geometria diferencial 2 suplement d’`algebra · xavier gr`acia — geometria diferencial 2....

Geometria Diferencial 2Suplement d’algebra

Xavier GraciaDepartament de Matematica Aplicada IVFacultat de Matematiques i Estadıstica

Universitat Politecnica de Catalunya

marc 2004 – marc 2007 / revisio 15 desembre 2013

Aquest es un recull de definicions, amb alguns exemples interessants, sobrediverses questions d’algebra que apareixen dins l’assignatura.

Moduls

Quan en els axiomes d’espai vectorial es reemplaca el cos per un anell A,s’obte una estructura algebraica anomenada A-modul.El concepte d’homomorfisme (o aplicacio lineal) entre moduls es el mateixque amb espais vectorials, i analogament el de submodul i modul quocient.Tambe es defineix la suma directa i el producte directe de moduls.Els conceptes de sistema de generadors, vectors linealment independents ibase son els mateixos que per a espais vectorials. Un A-modul M es diul liure quan te una base (ei)i∈I . En aquest cas tot element de M s’escriucom a combinacio lineal unica x =

∑i∈I ξ

iei amb ξi ∈ A. Normalmentescriurem aquesta expressio com x = ξiei, sobreentenent el sumatori sobrel’ındex repetit; aquest es l’anomenat conveni d’Einstein.

Exemple Sigui V ⊂ Rn un obert no buit. Sigui k ∈ N ∪ {∞}. Lesfuncions reals de classe Ck en V , Ck(V,R), constitueixen un anell com-mutatiu.Considerem el conjunt dels camps vectorials de classe Ck en V , que po-dem identificar amb el conjunt de les funcions vectorials Ck(V,Rn). Sif ,g ∈ Ck(V,Rn), esta definida la suma f + g, aixı com el producte h fper una funcio h ∈ Ck(V,R). Amb aquestes operacions, Ck(V,Rn) es unmodul sobre l’anell Ck(V,R).Els camps vectorials constants ei definits a partir de la base canonica(ei)1≤i≤n de Rn, ei(x) = ei, son una base d’aquest modul, ates que qual-

Xavier Gracia — Geometria Diferencial 2. Suplement d’algebra — 15 des 2013 2

sevol camp vectorial de classe Ck en V s’escriu de manera unica v = viei,amb vi ∈ Ck(V,R).

Dualitat

Sigui K un anell commutatiu. Donats dos K-moduls E i F , el conjuntde les aplicacions K-lineals de E en F , LK(E,F ) ≡ HomK(E,F ), te unaestructura de K-modul. En particular, s’anomena dual de E el modulde les seves formes K-lineals, E∗ = L(E,K). Els seus elements tambes’anomenen covectors. Donats x ∈ E, α ∈ E∗, escriurem 〈α, x〉 ≡ α · x ≡α(x).L’aplicacio E∗ × E → K, (α, x) 7→ 〈α, x〉 es bilineal. Donat x ∈ E, tenimdoncs una aplicacio lineal x:E∗ → K definida per x(α) = α(x). D’aquestamanera s’obte una aplicacio lineal canonica c:E → E∗∗ de E en el seubidual, x 7→ x = 〈·, x〉; en general no es ni injectiva ni suprajectiva.Suposem que E te una base finita (ei). Llavors E∗ te l’anomenada basedual (ej), definida per

〈ej , ei〉 = δji ,

on δji es el sımbol de Kronecker ; val 1 quan i = j, 0 altrament. Si x =ξiei ∈ E, llavors ξi = 〈ei, x〉. Repetint la construccio de la base dual, esdedueix que l’aplicacio canonica c:E → E∗∗ es un isomorfisme i que E

s’identifica al dual de E∗ (la qual cosa justifica la denominacio de «dual»).Encara en dimensio finita, considerem dues bases de E, (ei) i (ek). Es-tan relacionades per ek = eiP

ik, on (P ik) es la matriu del canvi de base.

Aleshores les bases duals respectives estan relacionades per ej = P j`e`.

