modulo algebra trigonometria y geometria analitica 2011
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Modulo Algebra Trigonometria y Geometria Analitica 2011
MDULO
LGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA(Segunda Edicin)
Jorge Elicer Rondn Duran
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA UNIDAD DE CIENCIAS BSICASBogot D. C, 2011
n n
2PRESENTACIN DEL CURSO
ab n
a n
k b k
k 0 k
Estimados Estudiantes Bienvenidos al curso de lgebra, Trigonometra y Geometra Analtica. La matemtica como ciencia a travs de la historia ha buscado fundamentos slidos que garanticen su validez y rigurosidad, as el espectro de sta ciencia es muy amplio, pero muy interesante, basta con repasar un poco el camino que inicia con la Aritmtica, la Geometra, el lgebra, siguiendo con el Clculo, hasta reas ms avanzadas como la Teora de conjuntos, Geometra Diferencial y otros. Todo con el fin de dar a la sociedad una Herramienta Formal que permita demostrar principios y definiciones para el buen uso en las reas del saber.
En este orden de ideas, el curso que nos ocupa en este material, presenta diversas temticas que hacen parte de esa gran herramienta formal. Las temticas que se exponen son muy tiles para cualquier estudiante de un programa universitario, estn desarrolladas en un lenguaje sencillo, pero con gran rigor matemtico, ya que el propsito fundamental es que los estudiantes adquieran conocimientos slidos en las reas de lgebra, Trigonometra, Geometra Analtica, Sumatorias y Productorias, que les permita transitar de manera muy dinmica por reas ms avanzadas de matemticas o afines.
El curso est estructurado por unidades que a su vez esta conformadas por captulos y stos por lecciones. La primera unidad es de lgebra, cuyos captulos son las Ecuaciones y las Inecuaciones, dos temticas muy interesantes y de gran uso en campos de la Ingeniera, Administracin y dems. La segunda unidad contempla lo referente a funciones, adems del anlisis de la trigonometra analtica y la Hipernometra; trmino que acuamos para hacer referencia a las funciones hiperblicas. Es pertinente resaltar que el ncleo de las Matemticas es el anlisis de las funciones, tambin la gran aplicacin de la trigonometra en estudios de Ciencias Experimentales, Ingeniera, Ciencias Agrarias y otros. La tercera unidad contempla los captulos de Geometra Analtica, Sumatorias y Productorias, temticas muy particulares y de gran importancia en diversas reas, como la Astronoma, Fsica, Ingeniera, Estadstica, Clculo y otras.
El proceso de anlisis, comprensin e interiorizacin de las temticas propuestas, son fundamentales para poder transitar en posteriores reas del conocimiento propias de un programa acadmico universitario. Pero tambin son una buena herramienta para resolver un gran nmero de problemas que se pueden solucionar con modelos matemticos, de los cuales se analizarn algunos en detalle.
El curso requiere algunos conocimientos previos de Aritmtica, lgebra Elemental y elementos de geometra plana y espacial, los cuales son fundamentales para poder avanzar adecuadamente a travs del curso. Pero si por alguna circunstancia dichos conocimientos son requeridos, se pueden consultar en el curso de Matemticas Bsicas.
Cada temtica esta soportada en principios matemticos, sus propiedades, sus teoremas, axiomas, que soportan su fundamento. Tambin se exponen ejemplos modelos con su respectivo desarrollo que ilustran la profundizacin de las mismas, finalizando con ejercicios
propuestos, que presentan su respuesta, para que los estudiantes puedan confrontar lo realizado con lo requerido.
Para buscar una buena comprensin de los conocimientos, es pertinente desarrollar la metodologa que la UNAD propone en su modelo acadmico-pedaggico, el cual describe diversos momentos desde el trabajo independiente, trabajo en pequeo grupo colaborativo, tutoras de pequeo grupo e individuales y los encuentros de gran grupo, cada uno son muy importantes y buscan que el estudiante desarrolle su proceso de formacin de manera dinmica y participativa.
Al final de cada unidad se presenta una auto evaluacin que es donde el estudiante demuestra hasta donde ha desarrollado sus competencias cognitivas, meta cognitivas, argumentativas, propositivas y dems, dndole transito a la profundizacin y transferencia de los conocimientos en el rea que nos ocupa.
No sobra hacer nfasis que para aprender matemticas, es fundamental la motivacin intrnseca, querer hacerlo, tener paciencia, algo de perspicacia, sentido lgico y muchas ganas de enfrentarse a ms y ms retos.
Es claro que aprender matemticas no es fcil, pero desarrollando un buen trabajo acadmico, utilizando los lineamientos que se han presentado, el grado de comprensin e interiorizacin de los conocimientos en dicha rea ser muy alto.
Animo y muchos xitos en tan interesantes mundo matemtico!
TABLA DE CONTENIDOUNIDAD UNO: ECUACIONES E INECUACIONES CAPTULO 1. ECUACIONESIntroduccin... .7Leccin 1: Elementos matemticos bsicos7Leccin 2: Ecuaciones de primer grado con una incgnita10Leccin 3: Ecuaciones de primer grado con dos incgnitas .14Leccin 4: Ecuaciones de primer grado con tres incgnitas 24Leccin 5: Ecuaciones de primer grado: Problemas de aplicacin..33Ejercicios..44Leccin 6: Ecuaciones de segundo grado con una incgnita ..47Leccin 7: Ecuaciones de segundo grado con una incgnita: Problemas de aplicacin..54Leccin 8: Ecuaciones cbicas.58Leccin 9: Ecuaciones polinmicas.62Leccin 10: Ecuaciones racionales y radicales..67Leccin 11: Fracciones parciales .70Ejercicios..75
CAPTULO 2. INECUACIONESIntroduccin.77Leccin 12: Generalidades de las Inecuaciones77Leccin 13: Intervalos79Leccin 14: Inecuaciones lineales con una incgnita82Leccin 15: Inecuaciones racionales..84Leccin 16: Inecuaciones cuadrticas90Leccin 17: Inecuaciones mixtas.93Leccin 18: Inecuaciones con dos incgnitas95Leccin 19: inecuaciones: Problemas de aplicacin.102Ejercicios.110
CAPTULO 3. VALOR ABSOLUTOIntroduccin.114Leccin 20: Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto.115Ejercicios.119Autoevaluacin Unidad Uno.120Laboratorio..125UNIDAD DOS: FUNCIONES, TRIGONOMETRA E HIPERNOMETRA CAPTULO 4. FUNCIONESIntroduccin.131Leccin 21: Sistema de coordenadas..132Leccin 22: Relaciones y Funciones134Leccin 23: Algebra de funciones145Ejercicios.149Leccin 24: Funciones especiales150Leccin 25: Funciones algebraicas..153Ejercicios.170Leccin 26: Funciones trascendentales: Exponencial, Logartmica y Trigonomtricas171Ejercicios192Leccin 27: Transformaciones de funciones: Traslacin, estiramiento y reflexin..194
Ejercicios201Leccin 28: Funciones inversas: Algebraicas inversas y trascendentales inversas202Ejercicios213Leccin 29: Aplicacin de funciones: Algebraicas y Trascendentales..214Ejercicios224
CAPTULO 5. TRIGONOMETRA ANALTICAIntroduccin..226Leccin 30: Identidades trigonomtricas fundamentales227Leccin 31: Desarrollo de identidades trigonomtricas..238Ejercicios..241Leccin 32: Ecuaciones trigonomtricas..242Leccin 33: Anlisis de tringulos no rectngulos245Leccin 34: Aplicacin de las funciones trigonomtricas250Ejercicios253
CAPTULO 6. HIPERNOMETRIAIntroduccin.254Leccin 35: Funciones Hiperblicas..254Leccin 36: Identidades en las funciones hiperblicas..258Leccin 37: Funciones hiperblicas inversas262Ejercicios..264Autoevaluacin unidad Dos265Laboratorio270UNIDAD TRES: GEOMETRIA ANALITICA, SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS CAPTULO 7. GEOMETRIA ANALITICAIntroduccin..278Leccin 38: Anlisis de la Recta279Ejercicios..289Leccin 39: La Circunferencia290Leccin 40: La Elipse..292Leccin 41: La parbola..297Leccin 42: La hiprbola.301Ejercicios..307Leccin 43: Traslacin de ejes309Ejercicios..316Leccin 44: Ecuacin general de segundo grado318Leccin 45: Aplicacin de la Geometra Analtica324Ejercicios..328
CAPTULO 8. SUMATORIAS Y PRODUCTORIASIntroduccin..329Leccin 46: Fundamentacin de las sumatorias..330Leccin 47: Propiedades y operaciones de las sumatorias334Leccin 48: Fundamentacin de las productorias341Leccin 49: Propiedades de las productorias..342Leccin 50: El Factorial345Ejercicios..350Autoevaluacin Unidad Tres..351Laboratorio354Bibliografia360
UNIDADUNO
ECUACIONESEINECUACIONES
CAPTULO UNO:LAS ECUACIONESx
INTRODUCCIN
A travs de la historia, las ecuaciones han sido de gran importancia en las Matemticas y otras ciencias, desde los babilonios, pasando por los egipcios y los griegos, hasta nuestra poca, las ecuaciones han sido el pan de cada da para resolver problemas donde se requiere saber el valor de una incgnita.
Las ecuaciones son igualdades que se hacen verdaderas para valores especficos, por ejemplo: Si tenemos: 2x + 5 = 9, se debe buscar el valor de x que al multiplicarlo por 2 y sumado con 5 nos resulte nueve. Es as que para x = 2, si lo reemplazamos en la igualdad 2(2) + 5 = 9, sta ser verdadera. Entonces, resolver una ecuacin es hallar el valor o valores de la incgnita que hagan verdadera dicha igualdad. A su vez, las soluciones pueden ser reales o imaginarias, segn el caso. Por ejemplo si tenemos x2 4 = 0, se puede verificar que los valores que puede tomar la incgnita son x = 2 y x = -2. Pero si se tiene x2 + 4 = 0, la solucin no es real, ya que NO existen nmero real que
al elevarlo al cuadrado y sumado con 4 resulte cero, luego la solucin es imaginara(Recordemos los nmeros imaginarios del curso de Matemticas Bsicas).
2i y -
2i .
Existen diferentes clases de ecuaciones, segn el grado del polinomio que la describe, segn el nmero de variables, segn el tipo de coeficientes. De acuerdo al grado del polinomio, existen ecuaciones de primer grado, de segundo grado, etc. De acuerdo al nmero de variables, se tienen ecuaciones de una variable, ecuaciones de dos variables, etc. Segn el tipo de coeficientes, se tienen ecuaciones de coeficientes enteros, de coeficientes racionales, de coeficientes reales.
Para resolver ecuaciones, existen diversas tcnicas matemticas que depende del tipo de ecuacin, pero siempre se debe tener presente el principio de operaciones opuestas: Suma Resta, Producto Cociente, Potenciacin radicacin, potenciacin Logaritmacin.
Para un el buen dominio en la resolucin de ecuaciones, se requiere mucho nimo, paciencia, desarrollar diversos y un nmero adecuado de ejemplos modelos.
Leccin Uno: Elementos Matemticos Bsicos.
Entender las ecuaciones requiere conocer claramente algunos conceptos que son comunes a todo tipo de ecuacin:
Constante: Son trminos que toman valores fijos, en lgebra se utilizan por lo general las primeras letras del alfabeto: a, b, c, Todos los nmeros en esencia son constantes, por ejemplo en la
expresin ax 2
bx c
los trminos a, b, c son constantes.
Incgnita (Variable): Se considera todo aquello que no se conoce; pero se puede identificar utilizando principios matemticos, en Matemticas por lo general se utilizan las ltimas letras del alfabeto x, y, z
w, para el caso de son x e y.
ax 2
bx c , la incgnita es x, otro ejemplo:
ax2
bxycy 2 0,
las incgnitas
A manera de ejercicio identifique las incgnitas y constantes en las siguientes ecuaciones, ser un ejercicio muy motivante.
