geometria plana- apuntes realizados por antonio cuesta

7/22/2019 GEOMETRIA PLANA- Apuntes Realizados Por Antonio Cuesta

1/37

G E O M E T R A P L A N AAPUNTES REALIZADOS POR ANTONIO CUESTA


2/37

DEFIN ICI N : Es la ciencia que estudia las propiedades, extensin y medidas de las superficies.

PUNTO = A,B,C, (MAYSCULAS)RECTA = a,b,c, ( MIN SCULAS)PLANOS Y NGULOS = LETRAS GRIEGA S

DESIGNACIN :

ESCUADRA CARTAB N

60

309090

45

45

UTILIZACI N DE LA ESCU ADRA Y EL CARTAB N M S S EN CILLAS :

TRINGULO

CUADRADO

DIMETRO

NGULO

ARCO

MENOR QUE

MAYOR QUE

PARALELO

RADIO

SEGMENTO

NGULO DE 90

SIGNOS GEOMETRICOS

IGUAL QUE

PERPENDICULAR

LONGITUD

AB

L

r

AB.

RECTAS OBLICUASRECTAS HORIZONTALES RECTAS VERTICALES

.PUNTO : Es la interseccin de dos lneas.

LN EA RECTA: Es la sucesin de puntos en una misma direccin.

SEMIRRECTA: Es parte de la recta limitada en un extremo.

SEGMENTO : Es la parte de la recta limitada en sus extremos.

LN EA C URVA: Es la sucesin de puntos que no estn en una misma direccin.

P CB A

.A

.A .B


3/37

MEDIATRIZ : Es la recta que divide a un segmento en dos partes iguales.Tambin sirve para trazar una perpendicular.

..A B

Dada el segmento A - B. Por A arco mayor que lamitad del segmento

Por B igual y donde corteobtenemos C y D.

Se une C y D que ser larecta buscada.

..

r

A B

.

.

..

r r

A B

C

D

.

.

..

r r

A B

C

D

RECTA PERPENDICULAR : Es la recta que se cruza o se corta con otra formando un ngulo de 90.

Dada la recta m y el punto P

.

Por P arco cualquiera y nosda A y B.

Por A y B arco igual. Nos da C. Unir C con P. Recta buscada.

P

m

.

. .

r

r

P

A Bm

r =r

.

. .

.

r

Crr

P

A Bm

r =r =r

Dada la recta m y el punto P.Por P arco cualquiera.

Por A se repite dos veces elmismo arco y nos da B y C.

Por B y C se repite el mismoarco y da D.

Unir P con D. Recta buscada.

.

.

.

.

.

rr

rr

PA

B C

D

m

.

.

.

.

.

rr

rr

PA

B C

D

m

.

.

.

.

rr

PA

B C

m.

r

Pm

RECTA PERPENDICULAR A OTRA DESDE UN PUNTO DADO

RECTA PERPENDICULAR A UNA SEMIRRECTA

RECTAS PARALELAS : Es el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de una recta.

RECTA PARALELA A UN SEGMENTO

. .

A B

. .

. .

A B

Dado el segmento A -B. Perpendicular por A y B. Radio iguales desde A y B.Y da los puntos C y D.

Por C y D unir y nos da larecta buscada.

. .

. .

r

A B

C D

r

. .

.

.

r

Crr

P

A Bm

. .

. .

r

A B

C D

r


4/37

RECTA PARALELA A UNA RECTA.

Dada la recta m y el punto P.Por P arco cualquiera y nos da A.

Por A arco igual al de P ynos da B.

Por A y B arco igual a ladistancia B - P.

Unir P con C, recta buscada.

. .

. .

rr

AB

CP

m

r =r

. .

. .

rr

AB

CP

m

r =r

.

. .

r

r

AB

P

m

.

.

A

P

r

m

DIVISIN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES ( TEOREMA DE TALES ).

A B A B

r

1

2

3

4 r

A B A B

1

2

3

4 r

(=)

(=) =PARALELAS

Dado el segmento A - B. Por A semirrecta r concualquier inclinacin.

Se divide la semirrecta r entantas partes iguales comoquieras dividir el segmento.

Se une el 4 con el B.Se traznparalelas al seg. 4B, quedandodividido el seg. A - B en cuatropartes iguales.

N G U L O S

DEFINICIN: Apertura de dos lneas que se cortan en un punto llamado vrtice.

.A =90

A

ngulo RECTO

A

A 90

ngulo AGUDO

A 90

ngulo OBTUSO

A.

A =180

ngulo LLANO

TIPOS DE NGULOS:

BISECTRiZ : Es la lnea que divide al ngulo en dos partes iguales.

.

.

.

A

B

V

Dado un ngulo V cualquiera.Su arco nos da el punto A y B.

Por A arco mayor que lamitad de la distancia A - B.

Se repite lo de A en B y nosda el punto C.

Unir V con C. Bisectriz delngulo.

.

.

.

.

A

B

CV

r

r

.

.

.

.

A

B

VC

r

r.

.

.

A

B

V

r

CASO GENERAL


5/37

BISECTRZ CUYO VRTICE NO APARECE EN EL DIBUJO (POR RECTAS PARALELAS)

m

s

m1

s1

(=)

(=)

..

.A

m

s

m1

s1

(=)

(=)

Dadas las rectas m y s. Setrazan rectas paralelas y a lamisma distancia m1y s1.

Por A se halla la bisectriz ynos da el punto B.

Donde corte m1y s1. Nos dael punto A.

Unir A con B y ser la bisectrizdel ngulo formado por lasrectas m y s.

...

.A Br

r

m

s

m1

s1

(=)

(=)

(=) =PARALELAS

...

.A Br

r

m

s

m1

s1

(=)

(=)

RESTA DE NGULOS

Se une V1 con B, el nguloque queda es la resta de V.

B.V1.(-)

Por A arco AB en V.Se hace la misma operacinen V1.

.

En V1se va a restar V.Por V1arco igual que V.

.

.

V

V1 .

.A

.

B.

V1

V

B.A

SUMA DE NGULOS

Se une V1 con B, el ngulo quequeda es la suma de los dos.

(+)B.V1.

.

.

V

V1

.

.

.A

.

B.

V1

V

B.A

En V1se v a sumar V.Por V1arco igual que V.

Por A arco AB en V.Se hace la misma operacinen V1.

BISECTRZ CUYO VRTICE NO APARECE EN EL DIBUJO

m

s

Dado las rectas m y s. Recta cualquiera que corta am y s. Nos da el punto A y B.

.

.m

sA

B

Por A y B bisectrices de losngulos formados y nos da C y D.

.

. ..m

sA

B

CD

Unir C con D, recta buscada.

