- Variables Cuantitativas Continuas: Tienen un recorrido infinito no

numerable, la variable puede tomar, teóricamente, cualquier valor en un

cierto intervalo. Ejemplos: Densidad, humedad, acidez, temperatura, dureza

del agua, ºBrix, Presión sanguínea, nivel de colesterol en la sangre,

estatura, peso, ingreso económico, edad, longitud, etc.

Variable Cualitativa: Son variables que representan cualidades o atributos de la

muestra, como por ejemplo: El sabor, color, tipos de conservantes, tipos de

licores, género (masculino, femenino), VIH (presente, ausente), grupo sanguíneo

(A, B, AB, O), grado de instrucción, desnutrición, etc.

Figura 2.1. Clasificación de las variables

Discreta

Continua

Variables

Por su naturaleza

Cuantitativa

Cualitativa

Dependiente

Interviniente

Por su Relación Independiente


b. Por su Relación.- Se clasifican en:

Variables dependientes

dependen de otras variables que pueden influir en ella. También se le llama

variable respuesta. Ejemplo: respuesta a un trata

ventas, etc.

Variable Independiente

dependiente, llamándose también según el caso factor de riesgo, factor

predictivo, Ejemplo: Horas de estudio, minutos de publicidad, etc

Variable Interviniente:

independiente condicionando a la variable dependiente. Ejemplo: Material de

trabajo, medios de publicidad, etc.

� Escalas de Medición

Variables categóricas nominales

establecer un orden. Ejemplo: raza (negra, blanca, trigueño, etc.), grupos

sanguíneos (A,B,AB,O). También son excluyentes entre si, o sea que cada

individuo pertenece a una u otra categoría pero no a las dos al mismo tiempo.

Variables categóricas ordinales

determinado, por Ejemplo: grado de instrucción de un paciente (inicial, primaria,

secundaria, superior), nivel socioeconómico (bajo, medio, alto). etc. También son

excluyentes entre si.

Escala Interválica. Es una escala ordinal, que se usa en mediciones de variables

continuas que además de tener un orden tienen mantienen una equidistancia entre

sí y para lo cual pueden iniciar con un cero relativo o arbitrario y mantener un

intervalo de separación.

Ejemplo 1: temperatura, presión de vapor, grados brix,

acidez, grado alchólico, las calificaciones de un test o de

un examen de conocimientos. Estas tienen un cero elegido

arbitrariamente, por ejemplo si un alumno obtuvo un

calificativo de “cero” en un examen de matemáticas I, esto

significa que no sabe nada de la materia pues con otra

prueba más fácil podría tener otra calificación.



Se clasifican en:

dependientes: Es la variable motivo del estudio, cuyos valores


variable respuesta. Ejemplo: respuesta a un tratamiento, rendimiento escolar,

Variable Independiente: Es la que modifica de una u otra manera a la variable


predictivo, Ejemplo: Horas de estudio, minutos de publicidad, etc.

Variable Interviniente: Son aquellas que coparticipan con la variable


trabajo, medios de publicidad, etc.

Variables categóricas nominales: Son variables cualitativas que no permiten




bles categóricas ordinales: Estas si permiten establecer un orden



. Es una escala ordinal, que se usa en mediciones de variables



Ejemplo 1: temperatura, presión de vapor, grados brix,

acidez, grado alchólico, las calificaciones de un test o de

un examen de conocimientos. Estas tienen un cero elegido

arbitrariamente, por ejemplo si un alumno obtuvo un

o” en un examen de matemáticas I, esto

significa que no sabe nada de la materia pues con otra

prueba más fácil podría tener otra calificación.


: Es la variable motivo del estudio, cuyos valores


miento, rendimiento escolar,

: Es la que modifica de una u otra manera a la variable


Son aquellas que coparticipan con la variable


litativas que no permiten




: Estas si permiten establecer un orden



. Es una escala ordinal, que se usa en mediciones de variables




Ejemplo 2.- Si tres alumnos A, B,C han obtenido los puntajes 2, 4, 16

respectivamente, no solo se verifica las

(4-2) donde se puede inferir que C y B es igual a seis veces la diferenc

puntajes de B y A.

Escala de Razón o Cociente.

donde además podemos comprobar cu

o menor que otro valor de la escala. La escala de razón tiene cero absoluto.

Ejemplo 1: Peso, talla, número de alumnos; en las que el cero

representa la nulidad o ausencia de lo que se estudia. Se dice

que un peso de 50 libras es el doble que uno de 25 libras, o

que uno de 100 libras es 4 veces mayor que uno de 25 libras.

Ejemplo 2: si tres objetos A, B y C miden 2, 4 y 16 metros, se pueden establecer

las relaciones: 2, 2 < 4 < 16, 16

longitud de 8 es el doble de A, el de C es 8 veces que el de A y el de C es 4 veces

que el de B.

2.2 Control de Calidad

El Control de Calidad se introduce en Estados Unidos a principios del siglo XX y

puede definirse como:

El conjunto de técnicas y actividades de carácter operativo utilizadas para verificar los

requisitos relativos a la calidad del producto. Es la actividad técnica y administrativa

mediante la cual: se mide las características de calidad de un producto o

uno o más puntos de la cadena productiva, se comparan las características de un

producto con especificaciones o requisitos y se toman acciones correctivas apropiadas

cuando existe una discrepancia entre el funcionamiento real y el estándar.

Lo importante del Control de Calidad es que constituye una herramienta muy eficaz

para incrementar la productividad, permitiendo elevar el nivel técnico de la empresa,

incrementando la producción y reduciendo los costos de operación.

De esta forma, el propósito del control de la calidad es fijar la calidad normal, mantener

y mejorar el nivel, la uniformidad y la confiabilidad de la calidad garantizando ésta y



Si tres alumnos A, B,C han obtenido los puntajes 2, 4, 16

respectivamente, no solo se verifica las relaciones 2 y 2<4<16, sino que 16

2) donde se puede inferir que C y B es igual a seis veces la diferencia entre los

Escala de Razón o Cociente. la escala de razón es una escala de intervalo en

donde además podemos comprobar cuantas veces un valor de la escala es mayor


Ejemplo 1: Peso, talla, número de alumnos; en las que el cero

representa la nulidad o ausencia de lo que se estudia. Se dice

so de 50 libras es el doble que uno de 25 libras, o

que uno de 100 libras es 4 veces mayor que uno de 25 libras.


las relaciones: 2, 2 < 4 < 16, 16 - 4 = 6(4-2), y además = 2 ; y , es decir que la





mediante la cual: se mide las características de calidad de un producto o servicio en



cuando existe una discrepancia entre el funcionamiento real y el estándar. [4]



incrementando la producción y reduciendo los costos de operación.

pósito del control de la calidad es fijar la calidad normal, mantener



Si tres alumnos A, B,C han obtenido los puntajes 2, 4, 16

relaciones 2 y 2<4<16, sino que 16-4 = 6

ia entre los

la escala de razón es una escala de intervalo en

antas veces un valor de la escala es mayor



2 ; y , es decir que la





servicio en



[4]



pósito del control de la calidad es fijar la calidad normal, mantener




reduciendo los costos de fabricación, suministrar productos a la satisfacción del

cliente aumentando los beneficios.

2.3 Control Estadístico de la Calidad (C.E.C)

La estadística está formada por un conjunto de técnicas y conceptos orientados a

la recolección y análisis de los datos tomando en cuenta la variación de los mismos.

Por su lado el Control estadístico de la calidad es la aplicación de técnicas

estadísticas a procesos industriales (mano de obra, materias primas,

mediciones, máquinas y medio ambiente) procesos administrativos y /o

servicios con el objetivo de verificar si todas o cada una de las partes del

proceso o servicio cumplen con las exigencias de calidad.

Control Estadístico de la Calidad es la recopilación, análisis e interpretación de

datos para su uso en el control de calidad. Los elementos importantes del Control

estadístico de la calidad son el Control Estadístico de Procesos y el Muestreo de

Aceptación

El objetivo del Control estadístico es detectar de manera rápida la ocurrencia de la

variabilidad debido a causas asignables, investigando las causas que la han producido

y de esa manera poder eliminarlas, así mismo informar sobre las causas encontradas

para la toma de decisiones oportunas, pues de lo contrario se producirían unidades de

calidad no aceptable, así mismo tiene como objetivo eliminar si es posible o al menos

reducir la variabilidad del proceso

La aplicación de técnicas estadísticas al control de la calidad está basada en el

estudio y evaluación de la variabilidad existente en cualquier tipo de proceso.

2.4 La Variabilidad

La Variabilidad forma parte de nuestra vida por ejemplo el tiempo que tardamos

en llegar a nuestra casa cuando salimos de las clases de la universidad, la

temperatura del ambiente es variable de un día a otro, esta variación también ocurre

en los procesos de las empresas.



Por ejemplo en un supermercado de Chiclayo se registra el

tiempo que los clientes esperan para ser atendidos en caja de

pago, al azar se eligen 50 clientes obteniéndose los

siguientes resultados mostrados en la tabla 2.1

Tabla 2.1 Tiempo de espera para ser atendidos en caja de pago (min)

En este ejemplo se muestra que el promedio de espera fue de 10,4min. Pero existe

variación ya que un cliente espero menos de 2,3 minutos y otro fue atendido después

de 17,8 minutos de espera. De aquí que una de las tareas del Control Estadístico de

un proceso no solo será conocer su tendencia central sino también su variabilidad.

En una empresa aún cuando los operarios trabajen cuidadosamente, aunque tanto el

producto como el proceso hayan sido juiciosamente concebidos, aunque el

mantenimiento funcione perfectamente, dos piezas de un mismo producto fabricado

bajo las mismas condiciones no son idénticas, es decir, que existirá siempre un cierto

grado de variabilidad llamada variabilidad natural del proceso.

La variabilidad natural del proceso es el efecto conjunto de numerosas y pequeñas

causas difícilmente (o al menos, costosamente) eliminables (heterogeneidad en la

materia prima, cansancio en algún operario, desgastes de la maquinaria, iluminación

irregular, variaciones en la temperatura y la humedad ambiental, imprecisiones de los

12,1 7,3 15,9 13,2 10,5 9,4 5,4 13,2 5,6 8,9

17,3 6,8 12,4 11,4 15,6 6,6 4,7 11,2 12,8 13.6

15,9 12,8 5,1 7,5 13,4 12,4 12,1 6,2 9,4 14,6

17,8 11,9 13,2 6,9 7,7 13,2 13,5 13,6 7,4 7,7

7,5 6,3 8,2 11,2 2.3 12,2 5,2 11,7 9,2 12,1



aparatos de medida y del operario que mide, etc) que hacen que los resultados de la

producción no sean totalmente idénticos en todas sus unidades. Estas causas que

originan la variabilidad natural del proceso se conocen como causas comunes.

Existen otro tipo de causas que originan aumento del sesgo y/o la variabilidad y que,

en contraposición a las causas comunes, se presentan de forma accidental son, en

general, fácilmente eliminables. Ejemplo de estas causas son errores de los operarios,

defectos en la materia prima, desajuste de máquinas, etc. A estas causas se les

denomina causas asignables, accidentales o especiales.

Por definición, se dice que un proceso está bajo control estadístico cuando no hay

causas asignables presentes. El Control Estadístico de Procesos se basa en analizar

la información aportada por el proceso para detectar la presencia de causas

asignables y habitualmente se realiza mediante una construcción gráfica denominada

Gráfico de Control.

Si el proceso se encuentra bajo control estadístico es posible realizar una predicción

del intervalo en el que se encontrarán las características de la pieza fabricada.

A continuación se presenta una tabla comparativa de las causas comunes y

especiales

Tabla 2.2 Causa comunes y causas especiales que origina la variabilidad

Causas Comunes Causas Especiales

- Originadas por muchas fuentes de poca

importancia.

- Tienen carácter permanente.

- Dan lugar a una distribución estable y,

por tanto, previsible.

- Son las únicas presentes cuando el

proceso está bajo control.

- Su corrección exige actuaciones a nivel

de dirección.

- Originadas por pocas fuentes

individualmente importantes.

- Tienen carácter puntual e irregular.

- Modifican la distribución de la

producción. El proceso es

imprevisible.

- Determinan que el proceso esté fuera

de control.

- Se corrigen mediante actuaciones

locales.



EJERCICIOS

1. Clasifica las siguientes variables como cualitativas o cuantitativas, y a estas últimas

como continuas o discretas:

a) Carreras que se estudian en la U.S.A.T

b) Nº de cartas que se escriben en un mes

c) Número de calzado

d) Precio de un producto.

e) Marcas de gaseosa

f) Nº de empleados de una empresa

g) Altura

h) Temperatura de un enfermo

2. Establecer cuáles de estos datos son discretos y cuáles continuos:

a. Temperaturas medidas en un laboratorio cada media hora.

b. Ingresos anuales de los profesores de educación media.

c. Longitudes de 100 tornillos producidos en una empresa.

d. Número de estudiantes en un aula

3. Clasificar cada una de las siguientes variables:

a. Distancia diaria recorrida por cada estudiante para ir de su casa a la universidad.

b. Tiempo que requiere un estudiante para responder a un examen.

c. Llamadas que llegan a la central telefónica de USAT en un día

d. Preferencia por cierta marca de refresco.

e. Color del cabello de las estudiantes que toman el curso de estadística en el

trimestre

f. Número de acciones vendidas en un día en la Bolsa de Valores.

g. Vida media de los tubos producidos por una fábrica

4. Se ha hecho un estudio para determinar la preferencia de una marca especial de

detergente por parte de las amas de casa. Entre las 50 amas de casa entrevistadas,

30 dijeron que preferían esta marca.

a. ¿Qué constituye la muestra?.

b. ¿Qué constituye la población?.

c. ¿Cuál es la proporción, dentro de la muestra, de las amas de casa que prefieren la

marca del detergente?.



5. En una fiesta, el 50% de los invitados son hombres. De todos los hombres de la

fiesta, el 40% son calvos y de ellos el 50% habla inglés. Si 4 calvos hablan inglés.

¿Cuántas mujeres hay en la fiesta?.

6. Para comparar la precisión de 2 instrumentos de medición, un técnico de laboratorio

estudia mediciones hechas con ambos instrumentos. El primero se usó

recientemente para medir el diámetro de un rodamiento y las mediciones tuvieron

una media de 4,92 mm. con una desviación estándar de 0,018 mm. El segundo se

empleó hace poco para medir la longitud sin extender de un resorte y las

mediciones tuvieron una media de 2,54 pulgadas con una desviación estándar de

0,012 pulgadas. ¿Cuál de los 2 instrumentos es relativamente más exacto?.

7. Diego utiliza 2 máquinas diferentes para fabricar productos de salida de papel

destinadas a copiadoras. Los conductos de una muestra de la primera máquina

medían 12,2; 11,9 ; 11,8 ; 12,1 ; 11,9 ; 12,4 ; 11,3 y 12,3 pulgadas. Los conductos

hechos con la segunda máquina medían 12,2 ; 11,9 ; 11,5 ; 12,1 ; 12,2 ; 11,9 y

11,8 pulgadas. Diego tiene que utilizar la máquina que produzca conductos de

tamaños más uniformes. ¿Qué máquina deberá utilizar?

8. Instrucción: Identificar la unidad de estudio, tipo de variable, la población y la

muestra en los siguientes casos que se presentan.

La empresa MILK S.A. está realizando un estudio de mercado a nivel del

distrito de Chiclayo. En especial está considerando las familias residentes

en las Urbanizaciones cercanas al perímetro de la plaza de armas de esta

ciudad.

Su interés es conocer cuánto gastan semanalmente en el consumo de leche de tarro

color azul. Si Ud. fuera el encargado de realizar esta investigación identifique:

Unidad de estudio

Variable de estudio Tipo:

Población

Muestra



CAPÍTULO III

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

El presente capítulo tiene por finalidad que el estudiante analice las principales

técnicas para realizar un análisis descriptivo de un conjunto de datos donde se

determine la tendencia central la variabilidad así como la distribución de los datos así

mismo interpretar de manera adecuada el histograma y los percentiles y un diagrama

de cajas. Así mismo aplicar los conceptos para realizar una valoración amplia de la

capacidad de un proceso.

Las variables de salida o de o de respuesta de un proceso deben de cumplir con

ciertas metas y/o especificaciones a fin de que sea posible considerar que el

proceso funciona de manera satisfactoria. Por ello, una tarea primordial del control de

calidad es conocer la capacidad o habilidad de un proceso, que consiste en

determinar la amplitud de la variación natural del proceso para una característica de

calidad dada. Esto permitirá saber en qué medida tal característica de calidad es

satisfactoria.

En este capítulo se estudiaran las principales técnicas de la estadística descriptiva

para el análisis de una variable de tipo continuo. Estas técnicas son de gran utilidad

para entender mejor la capacidad de proceso.

Capacidad de Proceso. La capacidad de proceso consiste en conocer la amplitud

de la variación natural del proceso para una característica de calidad dada; esto

permitirá saber en qué medida tal característica de calidad es satisfactoria (cumple

con las especificaciones). [2]

Por lo general para realizar un estudio de capacidad se toman datos del proceso

durante un periodo considerable para que se refleje bien el desempeño del proceso.

El periodo de referencia depende de la velocidad del proceso, ya que si se trata de un

proceso masivo que produce muchas piezas por día, entonces un periodo de cuatro a

diez días, y de ahí, cada determinado tiempo se toma una pequeña cantidad de

productos hasta completar una muestra de 120 a 150. Pero cuando se trate de un

proceso lento, que produce poco productos por día, es necesario incrementar el

periodo de estudio para completar una muestra de por lo menos 50 a 60 productos.



En ambos casos, en la medida que se tengan más datos y un periodo más amplio

será posible conocer mejor el estado real del proceso

En resumen podemos decir que la capacidad de proceso Es el grado de aptitud

que tiene un proceso para cumplir con las especificaciones técnicas deseadas.

- Cuando la capacidad de un proceso es alta, se dice que es capaz.

- Cuando se mantiene estable a lo largo del tiempo se dice que está bajo control.

- Un proceso va a estudiarse con respecto a una variable aleatoria que es el indicador

de calidad.

Para determinar si un proceso es o no capaz se pueden utilizar las siguientes

herramientas: Histogramas, Gráficos de Control, Gráficos de Probabilidad, Estudios de

índices de Capacidad.

A Continuación tenemos el siguiente ejemplo. 3.1. En un

proceso de envasado de conservas de esparrago, una

característica de calidad del producto es el peso neto siendo este

de 205 g con una tolerancia de ± 5 g. Así para considerar que el

proceso de envasado fue satisfactorio, debe estar entre la

especificación inferior, EI= 200 y la superior, ES= 210 g. En un

estudio de capacidad para este proceso es necesario contestar las

siguientes interrogantes:

a. ¿Qué tipo de conserva se está produciendo en cuanto al

peso?

b. ¿El peso medio es el adecuado?

c. ¿La variabilidad del peso es mucha o poca?

Para contestar estas preguntas, durante una semana se obtuvieron de una línea de

producción los 125 datos de tabla 3.1. El muestreo fue sistemático: cada

determinado tiempo se tomaban cinco productos y se pesaba. A Continuación se

analizarán estos datos por medio de diferentes estadísticos. (Ejemplo adaptado de

Gutiérrez y De La Vara, 2009)



Tabla 3.1. Datos del peso de conservas de esparrago. (g)

215 210 207 206 206 205 207 210 206 209 207 203

210 207 207 210 204 209 203 209 206 208 206 207

207 207 203 206 206 207 210 208 205 203 210 207

207 207 207 208 214 206 208 206 212 213 212 209

208 209 207 206 207 208 209 213 209 206 209 210

210 209 207 209 212 209 208 201 209 209 207 209

210 207 215 206 206 210 210 206 208 211 210 212

206 205 210 202 201 208 205 205 209 203 207 207

209 210 211 213 205 203 210 204 208 205 210 205

212 206 209 207 210 214 212 209 209 207 206 208

207 209 211 210 210

Para contestar estas preguntas haremos uso de la estadística descriptiva.

3.1. Medidas de Tendencia Central

La estadística busca entre otras cosas, describir las características típicas de

conjuntos de datos y, como hay varias formas de hacerlo, existen y se utilizan varios

tipos de promedios. Se les llama medidas de tendencia central porque generalmente la

acumulación más alta de datos se encuentra en los valores intermedios. [2]

Con las mediciones de una característica de la calidad como las del ejemplo anterior

el primer objetivo es conocer la tendencia central de los datos, identificar un valor en

torno al cual los datos tienden a aglomerarse o concentrarse. esto permitirá saber si el

proceso está centrado ; es decir si la tendencia central de la variable de salida es

igual o está muy próxima a un valor nominal deseado (En el ejemplo es 205 g)

Tendencia central es el valor en torno al cual los datos o mediciones de una variable

tienden a aglomerarse o concentrarse. Las medidas de tendencia central son

estadígrafos de posición que son interpretados como valores que permiten resumir a

un conjunto de datos dispersos, podría asumirse que estas medidas equivalen a un

centro de gravedad que adoptan un valor representativo para todo un conjunto de

datos predeterminados.



