algebra,trigonòmetria y geometria

8/2/2019 algebra,trigonmetria y geometria

1/34

Captulo 1

Algebra, Geometra y

Trigonometra

En este primer captulo se presenta una breve descripcion del algebra necesaria parala resolucion tanto de ecuaciones como de inecuaciones. A continuaci on se presentanlos aspectos basicos de la geometra plana y de la geometra analtica para poder dartermino con una descripcion de la trigonometra y de sus principales aplicaciones.

1.1. Repaso de algebra basica

Se dara por supuesto que el lector esta familiarizado con las operaciones basicas dela aritmetica.

1.1.1. Factorizacion

La propiedad distributiva del producto con respecto a la suma nos dice que podemosescribir el lado izquierdo de 1.1 como el lado derecho de 1.1

(a1 + a2 + + an)(b1 + b2 + + bn) = a1(b1 + b2 + + bn) +a2(b1 + b2 + + bn) +

...

an(b1 + b2 + + bn)= a1b1 + a1b2 + + a1bn +

a2b1 + a2b2 + + a2bn +...anb1 + anb2 + + anbn (1.1)

Ahora bien, La factorizacion consiste en el proceso inverso. Es decir, consiste enexpresar el lado derecho de 1.1 como el lado izquierdo de 1.1. Notar que el proceso defactorizacion consiste en expresar una suma de terminos en el producto de dos (o mas)


2/34

10 Algebra, Geometra y Trigonometra

factores. Si bien la identidad 1.1 representa el caso mas general de factorizacion, en lapractica esta se reduce a casos mas sencillos como se ilustra a continuacion.

Ejemplo 1.1.1 Agrupacion de terminos a pares

ab + ac + bd + cd = a(b + c) + d(b + c)

= (a + d)(b + c)

Ejemplo 1.1.2 Diferencia de 2 cuadrados :

a2 b2 = (a + b)(a b)

Ejemplo 1.1.3 Cuadrado de binomio :

a2

2ab + b2 = (a

b)2

Observacion 1 Notese que el ejemplo anterior nos dice que en general,

(a + b)2 = a2 + b2

el cual es un error bien frecuente entre los novicios.

Ejemplo 1.1.4

3a2b ab2 5ab = ab(3a b 5)

Ejemplo 1.1.5

9x2

1

4 = (3x +

1

2 )(3x1

2 )

Ejemplo 1.1.6

4x2 4xy + y2 = (2x y)2

No siempre es posible escribir un trinomio (como el del ejemplo anterior) como uncuadrado de binomio. Pero a veces resulta util completar el cuadrado del binomio. Estose ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.1.7 Completacion del cuadrado :

x2 + 2bx + c = x2 + 2bx + c + b2

b2

= (x + b)2 + (c b2)

Ejemplo 1.1.8

p2 5p + 8 = p2 5p + 8 + (5/2)2 (5/2)2

= (p 52

)2 + 7/4


3/34

1.1 Repaso de algebra basica 11

Algunas otras factorizaciones facilmente verificables por el lector son :

a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2).

a

4

b4

= (a b)(a3

+ a

2

b + ab

2

+ b

3

)a5 b5 = (a b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)Ademas, como se vera en el Captulo 2, el cuadrado del binomio se extiende o gen-

eraliza a exponentes superiores. Como por ejemplo :

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

lo que permite efectuar factorizaciones mas complicadas.

Ejercicio 1.1.1 Factorizar :

a3 + 3a2 + 3a + 1

Ejercicio 1.1.2 Probar que:

an bn = (a b)(an1 + an2b + an3b2 + + abn2 + bn1)

para cualquier entero positivo n.

Ejercicio 1.1.3 Probar que :

a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n a2n1b + a2n2b a2n3b3 + ... + b2n)

Notar que solo se puede factorizar cuando los exponentes de ambos sumandos del ladoizquierdo de 1.1.3 son iguales e impares.

1.1.2. Simplificacion de factores

Se denomina expresion racional al cuociente entre dos expresiones polinomiales. Esdecir, una expresion racional tiene la forma :

p(x)

q(x)=

a0 + a1x + + anxnb0 + b1 + + bmxm , , q(x) = 0

Cabe notar que para que esta expresion tenga sentido, el denominador no se debe anular.

Una expresion de este tipo permite, eventualmente, ser simplificada. Dicha simplificacionse efectua dividiendo tanto el numerador como el denominador de la expresion racionalpor un mismo factor. De tal modo, el valor de nuestra expresion racional permaneceinalterada. Para facilitar la simplificacion de una expresion racional es altamente re-comendable factorizar dicha expresion y buscar factores comunes entre el numerador yel denominador. Reiteramos que se debe tener mucho cuidado en que la simplificaci on odivision no sea por un factor igual a 0.


4/34


Ejemplo 1.1.9 (Una fraccion)

x2 2x + 1x2

1=

(x 1)2

(x + 1)(x 1)=

x 1x + 1

, x /

{1,

1

}Ejemplo 1.1.10 (Fraccion compuesta) (el numerador o denominador tienen masfracciones)

1x

+ 1y1

3 1x

=

y1+xx(y1)3x1x

=(y 1 + x)x

(3x 1)x(y 1) =x + y 1

(y 1)(3x 1) , x / {0, 1/3}, y = 1

Cabe notar que en el caso de fracciones compuestas (fracciones en las cuales el numer-ador o el denominador tienen mas fracciones), la simplificacion de la expresion puedeefectuarse de igual manera amplificando tanto numerador como denominador por unmismo termino. En el caso del ejemplo 1.1.10, si amplificamos la fraccion por x(y 1)obtenemos el mismo resultado:

1x

+ 1y1

3 1x

=y 1 + x

3x(y 1) (y 1) =x + y 1

(y 1)(3x 1)

1.1.3. Resolucion de una ecuacion

En lo que sigue de este apartado se trabajara con ecuaciones de una sola variableo incognita. Esta incognita se representara con la letra x. La(s) solucion(es) de unaecuacion algebraica muchas veces tambien se denomina(n) raz(es) de la ecuacion.

