algebra y-trigonometria-con-geometria-analitica-12ed

La dcimo segunda edicin de lgebra y trigonometra con geometra analtica incluye ms de 100 ejemplos y

ejercicios nuevos y revisados, muchos de los cuales resultaronde sugerencias de usuarios y revisores de la undcima edicin.

Todos se han incorporado sin sacrificar exactitud matemticaque ha sido de capital importancia para el xito de este texto.

La inclusin de ejemplos e insertos para calculadora de grficas,con secuencias especficas de tecleo y pantallas en color para la TI-83/4

Plus y la TI-86, ha dado valor agregado al texto para estudiantes,en especial para quienes trabajan por primera vez con una calculadora

de grficas. Tambin da a profesores ms flexibilidad en trminosde la forma en que se aproximan a una solucin. El diseo del texto

hace que los insertos de tecnologa se identifiquen fcilmente,y se citan en una tabla de contenido especial de tecnologa para

que se puedan buscar con ms facilidad.

ISBN 10: 970-830-039-XISBN 13: 978-970-830-039-1

Swokowski CRIS.pdf 2/26/09 12:59:47 AM

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page iii

DCIMO SEGUNDA EDICIN

LGEBRA YTRIGONOMETRA

CON GEOMETRA ANALTICA

E A R L W. S W O K O W S K I

J E F F E R Y A . C O L EAnoka-Ramsey Community College

Traduccin:Jorge Humberto Romo Muoz

Traductor profesional

Revisin tcnica:Dr. Ernesto Filio Lpez

Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniera y Tecnologas Avanzadas

Instituto Politcnico Nacional

Australia Brasil Corea Espaa Estados Unidos Japn Mxico Reino Unido Singapur

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page i

lgebra y Trigonometra con GeometraAnaltica, Dcimo Segunda edicinEarl W. Swokowski; Jeffery A. Cole

Presidente de Cengage LearningLatinoamrica:Javier Arellano Gutirrez

Director editorial Latinoamrica:Jos Toms Prez Bonilla

Editor: Sergio R. Cervantes Gonzlez

Director de produccin:Ral D. Zendejas Espejel

Editor de produccin: Timoteo Eliosa Garca

Ilustrador:Andrew Ogus / Rokusek

Diseo de portada: Ansialab

Composicin tipogrfica:Imagen Editorial

D.R. 2009 por Cengage Learning Editores,S.A. de C.V.,una Compaa de Cengage Learning, Inc.Corporativo Santa FeAv. Santa Fe nm. 505, piso 12Col. Cruz Manca, Santa FeC.P. 05349, Mxico, D.F.Cengage Learning es una marca registrada usada bajo permiso.

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podr ser reproducida,transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea grfico, electrnico o mecnico, incluyendo,pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado,reproduccin, escaneo, digitalizacin,grabacin en audio, distribucin en Internet,distribucin en redes de informacin o almacenamiento y recopilacin en sistemasde informacin a excepcin de lo permitidoen el Captulo III, Artculo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Traducido del libro Algebra and Trigonometrywith Analytic Geometry, 12th EditionPublicado en ingls por Brooks & Cole/Thomson 2008ISBN: 0-495-10826-X

Datos para catalogacin bibliogrficaSwokowski, Earl W. y Jeffery A. Cole lgebra y Trigonometra con GeometraAnaltica, Dcimo Segunda edicin

ISBN-13: 978-607-481-186-5ISBN-10: 607-481-186-5

Visite nuestro sitio en:http://latinoamerica.cengage.com

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page ii

Este libro se termin de imprimir en el mes

Edamsa Impresiones, S.A. de C.V.con domicilio en Av. Hidalgo No. 111Col. Fracc. San Nicols Tolentino,C.P. 09850, Mxico, D.F.

de febrero del 2009, en los talleres de

A la memoria de Earl W. Swokowski

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page iii

CONTENIDO

Lista de temas para calculadora graficadora viii

Prefacio x

C A P T U L O 1 Conceptos fundamentales de lgebra 11.1 Nmeros reales 21.2 Exponentes y radicales 191.3 Expresiones algebraicas 311.4 Expresiones fraccionarias 45

Captulo 1 Ejercicios de repaso 56Captulo 1 Ejercicios de anlisis 58

C A P T U L O 2 Ecuaciones y desigualdades 592.1 Ecuaciones 602.2 Problemas aplicados 692.3 Ecuaciones cuadrticas 802.4 Nmeros complejos 952.5 Otros tipos de ecuaciones 1032.6 Desigualdades 1122.7 Ms sobre desigualdades 121


C A P T U L O 3 Funciones y grficas 1333.1 Sistemas de coordenadas rectangulares 1343.2 Grficas de ecuaciones 1433.3 Rectas 1593.4 Definicin de funcin 1783.5 Grficas de funciones 1963.6 Funciones cuadrticas 213

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page iv

3.7 Operaciones en funciones 229Captulo 3 Ejercicios de repaso 239Captulo 3 Ejercicios de anlisis 245

C A P T U L O 4 Polinomios y funciones racionales 2474.1 Funciones polinomiales de grado mayor a 2 2484.2 Propiedades de la divisin 2594.3 Ceros de polinomios 2674.4 Ceros complejos y racionales de

polinomios 2814.5 Funciones racionales 2894.6 Variacin 307


C A P T U L O 5 Funciones inversas, exponenciales y logartmicas 3195.1 Funciones inversas 3205.2 Funciones exponenciales 3315.3 La funcin exponencial natural 3445.4 Funciones logartmicas 3555.5 Propiedades de logaritmos 3705.6 Ecuaciones exponenciales y logartmicas 378


C A P T U L O 6 Las funciones trigonomtricas 3996.1 ngulos 4006.2 Funciones trigonomtricas de ngulos 4116.3 Funciones trigonomtricas de nmeros reales 4296.4 Valores de las funciones trigonomtricas 4486.5 Grficas trigonomtricas 4566.6 Grficas trigonomtricas adicionales 4716.7 Problemas aplicados 479


C o n t e n i d o v

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page v

C A P T U L O 7 Trigonometra analtica 5017.1 Verificacin de identidades trigonomtricas 5027.2 Ecuaciones trigonomtricas 5087.3 Frmulas de la adicin y sustraccin 5237.4 Frmulas de ngulos mltiples 5347.5 Frmulas de producto a suma y suma a producto 5447.6 Funciones trigonomtricas inversas 549


C A P T U L O 8 Aplicaciones de trigonometra 5698.1 La ley de los senos 5708.2 La ley de los cosenos 5808.3 Vectores 5908.4 Producto punto 6058.5 Forma trigonomtrica para nmeros complejos 6168.6 Teorema de De Moivre y las races n-simas de nmeros

complejos 623Captulo 8 Ejercicios de repaso 629Captulo 8 Ejercicios de anlisis 633

C A P T U L O 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades 6359.1 Sistemas de ecuaciones 6369.2 Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables 6469.3 Sistemas de desigualdades 6549.4 Programacin lineal 6649.5 Sistemas de ecuaciones lineales con ms de dos

variables 6729.6 El lgebra de matrices 6889.7 La inversa de una matriz 6989.8 Determinantes 7049.9 Propiedades de determinantes 7119.10 Fracciones parciales 719


vi C O N T E N I D O

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page vi

C A P T U L O 10 Sucesiones, series y probabilidad 73110.1 Sucesiones infinitas y notacin de suma 73210.2 Sucesiones aritmticas 74810.3 Sucesiones geomtricas 75510.4 Induccin matemtica 76410.5 El teorema del binomio 77110.6 Permutaciones 78010.7 Permutaciones y combinaciones distinguibles 78710.8 Probabilidad 796


C A P T U L O 11 Temas de geometra analtica 81511.1 Parbolas 81611.2 Elipses 82611.3 Hiprbolas 84011.4 Curvas planas y ecuaciones paramtricas 85211.5 Coordenadas polares 86711.6 Ecuaciones polares de cnicas 884


Apndices 895I Grficas comunes y sus ecuaciones 896II Un resumen de transformaciones de grficas 898III Grficas de funciones trigonomtricas y

sus inversas 900IV Valores de las funciones trigonomtricas de ngulos

especiales en una circunferencia unitaria 902

Respuestas a ejercicios seleccionados A1ndice de aplicaciones A90ndice A95

C o n t e n i d o vii

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page vii

LISTA DE TEMAS SOBRE LA CALCULADORAGRAFICADORA

Hay muchos otros sitios en los que se usa calculadora graficadora. A conti-nuacin se muestra los que incluyen secuencias especficas de tecleo.

Conceptos fundamentales de lgebra

Guardar valores y evaluar expresiones 5Recprocos 7Sustraccin y negativos 7Prueba de desigualdades y la ley de tricotoma 10Valor absoluto 12Forma cientfica 15Notacin exponencial 19Raz n principal 23Exponentes racionales 27Comprobacin de un resultado de factorizacin 40Para hallar el mcm 48Sumamos fracciones 48Formule una tabla 49

Ecuaciones y desigualdades

Prueba de ecuaciones 62Operaciones con nmeros complejos 98Operaciones con nmeros complejos 100

Funciones y grficas

Graficacin de puntos en una calculadora graficadora 139Trazar la grfica de una ecuacin y hallar cruces con los ejes x y y 146Estimar puntos de interseccin de grficas 153Estimar puntos de interseccin de grficas 154Hallar una recta de mejor ajuste (recta de regresin lineal) 170Analizar la grfica de una funcin 189Trazar la grfica de una funcin definida por tramos 203Hallar un valor mximo (o mnimo) 218

Polinomios y funciones racionales

Uso de la funcin TI-86 POLY 255

Funciones inversas, exponenciales y logartmicas

Graficar la inversa de una funcin 327

Las funciones trigonomtricas

Conversin de radianes a grados 405Conversin de radianes a grados 406

Trigonometra analtica

Calcular las soluciones de una ecuacin trigonomtrica 515

C A P T U L O 1

C A P T U L O 2

C A P T U L O 3

C A P T U L O 4

C A P T U L O 5

C A P T U L O 6

C A P T U L O 7

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page viii

Aplicaciones de trigonometra

Suma de dos vectores 597Hallar un producto punto 606Operaciones con nmeros complejos 619Hallar una raz de un nmero complejo 626Usando la funcin Poly de la TI-86 628

Sistemas de ecuaciones y desigualdadesGraficar una desigualdad 659Introducir tamao y elementos de una matriz 680Encontrar la forma escalonada reducida por renglones 680Multiplicar matrices 693Hallar la inversa de una matriz 700Encontrar el determinante de una matriz 708

Sucesiones, series y probabilidadGenerar la sucesin 734Graficando una sucesin 735Generar una sucesin definida en forma repetitiva 737Encontrar la suma de sucesin 738Hallar los trminos de la sucesin de sumas parciales 740Uso del modo de sucesin de la TI-83/4 Plus 743Calculando factoriales 773Calculando permutaciones 785Calcular combinaciones 792

Temas de geometra analticaGraficar semielipses 832Trazar grficas en modo paramtrico 855Conversin de polar a rectangular 869Conversin rectangular a polar 871Graficar una ecuacin polar 874

L i s t a d e t e m a s s o b r e l a c a l c u l a d o r a g r a f i c a d o r a ix

C A P T U L O 8

C A P T U L O 9

C A P T U L O 10

C A P T U L O 11

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page ix

PREFACIO

La dcimo segunda edicin de lgebra y Trigonometra con Geometra Ana-ltica incluye ms de 100 ejemplos y ejercicios nuevos y revisados, muchos delos cuales resultaron de sugerencias de usuarios y revisores de la edicin an-terior. Todos se han incorporado sin sacrificar exactitud matemtica, lo que hasido de capital importancia para el xito de este texto.