Estas medidas son:

1. Promedio Aritmético (Media o simplemente promedio)

2. Mediana

3. Moda

4. Promedio Geométrico

5. Promedio Ponderado

6. Promedio Total

7. Media Armónica

Media muestral ó Promedio aritmético

Es la medida de tendencia central que es igual al promedio aritmético de un conjunto

de datos, que se obtiene al sumarlos y el resultado se divide entre el número de

datos.

Sea x1, x2, x3,. xn, son las observaciones numéricas de una muestra

�� + �� + �� +⋯�� ! � " �# #$�!

Para calcular la media de los 125 datos que se muestran en la tabla 2.1 tendremos

�� 215 + 210 + 207 +⋯210�125 � 207,9,

Con lo cual, el peso promedio de los conservas de la muestra es 207,9g. Esto no

significa que todos o la mayoría tengan un peso de 207,9 g, es más en el ejemplo,

ningún disco tiene tal peso. En este caso, dado que la media muestral procede de una

muestra significativamente grande que abarca el periodo de una semana, entonces

hay evidencia de que el proceso esta descentrado de forma a la derecha o hacia un

valor superior, ya que el valor objetivo para el peso es 205 g.

Media Poblacional o del proceso, µ

Si para calcular la media se utilizan todos los elementos de la población (todos los

posibles individuos, especímenes, objetos o medidas de interés sobre los que se hace



un estudio), por ejemplo el grosor de todos los discos producidos en la última

semana o mes, entonces el promedio calculado es la media del proceso (o media

poblacional) y se denota con la letra griega µ (mu).

Es importante destacar que la media del proceso µ es igual a cierto valor, aun no

siempre se conoce; mientras que el valor de �� se obtiene para cada muestra y es

diferente de una muestra a otra, ya que su valor depende de las piezas que se

seleccionan. Por lo anterior, el valor que se observa de la media muestral ��, por lo

general es diferente a la media del proceso, µ. Luego es preciso tener cuidado con

las afirmaciones basadas en �� sobre la media del proceso o población.

En general, lo que se observa en los estadísticos muestrales acerca del

comportamiento de los datos es válido para la muestra, y en qué medida que esta

sea representativa y grande también tendrá cierto grado de aproximación para todo el

proceso; sin embargo es necesario utilizar técnicas estadísticas para evaluar lo que

significan en todo el proceso. (Gutierrez y De La Vara, 2009).

Mediana o Percentil 50

Otra medida de tendencia central de un conjunto de datos es la mediana �- , que es

igual al valor que divide a la mitad a los datos cuando son ordenados de menor o

mayor. Así para calcular la mediana cuando el número de datos es impar, éstos se

ordenan de manera creciente y el que quede en medio de dicho ordenamiento será la

mediana, pero si el número es par, entonces la mediana se calcula dividiendo entre

dos la suma de los números que están en el centro de ordenamiento.

Podríamos decir también que la mediana es el valor que ocupa la posición central de

un conjunto de observaciones ordenadas. El 50% de las observaciones son mayores

que este valor y el otro 50% son menores.

La ubicación de la mediana de n datos ordenados se determina por :

! + 12



Por ejemplo si tenemos 7 datos ordenados: {5, 5, 5, 6, 7, 8, 8 }. La ubicación de la

mediana es

./�� 4.

Luego el valor de la mediana es: Me=6

Si tenemos 8 datos ordenados: {2, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8}, la mediana se ubica en el lugar

1/�� 4,5.

Luego el valor de la mediana es

23 � 5 + 62 � 5,5

Para el ejemplo 2.1 tendremos la ubicación de la mediana ��5/�� 63, por lo tanto la

mediana es 208 g, lo cual significa que el 50% del peso de la conservas de la

muestra son menores o iguales a 208 g y que el otro 50% son mayores o iguales a

208 g.

Moda

Otra forma de medir la tendencia central de un conjunto de datos es mediante la

moda, que es igual al dato que se repite más veces. Si varios datos tienen la

frecuencia más grande, entonces cada uno de ellos es una moda, y se dice que el

conjunto de datos es multimodal.

Por ejemplo se tienen, durante los últimos 30 días que el valor de las compras en un

producto fue: { 10,2; 7,0; 7,1; 10,2; 8,3; 9,4, 9,2; 6,5, 7;1; 6,6; 7,8; 6,8; 7,1; 8,4; 9,6;

8,5; 5,7; 6,4; 10,1; 8,2; 9,0; 7,8; 8,2; 5,3; 6,2; 9,1; 8,6; 7,0; 7,7; 8,3} la moda ( Mo) es

igual a 7.1; es el valor más frecuente, ocurre 3 veces.

En el ejemplo 3.1 de los pesos hay una sola moda y es de 207 g. Esta medición fue la

más fue la más frecuente, se repitió 23 veces. De esta forma, en el ejemplo tenemos

que la media es 207,9, la mediana 208 y la moda 207. Debido a que la media es la

medida de tendencia central más usual, en ocasiones se comete el error de creer que



ésta divide los datos a la mitad o que es el dato más frecuente, es decir, se confunde

el concepto de media con el de mediana y moda, respectivamente.

Un aspecto relevante es tomar en cuenta cuando se utiliza la media, es que ésta

resulta afectada por datos extremos o atípicos, por ejemplo la media y la mediana

para los siguientes datos.

1 100; 1 300; 1 000 1 500, 800, 1 600, 1 100

Son promedio ��=1 200 y mediana �-= 1 100, pero si a la lista anterior agregamos un

dato atípico (7 600) entonces : ��=2 000 y �-= 1 200 son muy diferentes entre sí,

debido a que 7 600 ha jalado a la media, y ahora que ya no es una buena medida de

tendencia central porque solo un dato está por arriba de la media. En este tipo de

casos, la mediana no es afectada por el dato atípico, lo cual tampoco ocurre cuando

la distribución de los datos es sesgada. Por lo tanto, bajo estas condiciones, la

mediana es mejor medida de tendencia central.

Cuando la población tiene una distribución sesgada, con frecuencia la mediana resulta

ser la mejor medida de posición, debido a que está siempre entre la media y la moda.

La mediana no se ve altamente influida por la frecuencia de aparición de un solo valor

como es el caso de la moda, ni se distorsiona con la presencia de valores extremos

como la media.

De lo anterior se deriva que, para describir la tendencia central de los datos, es

imprescindible apoyarse tanto en la media como en la mediana y la moda. Cuando la

media es muy diferente a la mediana es señal de que existen datos atípicos o existe

un sesgo importante, por lo que será mejor reportar como medida de tendencia

central a la mediana e investigar a que se deben los datos atípicos , ya que en

ocasiones reflejan un aspecto importante del proceso

Las medidas de tendencia central son insuficientes como criterio de calidad.

Suponga que la longitud de una pieza debe estar entre 800 ± 5. Para ver si se

cumple con las especificaciones se toma una muestra aleatoria grande y se obtiene

que ��=801 y �-= 800 y moda = 800

Debido a que estos estadísticos están dentro de las especificaciones se podría creer

que proceso cumple con estás. Sin embargo, esto no necesariamente es cierto ya que

en la muestra podría haber datos desde 750 y 850 y la media de todos ellos ser 801.



Pero también podría ocurrir que el rango de variación de los datos vaya de 797 a

803, con lo que sí se cumpliría con las especificaciones.

En otras palabras, las medidas de tendencia central son insuficiente como

criterio de calidad, ya que no toman en cuenta qué tan dispersos están los

datos, un hecho vital para la calidad.

3.2 Medida de Dispersión ó Variabilidad.

Los estadísticos de tendencia central o posición nos indican donde se sitúa un

grupo de puntuaciones. Los de variabilidad o dispersión nos indican si esas

puntuaciones o valores están próximas entre sí o si por el contrario están muy

dispersas.

Además de conocer la tendencia central de un conjunto de datos es necesario

saber qué tan diferentes son entre sí, es decir, es preciso determinar la variabilidad o

dispersión. Esto es un elemento vital en el estudio de capacidad de un proceso.

Las medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad

de los valores de la distribución respecto al valor central. Distinguimos entre medidas

de dispersión absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras y las

relativas que nos permitirán comparar varias muestras.

En seguida veremos 4 formas de medir la variabilidad

Desviación estándar muestral.

Es la medida más usual de la variabilidad e indica qué tan esparcidos están los

datos con respecto a la media; se denota con la letra S y se calcula, mediante la

siguiente expresión

7 � 89�� − �;<� + 9�� − �;<� +⋯+ 9� − �;<�! − 1

Donde ��, ��, … � , son las observaciones numéricas de la muestra, n tamaño de la

muestra y �; es la media muestral (promedio). Como se puede apreciar, S mide la

distancia que en promedio hay entre los datos y la media; por ello, entre más grande

sea el valor S habrá mayor variabilidad en los datos. La Desviación estándar es



expresada en las mismas unidades de medición que los datos (gramos, milímetros,

etc). Además, S no muestra la magnitud de los datos, solo refleja lo retirado que están,

los datos de la media y, al igual que ésta, es afectada por datos atípicos.

Desviación Estándar Poblacional o del proceso,σ

Refleja la variabilidad de un proceso. Para su cálculo se debe utilizar un número

grande de datos que hayan sido obtenidos en el transcurso de un lapso de tiempo

amplio, se denota por la letra griega sigma σ. Para calcular la desviación estándar se

emplean todos los elementos de la población o proceso.

Por otra parte el cuadrado de la desviación estándar, S2, conocido como varianza

muestral, es muy importante para propósitos de inferencia estadística. Y en forma

equivalente σ2 es la varianza poblacional.

Otra medida de dispersión es el rango o recorrido R, que es el resultado de la

diferencia entre el dato mayor y el dato menor de la muestra.

El rango mide la amplitud de la variación de un grupo de datos, y también es

independiente de la magnitud de los datos; ejemplo sean los dos conjuntos de datos:

A= {10, 12, 14} y B = {159, 161, 163}

Entonces se observa que la magnitud de los datos es diferente, y eso es reflejado por

la media, que es de 12 y 161, respectivamente. Pero en cuanto a la variabilidad, los

datos de ambos conjuntos están dispersos de la misma manera, como lo indica la

desviación estándar que es igual a 2 en ambos casos, el rango que es de 4 para los

dos conjuntos.

El coeficiente de Variación, CV, es una medida de variabilidad que indica la

magnitud relativa de la desviación estándar en comparación con la media. Es útil

para contrastar la variación de dos o más variables que están medidas en diversas

escalas.

>? � 7�; 9100<



El CV es útil para comparar la variación de dos o más variables que están medidas en

diferentes escalas o unidades de medición (por ejemplo, metro frente a centímetro o

metro frente a kilogramo). Este coeficiente suele interpretarse como una medición en

términos porcentuales de la variación. Por ejemplo en el caso de los conjuntos de

datos Ay B que se acaban de presentar en la definición de rango, se tiene que sus

correspondientes CV son: >?@ � �� 100 � 16,66�� y >?A � ��B� �100 � 1,242��

Respectivamente, por lo que la variabilidad en los términos relativos del CV para el

conjunto A es del 16,66%, mientras que para el conjunto B es solo de 1,242%

En caso del peso de las conservas tenemos que S=2,757 y S2=7,6010 R=215-

201=14 y el CV= 1,33 %. La interpretación del rango es muy directa, ya que indica la

amplitud máxima de la dispersión; así, 14g es la discrepancia máxima que existió

entre los pesos de las conservas de la muestra. Por lo general la interpretación de la

desviación estándar se hace en combinación con la media como lo veremos en

seguida, y su interpretación en forma individual se realiza en forma comparativa con

respecto a la desviación estándar de otras líneas de producción o lotes. Es necesario

tomar en cuenta, en caso de hacer estas comparaciones, que lo que se observa en

una muestra es variable, y por lo general pequeñas diferencias muestrales no

implican diferencias entre procesos o lotes.

Por último, CV = 1,33% indica que la variación del peso es de 1,33, lo cual puede

considerarse relativamente bajo

Relación entre �� y S (Interpretación de la desviación estándar)

Una forma de apreciar claramente el significado de la desviación estándar como

medida de dispersión en torno a la media, es a través de la relación entre la media y

la desviación estándar, la cual está dada por la desigualdad de Chebyshew y la regla

empírica. Dos hechos particulares que afirman la desigualdad de la muestra, y que

entre �� - 2S y �� + 2S están por lo menos 75% de los datos de la muestra, y que entre

�� ± 3S están por lo menos 89% de éstos.

En cuanto a la regla empírica se afirma que en muchos de los datos que surgen en

la práctica se ha observado por la experiencia que:



Entre �� - S y �� + S está 68% de los datos de la muestra

Entre �� - 2S y �� + 2S está 95%

Entre �� - 3S y �� + 3S está 99,7%

Todos los intervalos anteriores son validos solo para los datos muestrales y no

necesariamente para toda la población o proceso. Sin embargo, si los intervalos se

calculan con la media y la desviación estándar del proceso población, entonces serán

validos para toda la población. Por lo tanto, en la medida que se tengan muestras

aleatorias grandes y representativas, los intervalos anteriores podrán dar una idea

aproximada de lo que pasa en el proceso.

Lo que afirma el teorema de Chebyshev se aplica para cualquier tipo de datos,

independientemente de su comportamiento o distribución. Mientras que la regla

empírica, como su nombre lo dice, se obtuvo por medio de observación empírica y es

válida para muchos de los casos que se dan en la práctica, sobre todo si los datos

tienen un comportamiento con cierto grado de similitud a una campana o a la

distribución normal. De cualquier manera, ambos casos ilustran muy bien como la

desviación estándar mide la viabilidad en torno a la media.

Al aplicar la regla empírica a los datos del grosor de los discos, se tiene que una alto

porcentaje (cercano a 99%) de las mediciones del grosor del disco varía entre 199,67

y 216,22 g, se derivará del siguiente cálculo:

�� - 3S y �� + 3S

207,94 - 3(2,757) = 199,67 y 207,94 + 3(2,757) = 216,22 g

Al comparar estos límites de variación con las especificaciones (EI=200 y Es = 210),

se aprecia que 199,67 está por abajo de la especificación inferior, lo cual refleja la

baja capacidad del proceso de envasado para cumplir con especificaciones.



Límites reales o naturales

Los límites reales o naturales de un proceso indican los puntos entre los cuales varía

la salida de un proceso y, por lo general, se obtienen de la siguiente manera

Limite real Inferior (LRI) = µ - 3σ y

Limite real superior (LRS) = µ + 3σ ,

Los límites indican de dónde a donde varía la salida de un proceso.

El cálculo de estos límites está inspirado en la regla empírica, que a su vez coincide

con la propiedad de la distribución normal. En un estudio de capacidad, estos límites

reales se comparan con las especificaciones para la característica de calidad.

Por ejemplo si las especificaciones para una característica de calidad son que ésta

debe tener dimensiones de 800±5; luego, la especificación inferior es EI = 795, y la

superior es ES = 805. Si además se sabe que la media y la desviación estándar de

tal característica de calidad son µ = 800,6 y σ =1,2, respectivamente entonces los

límites reales son:

LRI = 800,6 - 3(1,2) =797,0 y LRS = 800,6 + 3(1,2) = 804,2

Por lo tanto, se espera que esta característica de calidad varíe de 797,0 a 804,2, con

una media de 800,6. Al comparar esto con las especificaciones se aprecia que los

límites reales caen dentro de las mismas, entonces se concluye que el proceso es

capaz de cumplir con tales especificaciones.

Histogramas

Para el análisis de un conjunto de datos la clave es conocer su tendencia

central y su dispersión, siendo el Histograma y la tabla de frecuencias mediante

los cuales se permiten visualizar estos dos aspectos de un conjunto de datos,

además muestran la forma en que los datos se distribuyen dentro de su rango

de variación. [2]

De manera específica, el histograma es una representación gráfica de la distribución

de un conjunto de datos o de una variable, donde los datos se clasifican por su

magnitud en cierto número de clases. Permite visualizar la tendencia central, la

dispersión y la forma de la distribución.



Comúnmente el histograma se obtiene a partir de la tabla de frecuencia.

En la figura 3.1 se muestra el histograma del peso de la conservas, en la que se

aprecia que la tendencia central de los datos se ubica alrededor de 207,94 g , no se

observan datos raros o atípicos y la distribución de los datos tiene una forma similar a

una campana.

Fig. 3.1 Histograma del peso de conservas (g)

Si en el histograma se insertan las especificaciones (200 y 210) para el peso de la

conserva se observa que la variación de los datos (amplitud del histograma) es mayor

que las especificaciones. Pero, con respecto a 205 que es el peso óptimo, el proceso

está descentrado a la derecha, como ya se había visto cuando se calculó la media.

Además, el peso de las conservas no es satisfactorio, ya que la orilla derecha del

histograma debería estar alejada de la especificación superior (ES=210), lo cual no

ocurre, cabe comentar que aunque no hay ningún dato por debajo de EI, no se debe

perder de vista que el estudio se hace a partir de una muestra, por lo tanto si se

continua tomando datos es casi seguro que se encontrarán mediciones fuera, como

lo sugiere la prolongación de la cola derecha de la curva imaginaria que suaviza al

histograma.



Con base en lo anterior, la primera acción que se habría de ejecutar para mejorar la

capacidad del proceso de envasado de conservas es mejorar su proceso.

A través del ejemplo anterior queda claro que el histograma ayuda a ver la tendencia

central de los datos, facilita el entendimiento de la variabilidad y favorece el

pensamiento estadístico, ya que de un solo vistazo se logra tener una idea acerca de

la capacidad de un proceso, se evitan tomar decisiones solo apoyándose en la media

y se detectan datos raros y formas especiales de la distribución de los datos.

Interpretación del Histograma

Cuando un histograma se construye de manera correcta, es resultado de un número

suficiente de datos (de preferencia más de 100), y estos son representativos del

estado del proceso durante el período de interés; entonces, se recomienda

considerar los siguientes puntos en la interpretación del histograma.

1. Observar la tendencia central de los datos. Localizar en el eje horizontal o

escala de medición las barras con mayores frecuencias. En el histograma de la

figura 3.1, una parte sustancial de las medición es se localizan entre 205 y 214

g.

2. Estudiar el centrado del proceso. Para ello, es necesario apoyarse en el punto

anterior y observar la posición central del cuerpo del histograma con respecto a

la calidad óptima y a las especificaciones. Por ejemplo en la figura 3.2 incisos a)

y c) se muestran procesos centrados, el primero presenta poca variabilidad, pero

el segundo ocurre lo contrario. Mientras que en los incisos b) y d) se observan

procesos descentrados, el primero con poca variabilidad y el segundo con mucha.

Aun cuando se cumplan las especificaciones, si el proceso no está centrado, la

calidad que se produce no es adecuada, ya que entre más se aleje del óptimo

más mala calidad se tendrá. Por ello, en caso de tener un proceso descentrado

se procede a realizar los ajustes o cambios necesarios para centrar el proceso.

3. Examinar el proceso. Consiste en comparar la amplitud de las especificación es

con el ancho del histograma. Para considerar que la dispersión no es demasiada,

el ancho del histograma debe caber de forma holgada en las especificaciones. En

la figura 3.2 incisos a) y b) hay poca variación, mientras que en los incisos c) y d)

ocurre lo contrario.



4. Analizar la forma del histograma. Al observar un histograma considerar que la

forma de distribución de campana es la que más se da en salidas de proceso y

tiene características similares a la distribución normal fig 3,2 a), b), c) y d). Es

frecuente que cuando la distribución no es de este tipo sea la señal de un hecho

importante que está ocurriendo en el proceso y que tiene un efecto negativo en la

calidad. Por ello, es necesario revisar si la forma del histograma es muy diferente

a la de campana. Algunas de las formas típicas que no coinciden con una

distribución de campana, son las siguientes.

Distribución sesgada. Es una forma asimétrica de la distribución de unos datos

o una variable, donde la cola de un lado de la distribución es más larga que la del

otro lado.