Ecuaciones de primer grado

Una ecuacion de primer grado en x tiene la forma o se reduce a :

ax + b = 0 , a = 0 (1.2)

La solucion de esta ecuacion, luego de despejar x, es :

x =ba

, a = 0

donde a y b son reales dados.

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuacion de segundo grado en x tiene la forma o se reduce a :

ax2 + bx + c = 0 , a = 0 (1.3)Antes de estudiar metodos para resolver 1.3, veamos algunos principios basicos :


5/34


Principio 1 Si a y b son numeros reales y ab = 0 entonces a = 0 y/o b = 0 1.

Ejemplo 1.1.11 Resolver x2

5x + 6 = 0

Solucion:

x2 5x + 6 = 0(x 2)(x 3) = 0

Entonces, segun el principio 1, no queda otra alternativa mas que :

x = 2 o x = 3

Ejemplo 1.1.12 Resolver x3 x = 0Solucion:

x3 x = 0x(x2 1) = 0

x(x 1)(x + 1) = 0

Entonces, segun el principio 1, no queda otra alternativa mas que :

x = 0 o x = 1 o x = 1

Definicion 1 (de raz) La raz nesima de a es un numero x 0 tal que xn = a, i.e.,n

a = x xn

= a

Ejemplo 1.1.13 (raz cuadrada) La raz cuadrada de a2 es un numero x 0 tal quex2 = a2. Recordemos, y hagamos especial hincapie, en que la raz nesima de un numerose define siendo siempre mayor o igual a cero (x 0). Concluimos entonces que :

x =

a si a 0a si a < 0

Definicion 2 Se define el modulo o valor absoluto de un numero a como :

abs(a) = |a| = a si a 0a si a < 0Corolario :

a2 = |a|1En realidad, el algebra abstracta nos dice que este principio es consecuencia directa de la estructura

de cuerpo que adquiere (R,+, )


6/34


Ejemplo 1.1.14 9 = 3

= 3= 3

Reiteramos que la raz cuadrada (o nesima) de un numero nunca es negativa. Distinto espreguntarnos por un numero x tal que x2 = a2 sin restriccion alguna para x. En talcaso existen dos respuestas; a saber: x = a o x = a.

Volvamos a nuestro problema de resolver 1.3:

ax2 + bx + c = 0

Un caso particular de 1.3 resulta cuando c = 0. Tal caso es f acil de resolver porfactorizacion :

ax2 + bx = 0

x(ax + b) = 0

x = 0 o x =ba

El caso general se resuelve mediante completacion del cuadrado del binomio :

ax2 + bx + c = 0 a(x2 + b

ax) + c = 0

a(x2 + ba

x + b2

4a2) + c b24a = 0

a(x + b2a)2 = b2

4a c (x + b2a)2 = b

24ac4a2

x +b

2a = b24ac4a2 x + b2a = b24ac2a x = b2a

b24ac2a

x = bb24ac2a (1.4)

Definicion 3 Llamaremos a la expresion b2 4ac el discriminante de la ecuacion 1.3Nos sera de utilidad para determinar el numero y tipo de soluciones de la ecuacion 1.3.Simbolizaremos a este discriminante con el smbolo .

DiscusionSe pueden presentar tres alternativas :

1. Si > 0 hay 2 soluciones reales y diferentes dadas por la formula anterior2. Si < 0 no hay soluciones reales

3. Si = 0 hay una solucion real unica = x = b2aCuando el discriminante es nulo, a veces tambien se dice que existen dos soluciones

iguales y cuando el discriminante es negativo, se dice que no existen soluciones realespero si existen dos soluciones imaginarias.


7/34


Ejercicio 1.1.4 Hallar la suma y el producto de las dos soluciones de la ecuacion 1.4.

1.1.4. Sistemas de ecuaciones lineales o de primer grado

Sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas puede escribirse de la sigu-iente forma :

ax + by = ecx + dy = f

Nuestro objetivo es determinar el valor de las incognitas x e y en funcion de los paramet-ros a,b,c,d,e y f. Existen dos principales metodos para resolver el sistema . Se presentana continuacion.

Metodo de Sustitucion :Consiste en despejar, si es posible, alguna de las dos incognita de alguna ecuacion.

Sin perdida de generalidad, supondremos que hemos despejado x de la primera ecuacion.Luego, reemplazamos el valor de x en la segunda ecuacion. De este modo, reducimosnuestro problema a resolver una ecuacion de variable unica igual a y. Una vez obtenidoel valor de y podemos facilmente obtener el valor para x reemplazando el valor para yen cualquiera de las dos ecuaciones originales para luego despejar x.