Si u:E → F es una aplicacio K-lineal, la seva aplicacio transposada o duales l’aplicacio lineal, que denotarem per u∗ o tu:F ∗ → E∗, definida per

〈tu(β), x〉 = 〈β, u(x)〉 .L’operacio de transposicio compleix t(u1 + u2) = tu1 + tu2, t(λu) = λtu it(v◦u) = tu◦tv. En el cas de moduls lliures de dimensio finita, la identificacioamb els biduals tambe permet identificar u amb ttu.En el cas que u:E → F sigui un isomorfisme, la seva aplicacio transposadatambe ho es, i te una inversa tu−1:E∗ → F ∗, a vegades anomenada aplicaciocontragradient. Per definicio, 〈tu−1(α), u(x)〉 = 〈α, x〉.Suposem que E te una base finita (ei) i F te una base finita (fk). L’aplicacio


lineal u:E → F te una matriu A = (Aki) en aquestes bases, definida peru(ei) = fkA

ki. Aquesta matriu permet escriure l’aplicacio en coordenades:

ηk = Akiξi. L’aplicacio tu satisfa tu(fk) = Akie

i, de manera que en lescoordenades donades per les bases duals l’aplicacio transposada s’expressaamb l’equacio ai = bkA

ki.

Sigui F ⊂ E un submodul. S’anomena anul.lador o ortogonal de F dins E∗el submodul

F` = {α ∈ E∗ | (∀x∈F ) 〈α, x〉 = 0} .Si u:E → F es lineal, es compleix que (Im u)` = Ker tu. En el cas d’espaisvectorials de dimensio finita, F s’identifica amb (F`)`.

Algebres

Sigui K un cos commutatiu (o, mes generalment, un anell commutatiu).Una K-algebra es un K-espai vectorial (o K-modul, si es el cas) A dotatd’una aplicacio bilineal m:A × A → A, anomenada multiplicacio, i quesovint denotarem multiplicativament, m(x, y) = xy.L’algebra es diu associativa o commutativa si ho es el producte, es a dir,si es compleix x(yz) = (xy)z o xy = yx, respectivament. L’algebra es diuunitaria si el producte te un element neutre, usualment denotat per 1. Enparticular, una algebra associativa i unitaria es un anell.Un morfisme de K-algebres es una aplicacio K-lineal f :A → B tal quef(xy) = f(x)f(y). En el cas d’algebres unitaries sovint se suposa tambeque f(1) = 1.Una subalgebra es un subconjunt B ⊂ A estable per les operacions (suma,producte per escalars i producte).Un ideal bilateral es un subespai I ⊂ A tal que x ∈ I, y ∈ A impliquenxy ∈ I, yx ∈ I. Llavors es pot definir l’algebra quocient A/I.

Exemple El conjunt dels polinomis en una variable amb coeficientsen K, K[X], es una K-algebra associativa, commutativa i unitaria.

Exemple El conjunt dels endomorfismes d’un K-espai vectorial E,EndK(E), es una K-algebra associativa i unitaria.

Exemple Analogament, el conjunt de les matrius quadrades d’ordre namb coeficients en K, Mn(K), es una K-algebra associativa i unitaria.


Exemple Sigui X un espai topologic. El conjunt de les funcions realscontınues en X, C(X,R), es una R-algebra associativa, commutativa iunitaria.Dins aquesta algebra, les funcions que s’anul.len en un punt fixat p ∈ Xformen un ideal mp.

Exemple Sigui V ⊂ Rn un obert no buit. De manera similar a l’e-xemple anterior, les funcions de classe C∞ en V , C∞(V,R), formen unaR-algebra (de dimensio infinita).Dins aquesta algebra, les funcions amb suport compacte formen unasubalgebra C∞c (V,R) sense element unitat.

Algebres de Lie

Una K-algebra de Lie es una algebra on el producte, usualment denotatper [x, y] i anomenat claudator, satisfa les dues propietats seguents:• Es alternat:

[x, x] = 0.• Satisfa la identitat de Jacobi:

[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.La primera implica que el producte es antisimetric: [x, y] = −[y, x].Un exemple important es el seguent. Si A es una K-algebra associativa,llavors el mateix espai vectorial (o modul) A es una K-algebra de Lie ambel producte definit pel commutador

[x, y] = xy − yx.

Exemple En particular, si E es un K-espai vectorial, el conjunt delsseus endomorfismes A = EndK(E) es una algebra associativa, per tantuna algebra de Lie.

Exemple L’espai vectorial de les matrius quadrades Mn(K) es una K-algebra de Lie amb el producte [A,B] = AB − BA. Tambe es representaper gl(n,K), o gln(K).Dins aquesta algebra, les matrius de traca nul.la formen una subalgebrade Lie sl(n,K).Una altra subalgebra es la formada per les matrius antisimetriques,o(n,K).

Exemple R3 amb el producte vectorial ordinari es una R-algebra deLie isomorfa a o(3,R).