4x3
ax3
5y2
by2
7z0
pz0
Por lo general, la solucin de ecuaciones se enmarca dentro del conjunto de los reales, exceptuando los casos donde hay involucradas races con ndice par de cantidades negativas.
Leyes Bsicas:
1. Leyes de Uniformidad:
Es pertinente recordar las leyes de uniformidad, que son muy tiles a la hora de resolver ecuaciones. En su fundamento, las leyes de uniformidad definen que dados dos o ms nmeros, si se suman, la respuesta siempre es nica, independiente de la naturaleza de las cantidades. De la misma manera para la multiplicacin.
SUMA Y PRODUCTO:
Sean a, b, c y d nmeros reales; tal que a = b y c = d. entonces:
1.a + c = b + d2.a + c = b + c3.a x c = b x d4.a x c = b x c
Ejemplo 1:
Sea la siguiente expresin: a = 2 y c = 5, aplicar la ley de suma y producto. Solucin:Siguiendo el orden:a + c = 2 + 5 a*c = 2*5As b = 2 y d = 5.
RESTA Y COCIENTE:
Al restar dos nmeros, la diferencia siempre es un valor nico. Sean a, b, c y d nmeros reales; tal que a = b y c = d. entonces:
5.a - c = b - d6.a - c = b - c7.a / c = b / dPara c 08.a / c = b / cPara c 0
Ejemplo 2:
Sea la siguiente expresin: a = 8 y c = 4, aplicar la ley de resta y cociente.
Solucin:
Siguiendo el orden:a - c = 8 - 4 a/c = 8/4Luego b = 8 y d = 4.
POTENCIA Y RAIZ:
Sean a, b, c y d nmeros reales; tal que a = b y c = d. Para a 0 y c 0, entonces:
9.ac = bd10. ca = da
11. c a
c b Para a 0 adems c Z+ y c 2
Ejemplo 3:
Sea la siguiente expresin: a = 9 y c = 2, aplicar la ley de potencia y raz. Solucin:Siguiendo el orden:ac = 92ca = 2ac a2 9Luego b = 9.
2. Ley del producto nulo:
Sean a y b nmeros reales, entonces:
12. a x b = 0 si, y solo si, a = 0 b = 0
Ejemplo 4:
Dada la expresin. 4*a = 0
Solucin:
Como 4 es un valor fijo, para que el producto sea cero, entonces a = 0.
Ejemplo 5:
Dada la expresin. (x 4)*12 = 0
Solucin:
Como 12 es un valor fijo, para que el producto sea cero, entonces (x 4) = 0. As x = 4.
3. Principio de Fracciones Equivalentes:
10aDada la igualdad:b
c a * d d
c * b. Para b 0 y d 0.
Ejemplo 6:1Dada la expresin.2Solucin:
3Mostrar que la equivalencia es verdadera.6
1Aplicando la ley de fracciones equivalentes:2
3 1* 66
2 * 3 Lo cual es evidentemente verdadera.
Leccin Dos: Ecuaciones de Primer Grado con Una Incgnita.x
Las ecuaciones de primer grado con una incgnita son de la forma ax b
c , siendo a, b y c las
constantes y x la incgnita. El valor de a puede ser un nmero real; diferente de cero. Ejemplos de
este tipo de ecuaciones: 3x 5
0 que corresponde a una ecuacin de coeficiente entero y expresin
1 2entera.x3 5
0 , ecuacin de coeficiente racional y expresin entera.
3x 25
8 , ecuacin de
coeficiente entero y expresin racional.
Las ecuaciones de primer grado se caracterizan porque la incgnita tiene como exponente la unidad; por lo cual, la solucin es nica, esto quiere decir que ste tipo de ecuaciones tienen Una Sola solucin.
Para resolver ecuaciones de ste tipo, se han utilizado varias tcnicas, los egipcios; por ejemplo, utilizabas la llamada Regula Falsa, actualmente se utiliza el mtodo axiomtico, el cual se analizar a continuacin.
METODO AXIOMATICO: Es el mtodo ms utilizado en la actualizad, el cual utiliza las propiedades algebraicas y las leyes de uniformidad, todo esto derivado de los axiomas de cuerpo. Aclaremos que los axiomas epistemolgicamente son Verdades Evidentes y a partir de stas, se desarrolla el conocimiento matemtico. Algunos axiomas que son importantes para comprender la solucin de ecuaciones.
Axiomas de Cuerpo: Sean x, y, z, valores definidos, dentro del conjunto de los Reales
Primer Axioma: x + y = y + x (Propiedad conmutativa)
Segundo Axioma: x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z) (Propiedad Asociativa)
Tercer Axioma: x (y + z) = x*y + x*z (Propiedad Distributiva)
Cuarto Axioma: x + 0 = x y x*1 = x (Propiedad Modulativa de la suma y producto)
Quinto Axioma: x + y = 0, y + x = 0 (Propiedad del inverso. Todo nmero real tiene unInverso, excepto el cero). Para x, su inverso es puede escribir x, igual para y.
Sexto Axioma: x*y = 1,y*x = 1Para x 0. (Propiedad del recproco, todo nmero real tiene un recproco). Para x, su recproco se puede escribir x-1 = 1/x, igual para y.
NOTA: El smbolo * indica multiplicacin.
Con los argumentos anteriores, se puede comenzar el anlisis del desarrollo de ecuaciones.
Los siguientes ejemplos, buscan ilustrar la resolucin de ecuaciones de ste tipo, utilizando las leyes de uniformidad y los axiomas de cuerpo, explicado anteriormente.
Ejemplo 7:
Sea la ecuacin ax b
0 hallar el valor de x que satisfaga la igualdad.
Solucin:
Como la idea es despejar la incgnita, en este caso x, entonces se debe eliminar Matemticamente hablando lo que rodea a dicha incgnita. As lo primero es eliminar b, lo cual se puede hacer aplicando el inverso, ya que todo nmero sumado con su inverso resulta cero.
ax b b
0 b .Como se puede observar, el valor adicionado se hizo a los dos lados de la
ecuacin, esto con el fin de que sta NO se altere. Entonces: ax
b. Ahora se debe eliminar la a,
esto se hace aplicando el recproco, ya que todo nmero multiplicado con su recproco resulta uno. Veamos:
1 ax a
b 1 . Operando se obtiene: x b a a
Ejemplo 8:
Hallar la solucin de la ecuacin: 6 x
2x 9
Solucin:
Como estamos utilizando el mtodo axiomtico. Por lo general, la incgnita se organiza al lado derecho y las constantes al lado izquierdo, entonces dejemos la incgnita al lado derecho, para esto se elimina del lado izquierdo, lo cual se hace adicionando -2x a los dos lados de la ecuacin.
6 x 2x
2x 2x
9 , operando se obtiene: 6 3x
9 Ahora eliminemos el -6 de la parte derecha
para que solo quede la incgnita. 6
6 3x
9 6 , operamos para obtener,3x
3 Finalmente
aplicamoselrecprocode3paraquelaincgnitaquedecompletamentedespajada.
3x * ( 1 )3
3 * (
1 ) , operando se obtiene:3
x 1. La solucin de la ecuacin propuesta.
Si reemplazamos el valor de x = -1, en la ecuacin original, se debe obtener una igualdad.
6 x 2 x
9 6
( 1)
2( 1)
9 7 7
Ejemplo 9:x 1Resolver la ecuacin:x 2 2
Solucin:aRecordando las leyes de uniformidad:b
c a * d d
c * b
Se aplica para el caso que tenemos
Esta es el camino para convertir una expresin racional en entera.
xVeamos:x2
1 ( x) * (2)2
(1) * ( x
2) 2 x x 2
Sumemos x a los dos lados de la ecuacin, por qu?
2x x
x x 2 x
2 . As la solucin es x = 2.x 1 2 1
Reemplazamos la solucin en la ecuacin original:x2
2 2 2
Operando:2
1 1Se observa que la igualdad se cumple. Este ltimo proceso es lo que se conoce comnmente2 2como la comprobacin de la solucin.
Es pertinente analizar los pasos realizados, para ir aprendiendo los principios que soportan la resolucin de ecuaciones.
Ejemplo 10:6t7Hallar el valor de la incgnita que satisfaga la ecuacin:4t1Solucin:
3t 82t 4
Se va a resolver la ecuacin, pero se recomienda que usted estimado estudiante, identifique qu principios fueron aplicados en cada paso.
6t 74t 1
3t 8 (6t2t 4
7)(2t 4)
(3t
8)(4t 1)
(6t
7)(2t4)
(3t
8)(4t
1) (12t 2
10t
28)
(12t 2
29t8)
A la ltima ecuacin se le adiciona: -12t2
12t 2
12t 2
10t
28 12t 2
12t 2
29t
8 10t 28
29t
8 Sumamos -29t
10t
29t 28
29t
29t
8 39t 28
8 Adicionamos 28 a la ecuacin:
39t
28 28
8 28
39t 20
Finalmente: ( 1 )39
39t
20(
1 ) t39
20 .39
Estimado estudiante comprobar esta solucin.
Ejemplo 11:
Hallar el valor de x que satisfaga la igualdad: 8(2 x 6)
4( x 3)
Solucin:
8(2 x 6)
4( x
3) 16 x 48
4 x 12
16x 4x 48
4x 4x
12 12x 48 12
12x 48
12 12x
48 48
12 48 12x 36
( 1 )12 x12
( 1 )36 x12
36, simplificando: x = 3:12
En este ejemplo, no se dieron mayores detalles de la solucin, Ya que la idea es que los estudiantes analicen y deduzcan todo el procedimiento.
Restricciones en la Solucin:
Existen situaciones donde la ecuacin tiene restriccin en la solucin. Veamos algunos casos.
1 1 xa ) .x 1 x 2
La restriccin es que la incgnita NO puede tomar el valor de 0 1, ya que si x = 0,
se presenta una indeterminacin, lo mismo ocurre si x = 1. g
b ) x 3
x 4.
Para este caso la solucin se acepta si esta en los reales no negativos. (R*); es
decir, los reales mayores o iguales a cero.
c ) Log ( x 2)
4. Recordemos que los logaritmos de nmeros negativos no existen, as la solucin
debe ser tal que x + 2 > 0; es decir, si la solucin es superior a -2, sta se acepta.
Ejemplo 12:3xMuestre que la ecuacin2x1Solucin
3No tiene solucin.x 1
Aplicando los principios estudiados anteriormente.
3x ( x 1)x 1
2( x 1)
3 ( x x 1
1) 3x
2( x 1) 3
3x 2( x 1)
3 3x
2 x 2
3 5x 2 3
5x 2
3 5x 2 2
3 2 5x 5
Finalmente x = 1.
3xSi comprobamos la solucin.2
3 3(1) 2
3Observamos que se presenta una
x 1 x 1 1 1 1 1indeterminacin, ya que se tiene un cociente con denominador cero. As queda demostrado que la ecuacin NO tiene solucin.
Ejemplo 13:
Determinar si la ecuacin
Log ( x 2)
4. tiene solucin.
Solucin
Aplicando los principiosestudiados anteriormente y recordando las propiedades bsicas de los
logaritmos.
Log ( x 2)
4. Aplicando operacin inversa: 10 Log ( x 2)
10 4.
Recordemos que la base
deLogesdiez,entonces:
10 Log ( x 2)
10 4 x
2 10 4.
despejandolaincgnita.
x10 4.2
1,9999
Como la solucin x = -1,9999 es superior a -2, la solucin es vlida. Por consiguiente la ecuacin planteada tiene solucin.
REFLEXIN: En todos los ejemplos propuestos, la resolucin se centra en despejar la incgnita, lo cual se hace utilizando los principios, leyes y axiomas matemticos.
Leccin Tres: Ecuaciones de Primer Grado con Dos Incgnitas:xy
Las ecuaciones de primer grado con dos incgnitas son una herramienta muy importante para resolver situaciones que se presentan en todas las reas del saber. Este tipo de ecuaciones es de dos clases: El primero es donde se tiene una ecuacin con dos incgnitas; donde se har una breve descripcin. El segundo es cuando se tienen dos ecuaciones con dos incgnitas, lo cual se estudiar en detalle.
