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Geometría Analítica: Recta, Circunferencia y ParábolaTRANSCRIPT
GEOMETRÍA ANALÍTICA
La Geometría Analítica tiene por objeto la resolución de problemas geométricos utilizando métodos algebraicos. El sistema que se emplea para representar gráficas fue ideado por el filósofo y matemático francés Descartes (1596 -1650), quien usó su nombre latinizado, Renatus Cartesius, y por esta razón se conoce con el nombre de ejes cartesianos.
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
a) Punto medio de un segmento de recta
M = (x1+x2
2;y1+ y2
2 )b) Distancia entre dos puntos
por el T. Pitágoras : ABH :
d = √( x2−x1 )2+( y2− y1 )
2
c) División de un segmento en una razón dada.El punto P(x, y) divide al segmento AB en
la razón .
PROBLEMAS:1. Calcular la distancia entre A(5; -3/5) y B(5;
-1/5). Rpta: 2/5 u2. Determina las coordenadas del punto P,
ubicado en el eje de abscisas, que equidista de los puntos A(0;3) y B(-1; 4).
3. La ordenada de un punto P es 9 y la
distancia de P al punto A(4; 3) es u. Halla la abscisa de P.
4. Se sabe que el punto S(3; 7) divide al segmento determinado por los puntos A(5;
3) y B(x; y) en la relación . Halla las coordenadas de B.
5. Halla las coordenadas de los puntos M, N y P, si divide al segmento AB de extremos A(5; -2) y B(7; 2) en cuatro segmentos iguales.
6. Determina la distancia del segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio ABCD cuyos vértices son A(6; -1), B(4; 4), C(2; 4) y D(-4; -1).
7. Sabiendo que la distancia entre los puntos
(a; 2) y (7; a) es ; hallar el valor de a. Rpta: 5
8. Si la distancia entre los puntos A(3a + 1; 3) y B(a + 1; 6) es 5 u; hallar la distancia entre los puntos C(5; a) y D(-a; -a), siendo a< 0. Rpta: 5u
9. Se sabe que el punto S(3; 7) divide al segmento determinado por los puntos A(5;
3) y B(x; y) en la relación . Halla las coordenadas de B.
10. Halla las coordenadas de los puntos M, N y P, si divide al segmento AB de extremos A(5; -2) y B(7; 2) en cuatro segmentos iguales.
PENDIENTE DE UNA RECTA.
La pendiente (m) de la recta L es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación α que forma con el eje X, medido en el sentido positivo.
Propiedades:a) Dadas la ecuación de la recta: Ax + By + C
= 0, su pendiente será: b) Las rectas L1 de pendiente m1 y L2 de
pendiente m2, serán: Paralelas si y sólo si: m1 = m2
1 MATEMÁTICA – 5° - 2013 PROF. LUIS CAÑEDO CORTEZ
(y2- y1)
B
d
(x2-x1)
(x2,y2)
(x1,y1)
x
y
O
A
P2
(x2,y2)
(xm,ym)
(x1,y1)
x
y
O
M
P1
ym = y1+ y2
2
xm = x1+x2
2
H
B(x2,y2)
(x, y)
(x1,y1) x
y
O
PA
y =
x =
B
α
A(x2, y2)
(x1,
y1)
X
Y L
α
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Perpendiculares si y sólo si: m1.m2 = –1
Problemas:1. Determina la pendiente del segmento AB,
siendo A = (-2; 6) y B = (-8; -2). Rpta: 4/3
2. Determinar la pendiente del segmento que une los puntos medios de los segmentos AB y CD, si: A(-3; 2), B(6; 0), C(-2; 0) y D(1; 6). Rpta: -1
3. Si los puntos A(-5; 2), B(a; 2a) y C(7; 8) son colineales, determinar las coordenadas de B. Rpta: (3; 6)
4. El ángulo de inclinación de una recta es 135°. Si pasa por A(-2; y) y B(-7; 4), calcula el valor de y.
5. Encuentra la pendiente y la ordenada en el origen de cada una de las siguientes rectas:a) 2y = - 8 b) 2y = - 4x + 5c) -15 = 3x – 8y
d)6. Si las rectas L1 y L2 son paralelas, donde:
L1 : y = (a – 5)x + 2L2 : y = (2a – 7)x + a Hallar el valor de a. Rpta: 2
7. ¿Para qué valor de k la recta 3x + 2y – 5 = 0 es perpendicular a la recta kx – 5y + 8 = 0.