Derivacions d’una algebra

Sigui A una K-algebra. Una derivacio es una aplicacio K-lineal d:A→ A

tal que

d(xy) = (dx)y + x(dy).

Si A es unitaria amb unitat 1, llavors necessariament d(1) = 0.Si A es associativa, d(x1 . . . xk) =

∑ki=1 x1 . . . xi−1(dxi)xi+1 . . . xk.

Exemple La derivacio ordinaria D: C∞(I,R) → C∞(I,R) de funcionsdefinides en un interval obert I ⊂ R.

Exemple Mes generalment, considerem un subconjunt obert V ⊂ Rn.L’operador Di de derivacio parcial respecte a la coordenada i-esima es unaderivacio Di: C∞(V,R)→ C∞(V,R).

Exemple Si A es una algebra associativa i a ∈ A, l’aplicacio ada:A→ A,ada(x) = [a, x], es una derivacio de A, anomenada derivacio interior.

Sigui Der(A) el conjunt de les derivacions de A. Dins l’algebra d’aplicacionslineals End(A), les derivacions formen un subespai vectorial, pero no unasubalgebra, ja que en general la composicio de dues derivacions no es unaderivacio. Tanmateix, Der(A) es una subalgebra de Lie, ja que si d1, d2son derivacions de A, tambe ho es [d1, d2] = d1 ◦ d2 − d2 ◦ d1.

Generalitzant el concepte de derivacio, sigui α:A → B un homomorfismede K-algebres. Una α-derivacio es una aplicacio lineal d:A → B tal qued(xy) = dx · α(y) + α(x) · dy.

Exemple Sigui I ⊂ R un interval obert, x◦ ∈ I. L’aplicacioDx◦ : C1(I,R) → R, definida per Dx◦f = Df(x◦), es una α-derivacio,essent α l’avaluacio f 7→ f(x◦).

Exemple Sigui V ⊂ Rn un conjunt obert, p ∈ V un punt, u ∈ Rn unvector. L’aplicacio Dp,u: C1(V,R) → R, que a cada funcio f li assignala seva derivada direccional Dp,uf = f ′(p; u) es una α-derivacio, essent αl’avaluacio f 7→ f(p).

Exemple La derivacio ordinaria de funcions d’una variable, consideradacom a aplicacio D: C1(I,R) → C0(I,R), es una derivacio. En aquest casel morfisme α no es mes que la inclusio de les funcions de classe C1 coma subalgebra de les de classe C0.


Moduls graduats i algebres graduades

Sigui A un K-modul. Una graduacio (de tipus N) en A es una descomposi-cio en suma directa de submoduls A = ⊕k≥0Ak. Es diu que A es un modulgraduat.Els elements de Ak es diuen homogenis de grau k, i tot element de A s’escriude manera unica com a suma d’elements homogenis, x =

∑k≥0 xk.

Suposem a mes que A es una K-algebra. Es diu graduada si AkA` ⊂ Ak+`.En cas de tenir unitat 1, necessariament 1 ∈ A0.

Exemple El conjunt dels polinomis en una variable amb coeficientsen K, K[X], es una K-algebra graduada.Mes generalment, el conjunt dels polinomis en n variables, K[X1, . . . , Xn].Els seus elements de grau k son els polinomis homogenis de grau total k.

Exemple Sigui E un K-modul, Tk(E) = E⊗ k. . . ⊗E el modul delstensors k-contravariants. El modul graduat T•(E) = ⊕k≥0Tk(E), ambel producte de tensors, es una algebra graduada associativa i unitaria,anomenada algebra tensorial (contravariant) de E.

Exemple Tambe es una algebra graduada l’algebra exterior de E,Λ•(E) = ⊕k≥0Λk(E). Es associativa, unitaria i anticommutativa: sizk ∈ Λk(E) i z` ∈ Λ`(E), llavors zk ∧ z` = (−1)k`z` ∧ zk.

Derivacions i antiderivacions d’una algebra graduada

Sigui A una K-algebra graduada. Una derivacio d:A→ A es diu de grau r(on r ∈ Z) si dAk ⊂ Ak+r (convenim que Ak = {0} si k < 0).

Exemple La derivacio ordinaria de polinomis D:K[X] → K[X] tegrau −1.

Una antiderivacio de grau r de A es una aplicacio K-lineal d:A→ A tal quedAk ⊂ Ak+r i, per a un producte d’elements homogenis xk ∈ Ak, x` ∈ A`,se satisfa

d(xkx`) = (dxk)x` + (−1)krxk(dx`).(Evidentment si r es parell tenim una derivacio.)