En la figura 3,2 e) se aprecia un histograma con una distribución sesgada a la

derecha, ya que la cola derecha es más grande que la izquierda. En términos

generales, un sesgo es una variable de salida refleja el desplazamiento paulatino

de un proceso debido a desgastes o desajustes; así mismo, puede indicar

procedimientos viciados en la forma de obtener las mediciones o un desempeño

especial del proceso, en el sentido que aparecen algunos valores inusualmente

altos de un solo lado de la distribución (izquierdo o derecho). Cabe aclarar que

existen características de calidad que, por su naturaleza, tiene sesgo, como son

tiempos de vida y resistencia a la fatiga. Una forma de decidir si una distribución

sesgada indica una situación especial a corregir, consiste en comparar ésta con

la distribución de la misma característica o de variables similares para datos

obtenidos en otro periodo de tiempo. La recomendación general es que ante la

sospecha de que hay algo especial atrás de una distribución con sesgo se debe

investigar si efectivamente es así

Distribución multimodal. Es una forma de la distribución de unos datos en la que

sea aprecia claramente dos o más modas (picos). Por lo general, cada moda

refleja una condición o realidad diferente. En la figura 3,2 f) se aprecia un

histograma en el que claramente se notan dos modas o picos que muestran dos

tendencias centrales diferentes. Este tipo de distribuciones con dos o más modas

reflejan la presencia de dos o más realidades o condiciones diferentes. Algunas

situaciones que originan una distribución multimodal son:



a. Diferencias importantes de lote en la materia prima que utiliza el proceso,

debido a que proceden de diferentes proveedores o al exceso de variación de

un mismo proveedor.

b. Cuando en el proceso intervienen varios operadores, con criterios o métodos de

trabajos diferentes.

c. Las mediciones de la variable de salida que están representadas en el

histograma fueron realizadas por personas o instrumentos diferentes, por lo

tanto, se utilizaron distintos criterios o instrumentos mal calibrados

d. El proceso, cuando generó los resultados de la distribución multimodal, fue

operando en condiciones diferentes (una condición para cada moda)

e. En general, una distribución multimodal se debe a la presencia de fuentes de

variación bien definidas que deben ser identificadas y corregidas, a fin de

mejorar la capacidad del proceso correspondiente. Una forma de identificarlas

es analizar por separado los datos en función de diferentes lotes de materia

prima, operadores instrumentos de medición, turnos o días de producción etc,

para así comparar los resultados y ver si hay diferencias significativas.

Distribución muy plana. En la figura 3.2 g) se aprecia un histograma que

muestra una distribución muy chata o plana y que está lejos de tener forma de

campana. Las situaciones que pueden causar esto son las mismas que las de la

distribución multimodal, pero con la particularidad de que las diferencias son

menos fuertes; sin embargo, afectan de manera seria la capacidad de un proceso.

Por lo tanto también deben ser identificadas y corregidas mediante la estrategia

recomendada antes.

Distribución con acantilados. En el histograma de la figura 2.2h) se observa un

acantilado derecho, que es una suspensión o corte muy brusco en la caída de la

distribución. Alguna de las posibles causas que motivan la presencia de un

acantilado son : un lote de artículos previamente inspeccionados al 100% donde

se excluyo a los artículos que no cumplen con alguna medida mínima o que

exceden una medida máxima (como en la figura ), problemas con el equipo de

medición , errores en la medición o inspección (cuando el inspector está

predispuesto a no rechazar un artículo y observa que esté casi cumplía con los



requisitos, registra la medida mínima aceptable). En general, un acantilado es

anormal y, por lo tanto, se debe buscar la causa del mismo.

5. Datos raros o atípicos. Medición cuya magnitud es muy diferente a la generalidad

de las mediciones del conjunto de datos correspondientes. Una pequeña cantidad

de m ediciones muy extremas o atípicas son identificadas con facilidad mediante

un histograma, debido a que aparecen una o más barras pequeñas bastante

separadas o aisladas del resto. Un dato raro refleja una situación especial que se

debe investigar, y entre las posibles causas están las siguientes:

- El dato es incorrecto, ya sea por error de medición, de registro de dedo cuando

fue introducido a la computadora.

- La medición fue realizada sobre un artículo o individuo que no forma parte del

proceso o población a la que pertenece al resto.

- Si han sido descartadas las dos situaciones anteriores, entonces la medición se

debe a un evento raro o especial. Es decir, cuando se hizo la medición, en el

proceso estaba ocurriendo una situación especial o fuera de lo común.

6. Estratificar. Consiste en clasificar y analizar datos de acuerdo a las distintas

fuentes de donde proceden, como por ejemplo por máquinas, lotes, proveedores,

turnos, etc. En ocasiones en el histograma no se observa ninguna forma particular

pero existe mucha variación y, en consecuencia, la capacidad del progreso es baja.

Cuando los datos proceden de distintas máquinas, proveedores, lotes, turnos u

operadores, puede encontrarse información valiosa si se hace un histograma por

cada fuente (estratificar), con lo que se podrá determinar cuál es la máquina o el

proveedor más problemático

De acuerdo a los puntos anteriores, es recomendable que siempre que se realice un

estudio de la salida de un proceso se utilice el histograma y éste se interprete a

detalle. De esa manera será posible detectar situaciones problemáticas y posibles

soluciones para las mismas. Además será una forma concreta de que los datos y

mediciones sobre los procesos, que en ocasiones abundan, se conviertan en

información útil para la toma de decisiones y acciones. Será necesario tener la

precaución de que el histograma se haya obtenido de manera correcta, sobre todo el

número de clases y la cantidad de datos.


a. centrado con poca variabilidad

b. Descentrado con poca variabilidad

e. con sesgo a la derecha

g. achata

40

30

20

10

4 6 8 10 12 14 16

Figura 3.2 Interpretación de los histogramas



a. centrado con poca variabilidad c. Centrado con mucha variabilidad

b. Descentrado con poca variabilidad d. Descentrado con mucha

variabilidad

e. con sesgo a la derecha f. bimodal

h. acantilado derecho

40

30

20

10

4 6 8 10 12 14 16

Figura 3.2 Interpretación de los histogramas [2]


rado con mucha variabilidad

d. Descentrado con mucha



Limitaciones del Histograma

Aunque el histograma es una herramienta fundamental para analizar el desempeño

de un proceso, tiene algunas limitaciones

1. No considera el tiempo en el que obtuvieron los datos; por lo tanto con el

histograma es difícil detectar tendencias que ocurren a través del tiempo. Por lo

tal razón , no ayuda a estudiar la estabilidad del proceso en el tiempo, lo cual se

analiza por medio de cartas de control.

2. No es la técnica más apropiada para comparar de manera práctica varios procesos

o grupo de datos, en esos casos, el diagrama de caja o las gráficas de medias son

más apropiados.

3. La cantidad de clase o barras influye en la forma del histograma, por lo que una

buena práctica es que a partir de la cantidad de clase que de manera inicial

sugiere un software, se analice el histograma con un numero de clases, a fin de

verificar si se observa algo diferente.

3.3 Medidas de Forma

Como se mencionó en la sección anterior, un aspecto relevante en el análisis de

un conjunto de datos o una variable es estudiar la forma de su distribución. Entre ellos

tenemos el sesgo y la curtosis.

Sesgo o asimetría

Es una medida numérica de la asimetría en la distribución de un conjunto de datos.

Evalúa el grado de distorsión o inclinación que adopta la distribución de los datos

respecto a su valor promedio tomado como centro de gravedad.

73D,E � !." 9�#G��<� #$�9! − 1<9! − 2<7� 73D,E�3DHI!JIKLMIJE � D3D,E

N6!



Donde n es el tamaño de la muestra, S la desviación estándar y �� es la media

muestral.

El signo del sesgo indica el lado para el que la cola de la distribución es más larga, ya

sea hacia la izquierda (signo -) o hacia la derecha ( signo +) . Para los datos que

siguen una distribución normal, el valor del sesgo estandarizado debe caer dentro de (-

2, +2), por lo que si n es grande ( n > 100) y es el sesgo estandarizado esta fuera de

tal intervalo, será una evidencia de que la distribución de los datos tiene un sesgo

significativamente diferente al de la distribución normal o, en otras palabras, que la

distribución de los datos no es normal.

En los datos del ejemplo 3.1 del peso de conservas, el sesgo= 0,052 y el sesgo

estandarizado =0,237, indican una distribución bastante simétrica. Además, dado el

tamaño de la muestra y como el sesgo estandarizado esta dentro del intervalo [-2,

+2], entonces es una evidencia a favor de que los datos provienen de una distribución

normal.

Tabla 3.2 Tabla de simetría _valor del sesgo

Una medida para determinar que tan elevada o plana (achatada o pícuda) es la

distribución de ciertos datos, tomando como referencia la distribución normal, se

obtiene a través del estadístico Curtosis y del coeficiente de curtosis

estandarizado.



Curtosis

Estadístico que mide qué tan elevada o plana es la curva de la distribución de unos

datos respecto a la distribución normal. (Evalúa el grado de apuntamiento de la

distribución).

OPKHEDLD � !9! + 1<" 9�# − �;<Q #$�9! − 1<9! − 2<9! − 3<7Q − 39! − 1<9! − 2<9! − 3<

OPKHEDLD�3DHI!JIKLMIJE � OPKHEDLDN24!

Tabla 3.3 Tabla de apuntamiento _valor de la curtosis

Donde:

n = tamaño de la muestra

S = desviación estándar y

�� = la media muestral

Si el signo es de la curtosis es positivo indica que la curva de distribución de los datos

es más empinada o alta (picuda) en el centro y con colas relativamente largas; ambos

aspectos se refieren a la distribución normal. Pero si es signo es negativo, se tendrá

una curva más aplanada y con colas más cortas con respecto a la normalidad. Para

Ku =0,262 Ku> 0,263 Ku> 0,263

Mesocurtica Leptocúrtica Platicúrtica



los datos que siguen una distribución normal el valor de la curtosis estandarizada

debe estar dentro de (-2, +2), por lo que si n es grande (n>100) y el estadístico cae

fuera de este intervalo, será una evidencia de que la distribución de los datos no es

normal.

En los datos del ejemplo 3.1 del peso de las conservas, curtosis = 0,249 y curtosis

estandarizado= 0,568, lo cual indica una distribución muy similar a la distribución

normal. Así tanto para la curtosis como para el sesgo, hay evidencia a favor de que

los datos provienen de una distribución normal.

3.4 Medidas de Localización

Cuantiles (percentiles)

Los cuantiles son medidas de localización que dividen un conjunto de datos

ordenados en cierto número de grupos o partes que contienen la misma cantidad de

datos.

Por ejemplo si los datos ordenados se dividen en 3 partes, entonces a los

correspondientes cuantiles se les conoce como terciles, pero si se divide en 4 partes

se le denomina cuartiles, en cinco quintiles, si la división es en 10 partes tendremos

los deciles. De esta manera, los cuantiles de una distribución o de un conjunto de

datos son medidas de localización relativa que ayudan a complementar la descripción

de la distribución de una característica de calidad. De esta manera más formal, sea

x1, x2,x3.xn un conjunto de n mediciones ordenadas en forma creciente, se define su

percentil p como el valor x tal que p% de las mediciones es menor o igual a x, y el

(100 – p)% mayor o igual. [2]

A manera de ejemplos, a continuación se muestran varios percentiles para los datos

del peso de las conservas

1.0% = 201

5,0% = 203

10,0% = 205

25,0% = 206

50,0% = 208

75,0% = 210



90,0% = 212

95,0% = 213

99,0% = 215

Se observa que el primer decil o percentil 10 es igual a 205 eso quiere decir que 10%

de las mediciones de la tabla 3.1 son menores o iguales a 205. El decil cinco o

percentil 50 que corresponde a la mediana es igual a 208. Mientras que el percentil

95 es igual a 213, lo cual que 95% de las mediciones son menores o iguales que 213

Cuartiles

Los cuartiles son iguales a los percentiles 25, 50, 75 y sirven para separar por

magnitud la distribución de unos datos en cuatro grupos, donde cada uno contiene

25% de los datos.

Al percentil 25 se le conoce como primer cuartil o cuartil inferior Ci, mientras que la

mediana es el percentil 50 corresponde al cuartil medio Cm, y el percentil 75 es el

cuartil superior Cs o tercer cuartil.

El cálculo de estos estadísticos se realiza mediante cualquier software moderno

estadístico.

En el caso de los datos del ejemplo 3.1 del peso de las conservas Ci=206, Cm=208 y

Cs =210. De aquí que el 25% de los datos sea menor o igual a 206.

Diagrama de Cajas

El diagrama de caja es otra herramienta que sirve para describir el comportamiento de

los datos y es de suma utilidad para comparar procesos, tratamientos y, en general,

para hacer análisis por estratos (lotes, proveedores, turnos, etc). [2]

El diagrama de cajas es una grafica de la distribución de un conjunto de datos que

se basa en los cuartiles. Es de gran utilidad para hacer análisis comparativos. Este

diagrama divide los datos en 4 grupos que contienen cada uno 25% de las

mediciones. De esta forma es posible visualizar dónde termina de acumularse 25%

de los datos menores , y a partir de donde se localiza 25 % de los datos mayores en

entre estos dos cuartiles se ubica el 50% de los datos que están al centro . Pero

además de los cuartiles están involucrados los siguientes conceptos.



Rango Intercuartilítico Rc = Cs - Ci

Barrera interior izquierda = Ci – 1.5 Rc e interior derecha Cs + 1.5 Rc

Barrera exterior Izquierda = Ci – 3 Rc y exterior Cs + 3 Rc

En la figura 3.3 se muestra el diagrama de caja para los datos del peso de las

conservas.

Fig. 3.3 diagrama de cajas para pesos de conservas

Interpretación del diagrama de caja

- El largo del diagrama (que incluye el rectángulo más ambos brazo), ya que

esto indica una medida de la variación de los datos y resulta de gran utilidad

sobre todo para comparar la variación entre procesos, lotes o turnos de

trabajo o producción, en general entre más largo sea este diagrama indicará

una mayor variación de los datos correspondientes.

- La parte central del diagrama indica la tendencia central de los datos, por lo

que también ayudará a comparar dos o más procesos, maquinas, lotes o

turnos en cuanto a su tendencia central.



- Comprar de manera visual la longitud de los brazos, si uno es notoriamente

más largo que el otro, entonces la distribución de los datos quizás este

sesgada en dirección del brazo más largo. También es preciso observar la

ubicación de la línea mediana que parte la caja , ya que si está más cerca de

uno de los extremos , será señal de un probable sesgo en los datos.

- En caso de que el diagrama esté basado en una cantidad suficiente de datos

(ejemplo 10 como mínimo), es necesario ver si hay datos fuera de las barreras

interiores , marcados con un punto, ya que entre más alejado este un dato del

final del brazo, será señal de que probablemente sea un dato atípico. Si los

datos caen mas allá de las barreras exteriores, prácticamente es un hecho

que tales datos son atípicos.

3.5 Estudio Real de Capacidad.

Tomando el ejemplo de los pesos de la conserva se determinará la capacidad de

proceso. (Tabla 3.1)

Figura. 3.4 Histograma del peso de conservas

En la tabla se muestran los aspectos más relevantes para evaluar la capacidad del

proceso para cumplir con las especificaciones del peso de conservas.



Tabla. 3.4. Análisis de la capacidad del proceso

Estadístico Análisis y comentario Conclusiones

Medidas de

tendencia central

�� =207,94

Mediana= 208

Moda =207

- Las medidas de tendencia central

son relativamente cercanos

- 50% de las 125 mediciones fue

mayor o igual a 208 g.

- El peso más frecuente fue de 207g.

Proceso descentrado con

µ=207,94 g

Desviación

estándar

S=2,757

Límites reales

aproximados

��±3S

LR inf = 199,67

LR Sup= 216,22

- En forma aproximada se espera

que el peso de las conservas varíe

entre 207,94 ± 8,27 (199,67 a 216,2

g ). La amplitud de esto límites es

mayor a la variación tolerada (±5

g).

Ambos límites están fuera de las

especificaciones, por lo que se

están pesando conservas que no

cumplen con las especificaciones.

La variación real del

proceso es demasiado,

por lo que se está

fabricando producto fuera

de las especificaciones

Gráfica de la

capacidad

(histograma)

- La distribución se ajusta de forma

razonable a la normal y no se

observa ningún comportamiento

especial.

- La tendencia central se ubica

alrededor de 207 y el cuerpo del

histograma está descentrado con

respecto a las especificaciones..

Hay mucha variación en el

proceso

Conclusiones Finales: - Para reducir la variabilidad se debe encontrar que aspectos de las 6M están

distribuyendo más al exceso de variación. Esto se realiza estratificando ( separando) los datos por turno , por lote, por condiciones del proceso. Etc.; al hacer el análisis es preciso ver si hay diferencias importantes de un estrato a otro. De ser así, se deben tomar las medidas necesarias para hacer más homogéneos los estratos.

- Otra posibilidad es analizar a detalle los patrones de comportamiento del proceso apoyándose en la carta X-R, y ver si hay patrones en función de turnos, operadores, lotes, etc.



En la tabla se muestras los aspectos más relevantes para evaluar la capacidad del

proceso, de acuerdo con el análisis realizado, se concluye que el proceso está

descentrado y que la variación es grande, por lo que la capacidad real del proceso es

mala. Se deben seguir las recomendaciones dadas al final de la tabla para reducir la

variabilidad y de esa forma mejorar la calidad del peso.

Ejercicios

1. Si una característica de calidad debe estar entre 30 ± 2, y se sabe que su media es

µ =29,9; entonces ¿Se tiene buena calidad, se cumple con las especificaciones?

2. De qué manera afectan los afectan los datos raros atípicos a la media?. Explique

su respuesta.

3. En empresa se llevan los registros del número de fallas de equipos por mes; la

media es de 4 y la mediana de 6.

a. Si usted tiene que reportar la tendencia central de fallas ¿qué número

reportaría?¿por qué?

b. ¿La discrepancia entre la media y la mediana se debió a que durante varios

meses ocurrieron muchas fallas?.

2. Una gran compañía llevó a cabo un estudio para ubicar las variables que pudieran

determinar el sueldo de un egresado universitario dos años después de haberse

graduado como ingeniería industrial. Los datos recogidos se presentan en la siguiente

tabla.

Tabla 3.5. Características de los egresados universitarios

Edad Sexo E. Civil Inglés Sueldo

1 24 F C A 2750 2 25 M C M 2900 3 26 M S B 2900 4 27 F C B 2800 5 27 M D A 2100 6 27 F C M 2050 7 27 M S A 2500 8 25 F C B 2300 9 23 M S B 1800

10 24 M S B 2080 11 26 F C M 2200 12 29 F D M 2000 13 25 M C A 2150 14 31 F D A 2550 15 26 M S B 2020



16 24 F D M 2400 17 26 F C B 2700 18 28 F S M 2900 19 25 M C B 2050 20 29 M C M 2100

a) Utilice la técnica de estadística descriptiva más apropiada para analizar cada

variable individualmente. Interprete lo obtenido.

b) Realice diagramas de cajas que le ayuden a visualizar como influye cada una de las

variables en el sueldo que gana el individuo.

c) Como futuro Ingeniero industrial, ¿cuál sería la(s) características que usted debería

tomar en consideración para obtener el sueldo al que usted aspiraría al egresar?

4. Dos máquinas, cada una operada por una persona, son utilizadas para cortar tiras

de hule, cuya longitud ideal es de 200mm, con una tolerancia de ±3 mm. Al final del

turno un inspector toma una muestra e inspecciona que la longitud cumpla

especificaciones. A continuación se muestran las 110 mediciones para ambas

máquinas.

199,2 199,7 201,8 202,0 201,0 201,5 200,0 199,8

200,7 201,4 200,4 201,7 201,4 201,4 200,8 202,1

200,7 200,9 201,0 201,5 201,2 201,3 200,9 200,7

200,5 201,2 201,7 201,2 201,2 200,5 200,1 201,4

200,2 201,0 201,4 201,4 201,1 201,2 201,0 200,6

202,0 201,0 201,5 201,6 200,6 200,1 201,3 200,6

200,7 201,8 200,5 200,5 200,8 200,3 200,7 199,5

198,6 200,3 198,5 198,2 199,6 198,2 198,4 199,0

199,7 199,7 199,0 198,4 199,1 198,8 198,3 198,9

199,6 199,0 198,7 200,5 198,4 199,2 198,8 198,5

198,9 198,8 198,7 199,2 199,3 199,7 197,8 199,9

199,0 199,0 198,7 199,1 200,3 200,5 198,1 198,3

199,6 199,0 199,7 198,9 199,2 197,9 200,3 199,6

199,4 198,7 198,5 198,7 198,6 198,5

a. Obtenga las medidas de tendencia central y con base en ellas señale si la

tendencia central del proceso es adecuada. b. Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales, y a

partir de éstos decida si la variabilidad de los datos es aceptable. c. Con todos los datos, realice el análisis de capacidad del proceso y de sus

conclusiones.



CAPÍTULO IV

SPSS

Actualmente para analizar los datos obtenidos de control de calidad contamos con

innumerables software entre ellos tenemos el Minitab, Stat Graphic, SPSS, entre otros.

Statistical Package for the Social Sciences (SPSS) es un programa estadístico

informático muy usado en las empresas de investigación de mercado. En la actualidad,

la sigla se usa tanto para designar el programa estadístico como la empresa que lo

produce.