PRIMER CASO: Una Ecuacin Con Dos Incgnitas:
ECUACIONES DIOFNTICAS: Diofanto de Alejandra, del siglo III de nuestra era, desarroll ciertas ecuaciones que trabajan sobre el conjunto de los enteros y son de primer grado con dos incgnitas. En honor a su nombre se les conoce como Ecuaciones Diofnticas.
La forma general de estas ecuaciones es ax by
c , donde a, b,
c son constantes y pertenecen al conjunto de los enteros; adems, a 0 b 0. Cuando a, b y c son enteros positivos, la ecuacin tiene solucin entera si y, solo si, el mximo comn divisor de a y b, divide a c. Este tipo de ecuaciones puede tener soluciones infinitas o no puede tener solucin. Entonces la solucin consiste en hallar ecuaciones generadoras (paramtrica) del par (x, y) que satisfagan la ecuacin propuesta. Este tipo de ecuaciones no son el objetivo principal de este curso, solo se deseaba hacer una breve descripcin.FUENTE: http://suanzes.iespana.es/diofanto.htm
Ejemplo 14:
Para la ecuacin 2x + 3y = 8 cul ser el par (x, y) que satisfaga dicha ecuacin? Solucin:
Por simple inspeccin se puede ver que x = 1 y y = 2, satisfacen la igualdad.2(1) + 3(2) = 8.Entonces la solucin (x, y) = (1, 2)
Pero se puede encontrar ms soluciones, por ejemplo (4, 0), (-2, 4), (-5, 6), como se dijo al principio, pueden existir infinitas soluciones.
SEGUNDO CASO: Dos Ecuacin Con Dos Incgnitas.El inters central de este apartado es el anlisis de sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas. Cuando se tiene un sistema de la forma:
a1x1a2 x2
b1 y1c1b2 y2c2
Donde a1, a2, b1, b2, c1, c2 son constantes; adems a1 0 b1 0 Al igual que a2 0 b2 0, se dice que estamos frente a un sistema de ecuaciones simultneas, donde la solucin obtenida para x e y, debe satisfacer simultneamente las dos ecuaciones. Por consiguiente, resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, es hallar un par (x, y) tal que al reemplazarlo en cualquiera de las dos ecuaciones, la igualdad se cumpla.
Sistema Consistente: Un sistema de ecuaciones es consistente, cuando tiene al menos una solucin para cada incgnita.Sistema Inconsistente: ocurre cuando el sistema NO tiene solucin alguna. Es obvio que el trabajo es analizar sistemas consistentes.
Existen diversos mtodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas, en este caso vamos a analizar tres.
1. METODO GRAFICO.
El mtodo se basa en que en el plano de coordenadas rectangulares, una ecuacin de la forma ax +by= c, est representada por una recta cuyos puntos son parejas ordenadas de nmeros reales, donde la primera componente corresponde a x y la segunda componente a y. Como se tiene dos ecuaciones,entonces se deben tener graficadas dos rectas. De esta manera se pueden tener tres situaciones:Primero, que las rectas se corten en un punto, lo que indica que la solucin es nica y ser el punto de corte. Segundo, que las dos rectas coincidan, luego hay infinitas soluciones. Tercero, que las rectas sean paralelas, lo que indica es que NO hay solucin.
L1 y L2, corresponden a las ecuaciones uno y dos del sistema.
El mtodo es adecuado cuando hay soluciones enteras, ya que los puntos de corte son bien definidos. El procedimiento bsico consisten en despejar y en las dos ecuaciones y, darle valores arbitrarios a x para obtener parejas (x, y), por lo general se asignas nmeros enteros cercanos a cero; para facilitar el proceso y hacer la grfica. As se obtienen dos parejas de nmeros, que corresponde a dos puntos en el plano (x1, y1) y (x2, y2), con lo cual se puede graficar una recta (Axioma Euclidiano)Ejemplo 15: Resolver el sistema:3x2y5
5xy6
Solucin:
Segn el procedimiento.
Para la primera ecuacin: 3x 2 y
5 y
5 3x2
Tomemos dos valores, por ejemplo x = 3, entonces: y = [5 3(3)]/-2 = 2. El punto es (3, 2) Otro valor x = 5, entonces: y = [5 3(5)]/-2 = 5. El punto es (5, 5)Los puntos para graficar la primera recta son: (3, 2) y (5, 5).
Para la segunda ecuacin. 5x y
6 y
5x 6
Los valores: x = 1, entonces: y = 5(1) 6 = -1. El punto es (1, -1) El otro valor x = 2, entonces y = 5(2) 6 = 4, el punto es (2, 4)Los puntos para graficar la segunda recta son: (1, -1) y (2, 4)
Graficando:
Segn la grfica, el punto de corte es(1, -1)
Luego la solucin son: x = 1, y = -1.
Ejemplo 16:
Dado el sistema de ecuaciones, hallar la solucin correspondiente.2xy5
4x2y8
Solucin:
Como en el caso anterior, se despeja y, dando valores arbitrarios a x.
Se toma la primera ecuacin: 2 x y
5 y
5 2 x
Para x = 1, entonces y = 5 2(1) = 3, el punto es (1, 3) Para x = 4, entonces y = 5 2(4) = -3 el punto es (4, -3)8 4 x
En seguida la segunda ecuacin: 4 x 2 y
8 y2
Para x = 2, entonces y = [8 4(2)]/2 = 0, el punto es (2, 0) Para x = 3, entonces y = [8 4(3)]/2 = -2, el punto es (3, -2)
Graficamos:
Como las rectas son paralelas, no hay puntos de corte, por consiguiente el sistema NO tiene solucin.
NOTA: En los ejemplos estudiados, los valores dados a x han sido escogidos arbitrariamente, siempre y cuando no se presenten inconsistencias, luego al reemplazarlos en la ecuacin se obtiene el valor de y.
2. METODO POR ELIMINACIN.
Es un mtodo algebraico, cuyo principio es eliminar una incgnita, para obtener el valor de la otra, posteriormente con el valor obtenido, se busca el valor de la primera.
Este mtodo se puede desarrollar por tres tcnicas, a continuacin analizamos cada una.
REDUCCIN: Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, la tcnica consiste en igualar coeficientes de una de las dos incgnitas y que presenten signos contrarios, as se puede eliminar dicha incgnita, obteniendo una ecuacin con una incgnita, cuya resolucin ya hemos estudiado.
Con el valor de la incgnita obtenida, se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones, para obtener el valor de la otra incgnita.
yx0xy4Ejemplo 17: Resolver el sistema.
Solucin:
Primer organizamos las incgnitas, para que queden las y en una columna y las x en la otra, para poder igualar coeficientes y eliminar la incgnita seleccionada para este fin.xy0
xy4Como ya estn organizadas, se debe igualar coeficientes con signos contrarios, pero se observa que la incgnita x tiene coeficientes iguales y signos contrarios, luego se puede eliminar, entonces:xy0
xy4
/2 y4
Despejamos y, entonces: y = 4/2 = 2. Como ya se conoce el valor de y, se toma cualquiera de las dos ecuaciones originales y se reemplaza dicho valor, para obtener el valor de x, entones tomemos la primera ecuacin y reemplacemos el valor de y.
xy0 x2
0 x2
La solucin es: (x, y) = (2, 2)
Si reemplazamos dichos valores en las dos ecuaciones originales, las igualdades se deben cumplir simultneamente.Ejemplo 18: Resolver el sistemaxy4
3x2y5
Solucin.
Para seleccionar la incgnita a eliminar, se puede tomar como criterio la que tenga signo contrario, pero no es una camisa de fuerza. Para este ejemplo se puede escoger cualquiera de las dos, escojamos x, entonces debemos igualar coeficientes en x y con signo contrario, para esto lo que se hace es multiplicar la primera ecuacin por -3 y la segunda por 1, luego:
3x(
3x
3)y
2y
4( 3)
5
3x3y12Operando se obtiene:3x2y5
Ahora:3 x3 y123 x2 y5/y17
La solucin para y es -17. Para obtener la solucin en x, se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones originales, por ejemplo tomemos la segunda.
3x 2 y
5 3x
2( 17)
5 3x 34
5 x
5 34 133
La solucin es: (x, y) = (-13, -17)
Ejemplo 19: Resolver el sistema4x9y8
2x6y3
Solucin:
Como se observa en el sistema, se puede eliminar y, ya que tiene signo contrario, solo faltara igualar los coeficientes, lo que se consigue multiplicando la primera ecuacin por 2 y la segunda por 3.
(4x9y
(2x6y
8)2
3)3
8xLo que equivale a:6x
18y
18y
169Operando:
8x
6 x14 x
18 y
18 y/
16
97 Despejando la incgnita tenemos:x =7/14 =
En seguida debemos hallar el valor de la otra incgnita, reemplazando x en una de las ecuaciones originales, se toma la segunda:
2x6 y
3 2( 12)6 y
3 1 6 y
3 y
3 142663
As, la solucin es: (x, y) = (1/2, 2/3)
Recordemos que la verificacin comprobacin de la solucin, se hace sustituyendo en las ecuaciones originales los valores obtenidos, para comprobar que la igualdad en verdadera.
4(1/ 2)
2(1/ 2)
9(2 / 3)
6(2 / 3)
8 2 6 83 1 4 3
Se observa que las igualdades son verdaderas, luego la solucin es correcta.
IGUALACIN: Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, la tcnica consiste en despejar en las dos ecuaciones la misma incgnita, quedando el sistema en trminos de la otra, seguido se igualan las expresiones obtenidas. De lo anterior, se obtiene una ecuacin de primer grado con una incgnita, que por medio de procesos matemticos; ya analizados, se busca el valor de la incgnita presente, el cual; como en el caso de la reduccin, se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra incgnita.
Ejemplo 20:
Resolver el sistema dado a continuacin:xy8
xy4
Solucin:
Se puede despajar la incgnita que se desee, para este caso vamos a despejar x en las dos ecuaciones.Para la primera: x1 = 8 yPara la segunda: x2 = 4 + y
Ahora, igualamos las dos expresiones, ya que x1 = x2Por qu? Analcelo con sus compaeros.
Entonces: 8 y = 4 + y, como ya sabemos trabajar este tipo de ecuaciones, el proceso para despajar yser entendido.2y = 4, luego y = 4/2 = 2.
Ahora reemplazamos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones originales, bueno esta expresin se ha repetido varias veces, la idea es que usted estimado estudiante la asimile para que a medida que sigamos en el estudio de este tipo de ecuaciones, llegar el momento de NO repetir, pero si saber que se est haciendo.
Tomemos la primera ecuacin:
27xy8 x2
8 x6
La solucin ser: (x, y) = (6, 2)
Por favor realicen la verificacin de dicha solucin, es un trabajo motivante.
Ejemplo 21:
Hallar el valor de las incgnitas, para el sistema dado a continuacin.12x5 y379x8 y572
Solucin: Despajamos x.
Para la primera: 12 x 5 y
37 12 x
37 5 y x
37 5 y
Para la segunda: 9 x 8 y
57 9 x2
57 2 8 y
1257 16 y x2
57 16 y18
Se igualan las dos expresiones obtenidas:
37 5 y
57 16 y 18(37
5 y)
12(57
16 y)
12 18
Operando y simplificando: 666 + 90y = 684 + 192y.Tenemos una ecuacin con una incgnita. 90y 192y = 684 666Operando: -102y = 18, luego y = -18/102 = - 3 / 17
Ahora sustituimos y = - 3 / 17, tomemos la primera ecuacin.
12x 5y
37 12x
5( 3/17)
37 12x
37 15/17 12x
614/17
Despejamos la incgnita: x = 614 / 204 = 307 / 102La solucin: (x, y) = (307 / 102, - 3 / 17)
SUSTITUCIN: Para un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, la sustitucin consiste en despejar una de las incgnitas en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra ecuacin. Dicho de otra manera, si despejamos la incgnita x en la primera ecuacin, se debe sustituir en la segunda ecuacin viceversa, igual si fuera la otra incgnita.