Exemple Sigui E un K-modul, x ∈ E. Dins l’algebra exterior de E∗,el producte interior amb x, ix: Λ•(E∗)→ Λ•(E∗), es una antiderivacio degrau −1.


Sigui d una antiderivacio de grau r d’una algebra graduada A. Si A teunitat 1, necessariament d(1) = 0. Si A es associativa i xi ∈ Aki

, llavorsd(x1 . . . xk) =

∑ki=1(−1)r(k1+...+ki−1)x1 . . . xi−1(dxi)xi+1 . . . xk.

Si d1, d2 son antiderivacions de graus r, s, llavors d1 ◦ d2− (−1)rsd2 ◦ d1 esuna antiderivacio de grau r+ s. En particular, si r i s son imparells llavorsd1 ◦ d2 + d2 ◦ d1 es una derivacio.

Producte tensorial

Sigui K un anell commutatiu. Si E, F son K-moduls, existeixen un K-modul E ⊗ F i una aplicacio bilineal c:E × F → E ⊗ F amb la propietatseguent: tota aplicacio bilineal f2:E × F → G s’escriu de manera unicacom f2 = f1 ◦c, on f1:E⊗F → G es una aplicacio lineal. Es diu que E⊗Fes el producte tensorial de E i F . La imatge de (x, y) per c s’anomenaproducte tensorial de x i y i es denota x⊗ y. Aixı f2(x, y) = f1(x⊗ y).D’aquesta manera el conjunt d’aplicacions bilineals L2(E×F ;G) es isomorfal d’aplicacions lineals L(E⊗F,G), i en particular L2(E×F ;K) ∼= (E⊗F )∗.Si E te una base (ei) i F te una base (fj), llavors (ei ⊗ fj) es una basede E ⊗ F .Igualment es defineix el producte tensorial E1⊗ . . .⊗Ek d’un nombre finitde moduls. Les aplicacions lineals E1 ⊗ . . .⊗ Ek → G es corresponen ambles aplicacions multilineals E1 × . . .× Ek → G.El producte tensorial es associatiu en el sentit que hi ha isomorfismescanonics com ara (E ⊗ F ) ⊗ G ∼= E ⊗ (F ⊗ G) ∼= E ⊗ F ⊗ G. Tambetenim E ⊗K ∼= K ⊗ E ∼= E, i E ⊗ F ∼= F ⊗ E.

Donades aplicacions lineals u1:E1 → F1, u2:E2 → F2, es defineix unaaplicacio lineal u1⊗u2:E1⊗E2 → F1⊗F2 a partir de (u1⊗u2)(x1⊗x2) =u1(x1) ⊗ u2(x2). S’obte aixı una aplicacio lineal L(E1, F1) ⊗ L(E2, F2) →L(E1 ⊗ E2, F1 ⊗ F2)En el cas de moduls lliures de dimensio finita aquesta aplicacio es un iso-morfisme: L(E1, F1) ⊗ L(E2, F2) ∼= L(E1 ⊗ E2, F1 ⊗ F2). Com a casosparticulars es te E∗1 ⊗E∗2 ∼= (E1 ⊗E2)∗, amb (α⊗ β)(x⊗ y) = α(x)β(y), iE∗ ⊗ F ∼= L(E,F ), amb (α⊗ y)(x) = α(x)y.

Exemple Si E te una base finita (ei) i (ei) es la seva base dual, l’iso-morfisme E ⊗ E∗ ∼= End(E) identifica l’aplicacio identitat de E amb eltensor de Kronecker δij ei ⊗ ej .


Algebra tensorial

Sigui E un K-modul. Es defineix Tensk(E) ≡ Tk(E) ≡ E⊗k = E⊗ k. . . ⊗E(convenim T1(E) = E, T0(E) = K). S’anomena potencia tensorial k-esimade E. Els seus elements es diuen tensors k vegades contravariants, o mesbreument k-contravariants. Si E te una base (ei) formada per n elements,llavors (ei1 ⊗ . . . ⊗ eik ) es una base de Tk(E) formada per nk elements.Qualsevol tensor T ∈ Tk(E) s’escriura doncs T = ti1...ik ei1 ⊗ . . .⊗ eik .Si f :E → F es lineal, es pot definir una aplicacio lineal Tk(f): Tk(E) →Tk(F ) per Tk(f)(x1 ⊗ . . .⊗ xk) = f(x1)⊗ . . .⊗ f(xk).Considerem ara el modul graduat T•(E) = ⊕k≥0E

⊗k = K⊕E⊕E⊗2⊕ . . .Donats tensors homogenis tk ∈ E⊗k, t` ∈ E⊗`, podem fer-ne el produc-te tensorial tk ⊗ t` ∈ E⊗(k+`). D’aquesta manera T•(E) es una algebragraduada associativa i unitaria, anomenada algebra tensorial contravariantde E.

