1. GEOMETRIA Y ALGEBRA La arquitectura se revela como una de las ms complejas actividades de sntesis del pensamiento humano; opera en el espacio mediante la construccin y su fin ltimo es dotar al hombre de un escenario para su vida. Es una disciplina autnoma, integradora, con un lenguaje propio en el que se barajan el Arte, la Ciencia, el Humanismo, la Tecnologa... Hay un paralelismo innegable entre las concepciones matemticas y el pensamiento arquitectnico: la geometra euclidiana, configurando el ser sensible segn dimensiones mensurables y precisas, acompaa a la sensibilidad griega. Si Leibniz no hubiera trabajado en el Clculo Integral y no se hubiera desarrollado la Geometra Descriptiva, Guarini no hubiera podido construir la cpula de San Lorenzo en Turn. Sin la cuarta dimensin del cubismo, surgida de la revolucin de la fsica contra la concepcin absoluta de Newton y de la convergencia declarada por la ciencia moderna de las entidades espacio y tiempo, junto con la contribucin de Einstein al concepto de simultaneidad, no habra tenido Le Corbusier la idea de igualar las cuatro fachadas de la Ville Savoie, rompiendo la distincin entre fachada principal, laterales y posterior, implcita en la representacin en perspectiva, donde el punto de vista establece una jerarqua... Existe adems un nuevo problema, ya detectado desde antiguo: Una edificacin perfecta, en cuanto a su planificacin geomtrica eurtmica, proyectada para proporcionar placer esttico por su armona, ha de contar con el observador, con el sujeto que la contempla. Esa sensacin rtmica sigue siendo percibida, aunque para el observador permanezca oculta alguna de sus partes, pues ste puede reconstruirlas automticamente en su espritu. Pero no es as si el edificio se contempla desde una posicin anormal, muy cerca por ejemplo, pues entonces, dado que el proceso de visin no es instantneo, sino compuesto de imgenes sucesivas en las que el ojo examina la obra en sentido vertical, o bien horizontalmente, no existe ya un plano vertical de proyeccin, sino una serie de planos perpendiculares a los ejes momentneos de visin. Todo ello ha dado lugar a profundos estudios matemticos, conocidos como correcciones pticas, que se inician ya en Grecia, donde Vitruvio denomina explcitamente Escenografa a la parte de la ciencia que, una vez realizado el plano terico, se ocupa de determinar esas correcciones, utilizando para ello rigurosas soluciones matemticas, como arcos de parbola, hiprbola, etc.,

mientras que los arquitectos bizantinos o gticos las realizaron de modo ms emprico. Las deformaciones pticas, entre ellas la ley de reduccin aparente de los segmentos lineales, fue descubierta de nuevo por el arquitecto Violet-le-Duc, que explica: cuando se trata de proyectar un edificio hay que tener muy en cuenta el punto o los puntos desde donde ser posible verlo, las disminuciones producidas por las alturas, las descargas y los salientes. Ni que decir tiene que en el Renacimiento, con su obsesin racionalista, se dedicaron grandsimos esfuerzos a luchar contra este elemento de imperfeccin introducido por el subjetivismo de la visin humana. Ms prxima a nuestros das ha surgido por parte de los arquitectos de grandes edificios, de volmenes rigurosamente geomtricos, una nueva idea a este respecto, ya que se atribuye al ojo, o ms bien a la conciencia visual, la capacidad de percibir directamente el esquema deseado, es decir de efectuar automticamente las correcciones pticas necesarias, sin que el arquitecto tenga que preocuparse de ellas. En el tema que nos importa realmente, las aplicaciones a las tcnicas de la Arquitectura nos encontramos con la cristalizacin de la actual Geometra Descriptiva, gracias a los trabajos de Wilhem Fiedler, sobre cuya influencia en la Arquitectura o la Ingeniera, as como en la Tcnica en general no es preciso insistir, pues desde su aparicin es una de las materias bsicas en la formacin acadmica de todos los profesionales de la construccin en sus distintas facetas, mientras naca, tambin fundada en la Geometra Proyectiva, la Esttica Grfica, cuyos mtodos bien pronto superaron a los de la Esttica Analtica y cuya primera sistematizacin se deba a Kart Cullman. En nuestros das ha desaparecido prcticamente la figura del arquitecto que rene a la vez las figuras del artista, del gemetra y del calculista. Hoy los clculos se dejan para el ingeniero, el verdadero tcnico en el manejo de estructuras; el gemetra simplemente ha desaparecido de este escenario, y son protagonistas el hecho de la edificacin el arquitecto-compositor que disea los planos, (al cual es de esperar no le sea totalmente ajeno el Arte) y el responsable de que el constructor realice fidedignamente lo que fue previamente proyectado, es decir, el Arquitecto Tcnico. Esta organizacin es del todo eficaz, pero resta una oportunidad a la unidad orgnica del resultado. El criterio generalmente aceptado es el de la adaptacin al fin (fitness), que comprende la solidez y la economa. Pero an as existen dos vas de eleccin para el arquitecto: si es un creador autntico, provisto de inspiracin, pero no compone geomtricamente, si no medita sobre las proporciones... podr hacer cosas magnficas, pero

tambin podr abortar en un solo detalle su obra perfecta, como Soufflot, al no espaciar suficientemente las columnas del tambor que soporta la cpula del Panten de Hombres Ilustres de Pars. De igual modo, entre dos arquitectos sin brillante inspiracin, ser ms tolerable aqul que componga geomtricamente, valindose de una tcnica armnica, porque esta geometra lo guiar de manera automtica a un resultado aceptable. Esto tiene su importancia pues los mediocres son la mayora, y han sido la mayora hasta en las grandes pocas, pero si trabajan con moldes bien proporcionados, transmitidos por conceptos geomtricos, en ltimo caso el resultado ser, no genial, pero si bueno. Cito como mximo apstol de estas tendencias a Le Corbusier, utilizando lo que l llama trazados reguladores, y que a propsito de su proyecto para el Mundaneum de Ginebra dice: El Mundaneum fue concebido como una ciudad rectangular. La razn entre la longitud y profundidad est dada por la seccin area, reinando as una gran unidad y una proporcin armoniosa Y actualmente, como se manifiestan las tendencias de la Geometra?. Observamos la invasin creciente de la geometra por las tcnicas: analticas, topolgicas, algebraicas, informticas... Esto ha llevado a campos de una elevada abstraccin. Sin volver a la Geometra Eucldea, se piensa en una geometra actual que preste ms atencin a las ideas que engendra que a los mtodos que las desarrollan. Se lamenta la prdida de la visin y del goce de las configuraciones geomtricas. Lo expresa Guggenheimer: He encontrado la fuerza esencial de la geometra y temo que nuestros jvenes hayan sido privados demasiado tiempo de este placer 2. ESPACIO GEOMETRICO Y ARQUITECTNICO El concepto de espacio debe abordarse con una gran apertura de ideas. El espacio arquitectnico no puede reducirse ni al espacio fsico ni a la dualidad espacio interior-exterior, ni al concepto de parcelacin habitable. "El espacio arquitectnico posee un rasgo absolutamente diferencial: es creado por el hombre para el uso del hombre" (Alsina-Trillas:Lecciones de Algebra y Geometra) . Por otro lado, la Geometra elabora modelos matemticos capaces de describir parcelas concretas del espacio. Cabe considerar as el espacio geomtrico como una aportacin terica, sugerente y clara, al estudio de ciertas facetas formales del espacio arquitectnico.