Como siempre los ejemplos modelos, permiten ilustrar claramente el mtodo de resolucin. Veamos.
Ejemplo 22:xy4Resolver el sistema dado en seguida:.3x2 y5Solucin:
Segn la teora del mtodo, debemos despejar una de las incgnitas en una de las ecuaciones, para este caso se elige la incgnita y en la primera ecuacin.
xy4 y
4x yx4
Ahora reemplazamos y en la segunda ecuacin.
3x2y
5 3x
2(x4)5 .
Aqu tenemos una ecuacin con una incgnita, lo cual a estas alturas ya sabemos resolver.
3x2(x4)
5 3x
2x8
5 x3
Ahora se reemplaza el valor de x en la segunda ecuacin:
3 x2 y
5 3(3)2 y
5 2 y
59 y
1472
La solucin: (x, y) = (3, 7)
Ejemplo 23:3xResolver el sistema. 56 x5Solucin:
5 y235 y13
Para resolver este sistema, es aconsejable primero convertir las ecuaciones a expresin enteras. Veamos:
3x5 y53
6 x5 y53
2 9 x
1 18x
25 y15
25 y15
2 9 x
1 18x
25 y30
25 y15
Entonces, segn el mtodo, despajamos x en la primera ecuacin y la reemplazamos en la segunda, recordemos que tambin se puede hacer lo contrario.
9 x25 y
30 9 x
3025 y x
3025 y9
Ahora: 18x
25 y
15 18 30
25 y
25 y
15 60
50 y
25 y
15
75 y
1560
9 Despajando: y = - 45 / - 75 = 3 / 5
En seguida se toma la primera ecuacin para reemplazar y, as obtener el valor de la otra incgnita; x.
9x25y
30 9x
25(3/ 5)
30 9x15
30 9x
30 15
Despejando. x = 15 / 9 = 5 / 3Solucin: (x, y) = (5/3, 3/5)
Ejemplo 24:2 xHallar la solucin del sistema dado.4 xSolucin:
y12 y3
Siguiendo la metodologa para este mtodo, tenemos:
2x y
1 y
1 2x
Reemplazando:
4 x 2 y
3 4 x
2(1
2 x )
3 4 x
2 4 x
3 2 3
La ltima igualdad no es verdadera, luego NO hay solucin, por consiguiente el sistema no tiene solucin, es un sistema inconsistente.
3. METODO POR DETERMINANTES
Para aplicar este mtodo, primero analicemos algunos trminos propios de los determinantes.
- ) Determinante: Un determinante es un arreglo rectangular de filas y columnas, donde los elementos de ste valores que se obtienen del sistema de ecuaciones.
a 1b1a 2b 2
Las filas son: (a1 b1) y (a2 b2) Las columnas: (a1 a2) y (b1 b2)
El tamao del determinante lo da el nmero de filas y de columnas. As pueden haber determinantes de 2x2, 3x3, 4x4, etc.
Resolver un determinante es hallar el valor del mismo, para el caso de sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas, se requiere trabajar con determinantes de 2x2.
Da1b1a 2b2
a1 * b2
a 2 * b1
Donde D es el valor del determinante.
- ) Ecuaciones por Determinante:
Para resolver dos ecuaciones con dos incgnitas, KRAMER propuso una tcnica que podemos resumir as:
Sea el sistema:
a1x1a2 x
b1 y1c1b2 y2c2
Se despeja cada incgnita de la siguiente manera:
c 1b 1
a 1 c 1
xc 2b 2
y a 2 c 2
a 1b 1
a 1 b 1
a 2b 2
a 2 b 2
El determinante del denominador, se le llama determinante de coeficientes, que es comn para todas las incgnitas.
La solucin ser el cociente de los dos determinantes, para cada incgnita.
Solucin:x
Ejemplo 24:
c 1 * b 2a 1 * b 2
c 2 * b 1a 2 * b 1
y a 1a 1
* c 2* b 2
a 2 * c 1a 2 * b 1
Resolver el sistema3x2 y5
5xy6
Solucin:
Se organizan los determinantes.
52615 x (1 )6 x (2 )5127323 x (1 )5 x (2 )310751x
Solucin para la primera incgnita x = 1.
3 5
5 6y3 2 35 1
3 x 6x ( 1 )
5 x 55 x ( 2 )
18 25 73 10 7
Solucin para la segunda incgnita y = -1
Solucin del sistema: (x, y) = (1, -1) Ejemplo 25:Resolver el sistema siguiente.4 x3 y6
2 x5 y4
Solucin:
Como ya se conoce le procedimiento general, procedamos as.
63
x456 x 5434 x 525
4 x (3 )(2 ) x (3 )
30124220614
As x = 3
4 6
2 4y
4 x 4
( 2 ) x 6
16 12 28
4 3 4 x 52 5
( 2 ) x ( 3 )
20 6 14
Solucin para y = 2
Solucin del sistema: (x, y) = (3, 2)
Ejemplo 26:
Hallar el valor de x e y en el sistema7 x4 y8
7 x4 y6
Solucin:
84648 x 46 x 432248747 x 47 x 42828074x
El valor de x es indeterminado, ya que la fraccin tiene como denominador cero.
As, el sistema NO tiene solucin, es inconsistente.
Leccin Cuatro: Ecuaciones de Primer Grado con Tres Incgnitas
x y z
Con los conocimientos adquiridos en el apartado anterior, ser ms sencillo abordar el que sigue, ya que los principios son similares, solo que para este caso se trata de tres ecuaciones y tres incgnitas. Para los sistemas de ste tipo, se van a analizar dos mtodos.
PRIMER MTODO: SOLUCIN POR ELIMINACIN.
Cuando se tiene un sistema de la forma:
a1 x a2 xa3 x
b1 y b2 yb3 y
c1 zd1c2 zd 2c3 zd 3
Donde a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3 son constantes.
Se dice que estamos frente a un sistema de ecuaciones simultneas, donde la solucin obtenida para x, y, z debe satisfacer simultneamente las tres ecuaciones. Por consiguiente, resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas, es hallar valores especficos para (x, y, z) tal que al reemplazarlo en cualquiera de las tres ecuaciones, la igualdad se cumpla.
Un esquema sencillo que nos ayuda a comprender el mtodo.
Primero:
Tresecuaciones con tres incgnitas
Reduce a Dos ecuaciones con dos incgnitas
Reduce a Una ecuacin con una incgnita
Segundo:
Con la primera solucin
Se reemplaza en una de las ecuaciones de dos incgnitas, obteniendo la segunda solucin
Con las dos soluciones, se reemplaza en una de las ecuaciones con tres incgnitas, para obtener la tercera solucin.
La mejor forma de comprender el mtodo es con ejemplos modelos.
Ejemplo 27:x Resolver el sistema dado, por Eliminacin. x xSolucin:
y z 4 y z 0 y z 2
Primero enumeremos las ecuaciones para hacer ms fcil su identificacin.xyz4(1)
xyz0(2)
xyz2(3)
Segn el esquema, a partir de las tres ecuaciones, obtener dos ecuaciones con dos incgnitas, lo que se hace de la siguiente manera.
Tomemos las ecuaciones (1) y (2) y eliminemos la incgnita z, pero puede ser una de las otras incgnitas. .
xyzxyz2 x2 y/
4(1)0(2)4(4)
Observemos que se obtiene una nueva ecuacin (4) que es de dos incgnitas.
Ahora se toman las ecuaciones (1) y (3), [pero puede ser tambin (2) y (3)] y eliminamos la misma incgnita que se elimin anteriormente; es decir, z, para lo cual se multiplica la ecuacin (39 por -1.
xyz xyz
4(1)2(3)
Entonces:
xyz xyz/2 y/
4(1)2(3)2(5)
Las ecuaciones (4) y (5) tendrn a lo ms dos incgnitas.En este caso la ecuacin (5) solo tiene una incgnita, luego despejamos y se puede obtener su valor.2y =2, entonces: y = 1. Primera solucin.
Para la segunda solucin, reemplazamos y en la ecuacin (4), ya que esta solo tiene dos incgnitas y se conoce el valor de una de ellas. Entonces:
2x 2y
4 2x
2(1)
4 2x
4 2 2 2x
2 x 1
La segunda solucin es x = 1.
Para la ltima solucin; es decir, la incgnita z, se reemplaza en cualquiera de la ecuaciones originales el valor de x e y, as queda resuelto el sistema.
Tomemos la ecuacin (1), (pero puede ser una de las otras, no lo olvidemos)
x y z
4 (1)
(1) z
4 2 z
4 z
4 2 2
La tercera solucin z = 2.
La solucin total: (x, y, z) = (1, 1, 2) Ejemplo 28:Resolver por eliminacin el sistema dado a continuacin.
xy2 xy x2 y
z12z7z6
Solucin:
Recordemos que para facilitar el proceso debemos enumerarlas.xyz12(1)
2xyz7(2)
x2 yz6(3)
Tomemos (1) y (2) y eliminemos la incgnita y, ya que tiene signos contrarios y esto facilita su eliminacin, pero no olvidemos que se puede eliminar cualquiera de las otras incgnitas.xyz12(1)
2xyz7(2)
3x/2z19(4)
Ahora se toma (2) y (3), pero como se ha venido comentando, puede ser (1) y (3). Se debe eliminar la misma incgnita; es decir, y. Entonces como tienen signos contrarios solo se debe igualar coeficientes, lo que se hace multiplicando la ecuacin (2) por 2 y la ecuacin (3) se deja igual.
2 xy x2 y
z7(2)z6(3)
4 x2 yEntonces:x2 y5x/
2 z14z6z20
(2) (3)(5)
Como se puede ver, se obtienen dos ecuaciones con dos incgnitas (4) y (5). La solucin se puede hacer por cualquiera de los mtodos estudiados. Usemos igualacin:
Para la ecuacin (4): 3x + 2z = 19, despejamos z, luego: z
193x2
Para la ecuacin (5): 5x + z = 20, tambin despajamos z, luego:
z 20 5x
193xAhora se igualan las expresiones y operamos:2
205x 193x
4010 x
Como se tiene una ecuacin con una incgnita, se resuelve como se ha aprendido.
10x 3x = 40 19 entonces: 7x = 21, as x = 3
Ahora reemplazamos el valor de x en una de las ecuaciones (4) (5), as se puede obtener el valor de la otra incgnita. Tomemos la ecuacin (5).5x + z = 20, entonces: 5(3) + z = 20, luego: z = 20 15 = 5. Por consiguiente z = 5
Finalmente, reemplazamos el valor se x y z en cualquiera de las ecuaciones originales. Tomemos la ecuacin (3), pero ustedes pueden tomar cualquiera de las otras ecuaciones.x + 2y z = 6, reemplazando tenemos: (3) + 2y (5) = 6, luego: 2y - 2 = 6, despejamos la incgnita:
y622
4 Luego y = 4
Solucin: (x, y, z) = (3, 4, 5)
SEGUNDO METODO: SOLUCIN POR DETERMINANTES.
Cuando se tiene un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas, se presentan determinantes de3x3, conocidos como determinantes de tercer orden. Esto nos induce a analizar dichos determinantes, antes de su respectiva aplicacin.
Determinantes de tercer orden: Son arreglos de 3 filas y 3 columnas.
x1Ax2x3
y1z1y2z2y3z3
Para resolver un determinante de tercer orden hay tres formas diferentes, veamos:
1. Productos Cruzados: Se puede ver esquemticamente el procedimiento.
Sea el determinante:
x1Ax2x3
y1 z1 y2 z2 y3 z3
Solucin: A a b
Donde:
ax1 y2 z3bx3 y2 z1
y1z2 x3x2 y1z3
x2 y3 z1y3 z2 x1
2. Mtodo de Sarrus: Consiste en aumentar las dos primeras filas a continuacin del determinante original y hacer productos cruzados. Para el determinante A definido anteriormente, el nuevo determinante, propuesto por sarrus es:
x1x2A'x3x1x2
y1 z1 y2 z2 y3 z3 y1 z1y2 z2
Solucin del determinante: A'
x1 y 2 z 3x3 y 2 z1
x2 y3 z1x1 y3 z 2
x3 y1 z 2x2 y1 z 3
Este mtodo slo es adecuado para determinantes de 3x3.