8. Calcula el valor de la constante k en la ecuación de la recta 2kx – y – 1 = 0, que es paralela a la recta de ecuación 3x– 2y+6= 0.
9. Se sabe que las rectas:L1: 5y = (2n – 16)x + 5nL2: (3n – 5)y = 2x + 3n – 5 Son perpendiculares. Hallar la pendiente de la recta L3: nx + (n – 1)y + 6 = 0 Rpta: -3/2
ECUACIÓN DE LA RECTA
1. Ecuación principal: Ecuación de la recta conociendo su pendiente m y un punto P(0 ; b). y = mx + b
2. Ecuación punto-pendiente: Ecuación de la recta L de pendiente m y pasa por el punto P1(x1 ; y1)
3.Ecuación cartesiana: Ecuación de la recta conociendo las coordenadas de dos de sus puntos: P1(x1 ; y1) , P2(x2 ; y2).
4.Ecuación simétrica de la recta.
Cuando se conoce los puntos: A(a ; 0) y B(0 ; b).
5.Ecuación general de la recta. Ax + By + C = 0Del cual podemos obtener:
a) La pendiente m: b) Punto de corte b con el eje “y” :
Problemas:1. Si el ángulo de inclinación de una recta es
37°, hallar la ecuación de dicha recta, si pasa por el punto (1; 2).
2. Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos (1; 2) y (-3; 1).
3. Encuentra la ecuación principal de la recta que pasa por el origen del sistema cartesiano y es paralela a la recta que pasa por los puntos (4; 1) y (6; 5).
4. Determinar la ecuación de la recta que tiene un intercepto con el eje y en -3/2 y su ángulo de inclinación es 127°.
5. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5; 3) y (-3; -4). Rpta: 7x – 8y – 11 = 0
6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por
los puntos y . Rpta: 12x + 12y – 5 = 0
7. Hallar la ecuación simétrica de la recta que pasa por los puntos (0; 7) y (6; 0).
8. Una recta L de pendiente -3/2 pasa por el punto (2; 3). Hallar el área de la región del triángulo formado por dicha recta y los ejes coordenados.a) 18 u2 b) 15 u2 c) 12 u2 d) 10 u2 e)
9 u2 9. Hallar la ecuación de la recta L mostrada
en la figura:a) 3x + 4y – 24 = 0b) 3x – 4y + 24 = 0c) 3x + 4y + 24 = 0d) 4x + 3y – 24 = 0e) 4x + 3y – 12 = 0
10. Hallar la ecuación de la mediana relativa al lado AB de un triángulo ABC, siendo A(-1; 4), B(7; 2) y C(1; 6).
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y
xo 8
53°
GEOMETRÍA ANALÍTICA
a) 5x + y – 11 = 0 b) 3x + y – 9 = 0 c) 5x – y + 1 = 0 d) 3x + 2y – 15 = 0
11. Determinar la tangente del ángulo que forman las rectas: 3x + 2y – 5 = 0 y 2x + y + 2 = 0, al cortarse en un punto P.
12. Determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es – 1 y que pasa por el punto de intersección de las rectas: x + 2y – 12 = 0 y x – 2y – 12 = 0
13. Determinar el valor de los coeficientes a y b de la ecuación de la recta: ax – by + 4 = 0, que pasa por los puntos (-3; 1) y (1 , 6).
14. Hallar la ecuación de la recta mediatriz del segmento que tiene por extremos a: A(1; 2) y B(-1; 0).
15. Sea L una recta cuya ecuación es: 4x + 2y + m = 0; si los puntos (m + 1; 3) y (n + 2; 5) pertenecen a la recta L, hallar n.a) 3 b) -3 c) 4 d) -4 e) 12
I. LA CIRCUNFERENCIALa circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano cartesiano que equidistan de un punto fijo llamado centro (C).
Ecuación ordinaria de la circunferencia:
a) Con centro C(h; k) y radio r:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2 b) Con centro en el origen de
coordenadas C(0;0) y radio r: x2 + y2 = r2
Ecuación general de la circunferencia:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
donde podemos concluir que:
(Centro)
(Radio)
Ejercicios:1. Hallar la ecuación de la circunferencia
de centro (5, -2) y de radio 3. Rpta: x2 + y2 - 10x + 4y + 20 = 0
2. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (2; 1), si el punto (-2; -2) pertenece a la circunferencia.
Rpta: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 253. Hallar la ecuación de la circunferencia que
pasa por el origen y tiene su centro en el punto común a las rectas x + 3y – 6 = 0 ^ x – 2y – 1 = 0.