La realizacin de un proyecto arquitectnico introduce en el ambiente una alteracin, una alteracin espacial. Volmenes, superficies, lneas y sus articulaciones plsticas y cromticas concurren juntas al crear, tanto en el interior como en el exterior del edificio, espacios cuya calidad depender tambin de la relacin dimensional con el hombre. El espacio es siempre, en alguna medida, dinmico, precisamente porque es visible y disfrutable desde diferentes puntos de vista, y porque nunca es posible hablar de un solo espacio: por lo menos son dos, el exterior y el interior; pero habitualmente son muchsimos, porque hasta un edificio sencillo presenta numerosas articulaciones. Para entrar en la definicin del concepto de espacio arquitectnico, daremos la definicin de Nikolaus Pevsner (Storia dell'architettura europea, Bari,Laterza,1963): "Un cobertizo para guardar bicicletas es un edificio. La catedral de Lincoln es una obra de arquitectura. Todas o casi todas las estructuras que delimitan un espacio de medida suficiente para que se mueva un ser humano, son un edificio... Un edificio puede provocar sensaciones estticas de tres maneras: 1) pueden ser producidas por el tratamiento de la superficie, por las proporciones, por las relaciones de los vacos con los llenos y por la ornamentacin; 2) es estticamente significativo el tratamiento exterior de un edificio en su conjunto, sus contrastes, los efectos,... 3) el efecto en nuestros sentidos del tratamiento del interior, la sucesin de los ambientes, el ensanchamiento de una nave en el crucero, el movimiento majestuoso de una escalinata barroca... La primera de estas maneras es en dos dimensiones: es la manera propia del pintor. La segunda es en tres dimensiones, y como trata el edificio como un volumen, es la manera del escultor. La tercera manera tambin es en tres dimensiones, pero se refiere al espacio: ms que las anteriores es propia del arquitecto. Lo que distingue la arquitectura de la pintura y de la escultura es su caracterstica espacialidad. En este campo, y slo en este campo, ningn otro artista puede emular al arquitecto. Por tanto, la historia de la Arquitectura es, ante todo, la historia del hombre que modela el espacio". La definicin la recoge tambin Bruno Zevi (Saper Vedere L'architettura, Torino, Einaudi,1949) : "...la pintura acta en dos dimensiones, aunque pueda sugerir tres o cuatro. La escultura acta en tres dimensiones, pero el hombre se queda en el exterior, separado. En cambio la arquitectura es como una gran escultura excavada en cuyo interior el hombre penetra y camina". Volviendo al proceso proyectual de un edificio, para formular su esquema, el arquitecto deber emplear un medio de representacin preciso y fiable. Este medio se lo

proporciona la GEOMETRA DESCRIPTIVA, y sobre todo, la GEOMETRA EUCLIDIANA, que es la geometra base del arquitecto al tratar la economa del espacio, aunque tambin puede recibir ayuda de otra geometra, la GEOMETRA PROYECTIVA, que es la base matemtica de la descriptiva. La arquitectura no puede expresarse ni comunicarse ms que con medios grficos y stos tienen gran importancia porque, convenientemente elegidos y usados con maestra, pueden efectivamente representar y simular la deseada realidad proyectual. Es muy dificil, por ejemplo, proponer soluciones si no se conoce la geometra de una estructura, por ejemplo. Para el tcnico, la forma es una ecuacin matemtica; para el arquitecto es adems proporcin, espacio y armona. 3. SOBRE EL CONCEPTO DE GEOMETRIA La Geometra siempre ha partido de la observacin de la realidad. Diferentes realidades han motivado diferentes modelizaciones geomtricas. Felix Klein (Vergleichende Betrachtungen ber neuere geometrische Forschungen, conocido como el Programa de Erlangen), en 1872 sent las bases de una definicin unificadora de la Geometra. Para Klein, en una geometra existen dos bases fundamentales: un espacio E y un grupo G(E) de transformaciones de ese espacio. E puede ser un conjunto finito de elementos, R,R,.. El grupo G(E) est contenido en el grupo de biyecciones de E en E. A partir de este par se clasifican las figuras en equivalentes si y slo si existe una transformacin de G(E) que transforme una en otra. Como sobre un mismo espacio puedo considerar distintos grupos de transformaciones, existen tantas geometras como posibles subgrupos del grupo de biyecciones del espacio en s mismo. La distincin entre una y otra se basa en el conjunto de invariantes de cada geometra. 4. LA GEOMETRIA DE LA ARQUITECTURA Para proyectar se necesita poseer un instrumento grfico de proyeccin: la geometra. Una geometra del diseo arquitectnico, en la que la palabra 'diseo' reviste el doble significado de invencin-proyectacin y de operacin grfica para la construccin de la propia invencin. La geometra es pues el instrumento con el que delimitamos, cortamos, precisamos y formamos el espacio. En palabras de Giancarlo De Carlo, L'idea plastica come sfida alla tecnologia, 1975: "La forma tridimensional de la arquitectura no es el exterior de un slido, sino la envoltura cncava y convexa de un espacio; y a su vez el espacio no es el vaco sino el lugar volumtrico en

el que se desenvuelve toda una serie de actividades posibles y variadas. En consecuencia, en el caso de la arquitectura, la "invencin" se refiere a un "sistema especial organizado" que experimentamos a travs de su utilizacin y que percibimos a travs de su forma". Al ser la reconocibilidad de las formas una condicin irrenunciable para que el mensaje arquitectnico sea recibido, las formas sern pues tanto ms perceptibles y reconocibles cuanto ms sencillas y regulares sean. Es ms, los caracteres formales especficos, intrnsecos, de las figuras geomtricas son tan fuertes que generan en el hombre, cualquiera que sea su grado de evolucin, inmediatas e instintivas referencias simblicas. La geometra es la ciencia de las propiedades y relaciones de magnitudes en el espacio (Diccionario Oxford ). La geometra es para el arquitecto una base y un medio disciplinar, un instrumento indispensable en el tratamiento de las formas que entran en la "composicin" de los espacios. La geometra es una construccin del cerebro humano, si bien la observacin de la naturaleza nos llevara a considerarla como un conjunto de leyes que estn fuera del hombre. Al observar los procesos de crecimiento de los minerales, de los vegetales y de los animales, la racionalidad humana, ha sido capaz de "reconocer" ciertas formas sencillas, hallando relaciones particulares entre ellas y en el interior de ellas, es decir, construyendo los sistemas de lgica matemtica que se llaman geometras. Pero la Geometra y la Arquitectura son creaciones humanas distintas. La geometra, que es matemticas, se ocupa en efecto del espacio abstracto, mientras que la arquitectura, que es tcnica y arte, se ocupa del espacio concreto, del espacio en relacin al hombre, a su presencia como observador, a su dimensin como beneficiario de ella. 5. HISTORIA DE LA GEOMETRIA PROYECTIVA Las primeras ideas de Geometra Proyectiva aparecieron en la actividad prctica de artistas y arquitectos del Renacimiento. Los pintores Fra Angelico y Paolo Uccello se valieron de la perspectiva para crear impresin de profundidad. La necesidad de una base matemtica para su trabajo era clara para los artistas de la poca, y la elabor el arquitecto Filippo Brunelleschi. Despus, Tommaso Masaccio y Andrea Mantegna la asumieron definitivamente para la pintura. Piero della Francesca, Leone Battista Alberti y Alberto Durero reflexionaron sobre las nociones de proyeccin y

seccin en su afn de entender el problema de la representacin plana de un objeto real tridimensional. Hans Holbein el Joven mostr en uno de sus cuadros el fenmeno de la anamorfosis, comportamiento paradjico ya descrito por Leonardo da Vinci. El primer matemtico que hizo uso de estas ideas fue el frances Girard Desargues. 1639 Desargues, arquitecto e ingeniero militar de Lyon, publica en Pars su Brouillon project dune atteinte aux evenementsdes rencontres dun cone avec un plan [Primer borrador sobre los resultados de intersecar un cono con un plano]. A pesar de lo poco convencional del lenguaje, en este tratado se ofrece un tratamiento bello y original de las clnicas. Aqu aparece por primera vez el trmino involucin. Los mtodos proyectivos permiten a Desargues un tratamiento general y unificado de las cnicas, en contraposicin con los mtodos clsicos de Apolonio. El libro se perdi y slo se encontr una copia en 1847 en una librera de Pars. 1640 Blaise Pascal publica a los 16 anos su Essay pour les coniques. Aqu apareca su mysterium hexagrammicum, hoy hexagrama mstico de Pascal, segn el cual los pares de lados opuestos de un hexgono inscrito en una cnica se cortan en tres puntos alineados. Para dar plena validez a este teorema hay que recurrir a los puntos de infinito del plano. 1806 Despus de un largo periodo de oscuridad el estudio de la Geometra Proyectiva renace en la Ecole Polytechnique de Pars en torno a la figura de Gaspard Monge. Un discpulo suyo, Julien Brianchon, demuestra a los 21 anos el teorema que lleva su nombre: En un hexgono circunscrito a una cnica las tres diagonales se encuentran en un punto. Este teorema es el primer caso de dualidad en Geometra Proyectiva: es dual del teorema de Pascal. 1822 Jean-Victor Poncelet publica su Traite des proprietes projectives des figures. Aqu se recogen, en parte, las reflexiones del autor como prisionero de guerra en Rusia durante las campaas napolenicas. Poncelet defiende a ultranza el uso de mtodos sintticos. Su trabajo se concentra en el estudio de las figuras homlogas, que son las que se derivan una de otra por una sucesin de proyecciones y secciones. Su objetivo era encontrar para cada figura otra