La inclusin de ejemplos e insertos para calculadora graficadora, con se-cuencias especficas de tecleo y pantallas en color para la TI-83/4 Plus y la TI-86, ha dado valor agregado al texto para estudiantes, en especial para quienestrabajan por primera vez con una calculadora graficadora. Tambin da a losprofesores ms flexibilidad en trminos de la forma en que se aproximan a unasolucin. El diseo del texto hace que los insertos de tecnologa se identifiquenfcilmente y se citan en una tabla de contenido especial de tecnologa para quese puedan buscar con ms facilidad.

A continuacin veamos un breve repaso de los captulos, seguido por unapequea descripcin del curso de lgebra Universitaria que imparto en elAnoka-Ramsey Community College y luego una lista de caractersticas gene-rales del texto.

Repaso

Este captulo contiene un resumen de algunos temas de lgebra bsica. El es-tudiante debe estar familiarizado con gran parte de este material, pero tambines un desafo para l por los ejercicios que lo preparan para el clculo. Se in-troducen y usan operaciones con calculadora graficadora para verificar opera-ciones algebraicas.

Ecuaciones y desigualdades se resuelven algebraica y numricamente en estecaptulo con apoyo de tecnologa; se resuelven grficamente en captulos sub-secuentes. El estudiante ampliar sus conocimientos de estos temas; por ejem-plo, ha trabajado con la frmula cuadrtica pero se le pedir que la relacionecon factorizacin y trabajo con coeficientes que no son nmeros reales (veaejemplos 10 y 11 de la seccin 2.3).

Grficas y funciones en dos dimensiones se introducen en este captulo. Se daninstrucciones especficas para calculadoras graficadoras para casi todas lasfunciones bsicas de grficas, por ejemplo hallar ceros y puntos de intersec-cin, as como algunos de los temas ms difciles como es hallar un modelo deregresin y graficar una funcin definida por partes. Vea en el ejemplo 10 ac-tualizado de la seccin 3.5 una aplicacin del tema (impuestos) que relacionatablas, frmulas y grficas.

Captulo 1

Captulo 2

Captulo 3

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page x

Este captulo se inicia con una exposicin de funciones con polinomios y al-guna teora de polinomios. En la seccin 4.5 se da un tratamiento completo defunciones racionales, que es seguida por una seccin sobre variaciones que in-cluye grficas de funciones racionales simples y con polinomios.

Las funciones inversas es el primer tema de anlisis, seguido de varias seccio-nes que se refieren a funciones exponenciales y logartmicas. El modelado deuna funcin exponencial recibe atencin adicional en este captulo (vea elejemplo 8 de la seccin 5.2) as como tambin en el captulo 9.

El primer tema de este captulo se refiere a ngulos. A continuacin, se intro-ducen funciones trigonomtricas usando un mtodo de tringulo rectngulo yluego se definen en trminos de un crculo unitario. Aparecen identidades tri-gonomtricas bsicas en todo el captulo, que concluye con secciones sobregrficas trigonomtricas y problemas aplicados.

Este captulo contiene principalmente identidades trigonomtricas, frmulas yecuaciones. La ltima seccin contiene definiciones, propiedades y aplicacio-nes de las funciones trigonomtricas inversas.

La ley de senos y la ley de cosenos se usan para resolver tringulos oblicuos.A continuacin se introducen y se usan vectores en aplicaciones. Las ltimasdos secciones se relacionan con funciones trigonomtricas y nmeros comple-jos.

Los sistemas de desigualdades y programacin lineal siguen inmediatamentea la solucin de sistemas por sustitucin y eliminacin. A continuacin, se in-troducen matrices que se emplean para resolver sistemas. Este captulo con-cluye con una exposicin de determinantes y fracciones parciales.

Este captulo se inicia con una exposicin de sucesiones y se ha incluido unimportante apoyo tecnolgico. La induccin matemtica y el teorema del bi-nomio aparecen a continuacin, seguidos por temas de conteo (vea en el ejem-plo 3 de la seccin 10.7 un ejemplo que contiene combinaciones y permuta-ciones). La ltima seccin es acerca de probabilidad e incluye temas como sonlas probabilidades y el valor esperado.

Con secciones sobre la parbola, elipse e hiprbola se inicia este captulo. Dosformas diferentes de representar funciones se dan en las siguientes seccionessobre ecuaciones paramtricas y coordenadas polares.

Mi curso

En el Anoka-Ramsey Community College en Coon Rapids, Minnesota, lge-bra Universitaria I es un curso de 3 crditos que se imparte en un semestre.Para estudiantes que tratan de tomar clculo, este curso es seguido por uncurso de 4 crditos en un semestre, lgebra Universitaria II y Trigonometra.Este curso tambin sirve como curso terminal de matemticas para numerososestudiantes.

P r e f a c i o xi

Captulo 4

Captulo 5

Captulo 6

Captulo 7

Captulo 8

Captulo 9

Captulo 10

Captulo 11

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page xi

Las secciones cubiertas en lgebra Universitaria I son3.1-3.7, 4.1, 4.5 (parte), 4.6, 5.1-5.6, 9.1-9.4, 10.1-10.3 y 10.5-10.8.

Los captulos 1 y 2 se usan como material de repaso en algunas clases y lassecciones restantes se imparten en el siguiente curso. Se requiere calculadoragraficadora en algunas secciones y es opcional en otras.

Caractersticas

Una lista separada de temas para calculadora graficadora En las pginasviii y ix, hay una lista de temas para calculadora graficadora para rpida consulta.

Ilustraciones Se dan breves demostraciones del uso de definiciones, leyes yteoremas en la forma de ilustraciones.

Tablas Las tablas dan a los estudiantes fcil acceso a resmenes de propie-dades, leyes, grficas, relaciones y definiciones. Estas tablas contienen confrecuencia ilustraciones sencillas de los conceptos que se introducen.

Ejemplos Titulados para fcil referencia, todos los ejemplos dan solucionesdetalladas a problemas semejantes a los que aparecen en conjuntos de ejerci-cios. Muchos ejemplos incluyen grficas o tablas para ayudar al estudiante aentender procedimientos y soluciones. Casi todos los ejemplos tienen materialdidctico en lnea asociado con ellos.

Explicaciones paso a paso Para ayudar a estudiantes a seguirlos con ms fa-cilidad, muchas de las soluciones en ejemplos contienen explicaciones paso apaso.

Ejercicios de anlisis Cada uno de los captulos termina con varios ejerci-cios que son apropiados para comentarse en grupos pequeos. Estos ejerciciosvan de fciles a difciles y de tericos a orientados a aplicaciones.

Demostraciones Las soluciones a algunos ejemplos se demuestran de ma-nera explcita, para recordarles a estudiantes que deben comprobar que sus so-luciones satisfagan las condiciones de los problemas.

Ejemplos para calculadora graficadora Siempre que es apropiado, ejem-plos que requieren el uso de una calculadora graficadora se incluyen en eltexto. Estos ejemplos estn designados con un icono de calculadora (mostra-do a la izquierda) e ilustrados con una figura reproducida de una pantalla de calculadora graficadora.

Insertos para calculadora graficadora Adems de los ejemplos para calcu-ladora graficadora, estos insertos se incluyen para destacar algunas de las op-ciones de calculadoras graficadoras y/o ilustrar su uso para realizar las operacio-nes bajo discusin. Vea, por ejemplo, en la seccin 4.1 y en la seccin 10.1.Ejercicios con calculadora graficadora En secciones apropiadas se incluyenejercicios especficamente diseados para ser resueltos con una calculadoragraficadora. Estos ejercicios tambin estn designados con un icono de calcu-ladora (mostrado a la izquierda).

xii P R E F A C I O

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page xii

Aplicaciones Para aumentar el inters del estudiante y ayudarlo a relacionarlos ejercicios con situaciones actuales de la vida real, se han titulado ejerciciosaplicados. Una mirada al ndice de aplicaciones, en la parte final del libro, dejaver la amplia variedad de temas. Muchos profesores han indicado que las apli-caciones constituyen una de las mejores caractersticas del texto.Ejercicios Cientos de ejercicios han sido actualizados con nuevos datos ynuevas aplicaciones para aumentar su relevancia. Los conjuntos de ejerciciosempiezan con problemas de prctica de rutina y de manera gradual aumentana problemas ms difciles. Un amplio nmero de ejercicios contiene grficas ydatos tabulados; otros, requieren que los estudiantes encuentren un modelomatemtico para la informacin dada.

Los problemas aplicados aparecen por lo general hacia el final de un con-junto de ejercicios, para que el estudiante adquiera confianza al trabajar conlas nuevas ideas que se le han presentado, antes que trate problemas que re-quieren mayor anlisis y sntesis de estas ideas. Los ejercicios de repaso delfinal de cada uno de los captulos se pueden usar para prepararse para ex-menes.

Directrices Las directrices que se presentan en cajas, enumeran los pasos enun procedimiento o tcnica para ayudar al estudiante a resolver problemas en una forma sistemtica.

Advertencias En todo el libro se ven avisos de atencin para alertar a estu-diantes sobre errores comunes.

Figuras Formando un paquete de figuras que no tiene igual, figuras y grfi-cas aqu han sido generadas en computadora para mxima precisin, usandopara ello lo ltimo en tecnologa. Se emplean colores para distinguir entre par-tes diferentes de figuras. Por ejemplo, la grfica de una funcin se puede mos-trar en azul y la de una segunda funcin en rojo. Las leyendas son del mismocolor que las partes de la figura que identifican.

Diseo del texto El texto ha sido diseado para asegurar que todas las ex-posiciones sean fciles de seguir y se han resaltado conceptos importantes. Seusa color en forma pedaggica para aclarar grficas complejas y ayudar al estudiante a visualizar problemas aplicados. Quienes ya antes adoptaron estetexto han confirmado que el texto constituye un equilibrio muy atractivo entrminos del uso del color.

Tablas Al final del texto se incluyen tablas muy tiles de lgebra, geometray trigonometra.

