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8/6/2019 Geometra CIU tercera_semana
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Puntos y rectas en el tringulo
En los tringulos hay un conjunto de rectas y puntos importantes.
Las rectas son las bisectrices, las mediatrices, las alturas, las medianas
y las bisectrices exteriores. Los puntos donde se cortan estas rectas
son el incentro, el circuncentro, el ortocentro, el baricentro y los ex-
incentros, respectivamente.
Tal como hemos hecho previamente, dado un tringulo ABC,
denotaremos por , y a los ngulos correspondientes a los vr-tices A, B y C, respectivamente, y por a, b y c a los lados opuestos a
dichos vrtices, respectivamente.
En primer lugar definimos las bisectrices de un tringulo y el punto
donde se cortan, llamado incentro.
Definicin. [Bisectrices de un tringulo] Las bisectrices de un tringulo
ABC son las bisectrices de los ngulos , y , respectivamente denota-
das por wa, wb y wc.
Figura 1: Bisectrices de un tringuloProposicin. [Incentro de un tringulo] Las tres bisectrices de un tringulo
ABC se cortan en un solo punto I, llamado el incentro de ABC, el cual
es el centro de la circunferencia inscrita en el tringulo.
Demostracin. Sea I el punto donde se cortan las rectas wa y wb.
Es sencillo ver que I es el centro de la circunferencia inscrita en el
tringulo. Como I wa, el punto est a la misma distancia del lado b
y del lado c, ver figura de la derecha (los dos tringulos rectngulos
son congruentes por el criterio ALA).
Figura 2:
Por otro lado, como tambin Iwb, el punto est a la misma
distancia del lado a y del lado c. Entonces est a la misma distan-
cia de los tres lados. Esta distancia es el radio de la circunferencia
inscrita en el tringulo. Esto implica directamente que la recta wctambin pasa por I, de manera que la interseccin de las tres rectas es
el incentro.
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A continuacin definimos las mediatrices de un tringulo y el punto
donde se cortan, llamado circuncentro.
Definicin. [Mediatrices de un tringulo] Las mediatrices de un tringulo
ABC son las mediatrices de los lados a, b y c , respectivamente denotadas
por ta, tb y tc.
Figura 3: Mediatrices y circuncentro
Proposicin. [Circuncentro de un tringulo] Las tres mediatrices de un
tringulo ABC se cortan en un solo punto O, el cual se denomina el
circuncentro de ABC, siendo el centro de la circunferencia circunscrita
al tringulo.
Demostracin. Sea O el punto de corte de las rectas ta y tb. Por la
definicin de mediatriz tenemos que |OA| = |OC| y |OC| = |OB|, de
donde |OA| = |OB| y por lo tanto O tiene que estar en tc. Adems
la circunferencia de centro en O y radio r = |OA| pasa por los tres
vrtices.
Observacin. A diferencia del incentro, que tiene que estar dentro deltringulo, el circuncentro puede estar fuera del tringulo como en el
caso mostrado en la figura anterior. Pero tambin puede estar dentro,
como lo muestra la figura de la derecha.
Figura 4: Circuncentro dentro deltringulo
En tercer lugar definimos las alturas de un tringulo y el punto
donde se cortan, conocido como ortocentro.
Definicin. [Alturas de un tringulo] Una ltura de un tringulo ABCes una recta perpendicular a un lado del tringulo que pasa por el vrtice
opuesto a dicho lado. Las tres alturas de ABC se denotarn por ha, hb y
hc.
Figura 5: Alturas de un tringulo
Proposicin. [Ortocentro de un tringulo] Las tres alturas de un tringulo
ABC se cortan en un solo punto H, llamado el ortocentro de ABC.
Demostracin. Requerimos de una construccin auxiliar. Tracemos
una paralela a cada lado de ABC por el vrtice opuesto, como
muestra la figura de la derecha.
Figura 6: Tringulo auxiliar ABC
Se forma otro tringulo ABC. Observamos que se obtienen seis
paralelogramos
ACBC ABAC
ACAB BCBA
ABCB BCAC
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En consecuencia, |BC| = |AB| = |CA|. Entonces A es el punto
medio del lado CB. Por razonamientos similares se puede ver que
B es el punto medio del lado CA y C es el punto medio del lado
AB. De esta manera obtenemos que las alturas de ABC son las
mediatrices de ABC y, por la proposicin anterior, se cortan en
un punto comn que es el circuncentro deA
B
C
. Ese punto esel que buscamos, lo llamamos H y se define como el ortocentro de
ABC.
