geometría ciu tercera_semana

8/6/2019 Geometra CIU tercera_semana

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Puntos y rectas en el tringulo

En los tringulos hay un conjunto de rectas y puntos importantes.

Las rectas son las bisectrices, las mediatrices, las alturas, las medianas

y las bisectrices exteriores. Los puntos donde se cortan estas rectas

son el incentro, el circuncentro, el ortocentro, el baricentro y los ex-

incentros, respectivamente.

Tal como hemos hecho previamente, dado un tringulo ABC,

denotaremos por , y a los ngulos correspondientes a los vr-tices A, B y C, respectivamente, y por a, b y c a los lados opuestos a

dichos vrtices, respectivamente.

En primer lugar definimos las bisectrices de un tringulo y el punto

donde se cortan, llamado incentro.

Definicin. [Bisectrices de un tringulo] Las bisectrices de un tringulo

ABC son las bisectrices de los ngulos , y , respectivamente denota-

das por wa, wb y wc.

Figura 1: Bisectrices de un tringuloProposicin. [Incentro de un tringulo] Las tres bisectrices de un tringulo

ABC se cortan en un solo punto I, llamado el incentro de ABC, el cual

es el centro de la circunferencia inscrita en el tringulo.

Demostracin. Sea I el punto donde se cortan las rectas wa y wb.

Es sencillo ver que I es el centro de la circunferencia inscrita en el

tringulo. Como I wa, el punto est a la misma distancia del lado b

y del lado c, ver figura de la derecha (los dos tringulos rectngulos

son congruentes por el criterio ALA).

Figura 2:

Por otro lado, como tambin Iwb, el punto est a la misma

distancia del lado a y del lado c. Entonces est a la misma distan-

cia de los tres lados. Esta distancia es el radio de la circunferencia

inscrita en el tringulo. Esto implica directamente que la recta wctambin pasa por I, de manera que la interseccin de las tres rectas es

el incentro.


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matemtica iii - ciu geometra 31

A continuacin definimos las mediatrices de un tringulo y el punto

donde se cortan, llamado circuncentro.

Definicin. [Mediatrices de un tringulo] Las mediatrices de un tringulo

ABC son las mediatrices de los lados a, b y c , respectivamente denotadas

por ta, tb y tc.

Figura 3: Mediatrices y circuncentro

Proposicin. [Circuncentro de un tringulo] Las tres mediatrices de un

tringulo ABC se cortan en un solo punto O, el cual se denomina el

circuncentro de ABC, siendo el centro de la circunferencia circunscrita

al tringulo.

Demostracin. Sea O el punto de corte de las rectas ta y tb. Por la

definicin de mediatriz tenemos que |OA| = |OC| y |OC| = |OB|, de

donde |OA| = |OB| y por lo tanto O tiene que estar en tc. Adems

la circunferencia de centro en O y radio r = |OA| pasa por los tres

vrtices.

Observacin. A diferencia del incentro, que tiene que estar dentro deltringulo, el circuncentro puede estar fuera del tringulo como en el

caso mostrado en la figura anterior. Pero tambin puede estar dentro,

como lo muestra la figura de la derecha.

Figura 4: Circuncentro dentro deltringulo

En tercer lugar definimos las alturas de un tringulo y el punto

donde se cortan, conocido como ortocentro.

Definicin. [Alturas de un tringulo] Una ltura de un tringulo ABCes una recta perpendicular a un lado del tringulo que pasa por el vrtice

opuesto a dicho lado. Las tres alturas de ABC se denotarn por ha, hb y

hc.

Figura 5: Alturas de un tringulo

Proposicin. [Ortocentro de un tringulo] Las tres alturas de un tringulo

ABC se cortan en un solo punto H, llamado el ortocentro de ABC.

Demostracin. Requerimos de una construccin auxiliar. Tracemos

una paralela a cada lado de ABC por el vrtice opuesto, como

muestra la figura de la derecha.

Figura 6: Tringulo auxiliar ABC

Se forma otro tringulo ABC. Observamos que se obtienen seis

paralelogramos

ACBC ABAC

ACAB BCBA

ABCB BCAC


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En consecuencia, |BC| = |AB| = |CA|. Entonces A es el punto

medio del lado CB. Por razonamientos similares se puede ver que

B es el punto medio del lado CA y C es el punto medio del lado

AB. De esta manera obtenemos que las alturas de ABC son las

mediatrices de ABC y, por la proposicin anterior, se cortan en

un punto comn que es el circuncentro deA

B

C

. Ese punto esel que buscamos, lo llamamos H y se define como el ortocentro de

ABC.