. ..m

sA

B

C

D

.


6/37

.

.

B

A

V

m

s

r

r

.

V m .. .

. .

A B

C D

V

Dada la recta m y el punto V. Por V arco cualquiera y nosda A y B.

Por A y B arco de radio AV y BV. Y nos dan los puntos C y D,

unir con V.Queda el ngulo dividido en3 partes iguales.

A BV.. .

rr

.

V

r

A B. .

Dada las rectas m y sperpendiculares entre s yque se cortan en V.Desde V arco cualquiera ynos da A y B.

Se une A con B y el nguloque forma es de 45.

.

.

.

A

BV

m

s.

45.

. .

A

BV

m

s

DIVIDIR UN NGULO LLANO EN TRES PARTES IGUALES

CONSTRUCCIN DE UN NGULO DE 45

DIFERENTES CASOS DE NGULOS

DIVIDIR UN NGULO DE 90 EN TRES PARTES IGUALES

.V

m

s.

.

.

.

.C

D

m

s

Dada las rectas m y sperpendiculares entre s yque se cortan en V.

Desde V arco cualquiera (r)y nos da A y B.

Desde A y B arco igual alanterior (r).

.

Donde corta obtenemos C y D.Unir C y D con V. Habiendodividido el ngulo en trespartes iguales.

.V

r

m

s

Dada la recta sse toma unpunto cualquiera (A)contenido en la recta y desdeA se traza un arco cualquieray nos da B lo mismo se hacedesde B.

En la interseccin nos da C.Se une A con C y nos da elngulo buscado.

.

. .s

A B

C

r

..

.

A B

C

60

CONSTRUCCIN DE UN NGULO DE 60


7/37

T R I N G U L O S

DEFINICIN: Son superficies que poseen tres lados y tres ngulos.

A B

C

a

b

c

a =b =c

a

A B

C

a

b

c

a =b =c

A) SEGN SUS LADOS:

CLASIFICACIN:

PUNTOS Y LNEAS NOTABLES:

Son las mediatrices de cadauno de los lados del tringulo.las tres rectas se cortan en unmismo punto llamadoCIRCUNCENTRO (Cc); queresulta ser el centro de lacircunferencia circunscrita altringulo.

Son las bisectrices de cadangulo del tringulo. lasbisectrices se cortan en unmismo punto llamadoINCENTRO (Ic); que resulta serel centro de la circunferenciainscrita al tringulo.

Son las distancias de cadavrtice (A,B,C) al punto mediodel lado opuesto. El puntocomn de las tres medianas sellama BARICENTRO (Bc); queresulta ser el centro degravedad del tringulo.

Son las distancias de cadavrtice (A,B,C) lado opuesto.El punto comn de las tresalturas se llamaORTOCENTRO (Oc).

CC

A

B C

1/2

1/2

1/2 . ..

.

MEDIATRICES

Cc.

BISECTRIZ

A

B

1/2

1/2

1/2. .

.

.Bc.

ALTURAS

..

..Oc.

A

B

MEDIANAS

EQUILTERO ISSCELES ESCALENO

BA B

C

b

caA) SEGN SUS NGULOS:

A B

a

C

b

c

.A =90

A

C

b

c

a

A 90

RECTNGULO ACUTNGULO OBTUSNGULO

A

B C

.Ic.

B

C

a

b

c

a =b =c

A


8/37

CONSTRUCCIN DE UN TRINGULO ISOSCELES CONOCIDA LA HIPOTENUSA

Dado la hipotenusa a Base del tringulo la hipotenusa a =ABMediatrizArco

Donde se cruzan el arco con lamediatriz se obtiene punto CUnir A - B y C

.BA

.a

.

.BA

.a

C

a

CONSTRUCCIN DE UN TRINGULO CONOCIDO 1 LADOS Y 2 NGULO ADYACENTES

Dado el segmento a y los ngulos X - Y Base del tringulo el lado a =ABEn A ngulo X

En B ngulo Y

Donde se cruzan las cuerdas de losngulos se obtiene el punto C

Unir A - B y C

.BA ..aX

cuer

da

Y .BA ..aX

cuer

da

Y

C.aYX

CONSTRUCCIN DE UN TRINGULO CONOCIDO 2 LADOS Y UN NGULO

. ..Dado los segmentos a-b y el ngulo X Base del tringulo el lado a =AB

En A ngulo XCon centro en B arco b

Donde se cruzan el arco con la cuerdadel ngulo se obtiene el punto CUnir A - B y C

.BA ..a

b

X

cuer

da

a

b

X

BA a

C

.b

X

cuer

da

Dado los segmentos a-b-c

CONSTRUCCIN DE UN TRINGULO CONOCIDO LOS 3 LADOS

Ca

b

c .BA .

b

. . BA .b

..

Base del tringulo el lado a =ABCon centro en A arco =bCon centro en B arco =c

a

c

a

c

Donde se cruzan los arcos punto CUnir A - B y C


9/37

C U A D R I L A T E R O S

DEFINICIN: Son superficies que poseen cuatro lados y cuatro ngulos.

PARALELOGRAMOS: Son los que tienen los lados opuestos y paralelos dos a dos.

TRAPECIOS: Son los que tienen dos lados opuestos paralelos y los otros dos no.

.

d1

d20

A B

CD

ROMBO

Es el paralelogramo que tienelos lados iguales y los ngulosopuestos iguales. Susdiagonales son desiguales.

A B

CD

d

0

RECTNGULO

Es el paralelogramo que tienelos lados adyacentesdesiguales y los ngulosrectos. Sus diagonales soniguales.

.

A B

CD

d

0

CUADRADO

Es el paralelogramo que tienelos lados iguales y los ngulosrectos. Sus diagonales soniguales y se cortan formandoun ngulo de 90.

A B

CD

d1

d20

ROMBOIDE

Es el paralelogramo que tienelos lados adyacentesdesiguales y los ngulosopuestos iguales. Susdiagonales son desiguales.

P A R A L E L O G R A M O S

TRAPEZOIDES: Son los que tienen sus lados opuestos no paralelos.

Dado las diagonales a - b

CONSTRUCCIN DE UN ROMBO CONOCIDAS SUS DIAGONALES

a

b

Centrar las diagonales entre si Unir A - B - C y D

. BA .ab

.

.

C

D

. BA .ab

.

.

C

D

.

A B

CD

A B

CD

0 dd d1d2

0

A B

CD

Es el trapecio que no poseeninguna caracterstica de losdos anteriores.

Es el trapecio que tiene loslados no paralelos iguales. Susdiagonales son iguales.

Es el trapecio que tiene dosngulos rectos.