Ejemplo 1.1.15 Resolver :

x - 2y = 8 4x + 4y = 1

Solucion : De la primera ecuacion, obtenemos :

x = 8 + 2y

y reemplazando en la segunda ecuacion obtenemos :

32 + 12y = 1 y = 3112Reemplazando este valor de y en la primera ecuacion obtenemos :

x +31

6

= 8

x = 176

Metodo de eliminacion o reduccion :Este metodo consiste en trabajar y operar simultaneamente con nuestro sistema deecuaciones. Comunmente se amplifica una de las ecuaciones para luego sumar o restarel par de ecuaciones eliminando, de tal manera, una de las dos incognitas.

Ejemplo 1.1.16 Resolver:


8/34


x - 2y = 8 4x + 4y = 1

Solucion : Amplificando la primera ecuacion por 2 obtenemos :

2x - 4y = 16 4x + 4y = 1

Sumando ambas ecuaciones obtenemos :

6x = 17 x = 176Reemplazando este valor de x en la primera ecuacion obtenemos :

17

6 2y = 8 y = 3112

Sistemas lineales de tres ecuaciones y tres incognitas

Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incognitas puede escribirse de lasiguiente manera :

a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3

Para resolver sistemas lineales de mas de dos ecuaciones e incognitas, como el descritorecientemente, se suele utilizar un metodo de eliminacion muy practico y algortmico.Este se describe a continuacion :

Algoritmo de Gauss para resolver un sistema de 3 32

1. Se combinan la 1 con la 2 ecuacion para eliminar x en la 2 ecuacion.

2. Se combinan la 1 con la 3 ecuacion para eliminar x en la 3 ecuacion.

3. Se combinan la 2 con la 3 ecuacion para eliminar y en la 3 ecuacion.

Luego de efectuar estos tres pasos decimos que hemos triangulado nuestro sistema lineal.Luego de haber triangulado nuestro sistema, este toma la forma:

a1x + b1y + c1z = d1b2y + c2z = d2

c3z = d3

Lo que queda por hacer, para encontrar los valores para x, y y z, es:

1. Encontrar facilmente el valor para z a partir de la 3 ecuacion.2En general, llamamos sistema lineal de m n a un sistema lineal de m ecuaciones con n incognitas


9/34


2. Reemplazar el valor encontrado para z en la 2 ecuacion y as encontrar el valorpara y en esta misma ecuacion.

3. Reemplazar los valores encontrados para y y para z en la 1 ecuacion y as encontrarel valor para x en esta misma ecuacion.

Cabe notar que lo practico de el metodo de Gauss es que es facilmente extensible pararesolver sistemas lineales de n n.

1.1.5. Sistemas de segundo grado con dos ecuaciones y dos incognitas


x2 + y2 = 5x2 y2 = 1

Solucion:Sumando estas ecuaciones obtenemos :

2x2 = 6

x2 = 3

x =

3 o x =

3

Reemplazando x =

3 en la primera ecuacion de nuestro sistema obtenemos:

3 + y2 = 5

y = 2 o y = 2Por otro lado, si reemplazamos x = 3 en la primera ecuacon del sistema obtenemosel mismo resultado para y:

(

3)2 + y2 = 5

y =

2 o y =

2

Por lo tanto, nuestro sistema admite cuatro pares de soluciones, a decir:

x =

3 , y =

2 , x =

3 , y = 2 , x = 3 , y = 2 y x = 3 , y = 2


x2 + y2 = 13x y = 1

Solucion : De la segunda ecuacion obtenemos :

y = x 1


10/34


y luego de reemplazar en la primera ecuacion obtenemos :

x2 + (x 1)2 = 13 2x

2

2x 12 = 0 x2 x 6 = 0 (x 3)(x + 2) = 0 x = 3 o x = 2

Reemplazando x = 3 en la segunda ecuacion obtenemos nuestro primer valor para y :

3 y = 1 y = 2

Ahora, reemplazando x = 2 en la misma segunda ecuacion, obtenemos nuestro segundovalor para y :

2 y = 1 y = 3

Por lo tanto, nuestro sistema admite dos pares de soluciones, a decir :

x = 3 , y = 2 y x = 2 , y = 3

1.1.6. Desigualdades e Inecuaciones

Reglas de las desigualdades

1. Si x < y entones x + a < y + a para todo real a.

2. Si x < y entonces

ax < ay si a > 0ax > ay si a < 0

3. Si

x yu v entonces x + u y + v

Observacion 2 Si

x yu v no siempre es cierto que x u y v

4. Si 0 < x y entonces 1x 1

y

5. Si

0 x y0 u v entonces xu yv

Inecuaciones de primer grado

Ejemplo 1.1.19 Resolver 3x 5 > 8Solucion :

3x 5 > 83x > 13x > 133


11/34


Inecuaciones de segundo grado

Ejemplo 1.1.20 Resolver (x 3)(x + 1) > 0Solucion : Se presentan dos casos. A saber, la inecuacion se satisface cuando :

1. x 3 > 0 y x + 1 > 02. x 3 < 0 y x + 1 < 0

El primer caso implica :

x > 3 y x > 1 x > 3

y el segundo caso implica :

x < 3 y x < 1 x < 1

En definitiva, la solucion total para nuestro problema es el conjunto :

(,1) (3,)


12/34


1.2. Geometra

Se comenzara este captulo con nociones basicas de la geometra plana: igualdad

de angulos, semejanza y congruencia de triangulos. A continuacion, se estudiaran losaspectos basicos de la geometra analtica.

1.2.1. Angulos entre paralelas

Consideremos los siguientes angulos formados por la iterseccion de una una transver-sal con dos lineas paralelas (angulos entre paralelas).

1L

' ' ' ' 2L

A continuacion enunciamos algunas propiedades importantes concernientes a angulosentre paralelas.

Propiedad 1 (Angulos correspondientes son iguales)

= 1

= 1

= 1

= 1

Propiedad 2 (Angulos alternos internos son iguales)

= 1

= 1

Propiedad 3 + = 180

+ = 180

+ = 180

+

= 180

1.2.2. Angulos en la circunferencia

A continuacion enunciaremos algunas propiedades concernientes a angulos en la cir-cunferencia.


13/34

1.2 Geometra 21

Propiedad 4

= 2

Propiedad 5

=

'

Propiedad 6

L es a OP

P

O L

1.2.3. Congruencia

Instintivamente, dos figuras son congruentes si es posible superponerlas. Se sueleutilizar el smbolo = para indicar que dos figuras son congruentes. Dos polgonos soncongruentes si existe una correspondencia entre lados y angulos de ambos polgonos endonde los lados y los angulos correspondientes tienen la misma medida.En el caso de triangulos, si estos son congruentes (ABC= ABC) se cumple que :

1. Lados correspondientes son iguales :

a = a

b = b

c = c

2. Angulos correspondientes son iguales :

=

=

=

C

ab

c B

A

C

' ab

' B

' c

A


14/34


Metodos para determinar si dos triangulos son congruentes

En la practica, para probar que dos triangulos son congruentes, no es necesario probarque se cumplen todas las propiedades descritas anteriormente. Basta probar alguna delas siguientes alternativas.

L A L : Dos lados iguales y el angulo comprendido igual.

A L A : Dos angulos iguales y el lado comprendido igual.

L L L : Los tres lados iguales.

L L A : Dos lados iguales y el angulo opuesto al lado mayor igual.

1.2.4. Semejanza

Intuitivamente, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma.En el caso de triangulos, cuando estos son semejantes se cumple que:

1. Lados correspondientes sonproporcionales :

a

a=

b

b=

c

c

2. Angulos correspondientes son iguales :

=

=

=

C

ab

c B

A

C

'

ab

' B

' c

A

Metodos para determinar si dos triangulos son semejantes

En la practica, para probar que dos triangulos son semejantes, no es necesario probarque se cumplen todas las propiedades descritas anteriormente. Basta probar alguna delas siguientes alternativas.

1. A A A : Tres angulos iguales (en realidad solo dos ya que, por diferencia, el tercerodebe ser igual tambien).

2. L A L : Dos lados respectivamente proporcionales y el angulo comprendido igual.

3. L L L : Los tres lados respectivamente proporcionales.

4. Los tres lados paralelos.

Teorema 1.2.1 Consideremos el triangulo ABC. Sea DE un segmente paralelo allado AB (DE||AB). Luego, se cumple que :


15/34

1.2 Geometra 23

DE

AB=

CD

CA=

CE

CB

C

D E

A B

Demostracion : Es directa luego de observar que :

ABC DEC

Teorema 1.2.2 Consideremos tres rectas paralelas y dos transversales que intersectana estas rectas como muestra la figura :

AB||CD ||EF

E F

C G D

A H B

Entonces, se cumple que :F D

DB=

EC

CA

Demostracion : Construir el segmento EH tal que sea paralelo al segmento F B. Deacuerdo al teorema anterior,

EC

CA=

EG

GH

Ademas,

EG = F D,

GH = DB

y reemplazando esto ultimo en lo primero, queda demostrado el teorema.

Teoremas en el triangulo rectangulo

Consideremos el siguiente triangulo, rectangulo en C, en donde :


16/34


- q es proyeccion ortogonal de b sobrec.

- p es proyeccion ortogonal de a sobrec.- hc es la altura de C sobre c.

C

b hc a

A q D p B

c

Teorema 1.2.3 (de Pitagoras) Este teorema nos dice que :

a2 + b2 = c2

Demostracion : Es facil ver que :

ADC ACB

Entonces, se cumple que bq =

cb

lo cual implica :

b2 = qc

Analogamente, como ACB CDB, entonces ac

= pa

lo cual implica :

a2 = cp

Sumando ambas identidades, obtenemos:

a2 + b2 = cp + cq

a2 + b2 = c(p + q c

) = c2

lo cual demuestra el teorema.

Teorema 1.2.4 (de Euclides) Este teorema nos dice que :

h2c = pq

Demostracion : Sabemos que :

ADC CDB

luego, tenemos que :hcq

=p

hcde donde h2c = pq

lo cual demuestra el teorema.


17/34

1.2 Geometra 25

1.2.5. Geometra Analtica Plana

Sistema de Coordenadas

Los numeros reales a y b son las coor-denadas de P :- a es la 1a coordenada o la abscisa deP- b es la 2a coordenada o la ordenada dePEl par ordenado(a, b) define al punto P

b P(a,b)

a

Distancia entre 2 puntos

Consideremos los siguientes dos puntos : A(x1, y1), B(x2, y2)Luego, segun el Teorema de Pitagoras, tenemos que :

AB2

= BC2

+ AC2

AB2

= (x2 x1)2 + (y1 y2)2

luego AB =

(x1 x2)2 + (y1 y2)

y2 B(x2,y2)

y1 CA(x1,y1)

x1 x2

Coordenadas del punto medio de un segmento

Consideremos el segmento AB. Sea M el punto medio de dicho segmento, es decir,AM = MB lo cual implica:

AM

AB=

1

2

Consideremos, ademas, los triangulos AMN y ABC senalados en la siguiente figura.

