MDULO LGEBRA, TRIGONOMETRA Y GEOMETRA ANALTICA (Segunda Edicin) Jorge Elicer Rondon Duran UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA UNIDAD DE CIENCIAS BSICAS Bogot D. C, 2007 2

PRESENTACIN DEL CURSO EstimadosEstudiantesBienvenidosalcursodelgebra,TrigonometrayGeometraAnaltica.La matemticacomocienciaatravsdelahistoriahabuscadofundamentosslidosquegaranticensu validezyrigurosidad,aselespectrodestacienciaesmuyamplio,peromuyinteresante,bastacon repasar un poco el camino que inicia con la Aritmtica, la Geometra, el lgebra,siguiendo hasta reas ms avanzadas como la Teora de conjuntos,Geometra Diferencial y otros. Todo con el fin de dar a lasociedad una Herramienta Formal que permita demostrarprincipios y definiciones para el buen uso en las reas del saber. En este orden de ideas,el curso que nos ocupa en este material, presenta diversas temticas que hacen partedeesagranherramientaformal.Lastemticasqueseexponensonmuytilesparacualquier estudiante de un programa universitario, estn desarrolladas en un lenguaje sencillo, pero con gran rigor matemtico, ya que el propsito fundamental es que los estudiantes adquieran conocimientos slidos en lasreasdelgebra,Trigonometra,GeometraAnaltica,SumatoriasyProductorias,queles permita transitar de manera muy dinmica por reas ms avanzadas de matemticas o afines. Elcursoestaestructuradoporunidadesqueasuvezestaconformadasporcaptulosystospor secciones. La primera unidad es de lgebra, cuyos captulos son lasEcuaciones y las Inecuaciones, dos temticasmuyinteresantesydegranusoencamposdelaIngeniera,Administracinydems.La segunda unidadcontempla lo referente a funciones, adems del anlisis de la trigonometra analticay la Hipernometra, cuyos captulos son precisamente las Funciones, la trigonometra y la Hipernometra; trminoqueacuamosparahacerreferenciaalasfuncioneshiperblicas.Espertinenteresaltarqueel ncleodelasMatemticassonenanlisisdelasfunciones,tambinlagranaplicacindela trigonometra en estudios de Ciencias Experimentales, Ingeniera, Ciencias Agrarias y otros. La tercera unidadcontemplaloscaptulosdeGeometraAnaltica,SumatoriasyProductorias,temticasmuy particulares y de gran importancia en diversas reas, como la Astronoma, Fsica, Ingeniera, Estadstica, Clculo y otras. Elprocesodeanlisis,comprensineinteriorizacindelastemticaspropuestas,sonfundamentales parapodertransitarenposterioresreasdelconocimientopropiasdeunprogramaacadmico universitario.Pero tambin son una buena herramienta pararesolver un gran numero de problemas que sepuedensolucionarconmodelosmatemticos,comolasecuaciones,lasinecuaciones,lasfunciones, las sumatorias, las productorias yla trigonometra, entre otras. El curso requiere algunos conocimientos previos de Aritmtica, lgebra Elemental y Geometra Plana y Espacial, los cuales son fundamentales para poder avanzar adecuadamente a travs del curso.Pero si poralgunacircunstanciadichosconocimientossonrequeridos,sepuedenconsultarenelcursode Matemticas Bsicas,el cual esta disponible para cuando sea requerido. Cada temtica tiene unos principios, se presentan sus propiedades, sus teoremas, axiomas, que soportan sufundamento.Tambinseexponenejemplosmodelosconsurespectivodesarrolloqueilustranla profundizacindelasmismas,finalizandoconejerciciospropuestos,quepresentansurespuesta,para que los estudiantes puedanconfrontar lo realizado con lo requerido.( )=|||

\|= +nkk k nnb aknb a03 Para buscar una buena comprensin de los conocimientos, es pertinente desarrollar la metodologa que la UNAD proponeen su modelo acadmico-pedaggico,el cual describe diversosmomentos desdeel trabajo independiente, trabajo en pequeo grupo colaborativo, tutoras de pequeo grupo e individuales y los encuentros de gran grupo, cada uno son muy importantes y buscan que el estudiantedesarrolle su proceso de formacin de manera dinmica y participativa. Alfinaldecadaunidadsepresentaunaautoevaluacinqueesdondeelestudiantedemuestrahasta dondehadesarrolladosuscompetenciascognitivas,metacognitivas,argumentativas,propositivasydems,dndoletransitoalaprofundizacinytransferenciadelosconocimientosenelreaquenos ocupa. No sobra hacer nfasis que para aprender matemticas, es fundamental la motivacin intrnseca,querer hacerlo, tener paciencia, algo de perspicacia, sentido lgico y muchas ganas de enfrentarse a ms y ms retos. Es claro que aprender matemticas no es fcil, pero desarrollando un buen trabajo acadmico, utilizando los lineamientos que se han presentado, el grado de comprensine interiorizacin de los conocimientos en dicha rea ser muyalto. Animo y muchos xitos en tan interesantes temticas! 4 TABLADECONTENIDO UNIDAD UNO: ECUACIONES E INECUACIONES CAPITULO UNO: Las Ecuaciones ....................................................5 Introduccin .........................................................................................6 Objetivo General y Objetivos Especficos ...........................................6 Ecuaciones de Primer Grado ..............................................................7 Leyes de Uniformidad .........................................................................7 Ley de Producto Nulo ..........................................................................8 Ecuaciones de Primer Grado con Una Incgnita ................................8 Ecuaciones de Primer Grado con Dos Incgnitas ..............................14 Ecuaciones de Primer Grado con Tres Incgnitas .............................31 Ecuaciones de Primer Grado: Problemas de Aplicacin ....................41 Ecuaciones de Segundo Grado ..........................................................57 Ecuaciones de Grado n ( Para n par) .................................................64 Problemas con Ecuaciones de Segundo Grado .................................67 Ecuaciones de Tercer Grado .............................................................. 72 Ecuaciones Polinmicas....................................................................76 Ecuaciones Racionales .......................................................................83 Fracciones Parciales ...........................................................................87 Ecuaciones con Radicales ..................................................................94 CAPTULO DOS: Las Inecuaciones Introduccin .........................................................................................96 Objetivo General y Objetivos Especficos ...........................................96 Desigualdades ....................................................................................97 Intervalos .............................................................................................98 Inecuaciones Lineales .........................................................................103 Inecuaciones Racionales ....................................................................106 Inecuaciones con Dos Incgnitas .......................................................114 Inecuaciones Cuadrticas..................................................................122 Inecuaciones Mixtas ...........................................................................126 Problemas de Inecuaciones con Una Variable ...................................130 Problemas de Inecuaciones con Dos Variables ..................................134 Ecuaciones e Inecuaciones con valor Absoluto ..................................138 Valor Absoluto .....................................................................................138 Ecuaciones con valor Absoluto ...........................................................139 Inecuaciones con Valor Absoluto ........................................................141 5 UNIDADUNO ECUACIONESEINECUACIONES6 CAPTULO UNO: LAS ECUACIONES INTRODUCCIN

Atravsdelahistoria,lasecuacioneshansidodegranimportanciaenlasMatemticasyotras ciencias,desdelosbabilonios,pasandoporlosegipciosylosgriegos,hastanuestrapoca,las ecuaciones han sido el pan de cada da para resolver problemas donde se requiere saber el valor de una incgnita.

Lasecuacionessonigualdadesquesehacenverdaderasparavaloresespecficos,porejemplo:Si tenemos:2x+5=9,sedebebuscarelvalordexquealmultiplicarlopor2ysumadocon5nos resultenueve.Esasqueparax=2,siloreemplazamosenlaigualdad2(2)+5=9,staser verdadera.Entonces,resolverunaecuacineshallarelvalorovaloresdelaincgnitaquehagan verdaderadicha igualdad.Asuvez, lassolucionespuedenserrealesoimaginarias,segnel caso. Por ejemplo si tenemos x2 4 = 0, se puede verificar que los valores que puede tomar la incgnita son x = 2 y x = -2. Pero si se tiene x2 + 4 = 0, la solucin no es real,ya que NO existen nmero real que alelevarloalcuadradoysumadocon4resultecero,luegolasolucinesimaginarai 2 y- i 2 .(Recordemos los nmeros imaginarios del curso de Matemticas Bsicas). Existendiferentesclasesdeecuaciones,segnelgradodelpolinomioqueladescribe,segnel nmerodevariables,segneltipodecoeficientes.Deacuerdoalgradodelpolinomio,existen ecuacionesdeprimergrado,desegundogrado,etc.Deacuerdoalnmerode variables,setienen ecuacionesdeunavariable,ecuacionesdedosvariables,etc.Segneltipodecoeficientes,se tienen ecuaciones de coeficientes enteros, de coeficientes racionales, de coeficientes reales. Para resolver ecuaciones,existen diversas tcnicas matemticas que depende del tipode ecuacin, pero siempre se debe tener presente el principio de operaciones opuestas: Suma Resta, Producto Cociente, Potenciacin radicacin,potenciacin Logaritmacin. Paraunelbuendominioenlaresolucindeecuaciones,serequieremuchonimo,paciencia, desarrollar diversos y un nmero adecuado de ejemplos modelos. Objetivo general: Que los estudiantes identifiquen claramente las ecuaciones, su clasificacin, las tcnicas de resolucin segn el tipo de ecuacin yla forma de plantearlasen situaciones descriptivas. Objetivos Especficos: 1.Resolver adecuadamente ecuaciones de primer grado, de segundo grado, de tercer gradocon una incgnita.2.Resolver sistemas de ecuaciones de dos y tres incgnitas porlos mtodosgrafico, eliminacin y determinantes. 3.Solucionar problemas modelos utilizando como modelo matemtico las ecuaciones.

= x7 ECUACIONES DE PRIMER GRADO Entender las ecuaciones requiere conocer claramente algunos conceptos que son comunes atodo tipo de ecuacin: Constante:Sontrminosquetomanvaloresfijos,enlgebraseutilizanporlogenerallas primerasletrasdelalfabeto:a,b,c,Todoslosnmerosenesenciasonconstantes,por ejemplo en la expresinc bx ax + +2los trminos a, b, c son constantes. Variable:Seconsideratodoaquelloquepuedecambiar,enMatemticasporlogeneralse utilizan las ltimas letras del alfabeto x, y, z w, para el caso de c bx ax + +2, la variable es x, otro caso por ejemplo,la expresin:02 2= + + cy bxy ax , las variables son x e y. A manera de ejercicio identifique las variables y constantes en las siguientes ecuaciones, ser un ejercicio muy motivante. 0 7 5 42 3= + z y x 02 3= + + pw by ax Las ecuaciones de primer grado se pueden clasificar de la siguiente manera: Ecuaciones de primer grado con una incgnita: 2 5 4 + = x xEcuaciones de primer grado con dos incgnitas: 0 3 4 = y xEcuaciones de primer grado con tres incgnitas:1 2 6 7 = + z y x As sucesivamente. Porlogeneral,lasolucindeecuacionesseenmarcadentrodelconjuntodelosreales,exceptuando los casos donde la solucin no es real, como el caso donde la solucin presenta races con ndice par de cantidades negativas. Leyes de Uniformidad: Espertinenterecordarlasleyesdeuniformidad,quesonmuytilesalahoraderesolver ecuaciones. SUMA Y PRODUCTO: Sean a, b, c y d nmeros reales; tal que a = byc = d. entonces: 1.a + c = b + d 2.a + c = b + c 3.a x c =b x d 4.a x c = b x c = + x8 RESTA Y COCIENTE: Sean a, b, c y d nmeros reales; tal que a = byc = d. entonces: 5.a - c = b - d 6.a - c = b - c 7.a / c =b / dPara c 0 8.a / c = b / c Para c 0 POTENCIA Y RAIZ: Sean a, b, c y d nmeros reales; tal que a = byc = d. entonces: 9.ac = bd

10. ca = da 11. c cb a= Paraa 0adems c Z+yc 2 Ley del producto nulo: Sean a y b nmeros reales, entonces: 12. a x b = 0si, y solo si,a = 0b = 0 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA: Las ecuaciones de primer grado con una incgnita son de la formac b ax = + , siendo a, b y c las constantes y x la variable.El valor de a puede ser entero, racional o real, pero nunca cero.Ejemplosdeestetipodeecuaciones:0 5 3 = x quecorrespondeaunaecuacinde coeficienteenteroyexpresinentera.05231= x ,ecuacindecoeficienteracionaly expresin entera. 852 3= x, ecuacin de coeficiente entero y expresin racional. Lasecuacionesdeprimergradosecaracterizanporqueaincgnita(variable)tienecomo exponentelaunidad;porlocual,lasolucinesnica,estoquieredecirquestetipode ecuaciones tienen Una Sola solucin. Resolucin:Lasecuacionesdeprimergradoconunaincgnita,sepuedenresolverpor diversos mtodos,se analizarn algunos,siendo el mtodo axiomtico el ms recomendado. METODO EGIPCIO: Conocido tambin como la Regula Falsa.En algunos libros egipcios y chinos, se ha encontrado un mtodo para resolver ecuaciones llamado Regula Falsa o Falsa Posicin.Elmtodoconsistequeapartirdelaecuacindada,seproponeunasolucin tentativa inicial, la cual se va ajustando hasta obtener la solucin ms aproximada. Elprincipioesquedadalaecuacin,ax=bsuponemosunasolucintentativaxo, reemplazandoenlaecuacinas:axo=b,comonosecumpleestasolucin,sehaceun 9 ajustedelasiguientemanera: ooxbbx =1lacualesunasolucindelaecuacinoriginal,ya que:b xbbaoo=((

