guía nº 17
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Guía de Estudios Nº 17
Envolventes de esfuerzos
DIEGO LÓPEZ-GARCÍA, PH.D Profesor Asistente
Departamento de Ingenieria Estructural y Geotécnica Escuela de Ingeniería
Pontificia Universidad Católica de Chile
PROBLEMA:
Estudiar la magnitud de las reacciones de vínculo y los esfuerzos internos en la siguiente
estructura (E, I constantes), la cual está sometida a una fuerza concentrada P que puede actuar en
cualquier punto de las barras 2-3 y 3-4.
a) Determinar analíticamente las líneas de influencia de todas las reacciones de vínculo.
b) Determinar analíticamente la línea de influencia del esfuerzo de corte para todas las
secciones de las barras 2-3 y 3-4.
c) Determinar analíticamente las envolventes positiva y negativa del esfuerzo de corte en las
barras 2-3 y 3-4.
d) Para xP = 1.5 L (i.e., para P actuando en la barra 3-4, en el punto cuya coordenada local es
x = 0.5 L), expresar analíticamente los esfuerzos de corte en las barras 2-3 y 3-4 en función
de sistemas de coordenadas locales.
e) Trazar en un mismo gráfico: (a) las envolventes positiva y negativa del esfuerzo de corte en
las barras 2-3 y 3-4; y (b) el diagrama de los esfuerzos de corte determinados en el ítem (d).
SOLUCIÓN:
Existen varias maneras de determinar la magnitud de las reacciones de vínculo en función de la
posición xP de la fuerza P. Todas son igualmente válidas, pero en este caso particular el método
más práctico es probablemente Distribución de Momento:
1.5 L
0.5 L
11
3322 44
L
PxP
x
Rigidez de giro del nodo 3:
L
IE8
L
IE4K
13
31 (1)
L
IE3
L
IE3K
32
32 (2)
L
IE2
L
IE3K
34
34 (3)
L
IE13KKKK 3432313 (4)
Caso (a): 0 ≤ xP ≤ L (i.e., la carga P está aplicada en algún punto de la barra 2-3)
En este caso, el momento a distribuir es el momento de empotramiento perfecto (cambiado de
signo) en el nodo 3 de la barra 2-3. El Método de Flexibilidad indica que:
P2
3P
D xL
xP
2
1M (5)
Luego, los momentos nodales son los siguientes:
P2
3P
D
3
31
31 xL
xP
13
4M
K
KM (6)
P2
3P
32D
3
32
32 xL
xP
13
5MM
K
KM (7)
P2
3P
D
3
34
34 xL
xP
13
1M
K
KM (8)
y también (ecuación (A2) del “Apéndice II”):
P2
3P
3113 xL
xP
13
2'M
2
1M (9)
Fuerzas nodales Tij y Tji:
Barra 1-3:
L
x
L
xP
13
12
L
MMT P
3
3P
13
311313 (10)
L
x
L
xP
13
12TT P
3
3P
1331 (11)
Barra 2-3:
13
L
x18
L
x5P
13
1
L
xLP
L
MT P
3
3P
23
P23
23
3223 (12)
L
x18
L
x5P
13
1TPT P
3
3P
2332 (13)
Barra 3-4:
L
x
L
xP
39
2
L
MT P
3
3P
34
3434 (14)
L
x
L
xP
39
2TT P
3
3P
3443 (15)
Fuerzas nodales Nij y Nji:
Barra 1-3:
L
x56
L
x17P
39
1TTN P
3
3P
343231 (16)
L
x56
L
x17P
39
1NN P
3
3P
3113 (17)
Barra 3-4:
0N43 (el apoyo en el nodo 4 es móvil, no fijo) (18)
0NN 4334 (19)
Barra 2-3:
L
x
L
xP
13
12TN P
3
3P
3132 (20)
L
x
L
xP
13
12NN P
3
3P
3223 (21)
Caso (b): L ≤ xP ≤ 5/2 L (i.e., la carga P está aplicada en algún punto de la barra 3-4)
En este caso, el momento a distribuir es el momento de empotramiento perfecto (cambiado de