RECTNGULO ISSCELES ESCALENO

T R A P E Z O I D ET R A P E C I O S

AB

CD

Es el cuadriltero que no tienelos lados opuestos paralelos.


10/37

P O L G O N O S R E G U L A R E S

DEFINICIN: Son los polgonos formados por lados y ngulos iguales.

INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

0

B C

D

B C..0

Unir B con C y es el lado deltringulo buscado.

Unir B,C y D.

0

Circunferencia 0 dada.

TRINGULO

0

A

B C..Desde A arco A0 y nos d B y C.

.

CONSTRUCCIN DE UN ROMBO CONOCIDO 1 LADO Y UN NGULO

.

Dado el lado a y el ngulo X Base del rombo el lado a =ABEn A ngulo XCon centro en A arco aDonde se cruzan el arco con la cuerdadel ngulo se obtiene el punto C

Por B - C paralelas

a

X

.

. BA .aXC .

. BA .aXC Da

a

a

CUADRADO

Circunferencia 0 dada. Unir A con B, lado del cuadrado.

C

Unir A,B,C y D.

A

B0 . 0A

BD0

.


11/37

PENTGONO .

.

B

C

B

.

A0

Dado la circunferencia decentro 0.Mediatriz entre 0 y A.

Desde P radio PB. Unir B con C y nos da el ladodel polgono.

Pinchando en B y distancia ellado, se pone los vrtices delpolgono hasta completar todala circunferencia.

.

A0P

.

.

B

C

HEXGONO

Circunferencia 0 dada.

0

A

B

C

D E

F

Desde A arco A0. Se repite desde B y nos da elpunto C, que unindose con B,obtenemos el lado del polgonoinscrito.

Pinchando en B se va trazandolos vrtices del polgono.

.A

B

C

.

A

0

. .

HEPTGONO

0

A

Dada la circunferencia 0.Mediatriz entre A0.

Desde B a C lado del polgono.Pinchando en cualquier punto dela circunferencia y distancia ellado se determina los vrtices.

BC

..

0

A

B

.B

C

0 ..

Dada la circunferencia 0.Se une AB y se halla lamediatriz y donde corta lacircunferencia nos da C.Unindo C con A B.Obtenemos el lado delpolgono.

Para determinar el polgono,

haremos lo mismo en cadacuarta de circunferencia.

OCTOGONO


12/37

ENEGONO

F

Dada la circunferencia 0.Desde A arco A0 y nos da el punto C.Desde B arco BC. Y nos da el punto D.

Dado el punto D se toma como centrodel arco DA y nos da el punto E, se unecon el punto F. Y el segmento EF es ellado del polgono que se busca.

Desde cualquier punto de lacircunferencia, por ejemplo el F, se ponelos vrtices del polgono.

.

.

.

.

.

A

B

C

0

.

.

..

D

A

EF

DECGONO

D..

B BD

Dada la circunferencia 0.Mediatriz entre 0A y nos da P.Por P circ. de radio PA.

Se une P con B y nos da C.Con centro en B arco BC.

Donde corta el arco BC con lacircunferencia, nos d D.La distancia entre BD, ser ellado del polgono.

Pinchando en B se va trazandolos vrtices del polgono.

. A0P .

.

B

C

P

.

MTODO GENERAL

.

.

A

B

C.

1

2

3

4

5

6

A

B

Dada la circunferencia con centro en 0.Se divide el eje vertical AB en tantaspartes iguales segun el nmero de lados(este caso lo haremos de, 7).Desde A y B radio el diametro de lacircunferencia y nos da C.

Desde C se pasa siempre por el punto 2y donde corte a la circunferencia nos daD.Uniendo los puntos DA obtenemos el ladodel polgono que queremos trazar.

Desde A cualquier punto de lacircunferencia se va trazando los vrticesdel polgono.

.

A

C.

.

.

1

2

3

4

5

6

D

.


13/37

SEGN EL LADO:

Se traza un polgono inscritoen una circunferencia inferiorde tamao al que queremosdibujar. Sindo su lado AB.Desde el centro se prolonganrectas que pasan por los

vrtices.

En cualquier de los ladosejemplo el AB se coloca ellado del polgono quedeseamos.

Se desplaza el lado hasta elpunto D.

Se va trazando los lados delpolgono paralelos a los ladosdel polgono inscrito.

0

A B..

A B.. .

C

0

.C

D.A.A(=)

.C

D.A.

CASO GENERAL A PARTIR DE UN INSCRITO (Ej: Pentgono)

CUADRADO .

..A B

AB lado del cuadrado. Por A y B rectas

perpendiculares.

Por A o B recta a 45.

Nos da el punto C.

Por C paralela a el lado AB.

Construir el cuadrado.

.. ...A B

. ...A B

C

. .

C

TRINGULO

Dado el lado del polgono AB. Por A y B arco de radio la distancia AB.Donde corta da C.

Unir A,B y C. Polgono buscado.

.

. .AB

C .

AB

C

. ...AB

Dado el lado ABPor B Perpendicular y da D.Desde B radio AB =DCon centro en la mediatriz y conradio AB nos da C.

Desde B arco AB y desde A arcoAC. En la interseccin de los arcosobtenemos el punto E.

Con el mismo arco AC ypinchando en B, nos da F.Desde A y arco BA da G.

Unir los puntos dados, quesern los vrtices del polgonoa dibujar.

A B

E

F

G

.

.

E

A B C..

.

.

.

.

A B

.

E

F

G

PENTGONO

.

. .

A B C

D

.

1/2


14/37

HEPTGONO

ENEGONO

...A BDado el lado AB, mediatriz yperpendicular por B.

Desde A ngulo de 30 y donde corte con laperpendicular , obtenemos el punto C.Con centro A y radio AC, hasta cortar a lamediatriz.

Donde corta nos da 0 centro de lacircunferencia, donde est inscrito elpolgono.

.

.

.

.A BC

30 .

.

..

0

A B

Dado el lado AB.Por A y B arco y mediatrizdonde se cortan se encuentraC.Por A mediatriz del segmentoCB.Donde se cortan las dosmediatrices encontramos D.

Con centro en C y radio CD setraza una circunferencia.

Se prolonga el segmento CBhasta cortar a lacircunferencia y nos da elpunto E. Por ese punto rectaperpendicular a la mediatrizAB. Y obtenemos el punto 0.

Con centro en 0 y radio 0A o0B, circunferencia donde estinscrito el polgono.

.

. .

A B

.0E

.

.

D

. .

A B

C

.

. .

.

A B

C

D

.

. .

A B

0

HEPTGONO

.

.

..

A B C

D

.

E

Dado el lado AB.Por B arco AB y da C.Por A arco AC y da D.