Siendo boel valor obtenido para xo

Algunos ejemplos nos pueden aclarar este mtodo. Ejemplo 1: Resolver la ecuacin:124= + xxSolucin: Proponemos como4 =ox , luego:12 5 12444 = = + lo cual NO es cierto. Se hace el ajuste as: 5121= xahora: 5484512= x Esta es la solucin. Ejemplo 2: Dada la ecuacin 852 = + xx Hallar el valor de x que haga verdadera la igualdad. Solucin. Solucin tentativa inicial 5 =ox , reemplazamos: 8 11 855) 5 ( 2 = = + . Como No es cierto se hace el ajuste: 1181= x . Ahora: 11405118= xEsta es la solucin.Si se verifica: tenemos. 85540 400855401180851140)1140( 2 =+ = + = + Lo cual es verdadero. Este mtodo a pesar de ser muy rudimentario, es efectivo en casos donde se presente este tipo de ecuaciones. METODOAXIOMATICO:Eselmtodomsutilizadoenlaactualizad,elcualutilizalas propiedadesalgebraicasylasleyesdeuniformidad,todoestoderivadodelosaxiomasde cuerpo. Aclaremos que los axiomas epistemolgicamente son Verdades Evidentes y a partir destas,sedesarrollatodoelconocimiento.Algunosaxiomasquesonimportantespara comprender la solucin de ecuaciones. Axiomas de Cuerpo: Sean x,y,z, valores definidos, dentro del conjunto de los Reales Primer Axioma: x+y= y+x (Propiedad conmutativa) Segundo Axioma:x+y+z= (x+y)+z=x+(y+ z)(Propiedad Asociativa) Tercer Axioma: x (y+z) =x*y+x*z (Propiedad Distributiva) Cuarto Axioma: x+0= xy x*1 = x(Propiedad Modulativa de la suma y producto) 10 Quinto Axioma: x+y=0,y+x= 0(Propiedad del inverso. Todo nmero real tiene unInverso, excepto el cero). Para x, su inverso es puede escribir x, igual para y. Sexto Axioma:x*y = 1, y*x = 1Para x 0.(Propiedad del recproco, todo nmero real tiene un recproco).Para x, su recproco se puede escribirx-1 = 1/x, igual para y. NOTA: El smbolo *indica multiplicacin. Con los argumentos anteriores, se puede comenzar el anlisis del desarrollo de ecuaciones. Todaecuacindeprimergradoconunaincgnitasepuedeescribirdelaformac b ax = + , donde a, b, ycson constantes y adems a 0. Lossiguientesejemplos,buscanilustrarlaresolucindeecuacionesdestetipo,utilizando las leyes de uniformidad y los axiomas de cuerpo, explicado anteriormente. Ejemplo 1: Sea la ecuacin0 = + b ax hallar el valor de x que satisfaga la igualdad. Solucin: Comolaideaesdespejarlaincgnita,enestecasox,entoncessedebeeliminar Matemticamente hablando lo que rodeaa dicha incgnita.As lo primero es eliminarb, lo cual se puede hacer aplicando el inverso, ya que todo nmero sumado con su inverso resulta cero. b b b ax = + 0 .Como se puede observar, el valor adicionado se hizo a los dos lados de la ecuacin,estoconelfindequestaNOsealtere.Entonces:b ax = .Ahorasedebe eliminarlaa,estosehaceaplicandoelrecproco,yaquetodonmeromultiplicadoconsu recproco resulta uno. Veamos: ab axa1 1 = .Operando se obtiene: abx = Ejemplo 2: Hallar la solucin de la ecuacin:9 2 6 + = x x Solucin: Comoestamosutilizandoelmtodoaxiomtico.Porlogeneral,laincgnitaseorganizaal ladoderechoylasconstantesalladoizquierdo,entoncesdejemoslaincgnitaallado derecho, para esto eliminmosla del lado izquierdo, lo cual se hace adicionando -2x a los dos ladosdelaecuacin.9 2 2 2 6 + = x x x x ,operandoseobtiene:9 3 6 = x .Ahora eliminemosel-6delapartederechaparaquesoloquedelaincgnita.6 9 3 6 6 = x , operamos para obtener, 3 3 = x . Finalmente aplicamos el recproco de 3 para que la incgnita quede completamente despajada.)31( * 3 )31( * 3 = x , operandose obtiene: 11 1 = x .La solucin de la ecuacin propuesta. Sireemplazamoselvalordex=-1,enlaecuacinoriginal,sedebeobtenerunaigualdad. 7 7 9 ) 1 ( 2 ) 1 ( 6 9 2 6 = + = + = x x Ejemplo 3: Resolver la ecuacin:212=+ xx Solucin: Recordandolasleyesdeuniformidad:b c d adcba* * = = .Seaplicaparaelcasoque tenemosEsta es el camino para convertir una expresin racional en entera. Veamos:2 2 ) 2 ( * ) 1 ( ) 2 ( * ) (212+ = + = =+x x x xxx. Sumemos x a los dos lados de la ecuacin, por qu? 2 2 2 = + = x x x x x . As la solucin es x = 2. Reemplazamos la solucin en la ecuacin original:212 22212=+ =+ xx Operando: 2121= Seobservaquelaigualdadsecumple.Esteltimoprocesoesloqueseconoce comnmente como la comprobacin de la solucin. Es pertinente analizar los pasos realizados, para ir aprendiendo los principios que soportan la resolucin de ecuaciones. Ejemplo 4: Hallarel valor de la incgnita que satisfaga la ecuacin:4 28 31 47 6+=+tttt Solucin: Vamos a resolver la ecuacin, pero se recomienda que usted estimado estudiante, identifique qu principios fueron aplicados en cada paso. ) 1 4 )( 8 3 ( ) 4 2 )( 7 6 (4 28 31 47 6 + = + +=+t t t ttttt ) 8 29 12 ( ) 28 10 12 ( ) 1 4 )( 8 3 ( ) 4 2 )( 7 6 (2 2 + = + = + t t t t t t t t A la ltima ecuacin sumamos: 12t2

8 29 28 10 8 29 12 12 28 10 12 122 2 2 2 = + + = + t t t t t t t tSumamos -29t 8 28 39 8 29 29 28 29 10 8 29 28 10 = = = t t t t t t t Adicionamos 28 a la ecuacin: 12 20 39 28 8 28 28 39 = + = + t t Finalmente: 3920)391( 20 39 )391( = = t t .Estimado estudiante comprobar esta solucin. Ejemplo 5: Resolver: ) 3 ( 4 ) 6 2 ( 8 = x x Solucin: 12 4 48 16 ) 3 ( 4 ) 6 2 ( 8 = = x x x x 12 48 12 12 4 4 48 4 16 = = x x x x x

36 12 48 12 48 48 12 12 48 12 = + = + = x x x 123636 )121( 12 )121( = = x x , simplificando: x = 3: Enesteejemplo,nosedieronmayoresdetallesdelasolucin,Yaquelaideaesquelos estudiantes analicen y deduzcan todo el procedimiento. Ejemplo 6: Muestre que la ecuacin 13213= + x xxNo tiene solucin. Solucin Aplicando los principiosestudiados anteriormente. 3 ) 1 ( 2 3 ) 1 (13) 1 ( 2 ) 1 (13= + = + x x xxx xxx 3 2 5 3 2 2 3 3 ) 1 ( 2 3 = = + = + x x x x x 5 5 2 3 2 2 5 3 2 5 = + = + = x x x Finalmente x = 1. Sicomprobamoslasolucin. 1 1321 1) 1 ( 313213= += + x xxObservamosquesepresenta unaindeterminacin,yaquesetieneuncocientecondenominadorcero.Asqueda demostrado que la ecuacin NO tiene solucin. 13 REFLEXIN:Entodoslosejemplospropuestos,laresolucinsecentraendespajarla incgnita, lo cual se hace utilizando los principios, leyes y axiomas matemticos. EJERCICIOS Enlosejerciciospropuestos,resolverlaecuacinpasoapasoidentificandoelaxioma, propiedad o ley matemtica utilizada. 1.1 2 ) 2 ( 3 = x x Rta: x = 7/5 2.143621+ = x x Rta: x = -14 3. 21 4 6= +x xRta: x = 20 4. 2 2) 1 ( 7 6 + = + x x x Rta: x = 2 5. ) 2 )( 5 (105322 +++= x x x xRta: x = 6 6.xx =+ 7325 Rta: x = 4 7.22 43 241 =++ y y yRta: y = -6 8.xxxx29 6 = + Rta: x = 1 9.06 368 48== y yRta: y = 0 10. Cuanto debe valer en la expresin 3y - 3 = 3y 5, para que se cumpla la igualdad.

14 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCGNITAS: Las ecuaciones de primer grado con dos incgnitas son una herramienta muy importante para resolverproblemasquesepresentanentodaslasreasdelsaber.Enesteapartadose analizarndoscasos.Elprimeroesdondesetieneunaecuacincondosincgnitasyel segundo es cuando se tienen dos ecuaciones con dos incgnitas. PRIMER CASO: Una Ecuacin Con Dos Incgnitas: ECUACIONESDIOFNTICAS:DiofantodeAlejandra,del sigloIIIdenuestraera,desarrollunasecuacionesque trabajansobreelconjuntodelosenterosysondeprimer gradocondosincgnitas.Enhonorasunombreseles conoce como Ecuaciones Diofnticas. La forma general de estas ecuaciones esc by ax = + , donde a,b,csonconstantesypertenecenalconjuntodelos enteros;adems,a0b0.Cuandoa,bycson enteros positivos, la ecuacin tiene solucin entera si y, solo si, el mximo comn divisor de ay b, divide a c. Este tipo deecuacionespuedetenersolucionesinfinitasonopuede tenersolucin.Entonceslasolucinconsisteenhallar ecuacionesgeneradoras(paramtrica)delpar(x,y)que satisfagan la ecuacin propuesta.FUENTE: http://suanzes.iespana.es/diofanto.htm Ejemplo: Para la ecuacin2x + 3y = 8 cual ser el par (x, y) que satisfaga dicha ecuacin? Solucin: Por simple inspeccinse puede ver que x = 1 yy = 2, satisfacen la igualdad.2(1) + 3(2) = 8. Entonces la solucin (x, y) = (1, 2) Pero se puede encontrar ms soluciones, por ejemplo (4, 0), (-2, 4), -5, 6), como se dijo al principio, pueden existir infinitas soluciones. Solucin General de Ecuaciones diofnticas: Pararesolver este tipo de ecuaciones, vamos a analizar dos procedimientos. 1.Mtodo paramtrico: El principioes buscar ecuaciones para x al igual que para y,por medio de un parmetro, que generalmente se designa con t, asse obtiene dos ecuaciones,bt a x + = dt c y + = 15 Llamadas solucin general, sta se denomina as porque satisface para cualquier par (x, y). A partir de esta se pueden obtener soluciones particulares; es decir, para un valor t = k Elprocedimientoparaobtenerlasolucingeneralnoestareafcil,laintencinesquese pueda a partir dela solucin general, obtener soluciones particulares.Los curiosos pueden investigarenlibrosdeMatemticasDiscretasenfuentesdondesetrabajelasecuaciones diofnticas. Veamos algunos ejemplos que nos aclaren este mtodo. Ejemplo 1: A partir de la ecuacin 2x + 3y = 8,hallar soluciones particulares, dada la solucin general. Solucin: Por algoritmo se puede establecer que la solucin general es de la forma: t x 3 8+ = yt y 2 8 = A partir de esta solucin, se puede obtener soluciones particulares. - Para t = 2.x = -8+3(2) = -2 y = 8 2(2) = 4 La solucin particular para t = 2 es el par (-2, 4) -Para t = 4. x = -8 + 3(4) = 4 y = 8 2(4) = 0 La solucin para t = 4 es el par (4, 0) As sucesivamente para cualquier t entero. Ejemplo 2: Hallar la solucin para t = 5 y t = 8,dada la ecuacin diofntica 3x + 4y = 50. Solucin. Recordemos que se debe conocer la solucin general, la cual es: t x 4 50 + = y t y 3 50 =Ahora hallamos la solucin para los valores del parmetro dados. t = 5: x = -50 + 4(5) = -30,y = 50 3(5) = 35 Solucin (-30, 35) t = 8: x = -50 + 4(8) = -18,y = 50 3(8) = 26 Solucin (-18, 26)

2. Mtodo Despeje: El mtodo consiste en hallar la solucin general, despejando una de las incgnitas y dejando la otra como parmetro; es decir, si despejamos x; y sera el parmetro y si despejamos y, entonces x sera el parmetro. 16 Para la ecuacin:c by ax = + .Se pueden obtener dos ecuaciones particulares. aby cx= .Dando valores a y, se obtiene el valor de x. bax cy= . Dando valores a x, se obtiene le valor de y. Ejemplo 1: Dada la ecuacin 2x + 3y = 8.Hallar la solucin para x = -2. Solucin: Lo primero es despejar y, dado que conocemos el valor de x. 32 8 xy= . Ahora reemplazamos el valor de x = -2 para obtener el de y. 434 83) 2 ( 2 8=+= = ySolucin particular: (-2, 4) Ejemplo 2: Para la ecuacin x + 3y = 14.Hallar el valor de la incgnita, dado el valor de la otra. a-) x = 2 b-) y = 5 Solucin. Hacemos el despeje correspondiente. a-)314 xy= .Entonces: 432 14== ySolucin: (2, 4) b-)y x 3 14 = . Entonces: 1 ) 5 ( 3 14 = = xSolucin: (-1, 5) 17 EJERCICIOS Resolver los ejercicios por el mtodo ms adecuado, segn los datos dados. Realce todos los pasos necesarios para la respectiva solucin. 1.Dada la ecuacin 4x 5y = 3.Cuya solucin general es: t x 5 2 + =y t y 4 1+ =Hallar las soluciones particulares para t = 1 yt = 2 Rta: t = 1,(7, 5) t = 2(12, 9) 2. Para la ecuacin: 6x + 5y = 2. La solucin general es: t x 5 2 + =yt x 6 2 =Hallar el par (x, y) parat = 4.Rta: (22, -26) 3. Determinar el valor de x, para y = 2, en la ecuacin: 5 4 = y xRta: x = 13 4. Dada la ecuacin:12 6 9 = + y x . Cual ser el valor de x para y = -1. Rta:x = 2

5.Dada la ecuacin: 4x 6y = 6.Cual de las siguientes soluciones generales es la que corresponde a dicha ecuacin. a-)t x 6 6 + =yt y 4 3 + = b-)t x 6 6 =y t y 4 3 = c-) t x 6 4 = y t y 3 4 = Debe hacer el procedimiento adecuado para justificar la respuesta. Rta: a

18 SEGUNDOCASO: Dos Ecuacin Con Dos Incgnitas. Cuando se tiene un sistema de la forma: 2 2 2 2 21 1 1 1 1c y b x ac y b x a= += + Dondea1,a2,b1,b2,c1,c2 son constantes; adems a1 0b1 0Al igual que a2 0b2 0 Sedicequeestamosfrenteaunsistemadeecuacionessimultneas,dondelasolucin obtenida para x e y,debe satisfacer simultneamente las dos ecuaciones.Por consiguiente, resolverunsistemadedosecuacionescondosincgnitas,eshallarunpar(x,y)talqueal reemplazarlo en cualquiera de las dos ecuaciones, la igualdad se cumpla. SistemaConsistente:Unsistema deecuacionesesconsistente,cuando tienealmenos una solucin para cada incgnita. Sistema Inconsistente: ocurre cuando el sistema NO tiene solucin alguna.Es obvio que el trabajo es analizar sistemas consistentes. Existendiversosmtodospararesolversistemasdedosecuacionescondosincgnitas,en este caso vamos a analizar tres. 1. METODOGRAFICO. Elmtodosebasaenqueenelplanodecoordenadasrectangulares,unaecuacindela formaax+by=c,estarepresentadaporunarectacuyospuntossonparejasordenadasde nmeros reales, donde la primera componente corresponde a x y la segunda componente a y.Comosetienedosecuaciones,entoncessedebentenergraficadasdosrectas.Deesta manerasepuedentenertressituaciones:Primero,quelasrectassecortenenunpunto,lo queindicaquelasolucinesnicayserelpuntodecorte.Segundo,quelasdosrectas coincidan, luego hay infinitas soluciones. Tercero, que las rectas sean paralelas, lo que indica es que NO hay solucin. L1 y L2, corresponden a las ecuaciones uno y dos del sistema. 19 El mtodo es adecuado cuando hay soluciones enteras, ya que los puntos de corte son bien definidos.Elprocedimientobsicoconsistenendespejaryenlasdosecuacionesy,darle valores a xpara obtener parejas (x, y),como se realizo en las ecuaciones diofnticas,de tal manera que con dos parejas, que corresponde a dos puntos en el plano(x1, y1)y(x2, y2),se puede graficar una recta (Axioma Euclidiano) Ejemplo 1: Resolver el sistema: 6 55 2 3= = y xy x Solucin: Segn el procedimiento.Para la primera ecuacin: 23 55 2 3= = xy y xTomemos dos valores, por ejemplo x = 3, entonces: y = [5 3(3)]/-2 = 2. El punto es (3, 2) Otro valor x = 5, entonces: y = [5 3(5)]/-2 = 5. El punto es (5, 5) Los puntos para graficar la primera recta son: (3, 2) y(5, 5). Para la segunda ecuacin.6 5 6 5 = = x y y xLos valores: x = 1, entonces: y = 5(1) 6 = -1.Le punto es (1, -1) El otro valor x = 2, entonces y = 5(2) 6 = 4, el punto es (2, 4) Los puntos para graficar la segunda recta son:(1, -1)y(2, 4) Graficamos: Segn la grfica, el punto de corte es (1, -1) Luego la solucin son: x = 1,y = -1.

Ejemplo 2: Dado el sistema de ecuaciones, hallar la solucin correspondiente. 20 8 2 45 2= += +y xy x Solucin: Como en el caso anterior, hacemos los despejes respectivos.x y y x 2 5 5 2 = = +Para x = 1, entonces y = 5 2(1) = 3, el punto es (1, 3) Para x = 4, entonces y = 5 2(4) = -3 el punto es (4, -3) 24 88 2 4xy y x= = +Para x = 2, entonces y = [8 4(2)]/2 = 0, el punto es ( 2, 0) Para x = 3, entonces y = [8 4(3)]/2 = -2, el punto es (3, -2) Graficamos: Comolasrectassonparalelas,nohaypuntosdecorte, por consiguiente el sistema NO tiene solucin. NOTA: En los ejemplos estudiados,los valores dados a x han sido escogidos arbitrariamente, siempre y cuando no se presenten inconsistencias,luego al reemplazarlos en la ecuacinse obtiene el valor de y. 2. METODOPOR ELIMINACIN. Es un mtodo algebraico, cuyo principio es eliminar una incgnita, para obtener el valor de la otra,posteriormente con el valor obtenido, se busca el valor de la primera. Este mtodo se puede desarrollar por tres tcnicas, a continuacin analizamos cada una. REDUCCIN: Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, la tcnica consiste en igualarcoeficientesdeunadelasdosincgnitasyquepresentensignoscontrarios,asse puedeeliminardichaincgnita,obteniendounaecuacinconunaincgnita,cuyaresolucin ya hemos estudiado.Con el valor de la incgnita obtenida, se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones, para obtener el valor de la otra incgnita.21 Ejemplo 1: Resolver el sistema. 40= += y xx y Solucin: Primer organizamos las incgnitas, para que queden las y en una columna y las x en la otra, para poder igualar coeficientes y eliminar la incgnita seleccionada para este fin. 40= += + y xy x Comoyaestnorganizadas,sedebeigualarcoeficientesconsignoscontrarios,perose observaquelaincgnitaxtienecoeficientesigualesysignoscontrarios,luegosepuede eliminar, entonces: 4 2 /40= += += + yy xy x

Despejamos y, entonces: y = 4/2 = 2. Como ya se conoce el valor de y, se toma cualquiera delasdosecuacionesoriginalesysereemplazadichovalor,paraobtenerelvalordex,entones tomemos la primera ecuacin y reemplacemos el valor de y. 2 0 2 0 = = + = + x x y xLa solucin es: (x, y) = (2, 2) Sireemplazamos dichosvaloresenlas dosecuaciones originales,lasigualdadesse deben cumplir simultneamente. Ejemplo 2: Resolver el sistema 5 2 34 = = y xy x Solucin. Paraseleccionarlaincgnitaaeliminar,sepuedetomarcomocriteriolaquetengasigno contrario, pero no es una camisa de fuerza.Para este ejemplo se puede escoger cualquiera delas dos, escojamos x, entonces debemos igualar coeficientes en xycon signo contrario, para esto lo que se hace esmultiplicar la primera ecuacin por -3 y la segunda por 1, luego: 5 2 3) 3 ( 4 ) 3 ( 3 = = y xy x Operando se obtiene:5 2 312 3 3 = = + y xy x

22 Ahora: La solucin para y es -17.Para obtener la solucin en x, reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones originales, escojamos la segunda. 13334 55 34 3 5 ) 17 ( 2 3 5 2 3 = = = + = = x x x y x

La solucin es: (x, y) = (-13, -17) Ejemplo 3: Resolver el sistema 3 6 28 9 4 = = +y xy x Solucin: Como se observa en le sistema, se puede eliminar y, ya que tiene signo contrario, solo faltara igualarloscoeficientes,loqueseconsiguemultiplicandolaprimeraecuacinpor2yla segunda por 3.3 ) 3 6 2 (2 ) 8 9 4 ( = = +y xy xLo que equivale a:9 18 616 18 8 = = +y xy xOperando: 7 / 149 18 616 18 8= + = = +xy xy xDespejando la incgnita tenemos:x =7/14 = Enseguidadebemoshallarelvalordelaincgnitay,reemplazandoxenunadelas ecuaciones originales, tomemosla segunda: 326461 33 6 1 3 6 )21( 2 3 6 2 = = = = = = y y y y x As, la solucin es: (x, y) = (1/2, 2/3) Recordemosquelaverificacincomprobacindelasolucin,sehacesustituyendoenlas ecuaciones originales los valores obtenidos, para comprobar que la igualdad en verdadera. 3 4 18 6 23 ) 3 / 2 ( 6 ) 2 / 1 ( 28 ) 3 / 2 ( 9 ) 2 / 1 ( 4 = = + = = + Se observa que las igualdades son verdaderas, luego la solucin es correcta. 17 /5 2 312 3 3 = + = = + yy xy x23 IGUALACIN: Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, la tcnica consiste en despajarenlasdosecuacioneslamismaincgnita,quedandoelsistemaentrminosdela otra,seguidoseigualanlasexpresionesobtenidas.Endichasexpresiones,atravsde procesos matemticos se busca el valor de la incgnita presente, el cual; como en el caso de la reduccin,se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originalespara hallar el valor de la otra incgnita. Ejemplo 1: Resolver el sistema dado a continuacin: 48= = +y xy x Solucin: Se puede despajar la incgnita que se desee, para este caso vamos a despejar x en las dos ecuaciones.Para la primera: x1 = 8 y Para la segunda: x2 = 4 + y Ahora, igualamos las dos expresiones, ya quex1 = x2

Por qu?Analcelo con sus compaeros. Entonces: 8 y = 4 + y, como ya sabemos trabajar este tipo de ecuaciones, el proceso para despajar y ser entendido.2y = 4, luegoy = 4/2 = 2. Ahorareemplazamoselvalordeyencualquieradelasecuacionesoriginales,buenoesta expresinseharepetidovariasveces,laideaesqueustedestimadoestudiantelaasimile para que a medida que sigamos en el estudio de este tipo de ecuaciones,llegar el momento de NO repetir, pero si saber que se esta haciendo. Tomemos la primera ecuacin:6 8 2 8 = = + = + x x y x La solucin ser: (x, y)=(6,2) Por favor realicen la verificacin de dicha solucin, es un trabajo motivante. Ejemplo 2: Hallar el valor de las incgnitas, para el sistema dado a continuacin. 2578 937 5 12= = y xy x 24 Solucin: Despajamos x. Para la primera: 125 375 37 12 37 5 12yx y x y x+= + = = Para la segunda: 1816 57216 57825792578 9yxyy x y x+= += + = = Se igualan las dos expresiones obtenidas: ) 16 57 ( 12 ) 5 37 ( 181816 57125 37y yy y+ = + +=+ Operando y simplificando:666 + 90y = 684 + 192y. Tenemos una ecuacin con una incgnita.90y 192y = 684 666Operando:-102y = 18, luego y = -18/102 = - 3 / 17 Ahora sustituimos y = - 3 / 17, tomemosla primera ecuacin. 17 / 614 12 17 / 15 37 12 37 ) 17 / 3 ( 5 12 37 5 12 = = = = x x x y x Despejamos la incgnita: x = 614 / 204 = 307 / 102La solucin: (x, y) = (307 / 102,- 3 / 17) SUSTITUCIN:Paraunsistemadedosecuacionescondosincgnitas,lasustitucin consiste en despejar una de las incgnitas en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra ecuacin.Dichodeotramanera,sidespejamoslaincgnitaxenlaprimeraecuacin,se debe sustituir en la segunda ecuacin viceversa, igual si fuera la otra incgnita. Como siempre los ejemplos modelos, no permiten ilustrar claramente el mtodo de resolucin. Veamos. Ejemplo 1: Resolver el sistema dado en seguida:. 5 2 34 = = y xy x Solucin: Segnlateoradelmtodo,debemosdespejarunadelasincgnitasenunadelas ecuaciones,elegimos y en la primera ecuacin. 4 4 4 + = = = x y x y y x Ahora reemplazamos y en la segunda ecuacin. 5 ) 4 ( 2 3 5 2 3 = + = x x y x. Aqu tenemos una ecuacin con una incgnita, lo cuala estas alturas ya sabemos resolver.3 5 8 2 3 5 ) 4 ( 2 3 = = = + x x x x x 25 Reemplazamos el valor de xen la segunda ecuacin:72149 5 2 5 2 ) 3 ( 3 5 2 3 == = = = y y y y xLa solucin: (x, y)=(3, 7) Ejemplo 2: Resolver el sistema. 1355623553= = +y xy x Solucin: Pararesolverestesistema,esaconsejableprimeroconvertirlasecuacionesaexpresin enteras.Veamos: 30 25 9 21525 923553= + =+ = + y xy x y x 15 25 18 11525 1813556= = = y xy x y x Entonces,segnelmtodo,despajamosxenlaprimeraecuacinylareemplazamosenla segunda, recordemos que tambin se puede hacer lo contrario.925 3025 30 9 30 25 9yx y x y x= = = +60 15 75 15 25 50 60 15 25925 3018 15 25 18 = = = ((