signo) en el nodo 3 de la barra 3-4, el cual, recordando que el origen de la coordenada xP es el
nodo 2, está dado por:
L20x33
L
x15
L
x2P
9
1M P
2P
2
3P
D (22)
Luego, los momentos nodales son los siguientes:
L20x33
L
x15
L
x2P
117
8M
K
KM P
2P
2
3P
D
3
31
31 (23)
L20x33
L
x15
L
x2P
39
1M
K
KM P
2P
2
3P
D
3
32
32 (24)
L20x33
L
x15
L
x2P
117
11MM
K
KM P
2P
2
3P
34D
3
34
34 (25)
y también (ecuación (A2) del “Apéndice II”):
L20x33
L
x15
L
x2P
117
4'M
2
1M P
2P
2
3P
3113 (26)
Fuerzas nodales Tij, Tji
Barra 1-3:
20
L
x33
L
x15
L
x2P
39
8
L
MMT P
2
2P
3
3P
13
311313 (27)
20
L
x33
L
x15
L
x2P
39
8TT P
2
2P
3
3P
1331 (28)
Barra 2-3:
20
L
x33
L
x15
L
x2P
39
1
L
MT P
2
2P
3
3P
23
3223 (29)
20
L
x33
L
x15
L
x2P
39
1TT P
2
2P
3
3P
2332 (30)
Barra 3-4:
145L
x492
L
x330
L
x44P
351
1
L
xL2
5
PL
MT P
2
2P
3
3P
34
P
34
3434 (31)
206
L
x492
L
x330
L
x44P
351
1TPT P
2
2P
3
3P
3443 (32)
Fuerzas nodales Nij, Nji:
Barra 1-3:
35
L
x789
L
x465
L
x62P
351
1TTN P
2
2P
3
3P
343231 (33)
35
L
x789
L
x465
L
x62P
351
1NN P
2
2P
3
3P
3113 (34)
Barra 3-4:
0N43 (el apoyo en el nodo 4 es móvil, no fijo) (35)
0NN 4334 (36)
Barra 2-3:
20
L
x33
L
x15
L
x2P
39
8TN P
2
2P
3
3P
3132 (37)
20
L
x33
L
x15
L
x2P
39
8NN P
2
2P
3
3P
3223 (38)
Dado que (equilibrio de nodo):
R1x = T13 R1y = N13 M1 = M13
R2x = N23 R2y = T23
R4y = T43
las líneas de influencia de las reacciones de vínculo son entonces las siguientes:
L2
5xL20
L
x33
L
x15
L
x2P
39
8
Lx0L
x
L
xP
13
12
xR
PP
2
2P
3
3P
PP
3
3P
Px1 (39)
L2
5xL35
L
x789
L
x465
L
x62P
351
1
Lx0L
x56
L
x17P
39
1
xR
PP
2
2P
3
3P
PP
3
3P
Py1 (40)
xP / L
R1x (
xP)
/ P
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Línea de influencia de R1x
L2
5xLL20x33
L
x15
L
x2P
117
4
Lx0xL
xP
13
2
xM
PP
2P
2
3P
PP2
3P
P1 (41)
L2
5xL20
L
x33
L
x15
L
x2P
39
8
Lx0L
x
L
xP
13
12
xR
PP
2
2P
3
3P
PP
3
3P
Px2 (42)
xP / L
R1y (
xP)
/ P
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Línea de influencia de R1y
xP / L
M1 (
xP)
/ P
L
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
Línea de influencia de M1
L2
5xL20
L
x33
L
x15
L
x2P
39
1
Lx013L
x18
L
x5P
13
1
xR
PP
2
2P
3
3P
PP
3
3P
Py2 (43)
L2
5xL206
L
x492
L
x330
L
x44P
351
1
Lx0L
x
L
xP
39
2
xR
PP
2
2P
3
3P
PP
3
3P
Py4 (44)
xP / L
R2x (
xP)
/ P
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Línea de influencia de R2x
xP / L
R2y (
xP)
/ P
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Línea de influencia de R2y
Una vez conocidas las líneas de influencia de las reacciones de vínculo y de las fuerzas nodales,
las líneas de influencia del esfuerzo de corte en cualquier sección de las barras 2-3 y 3-4 pueden
obtenerse fácilmente por definición:
Barra 2-3 (i.e., 0 ≤ x ≤ L):
L2
5xL20
L
x33
L
x15
L
x2P
39
1R
Lxx13L
x18
L
x5P
13
1R
xx0L
x18
L
x5P
13
1PR
xT
PP
2
2P
3
3P
y2
PP
3
3P
y2
PP
3
3P
y2
P)x( (45)
En las dos primeras expresiones de (45), R2y está dada por la primera expresión de (43), mientras
que en la tercera expresión de (45), R2y está dada por la segunda expresión de (43).