Respecto a sus versiones el SPSS hay ido mejorando siendo actualmente la más

usada la versión diecinueve, aunque la versión veinte ya está a disposición.

Este software permite utilizar algunas herramientas para el control estadística de

calidad. A continuación explicaremos el uso de este software usando la versión19.

Luego en cada capítulo se utilizará de acuerdo a la herramienta usada.

4.1 Ejecución del SPSS.

Para ejecutar el SPSS primero se debe ubicar el programa en el icono de Windows

Figura 4.1.Inicio de Ejecución SPSS



Hacer click con el ícono correspondiente al programa, luego aparecerá la siguiente

pantalla, dar clip en cancelar para poder acceder a la hoja de conjunto de datos.

Figura 4.2.Inicio del SPSS

En figura 4.3 se muestra la ventana y en la parte inferior se muestran la pestaña de

vista de datos y vista de variables.

Figura 4.3.Vista de datos y vista de variables



4.2. Ventana Para la Definición de Variable

Para ingresar a esta ventana damos clip en la pestaña de vista de variables de donde

se obtiene la siguiente ventana.

Figura 4.4.Vista de variables

En esta ventana (figura 4.4) se define las variables a analizar, encontramos el nombre

de la variable, tipo, anchura, decimales, etiqueta, valores, perdidos etc.

A manera de ejemplificar el nombre de la variable es el peso de conserva en item de

nombre no acepta espacio por lo que se puede abreviar y en etiqueta se puede

ingresar el nombre completo de la variable. Por lo que el nombre será pesocons.

Figura 4.5. Ingreso de variables



Para poder observar los tipos de variables damos clip en los puntos suspensivos y

tenemos la pantalla en la cual muestra los tipos de variables, aquí se debe escoger el

tipo de variable, puede numérica, si se inserta un valor numérico pero si se inserta una

letra o palabra se puede escoger de cadena además se puede escoger otro tipo de

variable.

Figura 4.6. Tipo de variables

En esta ventana (figura 4,7) se puede incluir el ancho los dígitos que tendrá variable

En nuestro ejemplo como las variables es peso la variable es numérica y tendrá tres

dígitos con cero decimales.

Figura 4.7. Tipo de variables: anchura



En etiqueta de valor se coloca el nombre completo de la variable (peso de conserva)

Figura 4.8. Etiqueta de valor

Para el uso de este ítem, esta es utilizada cuando se desea colocarle un valor a la

variable, para la variable peso no se tendrán valores pero por ejemplo para la variable

sexo que siendo una variable cualitativa se codificará como numérica colocando

valores de ( 1 Femenino y 2 Masculino), para realizarlo se da un clip en los tres puntos

Figura 4.9. Etiqueta

Al dar clip obtenemos la siguiente ventana en valor se coloca el número asignado a la

variable ejemplo 1 y en etiqueta el nombre femenino y luego dar clip en agregar.

Figura 4.10. Etiquetado de variables



Luego 2 en valor y en etiqueta masculino y luego dar clip en aceptar.

Figura 4.11. Etiquetado de valor

Además existen otros ítems como alineación, medida, en alineación se puede escoger

de acuerdo a la preferencia; en medida se puede escoger si esta de escala, ordinal o

nominal.

Figura 4.12. Medida

Así sucesivamente se pueden ingresar las variables a analizar. Una vez que se tiene

completo las variables se pueden ingresar los datos de estas variables



4.3 Ventana de Ingreso de Datos

Para ingresar a la siguiente ventana, dar clip en la pestaña de vista de datos

Figura 4.13. Vista de datos

Como se puede ver en la parte superior se observan las variables a analizar, es en

esta ventana donde se pueden introducir los datos.

En la variable peso se introduce los valores de los peso respectivo, y en la variable

sexo se colocara 1 o 2 dependiendo del sexo del trabajador. Ver Figura 4.12

Figura 4.14. Ingreso de datos.



Si se desea observar el nombre del sexo se debe de seguir el siguiente procedimiento

Ir a ítem de ver y dar clip luego colocar el Check( �) en etiqueta de valor.

Figura 4.15. Etiquetas de valor

Luego de esto se observan los datos de la siguiente manera

Figura 4.16. Vista de datos final



4. 4 Guardar Datos y Resultados

Para guardar el archivo de datos ir a Archivo y dar clip en guardar

Al dar en guardar se obtiene la siguiente ventana, se puede ubicar la carpeta donde

se desea guardar el archivo, luego en nombre de archivo colocar el nombre respectivo

del archivo en este caso el nombre será práctica luego dar clip en guardar.

Figura 4.18. Guardar archivos en carpetas



Al dar clip se guardará el archivo con el nombre respectivo luego se genera la

siguiente pantalla, se generara una ventana de resultados

Figura 4.19. Archivo guardado 1

Figura 4.20. Archivo guardado 2



La ventana de resultados puede guardarse de la misma manera que los datos.

Figura 4.21.Guardar resultados

En este archivo se guardaran los resultados obtenidos del análisis.

4.5. Abrir Archivo de Datos o Resultados

Para abrir archivos de datos o de resultados debemos ir a archivo y dar clip luego

escoger si se desea abrir archivos de datos o de resultados.

Figura 4.22 Abrir archivos

Si deseamos abrir un archivo de datos se da clip en datos y se obtiene la siguiente

ventana, se busca el archivo que se desea abrir y se da clip en abrir



Figura 4.23.Abrir archivos de datos

4.6. Análisis de Resultados

Una vez realizada la base de datos se debe realizar el análisis respectivo. Para el

análisis respectivo ir a Archivo y luego escoger lo que se desea analizar

Figura 4.24 Análisis de resultados



Ejemplo 4.1

A continuación se muestra un cuadro con variables y datos realizados en una

investigación. Se les solicita realizar el análisis respectivo con el SPSS. Además se le

dan las siguientes indicaciones.

Variables: id, sexo, estado civil, edad, peso, altura.

Sexo: (1= Masculino; 2=Femenino)

Lugar de procedencia: ( 1= Chiclayo; 2= Ferreñafe; 3= Lambayeque)

Estado Civil: (1=Soltero; 2 = Casado; 3 = viudo).

Tabla 4.1 Data de la investigación

nº de

casos

id

Sexo

lugar de

procedencia

estado

civil

edad

peso

altura

1 exped09 1 1 1 45 72 168

2 exped10 1 2 1 28 78 171

3 exped11 1 3 2 35 68 174

4 exped12 1 2 2 60 64 166

5 exped13 2 1 1 26 71 164

6 exped14 2 1 1 30 63 156

7 exped15 2 1 2 28 53 158

8 exped16 2 3 2 33 57 155

Solución

1. Generar la base de datos iniciando la vista de variables teniendo en cuenta las

indicaciones tanto en nombre de las variables así como la codificación respectiva

de sexo, lugar de procedencia, para esto se deben seguir los pasos indicados

anteriormente.



Iniciamos abriendo el programa luego en la ventana vista de variables, colocar las

variables que se analizarán. En la siguiente pantalla se muestra la vista de

variables.

Figura 4.25 Generación de vista de variables

2. Una vez definida las variables ingresamos a la ventana de ingreso de datos que se

muestran en la tabla anterior 4.1.

Figura 4.26. Ingreso de datos



Si deseamos ver el nombre de los valores debemor ir a ver y dar Check (�) en

etiqueta de valor.

Figura 4.27. Etiqueta de valor de la base de datos

Figura 4.28. Base de datos

Como se observa en la pantalla (figura 4.28) ahora se muestra el tipo de sexo, el

lugar de procedencia y el estado civil.



3. Grabar el archivo dándole un nombre adecuado según características o

investigación que se está realizando, buscando una carpeta donde crea Ud.

Conveniente guardarlos ya que el SPSS por defecto lo guarda en su archivo de

programa. Para este caso se llamará ejemplo1.

Figura 4.29. Guardar archivo

4. Estando lista la base de datos, se procede a encontrar los diferentes estadísticos

necesarios.

5 . Pasos a Seguir Para el Análisis.

Una vez ingresado los datos al SPSS, se procede a realizar los análisis

estadísticos. Se realizará un análisis Estadísticos descriptivo (frecuencias)

Figura 4.30. Análisis _Estadísticas_frecuencias



Al dar clip en frecuencia se obtienen la siguiente pantalla.

Figura 4.31. Análisis_Estadísticas_frecuencias

Si se pasan las variables a la ventana de dialogo y si se desea encontrar estadísticas y

gráficos, dar clip .

Figura 4.32. Frecuencias_ estadísticas

Como se puede observar en esta pantalla [(Figura 4.31) podemos elegir medidas de

tendencia central, de dispersión, distribución o valores percentiles.



Ahora si damos clip en gráficos obtenemos la siguiente pantalla en esta ventana se

puede escoger el tipo de gráfico que se desea obtener tales como gráfico de barras,

gráfico de sectores, histogramas.

Figura 4.33. Frecuencias: Gráficos

También se puede realizar el análisis estadístico descriptivo : opción explorar :

Dar clip en explorar

Figura 4.34. Análisis descriptivo opción explorar



En lista de dependiente tenemos el peso y en lista de factores sexo

Figura 4.35. Análisis descriptivo opción explorar: variables

Dar clip en estadístico o gráficos según lo que se desea, hacer click en Descriptivos y

luego dar clip en continuar. Ver figura 4.36

Figura 4.36. Análisis descriptivo opción explorar : Estadísticos



En gráficos se obtiene las siguiente pantalla, en este se puede escoger diagrama de

de tallo , histograma etc, luego de escoger lo deseado dar clip en continuar.

Figura 4.37. Análisis descriptivo opción explorar : gráficos

Finalmente dar clip en aceptar y esperar los resultados ver figura 4.38

Figura 4.38. Generación del análisis descriptivo



Al aceptar se obtienen la ventana de los resultados como se muestra en la siguiente

pantalla.

Figura 4.39. Generación de resultados del análisis descriptivo

Si de desea extraer los datos y copiar en word lo que puede realizar es el siguiente

paso: seleccionar, dar anticlip y en la pantalla obtenida clip en copiar.

Figura 4.40. Presentación de resultados del análisis descriptivo



Luego se puede abrir el Word, se pueden copian y pegar los resultados, finalmente

se muestran los resultados obtenidos y copiados en word

Figura 4.41. Pegado de los resultados del análisis descriptivo

Figura 4.42. Resultados del análisis descriptivo pegados en Word.



Ejemplo 2.

Tomando el ejercicio 3.1 del capítulo anterior, se obtendrán los resultados mediante el

uso del SPSS.

En un proceso de envasado de conservas de esparrago, una característica de calidad

del producto es el peso neto siendo este de 205 g con una tolerancia de ± 5 g. Así

para considerar que el proceso de envasado fue satisfactorio, debe estar entre la

especificación inferior, EI= 200 y la superior, ES= 210 g.

Tabla 4.2. Datos del peso de conservas de esparrago (g)

215 210 207 206 206 205 207 210 206 209 207 203

210 207 207 210 204 209 203 209 206 208 206 207

207 207 203 206 206 207 210 208 205 203 210 207

207 207 207 208 214 206 208 206 212 213 212 209

208 209 207 206 207 208 209 213 209 206 209 210

210 209 207 209 212 209 208 201 209 209 207 209

210 207 215 206 206 210 210 206 208 211 210 212

206 205 210 202 201 208 205 205 209 203 207 207

209 210 211 213 205 203 210 204 208 205 210 205

212 206 209 207 210 214 212 209 209 207 206 208

207 209 211 210 210

Solución

Primero se debe de identificar la variable a analizar en este caso sería el peso de la

conserva, luego escribirla en vista de variables.



Luego ir a vista de datos para ingresar los datos de peso de conserva al final

obtendremos la siguiente pantalla.

Figura 4.43. Base de datos.

Luego realizar el análisis estadístico descriptivas dar clip en frecuencias

Figura 4.44. Análisis estadístico descriptivo

Luego traspasar la variable como es en este caso el peso de la conserva (g), luego

dar clip en estadísticos, y finalmente escoger las medidas de tendencia central,

dispersión, distribución y valores de percentiles. Finalmente dar clip en continuar



Figura 4.45. Análisis estadístico descriptivo frecuencias: Estadísticos

Lo mismo se puede realizar con los gráficos, escoger en tipo de gráficos histograma ,

dar check en mostrar curva normal en el histograma.

Figura 4.46. Análisis estadístico descriptivo frecuencias: Gráficos

Finalmente se obtendrán los siguientes resultados



Frecuencias : Tabla N 4.4: Resultados obtenidos con el SPSS

Estadísticos

peso de la conserva (g)

N Válidos 125

Perdidos 3

Media 207,94

Error típ. de la media ,247

Mediana 208,00

Moda 207

Desv. típ. 2,757

Varianza 7,602

Asimetría ,052

Error típ. de asimetría ,217

Curtosis ,249

Error típ. de curtosis ,430

Rango 14

Mínimo 201

Máximo 215

Suma 25993

Percentiles 10 205,00

20 206,00

25 206,00

30 207,00

40 207,00

50 208,00

60 209,00

70 209,00

75 210,00

80 210,00

90 212,00



Histograma

Figura 4.47. Histograma de peso de conservas (g)

También se puede obtener el gráfico de cajas siguiendo la siguiente pantalla

Figura 4.48. Generación del diagrama de cajas



Figura 4.49. Diagrama de cajas:

Luego dar clip en definir pasar la variable al recuadro de “Cajas de representan” y dar

clip en aceptar .Observar la siguiente pantallas y esperar el resultados

Figura 4.50. Diagrama de cajas: definición del diagrama



Figura 4.51. Diagrama de cajas: resultados

El gráfico obtenido es

Figura 4.52. Diagrama de cajas de los pesos de las conservas (g)



Si deseamos girar el gráfico se pueden seguir los siguientes pasos

Paso 1. dar doble clip sobre el gráfico al realizar esta acción obtendremos la siguiente

pantalla, en esta pantalla dar clip en trasponer sistema de coordenadas.

Figura 4.53. Edición del Diagrama de cajas: Paso 1

Al trasponer el sistema de coordenadas tendremos el siguiente resultado

Figura 4.54. Edición del Diagrama de cajas: trasponer



Paso 2: Si se desea modificar el gráfico ya sean en tamaño de letra, color, etc , se

realiza la misma acción dar doble clip e ir a la pantalla siguiente y en ella realizar los

cambios requeridos ejm en este caso se cambiara de color y tamaño de letra.

En esta misma pantalla da doble clip y obtener la siguiente ventana en esta tendremos

las propiedades del gráfico tales como Tamaño del grafico, relleno y borde, categorías

opción de las barras y variables , aquí cambiaremos el color de grafico.

Figura 4.55. Edición del Diagrama de cajas: trasponer

Para este ejemplo se cambio el color, escogiendo el color blanco para realizar esto se

debió escoger el color y luego dar clip en aplicar.

Figura 4.56. Edición del Diagrama de cajas: cambio de color



Finalmente se no se desea realizar más cambios dar clip en cerrar.

Figura 4.57. Edición del diagrama de cajas: cambio de color.

Ahora para cambiar el tipo, tamaño de los números se da clip en estos.

Figura 4.58. Edición del diagrama de cajas: tamaño de letra, números



Al Dar clip se obtiene la siguiente pantalla

Figura 4.59. Edición del diagrama de cajas: estilos de texto

En esta ventana se puede realizar los cambios que se requiera ya sea estilo de texto,

escala, etc. Para ingresar a escala solo debemos darle clip a la pestaña, en ella se

puede modificar el máximo, mínimo, incremento etc. Luego de escoger dar clip en

aplicar y finalmente en cerrar. En esta ventana se modifico el incremento de 3 a 1.

Figura 4.60. Edición del diagrama de cajas: escala



Figura 4.61. Diagrama de cajas editado

De la misma manera se pueden realizar las modificaciones necesarias a los gráficos.

Por ejemplo en el histograma anteriormente obtenido del ejemplo 3.1 se puede colocar

los límites dado en las especificaciones.

Figura 4.62. Histograma a editar

Los pasos son los mismos anteriormente descritos.



a. Dar doble clip sobre el grafico se obtiene la siguiente ventana

Figura 4.63. Histograma : editor de gráficos

b. Dar clip en Añadir una línea de referencia en el eje x

Figura 4.64. Histograma: línea de referencia en el eje x

c. Al dar clip se obtiene la siguiente ventana luego en esta ventana de propiedades en

recuadro “Posición” colocar el valor en este caso el primer valor es 205 , adicional se

puede ver el detalle de la línea es decir cambiar color, tamaño. Etc.



Figura 4.65. Histograma: línea de referencia en el eje x, posición

Luego dar clip en aplicar y luego en cerrar para incluir los siguientes valores de 200 y

210 proceder de la misma forma descrita anteriormente. Finalmente se obtiene el

siguiente gráfico

Figura 4.66. Histograma final

Como se podrá observa se ha obtenido el histograma mediante el SPSS, este

Software será de gran ayuda para aplicarlos en las demás herramientas básicas de

calidad.


HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS DE CALIDAD

En la década de los 50 se comenzaron a aplicar en Japón las herramientas

estadísticas de Control de Calidad, desarrolladas ante

Deming. Los progresos, en materia de mejora continua de la calidad, se debieron en

gran medida, al uso de estas técnicas.

Fue el profesor Kaoru Ishikawa quien extendió su utilización en las industrias

manufactureras de su país, e

para el control de la calidad. Estas herramientas pueden ser descritas genéricamente

como "métodos para la mejora continua y la solución de problemas".

Las herramientas estadísticas c

comprender los procesos de trabajo de las organizaciones para promover su

mejoramiento. Son de creación occidental, excepto el diagrama causa

ideado por Ishikawa.

El éxito de estas técnicas radica en la capacidad

aplicadas en un amplio conjunto de problemas, desde el control de calidad hasta las

áreas de producción, marketing y administración.

¿Cuáles son las Herramientas Estadísticas Básicas de Control de

Calidad?

Las herramientas estadísticas básicas de control de calidad son:

1. Hojas de control (hoja de recojo de datos)2. Estratificación 3. Diagrama de Pareto 4. Diagrama causa-efecto5. Diagrama de dispersión6. Histograma 7. Gráficas de control



CAPITULO V

HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS DE CALIDAD


estadísticas de Control de Calidad, desarrolladas anteriormente por Shewhart y




manufactureras de su país, en los años 60, acuñando la expresión de 7 herramientas



Las herramientas estadísticas consisten en técnicas gráficas que ayudan a


mejoramiento. Son de creación occidental, excepto el diagrama causa- efecto que fue

El éxito de estas técnicas radica en la capacidad que han demostrado para ser



Cuáles son las Herramientas Estadísticas Básicas de Control de

tadísticas básicas de control de calidad son:

Hojas de control (hoja de recojo de datos)

efecto Diagrama de dispersión



riormente por Shewhart y



n los años 60, acuñando la expresión de 7 herramientas


icas gráficas que ayudan a


efecto que fue

que han demostrado para ser



En la década de los 50 se c










áreas de producción, marketing y adminis

Las organizaciones de servicios también son susceptibles de aplicarlas, aunque su

uso comenzó en el ámbito industrial.”

¿Cuáles son las Herramientas Estadísticas Básicas de Control de

Calidad?

Las herramientas estadísticas básicas de control d

1. Hojas de control (hoja de recojo de datos)

2. Estratificación

3. Diagrama de Pareto

4. Diagrama causa-efecto

5. Diagrama de dispersión

6. Histograma

7. Gráficas de control

A continuación empezaremos a describir la primera herramienta es






gran medida, al uso de estas técnicas. [3]

l profesor Kaoru Ishikawa quien extendió su utilización en las industrias



para la mejora continua y la solución de problemas".





uso comenzó en el ámbito industrial.”

Cuáles son las Herramientas Estadísticas Básicas de Control de

Las herramientas estadísticas básicas de control de calidad son:

Hojas de control (hoja de recojo de datos)

efecto

Diagrama de dispersión

A continuación empezaremos a describir la primera herramienta estadística:


omenzaron a aplicar en Japón las herramientas



l profesor Kaoru Ishikawa quien extendió su utilización en las industrias








5.1HOJA DE CONTROL

La información es una guía para nuestras acciones, a partir de la información

conocemos hechos y tomamos decisiones en una empresa. Antes de recoger la

información se debe conocer que se a realizar con ella. [3]

En el control de calidad los objetivos de la recolección de información son:

- El control y el monitoreo del proceso de producción.

- El análisis de que no se ajusta a las normas, especificaciones.

El recojo de la información es esencial por lo cual se debe tener en claro para que se

desea. Los datos se deben recoger de manera clara, precisa y fácil de usar. Una hoja

de registro es un formato preimpreso en el cual aparecen las variables que se van a a

registrar, de tal manera que los datos puedan recogerse fácil y concisamente.