homloga ms simple cuyo estudio permitiera deducir propiedades de la primera. Sus tres aportaciones principales son: 1. El principio de continuidad o permanencia de las relaciones matemticas. 2. La formulacin del principio de dualidad, que trajo una amarga polmica de prioridad con Joseph-Diez Gergonne. 3. El descubrimiento de los denominados puntos circulares del infinito, por los que pasan todos los crculos del plano. Jacob Steiner, hijo de un granjero suizo, fue tambin un apstol de los mtodos sintticos y un extremista de los mtodos didcticos de enseanza de la Geometra: la enseaba sin figuras y, en ocasiones, a oscuras. Fue el inventor de un nuevo mtodo de definir cnicas a partir de homografas entre haces de rectas. Us sistemticamente la razn doble y el principio de dualidad, pero se neg a admitir elementos imaginarios (fantasmas de la Gemetra). Michel Chasles descubri independientemente alguno de los resultados de Steiner. Fue practicante del llamado mtodo mixto: pensaba sus resultados analticamente y los presentaba sintticamente. Chasles introdujo el trmino homografa y defini las correlaciones. Uno de sus resultados ms conocidos asegura que cuatro puntos fijos de una cnica determinan con un quinto punto de la misma cuatro rectas cuya razn doble no depende de ese ltimo punto. 1829 Julius Plcker justifica rigurosamente el principio de dualidad. Plcker abogaba por el uso de los mtodos algebraicos en detrimento de los sintticos: Fue uno de los inventores de las coordenadas homogneas (descubiertas tambin por Karl Wilhelm Feuerbach, Etienne Bobillier y August Ferdinand Mobius). Estas coordenadas fueron un instrumento muy adecuado para tratar nociones relacionadas con los puntos de infinito. Sin embargo, la influencia de Steiner, que rechazaba los mtodos analticos, llev a Plcker a abandonar la Geometra y dedicarse a la Fsica. Mbius se gan la vida como astrnomo. Utiliz coordenadas para representar las curvas y superficies mediante ecuaciones homogneas (de ah el nombre de las coordenadas). Mbius distingui cuidadosamente entre los distintos tipos de transformaciones de un plano: (a) congruencias, cuando las figuras que se corresponden son iguales, es decir, se conservan longitudes y ngulos, (b) semejanzas, cuando las figuras que se corresponden son semejantes, es decir, se conservan ngulos, (c) afinidades, cuando se conserva el paralelismo, pero no necesariamente la longitud ni la forma, y

(d) colineaciones, cuando las rectas se transforman en rectas. Mbius prob que toda colineacin del plano proyectivo real es una homografa. 1847 Karl Georg Christian von Staudt publica su libro Geometrie der Lage [Geometra de posicin], en el que desarrolla por primera vez la Geometra Proyectiva sin referencia a conceptos mtricos o relacionados con las magnitudes. De este modo, la Geometra Proyectiva se establece como una geometra que engloba la Geometra Eucldea. El libro de von Staudt tena el defecto de usar el axioma de las paralelas, que es una nocin afn, no proyectiva. Posteriormente Felix Klein remediara esta dificultad. 1853 Edmond Laguerre se propone establecer las propiedades bsicas de la Geometra Eucldea en trminos proyectivos y encuentra una celebrada frmula que mide el ngulo de dos rectas en trminos de la razn doble de la cuaterna formada por esas rectas y otras dos que pasan por los puntos circulares del infinito. Arthur Cayley trabaj independientemente en la misma direccin. Cayley consider una cnica en el plano (el absoluto) en lugar de los puntos circulares y prob que las propiedades mtricas de las figuras son sus propiedades proyectivas relativas al absoluto. Esto llev a Cayley a afirmar dramticamente: La Geometra Mtrica es una parte de la Geometra Proyectiva. 1872 Klein ve las posibilidades unificadoras del concepto de grupo en Geometra, y en su Programa de Erlangen muestra como sirve para caracterizar las diversas geometras aparecidas durante el siglo XIX. Segn ese programa todas las geometras son subgeometras de la Geometra Proyectiva. Este planteamiento es posterior al descubrimiento de un modelo proyectivo del plano hiperblico. En el establecimiento de este modelo se incorporan y generalizan las ideas de Cayley sobre el absoluto. 1882 Moritz Pasch realiza el primer intento de fundamentacin axiomtica de la Geometra Proyectiva. Contribuciones posteriores se deben a Giuseppe Peano, Federigo Enriques y Alfred North Whitehead. En el texto clsico Projective Geometry de Oswald Veblen y John Wesley Young se ofrece un conjunto independiente de axiomas y se presenta una organizacin de la Geometra Proyectiva basada en las ideas de Klein, segn las cuales la

Geometra Proyectiva es el marco general en el que aparecen diferentes especializaciones (Geometra Eucldea y geometras no eucldeas). 6. ORIGENES DE LA GEOMETRIA PROYECTIVA Los pintores del Renacimiento buscan la representacin de la realidad; este planteamiento conlleva una serie de problemas pictricos como despegar las figuras del fondo del cuadro y conseguir representar su volumen. Haba que organizar las figuras en una composicin, situndolas en un espacio fsico concreto y tridimensional, lo que supone crear sistemas de representacin o frmulas preestablecidas que constituyen la perspectiva. El punto de partida en esta tarea lo representan los primitivos flamencos y los primitivos italianos del siglo XIV que, de forma intuitiva, rompen con algunos convencionalismos: las figuras ya no se recortan sobre un fondo neutro, se modelan por claroscuro del blanco y del negro (utilizan una gradacin preestablecida de 3 o 4 tonos previamente mezclados). Crean una caja espacial arquitectnica en la que intentan encajar las figuras en varios planos de profundidad (son planos paralelos y horizontales) y adoptan un punto de vista elevado. Los pintores florentinos de principios del siglo XV, quieren hacer de la pintura una ciencia derivada de la geometra eucldea por influencia de los crculos intelectuales neoplatnicos de la alta burguesa. Buscan un mtodo cientfico de representacin de la realidad basado en leyes matemticas: la perspectiva geomtrica o lineal. Esta es una de las principales aportaciones de la pintura renacentista, la construccin racional del espacio, mediante unas leyes objetivas que se basan en la teora de la perspectiva lineal. Se crea as de forma artificial un espacio pictrico tridimensional, en el que se sitan los objetos de forma rigurosa segn un orden marcado por la proporcin y que se desarrolla ante el espectador como si el cuadro fuese una ventana abierta. IMAGEN La composicin se organiza de acuerdo con esquemas geomtricos elementales tringulo, crculo, pentgono y se ajusta a las proporciones de la seccin urea. Durante el Renacimiento, los artistas estn influidos por la mstica del nmero, nacida de la fusin del humanismo y el cristianismo: Pitgoras, Vitruvio, la Biblia y San Agustn fueron la fuente de inspiracin de las medidas reguladas (rationes).