= y y y yyy xDespajando: y = - 45 / - 75 = 3 / 5 Ahora, tomemos la primera ecuacin para reemplazar y, as obtener el valor de x. 15 30 9 30 15 9 30 ) 5 / 3 ( 25 9 30 25 9 = = + = + = + x x x y xDespejando.x = 15 / 9 = 5 / 3 Solucin: (x. y) = (5/3, 3/5) Ejemplo 3: Hallar la solucin del sistema dado. 3 2 41 2= += +y xy x Solucin: Siguiendo la metodologa para este mtodo, tenemos: x y y x 2 1 1 2 = = + Reemplazando: 3 2 3 4 2 4 3 ) 2 1 ( 2 4 3 2 4 = = + = + = + x x x x y x 26 Laltimaigualdadnoesverdadera,luegoNOhaysolucin,porconsiguienteelsistemano tiene solucin, es un sistema inconsistente. EJERCICIOS Resolver los siguientes sistemas por el mtodo de reduccin. 1. 12 2 313 5= + = y xy xRta: x = 2,y = 3 2.10 36 2 = = +y xy xRta: x = -2,y = 4 3.18213573243= = +y xy xRta: x = 20,y = -12 Resolver los siguientes sistemas por el mtodo de Igualacin. 4. 3 2 32 4 2= + = y xy x Rta: x = ,y = 5. 81932431076152= = y xy xRta: x =,y = -3 Resolver los siguientes sistemas por el mtodo de Sustitucin 6. 6 2121 = = y xy xRta: NO hay solucin 7.34 3611 1= += + y xy xRta:x = 3,y = 2 27 3. METODOPOR DETERMINANTES Determinante:Undeterminanteesunarreglorectangulardefilasycolumnas,dondelos elementos de ste son los coeficientes de las ecuaciones que conforman el sistema. Las filas son: (a1 b1)y(a2 b2) Las columnas: (a1 a2) y(b1 b2) Eltamaodeldeterminantelodaelnmerodefilasydecolumnas.As pueden haber determinantes de 2x2, 3x3, 4x4, etc. Resolverundeterminanteeshallarelvalordelmismo,paraelcasodesistemasdedos ecuaciones con dos incgnitas,se requiere trabajar con determinantes de 2x2. Donde D es el valor del determinante. Ecuaciones por Determinante: Pararesolverdosecuacionescondosincgnitas,KRAMERpropusounatcnicaque podemos resumir as: Sea el sistema: Se despeja cada incgnita de la siguiente manera:

Eldeterminantedeldenominador,selellamadeterminantedecoeficientes,queescomn para todas las incgnitas. La solucin ser el cociente de los dos determinantes, para cada incgnita. 2 21 1b ab a1 2 2 12 21 1* * b a b ab ab aD = =2 2 2 21 1 1 1 1c y b x ac y b x a= += +2 21 12 21 1b ab ab cb cx =2 21 12 21 1b ab ac ac ay =28

Solucin: Ejemplo 1: Resolver el sistema 6 55 2 3= = y xy x Solucin: Se organizan los determinantes. Solucin para la primera incgnita x = 1. Solucin para la segunda incgnitay = -1 Ejemplo 2: Resolver el sistema siguiente. 4 5 26 3 4= + = y xy x Solucin: Como ya se conoce le procedimiento general, procedamos as. 1 2 2 11 2 2 1* ** *b a b ab c b cx=1 2 2 11 2 2 1* ** *b a b ac a c ay=7710 312 5) 2 ( 5 ) 1 ( 3) 2 ( 6 ) 1 ( 51 52 31 62 5=+ + = ==x xx xx7710 325 18) 2 ( 5 ) 1 ( 35 5 6 31 52 36 55 3=+ = ==x xx xy14426 2012 30) 3 ( ) 2 ( 5 4) 3 ( 4 5 65 23 45 43 6=+= ==x xx xx29 As x = 3 Solucin para y = 2 Ejemplo 3: Hallar el valor de x e y en el sistema 6 4 78 4 7= += +y xy x Solucin: El valor de x es indeterminado, ya que la fraccin tiene como denominador cero. As,el sistema NO tiene solucin, es inconsistente. 14286 2012 16) 3 ( ) 2 ( 5 46 ) 2 ( 4 45 23 44 26 4=+= ==x xx xy0828 2824 324 7 4 74 6 4 84 74 74 64 8=== =x xx xx30 EJERCICIOS Identificar el valor de en cada determinante,de tal manera que la igualdad se cumpla. 1. 1234 2=Rta: = 12 2.1345 3=Rta: = -5 ResolverlossistemasdeecuacionespropuestosporelmtododeKramer;esdecir, utilizando determinantes. 3.12 3 213 5= += y xy xRta: x = 3,y = 2 4.12 4 524 6 3= += y xy xRta: x = 4,y = -2 5.y xxy2 8 331 2+ =+ =Rta: x = 2, y = -1 6. 52 4 1213 3 = + = q pq pRta: p = 5,q = 2 7.15 423 2= = +y xy xRta: x = - 22 / 7, y = - 11 / 5 31 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON TRES INCGNITAS. Conlosconocimientosadquiridosenelapartadoanterior,ser mssencilloabordarelque sigue, ya que los principios son similares, solo que para este caso se trata de ms ecuaciones y ms incgnitas.Para los sistemas de ste tipo, se van a analizar dos mtodos. PRIMERMTODO: SOLUCIN POR ELIMINACIN. Cuando se tiene un sistema de la forma: 3 3 3 32 2 2 21 1 1 1d z c y b x ad z c y b x ad z c y b x a= + += + += + + Donde a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3son constantes. Sedicequeestamosfrenteaunsistemadeecuacionessimultneas,dondelasolucin obtenida para x,y, zdebe satisfacer simultneamente las tres ecuaciones.Por consiguiente, resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas, es hallar valores especficos para(x, y, z) tal que al reemplazarlo en cualquiera de las tres ecuaciones, la igualdad se cumpla. Un esquema sencillo que nos ayuda a comprender el mtodo. Primero: Segundo: La mejor forma de comprender el mtodo es con ejemplos modelos. Ejemplo 1: Resolver el sistema dado por Eliminacin.204= + = += + +z y xz y xz y x Tres ecuaciones con tres incgnitasDos ecuaciones con dos incgnitasUna ecuacin con una incgnita Con la primera solucin Se reemplaza en una de las ecuaciones de dos incgnitas, obteniendo la segunda solucin Con las dos soluciones, se reemplaza en una de las ecuaciones con tres incgnitas, para obtener la tercerasolucin. 32 Solucin: Primero enumeremos las ecuaciones para hacer ms fcil su identificacin. ) 3 ( 2) 2 ( 0) 1 ( 4= + = += + +z y xz y xz y x Segn el esquema debemos a partir de las tres ecuaciones, obtener dos ecuaciones con dos incgnitas, lo que se hace de la siguiente manera. Tomemos las ecuaciones(1)y(2)y eliminemos la incgnita z, pero puede ser una de las otras incgnitas. . ) 4 ( 4 / 2 2) 2 ( 0) 1 ( 4= += += + +y xz y xz y x Observemos que se obtiene una nueva ecuacin (4) que es de dos incgnitas. Ahora tomamos las ecuaciones (1) y (3),[pero puede ser tambin (2) y (3)] y eliminamos la misma incgnita que se elimin anteriormente; es decir, z.

Entonces: Las ecuaciones (4)y(5) tendrn a lo ms dos incgnitas. En este caso la ecuacin (5) solo tiene una incgnita, luego despejamos y se puede obtener su valor.2y =2,entonces: y = 1.Primera solucin. Paralasegundasolucin,reemplazamosyenlaecuacin(4),yaqueestasolotienedos incgnitas y se conoce el valor de una de ellas.Entonces: 1 2 2 2 2 4 2 4 ) 1 ( 2 2 4 2 2 = = = = = + = + x x x x y xLa segunda solucin es x = 1. Para la ltima solucin; es decir, la incgnita z, se reemplaza en cualquiera de la ecuaciones originalesel valor de x e y, asqueda resuelto el sistema. Tomemos la ecuacin (1), (pero puede ser una de las otras, no lo olvidemos) 2 2 4 4 2 4 ) 1 ( ) 1 ( 4 = = = + = + + = + + z z z z y x La tercera solucin z = 2. La solucin total: (x, y, z) = (1, 1, 2) Ejemplo 2: Resolver por eliminacin el sistema dado a continuacin. ) 5 ( 2 / 2 /) 3 ( 2) 1 ( 4= + = + = + +yz y xz y x) 3 ( 2) 1 ( 4= + = + +z y xz y x33 6 27 212= += + = + +z y xz y xz y x Solucin: Recordemos que para facilitar el proceso debemos enumerarlas. ) 3 ( 6 2) 2 ( 7 2) 1 ( 12= += + = + +z y xz y xz y x Tomemos (1) y (2) y eliminemos la incgnita y, ya que tiene signos contrarios y esto facilita su eliminacin, pero no olvidemos que se puede eliminar cualquiera de las otras incgnitas. ) 4 ( 19 2 / 3) 2 ( 7 2) 1 ( 12= += + = + +z xz y xz y x Ahora se toma (2) y (3), pero como se ha venido comentando, puede ser (1) y (3).Se debe eliminar la misma incgnita; es decir, y.Entonces como tienen signos contrarios solo se debe igualarcoeficientes,loquesehacemultiplicandolaecuacin(2)por2ylaecuacin(3)se deja igual. Entonces: Como se puede ver, se obtienen dos ecuaciones con dos incgnitas (4) y (5).La solucin se puede hacer los cualquiera de los mtodos estudiados.Usemos igualacin: Para la ecuacin (4): 3x + 2z = 19,despejamos z, luego: 23 19 xz=Para la ecuacin (5): 5x + z = 20, tambin despajamos z, luego:x z 5 20 =Ahora igualamos las expresiones y operamos:x x xx10 40 3 19 5 2023 19 = = Como tenemos una ecuacin con una incgnita,se resuelve como se ha aprendido. 10x 3x = 40 19 entonces: 7x = 21,as x = 3 Ahora reemplazamos el valor de x en una de las ecuaciones (4) (5), as se puede obtener el valor de la otra incgnita.Tomemos la ecuacin (5).5x + z = 20, entonces:5(3) + z = 20, luego:z = 20 15 = 5.Por consiguiente z = 5 Finalmente,reemplazamoselvalorsexyzencualquieradelasecuacionesoriginales.Tomemoslaecuacin(3),peroustedespuedentomarotraparaquecomprendanmejorel procedimiento.) 3 ( 6 2) 2 ( 7 2= += + z y xz y x) 5 ( 20 / 5) 3 ( 6 2) 2 ( 14 2 2 4= += += + z xz y xz y x34 x + 2y z = 6, reemplazando tenemos: (3) + 2y (5) = 6, luego:2y - 2 = 6, despejamos la incgnita:422 6=+= y .Luego y = 4 solucin: (x, y, z) = (3, 4, 5) SEGUNDO METODO: SOLUCIN POR DETERMINANTES. Cuandosetieneunsistemadetresecuacionescontresincgnitas,sepresentan determinantesde3x3,conocidoscomodeterminantesdetercerorden.Estonosinducea analizar dichos determinantes, antes de su respectiva aplicacin. Determinantes de tercer orden: Son arreglos de 3 filas y 3 columnas.