3. Mtodo de Cofactor: La esencia del mtodo es convertir un determinante de 3x3 en tres determinantes de 2x2. La siguiente ilustracin explica el procedimiento.
x1 y1A x y
z1 y zz x 2 2
xzy x2 z2
xyz x2 y2
yz2 2 2x3 y3 z3
1 1 13 3 3 3 3 3
La ltima parte se resuelve como determinante de 2x2:
Ax1
y2 z3
y3z2
y1 x2 z3
x3z2
z1 x2 y3
x3 y2
El mtodo de cofactor tiene la ventaja que se puede utilizar para determinantes de mayor tamao. Ejemplo 29:Resolver por productos cruzados y por Sarrus el siguiente determinante.231
D314
223
Solucin:
a-) Por productos cruzados.
D = [a] [b]
[a] = [(-2)(-1)(3) + (3)(-2)(1) + (3)(4)(2)] = 6 6 + 24 = 24 [b] = [(2)(-1)(1) + (3)(3)(3) + (-2)(4)(-2)] = -2 + 27 +16 = 41D = 24 41 = -17
b-) Por Sarrus.231
314
D'223 D'
231
314
30( 2)(
1)(3)
(3)(
2)(1)
(2)(3)(4)
662424
(2)(
1)(1)
( 2)(
2)(4)
(3)(3)(3)
2162741
D = 24 41 = -17
Ejemplo 30:
Desarrollar el siguiente determinante por Sarrus y por cofactor.430
P123
242
Solucin:
a-) Por Sarrus.
430
123
P'242 P'
430
123
( 4)(2)(2)
(1)(4)(0)
( 2)(3)(3)
1601834
( 2)(2)(0)
( 4)(4)(3)
(1)(3)(2)
048642
P = -34 (-42) = -34 + 42 = 8
b-) Por Cofactor:
43P1224
023133 ( 4)342222
120 (24
4) 2x2
(4) x3
3 1x2
( 2) x30
P = (-4)(4 - 12) - 3(2 + 6) + 0 = 32 24 = 8
Solucin de Ecuaciones por Determinantes: Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas por determinantes, KRAMER, propuso una metodologa que ilustramos a continuacin.
Sea el sistema:
a1x a2 xa3 x
b1 y b2 yb3 y
c1zd1c2 zd2c3 zd3
Primero se calcula el determinante de coeficientes.
a1 b1 c1a 2b2 c 2a 3b3 c 3
Aclarando que 0
En seguida se calculan los determinantes para cada incgnita.
d 1 b1 c1 x d 2 b2 c 2 d 3 b3 c3
a1ya 2a3
d1c1d 2 c2d 3 c3
a1b1d1za2b2d 2a3b3d 3
Finalmente la solucin para cada incgnita.
xxy y z z
Los determinantes se pueden resolver por cualquiera de los mtodos explicados.
Ejemplo 31:
Resolver el siguiente sistema por determinantes.
x y z 53 x 2 y z 8
2 x 3 y 3 z 14
Solucin:
Usando la tcnica de Kramer: primero calculamos el determinante de coeficientes:111
321
233
Lo resolvemos por cofactor.
213132111332323
1 2x3
3x1
1 3x3
2 x1
1 3x3
2x2
3751
Ahora los determinantes de las incgnitas. x Se resuelve por productos cruzados, y por sarrus y zpor cofactor.
511x8211433
151
302414
151381
282415
68671
y3812 143
2 143151381
(1x8x3
3x14 x1
2x5x1)
(2x8x1
1x14x1
3x5x3)
76751
115z32823 14
2813 14
3832152 1423
1 2x14
3x8
1 3x14
2x8
5 3x3
2x2
426253
Finalmente hallamos el valor de cada incgnita.
xx111
yy111
zz331
Solucin: (x, y, z) = (1, 1, 3) Ejemplo 32:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
x y 2 z 0
3 x 2 y 0
2 x 2 y 4 z 0
Solucin:112320224
8 120
8 1200
Como el determinante de coeficientes es cero, el sistema no se puede resolver, recordemos que este determinante no puede ser cero. La nica que puede ser cierta es: x = y = z = 0, ya que ste tipo de sistema se le conoce como sistema homogneo.
Leccin Cinco: Ecuaciones de Primer Grado: problemas de Aplicacin
Con el estudio de las ecuaciones de primer grado, ahora estamos en capacidad de resolver problemas diversos, utilizando ecuaciones de este tipo. Lo nuevo aqu es que a partir del contexto y descripcin del fenmeno, se debe Plantear una Ecuacin o Ecuaciones para resolver la situacin.
Es importante tener en cuenta para resolver problemas con ecuaciones, los siguientes aspectos, los cuales permitirn obtener resultados claros y verdaderos.
1. Se debe leer muy bien el problema hasta que quede completamente entendido. Si es necesario, leerlo las veces que sean requieran.2. Identificar las incgnitas y expresarlas por medio de un smbolo.3. Llevar el problema a un modelo matemtico, es decir, plantear las ecuaciones.4. Si es necesario utilizar grficos, tablas y otros, como ayuda para la ilustracin del problema.5. Realizar las operaciones necesarias para obtener el valor de las incgnitas.6. Identificar la respuesta y hacer la respectiva verificacin.7. Establecer las conclusiones del caso.
Problemas Ecuaciones de Primer Grado con Una Incgnita
Para resolver problema de este tipo, lo ms pertinente es plantear ejemplos modelos y hacer su respectiva explicacin.
Ejemplo 33:
Escribir la modelacin matemtica de la siguiente situacin: La longitud de un arco circular, es el producto del ngulo barrido y el radio del crculo.
Solucin:
Se dan smbolos a los trminos. Longitud del arco: SAngulo barrido: Radio del crculo: RSegn el problema, el modelo sera: S = R x
Ejemplo 34:
Escribir matemticamente la siguiente situacin: El volumen de un cono circular recto es un tercio del producto de una constante, el radio al cuadrado y la altura.
Solucin:
Los smbolos. V = volumen = constanteR = radioH = altura
Segn el contexto V
1R 2 H3
Ejemplo 35:
Un carpintero debe cortar una tabla de 6 m. de largo en tres tramos, si cada tramo debe tener 20 cm. ms que el anterior, Cul ser la longitud de cada tramo?
Solucin:
Sea x la longitud del tramo ms corto, entonces el segundo tramo ser x + 20 y el tercero ser x + 40.
El modelamiento matemtico es:(x) + (x + 20) + (x + 40) = 600 Operando:3x + 60 = 600 Entonces: 3x = 600 60 = 540Despejando la incgnita: x = 540/3 = 180
As:El tramo ms corto x = 180 cm.El segundo tramo: x + 20 = 180 + 20 = 200 cm. El tercer tramo: x + 40 = 180 + 40 = 220 cm.
Ejemplo 36:
Se sabe que la suma de los ngulos internos de un tringulo mide 1800. En un tringulo rectngulo uno de los ngulos es l otro aumentado en 100. Cules sern las medidas de los ngulos de dicho tringulo?
Solucin:
Si x es el ngulo ms pequeo, el otro ngulo ser x + 10. Recordemos que un tringulo rectngulo tiene un ngulo recto, luego:
(x) + (x + 10) + 90 = 1802x + 100 = 1802x = 180 100 = 80 x = 40
Ahora: x + 10 = (40) + 10 = 50
Los ngulos son: 400, 500, 900.
Ejemplo 37:
En una molcula de azcar se encuentra el doble de tomos de hidrgeno que de oxigeno, tambin tiene un tomo ms de carbono que de oxgeno. Si la molcula de azcar tiene 45 tomos. Cuntos tomos de cada elemento tienen dicha sustancia?
Solucin:
x = tomos de oxigenoy = 2x. tomos de hidrgeno segn el contexto del problema.z = x + 1. tomos de carbono segn el contexto del problema.Como todo suma 45, entonces el modelo matemtico ser: x + y + z = 45. Expresando el modelo en trminos de una sola incgnita: (x) + (2x) + (x + 1) = 45Operando: 4x +1 = 45; 4x = 44; entonces: x = 11 tomos de oxigeno. tomos de hidrogeno: 2x = 11x2 = 22tomos de carbono: x + 1 = 11 + 1 = 12Solucin: La molcula de azcar tiene 11 tomos de oxigeno, 22 tomos de hidrgeno y 12 tomos de carbono. C12H22011
Ejemplo 38:
Un Ingeniero desea desarrollar un equipo hidrulico compuesto por dos cilindros. El primer cilindro est a 120 cm. del punto de apoyo y ejerce una fuerza de 500 Kg.-f, el sistema debe soportar una fuerza de 1.200 Kg.-f ubicada a 90 cm. del punto de apoyo y al lado opuesto de los cilindros. Si el segundo cilindro ejerce una fuerza de 700 Kg-f, En donde se debe colocar dicho cilindro para que el sistema quede en equilibrio?
Solucin:
Para que el sistema este en equilibrio, la suma de las fuerzas debe ser cero. F1 = Fuerza uno, ubicada a x1 distancia del punto de equilibrio.F2 = Fuerza dos, ubicada a x2 distancia del punto de equilibrio.F3 = Fuerza tres, ubicada a 90 cm. del punto de equilibrio.
Segn las condiciones del problema: F1X1 + F2X2 = F3X3Reemplazando:500*120 + 700* X = 1.200*90
Resolviendo:60.000 + 700X = 108.000
700 X = 48.000, entonces: X = 68,57 cm.
Solucin: El cilindro dos se debe colocar a 68,57 cm. del punto de equilibrio
Problemas Ecuaciones de Primer Grado con Dos Incgnita
En el desarrollo de ecuaciones de primer grado con una incgnita, se han adquirido destrezas en el planteamiento y resolucin de problemas. Sin olvidar los cinco pasos que se recomiendan para este tipo de situaciones, entramos en el anlisis y resolucin de problemas donde se involucran dos ecuaciones con dos incgnitas.
Ejemplo 39:
Una industria tiene dos clases de equipos para comunicacin, la clase A cuesta $67.000 y la clase B cuesta $100.000, si fueron vendidos 72 equipos con un costo total de $5880.000, Cuntos equipos de cada clase fueron vendidos?
Solucin:
Como se tiene dos incgnitas: Costo y cantidad, se debe plantear dos ecuaciones. x = Equipos de clase Ay = Equipos de clase BEcuacin para cantidad: x + y = 72Ecuacin para costo: 67.000 x + 100.000 y = 5880.000Como se tiene dos ecuaciones con dos incgnitas, se puede utilizar para su solucin: Grafico, eliminacin o determinantes.
Solucin grafica:
El punto de corte esta en x = 40 y en y por encima de 30, aproximadamente 32
Solucin analtica:
El sistema planteado a partir de la situacin planteada es:x + y = 7267.000 x + 100.000 y = 5880.000
Para este caso utilicemos la eliminacin por reduccin. Se elimina la incgnita x. Luego la primera ecuacin se multiplica por -67.000 y la segunda queda igual.
-67.000 x 67.000 y = - 4824.00067.000 x + 100.000 y = 5880.000-----------------------------------------------33.000 y = 1056.000
Despejando y = 32
Reemplacemos y en la primera ecuacin:x + y = 72; x + (32) = 72, entonces: x = 40.
Solucin: Se vendieron 40 equipos de clase A y 32 equipos de clase B. Ejemplo 40:Se desea preparar una sustancia a partir de dos soluciones base. La solucin N tiene el 5% y la solucin M tiene el 20%. La cantidad resultante R debe ser de 200 ml, con una concentracin del 15%.Cuntos mililitros de solucin N y M se deben mezclar?