Tambin pretenden formular unas normas o reglas matemticas que permitan representar el ideal de belleza. Una belleza que, siguiendo a los clsicos, se encuentra en el equilibrio, la proporcin y la armona de las diferentes partes del cuerpo. El resultado sern unos cuerpos idealizados, slidos, monumentales, de formas simples y contornos ntidos. EL RENACIMIENTO. CONTEXTO HISTRICO El Renacimiento se desarrolla en Italia durante los siglos XV y XVI, y durante esta ltima centuria en toda Europa, marcando el nacimiento del Mundo Moderno. Es una poca de grandes transformaciones: se producen los descubrimientos geogrficos de castellanos y portugueses, arranca un nuevo sistema de produccin, el capitalismo inicial, que favorece la aparicin de una fuerte burguesa mercantil y manufacturera. A finales del siglo XV aparecen definitivamente consolidadas las monarquas autoritarias y se forman los grandes estados unificados modernos. Estos cambios se acompaan de una nueva concepcin del mundo: frente a la supeditacin del individuo a la Divinidad y de la razn humana a las verdades absolutas de la Teologa, propias del mundo medieval, el hombre se convierte en el centro del mundo y de la nueva visin de las cosas. Es el Humanismo A partir de esta concepcin antropocntrica del universo, surge un nuevo criterio de belleza: lo autnticamente bello es, sobre todo, el hombre en todas sus facetas, la vida cotidiana y la naturaleza que le rodea. Los hombres del Renacimiento fueron conscientes de la renovacin que supona el arte y la cultura de su tiempo. La idea de recuperar el ideal de un modelo perdido aparece constantemente en los escritos de los humanistas y de los tratadistas del arte. El modelo cultural de la Antigedad funciona como un ideal y como un mito: los humanistas recuperan el pensamiento de los clsicos (escuela neoplatnica de Pico de la Mirndola y Marsilio Ficino), la gramtica, la literatura y el gusto artstico de helenos y romanos. Las nuevas ideas se difunden a un mayor nmero de ciudades y de pases gracias a la imprenta y a la expansin y generalizacin de las enseanzas universitarias (el uso del latn como lengua fundamental de la enseanza permite que profesores como Erasmo o Luis Vives puedan ensear en distintas universidades europeas). Italia juega un papel fundamental en este movimiento de renovacin cultural y artstica. Las relaciones mercantiles que establece como intermediaria entre

Europa y Oriente, y su banca, cada vez mejor estructurada, le permiten alcanzar una modernidad econmica y unas organizaciones sociales avanzadas. Como las relaciones artsticas se convierten en instrumentos de prestigio y de exaltacin de los mecenas, Lorenzo de Mdicis en Florencia, Francisco I en Francia, Carlos V, Felipe II, los Papas y ciertos sectores de la nobleza, asumen ambiciosos programas artsticos en sus respectivas cortes. La rivalidad de las cortes, que se disputan a los artistas, permitir que estos adquieran una nueva consideracin social y profesional que rompe con el anonimato y el carcter gremial que haba tenido su actividad durante la Edad Media. En estas mismas cortes, los artistas entran en contacto con los humanistas y con los estudiosos que empiezan a poner en marcha unos conocimientos cientficos basados en el estudio de los clsicos, la observacin y la experimentacin, en una unin de saberes que tendr su mxima expresin en la universalidad de Leonardo da Vinci, artista, inventor, cientfico, tratadista y poeta. 5. EL ESPACIO AFIN Y EL ESPACIO PROYECTIVO Para seguir avanzando en este recorrido histrico, se hace necesario un inciso para definir algunos conceptos que cronolgicamente fueron posteriores. Los gemetras del Renacimiento y los siglos siguientes trabajaban en el espacio tridimensional, pero pronto se dieron cuenta de que necesitaban otros objetos adems de los puntos, rectas, planos y dems figuras: vieron que el fenmeno del paralelismo poda tratarse de modo unificado con la incidencia de variedades si tenemos en cuenta que dos variedades paralelas no comparten puntos pero s direcciones. La consideracin de las direcciones o clases de equivalencia de paralelismo como puntos que haba que aadir al espacio tridimensional llev con el tiempo a la nocin de espacio proyectivo: Los puntos de un espacio proyectivo P, de dimensin n son las rectas vectoriales de un espacio vectorial V (asociado a P) de dimensin n+1. As pues, una recta proyectiva representa las direcciones de un plano vectorial y un plano proyectivo representa las direcciones de un espacio vectorial de dimensin tres. Ahora bien, si fijamos un hiperplano H de V (considerado ahora como espacio afn) que no pase por el origen O, entonces las rectas de V que pasan por O y no son paralelas a H se corresponden biyectivamente con los puntos de H. IMAGEN

Las dems rectas que pasan por O son paralelas a H y representan las distintas direcciones de paralelismo de H. Se llaman los puntos del infinito de H (idea visual de que dos rectas paralelas comparten su direccin, algo que no se ve pero que da la impresin de que ocurre en el infinito, donde no nos alcanza la vista) Podemos observar que los puntos del infinito de H constituyen a su vez un espacio proyectivo de dimensin n-1, segn la definicin anterior, con lo cual tenemos que P se descompone en unin disjunta del espacio afn H, de dimensin n, y un espacio proyectivo, P, de dimensin n-1, al que se llama hiperplano del infinito. Por ejemplo, una recta proyectiva es una recta afn ms un punto del infinito, y un plano proyectivo es un plano afn ms una recta proyectiva de puntos del infinito. La definicin dada de espacio proyectivo entronca directamente con los estudios de perspectiva, seccin y proyeccin ya considerados en paneles anteriores: si el origen de coordenadas O es el foco del cual parten los rayos o rectas vectoriales, entonces identificamos dos figuras perspectivas, es decir, que sean proyeccin desde O una de la otra, ya que los puntos de cada rayo quedan identificados entre s al trasladar la situacin a la geometra del espacio proyectivo. Se responde as a las preguntas de Len Battista Alberti en 1435: Qu relacin hay entre dos secciones de la misma figura? y cules son las propiedades comunes a dos secciones cualesquiera? En efecto, de acuerdo con las explicaciones anteriores, resulta que: Dos secciones de la misma figura son proyectivamente iguales, y Las propiedades comunes a las dos secciones son las que provienen de la Geometra Proyectiva, no de la Geometra Afn. 6. LAS SECCIONES CONICAS El estudio de las secciones cnicas se inici en la Grecia Clsica con Menecmo en el siglo IV a.d.C. y sobre todo con Apolonio a finales del siglo III a.d.C.. Los trabajos de este ltimo cobraron inters de nuevo en el siglo XVII para resolver problemas relacionados con la Astronoma y la ptica. IMAGEN Dado que las cnicas afines pueden construirse como secciones de un cono, todas parecen iguales si se miran desde el vrtice del cono. IMAGEN

Teniendo en cuenta el concepto de espacio proyectivo, en el que todos los puntos de una recta vectorial quedan identificados, se llega a que la Geometra Proyectiva da un tratamiento unificado a las cnicas: hay una nica cnica regular proyectiva. Entonces, dada una cnica regular en el plano proyectivo, y elegida una recta como recta del infinito, distinguiremos si la cnica afn resultante (al quitar la recta del infinito) es una hiprbola, una parbola o una elipse, segn la recta de infinito corte a la cnica en dos puntos, un punto, o ninguno. IMAGEN LOS PUNTOS DEL INFINITO En el contexto de sus investigaciones sobre ptica, Johannes Kepler (15711630) introdujo en 1604 la nocin de punto de infinito para dotar a la parbola de un segundo foco. Kepler estudia el comportamiento de una elipse tanto en el caso en el que los dos focos se junten dando lugar a una circunferencia, como en el caso en el que un foco quede fijo y el otro se aleje dando lugar a una parbola. Dnde est entonces el segundo foco de la parbola? Kepler deca que en una parbola un foco estaba dentro y el otro a una distancia infinita del primero. No ocurre as en elipses ni hiprbolas, cuyos focos estn a distancia finita.