Una Hoja de registro ó control también llamada hoja de verificación u hoja de recogida

de datos, es un formato de tabla o diagrama, destinado a registrar y compilar datos

mediante un método sencillo y sistemático, como la anotación de marcas asociadas a

la ocurrencia de determinados sucesos. Esta técnica de recogida de datos se prepara

de manera que su uso sea fácil e interfiera lo menos posible con la actividad de quien

realiza el registro.

Ventajas

Supone un método que proporciona datos fáciles de comprender y que son obtenidos

mediante un proceso simple y eficiente que puede ser aplicado a cualquier área de la

organización. Las Hojas de control reflejan rápidamente las tendencias y patrones

subyacentes en los datos.

Se utilizan tanto en el estudio de los síntomas de un problema, como en la

investigación de las causas o en la recogida y análisis de datos para probar alguna

hipótesis. También se usa como punto de partida para la elaboración de otras

herramientas, como por ejemplo los gráficos de Control.

La recolección de los datos debe efectuarse de manera cuidadosa y exacta y para ello

se deben utilizar plantillas especialmente diseñadas para cada caso.

Los objetivos que se pretenden con el uso de la hoja de recojo de datos son:

- Facilitar las tareas de recogida de datos de la información.



- Evitar en lo posible errores o malos entendidos

- Permitir el análisis rápido de los datos

Los formatos para la recogida de datos pueden tener distintas finalidades:

- Controlar una variable de un proceso

- Llevar un control de productos defectuosos

- Estudiar la localización de defectos en un producto

- Estudiar las causas que originan los defectos o

- Realizar la revisión global de un producto

Se debe de tener en cuenta ciertos para la elaboración de las hojas de control:

Esta debe tener un titulo el cual exprese el contenido de la información de cogida

Debe estar bien claro la variable (s) a medir, debe incluir la fecha quien llena la hoja y

firma del responsable. Se debe tener en cuenta que se debe optimizar el recojo de la

información, no es factible que se diseño una hoja para cada variable. Al momento

del diseño de la hoja debe conocer con qué objetivo se desea recoger la información,

esto permitirá construir la hoja incluyendo las variables necesarias

A continuación se detallan ejemplos de hoja de recojo de datos.

Control de Calidad de Materia prima

Empresa S.A Materia Prima:..........

Fecha Hora Cantidad de ingreso

(kg)

% punta florido

% Tacón

% diámetro >10 mm

% diámetro <10 mm

Responsable Jefe de Calidad

Figura 5.1 . Hoja de Control de Calidad de Materia Prima



5.2 HISTOGRAMA

Un histograma es un gráfico de barras verticales que representa la distribución de un

conjunto de datos. Una representación gráfica de datos numéricos que permite ver tres

propiedades de los mismos:

- Forma en la que se distribuyen las observaciones

- Tendencia central

- Dispersión

Ventajas

Su construcción ayudará a comprender la tendencia central, dispersión y frecuencias

relativas de los distintos valores.

Muestra grandes cantidades de datos dando una visión clara y sencilla de su

distribución.

Utilidades

- El Histograma es especialmente útil cuando se tiene un amplio número de

datos que es preciso organizar, para analizar más detalladamente o tomar

decisiones sobre la base de ellos.

- Es un medio eficaz para transmitir a otras personas información sobre un

proceso de forma precisa.

- Permite la comparación de los resultados de un proceso con las

especificaciones previamente establecidas para el mismo. En este caso,

mediante el Histograma puede determinarse en qué grado el proceso está

produciendo buenos resultados y hasta qué punto existen desviaciones

respecto a los límites fijados en las especificaciones.

- Proporciona, mediante el estudio de la distribución de los datos, un excelente

punto de partida para generar hipótesis acerca de un funcionamiento

insatisfactorio.

ELABORACIÓN DE HISTOGRAMA

Para elaborar un histograma se siguen los siguientes pasos



1. Calcule el rango (R):

R se obtiene a partir de los valores máximos y mínimos observados.

2. Determinar el número de intervalos de clase K, mediante la fórmula de

Sturges:

K= 1 + 3.322�log(n)

3. Obtener la amplitud de los intervalos de clase, C, mediante:

4. Construir los intervalos

5. Construcción de la tabla de frecuencia

6. Elaboración del gráfico

Ejemplo 5.1. En la tabla .5.1 se recogen las medidas del diámetro de 100 tubos

fabricados consecutivamente cuyas especificaciones son 32.21 ± 0.05 mm. Construir

el histograma. [4]

Tabla 5.1 diámetro de 100 tubos

32,2 32,23 32,2 32,22 32,18 32,23 32,17 32,19 32,21 32,19

32,23 32,21 32,21 32,24 32,21 32,23 32,2 32,21 32,19 32,2

32,22 32,25 32,2 32,24 32,19 32,18 32,21 32,17 32,22 32,23

32,18 32,21 32,22 32,24 32,23 32,2 32,19 32,18 32,17 32,2

32,22 32,22 32,22 32,2 32,17 32,2 32,22 32,23 32,18 32,25

32,21 32,22 32,2 32,25 32,17 32,21 32,22 32,2 32,19 32,19

32,18 32,25 32,22 32,21 32,24 32,22 32,19 32,25 32,23 32,2

32,25 32,18 32,23 32,21 32,21 32,24 32,22 32,16 32,22 32,21

32,19 32,19 32,2 32,19 32,2 32,22 32,23 32,24 32,19 32,2

32,21 32,2 32,21 32,23 32,21 32,19 32,26 32,23 32,21 32,21

nK =

k

RC =



Solución

1 Calculo del rango (R):

Valor max = 32,26

Valor min = 32,16

R = 32,26 – 32,16= 0,1

2. Determinar el número de intervalos de clase K, mediante la fórmula de Sturges:

K= 1 + 3,322 * log(n)

3. Obtener la amplitud de los intervalos de clase, C, mediante:

4. Construir los intervalos

32.16+ 0.013= 32.173

...

..

= 32.264

Al realizar los intervalos obtenemos el valor final de 32,264. Si observamos, este valor

es mayor al valor máximo 32.26 por lo cual hay que realizar una recodificación.

Calculo del exceso

Exceso = 32.264 -32.26 = 0,004

Este exceso lo dividimos entre 2 teniendo el valor de 0,002

El 0,002 se resta al valor mínimo y se suma el valor máximo

valor mínimo

Valor máximo

8644.7)100log(.322.31K ≅=+=

013.00125.08

1.0

k

RC ≈===

158,32002,016,32Xmin =−=′

262,32002,026,32Xmáx =+=′



Los nuevos rangos serán : V max = 32,158 V min = 32,262

Con estos nuevos valores se vuelven a calcular los nuevos intervalos

Vmax = 32,158 V min = 32,262

Amplitud de intervalo de clase C= 0.013

Los nuevos intervalos serán

Intervalos

32,158 + 0.013 = 32,171

32,171 + 0,013 = 32,184

32,184 + 0,013 =

32,197 + 0,013 =

32,210 + 0,013 =

32,223 + 0,013 =

32,236 + 0,013 =

32,249 + 0,013 = 32.262

Luego se determina la marca de clase, esta se obtiene promediando los límites de

cada intervalo. Una fórmula para calcular la marca de clase de un intervalo es:

Tabla 5.2: Tabla de frecuencia

Intervalo de clase Marca de clase

Conteo Frecuencia ni

32,158 - 32,171 32,1645

32,171 - 32,184 32,1775

32,184 - 32,197 32,1905

32.197 - 32.210 32,2035

32.210 - 32,223 32,2165

32.223 - 32,236 32,2295

32.236 - 32,249 32,2425

32.249 - 32,262 32,2555

A continuación debemos realizar la clasificación y conteo de los datos, es decir,

colocar cada uno de ellos dentro de su clase, todos representados por un mismo

signo:

2

YYY i1i

i

′+′= −



Tabla 5.2: Tabla de frecuencia

Intervalo Promedio Frecuencia Absoluta

(Conteo)

Frecuencia Relativa

Frecuencia acumulada

Frecuencia Relativa

acumulada

32.158 - 32.171 32.1645 6

32.171 - 32.184 32.1775 7

32.184 - 32.197 32.1905 13

32.197 - 32.210 32.2035 34

32.210 - 32.223 32.2165 15

32.223 - 32.236 32.2295 12

32.236 - 32.249 32.2425 6

32.249 - 32.262 32.2555 7

Total 100

5. Construcción de la tabla de frecuencia. Luego se determinar las frecuencias:

Intervalo Promedio Frecuencia Absoluta (Conteo)

Frecuencia Relativa

Frecuencia Acumulada

Frecuencia Relativa cumulada

32.158 - 32.171 32.1045 6 0.06 6 0.06

32.171 - 32.184 32.1775 7 0.07 13 0.13

32.184 - 32.197 32.1905 13 0.13 26 0.26

32.197 - 32.210 32.2035 34 0.34 60 0.60

32.210 - 32.223 32.2165 15 0.15 75 0.75

32.223 - 32.236 32.2295 12 0.12 87 0.87

32.236 - 32.249 32.2425 6 0.06 93 0.93

32.249 - 32.262 2.2555 7 0.07 100 1.00

Total 100 1.00


Elaboración del gráfico. Finalmente se realiza la grafica del histograma

Figura 5.2 Histograma de diámetro en mm

Ejercicio Solución con SPSS

1. Abrir un nuevo archivo en el SPSS y realizar la base

variable será diámetro de los tubos (mm).

2. Una vez realizada la vista de variables, introducir los datos en la ventana vista de

datos.




Figura 5.2 Histograma de diámetro en mm

Solución con SPSS

1. Abrir un nuevo archivo en el SPSS y realizar la base de datos, es este caso la

variable será diámetro de los tubos (mm).




de datos, es este caso la




3. Una vez realizada la base de datos se procede a realizar el gráfico, para esto se

debe dar clip en el item gráfico y buscar histograma.

4. Escoger la variable (diámetro del tubo) y dar clip en aceptar para general el gráfico



Finalmente se generará el siguiente gráfico

Como se puede observar en el gráfico generado, se tienen más intervalos de clase

que los obtenidos en el cálculo manual, pero es posible en el SPSS modificar estos

intervalos , por lo cual se deben seguir los siguientes pasos.

a. Dar doble clip en el gráfico y en la nueva ventana generada Editor de gráficos dar

clip en las barras del histograma luego se generará una ventana (propiedades), en

clase de punto modificar dar check (�) y colocar el número de intervalos de clase.



b. En eje x dar clip en personalizado y colocar el número de intervalos, siendo este

igual a 8 y el ancho del intervalo igual a 0,013

Al colocar los valores tanto en número como ancho de intervalo, se da clip en aplicar y

se obtiene la siguiente pantalla.



c. De igual manera se puede modificar la amplitud del intervalo, mínimo, máximo en el

eje x, para poder cambiar se debe clip al gráfico luego en la ventana de Editor de

gráficos dar clip en los números del eje x, generando una ventana de propiedades,

luego modificamos la escala, en este caso se modificará el incremento de 0,02 a

0,013 de igual manera el mínimo igual a 32,158 y máximo igual a 32,262.

d. Finalmente se generará el siguiente histograma con las modificaciones realizadas.



Ejercicios

1. Dos máquinas, cada una operada por una persona, son utilizadas para cortar tiras

de hule, cuya longitud ideal es de 200mm, con una tolerancia de +/-3 mm. Al final

del turno un inspector toma una muestra e inspecciona que la longitud cumpla

especificaciones. A continuación se muestran las 110 mediciones es ara ambas

máquinas.

199,2 199,7 201,8 202,0 201,0 201,5 200,0 199,8

200,7 201,4 200,4 201,7 201,4 201,4 200,8 202,1

200,7 200,9 201,0 201,5 201,2 201,3 200,9 200,7

200,5 201,2 201,7 201,2 201,2 200,5 200,1 201,4

200,2 201,0 201,4 201,4 201,1 201,2 201,0 200,6

202,0 201,0 201,5 201,6 200,6 200,1 201,3 200,6

200,7 201,8 200,5 200,5 200,8 200,3 200,7 199,5

198,6 200,3 198,5 198,2 199,6 198,2 198,4 199,0

199,7 199,7 199,0 198,4 199,1 198,8 198,3 198,9

199,6 199,0 198,7 200,5 198,4 199,2 198,8 198,5

198,9 198,8 198,7 199,2 199,3 199,7 197,8 199,9

199,0 199,0 198,7 199,1 200,3 200,5 198,1 198,3

199,6 199,0 199,7 198,9 199,2 197,9 200,3 199,6

199,4 198,7 198,5 198,7 198,6 198,5

a) Obtenga las medidas de tendencia central y con base en ellas señale si la

tendencia central del proceso es adecuada.

b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales, y a

partir de estos decida si la variabilidad de los datos es aceptable.

c) Realizar el gráfico del histograma e interprételo



2. Una empresa de embutidos ha detectado que tiene problemas en el envasado de

su producto. La especificación del peso del embutido es de 220 ± 10 g.

Para investigar este problema se toma una muestra, aleatoriamente durante 20 días,

del peso en gramos del embutido tomado de dos maquinas de producción, que su

vez son atendidas indistintamente por dos operarios ( A y B).

- Determine el histograma de los datos globales

- Determine el histograma de las maquinas 1 y 2

- Determine el histograma de los operarios A y B

¿Cuál es el diagnóstico de la situación y cuál es la propuesta de medidas a tomar a la

vista de estos datos?

Tabla 5.3 Peso de embutidos (g)

Día Operador

1 A 220.3 215.5 219.1 219.2 220.3 208 214.4 219.2

2 B 215.8 222 218.9 213.6 216.9 213.4 217.7 221.6

3 B 220.4 218.7 218.6 219.6 222.9 219.7 209.4 221.6

4 B 221.5 226.8 219.5 222.5 223.1 215.3 220.4 215.6

5 A 215.7 225.3 223 218 216 210.6 221.4 210.9

6 A 222.7 215.1 219.6 217.3 212.1 213 218 216.5

7 A 216 218.8 217.3 213 216.9 216 213.5 219.2

8 B 219.4 218.3 216.7 224.1 216.2 218.4 216.6 214.9

9 B 219.8 222.6 219.1 217.7 216.2 212.3 216.9 214.9

10 A 220.2 219.5 222.4 219.9 222.9 214.3 219.1 216.7

11 B 218 223.9 219.6 221.9 214.9 212.6 219.4 212.3

12 B 219.3 219.6 218.8 219.9 219 216.7 216.4 213.5

13 B 220 214.1 224.3 217.4 218 219.5 219.5 222.3

14 A 223.9 220.6 219.5 219.6 211.8 218.2 218.3 217.4

15 A 218.1 218.8 218.4 217.9 214.6 215.7 218 216.4

16 B 216.9 221.6 220.6 222.6 215.6 220.4 217.3 216.2

17 B 217.9 225.7 222.2 216.1 212.5 214.6 209.7 211.3

18 A 224.2 216.2 219.9 220.4 215.8 219.9 216.5 211.9

19 A 214.1 219.7 222.4 224.5 213.7 209.7 216.9 213.1

20 A 221.1 225 222.7 222.2 212.5 217.5 217.4 215.7

Maquina 1 Maquina 2



5.3 PARETO

Los problemas de calidad se presentan como pérdidas (productos defectuosos y su

costo). Es muy importante aclarar el patrón de la distribución de la perdida. La mayoría

de las pérdidas se deberán a unos pocos tipos de defectos, y estos defectos pueden

atribuirse a un número muy pequeño de causas. Si se identifican las causas de estos

pocos defectos vitales, podremos eliminar casi todas las perdidas, concentrándonos

en esas causas particulares y dejando de lado por el momento otros muchos defectos

triviales.

El Diagrama de Pareto es un gráfico de barras similar al histograma que se conjuga

con una ojiva o curva de tipo creciente y que representa en forma decreciente el grado

de importancia o peso que tienen los diferentes factores que afectan a un proceso,

operación o resultado. El nombre de Pareto fue dado por el Dr. Joseph Juran en honor

del economista italiano Wilfredo Pareto (Paris 1848 – Turín 1923). Pareto realiza un

estudio sobre la distribución de la riqueza, en el cual descubrió que la minoría de la

población poseía la mayor parte de la riqueza y la minoría de la población poseía la

menor parte de la riqueza.

Juran aplicó este concepto de calidad, obteniéndose lo que hoy se conoce como la

regla 80/20. Según este concepto, si se tiene un problema con muchas causas,

podemos decir que el 20% de las causas resuelven el 80% del problema y el 80% de

las causas solo resuelven el 20% del problema.

La gráfica de Pareto es utilizada para separar gráficamente los aspectos significativos

de un problema desde los triviales, de manera que un equipo sepa dónde dirigir sus

esfuerzos para mejorar.

5.3.1 Principio del Diagrama de Pareto

El Diagrama de Pareto fue creado sobre la base del principio de Pareto, según el

cual, el 80% de los problemas son provenientes de apenas el 20% de las causas.

5.3.3 Para qué se usa el Diagrama de Pareto?

El diagrama de Pareto se usa para:

- Identificar un producto o servicio para el análisis para mejorar la calidad.



- Identificar oportunidades para mejorar.

- Analizar las diferentes agrupaciones de datos (ej: por producto, por segmento del

mercado, área geográfica, etc.)

- Buscar las causas principales de los problemas y establecer la prioridad de las

soluciones.

- Evaluar los resultados de los cambios efectuados a un proceso (antes y después).

- Cuando el rango de cada categoría es importante.

- Identificar y dar prioridad a los problemas más significativos de un proceso.

- Evaluar el comportamiento de un problema, comparando los datos entre el "antes" y

el "después“.

- Analizar los problemas de calidad pero también de los problemas de la más

diversas naturaleza.

- Detectar las causas de defectos y los reclamos de clientes corresponden al área de

la calidad, pero las causas de las paradas de las maquinas, las causas del ausencia

laboral, la desigual distribución de los costos, la desigual distribución del consumo

de energía, la desigual distribución de los trabajos de mantenimiento, las causas de

accidentes, etc. son también problemas que podrán ser abordados desde la

perspectiva del Principio de Pareto.

5.3.4 Cómo se Construye el Diagrama de Pareto

El diagrama de Pareto, trata de poner de manifiesto gráficamente la importancia

real de cada causa en el problema que, siguiendo el principio de Pareto, en muchas

ocasiones, unas pocas causas generan la mayor parte del problema. De esta forma,

centrando esfuerzos en unas pocas causas resolveremos la mayor parte del problema.

Para elaborar un diagrama de Pareto debemos seguir los siguientes pasos:

1. Definir el tipo de problemas que se va a investigar.

Por ejemplo, tipos de defectos, causas que producen interrupciones en el proceso

de fabricación, causas de ausencia laboral, quejas de clientes, mantenimiento,

control de tiempos, costos, etc.

2. Definir el método y el período de recolección de los datos.

Por ejemplo, se tomará una muestra al azar de las fichas de bajas laborales durante el

año anterior al del estudio, o se toman 100 piezas consecutivas y se analizan los

diferentes tipos de defectos de cada una de ellas.



3. Construir una tabla para conteo de datos.

Por ejemplo la tabla 5.4. Contiene las razones del despegue retrasado en el

aeropuerto defectos encontrados en la pintura de unas piezas metálicas fabricadas a

lo largo de una semana.

Tabla 5.4 Frecuencias de los defectos encontrados en la pintura

4. Elaborar una tabla para el Diagrama de Pareto.

Calculando las frecuencias, las frecuencias acumuladas, los porcentajes y los

porcentajes acumulados a partir de los datos de la tabla de conteo. Todo ello

ordenando las clases de mayor a menor frecuencia. Así se ha procedido en la tabla

5.5.

Tabla 5.5 Tabla para el Diagrama de Pareto


5. Construir el Diagrama de Pareto.

Como se observa en la figura consiste de un histogramas de barras (frecuencias y

porcentajes) y una curva acumulada (frecuencias y porcentajes).

Para la construcción del Diagrama de Pareto realice los siguientes pasos

- Trace dos ejes verticales de la misma longitud, en un eje horizontal.

- En el eje vertical izquierdo, haga una escala de 0 hasta el número

correspondiente al total de la Lista de verificación.

- En el eje vertical derecho haga una escala de 0 a 100%. El 100%

corresponderá al total de la Lista de Verificación.

- Divida el eje horizontal en intervalos iguales, de acuerdo con la cantidad de

categorías de la Lista de Verificación.

- Construya y denomine las barras, colo

decreciente de frecuencia, de izquierda a derecha.



5. Construir el Diagrama de Pareto.


porcentajes) y una curva acumulada (frecuencias y porcentajes).

5.3 Diagrama de Pareto

Diagrama de Pareto realice los siguientes pasos

Trace dos ejes verticales de la misma longitud, en un eje horizontal.