DC mediatriz del segmento yda E.

0 ser el centro de lacircunferencia que con radio0A se inscribe el polgono.

Desde A arco AE.Desde B arco AE.En la interseccin da 0.

.

..

A B C

D

.

.

..

A B

E.

0.

0

..

A B

Dado el lado del polgono AB.Arco desde A con radio AB.

Lo mismo desde B y en lainterseccin est el centro dela circunferencia C, donde seinscribe el polgono.

. .

A B

0

.

A B

HEXGONO

Desde el lado dado AB.Mediatriz y arco, da el punto C.Desde C y radio CB arco y da 0.

OCTGONO

Desde 0 y radio 0Acircunferencia donde estinscrito el polgono.

..

.

.

A

C

B

0

. .

.

0

. .

A B


15/37

DECGONO

Dado el lado AB.Se construye un pentgono conocido ellado y donde se encuentra el vrtice 0centro de la circunferencia donde se va

a inscribir el poligono.

.

..

. .

A B

0

DIVISIN DE UNA CIRCUNFERENCIA APLICNDO EL GONIMETRO

0 0

360

90

180

270

TRINGULO

CUADRADO

PENTGONO

HEXGONO

OCTGONO

ENEGONO

DODECGONO

DECGONO

POLGONOS GRADOS

12090726045403630

Dado el lado AB se trazan los arcos y ensu interseccin nos da 0. Centro de la

circunferencia donde se inscribe elhexgono.

Sobre el eje vertical y a partir de 0, sedivide en 6 partes iguales, que sern los

centros de las circunferencias segn elnmero de lados a trazar.

Ejemplo centro de 7 lados

.

A B. .

0

12

1110

9

8

7

6.

0

A B. .

CASO GENERAL A PARTIR DEL HEXGONO


16/37

C I R C U N F E R E N C I A

DEFINICIN : Figura Geomtrica curva, cerrada y plana que sus puntos equidistan de uno llamado centro.

RELACIONES MS NOTABLES

EXTERIORES CONCNTRICAS

.

.

.

T

TANGENTE

EXTERIOR

DIAMETRORADIO

ARCO

SECA NTE

.

.

SECANTESTANGENTES

EXTERIORES

.

T

TANGENTESINTERIORES

.

T

INTERIORES

LINEAS Y NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

.

.

.

V

..

..

V.

.

.

V

V

.

.

.

.

VV

.

.

INSCRITO SEMI - INSCRITO INTERIOR

EXTERIOR

EXTERIOR - CIRCUNSCRITO

.

EXT. SEMI - CIRCUNSCRITO

ARCO: Es una porcin cualquiera de la circunferencia.

ARCO QUE PASA POR 3 PUNTOS DADOS

.

.

A

B

C

Dado los puntos noconsecutivos ABC.

Se une ABC y nos da dossegmentos.

Se hallan las mediatrices delos segmentos.

Donde corten nos da 0 centrode la circunferencia que pasapor ABC.

.

.

.

A

B

C

.

.

.

A

B

C

.

.

.

.

A

B

C

0.


17/37

ARCO DE GRAN RADIO QUE PASA POR 2 PUNTOS DADOS

. .

A B

Dado dos puntos AB, se unen formandoun segmento.Por A y B arco cualquiera, se ponen 3ngulos iguales.

Se unen las cuerdas de mayor a menor ynos da CDE.

Se unen todos los puntos, formndose el arco.La realizacin se har con plantilla.

. .

.

.

.

A B

CD

E

. .

.

.

.

A B

CD

E

ARCO CAPAZ: Es el lugar geomtrico de los vrtices de un ngulo cuyos lados pasan por dos puntos fijos.

Dado el segmento AB y elngulo que queremos aplicar.Mediatriz AB, se coloca el

ngulo en A.Desde A perpendicular ydonde corte a la mediatriz,obtenemos el punto 0.

Desde 0 y radio que pase porA B.

Cualquier vrtice que tomemosen la circunferencias y suscuerdas pasen por AB, el

ngulo dado ser igual alestablecido.

Si el vrtice parte del centro elngulo ser el doble. (0)Si el vrtice parte del crculo

el ngulo ser mayor. (2)Si el vrtice parte del exteriorde la circunferencia el nguloser menor. (3)

60

+30

2

0.

A B

3

-30

..

A B

30

1

...

.

0

A B30..

.

.

A B

0

30

30

..


18/37

R E C T I F I C A C I N

DEFINICIN : En geometra se entiende por rectificacin, el determinar sobre una lnea recta, la longitud deuna curva, arco o circunferencia.

RECTIFICACIN DE UN ARCO MENOR DE 90

El arco a rectificar es el AB.Dividimos el radio en 4 partes iguales.

Por A perpendicular.A partir de C se pone 3/4 del radio ynos da D.

Se une DB y nos da en la perpendicularla rectificacin del arco AB.Se une DC y nos da en la perpendicularla rectificacin del arco AC.

0

..A

B

1 2 3 4

0

..A

B

1 2 3 4 1 2 3..DC

Se traza la circunferencia de centro 0 y radio r. En el eje vertical se pone 30y cuando se corta con la perpendicular al eje, encontramos con A.Por la semirrecta A se coloca 3 veces el valor del radio y da el punto B.Unimos el punto B con el C y es la rectificacin buscada.

.

.

A B

C

r

0

30

. .r r r

RECTIFICACIN DE UN CUADRANTE DE CIRCUNFERENCIA

.

.

F

B

Se traza la circunferencia dada ycon centro en A y B arco valor elradio y nos da CD.

Por A arco AD.Por B arco BC.En la interseccin nos da E.

Por D arco DE y cuando cortaa la circunferencia nos da F.

Unir F con B que ser elsegmento que corresponde ala rectificacin buscada.

.

.

..

A

B

C

D

.

.

A

B.

E

.

.

C

D

.

.

.

D

EF

RECTIFICACIN DE UNA SEMI-CIRCUNFERENCIA RECTIFICACIN DE UNA CIRCUNFERENCIA

17

0.

Se traza la circunferencia 0, se divide eleje horizontal en 7 partes iguales.Sobre una recta se coloca 3 veces el valordel dimetro y una 1/ 7 parte y esalongitud ser el valor de su rectificacin.

.DA

B..

R

C.

2 r R = D + D + D + D / 7


19/37

T A N G E N C I A S

DEFINICIN : Es el punto comn entre una recta y una circunferencia o entre dos circunferencias.

TANGENCIA ENTRE RECTA Y CIRCUNFERENCIA

CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA

.

0

T..

0

T.

0

T.

0

T.

Dada la circunferencia 0 y unpunto T que ser el tangentede la recta.