Apndices El apndice I, Grficas comunes y sus ecuaciones, es un resu-men ilustrado de grficas y ecuaciones que los estudiantes por lo general en-cuentran en matemticas de preclculo. El apndice II, Un resumen detransformaciones de grficas, es una sinopsis ilustrativa de las transformacio-nes bsicas de grficas que se examinan en el texto: desplazamiento, estira-miento, compresin y reflexin. El apndice III, Grficas de funcionestrigonomtricas y sus inversas, contienen grficas, dominios e imgenes delas seis funciones trigonomtricas y sus inversas. El apndice IV, Valores de las funciones trigonomtricas de ngulos especiales en una circunferenciaunitaria, es una referencia a pgina entera para los ngulos ms comunes en

P r e f a c i o xiii

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page xiii

una circunferencia unitaria, valiosa para estudiantes que estn tratando deaprender los valores de funciones trigonomtricas bsicas.

Seccin de respuestas La seccin de respuestas al final del texto da res-puestas para casi todos los ejercicios de nmero impar, as como respuestaspara todos los ejercicios de repaso del captulo. Dedicamos un considerable es-fuerzo para hacer de esta seccin un mtodo de aprendizaje para estudiantesen lugar de slo verificar respuestas. Por ejemplo, se dan demostraciones paraproblemas de induccin matemtica. Las respuestas numricas para gran can-tidad de ejercicios estn expresadas tanto en forma exacta como aproximada.Siempre que es posible se incluyen grficas, demostraciones y sugerencias.Las soluciones y respuestas elaboradas por el autor aseguran un alto grado deconsistencia entre el texto, los manuales de soluciones y las respuestas.

Herramientas de enseanza para el profesor

Material de apoyo Este libro cuenta con una serie de recursos para el profe-sor, los cuales estn disponibles en ingls y slo se proporcionan a los docen-tes que lo adopten como texto en sus cursos.

Para direcciones de correo electrnico:

Cengage Learning Mxico y Centroamrica [email protected]

Cengage Learning Caribe [email protected]

Cengage Learning Cono Sur [email protected]

Paraninfo [email protected]

Colombia [email protected]

Adems encontrar ms apoyos en el sitio Web de este libro:

http://latinoamerica.cengage.com/swokowski

Las direcciones de los sitios Web referidas a lo largo del texto no son ad-ministradas por Cengage Learning Latinoamrica, por lo que sta no es res-ponsable de los cambios para mantenerse al tanto de cualquier actualizacin.

Manual de soluciones para el profesor Por Jeffery A. Cole (ISBN 0-495-38232-9). Este manual elaborado por el autor incluye respuestas a todos losejercicios del texto y soluciones detalladas a casi todos los ejercicios. El ma-nual ha sido revisado totalmente para mayor precisin.

Banco de exmenes (ISBN 0-495-38233-7). El Banco de exmenes incluyeseis exmenes por captulo as como tres exmenes finales, todos ellos forma-dos por una combinacin de preguntas de opcin mltiple, respuesta libre, ver-dadero/falso y llenar espacio en blanco.

ExamView (ISBN 0-495-38234-5). Cree, entregue y personalice exmenesy guas de estudio (en forma impresa y en lnea) en minutos con este sistemafcil de usar en la evaluacin y de material didctico, que contiene todas laspreguntas provenientes del Banco de exmenes en formato electrnico.

xiv P R E F A C I O

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page xiv

DVD especfico del texto (ISBN 0-495-38289-2). Este DVD apoya el apren-dizaje y ahorra tiempo al estudiante al ofrecerle ayuda fuera de clase. Presentael material en cada uno de los captulos del texto, desglosado en lecciones de 10a 20 minutos para la solucin de problemas y abarca cada una de las secciones.

JoinInTM en TurningPoint (ISBN 0-495-38236-1). El contenido del JoinInTMpara sistemas de respuesta del estudiante en clase, personalizado para estetexto, permite al profesor transformar su saln de clases y evaluar el avance delestudiante con preguntas y encuestas instantneas en clase. Plantee preguntasespecficas del libro y muestre fcilmente respuestas de estudiantes dentro delas transparencias del Microsoft PowerPoint de su propia clase, en coordi-nacin con el equipo perifrico (hardware) clicker de su preferencia.

Pgina Web La pgina Web del Book Companion incluye sugerencias de es-tudio, material de repaso, instrucciones para usar diversas calculadoras grafi-cadoras, as como un cuestionario didctico para cada captulo del texto yotros materiales para estudiantes y profesores.

Herramientas de aprendizaje para el estudiante

Pgina Web La pgina Web del Book Companion contiene sugerencias deestudio, material de repaso, instrucciones para usar diversas calculadoras gra-ficadoras, un cuestionario didctico para cada captulo del texto y otros mate-riales para estudiantes y profesores.

Reconocimientos

Agradecemos a los revisores de esta edicin: Brenda Burns-Williams, NorthCarolina State University; Gregory Cripe, Spokane Falls Community College;George DeRise, Thomas Nelson Community College; Ronald Dotzel, Univer-sity of Missouri, St. Louis; Hamidullah Farhat, Hampton University; SherryGale, University of Cincinnati; Carole Krueger, University of Texas, Arling-ton; Sheila Ledford, Coastal Georgia Community College; ChristopherReisch, Jamestown Community College; Beverly Shryock, University ofNorth Carolina, Chapel Hill; Hanson Umoh, Delaware State University; Be-verly Vredevelt, Spokane Falls Community College; y Limin Zhang, Colum-bia Basin Community College.

Tambin damos las gracias a revisores de ediciones anteriores, que hanayudado a aumentar la utilidad del texto para los estudiantes durante aos:Jean H. Bevis, Georgia State University; David Boliver, University of CentralOklahoma; Randall Dorman, Cochise College; Karen Hinz, Anoka-RamseyCommunity College; Sudhir Goel, Valdosta State University; John W. Horton,Sr., St. Petersburg College; Robert Jajcay, Indiana State University; Conrad D.Krueger, San Antonio College; Susan McLoughlin, Union County College;Lakshmi Nigam, Quinnipiac University; Wesley J. Orser, Clark College; DonE. Soash, Hillsborough Community College; Thomas A. Tredon, Lord FairfaxCommunity College; y Fred Worth, Henderson State University. Adems, doylas gracias a Marv Riedesel y Mary Johnson por su revisin precisa de ejem-plos nuevos y revisados y de ejercicios.

P r e f a c i o xv

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page xv

Estoy agradecido por la excelente cooperacin del personal deBrooks/Cole, en especial al grupo editorial de Charlie Van Wagner, Gary Wha-len y Kari Hopperstead. Donna Kelley y Dianna Muhammad manejaron el ex-celente paquete auxiliar que acompaa al texto. Gracias especiales a LeslieLahr por el tiempo y energa que puso en la investigacin y por otras aporta-ciones al proyecto. Sally Lifland y Peggy Flanagan, de Lifland y otros, Book-makers, vio el libro en todas las etapas de produccin, tuvo excepcionalcuidado para ver que no hubiera inconsistencias y ofreci muchas y tiles su-gerencias. El ya desaparecido George Morris, de Scientific Illustrators, cre elmatemticamente preciso paquete de figuras y actualiz todas las figuras devarias ediciones. Esta tradicin de excelencia es continuada por su hijo Brian.

Adems de todas las personas nombradas aqu, me gustara expresar misincera gratitud a numerosos estudiantes y profesores que han ayudado a darforma a mis puntos de vista sobre educacin en matemticas. Por favor sin-tanse en entera libertad de escribirme sobre cualquier aspecto de este texto queyo valoro sus opiniones.

Jeffery A. Cole

xvi P R E F A C I O

Swokowski_00_4R.qxd 5/2/09 10:41 AM Page xvi

La palabra lgebra proviene de ilm al-jabr wal muqabala, ttulo de unlibro escrito en el siglo IX por el matemtico rabe Al-Juarismi. El ttulo seha traducido como la ciencia de la restauracin y la reduccin, lo cual sig-nifica transponer y combinar trminos semejantes (de una ecuacin). Latraduccin latina de al-jabr llev al nombre de la rama de las matemticasque ahora llamamos lgebra.

En lgebra usamos smbolos o letras, por ejemplo a, b, c, d, x, y, paradenotar nmeros arbitrarios. Esta naturaleza general del lgebra est ilus-trada por las numerosas frmulas empleadas en ciencias y la industria. Amedida que el lector avance en este texto y pase a cursos ms avanzados enmatemticas o a campos de actividad donde se utilizan matemticas, estarcada vez ms consciente de la importancia y poder de las tcnicas alge-braicas.

1.1 Nmeros reales

1.2 Exponentes

y radicales

1.3 Expresiones

algebraicas

1.4 Expresiones

fraccionarias

1.1 Nmeros reales

1.2 Exponentes

y radicales

1.3 Expresiones

algebraicas

1.4 Expresiones

fraccionarias

1

Conceptos

fundamentales

de lgebra

Swokowski_01A_3R.qxd 15/1/09 1:22 PM Page 1

Los nmeros reales se usan en toda la matemtica y el estudiante debe estarfamiliarizado con smbolos que los representan, por ejemplo

1, 73, 5, , 0, ,

y otros. Los enteros positivos o nmeros naturales, son

Los nmeros enteros (no negativos) son los nmeros naturales combinadoscon el nmero 0. Los enteros se escriben a veces como sigue

En todo este texto, las letras minsculas a, b, c, x, y, representan nme-ros reales arbitrarios (tambin llamados variables). Si a y b denotan el mismonmero real, escribimos a=b, que se lee a es igual a b y se denomina igual-dad. La notacin a b se lee a no es igual a b.

Si a, b, y c son enteros y c = ab, entonces a y b son factores o divisoresde c. Por ejemplo, como

sabemos que 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6 y 6 son factores de 6.Un entero positivo p diferente de 1 es primo si sus nicos factores positi-

vos son 1 y p. Los primeros nmeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. ElTeorema Fundamental de Aritmtica expresa que todo entero positivo dife-rente de 1 se puede expresar como producto de nmeros primos en una formay slo una (excepto por orden de factores). Algunos ejemplos son

Un nmero racional es un nmero real que se puede expresar en la formaa /b, donde a y b son enteros y b 0. Ntese que todo entero a es un nmeroracional, dado que se puede expresar en la forma a/1. Todo nmero real sepuede expresar como un decimal y las representaciones decimales para nme-ros racionales son finitas o no finitas y peridicas. Por ejemplo podemos de-mostrar, con el uso del proceso aritmtico de la divisin, que

donde los dgitos 1 y 8 en la representacin de se repiten indefinidamente(a veces se escribe como ).3.218

17755

54 1.25 y

17755 3.2181818 . . . ,

12 2 2 3, 126 2 3 3 7, 540 2 2 3 3 3 5.

6 2 3 23 1 6 16,

. . . , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .

1, 2, 3, 4, . . . .

596.25,0.33333 . . . ,23 85224912 ,

2 C A P T U L O 1 C O N C E P T O S F U N D A M E N T A L E S D E L G E B R A

1.1Nmeros reales


Los nmeros reales que no son racionales son nmeros irracionales. Lasrepresentaciones decimales para nmeros irracionales son siempre no finitas yno peridicas. Un nmero irracional comn, denotado por , es la razn entrela circunferencia de un crculo y su dimetro. A veces usamos la notacin

para indicar que es aproximadamente igual a 3.1416.No hay nmero racional b tal que , donde denota , pero hay

un nmero irracional denotado por (la raz cuadrada de 2), tal que.