AM

AB=

AN

AC=

NM

CB=

1

2

y2 B

ym M

y1 A N C

x1 xm x2

Es claro que los triangulos AMN y ABC son semejantes, es decir, AMN ABC.


18/34


Esto implica que:

AN = AC2 =x1+x2

2 y NM =CB2 =

y1+y22

Concluimos entonces que las coordenadas del punto M son :

(xM, yM) =

x1 + x2

2,

y1 + y22

Ejercicio 1.2.1 Hallar las coordenadas de los 2 puntos que dividen al trazo AB, conA(5,2) y B(0, 4) en 3 partes iguales.

Ecuacion de la circunferencia

Si C(a, b) es el centro de una circunferencia de radio r 0 y (x, y) es un puntocualquiera de la circunferencia entonces la distancia de (x, y) a (a, b) debe ser igual a r,o sea, que equivale a :

(x a)2 + (y b)2 = r

C(a,b)

r

(x a)2 + (y b)2 = r2 (1.5)La ecuacion 1.5 se conoce como la ecuacion de una circunferencia de radio r y centro

(a, b).

Ejemplo 1.2.1(x 2)2 + (y + 3)2 = 25

es la ecuacion de una circunferencia de centro (2, -3) y radio 5

Ejemplo 1.2.2x2 + y2 = 100

es la ecuacion de una circunferencia de centro (0,0) y radio 10.

Ejemplo 1.2.3 Que figura describe la siguiente ecuacion ? :

x2 + y2 4x + 3y 1 = 0

Solucion :

x2 + y2 4x + 3y 1 = 0(x2 4x + 4) + (y2 + 3y + 9

4) + 4 9

4 1 = 0


19/34

1.2 Geometra 27

(x 2)2 + (y + 32

) 16 + 9 + 44

= 0

(x

2)2 + (y +

3

2

)2 =29

4

La ecuacion dada describe una circunferencia de centro (2, 32 ) y radio

294 =

12

29.

Observacion 3 Puede darse el caso que uno tenga una ecuacion de la forma 1.5 enque el valor de r2 sea0 o incluso < 0. Estos casos corresponden a tener un solo puntoo a no tener ningun punto en el plano cartesiano respectivamente.

1.2.6. Ecuacion de la Recta

Sea L una recta cualquiera en el plano cartesiano. Ademas, sean (xp, yp) y (xq, yq)dos puntos cualesquiera de dicha recta.

Definicion 4 Se define como la pendiente de la recta L al valor :

Pendiente de L = m =yq ypxq xp

y Q L

(xq,yq)

P (xp,yp)

x

Nota : Si L es al eje x, entonces no existe la pendiente de L. En tal caso se dice quela pendiente de L es infinita.

Si L es una recta cuya pendiente es m y pasa por el punto P(a, b) entonces, si (x, y)es un punto cualquiera de la recta diferente de P, se cumple que :

y bx a = m

y Q L

yq-yp

P

xq-xp

x

y b = m(x a) (1.6)La ecuacion 1.6 a veces es conocida como ecuacion punto pendiente de nuestra recta.Notese 1.6 es una ecuacion de primer grado.Si P(0, n) es el punto donde L intercepta al eje y, entonces la ecuacion de L queda :


20/34


y = mx + n

y

L: y=mx + n

n

x

Ejemplo 1.2.4 La ecuacion de la recta de pendiente 2 y que corta al eje y en (0, 3)es :

y = 2x

3

1.2.7. Rectas Paralelas

Intuitivamente, que dos rectas L1 y L2 sean paralelas (L1||L2) significa que L1 y L2estan igualmente inclinadas respecto al eje x, es decir, que sus pendientes son iguales.

Propiedad 7 Dos rectas de ecuaciones :

L1 : y = m1x + n1

L2 : y = m2x + n2

y L1: m1x+n1

L2: m2x+n2n1

n2

x

son paralelas si y solo si :

m1 = m2

Ejemplo 1.2.5 Hallar la ecuacion de la recta || a la recta de ecuacion y = 3x 2 quepasa por (3, -1)

Solucion : La recta pedida tiene pendiente 3 y pasa por (3, -1). Por tanto, su ecuaciones :

y (1) = 3(x 3)y + 1 = 3x 9

y = 3x 10


21/34

1.2 Geometra 29

1.2.8. Rectas perpendiculares

A continuacion encontraremos la relacion que debe existir entre las pendientes m1 ym

2de dos rectas cualesquiera para que sean perpendiculares.

Consideremos las siguientes dos rectas :

L1 : y = m1x + n1

L2 : y = m2x + n2

en donde L1 L2

y L1: m1x+n1

L2: m2x+n2

x

A continuacion, traslademos paralelamente las dos rectas de tal manera que pasen porel origen. Notemos que la condicion de ortogonalidad(o de perpendicularidad) entreambas rectas se mantiene bajo dicha traslacion. Es decir, la condicion de ortogonalidadque encontraremos entre las pendientes m1 y m2 es insensible.o no-dependientedelos coeficientes de posicion de las rectas L1 y L2. Entonces, sin perdida de generalidad,consideremos las siguientes dos rectas :

L1 : y = m1x

L2 : y = m2x

en donde L1 L2

y

L2

B 1 A

L3

O x

L1

Ademas, consideremos la recta de ecuacion:

L3 : y = 1

y consideremos los puntos A y B determinados por la interseccion de la recta L3 con lasrectas L2 y L1 respectivamente. Entonces,