En el eje vertical izquierdo, haga una escala de 0 hasta el número

correspondiente al total de la Lista de verificación.

cal derecho haga una escala de 0 a 100%. El 100%

corresponderá al total de la Lista de Verificación.

Divida el eje horizontal en intervalos iguales, de acuerdo con la cantidad de

categorías de la Lista de Verificación.

Construya y denomine las barras, colocando las categorías en orden

decreciente de frecuencia, de izquierda a derecha.



Diagrama de Pareto realice los siguientes pasos

En el eje vertical izquierdo, haga una escala de 0 hasta el número

cal derecho haga una escala de 0 a 100%. El 100%

Divida el eje horizontal en intervalos iguales, de acuerdo con la cantidad de

cando las categorías en orden


- Trace una línea punteada que conecte el origen con la esquina superior

derecha de la primera barra, así:

- Sume, a la altura de la primera barra, la altura de la segunda. Marque

punto el valor obtenido en la prolongación del lado derecho de la segunda

barra

- Sume a esta nueva altura la altura de la tercera barra. Marque con un punto el

valor obtenido en la prolongación del lado derecho de la tercera barra.

- Haga eso sucesivamente, hasta la última barra.

- Enlace todos los puntos marcados con una línea, dando continuidad a la línea

punteada iniciada en el origen, para formar la curva de Pareto.

- El último punto representa el 100 % de los eventos.

- Complete el gráfico con informa

responsable, etc.

5.3.5 Ejemplos de Tales Minorías Vitales Serían:

- La minoría de devoluciones que representa la mayoría de quejas de la clientela.

- La minoría de compradores que representen la

- La minoría de productos, procesos, o características de la calidad causantes del

grueso de desperdicio o de los costos de reproceso.

- La minoría de vendedores que está vinculada a la mayoría de partes impugnadas.



Trace una línea punteada que conecte el origen con la esquina superior

derecha de la primera barra, así:

Sume, a la altura de la primera barra, la altura de la segunda. Marque


Sume a esta nueva altura la altura de la tercera barra. Marque con un punto el


amente, hasta la última barra.

Enlace todos los puntos marcados con una línea, dando continuidad a la línea

punteada iniciada en el origen, para formar la curva de Pareto.

El último punto representa el 100 % de los eventos.

Complete el gráfico con informaciones tales como: nombre del gráfico, período,

Tales Minorías Vitales Serían:

La minoría de devoluciones que representa la mayoría de quejas de la clientela.

La minoría de compradores que representen la mayoría de las ventas.

La minoría de productos, procesos, o características de la calidad causantes del

grueso de desperdicio o de los costos de reproceso.

La minoría de vendedores que está vinculada a la mayoría de partes impugnadas.


Trace una línea punteada que conecte el origen con la esquina superior

Sume, a la altura de la primera barra, la altura de la segunda. Marque con un


Sume a esta nueva altura la altura de la tercera barra. Marque con un punto el


Enlace todos los puntos marcados con una línea, dando continuidad a la línea

ciones tales como: nombre del gráfico, período,

La minoría de devoluciones que representa la mayoría de quejas de la clientela.

La minoría de productos, procesos, o características de la calidad causantes del

La minoría de vendedores que está vinculada a la mayoría de partes impugnadas.



- La minoría de productos ó servicios que representan la mayoría de las ganancias

obtenidas.

- La minoría de elementos que representan al grueso del costo de un inventario.

Solución Con SPSS

En la tabla 5.4. se muestran los defectos encontrados en la pintura de unas piezas

metálicas fabricadas a lo largo de una semana.

Tabla 5.4 Frecuencias de los defectos encontrados en la pintura

Solución

A continuación se desarrollará el ejercicio con el SPSS

1. Se debe elaborar la base de datos en este caso se tendrán los defectos como tipo

de variable (cadena) y luego la frecuencia es tipo de variable numérica.



Lista la base de datos se realizará el diagrama, para esto debe dar clip en la hoja de

vista de datos, luego deben ir al ítem analizar y luego desplegar hasta encontrar

control de calidad y ubicar gráfico de pareto.

Al dar clip en Gráficos de Pareto se obtendrá la siguiente pantalla



.

En el ítem de detalles del grafico escoger valores individuales de los casos luego dar

clip en definir.

Al dar clip en definir obtendremos la siguiente pantalla, en esta se debe en valores

incluir la frecuencia y la variable (defectos)



En esta pantalla se debe dar clip en aceptar para finalmente obtener el diagrama de

pareto.

Al obtener el diagrama de pareto se puede observar que no muestran las lineas , por

lo cual se debe dar clip sobre el gráfico para poder acceder al editor de gráficos



En el editor de gráficos dar clip en mostrar líneas de cuadriculas.

En la ventana que se muestra escoger tanto marcar mayores como menores, dar clip

en aplicar y luego cerrar.



Al final se obtiene el gráfico, luego cerrar la ventana de editor de gráficos

Luego se obtendrá el gráfico de pareto



Como se observa en el gráfico si solucionamos el 20% de las causas (impurezas,

cráteres, aspersión) se arreglarían el 80 % de los problemas (otros, goteos,rasguños,

opacidad.

5.4 DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

Es muy común escuchar por ejemplo en la industria alimentaria cuando se desea

desarrollar un nuevo producto, hasta que punto afectará en el sabor, color la

concentración del aditivo a usar, o cual sería la relación entre tipo de conservante y el

tiempo de vida útil de un alimento, para determinar esta relación entre estas dos

variables se utiliza el diagrama de dispersión. Este diagrama es una herramienta

gráfica que permite demostrar la relación existente entre dos clases de variables y

cuantificar la intensidad de dicha relación. Se utiliza para conocer si efectivamente

existe una correlación entre dos magnitudes o parámetros de un problema y, en caso

positivo, de qué tipo es la correlación.

Las dos variables pueden enmarcarse en:

a. Una característica de calidad y un factor que la afecta

b. Dos características de calidad relacionadas, o

c. Dos Factores relacionados con una sola característica de calidad.


COMO SE ELABORA EL DIAGRAMA DE

Paso 1: realizar la tabla de pares de datos (x,y) valores de la

variables cuya relación se quiere investigar. Se requiere como

mínimo 30 pares de datos

Paso 2. Encontrar los valores mínimos y máximos para x y y. Decidir las escalas que

se van a utilizar en el eje horizontal y vertical de manera que ambas longitudes sean

aproximadamente iguales.

Paso 3. Situar la causa sospechada en el eje horizontal, dibujar y rot

horizontales y verticales.

Paso 4. Registrar los datos en el gráfico. Cuando se tenga los mismos valores en

diferentes observaciones, muestre estos puntos haciendo círculos concéntricos.

Paso 5. Colocar el título al gráfico y rotular.

Paso 6. Identificar y clasificar el modelo de correlación.

Paso 7. Comprobar los posibles fallos en el análisis.

Cómo se interpreta el diagrama de dispersión?

El análisis de un diagrama de dispersión consta de un proceso de cuatro pasos.

1. Se elabora una teoría razonable,

2. Se obtienen los pares de valores y

3. Se dibuja el diagrama,

4. Se identifica la pauta de correlación y se estudian las posibles explicaciones.

Las pautas de correlación más comunes son:

- Correlación fuerte positiva (Y aumenta claramente c

- Correlación fuerte negativa (Y disminuye claramente con X),

- Correlación débil positiva (Y aumenta algo con X),

- Correlación débil negativa (Y disminuye algo con X),

- Correlación compleja (Y parece relacionarse con X pero no de un modo lineal)

- correlación nula (no hay relación entre X e Y).



COMO SE ELABORA EL DIAGRAMA DE DISPERSIÓN?

Paso 1: realizar la tabla de pares de datos (x,y) valores de la

variables cuya relación se quiere investigar. Se requiere como

ntrar los valores mínimos y máximos para x y y. Decidir las escalas que


Paso 3. Situar la causa sospechada en el eje horizontal, dibujar y rotular los ejes



Paso 5. Colocar el título al gráfico y rotular.

o 6. Identificar y clasificar el modelo de correlación.

Paso 7. Comprobar los posibles fallos en el análisis.

Cómo se interpreta el diagrama de dispersión?


eoría razonable,

Se obtienen los pares de valores y

Se identifica la pauta de correlación y se estudian las posibles explicaciones.

Las pautas de correlación más comunes son:

Correlación fuerte positiva (Y aumenta claramente con X),

Correlación fuerte negativa (Y disminuye claramente con X),

Correlación débil positiva (Y aumenta algo con X),

Correlación débil negativa (Y disminuye algo con X),

Correlación compleja (Y parece relacionarse con X pero no de un modo lineal)

correlación nula (no hay relación entre X e Y).


ntrar los valores mínimos y máximos para x y y. Decidir las escalas que


ular los ejes




Se identifica la pauta de correlación y se estudian las posibles explicaciones.

Correlación compleja (Y parece relacionarse con X pero no de un modo lineal) y



Errores comunes son no saber limitar el rango de los datos y el campo de operación

del proceso, perder la visión gráfica al sintetizarlo todo en resúmenes numéricos, etc.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN.

El coeficiente de correlación sirve para cuantificar en términos numéricos el grado de

relación lineal entre dos variables.

Para poder determinar la relación que existe entre x y y es importante primero realizar

el diagrama de dispersión; sin embargo para determinarlo de manera cuantitativa se

debe calcular el coeficiente de correlación (r) :

K � !"�R − 9"�<9"R<S!"�� − 9"�<� �S! "R� − 9"R<�� n= número de pares de datos

El coeficiente de correlación r se encuentra en el rango de -1≤ r ≤1

Si el valor absoluto de r es mayor a 1, se debe revisar los cálculos pues debió existir

un error en estos.

Si el valor de r es cercano a +1 existe una correlación fuerte positiva

Si el valor de r es cercano a -1 existe una correlación fuerte negativa

Cuando r =1, los datos aparecerán en línea recta

Interpretación Clásica

a) -0,3 ó 0,3 < r correlación lineal inexistente

b) -0,5 ó 0,5 < r correlación lineal de moderada a débil.

c) -0,85 ó 0,85 < r Existe es una correlación fuerte.

d) 0.85 < r ≤ 1.00 Existe alta correlación.



ANÁLISIS DE REGRESIÓN

El término “regresión” surgió de estudios de la herencia biológica realizados por

Galton durante el siglo pasado. En su conocida experiencia, Galton notó que los

padres altos tenían hijos cuya altura era mayor a la altura promedio, pero no eran más

altos que sus padres. También, padres bajos tenían hijos con altura menor a la altura

promedio pero eran más altos que sus padres. Esta tendencia de las características de

los grupos de moverse, en la siguiente generación, hacia el promedio de la población o

de regresión hacia la media fue descubierta por Galton. El término no tiene hoy el

mismo significado que le dio Galton, pero se usa extensamente para referirse al

estudio de relaciones funcionales entre variables cuando hay una componente

aleatoria involucrada.

Al estudiar la relación entre dos o más variables surge la idea de encontrar una

expresión matemática que la describa. Para el caso de dos variables, si se denota

como :

Y a la variable que se supone dependiente y como

X a la variable que se postula como independiente,

Resulta familiar utilizar el concepto de función y decir “Y es función de X”, para indicar

que de acuerdo a los valores asignados a X se pueden

predecir los valores que tomará Y. Dicho de otra manera, se puede conocer el

comportamiento de Y a través de un modelo que relaciona la variación en Y con la

variación de X.

El análisis de regresión tiene por objetivo identificar un modelo funcional que describa

cómo varía la esperanza de la variable dependiente, E(Y), frente a cambios en X. Al

igual que en el análisis de varianza el modelo para Y también presenta constantes

desconocidas que se llaman parámetros, por lo que otro objetivo del análisis es la

estimación de los parámetros a partir de una muestra aleatoria de observaciones en

Y y en X.



El análisis de regresión se ocupa también de la validación del modelo propuesto y de

las pruebas de hipótesis sobre los parámetros del modelo; por último, la modelación

por regresión también tiene como objetivo la predicción, es decir el uso del modelo

para dar el valor esperado de Y cuando X toma un valor particular.

La complejidad matemática del modelo de regresión y la adecuación de éste

dependerá de cuánto se conoce acerca del proceso o fenómeno que se está

estudiando.

En la práctica es posible adoptar modelos de regresión que se pueden agrupar o

clasificar en lineales y no lineales. Los primeros hacen referencia a aquellos modelos

en que la función adopta la forma de una suma de términos, cada uno conformado

por el producto de un parámetro y una variable independiente. Los modelos no lineales

son aquellos donde los parámetros no se encuentran multiplicando a las variables

independientes como en el modelo lineal de tal forma que no pueden ser estimados

resolviendo un sistema de ecuaciones lineales.

Por ejemplo, los parámetros pueden encontrarse como exponentes de las variables

independientes. La estimación de los parámetros en modelos no lineales se realiza

usando herramientas diferentes a las presentadas en este capítulo. Aquí se abordan

solamente los modelos lineales, no sólo por ser más simples, sino porque permiten dar

respuesta a un gran número de problemas en las Ciencias, Ingenierías Además,

algunos de los modelos no lineales pueden, mediante adecuadas transformaciones,

ser expresados de la forma lineal (en estos casos los modelos se dicen

intrínsecamente lineales).

El modelo de regresión lineal más sencillo es el que se presenta a continuación

Modelo de regresión lineal simple. Es una técnica estadística que analiza si los

valores de una variable dependiente e independiente pueden predecirse mediante un

modelo lineal. Las variables implicadas en el modelo deben ser cuantitativas y

continuas. Para ajustar una línea recta de Regresión, se considera la ecuación de la

recta:


TU � VW +�V�

Donde :

b0= Distancia que existe entre el origen de coordenadas y el punto de intersección de

la recta con el eje Y

b1 = Coeficiente de Regresión (pendient

X = Variable independiente. ( estimulo, de influencia, causa,)

Y = variable dependiente (respuesta, criterio, efecto)

Estimación de la Regresión Lineal Simple mediante el Método de mínimos

cuadrados

Una tarea principal en el análisis de regresión lineal, es estimar los parámetros “b0” y

“b1”, cuyos valores se determinan a partir de los datos bidimensionales.

El método de los mínimos cuadrados consiste en hacer mínima la suma de los

cuadrados de la diferencia entre lo

( ) es decir:

Y



��# �X YP3�HL3!3�JED�ZIKá[3HKED�b0 R�V��

= Distancia que existe entre el origen de coordenadas y el punto de intersección de

= Coeficiente de Regresión (pendiente, proporción de cambio)

X = Variable independiente. ( estimulo, de influencia, causa,)

Y = variable dependiente (respuesta, criterio, efecto)


en el análisis de regresión lineal, es estimar los parámetros “b0” y

“b1”, cuyos valores se determinan a partir de los datos bidimensionales.


cuadrados de la diferencia entre los valores observados (yi), y los valores estimados


= Distancia que existe entre el origen de coordenadas y el punto de intersección de


en el análisis de regresión lineal, es estimar los parámetros “b0” y


s valores observados (yi), y los valores estimados



El cálculo de los estimadores de los coeficientes de regresión a partir de los datos

muestrales, viene dado por la siguiente expresión.

Ejemplo de aplicación

Una empres desea realizar un estudio de la relación entre la publicidad por radio y las

ventas de un producto, para esto durante 30 semanas se han recopilado los tiempos

de duración en minutos de la publicidad por semana (X) y el número de artículos

vendidos (Y), resultando.

Tabla 5.6. Datos de publicidad versus artículos vendidos

Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Publicidad min (X) 20 30 30 40 50 60 60 60 70 80

n° de artículos vendidos (Y) 50 73 69 87 108 128 135 132 148 170

Semana 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Publicidad min (X) 25 35 40 50 55 60 60 65 70 80


Semana 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Publicidad min (X) 85 25 35 35 50 60 65 65 75 85


∑ =−=Λ

mínima )( 2 SeaYYSCD I

∑ ∑

∑ ∑ ∑

−

−

=22

1

)()(

))((

XiXn

YiXiXYn

b

i

)(10 XbYb −=


a. Trazar el diagrama de dispersión, e indicar la tendencia

b. Calcular el coeficiente de correlación

c. Calcular la ecuación de la recta de regresión de mínimos cuadrados con el fin de

predecir las ventas.

d. Si en la novena semana se incrementa

cuanto se estima se incrementen las ventas.

Solución.

a. Al trazar el diagrama de dispersión, se observa que existe una relación lineal

positiva entre el número de artículos vendidos y el tiempo de publicidad s

por radio.

Diagrama de dispersión de minutos de publicidad y número de artículos vendidos.

Si observamos a simple vista el diagrama en este caso podemos decir que si existe

relación entre las variables de minutos de publicidad versus el número de

vendidos. Pero ahora es necesario conocer de manera cuantitativa esta correlación

por lo cual debemos de calcular el coeficiente de correlación.

b. Para calcular el coeficiente de correlación podremos calcular de manera manual Se

recomienda realizar el siguiente



Trazar el diagrama de dispersión, e indicar la tendencia

Calcular el coeficiente de correlación

Calcular la ecuación de la recta de regresión de mínimos cuadrados con el fin de

Si en la novena semana se incrementara la publicidad en 5 minutos determine en



positiva entre el número de artículos vendidos y el tiempo de publicidad s



relación entre las variables de minutos de publicidad versus el número de


por lo cual debemos de calcular el coeficiente de correlación.


zar el siguiente tabla.


Calcular la ecuación de la recta de regresión de mínimos cuadrados con el fin de

ra la publicidad en 5 minutos determine en


positiva entre el número de artículos vendidos y el tiempo de publicidad semanal



relación entre las variables de minutos de publicidad versus el número de artículos





Tabla 5.7 . Sumatorias de las “x” “y”

x y Xy x2 Y2

20 50 1000 400 2500

30 73 2190 900 5329

30 69 2070 900 4761

40 87 3480 1600 7569

50 108 5400 2500 11664

60 128 7680 3600 16384

60 135 8100 3600 18225

60 132 7920 3600 17424

70 148 10360 4900 21904

80 170 13600 6400 28900

25 60 1500 625 3600

35 80 2800 1225 6400

40 88 3520 1600 7744

50 112 5600 2500 12544

55 116 6380 3025 13456

60 130 7800 3600 16900

60 136 8160 3600 18496

65 140 9100 4225 19600

70 149 10430 4900 22201

80 172 13760 6400 29584

85 178 15130 7225 31684

25 55 1375 625 3025

35 83 2905 1225 6889

35 84 2940 1225 7056

50 110 5500 2500 12100

60 132 7920 3600 17424

65 136 8840 4225 18496

65 139 9035 4225 19321

75 160 12000 5625 25600

85 181 15385 7225 32761

1620 3541 211880 97800 459541



Luego realizar el cálculo teniendo en cuenta la formula

K � !"�R − 9"�<9"R<S!"�� − 9"�<� �S!"R� − 9"R<�

n=30 "�R � 211880 "� � ��1620�� " R � 3541

"�� 97800 "R� � �459541

Reemplazando tenemos

K � 30�9211880< − 91620<93541<S30�997800< − 91620<��S30�9459541< − 93541<� � 0,998

Con este valor podemos corroborar lo mencionado anteriormente, demostrando que

existe una alta correlación positiva lineal entre el tiempo de publicidad y el número de

artículos vendidos

c. Cálculo la ecuación de la recta de regresión de mínimos cuadrados con el fin de

predecir las ventas

Para determinar la recta de regresión por el método de mínimos cuadrados a partir

de los datos, es decir para calcular b0 y b1 se requiere realizar los siguientes cálculos

que se tienen a continuación.

TU � VW +�V��#�X YP3�HL3!3�JED�ZIKá[3HKED�b0 R�V�

Estimando el Parámetro b1:



Estimando el Parámetro b0:

bo= ]� − �V19��< � 118,033 − 92,003<954< � �9,87

La Ecuación de Regresión Estimada:

] � 9,9 + 2��L Como ya se tiene la ecuación se puede predecir las ventas

e. Si en la novena semana se incrementara la publicidad en 5 minutos determine en


c. Incremento de las Ventas. El valor estimado de las ventas en la novena semana

es : Si en la novena semana se invirtió x = 70 minutos se espera vender.

Y9 = 9,9 + 2 ( 70 ) = 150 artículos

En la novena semana se espera vender 150 artículos.

Si en la novena semana se incrementa el tiempo de la propaganda en 5 minutos,

entonces, el tiempo invertido con el incremento será de X = 75 minutos, entonces la

venta estimada será de.

Y = 9,9 + 2( 75 ) = 160 artículos,

Entonces el incremento de las ventas después de aumentar los 5 minutos es de 160–

150= 10 artículos.



5.5 GRÁFICAS DE CONTROL

Walter Shewhart, de los laboratorios de la Bell telephone, fue el primero en

proponer, en 1924, una gráfica de control con el fin de eliminar una variación anormal,

distinguiendo las variaciones debidas a causas al azar. Sí todos los valores ocurren

dentro de los límites de control, sin ninguna tendencia especial, se dice que el proceso

está en estado controlado.