Solucin:x = Mililitros de la Solucin N al 5% y = Mililitros de la Solucin M al 20% Se tiene dos ecuaciones, una para el volumen y otra para la concentracin.- Ecuacin para el volumen: x + y = 200 (mililitros)- Ecuacin para la concentracin: 0,05x + 0,20y = 200(0,15) entonces: 0,05 x + 0,20 y = 30El sistema obtenido ser:x + y = 200 0,05 x + 0,20 y = 30
Solucin Grafica:
Se observa que la incgnita x esta cerca a 60 y la incgnita y por encima de 120. Con el mtodo analtico se puede obtener la solucin precisa.
Solucin Analtica:
Vamos a resolverlo por sustitucin, el sistema:x + y = 2000,05 x + 0,20 y = 30
Despejemos x en la primera ecuacin: x = 200 y. Reemplazamos dicha incgnita en la segunda ecuacin: 0,05(200 y) + 0,20 y = 30. Operando el parntesis: 10 0,05y + 0,20y = 30. Simplificando: 0,15y = 20. As: y = 133,33
Ahora, reemplazamos el valor de y en la primera ecuacin, recordemos que puede ser tambin en la segunda: x + y = 200, entonces: x + (133,33) = 200, operando: x = 67,67Solucin: Se deben mezclar 66,67 ml de solucin N y 133,33 ml. De solucin M. Ejemplo 41:Los ngulos y son suplementarios, de tal manera que uno de ellos es 4 veces y 3 grados mayor que el otro. Cules son las medidas de los ngulos y ?
Solucin:
Sea ngulo mayorSea ngulo menor.
La ecuacin de ngulos suplementarios: + = 180La ecuacin, dada la condicin del problema: = 4 + 3Organizando: + = 180 - 4 = 3
Solucin Grafica:
El punto muestra que (X) est por encima de 140 y el punto (Y) est cercano a 40. Con el mtodo analtico, se puede obtener la solucin precisa.
Solucin Analtica: + = 180 - 4 = 3
Por reduccin:4 + 4 = 720 - 4 = 3---------------------5 = 723, entonces: = 144,6
Para hallar el ngulo , reemplazamos en la segunda ecuacin:(144,6) - 4 = 3. Desarrollando: -4 = 3 144,6 = -141,6. Por consiguiente: = 35,4
Solucin: El ngulo mide 144,60 y el ngulo mide 35,40
Ejemplo 42:
En un circuito en serie la resistencia total es la suma de las resistencias componentes. Un circuito en serie es compuesto por dos resistencias R1 y R2, la resistencia total es de 1.375 ohmios, para suministrar el voltaje requerido, R1 debe tener 125 ohmios ms que R2. Cul es el valor de las resistencias?
Solucin:
Se plantean las ecuaciones.
Ecuacin de resistencia total: R1 + R2 = 1.375Segn las condiciones del problema: R1 = R2 + 125Entonces: R1 + R2 = 1.375 y R1 - R2 = 125Tenemos dos ecuaciones con dos incgnitas.
Solucin Grfica:
Como se observa en la grfica, el punto de corte no es muy claro, R1 se acerca a 800 y R2 supera a600.
Solucin Analtica:
Tomando las dos ecuaciones.R1 + R2 = 1.375 y R1 - R2 = 125Despejamos R1 en la segunda: R1 = R2 + 125Reemplazamos en la primera: (R2 + 125) + R2 = 1.375Operando y simplificando: 2R2 = 1.375 125 = 1.250, luego: R2 = 1250/2 = 625
Ahora sebusca el valor de R1 reemplazando el valor de R2 en cualquiera de las ecuaciones, utilicemos la ecuacin dos: R1 - R2 = 125, entonces: R1 = R2 + 125 = (625) + 125 = 750. R1 = 750Por consiguiente: las resistencias tienen el valor de 625 y 750 ohmios.
Ejemplo 43:
Jorge y Alberto pertenecen a un Club Ejecutivo, quienes debieron pagar una afiliacin y cuotas mensuales. Jorge por 7 meses pag por adelantado un total de $605.000 y Alberto por 18 meses pago por adelantado $770.000. Cunto vale la afiliacin y la mensualidad en dicho Club?
Solucin:
x = Cuota inicial y = mensualidadSe plantea una ecuacin para Jorge y una para Alberto. Jorge: x + 7y = 605.000Alberto: x + 18y = 770.000
Se resuelve reduccin: Multiplicamos la primera ecuacin por -1, luego:-x - 7y = - 605.000 x + 18y = 770.00011 y = 165.000, despejando la incgnita: y = 15.000Para hallar x, reemplazamos el valor de y en la primera ecuacin:x + 7(15.000) = 605.000, donde: x = 500.000, despejando la incgnita: x = 500.000Solucin: La afiliacin cuesta $500.000 y la mensualidad cuesta $15.000
Problemas Ecuaciones de Primer Grado con Tres Incgnita
Existen problemas donde estn involucradas tres incgnitas, la solucin de este tipo de problemas son similares a los casos anteriores. Veamos algunos ejemplos modelos, que nos permitirn comprender situaciones de este tipo.
Ejemplo 44:
La suma de tres nmeros es cuatro, el primero, dos veces el segundo y el tercero suma uno. Por otro lado tres veces el primero mas el segundo, menos el tercero equivale a -2. Cules son los nmeros?
Solucin
El planteamiento.x = Primer nmeroy = Segundo nmero z = tercer nmero
46Segn las condiciones. x + 2y + z = 1 (1)3x + y z = -2 (2)x + y + z = 4(3)
Tomamos (1) y (2) y eliminamos z. x + 2y + z = 1 (1)3x + y z = -2 (2)-------------------------4x + 3y = -1(4)
Ahora tomamos (2) y (3), eliminando la misma incgnita z.3x + y z = -2 (2)x + y + z = 4(3)-------------------------4x + 2y = 2(5)
Se han obtenido dos ecuaciones con dos incgnitas, la forma de resolverlas ya se han estudiado.4x + 3y = -1(4)4x + 2y = 2(5)
Eliminemos x.- 4x - 3y = 14x + 2y = 2------------------- y = 3. Primera solucin: y = - 3
Reemplazamos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones (4) o (5). Tomemos la ecuacin 4.4x + 3y = -1, entonces: 4x + 3(-3) = -1. Operando y simplificando: 4x = -1 + 9 = 8 x = 8/4 = 2. Segunda solucin: x = 2.
Para hallar el valor de la tercera incgnita se reemplaza los valores de y y x en cualquiera de las ecuaciones originales (1), (2), (3). Tomemos la ecuacin tres.x + y + z = 4. Reemplazando: (2) + (-3) + z = 4, luego: z = 4 + 3 2 = 5. As: z = 5Solucin: (x, y, z) = (2, -3, 5) Ejemplo 45:El ngulo ms grande de un tringulo es 700 mayor que el ngulo ms pequeo y el ngulo restante es100 ms grande que tres veces el ngulo ms pequeo Cules son las mediciones de los ngulos?
Solucin:
x = Angulo ms pequeo y = Angulo intermedioz = Angulo ms grande
Por las condiciones del problema:x + y + z = 180(1)porqu?
x z = -70(2)
3x y = -10(3)
Se elimina la incgnita y, entonces:
x + y + z = 180 x z = -70---------------------2x + y = 110 (4)
Se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas.3x y = -102x + y = 110
Eliminamos y: 5x = 100, as: x = 20
Calculemos ahora y de la ecuacin (3): 3x y = -10, entonces: 3(20) y = -10, operando se obtiene:y = 10 + 60 = 70, as: y = 70
Finalmente para hallar z, tomaos la ecuacin (1)x + y + z = 180, reemplazando: (20) + (70) + z = 180. Por consiguiente z = 90.
As se tiene la solucin: (x, y, z) = (20, 70, 90) Ejemplo 46:Una Heladera tiene tres sucursales: La sucursal A vendi 75 helados, 75 paletas y 32 conos, recibiendo $84.500. La sucursal B vendi 80 helados, 69 paletas y 27 conos, recibiendo $77.500 y la sucursal C vendi 62 helados, 40 paletas y 30 conos, recibiendo $62.400. Cunto cuesta la unidad de cada producto?
Solucin:
Sea x = Helado, y = paleta, z = Cono. Segn las condiciones del problema, se tiene: Sucursal A: 75x + 75y + 32z = 84.500Sucursal B: 80x + 69y + 27z = 77.500Sucursal C: 62x + 40y + 30z = 62.400
Como tenemos 3 ecuaciones con 3 incgnitas, se resuelve por determinantes.
84 . 50077 . 50062 . 400
753269274030
xResolviendo por cofactor:
757580696240
692784.5004030x
3227
77.5006962.4004084.500 * 99075 * 640.20032 * ( 1'205.600)30
77.50027753262.40030
6927754030
8027756230
8069326240
75 * 990
75 * 726
32 * (
1.078)
x2'939.20014.696
200
x = 200
7584 . 500328077 . 500276262 . 40030y757532806927624030
77 . 500277562 . 400306927754030
802784 . 50062308027756230
8032628069326240
77 . 50062 . 400
y75 * 640 .200
84 .500
* 726
32 * 187 .000
7 '348 .000
500
y = 500
75 * 990
75 * 726
32 * (
1078 )
14 .696
757580696240z
84 . 50077 . 50062 . 400
6977 . 500754062 . 400
8077 . 500756262 . 400
806984 . 5006240
757532806927624030
6927754030
8027756230
8069326240
z75 * 1'205 .600
75 * 187 .000
84 .500 * (
1078 )
14 '696 .000
1.000
z = 1.000
75 * 990
75 * 726
32 * (
1078 )
14 .696
Solucin: El helado cuesta $200, la paleta cuesta $500 y el cono cuesta $1.000.
EJERCICIOS
En los ejercicios propuestos, resolver la ecuacin paso a paso identificando el axioma, propiedad o ley matemtica utilizada.
1. 3(2 x)
2 x 1
Rta: x = 7/5
2. 1 x63 x1243. 641xx2
Rta: x = -28
Rta: x = 20
4. x 26 x75.23
( x1) 210
Rta: x = 2
Rta: x = 6
x
6. 5
2x5( xx27x3
5)( x2)
Rta: x = 4
Resolver los siguientes sistemas por el mtodo de reduccin.
x5 y133x2 y12x2 y63xy107.Rta: x = 2, y = 3
8.Rta: x = -2, y = 4
Resolver los siguientes sistemas por el mtodo de Igualacin.
2x 4 y 29. 3x 2 y 3
Rta: x = , y =
Resolver los siguientes sistemas por el mtodo de Sustitucin
x 1 y 110.2
Rta: NO hay solucin
2 x y 6
Identificar el valor de en cada determinante, de tal manera que la igualdad se cumpla.
24
11.123
Rta: = 12
Resolver los sistemas de ecuaciones propuestos por el mtodo de Kramer; es decir, utilizando determinantes.
5x12.2 x
y133 y12
Rta: x = 3, y = 2
3x13.5x
14.y
6 y244 y12
2 x13
Rta: x = 4, y = -2
Rta: x = 2, y = -1
3x82 y
Resolver los determinantes dados a continuacin por el mtodo de productos cruzados.
15. A
16. B
124
401 / 2
233410
352111 / 2
Rta. A = 2
Rta: B = 9/2
Resolver por Sarrus los determinantes dados.
17. C
18. E
124
1/ 212
233410
1/ 211/ 201/ 21
Rta: C = 58
Rta: E = -3/4
Resolver por Cofactor:
56719. F013140Rta: F = -49
Resolver por eliminacin los siguientes sistemas de ecuaciones.
x2 y20. 2 xy
3 z7z4
Rta: x = 2, y = -1, z = 1
3 x2 y2 z10
Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones por el mtodo de Kramer.
x 2 y
21. 2x y
3z 7
z 4
Rta: x = 2, y = -1, z = 1
3x 2 y 2z 10
Hacer el planteamiento de los problemas propuestos y resolverlos adecuadamente.