IMAGEN . sistema de conicas de kepler Las dems rectas que pasan por O son paralelas a H y representan las distintas direcciones de paralelismo de H. Se llaman los puntos del infinito de H (idea visual de que dos rectas paralelas comparten su direccin, algo que no se ve pero que da la impresin de que ocurre en el infinito, donde no nos alcanza la vista) Podemos observar que los puntos del infinito de H constituyen a su vez un espacio proyectivo de dimensin n-1, segn la definicin anterior, con lo cual tenemos que P se descompone en unin disjunta del espacio afn H, de dimensin n, y un espacio proyectivo, P, de dimensin n-1, al que se llama hiperplano del infinito. Por ejemplo, una recta proyectiva es una recta afn ms un punto del infinito, y un plano proyectivo es un plano afn ms una recta proyectiva de puntos del infinito. La definicin dada de espacio proyectivo entronca directamente con los estudios de perspectiva, seccin y proyeccin ya considerados en paneles anteriores: si el origen de coordenadas O es el foco del cual parten los rayos o

rectas vectoriales, entonces identificamos dos figuras perspectivas, es decir, que sean proyeccin desde O una de la otra, ya que los puntos de cada rayo quedan identificados entre s al trasladar la situacin a la geometra del espacio proyectivo. Se responde as a las preguntas de Len Battista Alberti en 1435: Qu relacin hay entre dos secciones de la misma figura? y cules son las propiedades comunes a dos secciones cualesquiera? En efecto, de acuerdo con las explicaciones anteriores, resulta que: Dos secciones de la misma figura son proyectivamente iguales, y Las propiedades comunes a las dos secciones son las que provienen de la Geometra Proyectiva, no de la Geometra Afn. Mientras que en la elipse y en la hiprbola los rayos de luz que parten de un foco se reflejan en rayos que pasan por el otro foco, en la parbola los rayos que parten del foco se reflejan en rayos paralelos al eje, y por tanto el foco segundo de la parbola est en ambas direcciones a lo largo del eje (tiene que estar en ambas para dar continuidad a las transformaciones de la elipse y la hiprbola en una parbola). Y sta es justamente la idea de la nocin moderna de los puntos de infinito. El estudio de Kepler sobre los focos de las secciones cnicas se enmarca en el problema de dar una teora unificada para las investigaciones sobre reflexin y refraccin de los rayos de luz en espejos cncavos y convexos de tipo cnico. Euclides ya da razn de los llamados espejos ardientes, que eran espejos cncavos tales que al concentrar los rayos de sol en el foco hacen que los objetos situados en ste entren en combustin. Kepler es muy conocido adems por su demostracin de que las rbitas de los planetas son elpticas. Como ancdota se puede mencionar que el ocho tumbado que se utiliza para representar infinito se debe a John Wallis, matemtico ingls del siglo XVII. En los tratados de Alberti y sobre todo de Desargues, aparecen tambin el concepto y la construccin de los puntos del infinito, con motivaciones de ndole pictrica en el caso de Alberti y geomtricas en el caso de Desargues. Tanto Kepler como Desargues consideran los dos terminales de una recta como encontrndose en el infinito y as las rectas proyectivas tienen la misma estructura que la circunferencia. INGREDIENTES ESENCIALES

En el contexto de los trabajos de perspectiva del Renacimiento y ante la aparicin de nuevos problemas en la ciencia aplicada, surgen en el siglo XVII varias figuras clave en la recuperacin de los conocimientos geomtricos griegos y en los nuevos enfoques que daran lugar ms tarde al nacimiento de la Geometra Proyectiva. Adems de Kepler, que se orient ms hacia la ptica y la Astronoma, tres son los nombres que se destacan: Girard Desargues, Blaise Pascal y Philippe de la Hire. Por la importancia de sus resultados nos centraremos en los dos primeros. DESARGUES Y PASCAL Girard Desargues (15911661) naci en Lyon, de familia acomodada, pues parece que era hijo de un notario. No se sabe nada de sus estudios hasta que aparece en Pars en 1626 en los crculos filosficos y cientficos prximos a Ren Descartes (15961650), con quien le uni una profunda amistad. En 1628 se encontraba sirviendo como ingeniero militar en el sitio de la Rochela, y a la vuelta de la guerra trabaj como arquitecto en Pars al servicio del Cardenal Richelieu. En esta poca cultiva la amistad de Pierre de Fermat (16011665), Gilles Personne de Roberval (16021675), Marin Mersenne (1588-1648) y los Pascal, padre e hijo. Desargues fue fundamentalmente un ingeniero y un arquitecto, por lo que sus obras matemticas estn siempre dirigidas a su aplicacin prctica. Muy pronto sus nuevos mtodos geomtricos causaron extraeza y levantaron una oleada de crticas. Adems, el estilo es conciso, oscuro y con un gran caudal de trminos extraos, generalmente botnicos, para que fueran comprensibles a ingenieros y mecnicos. Los nicos que reconocieron la categora de sus obras fueron los antes citados Descartes, Fermat, Mersenne y Pascal, pero el resto de sus contemporneos le tildaron de loco. Desargues era bastante aficionado a la polmica, pero harto de incomprensin se retir a Lyon en 1650 donde vivi hasta su muerte. Desargues investiga: las secciones cnicas y los puntos del infinito, la invarianza de la razn doble y de las cuaternas armnicas, la teora de las polares, y, por supuesto, el famoso Teorema de Desargues: Si proyectamos un tringulo del plano proyectivo de vrtices A, B, C, desde un punto O, obtenemos otro tringulo de vrtices A, B, C, y decimos que los dos tringulos son perspectivos desde O. Entonces, dos tringulos son perspectivos si y slo si los lados correspondientes se

Teorema de Desargues en el plano cortan en tres puntos alineados. imagen Teorema de Desargues en el espacio El teorema de Desargues tiene una versin en el espacio cuya demostracin es casi inmediata. En efecto, si los dos tringulos estn en dos planos diferentes del espacio proyectivo, entonces los puntos P,Q,R de interseccin de los lados correspondientes estn en la interseccin de los dos planos, que es una recta. El teorema de Desargues se puede considerar un caso lmite de esto, cuando los dos planos se confunden en uno. Imagen Blaise Pascal (1623-1662) fue un nio precoz entusiasmado con la geometra. A los 11 aos su padre lo llevaba a las sesiones de la Academia Mersenne, donde estableci contacto con Desargues. ste le anim a usar su mtodo de proyeccin y seccin y a los 16 aos public su famoso trabajo Essay pour les coniques donde aparece el teorema que lleva su nombre. Este teorema es uno de los ms bellos y sugestivos de la matemtica. La figura de Pascal es muy importante tambin en otras materias como la hidrosttica (ley de Pascal). Se le puede considerar el fundador del clculo de probabilidades (geometra del azar) y sus contribuciones son tambin fundamentales en el clculo combinatorio. La ltima parte de su vida estuvo marcada por sus aportaciones filosficas fruto de sus fuertes convicciones religiosas. Teorema de Pascal: Si se inscribe un hexgono en una cnica, los puntos de interseccin de los pares de lados opuestos estn alineados. En general, un hexgono no est inscrito en una cnica, y el teorema de Pascal expresa la condicin maravillosamente simple para que s lo est. Por eso se llama hexagrama mstico la figura correspondiente. El siguiente teorema clsico puede considerarse como el caso no regular del de Pascal. Sean L y M dos rectas distintas del plano proyectivo. Si P0, P1, P2 estn en L y Q0, Q1, Q2 en M, y ninguno de ellos es el punto de interseccin de las dos rectas, entonces los tres puntos de interseccin (1) R0 de P1Q2 con P2Q1, (2) R1 de P0Q2 con P2Q0, y (3) R2 de P0Q1 con P1Q0, estn alineados. IMAGEN