Unir 0 con T. La recta perpendicular es larecta tangente a lacircunferencia en el punto T.

Por T recta perpendicular.

Desde T radio cualquiera ynos da A.

Desde A se repite el radio ynos da B.

Desde T radio TB y dondecorte con el arco inicialobtenemos C.

Unir T con C y es la rectatangente en T del arco inicial.

.

TA

.

.

0 P

Dada la circunferencia 0 y elpunto P.

Se une 0 con P y se halla lamediatriz.

.

0 P

12

Desde la mediatriz se traza unacircunferencia que pasa por P y essecante a la circunferencia en lospuntos T y T1.

Unir P con T y T1.T y T1puntos tangentes de lasrectas tangentes a lacircunferencia..

.

.

P

T

T1

0. .

.

P

T

T1

01

2.

DESDE UN PUNTO EXTERIOR

RECTA TANGENTE A UN ARCO Y UN PUNTO DADO

.

.T

A

.

B

.

.

.T

B

C .

.

TC

.

B


20/37

RECTAS TANGENTES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Dada las circunferencias 0 con radio R y 01con radio R1. Se une 0 con 01se halla la mediatriz que ser el punto centro dela circunferencia que pasa por 0 y 01.

Se suma en 01(R1 +R). Y d A y B, desde 01se une con A y B.Unir O con A y B.

En 0 paralelas a las rectas 01A y 01B.Donde cortan a las circunferencias puntos tangentes (T1T2T3T4).Unir los puntos de tangencias y obtenemos las rectas interiores alas dos circunferencias.

011 20

.

01

R R1

0

T1T2

T3T4

0 01

.

. .

.

.

.

.

A

B

0 01

RR1+

RECTAS TANGENTES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Dada las circunferencias 0 con radio R y 01con radio R1. Se une 0 con 01se halla la mediatriz que ser el punto centro dela circunferencia que pasa por 0 y 01.

001 1 2001

RR1

Se resta en 01(R1 -R). Y nos da A y B, desde 01se une con A y B.Unir O con A y B

En 0 paralelas a las rectas 01A y 01B.Donde cortan a las circunferencias puntos tangentes (T1T2T3T4).Unir los puntos de tangencias y obtenemos las rectas exteriores alas dos circunferencias.

.

001..A

B

RR1_

001..A

B

T1

T2

T3

T4..

.


21/37

TANGENCIAS A TRES RECTAS DADAS

TANGENCIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS

TANGENCIA INTERIOR

.T

.

T

Se halla las bisectrices y en sus intersecciones estn los centros delas circunferencias tangentes.

Nos d los puntos A,B y C.Se trazan los arcos de los ngulos que forman entre s.

Dadas las rectas m,s y e que se cortan de forma arbitraria.

Trazar circunferencias tangentes.

.

.

.01

02

03

04

.

.

01

02

03

04

.

TANGENCIA EXTERIOR

A

B

C

.. .

ms

e

ms

e

DESDE UN PUNTO EXTERIOR

..

0

T P01.

..

0

PT

Dada la circunferencia 0 y el punto P.Desde 0 recta cualquiera que corte a lacircunferencia y nos da T, punto tangentede las circunferencias.Se une T con P.

Se halla la mediatriz entre TP y dondecorta la recta que nace de 0 y lamediatriz, obtenemos 01.

Pinchando en 01y radio 01P se traza lacircunferencia.

.

.

.

0

TP

01


22/37

DESDE DOS PUNTOS EXTERIORES

Dada la circunferencia 0 y lospuntos P P1. Se une P y P1.Se halla la mediatriz y en ella se

traza una circunferencia de radiocualquiera que pase por P y P1.Siendo secante a 0 en A y B.Se prolonga el segmento AB y PP1hasta cortarse, dando el punto C.

Desde C rectas tangentes a 0 conlos puntos de tangencia T T1. Se prolonga T0 y nos da 01.Se prolonga T10 y nos da 02.

Dado los dos centros conradio 01P y 02P, se trazan lascircunferencias buscadas.

P1

.

.

.

.C

. .

TT1

P

0

.

..

0

P

P1

.

.

.C

A

B

P1

.

.0

P

P1

.

.

.

.

T1 T 01

P

P1

02

0

C

TANGENTES ENTRE S E INTERIOR A OTRA

Dada la circunferencia 0 se ha dividido en el nmero de6 partes

iguales que se quiere inscribir (metodo del hexgono ).

Recta perpendicular al eje vertical.

Se une 0 con 5 y nos da A.Bisectriz y donde corta al eje vertical, obtenemos B.

Desde B perpendicular a 05 y 03. Nos da C y D. B,C y D centros de las circunferencia tangentes interior a 0.

.5.

.m

A

B.3

0

1

2

3

4

5

6

0

... .

.

.

..

.B

C D

.A

..

.5.

.m

A

B

C D

3.

.


23/37

CASOS MIXTOS

TANGENCIAS A UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA

Se une 0 con P, se traza recta tangente en P y da A.

.

0

P

m.

A

.

.

.

A

0

P

01

02.

Dada la circunferencia 0, el punto P y la recta m.

Por A bisectrices y donde cortan con el segmento 0P, dan loscentros 01y 02.

Con centro en 01y radio 01P.Con centro en 02y radio 02P.Se trazan las circunferencias buscadas.Se hallan las tangencias P T T1.

.

.

..

0

P

01

02.

TT1

.

0

P

m

DESDE UN PUNTO INTERIOR

Dada la circunferencia 0 y los puntos P, P1. Se unen y se hallan la mediatriz. Donde corte la mediatriz con elsegmento 0P1.Centro 01de lacircunferencia a trazar.

.

.

0

P

P1

.

.

0

P

P1

.

.

.

0

P

P1

01


24/37

TANGENCIAS A UNA CIRCUNFERENCIAY A UNA SEMIRRECTA

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE S Y QUE TENGANPOR CENTROS LOS VRTICES DE UN TRINGULO

.

. .

T

T

T T

T

T

.

.

. .

.

.

.

. .0 01

02T

T

T T

T

T.

I

Dado el tringulo ABC.Se halla el Incentro.

Por D ngulo de 45 y nos dael centro 0.Con centro en I y radio I0 setraza una circunferencia.

Donde corte la circunferenciacon las otras bisectrices,obtenemos los centros 0102.Por los centrosperpendiculares paradeterminar las tangencias.

Con los centros 0 0102 yradios T. Se trazan lascircunferencias.

.I

45

.0

D

Bisectriz de los ngulos que forma y da el Incentro deltringulo.

Dado el tringulo cuyos vrtices son centros de las circunferenciasque vamos a trazar.