22. La suma de dos nmeros enteros positivos es igual a 12, uno de ellos es el doble del otro. Cules son los nmeros?Rta: 4 y 8
23. Un voceador reparte el peridico en 1800 seg., su compaero lo hace en 120 seg., si lo hacen simultneamente, Cunto tardarn en hacer la entrega?Rta: 720 seg.
24. Un ngulo mide 460 ms que su complementario. Cul ser la medida de los ngulos?Rta: 220 y 680
25. En una distribuidora de dulces, 4 paquetes de dulces y 4 paquetes de galletas valen $7.900. Dos paquetes de galletas cuestas $20 ms que un paquete de dulces. Cunto cuestan un paquete de galletas y un paquete de dulces?Rta: Galletas: $665, -dulces $1.310
26. Un automvil recorre 50 Km. En el mismo tiempo que un avin viaja 180 Km. La velocidad del avin es de 143 Km/hr ms que el del automvil. Cul es la velocidad del automvil?Rta: 55 Km/hr
27. Un Bilogo desea probar un fertilizante a partir de tres clases existentes referenciados F1, F2, F3, cuyos contendido de nitrgeno son: 30%, 20% y 15% respectivamente. El Bilogo quiere trabajar con600 Kg. de mezcla con un contenido de nitrgeno de 25%, pero la mezcla debe tener 100 Kg. ms deF3 que de F2. Cunto requiere el Bilogo de cada tipo de fertilizante?Rta: F1 = 380 Kg, F2 = 60 Kg, F3 = 160 Kg.
28. En la caja de un Bancohay $880 en billetes de $5, $10, $50. La cantidad de billetes es $10 es el doble de la de $50, si hay en total 44 billetes. Cuntos billetes de cada denominacin tiene el Banco?Rta: 8 billetes de $5, 24 de $10 y 12 de $50
Leccin Seis: Ecuaciones de Segundo Grado
x 2x 0
Las ecuaciones de segundo grado han sido motivadas desde tiempos inmemorables, inicialmente la necesidad de resolver problemas de rea y volumen, condujeron a manipular ecuaciones de este tipo. Como los nmeros negativos se formalizaron tarde en la historia de las Matemticas, en sus inicios el manejo de las ecuaciones de segundo grado fue con nmeros positivos.
Se reconocen 5 tipos de ecuaciones de segundo grado.
x2 = bx, x2 = c, x2 + c = bx, x2 = bx + c, x2 + bx = c
Para resolver este tipo de ecuaciones se han utilizado diversos mtodos, desde pocas de Hern, pasando por Euclides hasta el mtodo axiomtico, han permitido solucionar problemas que involucran ecuaciones de segundo grado, por el inters que despierta, se analizar el mtodo axiomtico.
MTODO AXIOMTICO: Es el mtodo ms utilizado; por no decir que el nico, en la actualidad, se soporta en los axiomas, propiedades y definiciones, establecidos a travs de toda la historia de las matemticas.Sea la ecuacin ax2 + bx + c = 0, con a, b y c constantes y a 0. Este tipo de ecuaciones se puede resolver de las siguientes maneras:
1. FACTORIZACIN:
Se sabe que toda ecuacin de segundo grado se puede expresar como producto de dos factores.
ax 2
bxcxx0
A los factores obtenidos se les aplica la Regla del Producto Nulo la cual dice:
Six x
0 x
0, v, x 0
De esta manera se puede despejar la incgnita y obtener las soluciones respectivas. Se debe aclarar que las ecuaciones de tipo ax2 + bx + c = 0, tiene dos soluciones, las cuales pueden ser: Reales iguales, Reales diferentes Imaginarias.
Ejemplo 47:
Resolver la siguiente ecuacin.
3x 2
3x 18 0
Solucin:
2Primero factorizamos el trinomio, a esta altura debemos conocer las tcnicas de factorizacin, en caso de dudas por favor consultar el modulo de Matemticas Bsicas para aclarar dudas al respecto.
3 3x 23x183
0 3x
3 3x3
540
La ltima expresin se puede factorizar como un trinomio de la forma x2 + bx + c = 02
3x3 3x543
3x9 3x63
3x9 x20
Tenemos dos trminos a los cuales le podemos aplicar la regla del producto nulo. (3x 9) = 0, despejando x = 3
(x + 2) = 0, despenando x = -2Se observa que se obtienen dos soluciones -2 y 3, as se comprueba que toda ecuacin de segundo grado tiene dos soluciones.
Ejemplo 48:
48Hallar la solucin de la ecuacin x 2
10 x 25 0
Solucin:
Se factoriza como trinomio cuadrado de la forma x2 + bx + c = 0.
x 210 x25
x5 x50
Por la regla del producto nulo:x 5 = 0, luego x = 5 x 5 = 0, luego x = 5Se observa que la solucin es doble, pero la misma. Ejemplo 49:
Determinar el valor de x para la ecuacin x 216 0
Solucin:
Despejamos la incgnita.
x 216
0 x 2
16 x16
Se observa que se tiene una raz par de nmero negativo, cuya solucin esta en el campo de los nmeros imaginarios.As: x = +4i y x = -4i
NOTA: recordemos los nmeros imaginarios, el tema esta explicitado en el modulo de matemticas Bsicas. Por otro lado, en los ejemplos anteriores se puede verificar que la solucin puede ser real diferente, real igual imaginaria.
Ejemplo 50:
Hallar la solucin de la ecuacin
9 x 2
25 0
Solucin:
La idea es despajar la incgnita, en este caso x.
9 x 225
0 9 x 2
25 x 2
25 x9
25 59 3
La solucin es: x = 5/3 y x = -5/3
Ejemplo 51:
Resolver la ecuacin x 2
2 x 4 0
Solucin:
Para este caso, NO es fcil identificar dos nmeros que multiplicados sea - 4 y sumados sea -2, esto conlleva a buscar otras tcnicas para resolver este tipo de ecuaciones. Una de ellas es la que se analiza a continuacin.
2. FRMULA CUADRTICA: En muchas ocasiones el trinomio propuesto en la ecuacin no se puede resolver directamente por factorizacin o extraccin de raz, entonces lo que se hace para resolver la ecuacin propuesta es utilizar la frmula cuadrtica, es un camino ms rpido para resolver ecuaciones de segundo grado con una incgnita.
49Sea la ecuacin: ax 2
bx c
0 con a, b, c, reales y
b b 2
4ac
a 0. La solucin para la incgnita es:xDemostracin:2a
Para demostrar la frmula cuadrtica, aplicamos el principio de completar cuadrados. Veamos:
ax2
bx c
0 ax2 bx c
Se debe hacer que el coeficiente de la incgnita al cuadrado sea uno, para esto se divide todo por a.
a x2 b x a a
c x2 b x c a a a
Se completa cuadrados en la parte izquierda de la ecuacin
x2 b x
2 b
2 b c
a 2a
2a a
El primer trmino es un trinomio cuadrado perfecto, entonces:
2b b2 x
c x
2b b2
4ac
2a
4a2 a
2a
4a2
Se extrae raz cuadrado a la ltima ecuacin.
b b2
4ac
b b2
4ac
x x
2a 4a2
2a 4a2
Desarrollando la raz del denominador y operando las dos fracciones:
2b b 4ac b2b 4acb2b2a4a22a2a2ax 4ac
Las soluciones por medio de la frmula cuadrtica sern:
2xbb
4acyx
bb 2
4ac
5012a
22a
A la expresin
b 24ac
e le conoce como el discriminarte, debido a que su signo indica el tipo
sde solucin obtenida.Si0 : Hay dos soluciones reales diferentes. Si0 : Hay dos soluciones reales igualesSi0 : Hay dos soluciones imaginarias.
Ejemplo 52:
A partir del ejemplo 50, resolver la ecuacin x 2
2 x 4 0
Solucin:
Para el trinomio dado, a = 1, b = -2 y c = -4. Aplicando la frmula.
( 2)x
( 2)22(1)
4(1)( 4)2
4162
2202
Las soluciones son:
x22012
3,23606y
220
x22
1,23606
Como se puede observar, las soluciones son reales y diferentes.
Ejemplo 53:
Resolver la siguiente ecuacin utilizando la frmula cuadrtica. x 2
6 x 8 0
Solucin:
Para el trinomio dado, a = 1, b = -6 y c = 8. Aplicando la frmula.
( 6)x
( 6) 2
4(1)(8)6
36326
462
2(1)
222
Las soluciones son:
x62412
yx2
6222
Como las soluciones son enteras, este trinomio se puede resolver tambin por factorizacin.
Ejemplo 54:
Resolver
3x 2
4 x 2 0
Solucin:
Identificamos las constantes. a = 3, b = - 4, c = 2, entonces:
( 4)x
( 4) 2
4(3)( 2)4
16244
848i
2(3)Simplificamos el radicar.
666
x42 2i6
22i3
Las soluciones:
x22iyx122
22i2
Se observa que las soluciones son imaginarias, a propsito, cuando una ecuacin tiene solucin imaginaria, su conjugada tambin es solucin.
Ejemplo 55:
Resolver la ecuacin: 2 x 26 x 4
Solucin:
Lo primero que debemos hacer es igualar la ecuacin a cero:
2x2 6x
4 2x2
6x 4 0
As a = 2, b = 6 y c = 4. Se aplica la frmula.
6(6) 2x2(2)
4(2)(4)
636326462444
Las soluciones:
x6214
1yx2
6224
En los ejemplos realizados, donde las soluciones han sido reales, los valores son enteros, pero no siempre es as, en muchas ocasiones las soluciones son fraccionarias.
Ecuaciones de Grado n(n par)
nx n x m 0
A veces se pueden presentar ecuaciones de la forma
ax n
bx m
c 0 , donde m = n / 2, la
idea es reducir el grado del trinomiohasta que n = 2. Para resolverlo como un trinomio cuadrado.
Algunos ejemplos nos aclaran el proceso.
Ejemplo 56:
Resolver: x 4
5x 24 0
Solucin:
Se hace un cambio de variabledigamos u = x2 luego u2 = x4 Reemplazamos:
x4 5x2
4 0 u2
5u 4 0
Ahora se puede resolver el ltimo trinomio, se utiliza la factorizacin.
u2 5u4
0 u
4 u10
Por la regla del producto nulo:u 4 = 0, u = 4 u 1 = 0, u = 1
Ahora se reemplaza el valor de u por x2x2 = 4,x = +2 y -2 x2 = 1,x = +1 y -1Se observa que se obtienen 4 soluciones, ya que la ecuacin original es de grado cuarto. Ejemplo 57:
Resolver la siguiente ecuacin
y10
6 y 5160
Solucin:
Hacemos el cambio de variable w = y5, luego w2 = y10 entonces:
y10
6 y516
0 w2
6w 160
La ltima expresin se puede resolver por factorizacin o por la cuadrtica, resolvmosla por los dos mtodos.
Por Factorizacin:
w26w 16
0 w8 w20
Por la regla del producto nulo:w + 8 = 0, luego: w = -8w -2 = 0, luego w = 2
Por la Cuadrtica:
6(6) 2w2(1)
4(1)(
16)
636642
61002
6102
Las soluciones:
w610122yw2
61082
Pero la solucin final se debe dar en la incgnita y.Como w = y5 Se hace el reemplazo:
Para w1: y 5Para w2: y 5
2 y5 28 y58
Podemos ver que slo se obtuvieron dos soluciones, pero la ecuacin es de grado 10, luego hacer falta ocho soluciones, las cuales se pueden obtener por mtodos matemticos ms avanzados.
Ejemplo 58:2Resolver la ecuacin: x 3
12x 3
15 0
Solucin:
Como en los casos anteriores se hace cambio de variable.
1v x 32
v21
2x 3 Procedemos a reemplazar.
x 32 x 315v 2
2v150
La ltima expresin al resolvemos por factorizacin.
v 2 2v15
0 v
5v3 )0
Por la regla del producto nulo. v + 5 = 0, v = -5v 3 = 0, v = 3
Finalmente, reemplazamos nuevamente para x.