El sistema de nmeros reales est formado por todos los nmeros racio-nales e irracionales. Las relaciones entre los tipos de nmeros empleados enlgebra estn ilustradas en el diagrama de la figura 1, donde una lnea que en-laza dos rectngulos significa que los nmeros mencionados en el rectnguloms alto incluyen los del rectngulo ms bajo. Los nmeros complejos, que seestudian en la seccin 2.4, contienen a todos los nmeros reales.

Figura 1 Tipos de nmeros empleados en lgebra

Los nmeros reales son cerrados con respecto a la operacin de adicin(denotada por ); esto es, a todo par a, b de nmeros reales corresponde exac-tamente un nmero real llamado suma de a y b. Los nmeros reales sontambin cerrados con respecto a la multiplicacin (denotada por ); esto es,a todo par a, b de nmeros reales corresponde exactamente un nmero real

(tambin denotado por ab) llamado producto de a y b.Importantes propiedades de la adicin y multiplicacin de nmeros reales

aparecen en la tabla siguiente.

a b

a b

Nmeros complejos

Nmeros reales

Nmeros racionales Nmeros irracionales

Enteros

Enteros positivosEnteros negativos 0

22 2 222

b bb2b2 2 3.1416

1 . 1 N m e r o s r e a l e s 3

En escritura tcnica es convenienteusar el smbolo para aproxima-damente igual.


Como y son siempre iguales, podemos usarpara denotar este nmero real. Usamos abc por o . Del

mismo modo, si cuatro o ms nmeros reales a,b,c,d se suman o multiplican,podemos escribir para su suma y abcd para su producto, cual-quiera que sea la forma en que los nmeros se agrupen o intercambien.

Las propiedades distributivas son tiles para hallar productos de muchostipos de expresiones que comprendan sumas. El siguiente ejemplo lo ilustra.E J E M P L O 1 Uso de propiedades distributivas

Si p, q, r y s denotan nmeros reales, demuestre que

S O L U C I N Usamos las dos propiedades distributivas que aparecen en (9)de la tabla precedente:

segunda propiedad distributiva, conprimera propiedad distributivaeliminar parntesis L pr ps qr qs

pr ps qr qsc r s pr s qr s

p qr s

p qr s pr ps qr qs.

a b c d

abcabca b ca b ca b c


Terminologa Caso general Significado

(1) La adicin es conmutativa. El orden es indistinto cuando se suman dos nmeros.

(2) La adicin es asociativa. La agrupacin es indistinta cuando se suman tres nmeros.

(3) 0 es el neutro aditivo. La suma de 0 con cualquier nmero da el mismo nmero.

(4) es el inverso aditivo La suma de un nmero y su negativo da 0.o negativo, de a.

(5) La multiplicacin es conmutativa. El orden es indistinto cuando se multiplican dos nmeros.

(6) La multiplicacin es asociativa. La agrupacin es indistinta cuando se multiplican tres nmeros.

(7) 1 es el neutro multiplicativo. La multiplicacin de cualquier nmero por 1 da el mismo nmero.

(8) Si es el La multiplicacin de un nmero diferente inverso multiplicativo o

de cero por su recproco da 1.

recproco, de a.(9) La multiplicacin es distributiva y La multiplicacin de un nmero y una suma

sobre la adicin. de dos nmeros es equivalente a multiplicar cada uno de los dos nmeros por el nmero y luego sumar los productos.

a bc ac bcab c ab ac

a 1a 1a 0, 1

a

a 1 a

abc abc

ab ba

a a 0a

a 0 a

a b c a b c

a b b a

Propiedades de nmeros reales


Las siguientes son propiedades bsicas de la igualdad.

1 . 1 N m e r o s r e a l e s 5

E J E M P L O 2 Guardar valores y evaluar expresiones

Evale el lado izquierdo y el lado derecho de la igualdad del ejemplo 1 para

S O L U C I NTI-83/4 Plus TI-865 5

3 3

6 6

7 7

Ambos lados son iguales a 8, lo cual da credibilidad a nuestro resultado pero no demuestraque es correcto. L

ENTERSALPHAQALPHAENTERSALPHAQALPHA

RALPHAQALPHARALPHAQALPHA

SALPHAPALPHASALPHAPALPHA

RALPHAPALPHARALPHAPALPHA

ENTERENTER

)SALPHARALPHA()SALPHARALPHA(

)QALPHAPALPHA()QALPHAPALPHA(

ENTERSSTOALPHAENTERSALPHASTO

:2ndRSTO()ALPHA:ALPHARALPHASTO()

:2ndQSTOALPHA:ALPHAQALPHASTO

:2ndPSTO:ALPHAPALPHASTO

p 5, q 3, r 6, y s 7.

Guarda valores en P, Q,R y S.

Evala el lado izquierdo(LS).

Evala el lado derecho(RS).

Propiedades de la igualdad Si y c es cualquier nmero real, entonces

(1)(2) ac bc

a c b c

a b

Las propiedades 1 y 2 expresan que el mismo nmero puede sumarse aambos lados de una igualdad y ambos lados de una igualdad pueden multipli-


carse por el mismo nmero. Haremos amplio uso de estas propiedades en todoel texto para ayudar a hallar soluciones de ecuaciones.

El siguiente resultado se puede demostrar.


Productos que involucran el 0. (1) para todo nmero real a.(2) Si , entonces o .b 0a 0ab 0

a 0 0

Propiedad Ejemplos(1)(2)(3)(4) 13 31a a

23 2 3ab ab23 2 3 23ab ab ab3 3a a

Propiedades de negativos

Definicin Ejemplos

Si , entonces

34 1 134 4321

12

a1 1a

.a 0

Notacin para recprocos

Cuando usamos la palabra o como hicimos en (2), queremos decir que almenos uno de los factores a y b es 0. Nos referiremos a (2) como el teoremadel factor cero en un trabajo futuro.

Algunas propiedades de los negativos aparecen en la tabla siguiente.

El recproco de un nmero real a diferente de cero a veces se denota

como , como en la tabla siguiente.a1

1a

Ntese que si , entonces

a a1 a 1a 1.

a 0


Las operaciones de sustraccin y divisin se definen como sigue.

1 . 1 N m e r o s r e a l e s 7

TI-83/4 Plus TI-86

2 2

Para cualquiera de las dos figuras, vemos dos formas de calcular el recproco: (1) Con slopresionar , obtenemos el recproco de la ltima respuesta, que se guarda en . (2) Po-demos introducir una variable (o slo un nmero) y luego hallar su recproco.

ANSx 1

ENTERx 12ndAALPHAENTERx 1AALPHA

ENTERx 12ndENTERx 1

ENTERASTOENTERAALPHASTORecprocos

TI-83/4 Plus TI-86

5 3 5 3

5 3 5 3

5 3 5 3

(contina)

ENTER()ENTER()

ENTER()ENTER()

ENTERENTERSustraccin y negativos

Definicin Significado EjemplosPara restar un nmero de otro, sume el negativo.

3 71 a b1; b 0

3 7 3 17 a b a 1b3 7 3 7a b a b

Sustraccin y divisin

Para dividir unnmero entre unnmero diferentede cero, multipli-que por el rec-proco.


Usamos o por y nos referimos a como el cociente de a

y b o la fraccin a sobre b. Los nmeros a y b son el numerador y denomi-nador, respectivamente, de . Como 0 no tiene inverso multiplicativo, no est definido si ; esto es, la divisin entre cero no est definida. Espor esta razn que los nmeros reales no son cerrados con respecto a la divi-sin. Ntese que

Las siguientes propiedades de cocientes son verdaderas, siempre quetodos los denominadores sean nmeros reales diferentes de cero.

1 b 1b

b1 si b 0.

b 0abab

aba ba

bab


La ejecucin del ltimo enunciado produce un error SYNTAX en la TI-83/4 Plus y un pro-ducto en la TI-86. Use la tecla de signo menos para la operacin de sustraccin y la tecla

(negacin) para nmeros negativos. Con frecuencia omitiremos la tecla de negacin deaqu en adelante y simplemente escribiremos 3.()

Propiedad Ejemplos

(1) si porque

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7) 25 73

25

37

6

35a

b

c

d

a

b

dc

adbc

25

73

2 75 3

1415

a

b

c

d

ac

bd

25

43

2 3 5 4

5 3 2615

a

b

c

d

ad bcbd

25

95

2 95

115

a

b

c

b

a c

b

25

25

25

a

b

a

b

a

b

2 35 3

25

adbd

a

b

2 15 5 625 6

15ad bca

b

c

d

Propiedades de cocientes

Los nmeros reales pueden estar representados por puntos en una recta ltal que cada nmero real a ah corresponde exactamente a un punto en l y acada punto P en l corresponde un nmero real. Esto se llama corresponden-cia uno a uno (o biunvoca). Primero escogemos un punto arbitrario O, lla-mado el origen y lo asociamos con el nmero 0. Los puntos asociados con los


enteros se determinan entonces al trazar segmentos de recta sucesivos de iguallongitud a ambos lados de O, como se ve en la figura 2. El punto correspon-diente a un nmero racional, por ejemplo , se obtiene al subdividir estos seg-mentos de recta. Los puntos asociados con ciertos nmeros irracionales, porejemplo , se pueden hallar por construccin (vea el ejercicio 45).

Figura 2

El nmero a que est asociado con un punto A en l es la coordenada deA. Nos referimos a estas coordenadas como un sistema de coordenadas y a lla llamamos recta de coordenadas o recta real. Se puede asignar una direc-cin a l al tomar la direccin positiva a la derecha y la direccin negativa ala izquierda. La direccin positiva se denota al colocar una punta de flecha enl, como se ve en la figura 2.

Los nmeros que corresponden a puntos a la derecha de O en la figura 2son nmeros reales positivos. Los nmeros que corresponden a puntos a laizquierda de O son nmeros reales negativos. El nmero real 0 no es ni po-sitivo ni negativo.

Ntese la diferencia entre un nmero real negativo y el negativo de un n-mero real. En particular, el negativo de un nmero real a puede ser positivo.Por ejemplo, si a es negativo, digamos , entonces el negativo de

, que es positivo. En general, tenemos las siguientes rela-ciones.

3 3a a 3

0 1 2 3 4 53 2 1

1.5

O

2 2.33 p

b aB A

l

Nmeros realesnegativos

Nmeros realespositivos

Hq

22

235

1 . 1 N m e r o s r e a l e s 9

Relaciones entre ay a

(1) Si a es positiva, entonces es negativa.(2) Si a es negativa, entonces es positiva.a

a

En la tabla siguiente definimos las nociones de mayor que y menor quepara nmeros reales a y b. Los smbolos y son signos de desigualdad ylas expresiones y se llaman desigualdades.a ba b

Notacin Definicin Terminologa

es positivo a es mayor que bes negativo a es menor que ba ba b

a ba b

Mayor que o menor que

Si los puntos A y B en una recta de coordenadas tienen coordenadas a yb, respectivamente, entonces es equivalente al enunciado A est a laderecha de B, mientras que es equivalente a A est a la izquierdade B.

a ba b


Mayor que (>) y menor que ( (F3)TEST2ndENTER3TEST2ndPrueba de desigualdades y la ley de tricotoma

Nos referimos al signo de un nmero real como positivo si el nmero espositivo o negativo si el nmero es negativo. Dos nmeros reales tienen elmismo signo si ambos son positivos o ambos son negativos. Los nmerostienen signos contrarios si uno es positivo y el otro es negativo. Se pueden pro-bar los siguientes resultados acerca de los signos de productos y cocientes dedos nmeros reales a y b, usando propiedades de negativos y cocientes.


Los recprocos* de las leyes de signos tambin son verdaderos. Por ejem-plo, si un cociente es negativo, entonces el numerador y el denominador tienensignos contrarios.

La notacin se lee a es mayor que o igual a b, significa queo que (pero no ambos). Por ejemplo, para todo nmero

real a. El smbolo , que se lee a es menor que o igual a b, significaque o que . Expresiones de la forma y se denominandesigualdades no estrictas, porque a puede ser igual a b. Al igual que con elsmbolo de igualdad, podemos negar cualquier smbolo de desigualdad alponer una raya diagonal sobre ella, es decir, significa no mayor que.

Una expresin de la forma se denomina desigualdad con-tinua y significa que y ; decimos b est entre a y c. Del mismomodo, la expresin significa que y .Orden de tres nmeros reales

Hay otros tipos de desigualdades. Por ejemplo significa queand . Del mismo modo, significa que y .

Por ltimo, significa que y .

E J E M P L O 3 Determinacin del signo de un nmero real

Si y , determine el signo de .

S O L U C I N Como x es un nmero positivo y y es un nmero negativo, x yy tienen signos contrarios. Entonces, y son negativos. La suma de dosnmeros negativos es un nmero negativo, de modo que

el signo de es negativo.L

Si a es un entero, entonces es la coordenada de algn punto A en una rectacoordenada y el smbolo denota el nmero de unidades entre A y el origen,cualquiera que sea la direccin. El nmero no negativo se llama valor ab-soluto de a. Con referencia a la figura 3, vemos que para el punto con coorde-nada tenemos . Anlogamente, . En general, si a esnegativo, cambiamos su signo para hallar ; si a es no negativo, entonces

. La siguiente definicin extiende este concepto a todo nmero real. a a a

4 4 4 44

a a

x

y

yx

yxxy

x

y

yx

y 0x 0

b ca ba b cb ca ba b cb ca b

a b c

3 6 104 23 221 5 112

b ac bc b ab ca b

a b c

a ba ba ba ba b

a2 0a ba ba b

1 . 1 N m e r o s r e a l e s 11

Ley de signos (1) Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y son positivos.

(2) Si a y b tienen signos contrarios, entonces ab y son negativos.ab

a

b

*Si un teorema se escribe en la forma si P, entonces Q, donde P y Q son enunciadosmatemticos llamados la hiptesis y conclusin, respectivamente, entonces el recproco del teo-rema tiene la forma si Q, entonces P. Si el teorema y su recproco son verdaderos, con fre-cuencia escribimos P si y slo si Q.

Figura 3

0 44

4 4 4 4

I L U S T R A C I N


Como a es negativo en la parte (2) de la definicin, a representa unnmero real positivo. Algunos casos especiales de esta definicin se dan en lasiguiente ilustracin.

La notacin de valor absoluto

, porque ., porque . Entonces, .

, porque ., porque .

Entonces, .

En la ilustracin precedente, y . Engeneral, tenemos lo siguiente:

, para todo nmero real a a a

2 2 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2

2 2 0 2 2 2 2 3 33 03 3

3 0 3 3

a


Definicin de valor absoluto El valor absoluto de un nmero real a, denotado por , se define comosigue.

(1) Si , entonces .(2) Si , entonces . a aa 0

a aa 0

a

TI-83/4 Plus TI-86

3 3

576 576

927 927

En la TI-86, ntese que 576 y 576 son equivalentes.ASTOALPHAAALPHA

ENTER

)BALPHAAALPHAENTER)BALPHAA

(abs(F5)NUM(F1)MATH2ndALPHA1MATH

ENTERALPHABALPHAENTERBALPHASTO

:2ndALPHAAALPHA:ALPHAAALPHASTO

ENTER

abs(F5)NUM(F1)MATH2ndENTER)1MATHValor absoluto

I L U S T R A C I N


E J E M P L O 4 Remocin del smbolo de valor absoluto

Si , reescriba sin usar el smbolo de valor absoluto.

S O L U C I N Si , entonces ; esto es, es negativo. Enconsecuencia, por la parte (2) de la definicin de valor absoluto,

L

Usaremos el concepto de valor absoluto para definir la distancia entre dos puntos cualesquiera sobre una recta de coordenadas. Primero observamosque la distancia entre los puntos con coordenadas 2 y 7, que se ve en la figura4, es igual a 5 unidades. Esta distancia es la diferencia obtenida al restar la co-ordenada menor (extrema izquierda) de la coordenada mayor (extremaderecha) . Si usamos valores absolutos, entonces, como

, no es necesario preocuparse del orden de la sustraccin.Este hecho motiva la siguiente definicin. 7 2 2 7

7 2 5

x 1 x 1 x 1 1 x.

x 1x 1 0x 1

x 1 x 1

1 . 1 N m e r o s r e a l e s 13

Figura 4

2 1 0

5 7 2 2 7

1 2 3 4 5 6 7 8

Figura 5

6DCOBA

1035

El nmero es la longitud del segmento de recta AB.Como y , vemos que

Ntese que la distancia entre el origen O y el punto A es

que concuerda con la interpretacin geomtrica de valor absoluto ilustrado enla figura 4. La frmula es verdadera cualquiera que seanlos signos de a y b, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

E J E M P L O 5 Hallar distancias entre puntos

A, B, C y D tienen coordenadas , , 1, y 6, respectivamente, en una recta decoordenadas, como se ve en la figura 5. Encuentre , , ,y .

S O L U C I N Usando la definicin de la distancia entre puntos en una rectade coordenadas, obtenemos las distancias:

L dC, D 6 1 5 5 dO, A 5 0 5 5 dC, B 3 1 4 4 dA, B 3 5 3 5 2 2

dC, DdO, AdC, BdA, B

35

dA, B b a

dO, A a 0 a ,

dA, B dB, A.

b a a b dB, A a b dA, B

Definicin de la distancia entre puntos en una recta

de coordenadas

Sean a y b las coordenadas de dos puntos A y B, respectivamente, en unarecta de coordenadas. La distancia entre A y B, denotada por , estdefinida por

dA, B b a .

dA, B


El concepto de valor absoluto tiene otros usos diferentes a hallar distan-cias entre puntos; se utiliza siempre que nos interese la magnitud o valornumrico de un nmero real sin que importe su signo.

En la siguiente seccin discutiremos la notacin exponencial , donde aes un nmero real (llamado la base) y n es un entero (llamado un exponente).En particular, para base 10 tenemos

y as sucesivamente. Para exponentes negativos usamos el recproco del expo-nente positivo correspondiente, como sigue:

Podemos usar esta notacin para escribir cualquier representacin deci-mal finita de un nmero real como suma del siguiente tipo:

En las ciencias es frecuente trabajar con nmeros muy grandes o muy pe-queos y para comparar las magnitudes relativas de cantidades muy grandes omuy pequeas. Por lo general representamos un nmero positivo a grande o pequeo en forma cientfica, usando el smbolo para denotar multiplicacin.

4102 3101 7100 5101 6102 437.56 4100 310 71 5 110 6 1100

103 1

103

11000

102 1

102

1100

,101 1

101

110

,

103 10 10 10 1000,102 10 10 100,101 10,100 1,

an


La distancia que un rayo de luz recorre en un ao es aproximadamente5,900,000,000,000 millas. Este nmero se puede escribir en forma cientficacomo . El exponente positivo 12 indica que el punto decimal debemoverse 12 lugares a la derecha. La notacin funciona igualmente bien paranmeros pequeos. El peso de una molcula de oxgeno se estima que es

gramos,

o sea, en forma cientfica, gramos. El exponente negativo indicaque el punto decimal debe moverse 23 lugares a la izquierda.

Forma cientfica

0.000 648 6.48 1040.000 000 000 43 4.3 101020,700 2.07 10493,000,000 9.3 1077.3 7.3 100513 5.13 102

5.3 10230.000 000 000 000 000 000 000 053

5.9 1012

Forma cientfica , donde y n es un entero1 c 10a c 10n

I L U S T R A C I N


Muchas calculadoras usan forma cientfica en sus pantallas. Para elnmero , el 10 se suprime y el exponente se muestra precedido por laletra E. Por ejemplo, para hallar en una calculadora cientfica, po-dramos introducir el entero 4,500,000 y presionar la tecla (o elevar alcuadrado), obteniendo una pantalla semejante a la de la figura 6. Tra-duciramos esto como . Entonces,

Las calculadoras tambin usan forma cientfica en la entrada de nmeros. Elmanual del usuario de su calculadora debe dar detalles especficos.

4,500,0002 20,250,000,000,000.

2.025 1013

x 24,500,0002

c 10n

1 . 1 N m e r o s r e a l e s 15

Antes que concluyamos esta seccin, debemos considerar brevemente elproblema de redondear resultados. Algunos problemas aplicados incluyen confrecuencia nmeros que se obtienen mediante varios tipos de mediciones y, enconsecuencia, son aproximaciones a valores exactos. Esas respuestas debenredondearse, porque el resultado final de un clculo no puede ser ms precisoque los datos que hemos estado usando. Por ejemplo, si la longitud y ancho deun rectngulo se miden a precisin de dos lugares decimales, no podemos es-perar una precisin de ms de dos lugares decimales en el valor calculado delrea del rectngulo. Para un trabajo puramente matemtico, si se dan los valo-res de la longitud y ancho de un rectngulo, suponemos que las dimensionesson exactas y no se requiere redondeo.

Si un nmero a se escribe en forma cientfica como paray si c se redondea a k lugares decimales, entonces decimos que a

es precisa (o se ha redondeado) a cifras significativas, o dgitos. Porejemplo, 37.2638 redondeado a 5 cifras significativas es , o37.264; a 3 cifras significativas, , o 37.3; y a 1 cifra significativa,

, o 40.4 1013.73 101

3.7264 101k 1

1 c 10a c 10n

Figura 6

o

o

TI-83/4 Plus TI-86

57 000 000 000 5 700 000 000 000

.000 000 057 .000 000 000 57

9.3 4 9.3 4 6.7 11

6.7 11 ENTEREE2nd

ENTEREEEEEE2nd

ENTERENTER

ENTERENTERForma cientfica


Ejer. 1-2: Si x < 0 y y > 0, determine el signo del nmero real.

1 (a) (b) (c) (d)

2 (a) (b) (c) (d)

Ejer. 3-6: Sustituya el smbolo con o para que elenunciado resultante sea verdadero.

