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Algebra, trigonometria y geometria analitica TC3_TrabajoFinal_301301_618_1_TRANSCRIPT
ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
APORTE TRABAJO COLABORATIVO III
TUTOR LUIS FERNANDO ESPINOSA
PABLO ALBERTO NOGUERA
ADRIAN ZAPATA OCAMPO
GRUPO 301301_618
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
COLOMBIA
NOVIEMBRE 2014
1. De la siguiente elipse 9𝑥2 + 3𝑦2 = 27. Determine:
a. Centro
b. Focos
c. Vértices
Solución
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑚𝑝𝑒𝑧𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2= 1
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑟𝑙𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 27:
9𝑥2
27+
3𝑦2
27=
27
27
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜:
𝑥2
3+
𝑦2
9= 1
𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑐𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛.
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
ℎ = 0, 𝑘 = 0, 𝑎2 = 3, 𝑏2 = 9, 𝑎 = √3, 𝑏 = 3
a. Centro
𝐸𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟:
𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = (ℎ, 𝑘) = (0,0)
b. Focos
𝐿𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟:
𝑓1 = (ℎ, 𝑘 + 𝑐)
𝑓2 = (ℎ, 𝑘 − 𝑐)
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑣𝑒𝑟𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐶 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠:
𝑐2 = 𝑏2 − 𝑎2
𝑐 = √𝑏2 − 𝑎2 = √9 − 3 = √6
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑓1 = (0, √6)
𝑓2 = (0, −√6)
c. Vértices
𝐿𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟:
𝑣1 = (ℎ + 𝑎, 𝑘) = (√3, 0)
𝑣2 = (ℎ − 𝑎, 𝑘) = (−√3, 0)
𝑣3 = (ℎ, 𝑘 + 𝑎) = (0,3)
𝑣4 = (ℎ, 𝑘 − 𝑎) = (0, −3)
La gráfica de la función es:
2. Deduzca una ecuación de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas:
Vértices en (±5,0) y focos en (±3,0).
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠:
𝑎 = 5, 𝑐 = 3
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑣𝑒𝑟𝑖𝑔𝑢𝑎𝑟 𝑏:
𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2
𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2 = √52 − 32 = √25 − 9 = √16 = ±4
𝐿𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟:
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑠:
𝑥2
25+
𝑦2
16= 1
Su gráfica es:
3. De la siguiente hipérbola 9𝑥2 − 25𝑦2 = 225. Determine:
a. Centro
b. Focos
c. Vértices
Solución
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑚𝑝𝑒𝑧𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2= 1
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑟𝑙𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 225:
9𝑥2
225−
25𝑦2
225=
225
225
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜:
𝑥2
25−
𝑦2
9= 1
𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛.
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
ℎ = 0, 𝑘 = 0, 𝑎2 = 25, 𝑏2 = 9, 𝑎 = 5, 𝑏 = 3
a. Centro
𝐸𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟:
𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = (ℎ, 𝑘) = (0,0)
b. Focos
𝐿𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟:
𝑓1 = (ℎ + 𝑐, 𝑘)
𝑓2 = (ℎ − 𝑐, 𝑘)
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑣𝑒𝑟𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐶 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠:
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √25 + 9 = √34
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑓1 = (√34, 0)
𝑓2 = (−√34, 0)
c. Vértices
𝐿𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟:
𝑣1 = (ℎ + 𝑎, 𝑘) = (5,0)
𝑣2 = (ℎ − 𝑎, 𝑘) = (−5,0)
La gráfica de la hipérbola es:
4. Deduzca una ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones indicadas:
Centro en (1, −3), un foco en (1, −6), y un vértice en (1, −5).