Para resolver un determinante de tercer orden hay tres formas diferentes, veamos: 1. Productos Cruzados: Se puede ver esquemticamente el procedimiento. Sea el determinante: Solucin:[ ] [ ] b a A = Donde: ( ) ( ) ( )1 3 2 3 2 1 3 2 1z y x x z y z y x a + + = ( ) ( ) ( )1 2 3 3 1 2 1 2 3x z y z y x z y x b + + = 2.MtododeSarrus:Consisteenaumentarlasdosprimerasfilasacontinuacindel determinanteoriginalyhacerproductoscruzados.ParaeldeterminanteAdefinido anteriormente, el nuevo determinante, propuesto por sarrus es: 2 2 21 1 13 3 32 2 21 1 1'z y xz y xz y xz y xz y xA =Solucin del determinante: [ ] [ ] = ' A 3 3 32 2 21 1 1z y xz y xz y xA =3 3 32 2 21 1 1z y xz y xz y xA =35 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3 1 2 2 3 1 1 2 32 1 3 1 3 2 3 2 1z y x z y x z y xz y x z y x z y x+ + =+ + = 3. Mtodo de Cofactor: La siguiente ilustracin explica el procedimiento. La ltima parte se resuelve como determinante de 2x2: ( ) ( ) ( )2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1y x z x z z x z x y z y z y x A + = Ejemplo 1: Resolver por productos cruzados y por Sarrus el siguiente determinante. 3 2 24 1 31 3 2= D Solucin: a-) Por productos cruzados. D = [a] [b] [a] = [(-2)(-1)(3) + (3)(-2)(1) + (3)(4)(2)] = 6 6 + 24 = 24 [b] = [(2)(-1)(1) + (3)(3)(3) + (-2)(4)(-2)] = -2 + 27 +16 = 41 D = 24 41 = -27 b-) Por Sarrus. [ ] [ ] = = '4 1 31 3 23 2 24 1 31 3 2' D D[ ][ ] 41 27 16 2 ) 3 )( 3 )( 3 ( ) 4 )( 2 )( 2 ( ) 1 )( 1 )( 2 (24 24 6 6 ) 4 )( 3 )( 2 ( ) 1 )( 2 )( 3 ( ) 3 )( 1 )( 2 (= + + = + + == + = + + = D = 24 41 = -27 3 32 213 32 213 32 213 3 32 2 21 1 1z xy xzz xz xyz yz yxz y xz y xz y xA + =36 Ejemplo 2: Desarrollar el siguiente determinante por Sarrus y por cofactor. 2 4 23 2 10 3 4= P Solucin: a-) Por Sarrus. [ ] [ ] = = '3 2 10 3 42 4 23 2 10 3 4' P P [ ][ ] 42 6 48 0 ) 2 )( 3 )( 1 ( ) 3 )( 4 )( 4 ( ) 0 )( 2 )( 2 (34 18 0 16 ) 3 )( 3 )( 2 ( ) 0 )( 4 )( 1 ( ) 2 )( 2 )( 4 ( = + = + + = = + = + + = P = -34 (-42) = -34 + 42 = 8 b-) Por Cofactor: [ ] [ ] 0 3 ) 2 ( 2 1 3 3 ) 4 ( 2 2 ) 4 (4 22 102 23 132 43 2) 4 (2 4 23 2 10 3 4+ + = x x x x PP = (-4)(4 - 12) - 3(2 + 6) + 0 = 32 24 = 8 Losdosprimerosmtodosanalizadossolosirvenparadeterminantesdetercerorden,mientras que el mtodo de cofactores se puede utilizar para determinantes de mayor tamao. 37 EJERCICIOS Resolver los determinantes dados a continuacin porel mtodo de productos cruzados. 1.0 1 44 3 23 2 1 = A Rta. A = -52 2.2 / 1 1 2 / 11 2 05 3 4= B Rta: B = 9/2 Resolver por Sarrus los determinantes dados. 3.0 1 44 3 23 2 1 = C Rta: C = 58 4.1 2 / 1 20 2 / 1 11 2 / 1 2 / 1= E Rta:E = -1/2 Resolver por Cofactor: 5. 0 4 13 1 07 6 5= F Rta: F = -49 Cual ser el valor de x para que el determinante sea verdadero. 52 1 05 14 2 3== x D Rta: x = - 2 22 2 13 12 1= = xxPRta: x = - 4 38 SolucindeEcuacionesporDeterminantes:Pararesolverunsistemadetres ecuaciones con tres incgnitas por determinantes, KRAMER, propuso una metodologa que ilustramos a continuacin. Sea el sistema: Primero se calcula el determinante de coeficientes. Aclarando que 0 En seguida se calculan los determinantes para cada incgnita. Finalmente la solucin para cada incgnita. Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema por determinantes. 14 3 3 28 2 35= + += + += + +z y xz y xz y x Solucin: Usando la tcnica de Kramer tenemos: Determinante de coeficientes: 3 3 3 32 2 2 21 1 1 1d z c y b x ad z c y b x ad z c y b x a= + += + += + +3 3 32 2 21 1 1c b ac b ac b a= 3 3 32 2 21 1 1c b dc b dc b dx= 3 3 32 2 21 1 1c d ac d ac d ay= 3 3 32 2 21 1 1d b ad b ad b az= =xx=yy=zz39 3 3 21 2 31 1 1= Lo resolvemos por cofactor. ( ) ( ) ( ) 1 5 7 3 2 2 3 3 1 1 2 3 3 1 1 3 3 2 13 22 313 21 313 31 21 = + = + = + = x x x x x x Ahora los determinantes de las incgnitas. ( ) ( ) 1 67 68 15 24 28 14 24 303 3 141 2 81 1 5= = + + + + = = x1 75 76 ) 3 5 3 1 14 1 1 8 2 ( ) 1 5 2 1 14 3 3 8 1 (1 8 31 5 13 14 21 8 31 5 13 14 21 8 31 5 1= = + + + + = = = x x x x x x x x x x x x y ( ) ( ) ( ) 3 25 26 4 2 2 3 3 5 8 2 14 3 1 8 3 14 2 13 22 3514 28 3114 38 2114 3 28 2 35 1 1= + = + = + = = x x x x x x zIdentificar por qu mtodo se resolvi cada determinante?Trabajar en el grupo colaborativo. Finalmente hallamos el valor de cada incgnita. 111= ==xx111= ==yy 313= ==zz Solucin: (x, y, z) = (1, 1, 3) Ejemplo 2: Resolver. 0 4 2 20 2 30 2= + = += + z y xy xz y x Solucin: ( ) ( ) 0 0 12 8 0 12 84 2 20 2 32 1 1= + + + + = = 40 Como el determinante de coeficientes es cero, el sistema no se puede resolver, recordemos que este determinante no puede ser cero.La nica que puede ser cierta es: x = y = z = 0, ya que ste tipo de sistema se le conoce como sistema homogneo. EJERCICIOS Resolver por eliminacin los siguientes sistemas de ecuaciones. 1. 10 2 2 34 27 3 2 = + = + += + z y xz y xz y x Rta: x = 2, y = -1, z = 1 2. 3 / 8 2 41 23 / 2 3= += + = +y xz y xz y xRta: x = 1/3,y = 2/3, z = 1 Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones por el mtodo de Kramer. 3. 10 2 2 34 27 3 2 = + = + += + z y xz y xz y x Rta: x = 2, y = -1, z = 1 4.4 3 41 2 33 2 3 2= += + + = + z y xz y xz y xRta: x = 2/3, y = 31/21, z = 1/21 5.Describa explcitamente los mtodos de Sarros y Kramer y explique para que se utilizan. 41 ECUACIONES DE PRIMER GRADO: PROBLEMAS DE APLICACIN Conelestudiodelas ecuacionesdeprimergrado,ahoraestamosencapacidadderesolver problemasdiversos,utilizandoecuacionesdeestetipo.Lonuevoaquesqueapartirdel contextoydescripcindelfenmeno,sedebePlantearunaEcuacinoEcuacionespara resolver el problema. Esimportantetenerencuentapararesolverproblemasconecuaciones,lossiguientes aspectos, los cuales permitirn obtener resultados claros yverdaderos. 1.Sedebeleermuybienelproblemahastaquequedecompletamenteentendido.Sies necesario, leerlo las veces que sean requieran. 2.Identificar las incgnitas yexpresarlas por medio de un smbolo. 3.Llevar el problema a un modelo matemtico,es decir, plantear lasecuaciones. 4.Siesnecesarioutilizargrficos,tablasyotros,comoayudaparalailustracindel problema. 5.Realizar las operaciones necesarias para obtener el valor de las incgnitas. 6.Identificar la respuesta y hacer la respectiva verificacin. 7.Sacar las conclusiones del caso. Problemas con Ecuaciones de Primer Grado con Una Incgnita Para resolver problema de este tipo, lo ms pertinente es hacer ejemplos modelos y hacer su respectiva explicacin. Ejemplo 1: Escribir la modelacin matemtica de la siguiente situacin: La longitud de un arco circular, es el producto del ngulo barrido y el radio del crculo. Solucin: Se dan smbolos a los trminos. Longitud del arco: S Angulo barrido: Radio del crculo: R Segnel problema, el modelo sera: S = R x Ejemplo 2: Escribir matemticamente la siguiente situacin: El volumen de un cono circular recto es un tercio del producto de una constante, el radio al cuadrado y la altura. 42 Solucin: Los smbolos. V = volumen = constante R = radio H = altura Segn el contextoH R V231 = Ejemplo 3 : Uncarpinterodebecortarunatablade6m.delargoentrestramos,sicadatramodebe tener 20 cm. ms que el anterior, Cul ser la longitud de cada tramo? Solucin: Seaxlalongituddeltramomscorto,entonceselsegundotramoserx+20yeltercero ser x + 40.

El modelamiento matemtico es: (x) + (x + 20) + ( x + 40) = 600 Operando: 3x + 60 = 600Entonces: 3x = 600 60 = 540 Despejando la incgnita.x =540/3 = 180 As:El tramo ms cortox = 180 cm. El segundo tramo: x + 20 = 180 + 20 = 200 cm. El tercer tramo: x + 40 = 180 + 40 = 220 cm. Ejemplo 4: Sesabequelasumadelosngulosinternosdeuntringulomide1800.Enuntringulo rectngulo uno de los ngulos es l otro aumentado en 100. Cules sern las medidas de los ngulos de dicho tringulo? 43 Solucin: Sixeselngulomspequeo,elotronguloserx+10.Recordemosqueuntringulo rectngulotiene un ngulo recto, luego: (x) + (x + 10) + 90 = 180 2x + 100 = 1802x = 180 100 = 80 x = 40 Ahora: x + 10 = (40) + 10 = 50 Los ngulos son: 400, 500, 900. Ejemplo5. En una molcula de azcar se encuentrael doble de tomos de hidrgeno que de oxigeno, tambintieneuntomomsdecarbonoquedeoxgeno.Silamolculadeazcartiene45 tomos. Cuntos tomos de cada elemento tiene dicha sustancia? Solucin: x = tomos de oxigeno, entonces: 2x = tomos de hidrgeno x + 1 = tomos de carbono Como todo suma 45, entonces: (x) + (2x) + (x + 1) = 45 Operando: 4x +1 = 454x = 44x = 11 2x = 11x2 = 22 x + 1 = 11 + 1 = 12 Solucin:La molculadeazcartiene11tomos deoxigeno,22 tomosdehidrgenoy12 tomos de carbono.C12H22011 Ejemplo 6: UnIngenierodeseadesarrollarunequipohidrulicocompuestopordoscilindros.Elprimer cilindro est a 120 cm. del puntode apoyo y ejerce una fuerza de 500 Kg.-f, el sistema debe soportar una fuerza de 1.200 Kg.-fubicada a 90 cm. del punto de apoyo y al lado opuesto de loscilindros.Endondesedebecolocarelsegundocilindroparaqueejerzaunafuerzade 700 Kg-f?

Solucin: Para que el sistema este en equilibrio, la suma de las fuerzas debe ser cero.44 F1 = Fuerza uno, ubicada a x1 distancia del punto de equilibrio. F2 = Fuerza dos, ubicada a x2 distancia del punto de equilibrio.F3 = Fuerza tres, ubicada a 90 cm. del punto de equilibrio. Segn las condiciones del problema: F1X1 + F2X2 = F3X3 Reemplazando: 500x120 + 700x X = 1.200x90 Resolviendo: 6.000 + 700X = 108.000 700 X = 102.000 X = 145,71 Cm. Solucin: El cilindro dos se debe colocar a 145,71 cm. del punto de equilibrio 45 EJERCICIOS Hacer el planteamiento de los problemas propuestos yresolverlos adecuadamente. 1. La suma de dos nmeros enteros positivos es igual a 12, uno de ellos es el doble del otro. Cules son los nmeros? Rta: 4y8 2.Unvoceadorreparteelperidicoen1800seg.sucompaerolohaceen120seg.Silo hacen simultneamente, Cunto tardarn en hacer la entrega? Rta: 720 seg. 3.SedeseaconstruirunSiloparagranosenformadecilindrocircularysemiesfricoenla partesuperior.Eldimetrodelsilodebeserde30piesCulserlaalturadelsilo,sila capacidad debe ser de 11.250 pie3? Rta: 55 pies 4. El largo de un campo de baloncesto es 12 metros ms que su ancho. Si el permetro es de 96 metros, Cules son las dimensiones del campo? Rta: Largo 30 metros Ancho 18 metros 5. En un tringulo, el ngulo ms pequeo es la mitad del mayor y las dos terceras partes del ngulo intermedio. Cules sern las medidas de los ngulos? Rta: 400, 600 y 800 6. Un fabricante de grabadoras reduce el precio de un modelo X en el 15%, si el precio con el descuento es de $125.000,00 Cul ser el precio original del modelo X? Rta: $147.059

46 Problemas con Ecuaciones de Primer Grado con Dos Incgnita En el desarrollo de ecuaciones de primer grado con una incgnita, se han adquirido destrezas enelplanteamientoyresolucindeproblemas.Sinolvidarloscincopasosquese recomiendan para este tipo de situaciones,entramos en le anlisis y resolucin de problemas donde se involucran ecuaciones con dos incgnitas. Enesteaparte,losproblemassontal,quesedebenplanteardosecuacionescondos incgnitas, una vez desarrollado el planteamiento, la solucin es ms fcil ya que se conocen los diversos mtodos para solucionar dos ecuaciones con dos incgnitas. Ejemplo 1: Una industria tiene dos clasesde equipos para comunicacin,la clase A cuesta $67.000 y la claseBcuesta$100.000,sifueronvendidos72equiposconuncostototalde$5880.000, Cuntos equipos de cada clase fueron vendidos? Solucin: Como se tiene dos incgnitas: Costo y cantidad, se debe plantear dos ecuaciones.x = Equipos de clase A y = Equipos de clase B Ecuacin para cantidad:x + y = 72 Ecuacin para costo: 67.000 x + 100.000 y = 5880.000 Como se tiene dos ecuaciones con dos incgnitas, se puede utilizar para su solucin, grafico,eliminacin, determinantes. Solucin grafica:

47 Solucin analtica: Paraestecasoutilicemoslaeliminacinporreduccin.Seeliminalaincgnitax.Luegola primera ecuacin se multiplica por -67.000 y la segunda queda igual. -67.000 x 67.000 y = - 4824.000 67.000 x + 100.000 y =5880.000 ----------------------------------------------- 33.000 y = 1056.000 Despejando y = 32 Reemplacemos y en la primera ecuacin: x + y = 72 x + (32) = 72x = 40. Solucin: Se vendieron 40 equipos de clase A y 32equipos de clase B. NOTA: La solucin grfica, nos da una aproximacin, ya que el punto de corte se ubica cerca de50enxyentre20y40eny.Mientraslasolucinanalticasinosofrecelosvalores exactos de la solucin. Ejemplo 2: Se debe obtener una solucin a partir de dos soluciones componentes. La solucinN tiene el 5% y M tiene el 20%. La cantidad resultante debe ser de 200 ml, con una concentracin del 15%. Cuntos mililitros de solucin N y M se deben mezclar? Solucin: x = Solucin N al 5% y = Solucin M al 20% Se tiene dos ecuaciones, una para el volumen y otra para la concentracin. Ecuacin para el volumen: x + y = 200 (mililitros) Ecuacin para la concentracin. 0,05x + 0,20y = 200(0,15)entonces: 0,05 x+0,20 y= 30 Las dos ecuaciones obtenidas son x + y = 2000,05 x+0,20 y= 30 48 Solucin Grafica: Solucin Analtica: Vamos a resolverlo por sustitucin: x + y = 2000,05 x+0,20 y= 30 Despejemos x en la primera ecuacinx = 200 yReemplazamos en la segunda. 0,05(200 y) + 0,20 y = 3010 0,05y + 0,20y = 30 0,15y = 20 y = 133,33 Ahora,reemplazamoselvalordeyenlaprimeraecuacin,recordemosquepuedeser tambin en la segunda.x + y = 200, entonces: x + (133,33) = 200 x = 200 133,33 = 67,67 Solucin:Se deben mezclar 66,67 ml de solucin N y 133,33 ml. De solucin M.