3 (a) (b) (c)

4 (a) (b) (c)

5 (a) (b) (c)

6 (a) (b) (c)

Ejer. 7-8: Exprese el enunciado como una desigualdad.7 (a) x es negativo.

(b) y es no negativo.

(c) q es menor o igual a .

(d) d es entre 4 y 2.

(e) t no es menor a 5.

(f) El negativo de z no es mayor a 3.

(g) El cociente de p y q es a lo ms 7.

(h) El recproco de w es al menos 9.

(i) El valor absoluto de x es mayor a 7.

8 (a) b es positivo.

(b) s es no positivo.

(c) w es mayor o igual a .4

22 1.456 0.83317 0.143

227

23 0.6666

111 0.09

2289 17

4 0.83 5

2225 152

1.577 4

y y xx y

xyxy2

x

y

y xx

y xx 2yxy

(d) c est entre y .

(e) p es no mayor a .

(f) El negativo de m no es menor a .

(g) El cociente de r y s es al menos .

(h) El recproco de f es a lo ms 14.

(i) El valor absoluto de x es menor a 4.

Ejer. 9-14: Reescriba el nmero sin usar el smbolo de valorabsoluto y simplifique el resultado.

9 (a) (b) (c)

10 (a) (b) (c)

11 (a) (b) (c)

12 (a) (b) (c)

13 (a) (b) (c)

14 (a) (b) (c)

Ejer. 15-18: Los nmeros dados son coordenadas de lospuntos A, B, y C, respectivamente, en una recta de coorde-nadas. Encuentre la distancia.(a) (b)(c) (d)

15 3, 7, 16 , , 4

17 , 1, 10 18 8, ,

Ejer. 19-24: Los dos nmeros dados son coordenadas de lospuntos A y B, respectivamente, en una recta de coorde-nadas. Exprese el enunciado indicado como desigualdadque involucre el smbolo de valor absoluto.19 x, 7; es menor a 5

20 x, ; es mayor a 1dA, B22

dA, B

149

265

d(A, C )d(C, B)d(B, C )d(A, B)

15 13 1.7 23 23 1.7

22 1.5 4 4

1 9 5 2 4 6 7

7 4 6 25 3 6

8 9 6 3 11 1

7 4 5 2 3 2

15

2

2

13

15


1.1 E j e r c i c i o s


21 x, ; es al menos 8

22 x, 4; es a lo ms 2

23 4, x; no es mayor a 3

24 , x; no es menor a 2

Ejer. 25-32: Reescriba la expresin sin usar el smbolo devalor absoluto y simplifique el resultado.25 si 26 si

27 si 28 si

29 si 30 si

31 32

Ejer. 33-40: Sustituya el smbolo con o con para queel enunciado resultante sea verdadero para todos losnmeros reales a, b, c y d, siempre que las expresiones estndefinidas.

33 34

35 36

37

38

39 40

Ejer. 41-42: Aproxime la expresin del nmero real a cuatrolugares decimales.41 (a)

(b)

42 (a)

(b)

Ejer. 43-44: Aproxime la expresin del nmero real. Expre-se la respuesta en notacin cientfica precisa a cuatro cifrassignificativas.

43 (a)1.2 103

3.1 102 1.52 103

3

3.42 1.295.83 2.64

215.6 1.52 4.3 5.42

3.22 23.15

a b a ba bb a

1

a b c a b c

a b c a b c

a c

b d

a

b

c

db c

a

ba

c

a

ab aca

b cab ac

a b ac

x2 1 x 2 4

a b a b a b a b

x 7 7 x x 2 2 x

x 5 5 x x 3 3 x

dA, B2

dA, B

dA, B

dA, B3 (b)

44 (a)

(b)

45 El punto en una recta de coordenadas correspondiente a puede ser determinado si se construye un tringulo rec-tngulo con lados de longitud 1, como se ve en la figura. Determine los puntos que corresponden a y , res-pectivamente. (Sugerencia: Use el teorema de Pitgoras.)Ejercicio 45

46 Un crculo de radio 1 rueda a lo largo de una recta de coor-denadas en la direccin positiva, como se muestra en lafigura. Si el punto P est inicialmente en el origen, encuen-tre la coordenada de P despus de una, dos y diez revolu-ciones completas.

Ejercicio 46

47 Las pruebas geomtricas de propiedades de nmeros realesfueron dadas primero por los antiguos griegos. Para es-tablecer la propiedad distributiva paralos nmeros reales positivos a, b y c, encuentre el rea delrectngulo que se ilustra en la figura en dos formas.

Ejercicio 47

48 Las aproximaciones racionales a races cuadradas se puedenhallar usando una frmula descubierta por los antiguos ba-bilonios. Sea la primera aproximacin racional para .Si hacemos

x2 12 x1 nx1,

2nx1

a

cb

ab c ab ac

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1P

P

0 1 2 3

21

2

2523

22

1.791 102 9.84 103

2 3.45 1.2 104 105

1.23 104 24.5 103

1 . 1 N m e r o s r e a l e s 17


entonces ser una mejor aproximacin para y podemosrepetir el clculo con sustituyendo a . Comenzando con

, encuentre las siguientes dos aproximaciones racionalespara .

Ejer. 49-50: Exprese el nmero en forma cientfica.49 (a) 427,000 (b) 0.000 000 098 (c) 810,000,000

50 (a) 85,200 (b) 0.000 005 5 (c) 24,900,000

Ejer. 51-52: Exprese el nmero en forma decimal.51 (a) (b) (c)

52 (a) (b) (c)

53 Masa de un tomo de hidrgeno La masa de un tomo dehidrgeno es aproximadamente

0.000 000 000 000 000 000 000 001 7 gramosExprese este nmero en forma cientfica.

54 Masa de un electrn La masa de un electrn es aproxi-madamente kilogramos. Exprese este nmeroen forma decimal.

55 Aos luz En astronoma, las distancias entre las estrellas semiden en aos luz. Un ao luz es la distancia que un rayode luz recorre en un ao. Si la velocidad de la luz es aproxi-madamente 186,000 millas por segundo, estime el nmerode millas en un ao luz.

56 Galaxia de la Va Lctea

(a) Los astrnomos han estimado que la galaxia de la VaLctea contiene 100,000 millones de estrellas. Expreseeste nmero en forma cientfica.

(b) El dimetro d de la galaxia de la Va Lctea se estimaen 100,000 aos luz. Exprese d en millas. (Consulte elejercicio 55.)

57 Nmero de Avogadro El nmero de tomos de hidrgeno enun mol es el nmero de Avogadro, . Si un moldel gas tiene una masa de 1.01 gramos, estime la masa deun tomo de hidrgeno.

58 Poblacin de peces Las dinmicas poblacionales de mu-chos peces se caracterizan por porcentajes de fertilidad ex-

6.02 1023

9.1 1031

1.23 10107.01 1092.3 107

5.63 1082.9 10128.3 105

22x1

32

x1x2

2nx2 tremadamente altos entre adultos y porcentajes de super-vivencia muy bajos entre los jvenes. Un lenguado maduropuede poner hasta 2.5 millones de huevos, pero slo0.00035% de la prole sobrevive a la edad de 3 aos. Use laforma cientfica para aproximar el nmero de descendientesque viven hasta la edad de 3 aos.

59 Cuadros de una pelcula de cine Una de las pelculas mslargas jams hechas es una pelcula inglesa de 1970 quecorre durante 48 horas. Suponiendo que la velocidad de lapelcula es de 24 cuadros por segundo, aproxime el nmerototal de cuadros de esta pelcula. Exprese su respuesta enforma cientfica.

60 Nmeros primos grandes El nmero es primo.En el tiempo en el que este nmero se determin que eraprimo, una de las computadoras ms rpidas del mundotom unos 60 das para verificar que era primo. Esta compu-tadora era capaz de efectuar clculos por segundo.Use la forma cientfica para estimar el nmero de clculosnecesarios para efectuar este clculo. (Ms recientemente,en 2005, , un nmero que contiene 9,152,052dgitos, result ser primo.)

61 Presin de un tornado Cuando un tornado pasa cerca de unedificio, hay un rpido descenso en la presin exterior y lapresin interior no tiene tiempo de cambiar. La diferenciaresultante es capaz de causar una presin hacia fuera de 1.4

en las paredes y cielo raso del edificio.

(a) Calcule la fuerza en libras ejercida en 1 pie cuadradode una pared.

(b) Estime las toneladas de fuerza ejercida en una paredque mide 8 pies de alto y 40 pies de ancho.

62 Poblacin de ganado Un ranchero tiene 750 cabezas de ga-nado formado por 400 adultos (de 2 aos o ms), 150 de unao y 200 becerros. La siguiente informacin se conoceacerca de esta especie particular. Cada primavera, una hem-bra adulta tiene un solo becerro y 75% de estos becerros so-brevivir el primer ao. Los porcentajes anuales desobrevivientes de animales de un ao y de adultos es 80% y90%, respectivamente. La proporcin macho-hembra es unoen todas las clases de edad. Estime la poblacin de cadaclase de edad.

(a) siguiente primavera (b) ltima primavera

lbin2

230,402,457 1

2 1011

244,497 1



Si n es un entero positivo, la notacin exponencial , definida en la tabla si-guiente, representa el producto del nmero real a consigo mismo n veces. Nosreferimos a como a a la n potencia o, simplemente, a a la n. El entero posi-tivo n se denomina exponente y el nmero real a se llama base.

an

an

1 . 2 E x p o n e n t e s y r a d i c a l e s 19

1.2Exponentes y radicales

TI-83/4 Plus y TI-86

3

3

1 2 5

Ntese que la expresin del segundo rengln, , es equivalente a .1 3232

ENTER)(

ENTERx 2

ENTERx 2)(Notacin exponencial

q5

I L U S T R A C I N

I L U S T R A C I N

Notacin exponencial

Caso general(n es cualquier entero positivo) Casos especiales

n factores de a

a6 a a a a a a

a3 a a a

a2 a a

a1 aan a a a a

La siguiente ilustracin contiene varios ejemplos numricos de notacinexponencial.

La notacin exponencial

Es importante observar que si n es un entero positivo, entonces una expre-sin como significa , no . El nmero real 3 es el coeficiente de en la expresin . Del mismo modo, significa , no .

La notacin

323 3222 38 2424 24 165 23 5 8 405 23 5 8 40

can

3an3an3an3anan3an3an3an

13 4 13 13 13 13 1919 18133 333 2712

5

12

12

12

12

12

132

54 5 5 5 5 625

an


A continuacin extendemos la definicin de a exponentes no positivos.an


Si m y n son enteros positivos, entonces

m factores de a n factores de aComo el nmero total de factores de a a la derecha es , esta expresines igual a ; esto es,

Podemos extender esta frmula a o si usamos las definiciones delexponente cero y exponentes negativos. Esto nos da la ley 1, que se expresa enla tabla siguiente.

Para demostrar la ley 2, podemos escribir, para m y n positivos,

n factores dey contamos el nmero de veces que a aparece como factor en el lado derecho.Como , con a como factor m veces, y como elnmero de esos grupos de m factores es n, el nmero total de factores de a es

. Entonces,

Los casos y se pueden demostrar usando la definicin de expo-nentes no positivos. Las tres leyes restantes se pueden establecer de modo se-mejante al contar factores. En las leyes 4 y 5 suponemos que los denomi-nadores no son 0.

n 0m 0amn amn.

m n

am a a a a

am

amn am am am am

n 0m 0aman amn.

amnm n

aman a a a a a a a a.

Exponentes cero y negativos (no positivos)

Definicin (a 0) Ejemplos

35 1

3553 153 ,a

n 1an

220 130 1,a0 1

Ley Ejemplos(1)(2)(3)

(4)

(5) (a)

(b) 23

25

1253

122

14

am

an

1anm

25

23 253 22 4

am

an amn

253 2353 8125 abn anbn203 2 103 23 103 8 1000 8000abn anbn234 234 212 4096amn amn23 24 234 27 128aman amn

Leyes de exponentes para nmeros reales a y b y enteros m y n


Por lo general usamos 5(a) si y 5(b) si .Podemos extender leyes de exponentes para obtener reglas como

y . Algunos otros ejemplos de las leyes de ex-ponentes se dan en la siguiente ilustracin.

Leyes de exponentes

Simplificar una expresin que comprenda potencias de nmeros realessignifica cambiarla a una expresin en la que cada nmero real aparezca slouna vez y todos los exponentes sean positivos. Supondremos que los denomi-nadores siempre representan nmeros reales diferentes de cero.

E J E M P L O 1 Simplificacin de expresiones que contienen exponentes

Utilice las leyes de los exponentes para simplificar cada una de las expre-siones:

(a) (b) (c) (d)

S O L U C I N

(a) reacomodar factoresley 1

(b) ley 3ley 2

(c) ley 4

ley 3

ley 2

reacomodar factores

leyes 5(b) y 5(a)

reacomodar factores 4sr3

41r3s

4r6r9s3

s2

4r6s2s3

r9

22r32

s2

s3

r33

2r3s2 s

r33 2r32

s2

s3

r33

16a8b12c4 2a2b3c4 24a24b34c4

12x4y93x3y44xy5 34x3xy4y5

u2v332r3s2 s

r332a2b3c43x3y44xy5

u3

u8

1u83

1u5

c8

c3 c83 c5

p2 5 p525 p5323st4 34s4t 4 81s4t 4y57 y57 y35x5x6x2 x562 x13

amanap amnpabcn anbncn

m nm n


(contina)

I L U S T R A C I N


(d) ley 3

ley 2

definicin deL

El siguiente teorema es til para problemas que contienen exponentesnegativos.

an u6

v9

u6v9 u2v33 u23v33


D E M O S T R A C I O N E S Con el uso de las propiedades de exponentes nega-tivos y cocientes, obtenemos

(1)

(2)L

E J E M P L O 2 Simplificacin de expresiones que contienen exponentesnegativos

Simplifique:

(a) (b)

S O L U C I N Aplicamos el teorema sobre exponentes negativos y las leyesde exponentes.

(a)

teorema sobre exponentes negativos (1)

ley 1 de exponentes

(b) teorema sobre exponentes negativos (2)

leyes 4 y 3 de exponentes

ley 2 de exponentesL

8v3

u6

23v3

u23

u22v3 2vu23

2x4

y7

8x3

4y2

x1

y5

reacomodar cocientes para que los expo-nentes negativos queden en una fraccin

8x3y5

4x1y2

8x3

4y2

y5

x1

u22v38x3y54x1y2

abn anbn bnan ba nam

bn

1am

1bn

1am

bn

1

bn

am

Teorema sobre exponentesnegativos (1) (2) abn banambn bnam


En seguida definimos la n-sima raz principal de un nmero real a.

n2a


Los nmeros complejos, que se estudian en la seccin 2.4, son necesariospara definir si y n es un entero positivo par, porque para todos losnmeros reales b, siempre que n sea par.

Si , escribimos en lugar de y a la llamamos razcuadrada principal de a o, simplemente, la raz cuadrada de a. El nmero

es la raz cbica (principal) de a.La raz n principal

, porque ., porque .

, porque .no es un nmero real.

Ntese que porque, por definicin, las races de nmerosreales positivos son positivas. El smbolo se lee ms menos.

216 4

4216

23 823 8 2125 1325 132 1242 16216 4

n2a

32a

2a22a2an 2

bn 0a 0n2a

TI-83/4 Plus TI-86

16 16

5 1 32 5

16 1 32

16

Cuando la ltima lnea se ejecuta en la TI-83/4 Plus, se da el mensaje de error NONREALANS porque esta expresin representa un nmero complejo, no un nmero real (que se ex-pone en la seccin 2.4). La respuesta en la TI-86, (0, 4), representa 0 4i.

ENTER2nd

ENTER)(x (F4)ENTER)2nd

MOREMISC(F5)MATH2ndENTER)(5MATH

ENTER2ndENTER)2ndRaz n principal 2 2

2

2

2

Definicin de n2a Sea n un entero positivo mayor a 1, y sea a un nmero real.(1) Si , entonces .(2) Si , entonces es el nmero real b positivo tal que .(3) (a) Si y n es impar, entonces es el nmero real b negativo

tal que .(b) Si y n es par, entonces no es un nmero real.n2aa 0

bn a

n2aa 0

bn an2aa 0

n2a 0a 0

I L U S T R A C I N


Para completar nuestra terminologa, la expresin es un radical, elnmero a es el radicando y n es el ndice del radical. El smbolo se de-nomina signo de radical.

Si , entonces ; esto es, . Si , entonces, o . Generalizando este patrn nos da la propiedad 1 de la

tabla siguiente23 a3 ab3 a

23 a b2a2 ab2 a2a b

2

2n

a


Si , entonces la propiedad 4 se reduce a la propiedad 2. Tambinvemos de la propiedad 4 que

para todo nmero real x. En particular, si , entonces , pero, si, entonces , que es positiva.

Las tres leyes que aparecen en la tabla siguiente son verdaderas para en-teros positivos m y n, siempre que existan las races indicadas, es decir, siem-pre que las races sean nmeros reales.

2x2 xx 02x2 xx 0

2x2 x

a 0

Los radicandos de las leyes 1 y 2 comprenden productos y cocientes.Debe tenerse cuidado si hay sumas o diferencias en el radicando. La tablasiguiente contiene dos advertencias particulares referentes a errores que secometen con frecuencia.

Si a 0 y b 0 Ejemplos(1)(2) 24 9 213 24 29 52a b 2a 2b

232 42 225 5 3 4 72a2 b2 a b

Ley Ejemplos(1)

(2)

(3) 23 64 23264 26 26 2m n a mna

3 58 23 523 8 23 52n ab 2n

a

2n b

23 108 23 274 23 27 23 4 323 4250 225 2 225 22 5222n ab 2n a 2n b

Leyes de radicales

Y Atencin! Y

Propiedad Ejemplos(1) si es un nmero real ,(2) si (3) si y n es impar(4) si y n es par 24 24 2 2232 3 3,a 02n an a

25 25 223 23 2,a 02n an a23 23 2252 5,a 02n an a23 83 8252 52n a2n an a

Propiedades de (n es un entero positivo)n2a


Si c es un nmero real y es un factor en un radical de ndice n, entoncespodemos eliminar c del radical si el signo de c se toma en cuenta. Por ejem-plo, si o si y n es impar, entonces

siempre que exista. Si y n es par, entonces

siempre que exista.

Remocin de potencias n de

Nota: Para evitar considerar valores absolutos, en ejemplos y ejercicios quecontengan radicales en este captulo, supondremos que todas las letras a,b, c, d, x, y y otras que aparecen en radicandos representan nmeros realespositivos, a menos que se especifique otra cosa.

Como se muestra en la ilustracin precedente y en los siguientes ejem-plos, si el ndice de un radical es n, entonces reacomodamos el radicando, ais-lando un factor de la forma , donde p puede estar formado por varias letras.A continuacin eliminamos del radical como se indic previamente.Entonces, en el ejemplo 3(b) el ndice del radical es 3 y reacomodamos el ra-dicando en cubos, obteniendo un factor , con . En la parte (c) elndice del radical es 2 y reacomodamos el radicando en cuadrados, obteniendoun factor , con .

Simplificar un radical significa eliminar factores del radical hasta queningn factor del radicando tenga un exponente mayor que o igual al ndice delradical y el ndice sea tan bajo como sea posible.

E J E M P L O 3 Remocin de factores de radicales

Simplifique cada radical (todas las letras denotan nmeros reales positivos):(a) (b) (c)

S O L U C I N

(a) factorice el cubo ms grande en 320ley 1 de radicalespropiedad 2 de n2 423 5

23 43 325

23 320 23 64 5

23a2b326a5b3216x3y8z423 320

p 3a3b2p2

p 2xy2zp3

2n pn p

pn

24 x6y3 24 x 4 x2y3 24 x 424 x2y3 x 24 x2y32x6 2x32 x3

2x2y 2x22y x 2y

23 x7 23 x6 x 23 x23x 23 x2323 x x223 x

25 x7 25 x5 x2 25 x525 x2 x25 x2

n2

n2d

n2cnd n2cn n2d c n2d,

c 0n2d

n2cnd n2cn n2d c n2d,

c 0c 0

cn


(contina)

I L U S T R A C I N


(b) reacomode radicando en cubosleyes 2 y 3 de exponentesley 1 de radicalespropiedad 2 de

(c) ley 1 de radicalesreacomodar radicando en cuadradosleyes 2 y 3 de exponentesley 1 de radicalespropiedad 2 de L

Si el denominador de un cociente contiene un factor de la forma , cony , entonces multiplicar el numerador y denominador por

eliminar el radical del denominador, porque

Este proceso se denomina racionalizar un denominador. Algunos casos es-peciales aparecen en la tabla siguiente.

2n

ak2n

ank 2n

aknk 2n

an a.

2n

anka 0k n2

nak

n2

3a3b222a 23a3b2222a 23a3b222a 232a6b42a

23a2b326a5b 23a2b3 2 3a5b

n2

2xy2z23 2y2z 23 2xy2z323 2y2z 23 2xy2z32y2z

23 16x3y8z4 23 23x3y6z32y2z


El siguiente ejemplo ilustra esta tcnica.E J E M P L O 4 Racionalizacin de denominadores

Racionalice cada denominador:

(a) (b) (c) (d)

S O L U C I N

(a)

(b)

(c)

(d)L

5 xy2 5 x5 y2 5 x5 y2 5 y35 y3 5 xy35 y5 5 xy3y 23 23 23 33 2 332 63

13 x

1

3 x3 x2

3 x2

3 x2

3 x3

3 x2

x

15

1

555

552

55

5 xy2 23123 x125

Racionalizar denominadores de cocientes (a > 0)

Factor en Multiplicar numeradordenominador y denominador por Factor resultante

27 a3 27 a4 27 a7 a27 a427 a323 a 23 a2 23 a3 a23 a223 a

2a 2a 2a2 a2a2a


Si usamos una calculadora para hallar aproximaciones decimales de radicales, no hay ventaja al racionalizar denominadores, tales como

o , como hicimos en el ejemplo 4(a) y (c). Noobstante, para simplificaciones algebraicas, cambiar expresiones a esas for-mas es a veces deseable. Del mismo modo, en cursos de matemticas avan-zadas como por ejemplo en clculo, cambiar a , como en elejemplo 4(b), podra hacer un problema ms complicado. En esos cursos esms sencillo trabajar con la expresin que con su forma racionalizada.

A continuacin usamos radicales para definir exponentes racionales.123 x

23 x2x123 x

223 263125 255


Al evaluar en (2), por lo general usamos ; es decir, tomamos la nraz de a primero y luego elevamos ese resultado a la m potencia, como semuestra en la siguiente ilustracin.

La notacin exponencial

322433/5 5 322433 5 2353 233 8271252/3 23 1252 23 532 52 25

x3/5 25 x3 25 x3x1/3 23 xam/n

2n amam/n

Definicin de exponentes racionales

Sea un nmero racional, donde n es un entero positivo mayor a 1. Si aes un nmero real tal que existe, entonces

(1)(2)(3) am/n a1/nm am1/n

am/n 2n am 2n am a1/n 2

na

2n

a

mn

TI-83/4 Plus TI-86

8 1 3 8 1 3

8 1 3 8 1 3

32 243 3 32 243 3

5 5

El comando Frac cambia una representacin decimal a una fraccionaria.

ENTERFrac(F1)MORE

MISC(F5)MATH2ndENTER1MATH

))

()(()(

ENTER)(ENTER)(

ENTER)(ENTER)(Exponentes racionales

I L U S T R A C I N


Las leyes de los exponentes son verdaderas para exponentes racionales ytambin para exponentes irracionales, por ejemplo o , considerados enel captulo 5.

Para simplificar una expresin que contenga potencias racionales de letrasque representen nmeros reales, la cambiamos a una expresin en que cadaletra aparezca slo una vez y todos los exponentes sean positivos. Como lohicimos con radicales, supondremos que todas las letras representan nmerosreales positivos a menos que se indique otra cosa.

E J E M P L O 5 Simplificacin de potencias racionales

Simplificar:(a) (b) (c)

S O L U C I N

(a) definicin de exponentes racionales

tomar races

definicin de exponentes negativos

tomar potencias

(b) ley 3 de exponentes

ley 2 de exponentes

(c) leyes de exponentes

ley 1 de exponentes

denominador comn

simplificarL

Los exponentes racionales son tiles para problemas que contengan radi-cales que no tienen el mismo ndice, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

E J E M P L O 6 Combinacin de radicales

Cambie a una expresin que contenga un radical de la forma .

(a) (b)

S O L U C I N Si introducimos exponentes racionales, obtenemos(a)

(b)L

24 a

23 a2

a1/4

a2/3 a1/42/3 a5/12

1a5/12

1212

a5

23 a2a a1/3a1/2 a1/31/2 a5/6 26 a5

24 a

23 a223 a2a

2n

am

12x1/2

y4/3

12x 8/65/6

y 4/3

4 3x 4/35/6

y11/3

2x 2/3y1/2 23x5/6y1/3 4x 4/3y 3x5/6y1/3 r 2/3s2

r 2s61/3 r 21/3s61/3

932

32

25

3225 272/345/2 23 272245

2x 2/3y1/2 23x5/6y1/3 r 2s61/3272/345/2

5322



Ejer. 1-10: Exprese el nmero en la forma , donde a y bson enteros.

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

Ejer. 11-46: Simplifique.11 12

13 14

15 16

17 18

19 20

21 22

23 24

25 26

27 28

29 30

31 32 4a2b4a32b 23x5y4x0y322r 2s53r1s325x2y34x5y4

2x2y56x3y13 x1y32r 4s323a2b533y344y23

2xy25 x78y313 x4y324a2b

a3b25a2b2b4 8x4y312 x5y2x2yz32xz2x3y23u7v34u4v5

3y32y22

y43 y30

6x 32

2x 23 3x 20

4b316 b29b416 a53a24a7

2x 23

4x 42x33x2

x23

3x24x 412 x416x5

0.0082/30.0082/3

95/2163/4 32 4 2424 31

20 02

2 023

32

33 23 4ab 33 34

35 36

37 38

39 40

41 42

43 44

45 46

Ejer. 47-52: Reescriba la expresin usando exponentesracionales.47 48

49 50

51 52

Ejer. 53-56: Reescriba la expresin usando un radical.53 (a) (b)

54 (a) (b)

55 (a) (b)

56 (a) (b)

Ejer. 57-80: Simplifique la expresin y racionalice el de-nominador cuando sea apropiado.57 58

59 60

61 62 17123 224 25625 64

23 125281

8y1/38y1/38 y1/38 y1/34 x3/24 x3/2

4x3/24x3/2

23 r3 s32x2 y2

a 2b23 a b2

23 x 524 x3

a4/3a3/2a1/6x6y31/3

x4y21/2

c416d83/4 x69y41/2y3/2y1/338x3y6 2/33x1/22x 5/28x2/3x1/625z43/227a62/38r1/32r1/23x 5/68x 2/3

6x7/52x8/54a3/22a1/2


En los ejercicios 1.2, siempre que un ndice de un radical sea par (o se em-plee un exponente racional con n par), suponga que las letras que apare-cen en el radicando denotan nmeros reales positivos a menos que se indiqueotra cosa.

mn

1.2 E j e r c i c i o s


63 64

65 66

67 68

69 70

71 72

73 74

75 76

77 78

79 80

Ejer. 81-84: Simplifique la expresin, suponiendo que x y ypueden ser negativos.81 82

83 84

Ejer. 85-90: Sustituya el smbolo con o con para queel enunciado resultante sea verdadero, siempre que la ex-presin tenga significado. D una razn para su respuesta.85 86

87 88

89 90

Ejer. 91-92: Al evaluar nmeros negativos elevados a poten-cias fraccionarias, puede ser necesario evaluar por sepa-rado la raz y potencias enteras. Por ejemplo, sepuede evaluar bien como o , donde deotro modo podra aparecer un mensaje de error. Aproximela expresin de nmero real a cuatro lugares decimales.91 (a) (b)

92 (a) (b) 5.087/31.23/754/332/5

[(3)2]1/5[(3)1/5]2(3)2/5

a1/k 1

akn 1

c

12

nc

2ar 2araxby abxya2 11/2 a 1ar2 a(r 2)

24 x 212y424 x8 y 1122x4y102x6y4

23 2r s323 3t 4v2 23 9t1v4

25xy7 210x3y35 8x3y4 5 4x4y226 2u3v4624 3x5y24

5 3x11y39x25 5x7y28x34 x7y12125x4 5x8y327x23 3x2y54x3 2x4y49x 13x3y3x2y324 81r 5s823 8a6b3

216a8b229x4y6Ejer. 93-94: Aproxime la expresin del nmero real a cuatrolugares decimales.

93 (a) (b)

94 (a) (b)

95 Cuenta de ahorros Uno de los bancos ms antiguos de Es-tados Unidos es el Bank of America, fundado en 1812. Si$200 se depositaron en aquel tiempo en una cuenta quepagaba 4% de inters anual, entonces 180 aos despus lacantidad habra crecido a dlares. Aproximeesta cantidad al centavo ms prximo.

96 Distancia de visibilidad En un da claro, la distancia d (enmillas) que se puede ver desde lo alto de un elevado edifi-cio de altura h (en pies) se puede aproximar con

. Calcule la distancia que se puede ver desde loalto de la Torre Sears de Chicago, que mide 1454 pies dealtura.

97 Longitud de un lenguado La relacin longitud/peso paraun lenguado del Pacfico se puede aproximar con la frmu-la , donde W es en kilogramos y L es en met-ros. El lenguado ms grande que se ha documentadopesaba 230 kilogramos. Estime su longitud.

98 Peso de una ballena La relacin longitud-peso para la ba-llena rorcual se puede aproximar con ,donde W es en toneladas y L es en pies. Estime el peso deuna ballena que mide 25 pies de largo.

99 Handicaps de los levantadores de pesas La frmula deOCarroll se usa para poner obstculos a levantadores de pesas. Si un levantador que pesa b kilogramos levantaw kilogramos de peso, entonces el handicap en peso estdado por

Suponga que dos levantadores que pesan 75 y 120 kilo-gramos levantan pesas de 180 y 250 kilogramos, respecti-vamente. Use la frmula de OCarroll para determinar elmejor levantador de pesas.

100 rea de superficie corporal El rea de superficie corporalS de una persona (en pies cuadrados) se puede aproximarcon

donde la estatura h es en pulgadas y el peso w es en libras.

(a) Estime S para una persona que mide 6 pies de alto ypesa 175 libras.

(b) Si una persona mide 5 pies 6 pulgadas de estatura,qu efecto tiene sobre S un aumento de 10% en elpeso?

S 0.1091w0.425h0.725,

W w

23 b 35.

W 0.0016L2.43

L 0.4623 W

d 1.22h

2001.04180

5272.6 1.92

23 15.1 51/42 1



101 Peso en hombres El promedio de peso W (en libras) parahombres con estatura h entre 64 y 79 pulgadas se puedeaproximar con el uso de la frmula . Cons-truya una tabla para W con , 65, . . . 79. Redondeetodos los pesos a la libra ms cercana.

h 64W 0.1166h1.7

102 Peso en mujeres El promedio de peso W (en libras) paramujeres con estatura h entre 60 y 75 pulgadas se puedeaproximar con el uso de la frmula . Cons-truya una tabla para W con , 61, . . . 75. Redondeetodos los pesos a la libra ms cercana.

h 60W 0.1049h1.7

1 . 3 E x p r e s i o n e s a l g e b r a i c a s 31

A veces usamos la notacin y terminologa de conjuntos para describir rela-ciones matemticas. Un conjunto es una coleccin de objetos de algn tipo ylos objetos se denominan elementos del conjunto. Es frecuente que se usen lasletras maysculas R, S, T, . . . para denotar conjuntos y las letras minsculasa, b, x, y, . . . representan elementos de conjuntos. En todo este libro, denotael conjunto de nmeros reales y denota el conjunto de enteros.

Dos conjuntos S y T son iguales, denotados por , si S y T contienenexactamente los mismos elementos. Escribimos si S y T no son iguales.En la tabla siguiente se indican notacin y terminologa adicionales.

S TS T

Estatura Peso Estatura Peso64 7265 7366 7467 7568 7669 7770 7871 79

Estatura Peso Estatura Peso60 6861 6962 7063 7164 7265 7366 7467 75

Notacin o terminologa Significado Ejemplos

a es un elemento de Sa no es un elemento de S

S es un subconjunto Todo elemento de S es un subconjunto de T es un elemento de T deConstante Una letra o smbolo que 5,

represe

algebra y-trigonometria-con-geometria-analitica-12ed

Education