1 = m2xA

xA =1

m2

1 = m1xB xB = 1m1

El teorema de Pitagoras nos dice que:

OA2

+ OB2

= AB2

(1.7)


22/34


OA = x2A + y2A = 1

m2

2

+ 1 (1.8)

OB =

x2B + y2B =

1

m21+ 1 (1.9)

AB = |xB xA| = 1m1

1m2

(1.10)

(1.11)

Reemplazando 1.8,1.9 y 1.10 en 1.7 tenemos que :

1m12

+ 1m22

+ 2 =

1m1

1m2

2

1

m

1

2

+ 1

m

2

2

+ 2 = 1

m

2

1

+ 1

m

2

2 2

m1m2 2 = 2m1,m2

m1m2 = 1Lo cual nos conduce a concluir con el siguiente enunciado.

Propiedad 8 Si L1 tiene pendiente m1 y L2 tiene pendiente m2, entonces L1 L2 siy solo si:

m1m2 = 1

Interseccion de 2 rectas

Consideremos las siguientes dos rectas :

L1 : ax + by = e

L2 : cx + dy = f

Para determinar la coordenadas del punto P de interseccion de L1 con L2 se deberesolver el sistema :

ax + by = ecx + dy = f


23/34

1.3 Trigonometra 31

1.3. Trigonometra

1.3.1. Trigonometra en el triangulo rectangulo

Sea ABC un triangulo rectangulo en C. Entonces, se define :

Definicion 5

sin =a

c=

cateto opuesto

hipotenusa

cos =b

c=

cateto adyacente

hipotenusa

tan =a

b=

cateto opuesto

cateto adyacente

B

c

a

C b A

Observacion 4tan =

sin

cos porque

a/b

c/a=

a

c

Ejemplo 1.3.1sin45 = cos45 =

12

=

2

2

tan45 = 1

1 1

45 45

2

Ejemplo 1.3.2

sin30 =1

2

cos30 =

3/2

1=

3/2

tan30 =1/2

3/2=

3/3

30 30

12

31

60 60

Ejercicio 1.3.1 Calcular sin60, cos60 y tan60

Propiedad 9 sin2 + cos2 = 1

Demostracion :

sin = ac

cos = bc

sin2 + cos2 = a2

c2+ b

2

c2

= a2+b2

c2

= c2/c2

= 1


24/34


Hemos usado el hecho de que, segun el teorema de Pitagoras, a2 + b2 = c2.

1.3.2. Angulos medidos en radianes

Definicion 6 Se define el angulo medido en radianes como :

=s

r

s

r

donde s es la longitud del arco de una circunferencia de radio r subtendido por dichoangulo. Notar que la fraccion s

rno depende del radio de la circunferencia.

Ejemplo 1.3.3

180 =r

r[radianes]

180 = [radianes]

Luego, 90 = 2 [radianes]

rs =

180

r

Ejercicio 1.3.2 Expresar 1 [radian] en grados.

Definicion 7

cosec =1

sin

sec =1

cos

cotan =1

tan

Ejemplo 1.3.4

cosec 45 = 1sin45

= 11/

2= 2

sec 60 =1

cos60=

1

1/2= 2

cotg30 =1

tan30=

1

1/

3=

3


25/34

1.3 Trigonometra 33

Ejercicio 1.3.3 Probar que

1 + tan2 = sec2

1 + cot2

= cosec2

1.3.3. Extension de las razones trigonometricas a angulos mas gen-

erales

Sea C una circunferencia con centro en el origen y de radio unitario:

C : x2 + y2 = 1

Si es un angulo cuya medida esta entre 0 y 360 (inclusive), lo dibujamos de modoque uno de los lados coincida con el eje x. Sea P un punto sobre esta circunferencia.

Definicion 8cos = abscisa de Psin = ordenada de P

tan = sin / cos

y

1)sen,(cos P

1 x

Si es agudo, esta definicion coincide con la anteriorSi = 90 , las coordenadas de P son (0,1)Luego, cos 90 = 0 y el valor de tan 90 no esta definido

Ejemplo 1.3.5 Si = 135

, las coordenadas de P son1

2

2 ,

1

2

2

sin 135 = 12

2

cos 135 = 12

2

Ejercicio 1.3.4 Hallar sin, cos y tan de 120

Respuestas :sin 120 = 0, 86, cos 120 = 0, 5, tan 120 = 1, 73

Propiedad 10 (de periodicidad3) Para cualquier angulo R y para cualquiern N se cumple :

sin( + n 360) = sin cos( + n 360) = cos tan( + n 180) = tan


26/34


Teoremas en un triangulo cualquiera

Teorema 1.3.1 (del Coseno)

a2 = b2 + c2 2bc cos b2 = a2 + c2 2ac cos c2 = a2 + b2 2ab cos

C

ab

c B

A

Teorema 1.3.2 (del Seno)

sen

a=

sen

b=

sen

c


27/34

1.4 Problemas propuestos 35

1.4. Problemas propuestos

1.4.1. Repaso de algebra basica. Ecuaciones e inecuaciones

1. Simplificar las expresiones siguientes :

a) r3t3r2t2

b)x

x+2 4x+2

x3 6x+2

2. Expresar la hipotenusa de un triangulo rectangulo en funcion del area y permetrode dicho triangulo.

3. Sean a,b,c los lados de un triangulo cualquiera. Muestre que si :

a2 + b2 + c2 = bc + ca + ab

entonces el triangulo es equilatero.