Desgraciadamente, el siglo XVII no era adecuado para la geometra pura. Los problemas cientficos del momento requeran mtodos algebraicos ms efectivos para los clculos que la tecnologa necesitaba. Por eso, la Geometra Proyectiva fue abandonada a favor de la Geometra Analtica, el lgebra y el Clculo Infinitesimal. Los resultados de Desargues, Pascal y de la Hire se olvidaron hasta principios del siglo XIX cuando se produjo el resurgimiento de la geometra pura. EL REDESCUBRIMIENTO DE LA GEOMETRIA PURA En el siglo XVIII se abandonan los mtodos sintticos en los estudios geomtricos a favor de los mtodos analticos, que usaban la geometra de coordenadas. La Geometra pura se convierte, simplemente, en una interpretacin del lgebra o en una gua para los procesos algebraicos. As se deduce por ejemplo de comentarios de Leonhard Euler (17071783) en sus obras. Conviene recordar, no obstante, a matemticos ingleses como Colin Maclaurin (16981746), que siguieron fieles a la tradicin geomtrica de Sir Isaac Newton (16421721). Fue en en el siglo XIX cuando se produjo el renacimiento de la geometra, a partir del desarrollo de la dualidad y de las coordenadas homogneas, que supusieron un gran avance en la consolidacin de lo que sera la Geometra Proyectiva propiamente dicha. El catalizador final fue la fuerte controversia geometra sinttica versus geometra analtica. DUALIDAD Cuntos planos hay contenidos en un punto? Tantos como puntos pasan por un plano. Y... contrariwise. (Tweedledee en Alicia en el pais de las maravillas, de Lewis Carroll.) La dualidad es un concepto omnipresente en toda la Matemtica, pero tal vez sea en Geometra Proyectiva donde mejor puede ilustrarse su inters. Es un diccionario que permite traducir de un contexto a otro nociones y resultados. Podemos formularla tcnicamente como sigue: V = espacio vectorial de dimensin n+1 V* = espacio vectorial dual, formado por las aplicaciones lineales h:VK con valores en el cuerpo base K P = espacio proyectivo de dimensin n formado por las rectas vectoriales de V P* = espacio proyectivo dual, formado por los hiperplanos proyectivos H de P, que se representan mediante una ecuacin h=0, que est determinada salvo proporcionalidad L = subvariedad proyectiva de P

L* = subvariedad proyectiva dual, formada por todos los hiperplanos H de P que contienen a L. Las dos propiedades fundamentales de esta dualidad son: dim(L)+dim(L*)=n-1. Si L contiene a M, entonces L* est contenida en M*. En el plano proyectivo, una recta tiene por dual un haz de rectas, que se identifica con su punto base, y se obtiene lo siguiente: IMAGEN Una vez se conoce el diccionario entre variedades y variedades duales, se cumple el denominado Principio de dualidad, segn el cual una proposicin relativa a variedades proyectivas es cierta si y slo si es cierta su dual. Este principio fue establecido inicialmente por Jean-Victor Poncelet (17881867), pero ligado a la nocin de polaridad respecto de una cnica dada, que ya hemos descrito anteriormente. Tal vez uno de los ejemplos ms bellos de dualidad sea el denominado Teorema de Brianchon, que es el enunciado dual del Teorema de Pascal. En efecto, utilizando la dualidad asociada a una cnica, Julien Brianchon (17851864) demostr lo siguiente: Teorema de Brianchon Si se circunscribe un hexgono a una cnica, las diagonales que unen vrtices opuestos son concurrentes en un punto. COORDENADAS HOMOGNEAS La construccin del espacio proyectivo como el conjunto de las rectas (vectoriales) de un espacio vectorial hizo necesaria la consideracin de nuevos sistemas de coordenadas que permitieran cierta agilidad y eficacia en los clculos. Uno de los primeros en utilizar otro tipo de coordenadas fue Augustus Ferdinand Mbius (1790 1868) en su trabajo de 1827 sobre el clculo baricntrico. Se construyen las coordenadas de un punto en el plano en relacin a los vrtices de un tringulo y si estamos en el espacio con relacin a un tetraedro. El punto de coordenadas (1,1,1) es el baricentro de un tringulo, y el punto (1,1,1,1) es el baricentro de un tetraedro. Estas ideas le permitieron precisar los estudios de la razn doble y de las colineaciones. Las coordenadas de Mbius de un punto no son nicas, pero s las razones entre las coordenadas, con lo cual tienen ya un carcter proyectivo. Karl Wilhelm Feuerbach (18001834) y tienne Bobillier (1798-1840) publicaron en la misma poca resultados parecidos a los de Mbius.

El paso decisivo lo dio Julius Plcker (18011868), que fue quien ms eficazmente aplic estos mtodos a la Geometra Proyectiva. A l debemos las coordenadas homogneas, que defini de dos formas. Primero consider un tringulo fijo y tom como coordenadas de un punto P las distancias a los tres lados de ese tringulo. Ms tarde introdujo el caso especial en el que uno de los lados del tringulo est situado en la recta del infinito, y as surgieron las coordenadas homogneas tal como se conocen actualmente: las coordenadas de un punto P del plano son (x,y,z), donde x = Xz y = Yz y (X,Y) son las coordenadas cartesianas del punto P cuando los ejes de coordenadas son los dos lados del tringulo que no estn en la recta del infinito. Con esto las coordenadas de P no son nicas, pues (kx,ky,kz) corresponden al mismo punto, siempre que k no sea nulo. Es decir, todos los puntos de una recta del espacio vectorial pasan a ser el mismo en el plano proyectivo asociado a ese espacio vectorial. Al aplicar esta relacin entre las coordenadas cartesianas y las homogneas a la ecuacin de una curva en el plano afn, obtenemos una ecuacin homognea: sta no es ms que la homogeneizacin de aquella. Esa ecuacin homognea es la de una curva del plano proyectivo, obtenida aadiendo a la curva afn los puntos que resultan al hacer z=0 en la ecuacin homognea, es decir, los puntos que tiene en el infinito. La definicin de coordenadas homogneas permiti a Plcker formalizar muchas ideas geomtricas que sentaban las bases de la naciente Geometra Proyectiva. De hecho, defini tambin las coordenadas de rectas del plano, lo cual le permiti considerar con precisin la dualidad puntorecta del plano proyectivo y zanjar de paso la polmica entre Poncelet y Gergonne sobre la diferencia entre polaridad asociada a una cnica y dualidad general. En 1831, Plcker ampli sus estudios al espacio proyectivo y dio coordenadas a las rectas del espacio, aportando de este modo ideas esenciales para los estudios de lo que luego seran las grassmannianas. GEOMETRA SINTTICA VERSUS GEOMETRA ANALTICA A finales del siglo XVIII se empiezan a or voces a favor de una vuelta a la geometra sinttica, son las de Garpard Monge (17461810) y Lazard Carnot (17531823) en la cole Polytechnique. Monge tiene importancia por sus propias contribuciones y de modo especial porque prepar el terreno para el siglo XIX, al transmitir estas ideas con entusiasmo a discpulos suyos tan

importantes como el propio Carnot, Charles Dupin (17841783), Brianchon, Jean-Baptiste Biot (17441862)y Poncelet. Se empez a trabajar en la Geometra Eucldea y tambin en la Proyectiva partiendo de cero, pues los trabajos de Desargues se desconocan. Carnot comenz liberando a la geometra de los jeroglficos del anlisis y para ello recurri a mtodos puramente geomtricos en sus demostraciones. Poncelet fue quien dio el impulso definitivo en el renacimiento de la geometra pura. Fue el primero en considerar la Geometra Proyectiva como una nueva rama de las matemticas con objetivos y mtodos propios. Distingui entre las propiedades que son proyectivas y las que no. Y en cuanto a los mtodos recuper los de Desargues y Pascal y utiliz tambin las llamadas transformaciones proyectivas. En la primera mitad del siglo XIX se estableci una gran controversia entre gemetras sintticos y gemetras analticos. Las objeciones que se ponan a la geometra analtica eran del tipo siguiente: Es realmente geometra? Los mtodos son puramente algebraicos y los resultados tambin, con lo que se olvida el significado geomtrico. Se pierde la conexin entre el punto de partida y el de llegada en el proceso de pequeos pasos algebraicos cuyo significado geomtrico no es claro. El mtodo geomtrico puro es ms simple e intuitivo en sus demostraciones. La geometra es la verdad acerca del mundo real; sin embargo el anlisis y el lgebra no son verdades en s mismas. La geometra analtica tiene, sin embargo, la ventaja de la potencia por la generalidad de su mtodo, pues todos los problemas se resuelven por procedimientos uniformes, mientras que en la geometra sinttica cada problema depende de la figura particular considerada. Representantes de los sintticos fueron Poncelet, Jacob Steiner (17961863) y Chasles. Representantes de los analticos seran Mbius y Plcker y Gergonne. La rivalidad tuvo momentos de gran tensin, como por ejemplo cuando Steiner amenaz a los editores de la prestigiosa revista Journal fr die reine und angewandte Mathematik (Crelle) con no publicar ms en ella si continuaba admitiendo los trabajos de Plcker. Despus de esta fase, en la que hay tambin otras figuras reseables, como Arthur Cayley (18211895), George Salmon (18191904) y James Joseph Sylvester (18141897), gemetras analticos ingleses, la Geometra Proyectiva entr en una etapa de madurez cuyo nombre clave fue von Staudt, que mostr cmo la Geometra Proyectiva engloba a la Geometra Eucldea. Ya ms tardamente pero en el siglo XIX an, Flix Klein (18491925) complet la obra