49 Ejemplo 3: Losngulosysonsuplementarios,detalmaneraqueunodeelloses4vecesy3 grados mayor que el otro. Cules son las medidasde los ngulosy? Solucin: Sea ngulo mayorSea ngulo menor. La ecuacin de ngulos suplementarios: + = 180 La ecuacin, dada la condicin del problema: = 4 + 3Organizando: + = 180 - 4 = 3 Solucin Grafica: Solucin Analtica: + = 180 - 4 = 3 Por reduccin: 4 + 4= 720 -4 = 3 --------------------- 5 = 723 = 144,6 50 Para hallar el ngulo, reemplazamos en la segunda ecuacin: (144,6) - 4 = 3 Desarrollando: -4 = 3 144,6 = -141,6 = 35,4 Solucin: El ngulo mide 144,60y el ngulo mide 35,40 Ejemplo 4: Enuncircuitoenserielaresistenciatotaleslasumadelasresistenciascomponentes.Un circuitoenserieescompuestopordosresistenciasR1yR2,laresistenciatotalesde1.375 ohmios, para suministrar el voltaje requerido, R1 debe tener 125 ohmios ms que R2. Cul es el valor de las resistencias? Solucin: Se plantean las ecuaciones. Ecuacin de resistencia total. R1 + R2 = 1.375 Segn las condiciones del problema: R1 = R2 + 125Entonces: R1 + R2 = 1.375 R1 -R2 = 125Tenemos dos ecuaciones con dos incgnitas. Solucin Grfica: 51 Solucin por Sustitucin: Tomando las dos ecuaciones. R1 + R2 = 1.375 R1 -R2 = 125Despejamos R1 en la segunda. R1 = R2 + 125 Reemplazamos en la primera (R2 + 125) + R2 = 1.375 Operando y simplificando: 2R2 = 1.375 125 = 1.250 R2 = 1250/2 = 625 Ahora sebusca el valor de R1 reemplazando el valor de R2 en cualquiera de las ecuaciones, utilicemos la ecuacin dos. R1 -R2 = 125, entonces: R1 =R2 + 125 = (625) + 125 =750 Por consiguiente: las resistencias tienen el valor de625 y 750 ohmios. 52 EJERCICIOS Leer cuidadosamente los problemas propuestos y resolverlos haciendo los pasos necesarios. 1. Un ngulo mide 460 ms que su complementario. Cul ser la medida de los ngulos? Rta: 220y680 2. En un distribuidora de dulces, 4 paquetes de dulces y 4 paquetes de galletas valen $7.900. Dospaquetesdegalletascuestas$20msqueunpaquetededulces.Cuntocuestanun paquete de galletas y un paquete de dulces? Rta: Galletas: $665, -dulces $1.360 3. Un automvil recorre 50 Km. En el mismo tiempo que un avin viaja 180 Km.La velocidad del avin es de 143 Km/hr ms que el del automvil. Cual es la velocidad del automvil? Rta: 55 Km/hr 4.Elpermetrodeunrectnguloesde16metros,sureaesde15m2Culessonlas dimensiones del rectngulo? Rta: Largo 5 metros, ancho 3 metros 5.Paraasistiraunafuncindeteatro,setienedostiposdeentradas,elpreferencialvale $4.500 y el popular vale $3.000, si se vendieron 450 boletas para un recaudo de $1819.500 Cuntas boletas de cada clase se vendieron? Rta: Preferencial 313 y popular 137 6. Se desea preparar 200 Litros de cido ntrico al 34% a partir de dos soluciones del 28% y 36%deconcentracin.Culesdebenserlascantidadesde cidoautilizarparaobtenerla solucin deseada? Rta: Del 28% 50 Lt y del 36% 150 Lt. 53 Problemas con Ecuaciones de Primer Grado con Tres Incgnita Existenproblemasdondeestninvolucradastresincgnitas,lasolucindeestetipode problemas son similares a los casos anteriores. Veamos algunos ejemplos modelos, que nos permitirn comprender situaciones de este tipo. Ejemplo 1: La suma de tres nmeros es cuatro, el primero, dos veces el segundo y el tercero suma uno. Por otro ladotres veces el primero mas el segundo, menos el tercero equivale a -2. Cules son los nmeros? Solucin El planteamiento. x = Primer nmero y = Segundo nmero z = tercer nmeroSegn las condiciones. x + 2y + z = 1 (1) 3x + y z = -2(2) x + y + z = 4 (3) Tomamos (1)y(2)y eliminamos z. x + 2y + z = 1 (1) 3x + y z = -2(2) ------------------------- 4x + 3y = -1 (4) Ahoratomamos (2)y(3), eliminando la misma incgnita z. 3x + y z = -2(2) x + y + z = 4 (3) ------------------------- 4x + 2y = 2(5) Sehanobtenidodosecuacionescondosincgnitas,laformaderesolverlasyasehan estudiado. 4x + 3y = -1 (4) 4x + 2y = 2(5) Eliminemos x.- 4x - 3y = 14x + 2y = 2 ------------------ - y = 3 Primera solucin: y = - 354 Reemplazamoselvalordeyencualquieradelasecuaciones(4)o(5).Tomemosla ecuacin 4.4x + 3y = -1, entonces: 4x + 3(-3) = -1Operando y simplificando: 4x = -1 + 9 = 8 x = 8/4 = 2 Segunda solucin: x = 2. Para hallar el valor de la tercera incgnitase reemplaza los valores de y y x en cualquiera de las ecuaciones originales (1), (2), (3). Tomemos la ecuacin tres. x + y + z = 4.Reemplazando: (2) + (-3) + z = 4 z = 4 + 3 2= 5 As: z = 5 Ejemplo 2: El ngulo ms grande de un tringulo es 700 mayor que el ngulo ms pequeo y el ngulo restantees100msgrandequetresveceselngulomspequeoCulessonlas mediciones de los ngulos? Solucin: x = Angulo ms pequeo y = Angulo intermedio z = Angulo mas grande Por las condiciones del problema: x + y + z = 180 (1) porqu? x z = -70(2) 3x y = -10(3) Se elimina la incgnita y, entonces: x + y + z = 180x z = -70 --------------------- 2x + y = 110(4) Se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas. 3x y = -10 2x + y = 110 Eliminamos y. 55 3x y = -10 2x + y = 110 ------------------ 5x = 100 x = 20 Calculemos ahora y: 3x y = -10, entonces: 3(20) y = -10, operando:y = 10 + 60 = 70 y = 70 Finalmente para hallar z, tomaos la ecuacin (1) x + y + z = 180, reemplazando: (20) + (70) + z = 180 Por consiguiente z = 90. As se tiene la solucinal problema planteado. 56 EJERCICIOS Resolver desarrollando paso por paso los siguientes problemas.

1. Un Bilogo desea probar un fertilizante a partir de tres clases existentes referenciados F1, F2,F3,cuyoscontendidodenitrgenoson:30%,20%y15%respectivamente.ElBilogo quiere trabajar con 600 Kg. de mezcla con un contenido de nitrgeno de 25%, pero la mezcla debetener100Kg.msdeF3quedeF2.CuantorequiereelBilogodecadatipode fertilizante? Rta: F1 = 380 Kg, F2 = 60 Kg, F3 = 160 Kg. 2. En la caja de un Bancohay $880 en billetes de $5, $10, $50. La cantidad de billetes es $10 es el doble de la de $50, si hay en total 44 billetes. Cuntos billetes de cada denominacin tiene el Banco?Rta: 8 billetes de $5, 24 de $10 y 12 de $50 3.Paratresgruposdeinvestigacinhay1360.000millonesdepesos,lacantidadde cientficos es de 100,cada cientfico del primer grupo recibi $20.000 millones, del segundo grupo cadacientfico recibi $8.000 millones y del tercer grupo cada cientfico recibi $10.000 millones.Loscientficosdelprimergruporecibieron5vecesmsfondosqueelsegundo Cuntos cientficos hay en cada grupo de investigacin? Rta: Primer grupo 40, segundo 20 y tercero 40 4. Determine la parbola y = ax2 + bx + c,la cual pasa por los puntos: (1, 2), (-2, -7) y (2, -3). Rta: y = -2x2 + x + 3 57 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Lasecuacionesdesegundogradohansidomotivadasdesdetiemposinmemorables, inicialmentelanecesidad deresolverproblemas de reayvolumen,condujeron amanipular ecuaciones de este tipo. Como los nmeros negativos se formalizaron tarde en la historia de lasMatemticas,ensusinicioselmanejodelasecuacionesdesegundogradofuecon nmeros positivos. Se reconocen 5 tipos de ecuaciones de segundo grado. x2 = bx, x2 = c, x2 + c = bx,x2 = bx + c, x2 + bx = c La ecuacin de tipo x2 = bx, tiene una nica solucin x = b, ya que no se acepta a cero como solucin.Laecuacinx2=cequivaleahallarlarazcuadradadeunnmero,paralocualexisten diversos mtodos, como el de tanteo, el de Heron y el de Euclides. METODO DE HERON: Heron de Alejandraen el siglo I, propuso una forma de hallar la raz cuadrada de n nmero positivo as: Si se tiene por ejemplo x2 = 2,se parte de una solucin supuesta, por ejemplo 3/2, para hallar una nueva aproximacin se aplica la siguiente regla.121723423223223=+=+ La siguiente aproximacin: ... 2 4142215686 , 14085772172412172217121217 =+=+ Este valor es una buena aproximacin a2El mtodo se repite tantas veces como se requiera una buena aproximacin. MTODO EUCLIDES: El colapso de la Aritmtica pitagrica provoco una crisis que motivo a losgriegosparadarmsesfuerzoalaGeometra.Lascantidadesfijas(constantes)las representaban con segmentos derectacon longitud relativa a una unidad fija.El producto dedoscantidadeslorepresentabancomoelreadeunrectnguloyelproductodetres cantidadescomoelvolumendeunprismarectangularrecto.Deaquelorigendela denominacin de cuadrado y cubo para las potencias de dos y tres. A manera de ejemplo. La grfica representa la expresin muy conocida. ( )2 222 b ab a b a + + = + 02= + + x x58 Laecuacindetipox2+c=bx,fueresueltageomtricamenteporlosgriegosy aritmticamente por los babilonios. MTODO GRIEGO: Inicialmente los griegos y posteriormente los rabes utilizaron un mtodo geomtrico para resolver ste tipo de ecuaciones.Por ejemplo. Se a la ecuacinx2 + 77 = 18x Enlagraficaseobservaquelasumadelasreases igual al rea total del rectngulo. Paraencontrarelvalordex,sedebecompletarun cuadrado de lado 9 que incluya el cuadrado de lado x. El cuadrado lo componen dos rectngulosde igual rea y por los cuadrados de rea x2 y (9 x)2 De la grfica se infiere:( ) 77 772 2= + + = + a a x a a x Tambin por medio de la grfica: ( ) ( )2 29 77 9 = + xResolviendo: x = 7 El segundo caso es hacer un cuadrado de lado x. que incluya un cuadrado de lado 9, veamos. El cuadrado de lado x esta formado por dos rectngulos de igual rea y por dos cuadrados, uno de rea 92 y el otro de rea (x 9)2

Entonces: a x a a x 2 77 772 2+ = + = Adems en la grafica se puede observar: ( ) 77 9 92 2= + xPor lo tantox = 11 El mtodo griego se fundamento en la proposicin 5 del libro II de los Elementos de Euclides, el cual establece: 59 Si se divide una recta en partes iguales y desiguales, el rectngulo comprendido por las partes desiguales de la recta entera, ms el cuadrado de la diferencia entre una de las dos partes iguales y una parte desigual, es equivalente al cuadrado de la mitad de la recta dada La ecuacin tipo: x2 = bx + cfue trabajada por los griegos utilizando la geometra,pero en el siglo XVII en su libro La Geometra, Renato Descartes describe un mtodo geomtrico para construir una solucin de la ecuacin cuadrtica x2 = bx + c2