De forma semblant es poden definir els tensors `-covariants amb Tens`(E) ≡T`(E) ≡ (E∗)⊗` = E∗⊗ `. . . ⊗E∗, i l’algebra tensorial covariant T•(E) =⊕`≥0T`(E). Si E te una base finita (ei) i (ej) es la seva base dual, llavorsT`(E) te una base (ej1 ⊗ . . .⊗ ej`).Si f :E → F es lineal, es pot definir una aplicacio transposada tf :F ∗ → E∗

i doncs T`(tf): T`(F )→ T`(E).

Finalment, tenim els tensors mixtos k-contravariants `-covariants, que sonels elements de Tensk` (E) ≡ Tk` (E) = (⊗`E∗)⊗(⊗kE) (l’ordre en que posemels dos factors es poc rellevant).A partir de la base de E obtenim la base (ej1 ⊗ . . .⊗ ej` ⊗ ei1 ⊗ . . .⊗ eik )de Tk` (E). Un element T ∈ Tk` (E) es pot escriure

T i1···ikj1···j`ej1 ⊗ . . .⊗ ej` ⊗ ei1 ⊗ . . .⊗ eik .

Considerem una nova base (er) de E, relacionada amb la primera per er =eiP

ir. Llavors tenim el canvi de basees1 ⊗ . . .⊗ es` ⊗ er1 ⊗ . . .⊗ erk

=

= (P−1)s1j1· · · (P−1)s`

j`P i1r1· · ·P ikrk

ej1 ⊗ . . .⊗ ej` ⊗ ei1 ⊗ . . .⊗ eik .

Si l’expressio de T en la nova base es T r1···rks1···s`

es1 ⊗ . . .⊗ es` ⊗ er1 ⊗ . . .⊗ erk,

la relacio entre els components de T en ambdues bases esT r1···rks1···s`

= P j1s1· · ·P j`

s`(P−1)r1

i1· · · (P−1)rk

ikT i1···ikj1···j`

.


La suma directa de tots els moduls Tk` (E) constitueix l’algebra tensorialmixta T••(E) = ⊕k,`Tk` (E). Concretament, el producte de dos elementshomogenis del tipus α1⊗ . . .⊗α`⊗ x1⊗ . . . xk i β1⊗ . . .⊗ β`′ ⊗ y1⊗ . . . yk′es

α1 ⊗ . . .⊗ α` ⊗ β1 ⊗ . . .⊗ β`′ ⊗ x1 ⊗ . . . xk ⊗ y1 ⊗ . . . yk′ .Semblantment a la definicio de Tk(f), si f :E → F es un isomorfisme lineales pot definir Tk` (f): Tk` (E)→ Tk` (F ) lineal per

Tk` (f)(α1 ⊗ . . .⊗ α` ⊗ x1 ⊗ . . .⊗ xk) =

= tf−1(α1)⊗ . . .⊗ tf−1(α`)⊗ f(x1)⊗ . . .⊗ f(xk) .

Exemple Considerem un canvi de base ek = eiPik en E.

Donat T = aij ei⊗ej , en la nova base s’expressa T = aij e

i⊗ ej . La relacioentre les matrius A = (aij) i A = (aij) es A = PTAP .Semblantment, donat T = aij ei⊗ej = aij ei⊗ej , les matrius corresponentsestan relacionades per A = P−1AP .