Sin embargo, si ocurren por fuera de los límites de control o muestran una forma

peculiar, se dice que el proceso está fuera de control.

¿QUÉ ES UN GRÁFICO DE CONTROL?

Los gráficos de control se definen como un método gráfico para conocer si un

proceso está o no en un estado de control Estadístico. Es una comparación gráfica

tecnológica (hora a hora, día a día) de las características de calidad reales del

producto, parte u otra unidad, con límites que reflejan la capacidad de producir, de

acuerdo con la experiencia

Los objetivos fundamentales de los Gráficos de Control se pueden concretar en:

a. Vigilancia y control del proceso con el fin de conseguir que este sea estable,

evitando la producción de defectos. Este objetivo corresponde a la filosofía "hágalo

bien a la primera“

b. Aumento de la homogeneidad de la producción mediante la disminución de la

variabilidad del proceso y, de está forma, conseguir una mejora continuada de la

calidad.

c. Los Gráficos de Control son una norma clara de actuación sobre el proceso, por lo

que se evitan ajustes innecesarios que tanto daño pueden causar a la

homogeneidad del proceso.

d. Los Gráficos de Control suministran la información necesaria para la

determinación, mediante la correspondiente estimación estadística, de los

parámetros del proceso, lo que permitirá conocer mejor nuestra actividad



productiva. De esta manera, podremos comparar la producción realmente obtenida

con las especificaciones de calidad, determinando, así mismo, la capacidad para

obtener el producto diseñado.

El objetivo fundamental de los Gráficos de Control consiste, precisamente, en la

detección de las causas especiales.

Cuando los puntos se ubican por fuera de los límites de control o muestran una

tendencia particular, decimos que el proceso está fuera de control, y esto equivale a

decir, "Existe variación por causas asignables y el proceso está en un estado de

descontrol".

LIMITES DE CONTROL

Se debe tener en cuenta que los límites de una gráfica de control no son las

especificaciones, tolerancias o deseos para el proceso, por el contrario se calculan a

partir de la variación de los datos que se representan en la gráfica. De esta forma la

clave está en establecer los límites para cubrir cierto porcentaje de la variación

natural del proceso, pero se debe tener cuidado de que tal porcentaje sea el

adecuado, ya que si es demasiado alto ( 99,999999%) lo límites serán muy amplios y

será más difícil detectar los cambios en el proceso; mientras que si el porcentaje es

pequeño , los límites serán demasiados estrechos y con ello se incrementará el error

tipo 1 ( decir que se presento un cambio cuando en realidad no lo hubo).

Una manera sencilla y usual se obtiene a partir de la relación entre la media y la

desviación estándar.

PROPOSITOS Y BENEFICIOS

Los gráficos de control se usan para vigilar la estabilidad de un proceso.

Se agregan los límites de control a la gráfica como ayuda para decidir cuándo se debe

ajustar el proceso. Estos límites se basan en la variabilidad inherente al proceso.



TIPOS DE GRÁFICOS DE CONTROL

En función al tipo de característica de calidad (característica ó parámetro) los gráficos

de control pueden ser: para variables y atributos

En Control de Calidad se denomina.

Variable. a cualquier característica de calidad "medible"

Ejm : longitud, peso, resistencia a la rotura, el volumen de gas de una bebida

gaseosa, el pH de un producto agroindustrial, etc.,

Atributo a las características de calidad que no son medibles y que presentan

diferentes estados (normalmente dos) tales como conforme y disconforme o

defectuoso y no defectuoso.

5.5.1 GRÁFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS

Un gráfico de control para atributos es un trazo de una estadística que por lo general

se calcula a partir de subgrupos que muestran la conducta de una característica de

proceso con el transcurso del tiempo.

Las gráficas de control para atributos muestran la conducta de una característica de:

- Fracciones defectuosas (p: sub grupo de tamaño variable y np: sub grupo de

tamaño constante)

- Número de defectuosos (c: sub grupo de tamaño variable y u: sub grupo de

tamaño constante.

CONSTRUCCIÓN DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS

Los Pasos básicos para desarrollar un gráfico de control de atributos son:

1. Determinar el proceso a vigilar.

Gráfico p. (Fracción de unidades defectuosas)

Gráfico np. (Número de unidades defectuosas)


Gráfico c. (Número de defecto

Gráfico u. (Número de defectos por unidad).

2. Determinar el tamaño de sub grupo y la frecuencia.

El tamaño del subgrupo y la frecuencia de muestreo dependen de la cantidad de

factores tales como el costo de muestreo, otros costos, facilidade

nivel de cambio en el proceso.

3. Recabar y registrar los datos.

4. Calcular la fracción defectuosa para cada sub grupo.

5. Trazar las fracciones defectuosas. Dejar espacio en la gráfica para el valor o

fracción defectuosa más elevados

menor es cero.

6. Obtener la fracción defectuosa global

7. Calcular los límites de control para cada sub grupo

8. Trazar la línea de centro y los límites de control. Usar estas líneas para vigilar el

proceso

En la figura 5.6 podemos observar la clasificación de las gráficas de control por

Atributos.

Figura 5.4



(Número de defectos).

(Número de defectos por unidad).

Determinar el tamaño de sub grupo y la frecuencia.


factores tales como el costo de muestreo, otros costos, facilidades de adquisición y

nivel de cambio en el proceso.

3. Recabar y registrar los datos.

4. Calcular la fracción defectuosa para cada sub grupo.


fracción defectuosa más elevados que se esperan ver. Por lo general el valor

6. Obtener la fracción defectuosa global

7. Calcular los límites de control para cada sub grupo


podemos observar la clasificación de las gráficas de control por

5.4 Gráfica de control por atributos



s de adquisición y


que se esperan ver. Por lo general el valor


podemos observar la clasificación de las gráficas de control por



Existen muchas características de calidad del tipo pasa o no pasa y, de acuerdo

con éstas, un producto es juzgado como defectuoso o no defectuoso (conforme o no

conforme) dependiendo de si cumple o no las especificaciones criterios de calidad. En

estos, si el producto no tiene la calidad deseada no se permite que pase a la

siguiente etapa del proceso; además es separado y se le llama producto defectuoso

GRÁFICO P (FRACCIÓN DE UNIDADES DEFECTUOSAS)

Esta gráfica permite mostrar las variaciones en la fracción o proporción de artículos

defectuosos por muestra o sub grupo Se gráfica la proporción p de unidades

defectuosas en la muestra. Muestras no necesariamente del mismo tamaño.

La gráfica P es ampliamente usada para evaluar el desempeño de u8na parte de o de

todo un proceso, tomando en cuenta su variabilidad, con el propósito de detectar

causas o cambios especiales.

Por ejemplo de cada lote o de cada cierta parte de la producción se toma una

muestra o subgrupo de ni artículos, que puede ser la totalidad o una parte de las

piezas bajo análisis.

Las ni piezas de cada subgrupo son inspeccionadas y cada una es catalogada como

defectuosa o no. La característica o atributo de calidad por los que una pieza es

evaluada como defectuosa, pueden ser más de uno

Si de las ni piezas del subgrupo i se encuentra que di son defectuosas ( no pasan),

entonces en la carta p se grafica y se analiza la variación de la proporción pi de

unidades defectuosas por subgrupo.

Z# � J#!# - Cuando se dispone de un número k suficiente (20 ó más) de muestras, calcular el p

medio:

- y el n medio (en caso de que no sea constante).

adoinspeccion total

sdefectuoso de total=p



Los límites de control para el gráfico p, se obtienen a partir de:

Límites Superior

Límites Central

Límites Inferior

Cuando el tamaño de subgrupo n no se mantiene constante a lo largo de las

muestras se tienen dos alternativas.

1. Es posible usar el tamaño promedio de subgrupo !�, en lugar de n. 2. La segunda es construir una gráfica de control con límites variables

Si es proceso medido a través de Z; es desconocido, entonces será necesario estimarlo por medio de un estudio inicial.

Ejemplo.(Adapatado de Gutiérrez y De la Vara 2009). En una empresa de alimentos

se empaquetan jamonadas. En el proceso se ha detectado un problema pues el

empacado al vacio no se está realizando de forma correcta. El problema se detecta

mediante inspección visual; los empaques con aire son separados y después se

abren para recuperar la salchicha y volverlas a envasar.

Se debe tener el cuenta que se debe envasar el embutido en optimas condiciones

pues si ingresa aire al envase produce deterioro en el alimento, inicialmente empieza

a cambiar el color y perder su frescura. Esto ocasiona que los clientes se quejen y se

genere una insatisfacción en los clientes generando una mala imagen de la

compañía.

Por lo anterior, a los operadores de las diferentes máquinas continuamente se les

recordaba la importancia de no dejar pasar paquetes con aire. Sin embargo, como no

se llevaba un registro de la magnitud del problema, no existían bases tangibles para

k

nnnn ki +++=

...2

npppLCS /)1(3 −+=

pLC =

npppLCI /)1(3 −−=



detectar cambios en el desempeño de las máquinas, ni había forma de saber si las

medidas tomadas para reducir el problema habían dado resultado.

De ahí surgió la necesidad de registrar los resultados y analizarlos mediante una

gráfica de control. Cada hora se registra el número de paquetes detectados con aire di

y del contador de la máquina se obtiene el total de paquetes ni durante esa hora. Los

datos obtenidos durante tres días en una máquina se muestra en la tabla 5.7

Tabla 5.8.Datos para el proceso del empaquetado de jamonadas.

Subgrupo Paquetes ni Paquetes di Subgrupo Paquetes ni Paquetes di

1 595 15 21 594 7

2 593 5 22 606 5

3 607 8 23 601 7

4 596 10 24 598 4

5 602 6 25 599 2

6 599 5 26 590 3

7 600 5 27 588 5

8 590 7 28 597 3

9 599 2 29 604 6

10 601 4 30 605 5

11 598 9 31 597 7

12 600 17 32 603 9

13 597 4 33 596 5

14 594 5 34 597 3

15 595 3 35 607 8

16 597 10 36 596 15

17 599 7 37 598 4

18 596 5 38 600 6

19 607 4 39 608 8

20 601 9 40 592 5

Solución. Es claro que este problema es del tipo pasa no pasa por lo tanto para

analizar la variación de las proporciones de tabla 9.1 se debe aplicar la gráfica p.

Para calcular los límites de control se necesita calcular la fracción promedio p� y el

tamaño del subgrupo promedio !�,� que corresponde al número promedio de

jamonadas empaquetadas por hora .



5.9 Datos de fracciones defectuosas del proceso del empaquetado de jamonadas.



Subgrupo Paquetes ni Paquetes di Fracción Pi

1 595 15 0.025

2 593 5 0.008

3 607 8 0.013

4 596 10 0.017

5 602 6 0.010

6 599 5 0.008

7 600 5 0.008

8 590 7 0.012

9 599 2 0.003

10 601 4 0.007

11 598 9 0.015

12 600 17 0.028

13 597 4 0.007

14 594 5 0.008

15 595 3 0.005

16 597 10 0.017

17 599 7 0.012

18 596 5 0.008

19 607 4 0.007

20 601 9 0.015

21 594 7 0.012

22 606 5 0.008

23 601 7 0.012

24 598 4 0.007

25 599 2 0.003

26 590 3 0.005

27 588 5 0.009

28 597 3 0.005

29 604 6 0.010

30 605 5 0.008

31 597 7 0.012

32 603 9 0.015

33 596 5 0.008

34 597 3 0.005

35 607 8 0.013

36 596 15 0.025

37 598 4 0.007

38 600 6 0.010

39 608 8 0.013

40 592 5 0.008

Total 23942 257



De la tabla anterior se obtiene que el número total de paquetes inspeccionados

fueron 23942 y de estos 257 tuvieron el problema de falta de vacío, por lo que la

fracción promedio de paquetes defectuosos esta dado por

Z; � HEHI`�J3�J3a3OHPEDEDHEHI`�J3�L!DZ3OOLE!IJED � 25723942 � 0,0107

Como

!� � HEHI`�J3�L!DZ3OOLE!IJE�HEHI`�J3�DPV�,KPZED � 23294240 � 598,55 � 599

Por lo tanto los límites de control serán

Límites Superior

Límites Central

Límites Inferior

Como el límite inferior no puede ser negativo debido a que las proporciones o

fracciones siempre son mayores a cero, entonces el LCI=0

Una vez que se tienen los límites se realizará el gráfico de control.

En el eje x se encontraran los subgrupos y el eje de la Y la fracción de defectuosos,

0107,0== pLC

023,0599

)0107,01(0107,030107,0

)1(3

=−

+=

−+=

LCI

n

pppLCI

0019,0599

)0107,01(0107,030107,0

)1(3

−=−

−=

−−=

LCI

n

pppLCI



Luego de ubica en el eje de la Y los valores de los limites de control y se trata un línea

horizontal

Después se ubican en la gráfica de control se ubican los valores de la fracción pi.

Después de realizar los pasos se obtiene la siguiente gráfica de control

Figura 5.5 .Gráfica de Control p para el proceso de envasado de jamonada

Según lo observado en la gráfica el proceso de envasado al vacío no fue estable ya

que proporciones de los sub grupos 1,12,36 rebasan el LCS. De aquí se desprende

que durante el envasado al vacío de esos sub grupos el proceso funcionó en

presencia de causas o situaciones especiales que por lo general no están presentes

en el proceso y que causaron que la proporción de defectuosos fuera anormalmente

grande.

Se recomienda buscar las causas podría ser el cambio de rollo del envase, operario,

etc.



A continuación se desarrollará el mismo ejercicio con el spss

Paso 1. Generar la base de datos

Luego se debe llenar la base de datos



Paso 2. Generar el gráfico de debe realizar lo siguiente, ir a ítem de analizar bajar

hasta control de calidad y buscar el grafico de control

Al dar clip en gráfico de control obtendremos la siguiente ventana en esta podemos

escoger el tipo de gráfico.

Es este caso escogeremos el gráfico p y en organización de los datos dar clip en los

casos son sub grupo.



Luego de haber escogido el tipo de grafico dar clip en definir.

Al dar clip en definir se obtiene la siguiente pantalla en la cual se debe colocar en

número de disconformes los paquetes de jamonada y en subgrupo se colocar la

variable subgrup0, además incluir el tamaño de la muestra en este caso daremos chek

en constante con el valor de 599



Una vez definido las variables y el valor de la muestra dar clip en aceptar.

Finalmente se generará el gráfico de control p, es este gráfico se obtienen los limites

de control junto a la gráfica.



GRÁFICO nP (NÚMERO DE UNIDADES DEFECTUOSAS)

Cuando el tamaño de subgrupo o muestras en las gráficas p es constante, es más

conveniente usar la carta np. Se gráfica el número total de unidades defectuosas en la

muestra. Las muestras deben ser del mismo tamaño.

En esta gráfica se grafica el número de defectuosos por subgrupo di en lugar de la

proporción.

Los límites de control se obtienen estimado la media y la desviación estándar de di ,

que bajo el supuesto de la distribución binomial esta dado por:

Pb# � !Z�c��R��db# � S!Z;91 − Z;<

Donde en es el tamaño del subgrupo y p� es la proporción promedio de artículos

defectuosos. De aquí que los límites de control de la gráfica np están dados por las

expresiones:

Límites Superior

Límites Central

Límites Inferior

Ejemplo

Del análisis de los datos de inspecciones y pruebas finales de una producto textil se

detecto a través de una estratificación y un análisis de pareto que la causa principal

por lo que las prendas salen defectuosas está relacionada por el tipo de hilo (A)

usado en la prendas. Por lo tanto se decide analizar más de cerca el proceso. Para

ello, de cada lote de hilo (A) se decide inspeccionar una muestra de 120 prendas

(n=120). Los datos obtenidos en los 20 lotes consecutivo se muestran en la tabla.

5.10

)1(3 ppnpnLCS −+=

pnLC =

)1(3 ppnpnLCI −−=



Tabla 5.10 Datos de inspecciones y pruebas finales de una producto textil

Lote Prendas

Defectuosas Lote Prendas

Defectuosas

1 9 11 10

2 6 12 20

3 10 13 12

4 8 14 10

5 5 15 10

6 5 16 0

7 14 17 13

8 12 18 5

9 9 19 6

10 8 20 11

Solución

- Como n es contante la cantidad de defectuosos por muestra se puede

analizar con una carta np.

- Para determinar los limites de control primero debemos calcular p�

Tabla 5.11. muestra de inspecciones y pruebas finales de un producto textil

Lote Muestra

Prendas

Defectuosas Lote Muestra

Prendas

Defectuosas

1 120 9 11 120 10

2 120 6 12 120 20

3 120 10 13 120 12

4 120 8 14 120 10

5 120 5 15 120 10

6 120 5 16 120 0

7 120 14 17 120 13

8 120 12 18 120 5

9 120 9 19 120 6

10 120 8 20 120 11

suma total 2400 183



Z; � 1832400 � 0,076

Los límites de control será

Límite Superior

e>7 � 120�90,076< + 3S120�0,07691 − 0,076< � 17,87

Límite Central e> � 12090,076< � 9,15

Límite Inferior

e>f � 120�90,076< − 3S120�0,07691 − 0,076< � 0,43

Obtenidos los límites se genera la gráfica de control

En la gráfica se puede observar que el proceso no funcionó de manera estable ya que

el número de prendas defectuosas en la muestra del lote 12 es mayor que el límite

superior, mientras que en la muestra del lote 16 el número de defectuosos es menor

pnLC =

)1(3 ppnpnLCI −−=

)1(3 ppnpnLCS −+=



que el límite inferior. De aquí que se tenga una evidencia objetiva para afirmar que

en la fabricación del lote 12 se presento una causa o situación especial que

normalmente no está presente en el proceso y que lo empeoró de forma seria;

mientras que en el lote 16 ocurrió una causa especial que mejoró el desempeño del

proceso de fabricación. Es necesario localizar ambas causas, ya que así se estará en

posibilidades de prevenir la primera y en caso de no haber un error en el registro de

los datos fomentar la segunda.

Solución del Problema con el SPSS





Paso 2. Para generar el gráfico de control debe realizar lo siguiente, ir a ítem de

analizar bajar hasta control de calidad y buscar el grafico de control





Es este caso escogeremos el gráfico np y en organización de los datos dar clip en los

casos son sub grupo.



número de disconformes prendas defectuosas y en subgrupo se colocar la variable

lote, además incluir el tamaño de la muestra en este caso daremos check en

constante con el valor de 120




Finalmente se generará el gráfico de control np, es este gráfico se obtienen los limites




GRÁFICA DE CONTROL P FRENTE A GRÁFICA NP

Si el tamaño del subgrupo es variable se tendrá que optar por la gráfica p, pero si el

tamaño del subgrupo es constante estas gráficas son la misma, salvo un cambio de

escala. Por ejemplo para convertir la gráfica np de la gráfica 10.2 en una carta p, basta

con dividir la escala entre el tamaño de la muestra (120). De aquí que cuando se

quieren analizar las variables del tipo pasa no pasa en un proceso y se toman

muestras de tamaño constante, el criterio para elegir entre la carta p y la np es según

se prefiera entre proporción de defectuosos o numero de defectuosos : en ocasiones

se considera que el número de defectuosos ofrece una cuantificación más directa de

la perdida de dinero que se está teniendo en el proceso, lo cual lleva a preferir la

gráfica np en la que no es necesario calcular en proporción por cada subgrupo. Por

otra parte con la gráfica p es más fácil evaluar en términos porcentuales el nivel de

defectuosos en el proceso, pero es necesario recordar el tamaño del lote para tener

una idea más precisa de la pérdida en que se está incurriendo.

GRÁFICO c (NÚMERO TOTAL DE DEFECTOS)

Es frecuente que al inspeccionar una unidad ( unidad representa un artículo , un lote

de artículos) se cuente el número de defectos que tiene en lugar de limitarse de

concluir que es o no defectuosa. Ejemplo en un zapato, en una prenda de vestir,

cada uno de estas unidades pueden tener más de un defecto y no necesariamente

se considera al producto o unidad como defectuosa.

En términos generales , las variables mencionadas se pueden ver como el número de

eventos que ocurren por unidad y tienden a comportarse de acuerdo con la

distribucción de Poisson. Las variables que se ajusten de emanera moderada a esta

distribución se pueden examinar a través de las gráfica c y u que analizan el número

de defectos pos usb grupo o muestra (grafica c) o el número promedio de defectos

por unidad (gráfica u)

El objetivo de la gráfica c es analizar la variabilidad del número de defectos por

subgrupo, cuando el tamaño de este se mantiene constante. En esta gráfica ci que

es igual al número de defectos en el i-esimo subgrupo (muestra).