4. Sea n un entero positivo. Sea p(x) = xn n(x 1) 1.a) Muestre que (x 1) es un factor de p(x).b) Muestre que (x 1)2 es factor de p(x).

Indicacion : Si p(k) = 0 para algun k, entonces (x k) es factor de p(x).5. Demuestre las siguientes desigualdades :

a) (1 + x)2 1 + 2x x Rb) x(1

x)

1/4

x

R

c) x2 + y2 2xy x, y R6. Demuestre que para todo x1, x2 0,

x1 + x22

x1x2

En que caso se cumple la igualdad ? Nota : Este resultado es valido para todon N, es decir,

x1 + x2 + + xnn

x1x2 xn

7. a) Demuestre que si x1

x2 , entonces :

x1 x1 + x22

x2

b) Demuestre que si x1 x2 xn ,entonces :

x1 x1 + x2 + xnn

xn


28/34


8. Resolver las siguientes inecuaciones :

a) x2 + 10 7x

b) x2

> a2

c) |x 8| < x 29. A partir del siguiente sistema :

x = 12at2 + vt + x

v = at + v

demuestre que se cumple :

v2 = v2 + 2a(x x)Nota : El sistema corresponde a las ecuaciones de posicion y velocidad de un

cuerpo con aceleracion constante).

10. Resolver el siguiente sistema :

ax + y = bcx + y = d

Para que valores de a,b,c,d hay :

a) solucion unica ?

b) ninguna solucion ?

c) infinitas soluciones ?

Es capaz de dar una interpretacion geometrica a sus respuestas ?

11. Resolver la siguiente ecuacion para x en funcion de a y b :

a(a x2) = b(x2 + b) Con cual condicion entre a y b :

a) hay dos soluciones ? Cuales son ?

b) hay una solucion ? Cual es ?

c) no hay soluciones reales ?

d) hay infinitas soluciones ?

12. a) Demuestre que para todo n > 0, n + n1 2.b) Sea n un natural positivo. Sean los siguientes dos numeros racionales :

nn1 + 1nn + 1

,nn + 1

nn+1 + 1

Para que valores de n :


29/34


1) el primer numero es mayor ?

2) el segundo numero es mayor ?

3) ambos numeros son iguales ?

Indicacion : Es util definir a = nn. Ademas, le puede ser de utilidad la parte(a)

13. Pruebe que para todo numero natural n,

a) n2 n es divisible por 2b) n3 n es divisible por 3c) Estudiar en que casos n4 n es divisible por 4 y en cuales no.

1.4.2. Congruencia y semejanza. Teoremas en el triangulo rectangulo

1. A ambas orillas de un ro crecen dos palmeras, una frente a la otra. La altura deuna es de 30 metros, y la de la otra, 20 metros. La distancia entre los troncos es de50 metros. En la copa de cada palmera hay un pajaro. De subito los dos pajarosdescubren un pez que aparece en la superficie del agua entre las dos palmeras.Los pajaros se lanzan y alcanzan el pez al mismo tiempo. Determine las distanciasentre los troncos de las palmeras al lugar donde aparecio el pez.

2. Sea ABC un triangulo rectangulo en C. Expresar los catetos a y b en funcion dela hipotenusa c y la altura sobre la hipotenusa hc.

3. Demostrar que para todo punto situado dentro de un rectangulo, se verifica que la

suma de los cuadrados de las distancias a dos vertices opuestos, es igual a la sumade los cuadrados de las distancias a los otros dos.

4. Un triangulo rectangulo esta inscrito en un crculo de radio ri y circunscrito a uncrculo de radio rc. Calcular los catetos.

5. Demostrar que si dos triangulos rectangulos son semejantes, entonces:

cc = aa + bb

6. Sean :a = m2 n2b = 2mnc = m2 + n2

a) Demostrar que a, b y c son lados de un triangulo rectangulo.

b) Demostrar que pa, pb y pc tambien son lados de un triangulo rectangulo, dondep puede tomar cualquier valor.


30/34


CD

DB =

CA

AB

A

B D C

7. Demostrar que la bisectriz interior de un angulo divide al lado opuesto en segmentosproporcionales a los lados adjuntos.

8. En un triangulo rectangulo calcular: a,b,hc, p , q si a + b = 35m. y c = 25m.

C

b hc a

A q D p B

c

9. ABCD es un cuadrado y CE F es un triangulo equilatero de area igual a

3.Calcule el area del cuadrado.

D C

E

A F B

10. Demostrar que la bisectriz exterior de un angulo determina sobre el lado opuestosegmentos proporcionales a los otros dos lados.


31/34


BD

CD =AB

AC

A

B C D

1.4.3. Coordenadas y distancia entre dos puntos. Ecuacion de la recta

y de la circunferencia

1. Determine las ecuaciones de las siguientes rectas:

a) que pasa por (3, 2) y (9, 7).

b) que pasa por (1, 0) y tiene pendiente 8.c) que pasa por la interseccion de las rectas x = 0 e y = 1 y tiene pendiente 6.d) que pasa por la interseccion de las rectas x y = 1 y x + y = 0 y es perpen-

dicular a la recta x + 2y = 0.