4. Si la ecuación de la circunferencia: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 tiene su centro en (2; 5) y el punto (1; 8) pertenece a la circunferencia, hallar: D+ E+ F. Rpta: 5
5. Determinar la ecuación de la circunferencia de centro C(0;0) que pasa por el punto P(3; 4).
6. Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos P(4;7), Q(0; 9) y R(3; 0) e identificar su centro radio. Rpta: x2 + y2 – 8y – 9 = 0, C(0; 4) y r = 5
7. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 6), B(4, -2) y C(9, 3). Encuentre las coordenadas del centro y el radio.
8. Encuentra la ecuación general de la circunferencia tangente al eje Y y con centro en (-3; 4). Rpta: x2 + y2 + 6x – 8y + 16 = 0
9. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento de extremos A(2; 3) y B(-4; -9). Rpta: x2 + y2 + 2x + 6y – 33 = 0
10. Determinar el valor de k para que la ecuación x2 + y2 – 10x + 8y + k = 0 representa una circunferencia de radio 8 u.
11. Encuentra la ecuación general de la circunferencia de radio 2 u, concéntrica con la circunferencia x2+ y2– 4x+2y– 3= 0 Rpta: x2 + y2 – 4x + 2y + 1 = 0
12. El centro de una circunferencia es la intersección de las rectas L1: y – 2x – 1= 0 con L2: x + y – 7= 0. Si ella pasa por el punto S(6;2), halla su ecuación ordinaria.
13. Utiliza la estrategia de completar cuadrados para obtener las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia de ecuación 2x2 + 2y2 – 4x + 6y + 3 = 0
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14. Hallar la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos (3, 2), (2, 4) y (-1, 1). Rpta:
II. LA PARÁBOLALa parábola es el lugar geométrico de los puntos P(x; y) del plano cartesiano que equidistan de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta fija llamada directriz (L). Es decir: d(P, foco) = d(P, directriz)
Elementos de la parábola
Recta Directriz : D⃗D ' (d)
Eje focal : E⃗E ' Foco : F Vértice : V
Cuerda : AB
Cuerda Focal : RS
Lado recto : MN (L.R. = )
Ecuación de la parábola:La ecuación para una parábola con eje focal paralelo al eje x, vértice en (h; k) y cuya distancia al foco es p es:
Ecuación: (y – k)2 = 4p (x – h) Obs.-
Si : p > O se abre hacia la derecha p < O se abre hacia la izquierda
La ecuación para una parábola con eje focal paralelo al eje y, vértice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es:
x2 =4py
(x – h)2 = 4p(y – k)
Obs: p > O se abre hacia arribap < O se abre hacia abajo
ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA:Eje focal paralelo al eje X: y2 + Ay + Bx + C = 0Eje focal paralelo al eje Y: x2 + Ax + By + C = 0
PROBLEMAS:1. Hallar la ecuación de la parábola con
vértice V(0; 0) y foco F(0; 3).2. Analiza la parábola de ecuación y2 = - 16x3. Analiza la parábola (y + 4)2 = - 6(x – 5/2).4. Determina el vértice, foco y directriz de la
parábola 2x2 – 12x – 40y + 98 = 0.5. Determinar el foco de la parábola cuyo
eje focal es paralelo al eje Y, y pasa por los puntos P(0; 6), Q(2; 7) y R(4; 4).
6. Determinar la ecuación general de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje X y pasa por los puntos P(1; 2), Q(-1; 3) y R(-8; 4).
7. Halla la ecuación general de la parábola de vértice (2; 3), eje focal paralelo al eje Y, y que pasa por el punto (0; 5).
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F E
B
D
D’
E’ H
P P
S N
M R A
y D
F VH O
D’
x
E E’
y
x O
D
F V
H
P(x,y)
D D’H
y
P(x,y)
F
(0,0) V x
(h,k
F P(x,y)
V
y
H D’
O
D x
F(p; 0)d: x = - p
F(0; p)d: y = - p
Ecuación: y2 = 4px
V(h;k) ; F(h + p, k) ; d: x= h – p
V(h;k) ; F(h, k + p) ; d: y= k – p
V
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8. Halla la ecuación ordinaria de la parábola si los extremos del lado recto son (5; 4) y (5; -2).
9. Halla la ecuación ordinaria de la parábola de vértice (3; -1), que pasa por el punto (2; -2) y cuyo eje focal está sobre L1: y+1= 0.
10. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es (2; 0) y su foco (6; 0).
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