0

01 02

.

..

.

.

0

01 02..I

.

.

.

.

0

01 02

.

...I

Desde el incentro perpendicular a los lados que determinan lastangencias y los valores de radio.

Desde los centros trazar circunferencias tangentes entre s.. .

0

01 02

Dada la circunferencia 0, la recta m y elpunto P.Por P perpendicular.Se toma un centro y un radio cualquiera(01) siendo secante en A y B a 0.Unir AB y nos da C en m.

Desde C rectas tangentes a 0 y nos danlos puntos de tangencia T y T1.Unir T con P y desde C semirrectaperpendicular y donde corta a la per. deP, obtenemos el centro 02,uno de loscentros buscados.Se prolonga T10 y donde corta con laperpendicular de P, tenemos el centro 03.

Hallados los centros de lascircunferencias buscadas slo quedatrazar.Con centro 02y radio 02P.Con centro 03y radio 03P.

.

.

.T

02.T1

.03

P

m.

C

.

.

.

.

C

02

0

03

P

.

.

T1

T

m.

.0

P

rA

B

.

.

.

C

01

m

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE S Y A UN TRINGULO


25/37

E N L A C E S

ENLACES DE RECTA CON RECTA

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR UN ARCO DADO

Dada las rectas m y s.

Paralelas entre s.

Se traza una perpendicular

que corta a las dos rectas.Mediatriz del segmentoperpendicular.

Se traza una circunferencia

con centro 0.

Se halla las tangencias T1y T2.

Enlazar.

.

T1

T2

0

m

s

m

s

.

0

Dada las rectas m y s.Perpendiculares entre s.

Por m y s paralelas a la distanciadel valor de la circunferencia aenlazar (m1y s1).

Donde se corta m1 y s1.Obtenemos el centro 0 que conradio conocido se traza lacircunferencia.

Desde 0 perpendicular a m y spara hallar puntos detangencias (T1-T2).Enlazar.

m

s

m

s

m1

s1.0T1

T2.

..0

ENLACE DE DOS RECTAS PERPENDICULARES POR UN ARCO DADO

.T

...0

01

A

B

.0

01

.

.

A

B

...

.

m

s

A

B

m

s

A

B

.

.

Dadas las semirrectas m y s. Unir A y B.Se divide el segmento en 4partes iguales.

Por A y B perpendicular,donde corta con lasmediatrices obtenemos 0 y 01.

Hallar tangencias A,B y T.Enlazar.

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCO IGUALES

Dada las rectas m y s.Perpendiculares entre s.

Por m y s paralelas a la distanciadel valor de la circunferencia a

enlazar (m1

y s1

).

Donde se corta m1 y s1.Obtenemos el centro 0 que conradio conocido se traza lacircunferencia.

Desde 0 perpendicular a m y spara hallar puntos de

tangencias (T1

-

T2

).Enlazar.

m

s

m

s

m1

s1.

0.

0

T1

T2

.

ENLACE DE DOS RECTAS OBLICUAS POR UN ARCO DADO


26/37

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCO NO CONOCIDOS

m

s

.Cm

s

A

B

..

.

.0

01

m

s

A

B

...C

m-s

m

s

A

B

Dada las semirrectas m y s. Se halla la mediatriz m-s.Se une A con B.Se traza unasemicircunferencia y en lainterseccin con la mediatriznos da el punto C.

Por A y B perpendicular.Por C paralela a la mediatrizdel segmento AB y dondecorta con las perpendicularesobtenemos los centros 0 y 01.

Con el centro 0 y radio 0B,con centro 01 y radio 01A setrazan las circunferencias.Y dadas las tangencias ABC.Enlazar.

.Cm

s

A

B

..

.

.0

01

ENLACE DE RECTA CON CIRCUNFERENCIA

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCO CONOCIDO UNO DE ELLOS

. .

.

A

B

m

s

m1

s1

.

.

A

B

m

s

Dada las semirrectas m y s. Desde A y B rectasperpendiculares.A m y s se trazan semirrectasparalelas m1y s1a la mismadistancia que el radio de lacircunferencia conocida.

Con centro en A1y radio el dadose traza la circunferenciaconocida.Hallar la mediatriz del segmentoA1y B1.Donde corte con la perpendicularB B1, se obtiene 0.

Con centro en 0 y radio 0B setraza la circunferencia.Se halla las tangencias (A B T)y por ltimo enlazar.

.m1

s1.

A1

B1

.

0

.

A

B

m

s

.

.

T

A

B

m

s

.

..

ENLACE DE RECTA CON CIRC.POR UN ARCO INTERIOR

Dada la circunferencia 0 conradio r y la recta m.

Paralela a m a la distanciavalor de radio de lacircunferencia que vamos aenlazar.Con centro en 0 (r menos r1).

Donde corte la circunferenciade centro 0 de radio r -r1, conla recta m1, nos da el centrode la circunferencia 01.Trazar desde 01con radio r1.

Hallar tangencias (T - T1).Enlazar.

.0

r

m

.

.

r1 01 m1

0.0

r

m

r - r1

m1

r1

.0

T

T1

.

.

.

01


27/37

ENLACE DE RECTA CON CIRC.POR UN ARCO EXTERIOR

ENLACE DE CIRC. CON UNA SEMIRRECTA

ENLACE DE RECTA CON CIRC. DADO EL PUNTO DE TANGENCIA

ENLACE DE CIRCUNFERENCIA CON CIRCUNFERENCIA

ENLACE DE CIRC. SECANTES POR UN ARCO INTERIOR

Dadas las circunferencias 001, con radios r y r1.

.

.0

01

02.

T

T1

.

.

Se resta r - r2y r1- r2.En su interseccin d el centro02.

Trazar circunferencia de radior2con centro en 02.

Hallar tangencias T y T1.Enlazar.

.

.0

01

rr1

.

.

.

0

01

r1- r2

r - r2

02

.

.

.

0

01

02 r2

. .

.01

T

0

T1.

. ..

A

T

.01

0

Dada la semirrecta m y lacircunferencia 0.

Paralela a m y a la mismadistancia de r.Nos da m1 con el punto A.Se une A con 0 y se prolongael segmento AT.

En el segmento 0A se halla lamediatriz y donde corte alsegmento AT, obtenemos elcentro 01.

Con centro 01y radio 01 T setraza la circunferencia.Se obtiene los puntos detangencia T y T1.Enlazar.

.. .

m

T

0

m1

.

A

r

r

. .

m

T

0r

. .

.

.

01

0

T

T1

. .

.

.

0

T

A

01

Dada la circunferencia 0, larecta m y el punto detangencia T.

Unir 0 con T.Por T recta tangente a 0 y dael punto A.

Desde A bisectriz del nguloque forma y donde corte con0T. Obtenemos el centro 01.Trazar 01con radio 01T.

Hallar tangencias y enlazar.

.

.

.

0

r T

m

A

. .

0

r T

m

Dada la circunferencia 0 conradio r y la recta m.

Paralela a m a la distanciavalor de radio de lacircunferencia que vamos aenlazar.Con centro en 0 (r ms r1).

.

T

T1

0

.

01

.

.

Hallar tangencias (T - T1).Enlazar.

Donde corte la circunferenciade centro 0 de radio r +r1,con la recta m1, da el centrode la circunferencia 01.Trazar desde 01con radio r1.

.

0

r

m

.

r

r +r10

m1

mr1

.

m10

01

r1

.

m m


28/37

Dadas las circunferencias 0 01con radio r r1. Se le resta a los radios r2y te dar suinterseccin el centro 02.

Trazar desde 02con radio r2.


ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO EXTERIOR E INTERIOR

.

Dadas las circunferencias 001, con radios r y r1.

Se suma r +r2y se resta r1- r2.En su interseccin da el centro02.

Trazar circunferencia de radior2con centro en 02.


..

.

001

02

T

T1

...

.

001

02

r2

..

.r +r2

02

01

r1- r2

0..0 01r

r1

ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO INTERIOR

.

. .

r2= 4cm.

.02

T

T1

.

r2= 4cm.

. .

r

r1

01

0

. ..

.

01

0

r - r2r1- r2

r2

02r2= 4cm.

ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO EXTERIOR


Se le suma a los radios r2y te dar suinterseccin el centro 02.Trazar desde 02con radio r2.

Dadas las circunferencias 0 01con radio r r1.

r2= 2cm.

. .

r2= 2cm.

010

r

r1

. .

.02r +r2r1+r2r2

0

01

r2= 2cm.

. .

.

TT1

02

..

0

01


29/37

ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO CONOCIDO UN PUNTO DE TANGENCIA

.

.

.

.001

02

P

.

T

Dada las circunferencias 0 01con punto en 01.

Se traza mediatriz y donde secorte con el segmento 01P,obtenemos 02.

Se une 01con P y el radio r sele suma y d A.Se une A con 0.

Desde 02y radio 02P circunferencia.Hallar puntos de tangencia P y T.Enlazar.

.

. .

.

010

P

A

r1+r

.

.

.

.

.

A

P

001

02

ENLACE DE CIRCUNFERENCIAS POR SEGMENTOS

.

. .

P

r0

01

r1r1

.

.

.

1

2

3

0.

.

.4

.

01

02

.

5

Apartir del caso de Arco que pasa por 3 puntos fijos.- Dados X nmero de puntos- Unir por segmentos- Se comienza siempre con los 2 primeros segmentos de la siguientemanera:Se une las mediatrices de 1-2-3 y nos da 01.Se traza la mediatriz del segmento 3-4.Se une 01 con 3 y donde corta con la mediatriz se obtiene 02 y assucesivamente.


30/37

C U R V A S E M P L E A D A S E N L A T C N I C A

VALO :Es una curva cerrada y plana, compuesta por cuatros arcos de circunferencia, iguales dos a dos.Tiene dos ejes de simetra perpendiculares entre s.

CONOCIDO EL EJE MAYOR Y MENOR.

Dados los ejes AB y CD, se pone una medida arbitraria que nosda E y los centros 01y 02.

Se halla la mediatriz del segmento 01E y donde corta obtenemosel centro 03, que con radio 03A. Trazamos un arco decircunferencia.

Una vez trazado 03se hace lo mismo en la parte superior del jemenor y nos dar el centro 04 y su arco respectivo.Unimos los centros para determinar los puntos de tangencia.

Enlazar.

A

B

C D

E

01 02.. .

A

B

C D

E

01 02.. .

.03

A

B

C D01 02

..

.03

.04...

.T TTT

A

B

D01 02

..

.03

C

.04...

.T TTT

CONOCIDO EL EJE MAYOR.

Enlazar.

Dado el eje mayor AB, se divide en 3 partes iguales y da 01y 02. Con centros en 01, 02y conocido los radios que pasan por A y Bse trazan las circunferencias, donde se cortan obtenemos loscentros 03y 04.

Una vez obtenido todos los centros que forman el valo.Se unen los centros para determinar los puntos de tangencias.Se trazan las circunferencias 03y 04.

A B01 02 A B01 02. ..

.03

04

A B01 02. ..

.03

04 TT

T T

. .

..

A B01 02. ..

.03

04 TT

T T

. .

..


31/37

CONOCIDO EL EJE MENOR

Dado el eje menor AB. Se halla la mediatriz y se traza la circunferencia 0.Donde corta la circunferencia con el eje horizontal o mediatriz,obtenemos los puntos C y D.

Se trazan las circunferencias con centros A B .Se une AB con CD, para determinar los puntos de tangencias y losradios de las circunferencias de centro en C y D.

Enlazar.

A

B

0C D

..

A

B

OVOIDE: Es una curva cerrada y plana, compuesta por dos arcos de circunferencia iguales y otros dosdesiguales. Tiene un eje de simetra.

A

B

0C D..T

....T

T T

A

B

0C D..T

....T

T T

CONOCIDO EL JE MENOR.

A B0

Se traza el eje menor AB.Se traza la mediatriz y unacircunferencia que pasa por AB.

Sobre el eje vertical se pone el ejemayor CD.Con centro en 01y radio 01D,trazamos una de las circunferencias.

Con ese mismo radio pinchamos enA y nos da E.Hallamos la mediatriz entre A 01ycuando corta el eje menor,obtenemos el centro 02.

Con centro en 0 y distancia 02, lo llevamos al otro lado y da03.Con centro en 02y radio 02 A

arco.Con centro en 03y radio 03 Aarco.Unimos los centros paradeterminar los puntos detangencia.

C

D

EA B

0

..01

.02

.02

.03

.01. .T T

C

D

A B0

.02

.03

.01. .T T

C

A B

D

0

Enlazar.


32/37

CONOCIDO EL EJE MENOR

CONOCIDO EL EJE MAYOR

Dado el eje menor AB.Mediatrz y centro 0.Se prolonga el eje vertical.

Por A y B arcos valor eldimetro.

Donde corta la circunferenciaal je vertical, punto C.Se une AB con C para

determinar las tangencias.Por C circunferencia.

Obtenidos los puntos detangencias se enlaza.

C.

. .TT

A B0A B0

C.

. .TT

A B0A B0

Dado el eje AB. Se divide en 6partes iguales y en el punto dosse encuentra el centro 0 deradio 2-4.