de Staudt mediante la teora de los grupos de transformaciones en su famoso Programa de Erlanger. DEFINICION DEL PLANO PROYECTIVO Se puede definir el plano proyectivo mediante cuatro axiomas de incidencia entre puntos y rectas: Dos puntos determinan una nica recta. En cada recta hay al menos tres puntos. Hay tres puntos no alineados. Dos rectas cualesquiera se cortan en un punto. Si estos axiomas se cumplen para un conjunto de puntos en el que se sealan ciertos subconjuntos como las rectas y se define la relacin de incidencia punto pertenece a recta, entonces tenemos un plano proyectivo. Surge ahora una pregunta natural: Qu relacin hay entre esta definicin axiomtica de plano proyectivo y la construccin del plano proyectivo como conjunto de rectas de un espacio vectorial de dimensin 3? Para facilitar las explicaciones, convenimos en denominar plano proyectivo axiomtico a cualquier conjunto de puntos y rectas que cumpla la axiomtica anterior, y plano proyectivo algebraico al conjunto de rectas de un espacio vectorial de dimensin 3. En primer lugar se observa que un plano proyectivo algebraico (definido sobre un cuerpo K finito o infinito, con 2 o ms elementos), cumple los axiomas anteriores, y es por tanto un plano proyectivo axiomtico. Pero, y recprocamente? La respuesta a esta cuestin es que NO: se pueden encontrar planos proyectivos axiomticos que no son algebraicos. Teorema de Desargues IMAGEN Teorema de Pappus IMAGEN La existencia de esos ejemplos no algebraicos est relacionada con uno de los resultados clsicos de la Geometra Proyectiva: el clebre Teorema de Desargues, que se verifica en todos los planos proyectivos algebraicos. Ocurre que no todos los planos proyectivos axiomticos cumplen ese teorema, y naturalmente, los que no lo cumplen no pueden ser algebraicos. El primer ejemplo de este fenmeno se debe a Oswald Veblen (1880-1960) y Joseph Henry Maclagan Wedderburn (1882-1948). Para distinguirlos, los planos

proyectivos que s cumplen el teorema de Desargues se denominan desarguesianos. Estos planos proyectivos desarguesianos s se pueden definir algebraicamente, aunque con un pequeo matiz. En realidad, se demuestra que un plano proyectivo desarguesiano est definido de manera algebraica (como rectas de un espacio vectorial), pero no necesariamente sobre un cuerpo, sino sobre un anillo de divisin. Digamos, para completar esta discusin, que un plano desarguesiano est definido sobre un cuerpo precisamente cuando se verifica en l otro resultado clsico: el Teorema de Pappus. LAS CONICAS EN LA ARQUITECTURA Sin necesidad de describir el concepto de cnica tal y como se ha definido tradicionalmente en geometra, ni de citar a estudiosos ms o menos lejanos en la historia que hayan trabajado con estas curvas, si nos referimos a la Arquitectura y sin centrarnos en una figura como la circunferencia, utilizada tradicionalmente en la construccin, ya desde el siglo XV se conocen ejemplos en los que se dibuja la elipse como afn de la circunferencia sabindose, adems, cmo los diseadores proyectaban sus obras dibujando valos de ms fcil trazado y los constructores resolvan los replanteos con la elipse. Otras cnicas se ha seguido utilizando en arquitectura. Como paradigma de obras en las que la forma y las propiedades geomtricas de estas curvas se han convertido en la esencia misma de la construccin, se han elegido ejemplos en los que los autores, arquitectos o ingenieros, han utilizado tanto los trazados geomtricos como sus caractersticas, constructivas o simblicas, para conseguir un resultado en el que se pone de manifiesto la necesidad de cada una de ellas para conseguir el fin deseado. Persiguiendo una unidad en el planteamiento, se han elegido para las tres cnicas ms representativas en la construccin elipse, hiprbola y parbolaejemplos llevados a cabo en situaciones similares en cuanto a avances constructivos y utilizacin de materiales, y siempre basados en la formacin matemtica de sus autores. Se ha pensado en el hacer de Moya surgido de la meditacin sobre los textos clsicos que hablan de proporciones numricas o ideas filosficas sobre ellas (fig. 1), en los estudios de Torroja sobre curvas basados en la geometra vivida y aprendida en su infancia (fig 2), pasando por los huesos de Fisac, esas piezas posibles gracias al hormign puesto al servicio de un diseo dominado por la geometra (fig. 3).

Y si bien se puede debatir sobre la eficacia de las matemticas como medio para acercarse a la belleza absoluta en las obras de arquitectura, como indicaba el profesor Toms Garca Diego, siempre se puede reivindicar la belleza de las formas en las construcciones a travs de los nmeros, cuando el clculo va impregnado de emocin. LA ELIPSE LA HIPERBOLA LA PARABOLA

5. SIMETRIA Y ARQUITECTURA Otro concepto relacionado y que se aborda desde diferentes asignaturas de los estudios de Arquitectura y fundamentalmente en Composicin, es la simetra. "La Belleza est estrechamente ligada con la simetra" (Weyl). Las primeras concepciones sobre simetra arquitectnica identificaban simetra con la proporcin, el equilibrio y la belleza. Vitruvio la define como "el vnculo armnico de cada uno de los miembros del edificio respecto a la figura global de la obra". Esta concepcin influy notablemente en el Renacimiento: Durero, Miguel Angel, Piero de la Francesca, Paccioli, Leonardo da Vinci,...contribuyeron al estudio de la simetra sin desligarla del proporcionado de la obra. La referencia de Palladio I quattro libri dell'architettura: "entiendo que los edificios deben parecer un entero y bien definido cuerpo en el que un miembro convenga al otro y todos los miembros sean necesarios a aquel que se quiere hacer", sintetiza perfectamente esta vinculacin arquitectnica de simetra y proporcin en su aspecto global. Esta bsqueda constante del canon y el orden se reflej no slo en los diseos de plantas y fachadas sino en todos los elementos integrantes del edificio: frisos, columnatas, mosaicos,... Sigue Palladio " y se debe advertir que las estancias de la parte derecha respondan y sean iguales a las de la izquierda a fin de que la fbrica sea as en una parte como en la otra."

En Viollet le Duc Diccionario de Arquitectura encontramos una nueva conceptualizacin: "simetra significa hoy, en el lenguaje de los arquitectos, no un equilibrio ni relacin armoniosa de las partes con el todo, sino una similitud de partes opuestas, la reproduccin exacta, a la izquierda de un eje, de lo que hay a la derecha". En el fondo, esta definicin desmarca la teora de la proporcin de la teora de la simetra, reduciendo sta a su aspecto eucldeo puramente geomtrico. En este sentido, la TEORIA DE LA SIMETRIA es una parte de la geometra que operando sobre el espacio eucldeo engloba como transformaciones a todas las isometras, siendo su inters especfico el estudio de los grupos de isometras que dejan invariantes las figuras. Transformaciones ortogonales. Un endomorfismo f: RRse dice ortogonal si conserva los productos escalares. Por ser f una aplicacin lineal y ortogonal conserva las normas, las distancias y los ngulos; transforma bases ortogonales en bases ortogonales; y si f admite un valor propio necesariamente es 1 o -1. El conjunto GO(R)={f/ f: RR es lineal y ortogonal}, es un grupo respecto de la composicin de aplicaciones llamado grupo ortogonal de R. Clasificacin de transformaciones ortogonales. En R las nicas transformaciones ortogonales son los giros alrededor del origen y las simetras axiales con ejes por el origen. En R las nicas son la rotacin alrededor de un eje por el origen, la simetra especular respecto a un plano que contiene al origen y la simetra rotacional. Isometras. Un movimiento rgido o isometra es una aplicacin F:RR que conserva las distancias. Son isometras las transformaciones ortogonales, las traslaciones y la composicin de ambas.