Un tensor S ∈ Tk` (E) es pot interpretar de diferents maneres. Supo-sem primer, per simplicitat, que S es un tensor descomponible, S =α1 ⊗ . . . ⊗ α` ⊗ x1 ⊗ . . . xk. Llavors S defineix una forma multiline-al S:E` × (E∗)k → K de la manera seguent: S(y1, . . . , y`, β1, . . . βk) =〈α1, y1〉 . . . 〈α`, y`〉〈β1, x1〉 . . . 〈βk, xk〉. Aixo tambe es pot considerar comuna forma lineal, denotem-la tambe S: T`k(E) → K, actuant sobre tensors`-contravariants k-covariants: S(y1 ⊗ . . .⊗ y` ⊗ β1 ⊗ . . .⊗ βk). De manerasimilar es pot considerar com una aplicacio multilineal S:E` → Tk(E), oequivalentment com una aplicacio lineal S: T`(E) → Tk(E) d’acord ambS(y1 ⊗ . . . ⊗ y`) = 〈α1, y1〉 . . . 〈α`, y`〉x1 ⊗ . . . xk. En general S es combi-nacio lineal d’elements descomponibles, i les expressions anteriors esdeve-nen una mica mes complicades. Normalment no posarem cap senyal so-bre S entes en aquestes diferents interpretacions, i escriurem per exempleS(y1 ⊗ . . . y` ⊗ β1 ⊗ . . .⊗ βk).Donat un isomorfisme f :E → F i un tensor S ∈ Tk` (E), el tensor transfor-mat Tk` (f)(S), interpretat com a funcio multilineal de vectors i covectorsde F , actua per

(Tk` f)(S)(v1, . . . , v`, ω1, . . . , ωk) =

= S(f−1(v1), . . . , f−1(v`), tf(ω1), . . . , tf(ωk)) .

En el cas de ser E lliure de dimensio finita tenim les identificacions anteriors


en forma d’isomorfismes Tk` (E) ∼= (T`k(E))∗ ∼= L(Tk(E),T`(E)).

La contraccio interior de l’i-esim ındex contravariant amb el j-esim ındexcovariant d’un tensor mixt es l’aplicacio cij : Tk` (E)→ Tk−1

`−1 (E) definida percij(α1 ⊗ . . .⊗ α` ⊗ x1 ⊗ . . .⊗ xk) =

= 〈αj , xi〉α1 ⊗ . . .⊗ αj ⊗ . . .⊗ xi ⊗ . . .⊗ xk ,on els barrets denoten l’absencia dels termes corresponents.

Exemple Considerem en particular c11: T1

1(E) → K. Si T ∈ T11(E),

aleshores c11(T ) no es mes que la traca de T considerat com a endomorfisme

de E: si T = aji ei ⊗ ej , c1

1(T ) = aii.

Es poden combinar les operacions de producte tensorial i contraccio interiorper obtenir noves operacions amb tensors. Per exemple, si x ∈ E i T ∈T2(E), es pot definir una contraccio de x amb T , ixT , per ix(α ⊗ β) =〈α, x〉β. Interpretant T com a funcio bilineal en E × E, es ixT = T (x, ·).Si x = xiei i T = aij e

i ⊗ ej , ixT = xiaijej .

Tensors simetrics i antisimetrics

Considerem el modul dels tensors k-contravariants Tk(E). Sigui σ ∈ Sk

una permutacio de {1, . . . , k}. L’expressio σ(x1 ⊗ . . . ⊗ xk) = xσ−1(1) ⊗. . .⊗ xσ−1(k) defineix un endomorfisme de Tk(E). Un tensor T ∈ Tk(E) esdiu simetric si, per a tota σ, σ(T ) = T ; es diu antisimetric si, per a totaσ, σ(T ) = εσT , on εσ es la signatura de σ.Suposem ara que K es un cos de caracterıstica 0 (o si mes no que k! esinvertible dins K). Donat un tensor T de grau k qualsevol, es pot definirun simetritzat de T per 1

k!∑σ σ(T ) i un antisimetritzat per 1

k!∑σ εσ σ(T ),

on els sumatoris recorren totes les permutacions de {1, . . . , k}. Si T ja erarespectivament simetric o antisimetric aquestes dues operacions el deixeninvariant.Podem expressar l’antisimetritzat d’un tensor descomponible x1⊗ . . .⊗ xkper 1

k! εi1···ik xi1 ⊗ · · · ⊗ xik . Aquı εi1···ik denota el sımbol de Levi-Civita,

que val 1 quan i1 · · · ik es una permutacio parella dels ındexs, -1 quan esimparella, i 0 altrament.

Suposem que tenim T ∈ Tk(E), de manera que el podem considerar comuna forma multilineal T :Ek → K. Afirmar que T es simetric equival


a afirmar que T es simetrica: T (xσ(1), . . . , xσ(k)) = T (x1, . . . , xk) per atota permutacio σ. Analogament, afirmar que T es antisimetric equival aafirmar que T es antisimetrica. Es poden enunciar resultats similars ambT ∈ Tk(E).

