GUÍA Nº 6: Integrales Múltiples

Evalúe las siguientes integrales iteradas.

1. R/ 2. R/ 42

3. R/ 4. R/

5. R/ 6. R/

7. R/ 8 8. R/ 8

9. R/ 2 10. R/

11. R/ 12. R/

En los siguientes ejercicios trace la región de integración. Invierta el orden de integración y evalúe.

13. R/ 2 14. R/

15. R/ 16. R/

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Materia: Matemática IIICiclo: I/2012

UNIVERSIDAD DE EL SALVADORFACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

UNIDAD DE CIENCIAS BASICAS

En los ejercicios siguientes, cambie la integral cartesiana por una integral polar equivalente. Luego evalúe la integral polar.

17. R/ 18. R/

19. R/

En los siguientes ejercicios dibuje la región de integración.

20. 21.

22.

En los siguientes ejercicios evalúe la integral doble

23. es la región acotada por las siguientes rectas: y R/

24. es la región acotada por la circunferencia R/

25. es la región limitada por las gráficas de y

R/

26. es la región limitada por las gráficas de y R/

En los siguientes ejercicios utilice integrales dobles para calcular el área de la región limitada por las curvas del plano . Dibuje también la región.

27. R/ 28) R/ 72

29. en el primer cuadrante R/ 30. R/

2

31. R/ 32b. R/ 1

32a. R/

En los siguientes ejercicios calcule el área de la región polar usando integrales dobles. Dibuje la región.

33. Interior a una hoja de la rosa

34. Interior al círculo y exterior al círculo R/

35. Encerrada por la gráfica de R/

36. Interior a y exterior a R/

En los siguientes ejercicios escriba y evalúe una integral doble que represente el volumen del sólido descrito.

37. Limitado por el cilindro , el plano y R/

38. Limitado por los cilindros y en el primer octante. R/

39. Limitado por las superficies en el primer octante. R/

40. Sólido del primer octante cortado en el cilindro por el plano R/ 9

41. Sólido del primer octante limitado por y el cilindro R/ 6

42. Sólido cortado en la esfera por el cilindro R/

En los siguientes ejercicios dibuje el sólido cuyo volumen esta dado por la integral doble dada.

43. 44.

3

45. 46.

47. 48.

49.

Utilice una integral doble en coordenadas polares para encontrar el volumen del sólido descrito.

50. Región formada por la intersección de los cilindros y R/

51. Región formada por la intersección de los cilindros y en la dirección del

eje x positivo R/

Evalúe las siguientes integrales triples

52. R/ 8 53. R/ 1

54. R/ 1 55. R/ 18

56. La siguiente es la región de integración de la integral . Escriba los 5 restantes

órdenes de integración.

4

Calcule el volumen de cada una de las siguientes regiones.

57. Región entre el cilindro y el plano que está acotada por los planos

R/

58. Región del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano y el cilindro

R/

59. El tetraedro el primer octante acotado por los planos coordenados y el plano que pasa por

y R/ 1

60. La región del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano y la

superficie R/

61. La región común, en el primer octante, a los interiores de los cilindros y

R/

62. La región cortada en el cilindro por el plano y el plano R/

63. Región cortada en el cilindro elíptico sólido por el plano y el plano

R/

64. Cilindro circular recto cuya base es la circunferencia y el plano y cuya parte

superior está en el plano

65. Cilindro circular recto sólido cuya base es la región del plano que está dentro de la cardioide y fuera de la circunferencia y cuya parte superior está en el plano

R/

66. Escriba las 6 integrales que representan el volumen del sólido limitado por , arriba del

plano y debajo de . Calcule el volumen. R/

67. Utilice coordenadas esféricas para calcular el volumen del sólido cuyo volumen, en coordenadas cartesianas está dada por

R/

5

68. Utilice una integral triple en coordenadas esféricas para calcular el volumen del sólido limitado

por R/

69. Dibuje el sólido cuyo volumen está representado por

70. Utilice coordenadas esféricas para calcular el volumen del sólido limitado por el cilindro

, la superficie y el plano . R/

71. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular el volumen del sólido del problema 19.

72. Escriba una integral triple en coordenadas esféricas que represente el volumen del sólido entre la

esfera y el hemisferio R/

73. Calcule el volumen del sólido encerrado por la cardiode de revolución . R/

74. Calcule el volumen del sólido acotado abajo por la esfera y arriba por el cono

R/

75. Sea Q el casquete de una esfera sólida de radio 2, cortado por el plano . Exprese el volumen de Q como una integral triple en coordenadas: a) esféricas, b) cilíndricas y

c) cartesianas. Calcule además el volumen evaluando la integral más sencilla. R/

6

76. Un depósito semiesférico de de radio se llena con agua hasta de la parte superior. Calcule el volumen de agua en el tazón utilizando una integral triple en coordenadas esféricas.

R/

77. Calcule el volumen para el depósito del problema 25 si ahora se llena completamente R/

78. Transforme a coordenadas cartesianas en el orden y a

coordenadas esféricas. Evalúe la integral que le resulte más sencilla. R/

79. Dibuje el sólido cuyo volumen está representado por la integral triple:

80. Dibuje el sólido cuyo volumen está representado por la integral triple:

81. Evalúe la siguiente integral cambiando el sistema de coordenadas.

R/

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