Se demuestra que toda isometra es una transformacin ortogonal o bien una traslacin compuesta con una transformacin ortogonal. El conjunto de los movimientos del plano GM(R) tiene estructura de Grupo con la composicin de aplicaciones. La transformacin identidad es el elemento neutro de este grupo. Es el movimiento que deja invariantes todos los puntos del plano. Id(P) = P Todo movimiento tiene movimiento inverso. El movimiento inverso del giro Gc, es el giro Gc,-, ya que la composicin de ambos nos da la identidad. En el caso de una simetra Sr, es ella misma. Por ltimo, el movimiento inverso de una traslacin T es la traslacin T-. (Gc,- o Gc,) (P) = Id (P) = P (Sr o Sr) (P) = Id (P) = P (T- o T) (P) = Id (P) = P Isometras en la organizacin de ciudades

Izda.: Place de la Concorde, Pars Centro: Planta de Sforzinda, Filarete (hacia 1465) En el estudio de los movimientos del plano (o isometras) es interesante considerar un tipo especial de puntos, los puntos fijos. Un punto P es un punto fijo de una isometra f si f(P) = P. En los movimientos descritos anteriormente, los puntos fijos del giro se educen al centro. En la simetra son fijos los puntos del eje, y la traslacin no deja fijo ningn punto. En funcin de estos puntos fijos podemos clasificar las isometras como sigue: Toda isometra con un punto fijo es una rotacin o una simetra axial. Toda isometra indirecta sin puntos fijos es una simetra con deslizamiento. Conviene distinguir estos subespacios de puntos fijos de los subespacios afines nvariantes. Un subespacio afn M es invariante por un movimiento f si f(M) = M, es ecir, el conjunto se transforma globalmente en s mismo, aunque no tenga puntos fijos. Por ejemplo, una traslacin de vector deja invariante cualquier recta paralela a ese ector, pero ningn punto de la recta permanece fijo. Grupo de simetra de una figura plana. Entendemos por figura plana cualquier subconjunto de R. Una figura F puede ser estudiada "estticamente", analizando sus propiedades mtricas, o bien "dinmicamente", analizando bajo qu movimientos rgidos permanece invariante. Consideramos todas las isometras que transforman la figura en s misma,

S{F} ={fGM(R)tal que f(F)=F}, y lo llamamos grupo de simetra de la figura F. Algunos ejemplos: Tomamos una recta r Esta recta es invariable por todas las traslaciones de vector paralelo a r, por todas las isometras con eje ortogonal a r y por todos los giros de 180 con centro en un punto de r. Estos movimientos generan Gr.

Sea un tringulo equiltero F de vrtices ABC y centro de gravedad O. Gf, grupo de simetra del tringulo, est formado por los siguientes movimientos: Los giros de centro O y amplitud 120 y 240, las simetras de ejes OA, OB y OC y la identidad Id que coincide con el giro de centro O amplitud 360.

-Grupos de simetra de Leonardo. Se denomina as en honor de Leonardo da Vinci, quien lo utiliz en algunos diseos arquitectnicos de capillas.

Un grupo de simetra S{F} de una figura plana se llama grupo puntual o de Leonardo, si es un grupo finito y existe un punto de F fijo por todos los elementos de S{F}. A ese punto se le llama centro de simetra. de F. Estos grupos tuvieron gran inters en el Renacimiento para disear plantas de capillas adyacentes a un ncleo central sin romper la simetra central de ese ncleo. Leonardo hizo un estudio sistemtico con vistas a establecer los mtodos ptimos para realizarlo. Desde el punto de vista de la arquitectura generativa, estos grupos de Leonardo tienen el mximo inters. Por ejemplo, una distribucin poligonal con edificios en los vrtices o en las aristas, permite generar en el centro un espacio comn susceptible de contener una plaza o zona ajardinada o un edificio de uso comunitario.

Recientemente, el uso de estos grupos se ha visto enriquecido con una nueva idea: la existencia de un punto central de simetra en la planta permite localizar en el centro todos los servicios comunes e instalaciones de inters general. -Grupos de simetra de los frisos. Los frisos, elementos sustanciales de la ornamentacin clsica, constan de un determinado mdulo, figura o motivo que se repite a lo largo de una banda rectangular, dndose siempre una periodicidad sistemtica en la repeticin del mdulo, que es la base del ritmo que el friso comunica. Por eso, en el diseo del friso existen dos grados de libertad: la eleccin del motivo y la de las transformaciones que aplicadas al motivo inicial permiten llenar la banda horizontal que contiene el friso. Estas transformaciones se limitan a una gama obtenida por los siete grupos de frisos. Esta limitacin, lejos de frenar las posibilidades creativas muestra la esencia geomtrica que se esconde detrs de esos diseos.

Sea una recta r con vector director a. Un grupo de simetra de un friso es cualquier grupo de isometras del plano que deje fija r y que contenga como nicas traslaciones al grupo generado por la traslacin T{a}. Las nicas isometras que pueden formar parte de un grupo de friso con recta fija r son las traslaciones de vector na; la simetra axial respecto de r ; las simetras axiales con eje r' ortogonal a r ; los giros de centro un punto de r y ngulo y las combinaciones de estos movimientos. En el templo griego es donde el friso adquiere notoriedad constructiva: como banda que limita el acabamiento de los muros o las columnas sobre el arquitrabe, marcando la cornisa. Con ello comienza a desempear el doble papel de elemento arquitectnico construido y espacio susceptible de ornamentacin. Aparece a lo largo de toda la historia de la Arquitectura, siendo notables los frisos rabes, como los existentes en la Alhambra de Granada. Actualmente surge el friso de edificaciones enlazadas. Con ello, el clsico motivo geomtrico que se repite a lo largo de una banda se sustituye por la planta de un edificio, capaz de generar por traslacin horizontal, edificios en hilera. -Grupos de simetra del plano. Ciertas isometras actan sobre todo el plano. Fedorov demostr que existen nicamente 17 grupos de simetra. En 1869 Jordan haba descrito 16 de esos grupos y en 1874, Sohncke reconoci el que faltaba. En todos los casos se observa que a partir de una figura irregular, aplicando diversos tipos de isometras se genera un paralelogramo que por repeticin es susceptible de cubrir el plano, de forma que la distribucin plana final es invariante por las mismas isometras que generaron la figura inicial.

Un grupo G de isometras del plano se dice grupo de simetra del plano si existe una figura F compacta y conexa (limitada por una curva cerrada) que verifique: 1. Todo el plano queda cubierto por todos los desplazamientos de la figura F segn las isometras de G. 2. F y sus imgenes se van acoplando correctamente, sin solapamientos. 3. Existen dos traslaciones independientes en G, es decir, existe una malla de paralelogramos subyacente. Los nicos giros que pueden formar parte de un grupo de simetra G del plano, son los de orden 2, 3, 4 o 6. o sea, los ngulos de 1800,1200,900 y 600. -Teora de mosaicos. Un tipo especial de recubrimiento del plano es el de mosaico. Surgen de aadir al principio general de repeticin de un mdulo en dos direcciones, condiciones restrictivas de acoplamiento y regularidad. Mosaicos regulares. Resultan de acoplar entre s una serie infinita de polgonos regulares idnticos. Los nicos son los cuadrangulares, triangulares y hexagonales. Mosaicos semirregulares. Combinan dos tipos de polgonos regulares. Existen 8 tipos. Mosaicos de Escher. Somete a la figura generadora a una serie de transformaciones. Mosaicos de retcula china.(retculos para ventanas) Mosaico de la Alhambra de Granada.