La ecuacin de tipo x2 + bx = c, fue trabajada por los rabes ( Tabit Ben Qurra) y los griegos. MTODO ARABE:Para el tipo de ecuacin propuesta, los rabes utilizaron reas de cuadrados y de rectngulos.Por ejemplo x2 + 5x = 36 Para resolver esta ecuacin, Al-Khowarizmi,dibujo un cuadrado de rea x2 y sobre cada lado dibujo 4 rectngulos de dimensiones xy5/4, la figura tendr de rea 36 El lado del cuadrado es evidentementex + 10/4 El rea 36 + 25/4, luego el lado del cuadrado debe ser: x + 10/4 = 13/2 Por consiguientex = 4. Es pertinente que se analice detenidamente esta metodologa,es muy interesante. Hasta aqu se ha trabajado mtodos con fundamentos geomtricos para valores positivos de la incgnita, pero en muchos casos sabemos que las soluciones involucran valores negativos en ecuaciones de segundo grado. Laresolucindeecuacionesdesegundogradodondesepresentancoeficientesnegativos fuerontrabajadosinicialmenteporCarlyle(1.775-1.881)yVonStaudt(1.798-1.867),Ambos se basaron en principios geomtricos, utilizando crculos; dichos mtodos son muy largos, por lo cual no se detallan, pero se consider pertinente hacer la referencia a estos inquietos de las Matemticas.Engeneralsehavistoquelosmtodosutilizadosporlascivilizaciones antiguas son eminentemente geomtricos,en la edad media y posteriormentela matemtica ha desarrollado metodologas parael trabajo con ecuaciones que son ms dinmicas ycon principios matemticos bien fundamentados. MTODOAXIOMTICO:Eselmtodomsutilizado;pornodecirqueelnico,enla actualidad,sesoportaenlosaxiomas,propiedadesydefiniciones,establecidosatravsde toda la historia de las matemticas. Sea la ecuacin ax2 + bx + c = 0,con a, b y c constantes y a 0. Este tipo de ecuaciones se puede resolver de las siguientes maneras: 60 1. FACTORIZACIN: Sesabequetodaecuacindesegundogradosepuedeexpresarcomoproductodedos factores. ( )( ) 02= + + = + + x x c bx ax A los factores obtenidos se les aplica la Regla del Producto Nulo la cual dice: Si ( )( ) ( ) ( ) 0 , , 0 0 = + = + = + + x v x x xDeestamanerasepuededespejarlaincgnitayobtenerlassolucionesrespectivas.Se debeaclararquelasecuacindetipoax2+bx+c=0,tienedossoluciones,lascuales pueden ser:Reales iguales, Reales diferentes Imaginarias. Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuacin. 0 18 3 32= x x Solucin: Primerofactorizamoseltrinomio,aestaalturadebemosconocerlastcnicasde factorizacin,en caso de dudas por favor consultar el modulo de Matemticas Bsicaspara aclarar dudas al respecto. ( ) ( ) ( )0354 3 3 30318 3 3 32 2= = x x x x La ltima expresin se puede factorizar como un trinomio de la forma x2 + bx + c = 0 ( ) ( ) ( )( )( )( ) 0 2 9 336 3 9 3354 3 3 32= + =+ = x xx x x x Tenemos dos trminos a los cuales le podemos aplicar la regla del producto nulo. (3x 9) = 0, despejando x = 3 (x + 2) = 0, despenandox = 2Seobservaqueseobtienendossoluciones2y3,assecompruebaquetodaecuacinde segundo grado tiene dos soluciones. Ejemplo 2: Hallar la solucin de la ecuacin0 25 102= + x x Solucin: Se factoriza como trinomio cuadrado de la forma x2 + bx + c = 0. ( )( ) 0 5 5 25 102= = + x x x x Por la regla del producto nulo: x 5 = 0, luego x = 5 x 5 = 0, luego x = 5 Se observa que la solucin es la misma.61 Ejemplo 3: Determinar el valor de x para la ecuacin 0 162= + x Solucin: Despejamos la incgnita. 16 16 0 162 2 = = = + x x x Se observa que se tiene una raz par de nmero negativo, cuya solucin esta en el campo de los nmeros imaginarios.As: x = +4i y x = -4i NOTA:recordemoslosnmerosimaginarios,eltemaestaexplicitadoenelmodulode matemticasBsicas.Porotrolado,enlosejemplosanterioressepuedeverificarquela solucin puede ser real diferente, real igual imaginaria. Ejemplo 4: Hallar la solucin de la ecuacin 0 25 92= x Solucin: La idea es despajar la incgnita, en este caso la x. 3592592525 9 0 25 92 2 2 = = = = = x x x x La solucin es: x = 5/3yx = -5/3 Ejemplo 5: Resolver la ecuacin0 4 22= x x Solucin: Para este caso, NO es fcil identificar dos nmeros que multiplicados sea - 4 y sumados sea -2,esto conlleva a buscar otras tcnicas para resolver este tipo de ecuaciones. 2. FRMULA CUADRTICA: En muchas ocasiones el trinomio propuesto en la ecuacin no sepuederesolverdirectamenteporfactorizacinoextraccinderaz,entoncesloquese hace para resolver la ecuacin propuesta es utilizar la frmula cuadrtica,es un camino ms rpido para resolver ecuaciones de segundo grado con una incgnita. Sea la ecuacin:02= + + c bx axcona, b, c,realesy a 0. La solucin para la incgnita es: aac b bx242 =62 Demostracin: Parademostrarlafrmulacuadrtica,aplicamoselprincipiodecompletarcuadrados. Veamos: c bx ax c bx ax = + = + +2 20 Sedebehacerqueelcoeficientedelaincgnitaalcuadradoseauno,paraestosedivide todo por a. acxabxacxabxaa = + = +2 2 Se completa cuadrados en la parte izquierda de la ecuacin acababxabx ||

\|=||

\|+ +2 222 2 El primer trmino es un trinomio cuadrado perfecto, entonces: 222222442 4 2 aac babxacababx=||

\|+ =||

\|+ Se le extrae raz cuadrado alla ltima ecuacin. 2222442 442 aac babxaac babx = = + Desarrollando la raz del denominador y operando las dos fracciones: aac b baac babaac babx24242 4422 222 = = = Las soluciones por medio de la frmula cuadrtica sern: aac b bx2421 + =y aac b bx2422 = A la expresinse le conoce como el discriminarte, debido a que su signo indica el tipo de solucin obtenida. Si0 > : Hay dos soluciones reales diferentes. Si0 = : Hay dos soluciones reales iguales Si0 < : Hay dos soluciones imaginarias. ac b 42 = 63 Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuacin utilizando la frmula cuadrtica. 0 8 62= + x x Solucin: Para el trinomio dado, a = 1, b = -6 y c = 8. Aplicando la frmula. 22 624 6232 36 6) 1 ( 2) 8 )( 1 ( 4 ) 6 ( ) 6 (2== = = x Las soluciones son: 422 61=+= x y 222 62== x Ejemplo 2: Resolver 0 2 4 32= + x x Solucin: Identificamos las constantes. a = 3,b = - 4, c = 2, entonces: 68 468 4624 16 4) 3 ( 2) 2 )( 3 ( 4 ) 4 ( ) 4 (2ix= = = = Simplificamos el radicar. 32 262 2 4 i ix==Las soluciones: 22 21ix+=y22 22ix= Ejemplo 3: Resolver la ecuacin:4 6 22 = + x x Solucin: Lo primero que debemos hacer es igualar la ecuacin a cero: 0 4 6 2 4 6 22 2= + + = + x x x x As a = 2, b = 6 y c = 4. Se aplica la frmula. 42 644 6432 36 6) 2 ( 2) 4 )( 2 ( 4 ) 6 ( 62 = = = = x 64 Las soluciones: 222 61 =+ = xy422 62 = = x Enlosejemplosrealizados,dondelassolucioneshansidoreales,losvaloressonenteros, pero no siempre es as,en muchas ocasiones las soluciones son fraccionarias.

ECUACIONES DE GRADO n(n par) A veces se pueden presentar ecuaciones de la forma0 = + + c bx axm n,donde m = n / 2, la ideaesreducirelgradodeltrinomiohastaquen=2.pararesolverlocomountrinomio cuadrado. Algunos ejemplos nos aclaran el proceso. Ejemplo 1: Resolver:0 4 52 4= + x x Solucin: Se hace un cambio de variable digamos u = x2luegou2 = x4 Reemplazamos: 0 4 5 0 4 52 2 4= + = + u u x x Ahora se puede resolver el ltimo trinomio, se utiliza la factorizacin. ( )( ) 0 1 4 0 4 52= = + u u u u Por la regla del producto nulo: u 4 = 0,u = 4 u 1 = 0,u = 1 Ahora se reemplaza el valor de u por x2

x2 = 4, x = +2y-2 x2 = 1, x = +1y-1 Se observa que se obtienen 4 soluciones, ya que la ecuacin original es de grado cuarto. Ejemplo 2: Resolver la siguiente ecuacin 0 16 65 10= + y y Solucin: Hacemos el cambio de variablew = y5, luegow2 = y10 entonces: 0 16 6 0 16 62 5 10= + = + w w y y0 = + + mnnx x65 La ltima expresin se puede resolverpor factorizacin o por la cuadrtica,resolvmosla por los dos mtodos. Factorizacin: ( )( ) 0 2 8 0 16 62= + = + w w w w Por la regla del producto nulo: w + 8 = 0, luego: w = -8 w -2 = 0, luego w = 2 Cuadrtica: 210 62100 6264 36 6) 1 ( 2) 16 )( 1 ( 4 ) 6 ( 62 = =+ = = wLas soluciones: 2210 61=+ = wy 8210 62 = = w Se nota que por los dos mtodos las soluciones son iguales. Perola solucin final se debe dar es en la incgnita y. Como w = y5Se hace el reemplazo: Para w1:5 52 2 = = y y Para w2:5 58 8 = = y y Podemos ver que slo se obtuvieron dos soluciones, pero la ecuacin es de grado 10, luego hacerfaltaochosoluciones,lascualessepuedenobtenerpormtodosmatemticosms avanzados. Ejemplo 3 Resolver la ecuacin: 0 15 23132= + x x Solucin: Como en los casos anterioresse hace cambio de variable. 32231x v x v = = Procedemos a reemplazar. 0 15 2 15 223132= + = + v v x x La ltima expresin al resolvemospor factorizacin. ( )( ) 0 ) 3 5 0 15 22= + = + v v v v Por la regla del producto nulo. v + 5 = 0,v = -566 v 3 = 0,v = 3 Finalmente, reemplazamos nuevamente para x. ( ) 125 5 5 5333131 = = ||

\| = = x x x v( ) 27 3 3 3333131= = ||

\| = = x x x v EJERCICIOS Resolver las siguientes ecuaciones, realizando el procedimiento adecuadamente y justificando las respuestas. 1.0 24 22= x x Rta: x = 6yX = - 4 2.( ) 16 42= x Rta: x = 0yx = 8 3.0 8 5 22= + y yRta: 439 5 iy= 4.0 2 22= + z zRta:210 2 = z 5.21 103 6 = y yRta: 37 = yy 33 = y 6. Demuestre que la solucin de la ecuacin0 63132= x x es27y-8. 7.Demuestre que la suma de las races de una ecuacin cuadrtica es ab 8.Para la ecuacin 42 = y y Encontrar el valor detal que la ecuacin tenga dos soluciones reales repetidas. 67 PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Muchosfenmenosdelmundoquenosrodea,sepuedenexpresarmatemticamentepor mediodeecuacionescuadrticas.Pararesolverproblemasdeestetipo,sedebeseguirla metodologapropuestaenlaseccin de problemascon ecuacionesdeprimergrado,es una buenaorientacin.Lamaneramspertinentedeilustrarproblemasqueseresuelvencon ecuaciones de segundo grado, es por medio de ejemplos modelos. Ejemplo 1: La cuarta parte del producto de dos nmeros enteros pares consecutivos es 56. Cules son los nmeros? Solucin: Sea x el entero par, luego (x + 2) ser el entero par consecutivo. Segn las condiciones del problema. 56 ) 2 )( (41= + x x. Desarrollando. 0 224 2 56 ) 2 )( (412= + = + x x x x Como e tiene una ecuacin de segundo grado, desarrollmosla por la frmula cuadrtica.230 22900 2) 1 ( 2) 224 )( 1 ( 4 4 2 = = = xLas soluciones: 14230 2230 21=+ = = x 16230 2230 22 = = = x Como se trata de enteros positivos, entonces la solucin ser 14 y 16 Ejemplo 2: Laraz cuadrada de un nmero ms cuatro, es lo mismo que el nmero menos ocho. Cul ser el nmero? Solucin: Seay = el nmero a buscar. Aplicando las condiciones dadas en el problema. 8 4 = + y y