Exemple Un tensor T ∈ E⊗E es descompon de manera unica en sumad’un tensor simetric i un d’antisimetric, ja que tij = tij +tji

2 + tij−tji

2 .

Algebra exterior

La manera elegant de definir l’algebra exterior de E es com un quocient del’algebra tensorial per un ideal, Λ•(E) = T•(E)/I, on I es l’ideal bilateralgenerat pels elements x⊗ x, amb x ∈ E.La graduacio de l’algebra tensorial dona una graduacio Λ•(E) =⊕k≥0Λk(E); cadascun d’aquests moduls s’anomena potencia exterior k-esima de E, i els seus elements a vegades s’anomenen k-vectors. Com ambels tensors tenim Λ1(E) = E i Λ0(E) = K.

La propietat fonamental de les potencies exteriors es similar a la del pro-ducte tensorial: hi ha una aplicacio k-lineal alternada c:Ek → Λk(E) ambla propietat seguent: tota aplicacio k-lineal alternada fk:Ek → G s’escriude manera unica com fk = f1 ◦ c, on f1: Λk(E)→ G es una aplicacio lineal.S’escriu c(x1, . . . , xk) = x1 ∧ . . . ∧ xk, i s’anomena producte exterior delsvectors x1, . . . , xk.

Si f :E → F es lineal, de manera semblant a Tk(f) es pot definirΛk(f): Λk(E)→ Λk(F ) per Λk(f)(x1 ∧ . . . ∧ xk) = f(x1) ∧ . . . ∧ f(xk).

L’algebra exterior es unitaria i associativa.El producte d’elements de l’algebra exterior ve regit per les propietatsbasiques seguents: xσ(1) ∧ . . . ∧ xσ(k) = εσ x1 ∧ . . . ∧ xk, i, si per a dosındexs i, j diferents es te xi = xj , llavors x1 ∧ . . . ∧ xk = 0.D’aquı es dedueix que l’algebra exterior es anticommutativa: donats ele-ments homogenis zk ∈ Λk(E) i z` ∈ Λ`(E), llavors zk ∧ z` = (−1)k`z` ∧ zk.

Un punt interessant del producte exterior es que permet controlar la inde-pendencia lineal d’un conjunt finit de vectors. Suposant que K es un cos,els vectors x1, . . . , xk ∈ E son linealment independents sii x1∧ . . .∧xk 6= 0.


Si E te una base (ei), llavors els k-vectors ei1 ∧ . . .∧ eik , amb i1 < . . . < ik,constitueixen una base de Λk(E); aixı, si E te dimensio n, Λk(E) te dimensio(nk

), i l’algebra Λ•(E) te dimensio 2n. Un element w ∈ Λk(E) s’expressa

doncs w =∑′

wi1···ik ei1 ∧ . . . ∧ eik , on el sumatori s’esten als multiındexstals que i1 < . . . < ik. A partir d’un canvi de base en E es poden obtenirexpressions per als canvis de base en les respectives potencies exteriorsde E.

Exemple Suposem que E te dimensio finita n, de manera que Λn(E) tedimensio 1.Si f :E → E es un endomorfisme, Λn(f): Λn(E) → Λn(E) es una ho-motecia; la seva rao es el determinant de f .Donada una base (ei) de E i n vectors (xi), x1 ∧ . . . ∧ xn = det(M) e1 ∧. . . ∧ en, essent M la matriu les columnes de la qual son els componentsdels vectors en la base donada. En particular, donat un canvi de baseej = eiP

ij , tenim que e1 ∧ . . .∧ en = det(P ) e1 ∧ . . .∧ en. A l’espai Λn(E∗)

el canvi corresponent es e1 ∧ . . . ∧ en = det(P )−1 e1 ∧ . . . ∧ en.

Si K es un cos de caracterıstica 0, la manera mes simple d’estudiar l’algebraexterior es identificar-la amb els tensors antisimetrics, tal com anem a des-criure. En aquest cas, tensors antisimetrics i tensors antisimetritzats coin-cideixen, i es corresponen per un isomorfisme lineal amb els elements delquocient esmentat abans, T•(E)/I.D’una banda, els tensors antisimetrics constitueixen un subespai vectorial.Ara be, donats tensors antisimetrics zk ∈ Tk(E) i z` ∈ T`(E), el seuproducte tensorial no es en general antisimetric, pero es pot antisimetritzarposant

zk ∧ z` = 1k! `!

∑σ

εσ σ(zk ⊗ z`) .