2. Determine las ecuaciones de las siguientes circunferencias:

a) de centro (3,5) y radio 7.b) los extremos de un diametro son (2, 3) y (4, 5).c) que pasa por los puntos (

3, 3) y (1, 4) y su centro esta sobre la recta 3x

2y 23 = 0.3. Dos rectas variables L1 y L2 que pasan, respectivamente por dos puntos fijos A y

B se cortan perpendicularmente en el punto P. Determinar el lugar geometrico deP.

4. Un punto se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus distanciasa dos puntos fijos A y B dados es constante e igual a k. Hallar la ecuacion desu lugar geometrico, y demuestre que es una circunferencia. Debe tener k algunarestriccion?Indicacion : Por simplicidad, y sin perdida de generalidad, defina A y B conve-

nientemente.

5. Un punto P se mueve de tal manera que su distancia de un punto fijo es siempreigual a k veces su distancia de otro punto fijo. Demostrar que el lugar geometricode P es una circunferencia para valores apropiados de k.

6. Desde un punto fijo de una circunferencia dada se trazan cuerdas. Demostrar queel lugar geometrico de los puntos medios de estas cuerdas es una circunferencia.


32/34


7. Dada las circunferencias de ecuaciones:C1 : x

2 + y2 = 1C2 : (x 4)2 + y2 = 4determine las ecuaciones de las cuatro rectas tangentes a ambas circunferencias.

8. Hallar la longitud de la perpendicular bajada del punto P1(x1, y1) a la recta L :Ax + By + C = 0. Demostrar, a partir de esto, que la distancia d del punto P1 ala recta L esta dada por :

d =|Ax1 + By1 + C|

A2 + B2

Sean: L1 : y =

3xL2 : y = 0Hallar las ecuaciones de la rectas bisectrices de los angulos formados por L1 y L2

(dos soluciones).Indicacion : Un punto perteneciente a la recta bisectriz de un angulo formadopor dos rectas equidista de estas dos.

9. Demuestre analticamente que las longitudes de las dos tangentes trazadas a unacircunferencia desde un punto exterior son iguales.

10. Sean :L1 : x + 2y + 4 = 0L2 : x y 1 = 0L3 : x + 3y = 0tres rectas que definen el triangulo ABC. Determinar:

a) Permetro del triangulo ABC.

b) Area del triangulo ABC.

c) La ecuacion de la circunferencia circunscrita.

11. a) Un punto se mueve de manera tal que su distancia del punto A(0, 0) es siempreigual a la de su distancia del punto B(1, 1). Hallar e identificar la ecuacionde su lugar geometrico con la de una recta. Es capaz, sin realizar ninguncalculo, anticipar cual es la ecuacion ?

b) Un punto se mueve de manera tal que su distancia del punto A(0, 0) es siempreigual a la mitad de su distancia del punto B(1, 1). Hallar e identificar laecuacion de su lugar geometrico con la de una circunferencia. De antemano, donde cree que se ubican los puntos A y B con respecto a la circunferencia? Verifique.

1.4.4. Trigonometra en el triangulo rectangulo y su extension a angu-

los cualesquiera

1. Probar las siguientes identidades trigonometricas:


33/34


a) sin(x) = tan(x)1+tan2(x)

b) sin2(x)tan(x) + cos2(x)cot(x) + 2 sin(x)cos(x) = tan(x) + cot(x)

c) cos4(x) sin4(x) = cos2(x) sin2(x)2. Demostrar que el punto medio de una escalera de largo L, que resbala apoyandose

en un muro, describe una circunferencia.

3. Se intercala una moneda de un diametro de 2cm. entre el ojo y la Luna, ocultandolaa la vista. La moneda se aleja gradualmente, encontrandose que el borde de la Lunaempieza a ser visible cuando la moneda esta a unos dos metros de la pupila.Use estos datos para encontrar una relacion entre el diametro de la Luna y sudistancia a la Tierra.

4. Se tiene un tambor cilndrico el cual se encuentra acostado sobre el suelo. El tambor

esta lleno a un 75 % de su capacidad. Siendo R el radio de la base circular delcilindro, determine la altura h (en funcion de R ) a la cual se encuentra la superficiedel lquido con respecto al suelo.

h r

5. Demuestre que el largo mnimo que debe tener una cadena para unir dos poleasde radios R y r, cuya separacion entre sus centros es de una distancia D, es :

L = 2(R r)arcsin

R rD

+ 2

D2 (R r)2 + (R + r)

R r

D

6. Suponga que un observador se encuentra a una altura h sobre el suelo en un terrenosin accidentes. A que distancia l, se halla el lmite del horizonte ?Use R = 6400km. Calcule l para:

a) h1 = 2m. (estatura de una persona aprox.)


34/34


b) h2 = 20m. (viga de un barco)

c) h3 = 300m. (altura del cerro San Cristobal)

7. Con el fin de medir la altura h, de un objeto se ha medido la distancia entre dospuntos A y B, a lo largo de una recta que pasa por su base en un plano horizontaly resulto ser l metros. Los angulos de elevacion de la punta del objeto desde A yB resultaron ser respectivamente, siendo A el punto mas cercano a la base (verfigura siguiente).

Demostrar que la altura esta dada por la formula:h = lcotcot si A y B estan del mismo lado, y por:h = lcot+cot si A y B estan en lados opuestos de la base del objeto.

B A

8. Una cuneta de forma angular esta caracterizada por los angulos respecto de lahorizontal. Una bola de acero de radio R posa sobre la cuneta. Determine el nivelmnimo h desde el punto mas bajo de la cuneta, necesario para cubrir la bolacompletamente.

R

h

algebra,trigonòmetria y geometria

Documents