68 Teniendoelmodelomatemtico,sepuederesolverlaecuacin,paraobtenerlasolucinal problema.Lo que se puede hacer es eliminar la raz y luego despejar la incgnita. ( ) ( ) 64 16 4 8 4 8 4222+ = + = + = + y y y y y y y Reorganizando la ltima ecuacin: 0 60 17 64 16 42 2= + + = + y y y y y Por la cuadrtica: 249 172240 289 17) 1 ( 2) 60 )( 1 ( 4 ) 17 ( ) 17 (2= = = yLas soluciones: 1227 17249 171=+== y521777249 172= == ySe observa que la condicin dada en el problema se cumple para los nmeros5 y 12. Ejemplo 3: Calcular las dimensiones de un rectngulo, cuya rea esde 375 m2; adems, el largo es el doble del ancho menos cinco. Solucin: Una grfica nos ilustra la situacin. El planteamiento del modelo ser: 375 ) 5 2 )( ( = x x Multiplicando y resolviendo: 0 375 5 2 375 5 22 2= = x x x x Se resuelve la ecuacin por la frmula cuadrtica: 455 543025 543000 25 5) 2 ( 2) 375 )( 2 ( 4 25 ) 5 ( ==+ = = x 69 Las soluciones: 15460455 5= =+= x5 , 12450455 5 === xComo el problema es sobre longitudes, los valores negativos no son vlidos, luego la solucin es: x = 15. Por consiguiente. Largo: 2(15)-5 = 25 Ancho: x = 15 Ejemplo 4: Unobjetoeslanzadoverticalmentehaciaarribaconunavelocidadde400m/seg.laaltura tiene como modelo matemticot v t y0216 + = Siendo t el tiempo y v0 la velocidad inicial.A -) En que tiempo el objeto regresa al suelo b -) Cuanto tarda en alcanzar 2.500 metros de altura Solucin: a-) Cuando el objeto regresa al suelo, la altura es cero (y = 0) 0 400 16 16202= + + = t t t v t yRecordemos que la velocidad inicial es de 400 m/seg.Factorizamos para despejar el tiempo. 0 ) 400 16 ( 0 400 162= + = + t t t tPor la regla del producto nulo: t = 0 -16t + 400 = 0, luegot = 25 seg.El objeto regresa al suelo a los 25 seg. de haber sido lanzado. b-)Paradeterminareltiempoenquelaalturaesde2.500,enlaecuacindealtura,se despeja el tiempo. 0 500 . 2 400 16 400 16 500 . 22 2= + + = t t t t Aplicamos la cuadrtica a la ltima ecuacin: 5 , 1232400320 400) 16 ( 2) 500 . 2 )( 16 ( 4 160000 ) 400 (= == = t El tiempo que utiliza para alcanzar los 2.500 metros es de 12,5 segundos. Ejemplo 5: Enunaplantamanufactureraelcostomensualporproducirxunidadesestadadaporla ecuacin2000 100 10 ) (2 = x x x CCuntas unidades se pueden producir para un costo de 10.000? 70 Solucin: Primero se identificaC = costoyx = unidades producidas. Como se conoce el costo, se debe despejar la incgnita x. 0 000 . 12 100 10 2000 100 10 000 . 10 2000 100 10 ) (2 2 2= = = x x x x x x x C Resolvemos por la cuadrtica: 20700 10020000 . 490 100) 10 ( 2) 000 . 12 )( 10 ( 4 10000 ) 100 ( == = xLas soluciones: 4020700 1001=+= x3020700 1002 == x Por obvias razones la solucin es 40 unidades. Ejemplo 6: La suma de los n enteros pares consecutivosesta dada por la ecuacin ) 1 ( + = n n s.Cuntosenterosparesconsecutivosypositivossedebensumarparaquedichasumasea de 342? Solucin: A partir de la ecuacin se reemplaza el valor de s y se opera: 0 342 342 ) 1 (2 2= + = + + = n n n n n n s ( )( ) 0 18 19 3422= + = + n n n n Por el producto nulo: n + 19 = 0, entoncesn = -19 n 18 = 0, entonces n = 18 Se deben sumarlos primeros 18 enteros pares consecutivospositivos para que la suma de 342. Ejemplo 7: Unatuberapuedellenaruntanqueen5hr.msrpidoqueotratubera,lasdostuberas pueden llenar el tanque en 5 hr. Cunto tiempo tomar llenar el tanque cada una? Solucin: El llenado de la tubera ms lenta esx1Para x tiempo en segundos. El llenado de la tubera ms rpida es 51+ x El llenado las dos tuberas simultneamente es51 La suma de los llenados, permite obtener el tiempo de cada tubera. 71 51) 5 (5 251) 5 (55151 1=++ =++ + =++x xxx xx xx x Por el principio de fracciones equivalentes: 0 25 5 5 25 105155 22 22= + = + =++x x x x xx xx Por la cuadrtica: 2125 52) 25 )( 1 ( 4 25 5 = = xLas soluciones: 09 , 82125 51=+= x09 , 32125 52 == x La solucin ser 8,09. Latuberamslentatardaenllenareltanque8,09seg.ylatuberamsrpidatardaren llenar el tanque 8,09 + 5 = 13,09 EJERCICIOS Leacuidadosamentecadaproblemayconlosconocimientosadquiridos,resolverlos adecuadamente. 1.Dos nmeros enteros pares consecutivos tienen como producto 168, Cules son dichos nmeros?Rta: 12 y 14 2. El largo de un rectngulo es de 4 metros y el ancho de 2 metros, si las dos dimensiones se aumentan en la misma cantidad, el rea del nuevo rectngulo ser el doble del rea original. Cuales sern las dimensiones del nuevo rectngulo?Rta: Largo 5,12 y ancho 3,12 3.Laecuacin( )217 30 000 . 1 ) ( t t t P + = correspondealcrecimientodeunapoblacinde peces en t tiempo, medido en aos. La primera medida se hizo en el ao 1.997. a-) Cuantos peces haba en el ao 1.997 b-) A los cuantos aos se mueren todos los peces.Rta: a-) 30.00y b-) 18,61 aos 4.Untringulorectngulotienesuhipotenusa7metrosmslargaqueundesuslados,el permetro del rectngulo es de 392 metros Cual es la longitud de los lados del tringulo? Rta: 168,175y 49 5.LacantidaddedineroAqueresultaalinvertiruncapitalPaunatasadeintersr compuestaanualmentepordosaos,estadadaporlaecuacin 2) 1 r P A + = Si$10.000se invierten a unatasade inters compuesto anualmente, el capital aumenta a $12.321 en dos aos. De cuanto fue la tasa de inters? Rta: 11%

72 ECUACIONES DE TERCER GRADO Lasecuacionesdetercergradohansidomuyestudiadas,peronosehaencontradouna solucingeneralcomolaquetienelasdesegundogrado.Pararesolverestetipode ecuaciones, se van a analizar dos caminos, diferenciados por la poca donde fue propuesto. METODO ANTIGUO: La resolucin de ecuaciones de tercer grado se remonta a los babilonios, quienesresolvieron problemas que involucraban races cbicas, tenan planteamientos como el siguiente: x z 12 = x y= xyz v=

312 x v= Para lo cual usaron tablas de potencias cbicas y races cbicas. Un profesor de Matemticas de la Universidad de Bolognia, Scipione del Ferro (1.465 1.526) fuequienporprimeravezresolvialgebraicamenteuna ecuacincbica. delaformax3+px=q.PosteriormenteNicoloTartaglia,enunacompetenciaconFior;alumnode Scipione del Ferro revolvi 30 ecuaciones de este tipo. El matemtico Girolamo Cardano (1.501 1.576) se inquiet por los avances de Tartaglia y al reunirseconelenmarzode1.539,steltimorevelasussecretosaCardano,despusde muchosiresyvenires,laformulaobtenidaparaecuacionesdetercergradoselellamo FormuladeCardano-Tartaglia.Enresumendelprocesoqueserealiz,seobtuvouna formulade la siguiente manera: Sea la ecuacin: q px x = +3 La solucin es de la forma: Cardano, no acepto ni coeficientes, ni soluciones complejas para las ecuaciones de este tipo. ValelapenacomentarqueViet,quientrabajolasecuacionescbicasutilizando transformacionesysustituciones,obtuvoecuacionescuadrticaspararesolverecuaciones cbicas, la caractersticaera que solo utilizaba races cbicas positivas. METODO MODERNO: A partir de los trabajos de Cardano y Tartaglia, se han venido buscando formas ms prcticas pararesolverecuacionesdetercergrado.Elprimerintentollevoaplantearunafrmula parecidaaladeCardano-Tartaglia,peroeramuylargaycomplicadademanejar.Conel estudiodelospolinomiosselogrestableceralgunosprincipiosqueayudaronabuscarun camino dinmico para resolverecuaciones cbicas.02 3= + + + d cx bx ax33 233 23 2 2 3 2 2||

\|+||

\|+ +||

\|+||

\|+ =p q q p q qx73 Con la definicin anterior, se puede inferir que una ecuacin de grado tres, se puede reducir a grado dos, buscando una de sus races, ya que: d cx bx ax x P + + + =2 3) ( Adems siP( r ) = 0, entonces: ( )( ) w qx px r x x P + + =2) ( Este proceso es una forma de linealizar la ecuacin, recordemos que linealizar es expresar un polinomio de grado n, en n factores de grado uno; o sea,factores lineales. Losmatemticossehanpreocupadopordeterminareltipodesolucionesquepuedetener unaecuacincbica.Apartirdelaecuacin02 3= + + + d cx bx ax ,seidentificasu discrimnate: 3 3 2 2 327 4 4 18 c b b a c a abc + = Segn el signo del discriminante se puede identificar el tipo de solucin: Si 0 > : La ecuacin tiene tres soluciones reales diferentes. Si 0 = : La ecuacin tiene tres soluciones reales y por lo menos dos de ellas iguales. Si 0 < : La ecuacin tiene una solucin real y dos soluciones imaginarias. Solucin para una ecuacin de tercer grado: Elprincipioconsisteenreducirlaecuacinaunproductodedosfactores,unolinealyotro cuadrtico.Deestamaneasepuededespajarlaincgnitayobtenerlassoluciones respectivas.La tcnica de reduccin es por mediola llamada Divisin Sinttica,la cual se mostrar simbolizara continuacin. Sea la ecuacin: 02 3= + + + d cx bx ax La divisin: Se organizan los coeficientes como se observa en la grfica. rson los divisoresde a y d positivos y negativos. Es pertinente aclara que a debe ser diferente de cero Elprocesoiniciabajandoelvalora,luegoestese multiplica por rpara obtener elvalor A.En seguida se sumab + A para obtener P.Seguido se multiplica P por r para obtener B, se suma c + B y se obtiene Q, Luego se multiplica Q por r para obtener D, se suma d + Dcuyo resultado debe ser cero (0). DEFINICIN: Sea P(x) un polinomio de grado n, sea r un nmero real o complejo, tal queP( r )= 0, entonces se dice queres un cero del polinomio. Por consiguiente res una solucin o raz de la ecuacin Polinmica. 74 Silaltimasuma(d+D)nodacero,loqueindicaesqueelrescogidonoesrazdel polinomio, entoncessepruebacon otror hasta obtener aquelquepermitaquedichasuma sea cero (d + D = 0). Es pertinente aclarar que se debe probar con los valores positivos y negativos de los divisores identificados. Ejemplo 1: Resolver la ecuacin 0 2 33= + x x Solucin: Es evidente que se deben tener tres soluciones.Para buscar la primerase identifican los rque para este caso son: 1, -1, 2, -2.Se inicia con 1. Como el polinomio, no tiene trmino en x2 se completa con cero. Ilustremos el proceso realizado: 1x1 = 1,0 + 1 = 1 1x1 = 1,-3 + 1 = -2 -2x1 = -2,2 + (-2) = 0 r = 1 es cero del polinomio. Ahora la ecuacin inicial se expresa como producto de dos factores, el primero ser (x r) y el segundoseruntrinomiocuadradocuyoscoeficientessonlosvaloresdelresiduodela divisin sinttica. ( )( ) 2 1 2 32 3 + = + x x x x x

El trinomio cuadrado se puede resolver como ya se ha analizado: ( ) ( )( ) 1 2 22 + = + x x x x Las soluciones son: -2y1,recordemos por qu. ( )( )( ) 2 1 1 2 33+ = + x x x x x Las soluciones de la ecuacin inicial ser entonces: x = 1,x = 1,x = -2 Comoseobservaenlasolucinhaydosfactoreslinealesiguales,entoncessedicequeel polinomio tiene una raz doble; es decir,raz con multiplicidad dos. Ejemplo 2: Hallar la solucin de la siguiente ecuacin: 1 3 ) (2 3+ + = x x x x P 75 Solucin: Los posibles r son: 1, -1 Probamos con r = 1. 1 x 1 = 1, luego -3 + 1 = - 2 - 2 x 1 = -2, luego 1 + (-2) = - 1 - 1 x 1 = -1, luego 1 + (-1) = 0 r = 1 es cero del polinomio. Entonces: ( )( ) 1 2 1 1 32 2 3 = + + x x x x x x El trinomio cuadrado se resuelve por la cuadrtica: 2 122 2 228 22) 1 )( 1 ( 4 4 ) 2 ( === = x La solucin de la ecuacin inicial es: 1 = x , 2 1 + = x , 2 1 = x .Corresponde a tres soluciones reales diferentes. Multiplicidad:Lamultiplicidaddeunpolinomioeselnmerodefactoreslinealesquese repiten. El ejemplo 1 tienemultiplicidad dos.El ejemplo 2 tiene multiplicidad uno. Ejemplo 3: Resolver0 40 6 3 22 3= + + x x x Solucin: Losposiblescerosdelpolinomio:1,-1,2,-2,4,-4,5,-5,8,-8,10,-10,20,-20,40,-40.Comosiempresepruebaconuno,pero paraestecasolasumad+Desdiferentedecero, as para -1, 2, pero para -2 si se obtiene cero, veamos: 2 x -2 = - 4, luego- 3 + (- 4) = -7 - 7 x (- 2) = 14, luego 6 + 14 = 20 20 x (-2) = - 40, luego40 + (-40) = 0 r = -2 es cero raz del polinomio. Entonces, expresamos la ecuacin inicialcomo producto de dos factores:( )( ) 20 7 2 2 40 6 3 22 2 3+ + = + + x x x x x x El trinomio cuadrado se resuelve pro la cuadrtica: 76 4111 74111 74160 49 7) 2 ( 2) 20 )( 2 ( 4 49 ) 7 ( ix= = = =Las soluciones: 4111 71ix+=y 4111 72ix=Laecuacininicialtienetressoluciones,unasolucinrealx=-2ydosimaginarias.4111 7 ix+=4111 7 ix= ECUACIONES POLINMICAS Las ecuaciones que presenten un grado mayor o igual a tres, se les llama polinmicas, se han estudiadoporseparadolasecuacionesdeprimero,segundoytercergrado,ahorase pretende hacer un anlisis general a las ecuaciones polinmicas.Unaecuacindelaforma0 ...1= + + +