𝐿𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛:
ℎ = 1, 𝑘 = −3
𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒:
𝑎 = (−5) − (−3) = −2
𝑐 = (−6) − (−3) = −3
𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑣𝑒𝑟𝑖𝑔𝑢𝑎𝑟 𝑏:
𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2
𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2 = √(−3)2 − (−2)2 = √9 − 4 = √5
𝐿𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑛 ℎ, 𝑘 𝑒𝑠:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2= 1
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑠:
(𝑥 − 1)2
22−
(𝑦 + 3)2
(√5)2 = 1
(𝑥 − 1)2
4−
(𝑦 + 3)2
5= 1
La gráfica de la hipérbola es:
5. Demostrar que la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 2𝑦 − 15 = 0 es una circunferencia.
Determinar:
a. Centro
b. Radio
Solución
𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎:
𝐴𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠:
(𝑥2 + 6𝑥) + (𝑦2 − 2𝑦) = 15
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑙𝑜
𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛, 𝑎𝑠í:
(𝑥2 + 6𝑥 + 9 − 9) + (𝑦2 − 2𝑦 + 1 − 1) = 15
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
(𝑥 + 3)2 − 9 + (𝑦 − 1)2 − 1 = 15
(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 15 + 9 + 1
(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 25
𝐿𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟:
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2
𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒:
ℎ = −3, 𝑘 = 1, 𝑟2 = 25, 𝑟 = 5
a. Centro
𝐸𝑠𝑡á 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟:
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = (ℎ, 𝑘) = (−3,1)
b. Radio
𝑟2 = 25
𝑟 = √25
𝑟 = 5
La gráfica de la circunferencia dada es:
6. De la siguiente parábola 𝑥2 + 6𝑥 + 4𝑦 + 8 = 0. Determine:
a. Vértice
b. Foco
c. Directriz
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎:
𝐴𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠:
(𝑥2 + 6𝑥) + 4𝑦 = −8
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑦 𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛:
(𝑥2 + 6𝑥 + 9 − 9) + 4𝑦 = −8
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
(𝑥 + 3)2 − 9 + 4𝑦 = −8
(𝑥 + 3)2 + 4𝑦 = −8 + 9
(𝑥 + 3)2 + 4𝑦 = 1
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟:
(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
(𝑥 + 3)2 = −4𝑦 + 1
𝑠𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛:
(𝑥 + 3)2 = −4 (−4𝑦
−4+
1
−4)
(𝑥 + 3)2 = −4 (𝑦 −1
4)
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒:
ℎ = −3, 𝑘 =1
4, 4𝑝 = −4
a. Vértices
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟:
𝑉 = (ℎ, 𝑘) = (−3,1
4)
b. Foco
𝐸𝑠𝑡á 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟:
𝑓 = (ℎ, 𝑘 + 𝑝)
𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎:
4𝑝 = −4
𝑝 =−4
4= −1
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑓 = (−3,1
4+ (−1)) = (−3,
1
4− 1) = (−3, −
3
4)
𝑓 = (−3, −3
4)
c. Directriz
𝐸𝑠𝑡á 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟:
𝐷 = (ℎ, 𝑘 − 𝑝) = (−3,1
4− (−1)) = (−3,
1
4+ 1)
𝐷 = (−3,5
4)
La gráfica de la parábola es:
7. Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 +
6𝑦 − 7 = 0 en el punto 𝑃(−4,1).
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑎𝑐𝑢ó𝑛 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜:
𝐴𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠:
(𝑥2 + 4𝑥) + (𝑦2 + 6𝑦) = 7
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑦 𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛:
(𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 4) + (𝑦2 + 6𝑦 + 9 − 9) = 7
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠:
(𝑥 + 2)2 − 4 + (𝑦 + 3)2 − 9 = 7
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 7 + 4 + 9
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 20
𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑠
𝐶(ℎ, 𝑘) = (−2, −3)
𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑃 𝑦 𝐶, 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟:
𝑚𝑝1𝑝2 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑚𝐶𝑃 =1 − (−3)
(−4) − (−2)=
1 + 3
−4 + 2=
4
−2= −2
𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
𝐶𝑃, 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑒𝑠 − 1, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒:
𝑚⊥𝐶𝑃 =1
2
𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 1
2 𝑦 𝑞𝑢𝑒
𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑃(−4,1), 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡á
𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟:
𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) + 𝑦1
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑦 =1
2(𝑥 − (−4)) + 1
𝑦 =1
2(𝑥 + 4) + 1
𝑦 =𝑥
2+
4
2+ 1
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠:
𝑦 =𝑥
2+ 3
La gráfica del ejercicio es:
8. Calcular las siguientes sumatorias:
a. .