Precisando lo dicho en la demostracin anterior, destacamos el

siguiente corolario.

Corolario. El ortocentro del tringulo ABC es el circuncentro del trin-

gulo ABC.

Observacin. Al igual que en el caso del circuncentro, el ortocentro

puede estar fuera del tringulo, como lo muestra la figura de la dere-

cha.

Figura 7: Ortocentro fuera del tringuloAhora consideramos las medianas de un tringulo y el punto don-

de se cortan, llamado baricentro o centro de gravedad.

Definicin. [Medianas de un tringulo] Una mediana de un tringulo

ABC es una recta que pasa por un vrtice y por el punto medio del lado

opuesto a dicho vrtice. Las tres medianas de ABC se denotarn por ma,

mb y mc.

Figura 8: Medianas de un tringulo

Para un tringulo ABC, denotaremos por Ma, Mb y Mc a los

puntos medios de a, b y c, respectivamente.

Proposicin. [Baricentro o centro de gravedad de un tringulo] Las tres

medianas de un tringulo ABC se cortan en un nico punto G, llamado

el baricentro o centro de gravedad de ABC. Adems se cumple que la

distancia de G al punto medio de un lado es 1/3 de la distancia de ese punto

medio al vrtice opuesto, es decir,

|GMa| =1

3|AMa| , |GMb| =

1

3|BMb| y |GMc| =

1

3|CMc|

Demostracin. Comenzamos trazando el segmento MbMc. Como

Mb y Mc son los puntos medios de los lados del tringulo, por el

teorema de Thales, el segmento MbMc es paralelo al lado BC y, en

consecuencia, los tringulos GMbMc y GBC son semejantes.

Figura 9:

En la figura de la derecha se destacan los correspondientes ngu-

los iguales. Ahora, como |MbMc| =1

2|BC|, la razn de la semejanza

es 1/2. Luego |GMb| =1

2|GB| y |GMc| =

1

2|GC|.


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Si consideramos la tercera mediana ma, ella debe cortar a la me-

diana mb en un punto G, tal que |GMc| =

1

2|GC|. Entonces esto

implica que G = G. Finalmente, como |CMc| = |GC| + |GMc| y

como 2 |GMc| = |GC|, se concluye que |CMc| = 3 |GMc|, es decir

|GMc| =1

3|CMc|. De manera anloga podemos comprobar las otras

dos igualdades.

El siguiente corolario es inmediato del resultado anterior.

Corolario. La distancia de G a un vrtice del tringulo es 2/3 de la distan-

cia de ese vrtice al punto medio del lado opuesto.

Finalmente consideramos las bisectrices exteriores y puntos con una

propiedad interesante, los ex-incentros.

Definicin. [Bisectrices exteriores de un tringulo] Vamos a llamar bisec-

trices exteriores de un tringulo ABC a las bisectrices de los ngulossuplementarios de , y . Las bisectrices exteriores respectivas se denotan

por wa, wb

y wc.

Figura 10: Bisectriz exterior wa

La siguiente proposicin es intuitivamente clara.

Proposicin. El ngulo que forma una bisectriz con la bisectriz exterior

correspondiente mide /2.

Demostracin. Lo hacemos para la bisectriz y la exterior al ngulo

, los otros casos son idnticos. La bisectriz wa divide a en dos

ngulos iguales de medida /2. La bisectriz exterior wa divide al

ngulo suplementario = en dos ngulos iguales de medida

()/2. Se concluye que el ngulo entre wa y wa es

2+

2=

2

Proposicin. [Ex-incentros de un tringulo] La bisectriz interna a un

ngulo de un tringulo ABC y las dos bisectrices exteriores correspon-

dientes a los otros dos ngulos del tringulo se cortan en un punto llamado

un ex-incentro de ABC

Demostracin. En efecto, sea Ib el punto de corte de wb y wa. Enton-

ces Ib est a la misma distancia de la recta

AB que de la recta

BC,porque Ib wb. De igual manera, Ib est a la misma distancia de la

recta

AB que de la recta

AC, porque Ib wa.

Figura 11: Ex-incentro Ib

En consecuencia, est a igual distancia de la recta

AC que de la

recta

BC, lo cual implica que Ib wc y se concluye que el punto es

comn a las tres rectas mencionadas.


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Observacin. Los ex-incentros del tringulo son los centros de las

circunferencias ex-inscritas del tringulo, como se aprecia en la si-

guiente figura

Figura 12: Circunferencias ex-inscritas

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