Barra 3-4 (i.e., L ≤ x ≤ 5/2 L):
xP / L
R4y (
xP)
/ P
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Línea de influencia de R4y
L2
5xx145
L
x492
L
x330
L
x44P
351
1T
xxL206L
x492
L
x330
L
x44P
351
1PT
Lx0L
x
L
xP
39
2T
xT
PP
2
2P
3
3P
34
PP
2
2P
3
3P
34
PP
3
3P
34
P)x( (46)
En la primeras expresión de (46), T34 está dada por (14), mientras que en la segunda y tercera
expresión de (46), T34 está dada por (31).
Envolventes del esfuerzo de corte:
Barra 2-3 (i.e., 0 ≤ x ≤ L):
Conviene primero examinar cualitativamente la línea de influencia del esfuerzo de corte en, por
ejemplo, x = 0.5 L (45):
Dado que la forma de la línea de influencia es, en términos cualitativos, la misma para cualquier
sección de la barra 2-3, es evidente que el esfuerzo de corte máximo en x siempre se produce
cuando P está aplicada en la sección ubicada inmediatamente a la derecha de x. Analíticamente,
esta observación significa que el esfuerzo de corte máximo en x se obtiene simplemente
reemplazando xP por x en la segunda expresión de (45), i.e.:
xP / L
T(x
= 0
.5 L
) (x
P)
/ P
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Línea de influencia del esfuerzo de corte en x = 0.5 L
13
L
x18
L
x5P
13
1xT
3
3
max (47)
La figura también indica que el esfuerzo de corte mínimo es igual al menor de dos valores
mínimos locales. El primer mínimo local se produce cuando P está aplicada en la sección
ubicada inmediatamente a la izquierda de x, lo cual significa que, analíticamente, el primer
mínimo local se obtiene simplemente reemplazando xP por x en la primera expresión de (45),
i.e.:
L
x18
L
x5P
13
1xT
3
3)1(
min (48)
La ubicación de P que produce el segundo mínimo local se obtiene igualando a cero la derivada
respecto de xP de la tercera expresión de (45), i.e.:
0L
133
L
x30
L
x6P
39
120
L
x33
L
x15
L
x2P
39
1
xd
d2P
3
2PP
2
2P
3
3P
P
(49)
cuya única solución en el domino L ≤ xP ≤ 2.5 L es:
L634.1L2
35xP
(50)
El segundo mínimo local se produce entonces cuando P está aplicada en xP = 1.634 L.
Analíticamente, el segundo mínimo local se obtiene simplemente reemplazando xP por 1.634 L
en la tercera expresión de (45), i.e.:
P26
3xT )2(
min (51)
Finalmente, comparando las ecuaciones (48) y (51), es fácil comprobar que el segundo mínimo
local es el mínimo global para 0 ≤ x ≤ 0.048144 L, mientras que el primer mínimo local es el
mínimo global para 0.048144 L ≤ x ≤ L, i.e.:
LxL048144.0L
x18
L
x5P
13
1
L048144.0x0P26
3
xT
3
3min (52)
Barra 3-4 (i.e., L ≤ x ≤ 2.5 L):
Conviene primero examinar cualitativamente la línea de influencia del esfuerzo de corte en, por
ejemplo, x = 2 L (46):
Dado que la forma de la línea de influencia es, en términos cualitativos, la misma para cualquier
sección de la barra 3-4, es evidente que el esfuerzo de corte mínimo en x siempre se produce
cuando P está aplicada en la sección ubicada inmediatamente a la izquierda de x. Analíticamente,
esta observación significa que el esfuerzo de corte mínimo en x se obtiene simplemente
reemplazando xP por x en la segunda expresión de (46), i.e.:
206
L
x492
L
x330
L
x44P
351
1xT
2
2
3
3
min (53)
La figura también indica que el esfuerzo de corte máximo es igual al mayor de dos valores
máximos locales. El primer máximo local se produce cuando P está aplicada en la sección
ubicada inmediatamente a la derecha de x, lo cual significa que, analíticamente, el primer
máximo local se obtiene simplemente reemplazando xP por x en la tercera expresión de (46), i.e.:
145
L
x492
L
x330
L
x44P
351
1xT
2
2
3
3)1(
max (54)
La ubicación de P que produce el segundo máximo local se obtiene igualando a cero la derivada
respecto de xP de la primera expresión de (46), i.e.:
0L
1
L
x3P
39
2
L
x
L
xP
39
2
xd
d3
2PP
3
3P
P
(55)
xP / L
T(x
= 2
L) (
xP)
/ P
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Línea de influencia del esfuerzo de corte en x = 2 L
cuya única solución en el domino 0 ≤ xP ≤ L es:
L577.0L3
1xP (56)
El segundo máximo local se produce entonces cuando P está aplicada en xP = 0.577 L.