∑(30 − 𝑘 + 1)3
20
𝑘=1
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎:
∑ 𝑖3 = (𝑛(𝑛 + 1)
2)
2𝑛
𝑖=1
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 20, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
∑(30 − 𝑘 + 1)3
20
𝑘=1
= (20(20 + 1)
2)
2
= (420
2)
2
= (210)2 = 44100
∑(30 − 𝑘 + 1)3
20
𝑘=1
= 44100
b. .
∑(3𝑘2 + 2𝑘 − 5)
50
𝑘=1
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎𝑠:
∑ 𝑖 ∗ 𝑐 = 𝑐 ∑ 𝑖 ;
𝑛
𝑖=1
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑖2 =𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑖
𝑛
𝑖=1
=𝑛(𝑛 + 1)
2
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑛 = 50:
∑(3𝑘2 + 2𝑘 − 5)
50
𝑘=1
= 3 ∑ 𝑘2 + 2 ∑ 𝑘
50
𝑘=1
− ∑ 5
50
𝑘=1
50
𝑘=1
∑(3𝑘2 + 2𝑘 − 5)
50
𝑘=1
= 3 (50(50 + 1)(2(50) + 1
6) + 2 (
50(50 + 1)
2) − (5 ∗ 50)
∑(3𝑘2 + 2𝑘 − 5)
50
𝑘=1
= 3(42925) + 2(1275) − 250
∑(3𝑘2 + 2𝑘 − 5)
50
𝑘=1
= 128775 + 2550 − 250
∑(3𝑘2 + 2𝑘 − 5)
50
𝑘=1
= 131075
9. Calcular las siguientes productorias:
a. .
∏(𝑎 − 𝑘2) = (𝑎 − 12)(𝑎 − 22)(𝑎 − 32)
3
𝑘=1
∏(𝑎 − 𝑘2) = (𝑎 − 1)(𝑎 − 4)(𝑎 − 9)
3
𝑘=1
∏(𝑎 − 𝑘2) = (𝑎2 − 4𝑎 − 𝑎 + 4)(𝑎 − 9)
3
𝑘=1
∏(𝑎 − 𝑘2) = 𝑎3 − 4𝑎2 − 𝑎2 + 4𝑎 − 9𝑎2 + 36𝑎 + 9𝑎 − 36
3
𝑘=1
∏(𝑎 − 𝑘2) = 𝑎3 − 14𝑎2 + 49𝑎 − 36
3
𝑘=1
Demostración GeoGebra:
b. .
∏ ∏ ∏2𝑖 − 𝑗
2𝑘 + 𝑖
2
𝑖=1
4
𝑗=3
6
𝑘=5
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟á 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑚á𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎:
∏2𝑖 − 𝑗
2𝑘 + 𝑖
2
𝑖=1
= (2(1) − 𝑗
2𝑘 + 1) (
2(2) − 𝑗
2𝑘 + 2) = (
2 − 𝑗
2𝑘 + 1) (
4 − 𝑗
2𝑘 + 2) =
𝑗2 − 6𝑗 + 8
4𝑘2 + 6𝑘 + 2
𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎:
∏𝑗2 − 6𝑗 + 8
4𝑘2 + 6𝑘 + 2= (
32 − 6(3) + 8
4𝑘2 + 6𝑘 + 2) (
42 − 6(4) + 8
4𝑘2 + 6𝑘 + 2)
4
𝑗=3
∏𝑗2 − 6𝑗 + 8
4𝑘2 + 6𝑘 + 2= (
9 − 18 + 8
4𝑘2 + 6𝑘 + 2) (
16 − 24 + 8
4𝑘2 + 6𝑘 + 2) = (
−1
4𝑘2 + 6𝑘 + 2)
4
𝑗=3
∏𝑗2 − 6𝑗 + 8
4𝑘2 + 6𝑘 + 2= (
−1
4𝑘2 + 6𝑘 + 2) (
0
4𝑘2 + 6𝑘 + 2)
4
𝑗=3
= 0
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎:
∏ 0 = 0
6
𝑘=5
∏ ∏ ∏2𝑖 − 𝑗
2𝑘 + 𝑖
2
𝑖=1
4
𝑗=3
6
𝑘=5
= 0
Demostración GeoGebra: