CONCEPTOS BSICOS DE GEOMETRA PLANA

Una dimensin: punto, recta, semirrecta y segmento.Dos dimensiones: ngulos, polgonos, circunferencia ycrculo.Tres dimensiones: cuerpos geomtricos (poliedros y figuras de revolucin).

Una dimensin: punto, recta, semirrecta y segmento.El punto no tiene dimensiones. Es el elemento ms simple con el que trabajamos en geometra. Deca Euclides, el gran matemtico griego, que un punto es lo que no tiene partes. Se podra decir que un punto slo tiene posicin.La lnea es, segn Euclides, una longitud sin anchura. La lnea posee una sola dimensin. Podra considerarse como una sucesin infinita de puntos alineados. Un punto en movimiento genera una recta.Si marcamos un punto sobre una recta, dividindola en dos, cada parte se llama semirrecta. En una semirrecta, slo hay un sentido de avance, en el otro extremo, el camino se corta, como en una calle sin salida.Si cerramos la lnea por dos extremos, marcando dos puntos, obtenemos un segmento. Los segmentos no tienen salida por ninguno de los dos sentidos. La Geometra suele utilizarlos para la construccin de figuras o como medida.

Dos dimensiones: el plano. Posiciones relativas de dos rectas en el plano.Segn Euclides, una superficie es lo que slo tiene longitud y anchura. Si nos movemos en un plano, podemos observar puntos, rectas, polgonos, crcunferencias y crculos.PlanorsDos rectas, r y s, que pertenecen al mismo plano son paralelas cuando todos sus puntos estn a la misma distancia entre ellas. Pensemos en los rales del tren como una imagen real de rectas paralelas.rsDos rectas, r y s, que pertenecen al mismo plano son secantes cuando tienen un punto en comn; es decir, se cortan en un punto. La letra X es un buen ejemplo de rectas secantes. Si forman un ngulo de 90 entre s, sern rectas perpendiculares.

Representacin en Ejes CartesianosPara situar objetos en el pano, se utilizan los ejes cartesianos. El eje horizontal (de las x) o eje de abscisas, marca la primera coordenada de un punto y el eje vertical (de las y) o eje de ordenadas, marca la segunda coordenada del punto. xy1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16151413121110987654321(4,6)As, un punto viene dado por un par ordenado de nmeros naturales (a,b).Y un tringulo, por tres puntos, como en la figura siguiente.(8,3)(15,9)(11,12)Es una forma exacta de representar figuras en el plano. Si situamos otro eje z, perpendicular a los otros dos, tendramos cubierto todo el espacio. Y cada punto del espacio podra representarse por tres coordenadas.(x,y,z)xyz

SimetraDos figuras del plano son simtricas segn un eje de simetra si al doblar el plano por dicho eje coinciden sus siluetas. Por ejemplo, de los dos casos siguientes, las figuras del grfico 1 son simtricas, mientras que las del grfico 2 no lo son.Grfico 1Grfico 2La simetra tiene propiedades curiosas. Por ejemplo, si aplicamos dos veces la misma simetra sobre una figura, obtenemos la misma figura, desplazada.

ngulosUn ngulo es una porcin del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un mismo punto, que llamamos vrtice. Sera la separacin (tomada de forma circular) entre dos lneas que se cortan en un punto.VrticeLadoLos ngulos se nombran de varias formas. La ms utilizada es la que emplea tres letras maysculas y un smbolo en forma de ngulo encima. La letra del medio es el vrtice.ABOnguloSegn su apertura en grados, los ngulos se clasifican en:ngulo Recto90ngulo AgudoMenos de 90ngulo ObtusoMs de 90ngulo Llano180

ngulos - PosicionesVeamos cmo pueden estar entre s dos ngulos en el mismo plano.Dos ngulos AB y BC son consecutivos cuando comparten el vrticey uno de los lados.ABCOABCODos ngulos AB y BC son complementarios cuando la suma de sus amplitudes es igual a un ngulo recto (90).ABCODos ngulos AB y BC son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es igual a un ngulo llano (180).

Al dibujar varios segmentos consecutivos obtendremos una lnea poligonal. Un polgono es la regin interior de una lnea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vrtices y las diagonales. A la longitud de la la lnea poligonal se le llama permetro del polgono.PolgonosLos polgonos pueden ser regulares (con todos sus lados y ngulos iguales) o irregulares (lo contrario). Pero tambin se pueden clasificar por su nmero de lados. As, segn sus lados, los polgonos pueden ser:TringuloCuadrilteroPentgonoHexgonoHeptgonoOctgonoEnegonoDecgono

TringulosLos tringulos son polgonos con tres lados y tres ngulos. Los tres ngulos de un tringulo siempre suman 180 entre los tres.Segn sus lados, los tringulos pueden ser:Equiltero:los tres lados iguales.Issceles:slo dos lados iguales.Escaleno:los tres lados diferentes.Segn sus ngulos, los tringulos pueden ser:Rectngulo:un ngulo recto.Acutngulo:los tres ngulo agudos.Obtusngulo:un ngulo obtuso.

CuadrilterosHay tres clases de cuadrilteros:Paralelogramos:lados paralelos dos a dosTrapecio:slo dos lados paralelos Trapezoide:ningn lado paralelo a otroCuadrado:ngulos y lados igualesRectngulo:ngulos iguales y lados iguales dos a dosRombo:lados iguales y ngulos iguales dos a dosRomboide:ngulos y lados igualesdos a dos

El permetro de un polgono es la medida de sus lados, de su contorno. Para cualquier polgono, su permetro se obtiene sumando las longitudes de todos sus lados.Permetrol1l2l3l4l5l6P = l1 + l2 + l3 + l4 + l5 + l6 Los polgonos regulares, debido a que tienen lados iguales, tienen frmulas fciles y rpidas con las que podemos calcular su permetro. lP = 6 x l

reaEl rea de un polgono es la porcin de plano comprendida entre sus lados. Es decir, la medida de la superficie encerrada por una lnea poligonal. reaPara medir una superficie, lo que hacemos es ver cuntas veces entra en ella una unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y corresponde a un cuadrado de un metro de lado.Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus mltiplos y submltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100.

Clculo de las reas de figuras planasrea del tringulorea del cuadradoablrea del rectnguloabrea del romboDdrea del romboidebarea del trapecioBbhrea de un polgono regularP= PermetroApAp = Apotema (lnea queune el centro con la mitadde un lado)

La circunferencia y el crculoSe llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada crculo.CircunferenciaRadioDimetroCentroCrculoSegmento circularSector circularEl dimetro de una circunferencia es igual al doble del radio.d = 2 rCuerdaSi medimos con un hilo la longitud de la circunferencia, veremos que es igual a 3,14 veces su dimetro. A este nmero decimal se lo define con la letra griega pi (). Luego = 3,14 aproximadamente.De esta forma, la longitud de una circunferencia es:L = 2 rLa superficie del crculo se calcula multiplicando pi por el cuadrado del radio.A = r2

Cuerpos geomtricosLos cuerpos geomtricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras: - Cuerpos poliedros. Son aquellos que tienen todas sus caras planas. Estos,a su vez, puedendividirse en poliedros regulares (todas sus caras iguales) y poliedros irregulares (no todas las caras iguales). - Cuerpos de revolucin. Son cuerpos que tienen, al menos, una cara curva, y se obtienen haciendo girar en torno a un eje a un polgono cualquiera.Poliedros regularesTetraedroOctaedroHexaedro o CuboDodecaedroIcosaedroLos poliedros regulares han tenido siempre aplicaciones astronmicas. Platn utiliza al Tetraedro como figura bsica de su cosmogona. J. Kepler hace coincidir las rbitas planetarias de forma que los planetas se colocan el esferas circunscritas a cada uno de estos slidos.

Cuerpos geomtricosPoliedros irregularesLos poliedros irregulares tienen una base poligonal, que puede ser un tringulo, un cuadrado, un pentgono, etc. Y se nombran teniendo en cuenta dicha base. As, se denominan: pirmide triangular (si la base es un tringulo); prisma cuadrangular (si la base es un cuadrado) y as con los dems polgonos. Las pirmides tienen una sola base, y los prismas dos, una superior y otra inferior (siendo iguales las dos).PirmidetriangularPirmidecuadrangularPrismacuadrangularPrismatriangularAristaBaseCaraAltura

Cuerpos geomtricosCuerpos o figuras de RevolucinCilindroConoEsferaEstos cuerpos reciben este nombre porque su forma se genera por medio de la revolucin (giro sobre un eje) de una figura plana. Si giramos un rectngulo sobre su lado mayor, obtenemos un cilindro; si giramos un tringulo rectngulo sobre un cateto, obtenemos un cono; y si giramos una semicircunferencia, obtenemos una esfera. Debido a esto, en estos cuerpos, hay superficies curvas.GeneratrizBaseAlturaRadio