1v5 x 3
5 x
313
5 3 x
125
1v3 x 3
3 x
313
3 3 x27
Solucin: x = -125 y x = 27
Leccin Siete: Ecuaciones de Segundo Grado: Problemas de aplicacin
Muchos fenmenos del mundo que nos rodea, se pueden expresar matemticamente por medio de ecuaciones cuadrticas. Para resolver problemas de este tipo, se debe seguir la metodologa propuesta en la seccin de problemas con ecuaciones de primer grado, es una buena orientacin. La manera ms pertinente de ilustrar problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado, es por medio de ejemplos modelos.
Ejemplo 59:
La cuarta parte del producto de dos nmeros enteros pares positivos consecutivos es 56. Cules son los nmeros?
Solucin:
Sea x el entero par, luego (x + 2) ser el entero par consecutivo. Segn las condiciones del problema.
1 ( x)( x 2)4
56 .
Desarrollando:
1 ( x)( x 2)4
56 x 2
2 x 224 0
Como se tiene una ecuacin de segundo grado, se utiliza el mtodo de la frmula cuadrtica.
244(1)(x2(1)
224)
29002
2302
Las soluciones:
x23012
230142
x23022
230162
Como se trata de enteros positivos, entonces la solucin vlida ser 14, la otra no se tiene en cuenta. As la solucin al problema es: 14 y 16
Ejemplo 60:
La raz cuadrada de un nmero ms cuatro, es lo mismo que el nmero menos ocho. Cul ser el nmero?
Solucin:
Sea y = el nmero a buscar. Aplicando las condiciones dadas en el problema.y 4 y 8Teniendo el modelo matemtico, se puede resolver la ecuacin, para obtener la solucin al problema. lo que se puede hacer es eliminar la raz y luego despejar la incgnita.2
y4y
8 y4
y8 2 y4
y 2 16y64
Reorganizando la ltima ecuacin: y2
17y
600
Por la cuadrtica:
( 17)y
( 17) 22(1)
4(1)(60)17
2892
240
17492
Las soluciones:
y174912
177122
y174922
177752
Las soluciones son 5 y 12. Pero segn las condiciones dadas en el problema, el nmero que las cumple es 12, entonces y = 12.
Ejemplo 61:
Calcular las dimensiones de un rectngulo, cuya rea es de 375 m2; adems, el largo es el doble del ancho menos cinco.
Solucin:
Una grfica nos ilustra la situacin.
El planteamiento del modelo ser:
( x)(2x5)
375
Multiplicando y resolviendo:
2x 25x
375 2x 2
5x3750
Se resuelve la ecuacin por la frmula cuadrtica:
( 5)x
254(2)(
375)5
2530005
3025
555
2(2)
444
Las soluciones: x
5554
6015 y x4
5554
5012,54
Como el problema es sobre longitudes, los valores negativos no son vlidos, luego: x = 15. Por consiguiente.
Largo: 2(15)-5 = 25 y Ancho: x = 15
Ejemplo 62:
Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 400 m/seg. la altura tiene como2
modelo matemtico y
16t
v0 t
Siendo t el tiempo y v0 la velocidad inicial.
A -) En que tiempo el objeto regresa al suelob -) Cuanto tarda en alcanzar 2.500 metros de altura
Solucin:
a-) Cuando el objeto regresa al suelo, la altura es cero (y = 0)
y16 t 2
v 0 t
16 t 2
400 t0
Recordemos que la velocidad inicial es de 400 m/seg. Se factoriza para despejar la incgnita, que en
este caso es el tiempo.
16t 2
400t
0 t (
16t
400)0
Por la regla del producto nulo: t = 0 -16t + 400 = 0, luego t = 25 seg. El objeto regresa al suelo a los 25 seg. de haber sido lanzado.
b-) Para determinar el tiempo en que la altura es de 2.500, en la ecuacin se reemplaza y por 2.500 y
se despeja el tiempo.
2 .500
16 t 2
400 t
16 t 2
400 t
2 .500 0
Aplicamos la cuadrtica a la ltima ecuacin:
( 400)t
1600002(16)
4(16)(2.500)
400032
40032
12,5
El tiempo que utiliza para alcanzar los 2.500 metros es de 12,5 segundos. Ejemplo 63:En una planta manufacturera el costo mensual por producir x unidades est dada por la ecuacin
C ( x)
10 x 2
100 x
2000 Cuntas unidades se pueden producir para un costo de 10.000?
Solucin:
Primero se identifica C = costo y x = unidades producidas. Como se conoce el costo, se debe despejar la incgnita x.
C(x)
10x 2
100x
2000 10.000
10x 2
100x
2000 10x 2
100x
12.0000
Resolvemos por la cuadrtica:
( 100)x
100002(10)
4(10)(
12.000)
100
490.00020
100
70020
Las soluciones:
x1001
7004020
100
x2
7003020
Por obvias razones la solucin es 40 unidades.
Ejemplo 64:La suma de los n enteros pares consecutivos est dada por la ecuacin s
n(n
1) .
Cuntos enteros pares consecutivos y positivos se deben sumar para que dicha suma sea de 342?
Solucin:
A partir de la ecuacin se reemplaza el valor de s y se opera:
s n(n
1) n2
n 342 n 2
n 342 0
n2 n
342
n 19 n 18 0
Por el producto nulo:n + 19 = 0, entonces n = -19 n 18 = 0, entonces n = 18Se deben sumar los primeros 18 enteros pares consecutivos positivos para que la suma de 342.
Reflexin: Por qu no se toma el nmero -19? Ejemplo 65:Una tubera puede llenar un tanque en 5 hr. ms rpido que otra tubera, las dos tuberas pueden llenar el tanque en 5 hr. Cunto tiempo tomar llenar el tanque cada una?
Solucin:1El llenado de la tubera ms lenta esx1El llenado de la tubera ms rpida esx
Para x tiempo en segundos.
5
1El llenado las dos tuberas simultneamente es5La suma de los llenados, permite obtener el tiempo de cada tubera.
111 x5x
1 2 x51
xx55
x( x5)5
x ( x5)5
Por el principio de fracciones equivalentes:10 x 25
x 25x x 2
5x 25 0
5Por la cuadrtica: x
Las soluciones:
254(1)(2
25)
51252
x512512
8,09
5125
x22
3,09
La solucin ser 8,09
La tubera ms lenta tarda en llenar el tanque 8,09 seg. y la tubera ms rpida tardar en llenar el tanque 8,09 + 5 = 13,09 seg.
Leccin Ocho: Ecuaciones Cubicas.
ax 3
bx 2cx d 0
Las ecuaciones de tercer grado han sido muy estudiadas, pero no se ha encontrado una solucin general como la que tiene las de segundo grado. Para resolver este tipo de ecuaciones, se han realizado varios mtodos, aqu vamos a referenciar la forma antigua y a analizar la forma moderna, que es la de inters en nuestro estudio.
METODO ANTIGUO:
La resolucin de ecuaciones de tercer grado se remonta a los babilonios, quienes resolvieron problemas que involucraban races cbicas, tenan planteamientos como el siguiente:
z12 xyx
vxyz
v 12 x 3
Para lo cual usaron tablas de potencias cbicas y races cbicas.
Un profesor de Matemticas de la Universidad de Bolognia, Scipione del Ferro (1.465 1.526) fue quien por primera vez resolvi algebraicamente una ecuacin cbica. de la formax3 + px = q. Posteriormente Nicolo Tartaglia, en una competencia con Fior; alumno de Scipione delFerro revolvi 30 ecuaciones de este tipo.
El matemtico Girolamo Cardano (1.501 1.576) se inquiet por los avances de Tartaglia y al reunirse con el en marzo de 1.539, ste ltimo revela sus secretos a Cardano, despus de muchos ires y venires, la formula obtenida para ecuaciones de tercer grado se le llamo Formula de Cardano- Tartaglia. En resumen del proceso que se realiz, se obtuvo una formula de la siguiente manera:3
Sea la ecuacin: x
pxq
La solucin es de la forma:
2q q
3 p
2q q
3 p
x3
3
2 2
3
2 2
3
Cardano, no acepto ni coeficientes, ni soluciones complejas para las ecuaciones de este tipo.
Vale la pena comentar que Viet, quien trabajo las ecuaciones cbicas utilizando transformaciones y sustituciones, obtuvo ecuaciones cuadrticas para resolver ecuaciones cbicas, la caracterstica era que solo utilizaba races cbicas positivas.
METODO MODERNO:
A partir de los trabajos de Cardano y Tartaglia, se han venido buscando formas ms prcticas para resolver ecuaciones de tercer grado. El primer intento llevo a plantear una frmula parecida a la de Cardano-Tartaglia, pero era muy larga y complicada de manejar. Con el estudio de los polinomios se logr establecer algunos principios que ayudaron a buscar un camino dinmico para resolver ecuaciones cbicas.
DEFINICIN: Sea P(x) un polinomio de grado n, sea r un nmero real o complejo, tal queP( r ) = 0, entonces se dice que r es un cero del polinomio. Por consiguiente r es una solucin o raz de la ecuacin Polinmica.
Con la definicin anterior, se puede inferir que una ecuacin de grado tres, se puede reducir a grado
dos, buscando una de sus races, ya que:
P( x)
ax 3
bx 2
cxd
Si P( r ) = 0, entonces:
P ( x )
xrpx 2 qxw
Este proceso es una forma de linealizar la ecuacin, recordemos que linealizar es expresar un polinomio de grado n, en n factores de grado uno; o sea, factores lineales. Los matemticos se han preocupado por determinar el tipo de soluciones que puede tener una ecuacin cbica. A partir de la
ecuacin
ax3
bx2
cx d
0 , se identifica su discriminante:
18abc
4a3 c
a 2 b 2
4b3
27c3
Segn el signo del discriminante se puede identificar el tipo de solucin: Si0 : La ecuacin tiene tres soluciones reales diferentes.Si 0 : La ecuacin tiene tres soluciones reales y por lo menos dos de ellas iguales. Si0 : La ecuacin tiene una solucin real y dos soluciones imaginarias.
Solucin para una ecuacin de tercer grado:
El principio consiste en reducir la ecuacin a un producto de dos factores, uno lineal y otro cuadrtico, de esta manea se puede despejar la incgnita y obtener las soluciones respectivas. La tcnica de reduccin es por medio la llamada Divisin Sinttica, la cual se mostrar simbolizar a continuacin.
Sea la ecuacin:
ax3
bx 2
cxd0
La divisin: Se organizan los coeficientes como se observa en la grfica.
r son los divisores de a y d positivos y negativos. Es pertinente aclara que a debe ser diferente de cero
El proceso inicia bajando el valor a, luego este se multiplica por r para obtener el valor A. En seguida se suma b + A para obtener P. Seguido se multiplica P por r para obtener B, se suma c + B y se obtiene Q,Luego se multiplica Q por r para obtener D, se suma d + Dcuyo resultado debe ser cero (0).
Si la ltima suma (d + D) no da cero, lo que indica es que el r escogido no es raz del polinomio, entonces se prueba con otro r hasta obtener aquel que permita que dicha suma sea cero (d + D = 0).El proceso acepta utilizar los valores positivos y negativos de los divisores identificados. Ejemplo 66:
Resolver la ecuacin x 3
3 x20
Solucin:
Es evidente que se deben tener tres soluciones. Para buscar la primera se identifican los r que para este caso son: 1, -1, 2, -2. Se inicia con 1. Como el polinomio no tiene trmino en x2 se completa con cero.
Ilustremos el proceso realizado:
1x1 = 1, 0 + 1 = 11x1 = 1, -3 + 1 = -2-2x1 = -2, 2 + (-2) = 0
r = 1 es cero del polinomio.
Ahora la ecuacin inicial se expresa como producto de dos factores, el primero ser (x r) y el segundo ser un trinomio cuadrado cuyos coeficientes son los valores del residuo de la divisin sinttica.
60x33x2
x1x 2 x2
El trinomio cuadrado se puede resolver como ya se ha analizado:
x 2 x2
x2x1
Las soluciones son: -2 y 1, recordemos por q