Analíticamente, el segundo máximo local se obtiene simplemente reemplazando xP por 0.577 L
en la primera expresión de (46), i.e.:
P351
34xT )2(
max (57)
Finalmente, comparando las ecuaciones (54) y (57), es fácil comprobar que el primer máximo
local es el máximo global para L ≤ x ≤ 2.479193 L, mientras que el segundo máximo local es el
mínimo global para 2.479193 L ≤ x ≤ 2.5 L, i.e.:
L5.2xL479193.2P351
34
L479193.2xL145L
x492
L
x330
L
x44P
351
1
xT
2
2
3
3
max (58)
Los esfuerzos de corte en las barras 2-3 y 3-4 para una carga P aplicada en xP = 1.5 L se obtienen
fácilmente reemplazando xP por 1.5 L en (29), (31) y (32):
Barra 2-3 (sistema de coordenadas local con origen en el nodo 2):
P78
5TxT 23 (59)
Barra 3-4 (sistema de coordenadas local con origen en el nodo 3):
L2
3xL
2
1P
351
62PT
L2
1x0P
351
289T
xT
34
34
(58)
La siguiente figura muestra que, efectivamente, el diagrama de corte nunca sobrepasa a las
envolventes
EJERCICIO PROPUESTO:
Estudiar la magnitud de las reacciones de vínculo y los esfuerzos internos en la siguiente
estructura (E, I constantes), la cual está sometida a una fuerza concentrada P que puede actuar en
cualquier punto de las barras 1-2 y 2-3.
a) Determinar analíticamente las líneas de influencia de todas las reacciones de vínculo.
b) Determinar analíticamente la línea de influencia del esfuerzo de corte para todas las
secciones de las barras 1-2 y 2-3.
c) Determinar analíticamente las envolventes positiva y negativa del esfuerzo de corte para
todas las secciones de las barras 1-2 y 2-3.
d) Determinar analíticamente la línea de influencia del momento flexor para todas las secciones
de las barras 1-2 y 2-3.
e) Determinar analíticamente las envolventes positiva y negativa del momento flexor para todas
las secciones de las barras 1-2 y 2-3.
f) Para xP = 1.5 L (i.e., para P actuando en la barra 2-3, en el punto cuya coordenada local es
x = 0.5 L), expresar analíticamente los esfuerzos internos (momento flexor y esfuerzo de
corte) en las barras 1-2 y 2-3 en función de un sistemas de coordenadas con origen en el
nodo 1.
g) Trazar en un mismo gráfico: (a) las envolventes positiva y negativa del esfuerzo de corte en
las barras 1-2 y 2-3; y (b) el diagrama de los esfuerzos de corte determinados en el ítem (f).
x / L
T(x
) / P
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Envolvente máximaEnvolvente mínimaDiagrama de corte (P en x = 1.5 L)
L
11
L
22 33
h) Trazar en un mismo gráfico: (a) las envolventes positiva y negativa del momento flexor en
las barras 1-2 y 2-3; y (b) el diagrama de los momentos flexores determinados en el ítem (f).
BIBLIOGRAFÍA:
Hidalgo: Capítulo 3
Kassimali: Capítulos 8, 9 y 14
Leet y Uang: Capítulos 8 y 14
McCormac: Capítulos 9 y 14