Precisando lo dicho en la demostracin anterior, destacamos el
siguiente corolario.
Corolario. El ortocentro del tringulo ABC es el circuncentro del trin-
gulo ABC.
Observacin. Al igual que en el caso del circuncentro, el ortocentro
puede estar fuera del tringulo, como lo muestra la figura de la dere-
cha.
Figura 7: Ortocentro fuera del tringuloAhora consideramos las medianas de un tringulo y el punto don-
de se cortan, llamado baricentro o centro de gravedad.
Definicin. [Medianas de un tringulo] Una mediana de un tringulo
ABC es una recta que pasa por un vrtice y por el punto medio del lado
opuesto a dicho vrtice. Las tres medianas de ABC se denotarn por ma,
mb y mc.
Figura 8: Medianas de un tringulo
Para un tringulo ABC, denotaremos por Ma, Mb y Mc a los
puntos medios de a, b y c, respectivamente.
Proposicin. [Baricentro o centro de gravedad de un tringulo] Las tres
medianas de un tringulo ABC se cortan en un nico punto G, llamado
el baricentro o centro de gravedad de ABC. Adems se cumple que la
distancia de G al punto medio de un lado es 1/3 de la distancia de ese punto
medio al vrtice opuesto, es decir,
|GMa| =1
3|AMa| , |GMb| =
1
3|BMb| y |GMc| =
1
3|CMc|
Demostracin. Comenzamos trazando el segmento MbMc. Como
Mb y Mc son los puntos medios de los lados del tringulo, por el
teorema de Thales, el segmento MbMc es paralelo al lado BC y, en
consecuencia, los tringulos GMbMc y GBC son semejantes.
Figura 9:
En la figura de la derecha se destacan los correspondientes ngu-
los iguales. Ahora, como |MbMc| =1
2|BC|, la razn de la semejanza
es 1/2. Luego |GMb| =1
2|GB| y |GMc| =
1
2|GC|.
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Si consideramos la tercera mediana ma, ella debe cortar a la me-
diana mb en un punto G, tal que |GMc| =
1
2|GC|. Entonces esto
implica que G = G. Finalmente, como |CMc| = |GC| + |GMc| y
como 2 |GMc| = |GC|, se concluye que |CMc| = 3 |GMc|, es decir
|GMc| =1
3|CMc|. De manera anloga podemos comprobar las otras
dos igualdades.
El siguiente corolario es inmediato del resultado anterior.
Corolario. La distancia de G a un vrtice del tringulo es 2/3 de la distan-
cia de ese vrtice al punto medio del lado opuesto.
Finalmente consideramos las bisectrices exteriores y puntos con una
propiedad interesante, los ex-incentros.
Definicin. [Bisectrices exteriores de un tringulo] Vamos a llamar bisec-
trices exteriores de un tringulo ABC a las bisectrices de los ngulossuplementarios de , y . Las bisectrices exteriores respectivas se denotan
por wa, wb
y wc.
Figura 10: Bisectriz exterior wa
La siguiente proposicin es intuitivamente clara.
Proposicin. El ngulo que forma una bisectriz con la bisectriz exterior
correspondiente mide /2.
Demostracin. Lo hacemos para la bisectriz y la exterior al ngulo
, los otros casos son idnticos. La bisectriz wa divide a en dos
ngulos iguales de medida /2. La bisectriz exterior wa divide al
ngulo suplementario = en dos ngulos iguales de medida
()/2. Se concluye que el ngulo entre wa y wa es
2+
2=
2
Proposicin. [Ex-incentros de un tringulo] La bisectriz interna a un
ngulo de un tringulo ABC y las dos bisectrices exteriores correspon-
dientes a los otros dos ngulos del tringulo se cortan en un punto llamado
un ex-incentro de ABC
Demostracin. En efecto, sea Ib el punto de corte de wb y wa. Enton-
ces Ib est a la misma distancia de la recta
AB que de la recta
BC,porque Ib wb. De igual manera, Ib est a la misma distancia de la
recta
AB que de la recta
AC, porque Ib wa.
Figura 11: Ex-incentro Ib
En consecuencia, est a igual distancia de la recta
AC que de la
recta
BC, lo cual implica que Ib wc y se concluye que el punto es
comn a las tres rectas mencionadas.
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Observacin. Los ex-incentros del tringulo son los centros de las
circunferencias ex-inscritas del tringulo, como se aprecia en la si-
guiente figura
Figura 12: Circunferencias ex-inscritas