D’aquesta manera s’obte una descripcio alternativa de l’algebra exterior.En particular, donats k vectors x1, . . . , xk ∈ E, tenim x1 ∧ . . . ∧ xk =∑σ εσ xσ(1) ⊗ . . .⊗ xσ(k).

Suposem E de dimensio finita. De la mateixa manera que els tensors k-covariants T ∈ Tk(E) = Tk(E∗) corresponen a les formes multilinealsT :Ek → K, els k-covectors ω ∈ Λk(E∗) corresponen a formes k-linealsalternades ω:Ek → K. De retruc, Λk(E∗) s’identifica al dual (ΛkE)∗.


Donat θ1 ∧ . . . ∧ θk ∈ Λk(E∗), la seva accio sobre k vectors es(θ1 ∧ . . . ∧ θk)(x1, . . . , xk) = det(〈θi, xj〉).

Mes generalment, si α ∈ Λk(E∗) i β ∈ Λ`(E∗), llavors(α ∧ β)(x1, . . . , xk+`) =

= 1k! `!

∑σ∈Sk+`

εσ α(xσ(1), . . . , xσ(k))β(xσ(k+1), . . . , xσ(k+`)) .

Considerem la contraccio interior o producte interior en la forma seguent.Fixat x ∈ E, es te una aplicacio lineal ix: Λk(E∗) → Λk−1(E∗) definida dela manera seguent: si αi ∈ E∗,

ix(α1 ∧ . . . ∧ αk) =k∑j=1

(−1)j+1〈αj , x〉α1 ∧ . . . ∧ αj ∧ . . . ∧ αk ,

on el barret denota l’omissio del terme corresponent. Considerant un ele-ment ω ∈ Λk(E∗) com a forma k-lineal, ixω tambe es pot expressar

ixω(y1, . . . , yk−1) = ω(x, y1, . . . , yk−1) .En particular, si θ ∈ E∗ tenim ixθ = 〈θ, x〉, i si λ ∈ K llavors ixλ = 0.L’aplicacio ix: Λ•(E∗)→ Λ•(E∗) satisfa les propietats seguents: ix ◦ ix = 0,i sobre un producte exterior de formes homogenies

ix(α ∧ β) = (ixα) ∧ β + (−1)grau(α)α ∧ (ixβ) ,de manera que ix es una antiderivacio de grau −1 de l’algebra exteriorde E∗.

Operacions de grups sobre conjunts

Sigui G un grup, amb element neutre e. Una operacio (o accio) per l’esquer-ra de G sobre un conjunt E es una aplicacio α:G×E → E, que denotaremper α(s, x) ≡ s·x, tal que satisfa les dues propietats seguents:• e·x = x.• t·(s·x) = (ts)·x.

Per a cada s ∈ G l’aplicacio αs = α(s, ·):E → E es bijectiva amb inversaαs−1 . Denotant per SE el conjunt de les permutacions de E, obtenim aixıuna aplicacio α:G→ SE , s 7→ αs, que es un morfisme de grups.Fixat x ∈ E, tenim tambe una aplicacio α(·, x):G → E, tal que s 7→ s·x.La imatge d’aquesta aplicacio s’anomena orbita de x, i es representa perOx ≡ G·x.


La relacio de pertanyer a la mateixa orbita es una relacio d’equivalenciaen E; el conjunt quocient es l’espai de les orbites i es representa per E/G.Fixat un punt x ∈ E, el conjunt Sx = {s ∈ G | s ·x = x} es un subgrupde G anomenat estabilitzador de x. Hi ha una bijeccio G/Sx → G·x.

Exemple El grup multiplicatiu R∗ opera sobre Rn per (λ, x) 7→ λx.Les orbites son {0} i els subespais de dimensio 1 privats del 0. Si en llocde Rn prenem E = Rn − {0}, l’espai de les orbites es l’espai projectiuPn−1(R).

Exemple El grup multiplicatiu Z∗ = {1,−1} tambe opera sobre Sn, iigualment el quocient Sn/Z∗ s’identifica amb Pn(R).

Exemple Considerant S1 ⊂ C, el grup additiu R opera sobre S1 per(t, u) 7→ e2πitu.

Exemple Fixada A ∈ Mn(R), R opera sobre Rn per (t, x) 7→ eAtx.

Exemple El grup GLn(R) opera sobre Rn per (U, x) 7→ Ux.

Exemple El grup GLn(R) opera sobre Mn(R) per (U,A) 7→ UAU−1.

geometria diferencial 2 suplement d’`algebra · xavier gr`acia — geometria diferencial 2....

Documents