Los límites de control se obtiene suponiendo que el estadístico ci sigue una

distribución de Poisson; por lo tanto , las estimaciones de la media y la desviación

estnadar :

Los límites de control son obtenidos a partir de:

Pgh � O; � iEHI`�J3��J3a3OHEDiEHI`�J3�DPV,KPZE ��R��dgh � O;

Límite superior.

Límite central

Límite Inferior

Ejemplo. En una carpintería se inspecciona al detalle el acabado de las mesas,

cuando salen del área de pintado. La cantidad de defectos que son encontrados en

cada silla son registrados con el fin de conocer y mejorar el proceso.

En la tabla se muestran los defectos encontrados en las últimas 30 sillas.

Tabla 5.12 Datos del inspección de acabado de mesas

Mesas Defectos

ci Mesas Defectos

ci

1 7 16 12

2 5 17 8

3 10 18 10

4 2 19 4

5 6 20 7

6 5 21 3

7 4 22 10

8 9 23 6

9 7 24 6

10 8 25 7

11 6 26 4

12 7 27 5

13 8 28 6

14 4 29 8

15 5 30 5

ccLCS 3+=

cLC =

ccLCI 3−=



Solución

De la tabla 5.13 se obtiene que el número promedio de defectos por unidad

Tabla 5.13 Número promedio de defectos por unidad

�� jkjlm � n, o

Límite superior. e>7 � 6,4 + 3p6,4 � 14

Límite central

Límite Inferior

e>f � 6,4 − 3p6,4 � −1,2

mesa Defectos ci silla mesa

1 7 16 12

2 5 17 8

3 10 18 10

4 2 19 4

5 6 20 7

6 5 21 3

7 4 22 10

8 9 23 6

9 7 24 6

10 8 25 7

11 6 26 4

12 7 27 5

13 8 28 6

14 4 29 8

15 5 30 5

191Total

ccLCS 3+=

4,6== cLC

ccLCI 3−=



Como se puede observar el LCI es negativo, pero como no puede haber cantidades

negativas de defectos, entonces el límite inferior se iguala a cero.

Luego de haber obtenido los límites se dibuja la gráfica c

Figura 6.1. Grafico de Control c

Como se observa en la grafica el proceso estuvo funcionando de manera estable , ya

que no hay puntos fuera de los límites de control.

El mismo ejercicio será desarrollado por el SPSS





Paso 2. Para generar el gráfico de control debe realizar lo siguiente, ir a ítem de






Es este caso escogeremos el gráfico c y en organización de los datos dar clip en los

casos son unidades



características (defectos) y en sub grupo (mesa).




Finalmente se generará el gráfico de control c, es este gráfico se obtienen los limites




GRÁFICO u (NÚMERO DE DEFECTOS POR UNIDAD)

La gráfica u analiza la variación del número promedio de defectos por artículo o por

unidad de referencia. Se usa cuando el tamaño del subgrupo no es constante.

En esta gráfica un subgrupo lo forman varias unidades. De manera que para cada

subgrupo se grafica.

P# � O#!# Donde ci es la cantidad de defectos en el subgrupo i y ni es el tamaño del subgrupo i.

Para calcular los límites es necesario estimar la media y la desviación estándar del

estadístico ui, que bajo supuesto de que ci sigue una distribución de Poisson

resultando:

Pqh � P� � iEHI`�J3��J3a3OHEDiEHI`�J3�IKHrOP`ED��L!DZ3OOLE!IJED

dqh � 8P�!



Donde n es el tamaño de subgrupo. De esta manera, los límites de control en la carta

u están dados por :

Límite superior.

Límite central

Límite Inferior

Ejercicios.

1. En la Casa de Motos S.A, ensamblan mototaxis y al final del proceso se realiza

una inspección por muestreo para detectar defectos. en la tabla 9.4 se presentan el

número de defectos en muestreos realizados en 25 lotes consecutivos de

motototaxis. El número de mototaxis inspeccionados en cada lotes es variable.

Tabla 5.14 Defectos en mototaxis

Tamaño de la muestra

defectos encontrados Lote

Tamaño de la muestra

defectos encontrados

20 16 16 32 34

22 24 17 32 32

21 17 18 32 36

21 27 19 32 31

15 16 20 30 32

18 18 21 30 34

16 16 22 16 12

18 20 23 18 15

23 26 24 16 31

23 11 25 15 18

23 26 26 17 19

28 32 27 17 18

28 23 28 17 22

30 48 29 17 26

26 30 30 17 28

nuuLCS /3+=

uLC =

nuuLCI /3−=



Solución

Como el número de mototaxis inspeccionados por lote es variable, por lo que no es

apropiado aplicar la carta c. Es mejor analizar el número promedio de defectos por

mototaxi ui. Para calcular los límites de control a partir de la tabla 5. 15se tiene :

Tabla 5.15 Número promedio de defectos por mototaxi ui.

Lote

Tamaño

de la

muestra

defectos

encontrad

os ui=ci/ni Lote

Tamaño de

la muestra

defectos

encontrados ui=ci/ni

1 20 16 0.80 16 32 34 1.06

2 22 24 1.09 17 32 32 1.00

3 21 17 0.81 18 32 36 1.13

4 21 27 1.29 19 32 31 0.97

5 15 16 1.07 20 30 32 1.07

6 18 18 1.00 21 30 34 1.13

7 16 16 1.00 22 16 12 0.75

8 18 20 1.11 23 18 15 0.83

9 23 26 1.13 24 16 31 1.94

10 23 11 0.48 25 15 18 1.20

11 23 26 1.13 26 17 19 1.12

12 28 32 1.14 27 17 18 1.06

13 28 23 0.82 28 17 22 1.29

14 30 48 1.60 29 17 26 1.53

15 26 30 1.15 30 17 28 1.65

Suma total 670 738



�c � sltnsm � j, jmj

Como el tamaño del subgrupo o muestra es variable, se tiene dos alternativas: usar el

tamaño de subgrupo promedio o construir una gráfica de control con límites variables.

Se realizarán ambas. El tamaño del subgrupo promedio se obtiene dividiendo el total

de unidades inspeccionadas (670) entre el número de subgrupo (30); de esta manera;

!� � B.W�W � 22,

Límite superior.

e>7 � 1,101 + N�,�W�� 1,77

Límite central

e> � 1,101

Límite Inferior

e>f � 1,101 − 3��N�,�W�� 0,429

Después de obtener los límites obtendremos la gráfica

uLC =

nuuLCI /3−=

nuuLCS /3+=



Figura 5.6. Gráfica de control u para mototaxis defectuosos

El ejercicio será desarrollado por el SPSS





Paso 2. Para generar el gráfico de control u debe realizar lo siguiente, ir a ítem de



escoger el tipo de gráfico c,u, en organización de datos dar clip en los casos son

subgrupos, luego dar clip en definir.



Es este caso escogeremos el gráfico u

En esta ventana en organización de los datos dar clip en los casos son subunidades,

luego en número de disconformidades colocar (defectos encontrados) y en subgrupo



colocar lotes, en tamaño de la muestra a pesar de que en este ejercicio es variable

aquí debemos colocar el promedio que es de 22.

Luego de haber escogido el tipo de grafico dar clip en aceptar. Finalmente se

generará el gráfico de control u, es este gráfico se obtienen los limites de control junto

a la gráfica.

Si observamos los datos del ejercicio, podemos ver que el tamaño de muestra es

variable. En el software podemos obtener esta gráfica



Lo primero es que en lote se debe colocar el tamaño de la muestra de la tabla.

1. En este caso se generará una nueva base de datos.

2. Al llenar la base de datos se debe colocar el tamaño de la muestra.



Luego ir a Analizar y ubicar control de calidad y luego gráficos de control

Al dar clip en gráficos de control se obtendrá la siguiente pantalla.



Se escogerá la grafica c,u , luego dar clip en definir, así obtendremos la siguiente

pantalla.

Aquí en número de disconformidades colocar defectos encontrados y en tamaño de

muestra colocar variable y colocar tamaño de la muestra finalmente dar clip en

aceptar.



Finalmente obtendremos la siguiente gráfica

GRÁFICA DE CONTROL PARA VARIABLES

La gráfica de control para variables se aplican a características de calidad de tipo

continuo, aquellas que requieren un instrumento de medición (peso, volumen,

voltaje, longitud, humedad, actividad de agua, resistencia, temperatura, etc).

Una gráfica de control para variables es un trazo estadístico que por lo general se

calcula a partir de los sub grupos que muestran la conducta de una característica de

proceso con el transcurso del tiempo.

Las gráficas para variables más usuales son :

��9J3�[3JLID<�� R (rangos)

S( desviación estándar)

X ( medias individuales)



GRÁFICO DE LA MEDIA

El gráfico de control de Shewhart es el dispositivo estadístico más popular para

supervisar la media de un proceso industrial. Su popularidad se debe a su simplicidad

y efectividad en general.

Límite Superior:

Límite central :

Límite Inferior :

A2 se encuentran en la tabla A1 (anexo 1)

GRÁFICA DEL RANGO

Con esta gráfica se detectaran los cambios o magnitud de la variación del proceso.

Los límites de control para la gráfica de control del rango tenemos:

Limite Superior:

Limite central :

Límite Inferior:

A2 se Hallan en la tabla A1

R·ALCS 2+= X

XLC =

R·ALCI 2−= X

RLCS 4D=

R=LC

RLCI 3D=



Ejercicio. Se desea conocer la variabilidad del proceso de llenado de fresas

congeladas a fin de determinar qué porcentaje de los pesos se encuentran arriba del

peso nominal de 100 gramos. Para tal efecto se colectan 5 bolsas y se registran los

pesos considerando la variabilidad en decimas de gramos. Los datos son registrados

en la siguiente tabla

Tabla 5.16. Pesos de llenado de bolsas de fresas congeladas

GRÁFICA DE DESVIACIÓN ESTANDAR

Limite Superior:

Limite central :

Limite Inferior :

B3 y B4 se Hallan en la tabla A1

Si tenemos el tamaño de cada subgrupo es de n.

La desviación estándar de cada muestra se calcula de la forma usual:

S

SLCS 4B=

S=LC

SB3LCI =



GRÁFICA DE MEDIA Y DESVIACIÓN ESTANDAR

Ejercicio. Se desea establecer un gráfico de control para el peso de llenado de

envases de Yogurt. El peso nominal es 115 grs y la especificación ± 5 grs. A lo largo

de 25 días se ha tomado cada 2 horas (4 muestras por día) muestras constituidas por

4 envases consecutivos. Los pesos obtenidos, que para comodidad de cálculo se

expresan en exceso sobre 100 g. Se recogen a continuación:

Tabla 5.17 : Peso del llenado de envases de Yogurt.

Muestra peso1 peso2 peso3 peso4

1 15,8 16 17,4 17,8

2 17 16,4 13,4 12,4

3 12,8 14,7 15,1 14,2

4 14,5 15,6 13,3 17,8

5 15,1 16,2 15,3 12,5

6 15,1 16,3 14,8 16,1

7 16,7 16 15 15,7

8 15,1 14,9 13,9 13,5

9 14,2 15,6 15,5 14,9

10 14,1 13,2 13,9 14,1

11 13,8 15,3 13,6 13,9

12 15,2 14,5 14,7 13,6

13 16,1 14,9 14 14

14 14,4 13,2 15,9 13,1

15 14,3 18,3 14,7 13,3

16 19,4 16,9 14,9 14,7

17 12,9 17,1 14,7 13,8

18 14,5 12,8 11,9 13,9

19 16,6 13,4 14,3 16,9

20 17,3 14,8 17,5 15

21 19,5 17,1 15 14,5

22 12,5 14,7 14,8 14,2

23 15,1 16 15,4 13,2

24 14,2 15,3 15,5 14,7

25 19,2 16,8 15,2 14,9



- Generar una gráfica de control media - rango

- Utilizando la misma información realizar un gráfico media- desviación estándar.

- Interprete los resultados

Solución.

1) Calcular la media y el rango de cada muestra o subgrupo.

Tabla 5.18. Peso promedio y rango del llenado de envases de Yogurt

muestra peso 1 peso 2 peso 3 peso 4 Promedio Rango

Desviación

estándar

1 15.8 16 17.4 17.8 16.75 2 1.00

2 17 16.4 13.4 12.4 14.8 4.6 2.24

3 12.8 14.7 15.1 14.2 14.2 2.3 1.00

4 14.5 15.6 13.3 17.8 15.3 4.5 1.91

5 15.1 16.2 15.3 12.5 14.775 3.7 1.59

6 15.1 16.3 14.8 16.1 15.575 1.5 0.74

7 16.7 16 15 15.7 15.85 1.7 0.70

8 15.1 14.9 13.9 13.5 14.35 1.6 0.77

9 14.2 15.6 15.5 14.9 15.05 1.4 0.65

10 14.1 13.2 13.9 14.1 13.825 0.9 0.43

11 13.8 15.3 13.6 13.9 14.15 1.7 0.78

12 15.2 14.5 14.7 13.6 14.5 1.6 0.67

13 16.1 14.9 14 14 14.75 2.1 0.99

14 14.4 13.2 15.9 13.1 14.15 2.8 1.31

15 14.3 18.3 14.7 13.3 15.15 5 2.18

16 19.4 16.9 14.9 14.7 16.475 4.7 2.19

17 12.9 17.1 14.7 13.8 14.625 4.2 1.81

18 14.5 12.8 11.9 13.9 13.275 2.6 1.16

19 16.6 13.4 14.3 16.9 15.3 3.5 1.72

20 17.3 14.8 17.5 15 16.15 2.7 1.45

21 19.5 17.1 15 14.5 16.525 5 2.28

22 12.5 14.7 14.8 14.2 14.05 2.3 1.07

23 15.1 16 15.4 13.2 14.925 2.8 1.21

24 14.2 15.3 15.5 14.7 14.925 1.3 0.59

25 19.2 16.8 15.2 14.9 16.525 4.3 1.97

promedios 15.04 2.83 1.30



75,164

8,174,170,168,15

4

4

1

.1 =+++

==

∑=j

ijX

X

R1= X1,max - X1, min =17,8 – 15,8 = 2.0

Asi sucesivamente se calculará para los demás

2) Calcular la media y rango promedio:

04,1525

95,375

25

25

1 ===

∑=i

iX

X

v

83,225

8,70

25

25

1 ===

∑=i

iR

R

3) Calcular los límites de control del gráfico de medias.

025,17832,2729,0038,152 =×+=+= RAXLCSX

9735,12832,2729,0038,152 =×−=−= RAXLCSX

4) Calcular los límites de control del gráfico de rangos. Utilice los factores según el

tamaño de muestra.

4626,6832,2282,2·4 =×== RDLCS R

00.0832.2000.0·3 =×== RDLCI R

5) Graficar los promedios y rangos separadamente. Los gráficos de control que

incluyen los límites calculados se muestran en la siguiente gráfica.



Grafico de control de medias.

Nº de muestra

X-

bar

ra

LCI=12.97

LCS=17.10

LC=15.038

0 5 10 15 20 25

12

13

14

15

16

17

18

Grafico de control R.

Nª de muestra

Ran

go,

R

LC= 2.83

LCS=6.46

LCI=0.00

0 5 10 15 20 25

0

2

4

6

8

6) En el gráfico de medias, se verifica que no hay ningún valor que salga de los límites.

En caso contrario, elimine el o los valores y recalcule los límites.

En el rango de rangos, no hay ningún punto fuera de los límites de control en caso

contrario, elimine el o los valores y recalcule los límites.

7) Interprete los gráficos de control.

Gráfico X : Variación aleatoria.

Gráfico R: Patrón no aleatorio y ciclos. Existe una racha de 8 puntos consecutivos

debajo de la línea central.

Decisión: No, instalar los gráficos e investigar las causas para eliminarlas, luego repetir

el estudio.



Utilizando la misma información del ejemplo anterior, calcular un gráfico media-


1) Calcular la media y el rango de cada muestra o subgrupo. Por ejemplo:

75.164

8.174.170.168.15

4

4

1

.1 =+++

==

∑=j

ijX

X

9983.03

99.2

1

)(4

1

2

11

1 ==−

−

=

∑=

n

XX

Sj

j

2) Calcular la media y la desviación estándar promedio:

038.1525

95,375

25

25

1 ===

∑=i

iX

X

v

3,125

94,32

25

25

1 ===

∑=i

iS

S

3) Calcular los límites de control del gráfico de medias.

1475.172958.1628.1038.153 =×+=+= SAXLCSX

9284.122958.1628.1038.153 =×−=−= SAXLCSX

4) Calcular los límites de control del gráfico de desviaciones. Utilice los factores según

el tamaño de muestra.

9363.22958.1266.2·4 =×== SBLCSS

00.02958.1000.0·3 =×== SBLCI S



5) Graficar los promedios y desviaciones estándar separadamente. Los gráficos de

control que incluyen los límites calculados se muestran enseguida.

:

Grafico de control de medias.

Nº de muestra

X b

arra

LC = 15.04

LCS=17.15

LCI=12.93

0 5 10 15 20 25

12

13

14

15

16

17

18

Gráfico de control S

Nº de muestra

Des

via

ció

n e

stán

dar

, S

LC = 1.30

LCI = 0.00

LCS = 2.94

0 5 10 15 20 25

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

6) Tanto en el gráfico de la media como el de la desviación, se verifica que no hay

ningún valor que salga de los límites de control.

7) Interprete los gráficos de control.

Gráfico X : Variación aleatoria.

Gráfico R: Patrón no aleatorio y ciclos. Existe una racha de 8 puntos consecutivos

debajo de la línea central.



Decisión: No, instalar los gráficos e investigar las causas que afectan a la variabilidad

para eliminarlas, luego repetir el estudio.

A Continuación se realizará el ejercicio con el SPSS





Paso 2. Para generar el gráfico de control por variable debe realizar lo siguiente, ir a

ítem de analizar bajar hasta control de calidad y buscar el grafico de control


escoger el tipo de gráfico por variable, en organización de datos dar clip en los casos

son unidades, luego dar clip en definir.



Al dar clip a gráfico en definir escogeremos el gráfico por variables

En esta ventana en medida del proceso colocar peso y en subgrupos definidos por

días, en gráficos dar clip en x- barra con rango.



Luego de haber escogido el tipo de grafico dar clip en aceptar. Finalmente se

generará los gráficos de control de media, rango, es estos gráficos se obtienen los

límites de control junto a la gráfica.

Los gráficos obtenidos tenemos



Utilizando la misma información del ejemplo anterior, calcular un gráfico media-


Como la base de datos ya está generada solo debemos ir a Analizar, bajar hasta

control de calidad y buscar el gráfico de control.




escoger el tipo de gráfico por variable, en organización de datos dar clip en los casos

son unidades, luego dar clip en definir.

Luego al dar clip en definir se obtiene la siguiente ventana. Aquí se escoge el tipo de

gráfico x-barra con desviación típica.

Al dar clip en aceptar se tiene la siguiente gráfica de medias y desviación típica.



Figura 5.7. Gráfica de control de media:peso



Figura 5.8. Gráfica de control de desviación: peso

SEÑALES DE FALTA DE CONTROL

Para que una gráfica de control sea correctamente interpretada debe estar

conformada por lo menos por 20 puntos.

Una vez que ya se ha instalado una gráfica de control, es decir, una vez que ya se han

determinado los límites de superior y e inferior, se puede afirmar que el proceso está

fuera de control en las siguientes situaciones:

• Al menos un punto más allá de los límites de control.

• Racha: si hay 7 puntos consecutivos a un lado de la línea central, ó si 10 de 11

puntos consecutivos están a un lado de la línea central, ó 12 de 14, ó 16 de 20.

• Tendencia: si forman una curva continúa ascendente o descendente.

• Acercamiento de los límites de control: si 2 de 3 puntos consecutivos está

comprendidos entre 2σ y 3σ.



• Acercamiento de la línea central: si la mayoría de los puntos están entre -1.5σ y

+1.5σ. Esto se debe a que las muestras se han tomado en forma inapropiada.

• Periodicidad: si hay tendencia ascendente y descendente para casi el mismo

intervalo.



BIBLIOGRAFIA.

[1]. Norma ISO 9000:2005. Sistemas de Gestión la Calidad _ Fundamentos y

Vocabularios.

[2]. H. Gutiérrez, Control Estadístico de la Calidad y Seis Sigma. Ed. Mc Graw Hill.

México 2007.

[3]. O Tinoco, S.Crispin. Estadística Básica. Fondo Editorial UCH. 2007.

[4] D. Montgomery. "Control Estadístico de la Calidad" ED. Iberoamérica. México 1995

[5] Kume Hitoshi: "Herramientas Estadísticas Básicas para el mejoramiento de la calidad"

ED. Norma, Colombia 1992


FACTORES PARA EL CÁLCULO DE LOS LÍMITES DE CONTROL DE LOS

GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES.



ANEXO


GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES. [4]

(CRITERIO 3σ)



herramientas y control

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