El radio 2-4 se repite a cada lado y nos da 03 y 04.Unimos los centros con el punto 5 =01, para determinar lospuntos de tangencias.

Por ltimo enlazar.

.

. .

01

02 03

TT

.. TT0.rr r r1

2

3

4

5

.

. .02 03

.TT

.. TT0.1

2

3

4

5

A

B

r

0.

ESPIRAL: Es una curva plana engendrada por un punto que se desplaza uniformemente a lo largo de unarecta a la vez que sta gira alrededor de uno de sus extremos con velocidad ngular constante.Paso en una espiral, es la distancia longitudinal que se desplaza el punto en una vuelta completa.

Construccin de una espiral de paso N.Se traza un segmento igual a N.Se divide el segmento en un nmero cualquiera departes iguales.Hacindo centro en 0 se trazan circunferenciasconcntricas.Se divide las circunferencias y la interseccin de losradios con las circunferencias dan los puntos de laespiral.Slo queda unir los puntos.

1

2

3

4

5

6

7

8

N. . .

...

.

.


33/37

VOLUTA : Es la curva compuesta por arcos de circunferencia, tangentes entre s, siendo los centros de los arcoslos vrtices de un polgono un segmento dado.

1

23

4 1

2

3

0 1


34/37

C U R V A S C N I C A S

CIRCUNFERENCIA : Es la figura que resulta de cortar un plano perpendicular al eje de un cono y a las dosramas por debajo o por encima.

ELIPSE: Es la figura que resulta de cortar un plano no perpendicular al eje de un cono y a las dos ramas pordebajo o por encima.

HIPRBOLA: Es la figura que resulta de cortar un plano a las dos ramas por debajo y por encima delvrtice y al mismo tiempo.Siendo dicho plano paralelo al eje.

PARBOLA: Es la figura que resulta de cortar un plano a una de las ramas por debajo o por encima delvrtice siendo paralelo a la otra rama.

P

P

P

P

CIRCUNFERENCIA ELIPSE HIPRBOLA PARBOLA

E L I P S E

ELEMENTOS: EJE MAYOR ( A - A )EJE MENOR ( B -B )FOCOS ( F1 - F2 )

Si nos dan los ejes y desconocemos los focos, para hallarlos sepincha en B y distancia de radio A0 donde corte al eje mayorobtenemos los focos.

Si nos dn el eje mayor (A-A ) y los focos. Hallamos lamediatriz del je mayor y pinchando en cualquier de los focosy radio A0, donde corte con la mediatriz determinamos el ejemenor (B-B ).

.

.

A AF1 F2

B

B

0

A0

A AF1 F2

B

B

0

A0

. .

COMO HALLAR EL EJE MENOR COMO HALLAR LOS FOCOS

P


35/37

..

.

AA

B

B

AA

B

B

1

0

..

. .2

3

4

.

.

AA

B

B

.C

D.1

0

Dados los ejes de la elipse, con centro en0 se trazan dos circunferenciasconcntricas que pasan por los ejes.Desde el centro de forma arbitraria setrazan radios dimetros.Los radios cortan a las circunferencias enC y D .Para hallar el punto se traza por Cperpendicular al eje menor, por Dperpendicular al eje mayor, donde secorten obtenemos el punto buscado.

Siguiendo el paso anterior se trazantantos puntos como necesitemos para laformacin de la figura.

Luego slo queda unr los puntos con losejes y obtenemos la elipse.Se recomienda 4 puntos por cada cuartode circunferencia.

CONSTRUCCIN POR EJES

CONSTRUCCIN POR PUNTOS

A AF1 F2

B

B

01 2 3.

Dados el eje mayor (A-A ), el eje menor(B-B ) y los focos (F1-F2).Entre F1 y 0 determinamos diferentespuntos de forma arbitraria.

Se toma la distancia A1, se pincha en F1yse hace dos arcos por arriba y por debajo.Se toma la distancia A1, se pincha en F2y se hace dos arcos por arriba y pordebajo.Donde se corten los arcos obtenemos elpunto buscado por arriba y por debajo.

Siguiendo el paso anterior se realiza conlos restantes puntos.Lo mismo con los puntos del lado derechode la figura.Luego slo queda enlazar dichos puntoscon los puntos que determinan los ejes yobtendremos la elipse.

F1A1

A1.

.

1

1

.1 2 3B

B

F2A A

FORMULA A APLICAR:A - 1 PINCHANDO EN F1A- 1 PINCHANDO EN F2

1

2 3

1

2 3

B

B

4 5 6F1 F2A A


36/37

A A

. .F1 F2

Z

X

123 4 5 6

6

5

4

4

5

6

12

3

3

2

1

AF1 F2A

Z

X

123

.

.

1

1. .

Dados el eje (A-A ), los focos (F1-F2) y las axintotas (Z-X).Desde los focos hacia la izquierda y derecha respectivamentese van tomando puntos arbitrariamente.Se toma la distancia A1, se pincha en F1y se hace dos arcospor arriba y por debajo.Se toma la distancia A1, se pincha en F2y se hace dos arcospor arriba y por debajo.Donde se corten los arcos obtenemos el punto buscado porarriba y por debajo

Siguiendo el paso anterior se realiza con los restantes puntos.Lo mismo con los puntos del lado derecho de la figura.Luego slo queda enlazar dichos puntos con los puntos quedeterminan el eje y obtenemos la hiprbola.

H I P R B O L A

PCONSTRUCCIN POR PUNTOS

P A R B O L A

P

.F

0

Eje

Directriz

A

A0 =AF

Dada la directriz y la perpendicular en 0el eje de la parbola.Se traza sobre el eje la distancia A0 y ala misma distancia encontramos el foco.

Desde A se trazan perpendicular (H) deforma arbitraria se determina la distanciaentre dicha recta y la directriz , con esamedida se lleva al foco y se traza el arcoque corta a (H) y da los puntos para

trazar la parbola (1).

Siguiendo los pasos anteriores ,obtendremos los restantes puntos paradeterminar la parbola.Se recomienda 4 perpendiculares.

.

A

F

0

Eje

Directriz

hH .. 11

h

.F

A

0

Eje

Directriz

1H

H

H

2

3

1

2

3

h

h

ELEMENTOS: FOCO ( F )PUNTO ( A )Directriz ( D )

EJE ( A - A)

VRTICES ( B -B )FOCOS ( F1 - F2 )XZ ( Asintotas )

FORMULA A APLICAR: A - 1 PINCHANDO EN F1A- 1 PINCHANDO EN F2

ELEMENTOS:


37/37

geometria plana- apuntes realizados por antonio cuesta

Documents