geometria analitica

Geometría Analítica

Sistema de coordenadas, Distancia, punto medio, razón,etc José Barros

1

GEOMETRÍA ANALÍTICA En un Sistema de ecuaciones solamente se puede tener 1, ninguna o infinita, soluciones: Ecuación lineal: Ax + By + c = 0 Ecuación Cuadrática: ax2 + bx + c = 0 Segmento.- Es una parte de una Recta. __ __ __ AB AB = BA = Geometría Plana. - + __ AB __ __ AB = -BA = Geometría Analítica. A B C __ __ __ AC = AB BC B C A __ __ __ BA = BC CA __ __ __ CA = BA – BC ___ ___ ___ -AC = -AB – BC = Para cambiar el Signo de la __ __ __ expresión AC = AB + BC Correspondencia entre un punto geométrico y un # real en un sistema coordenado lineal: Representación Geométrica A(x) = coordenada de A P(-2)=coordenada de P1 Representación Analítica Origen A un punto le corresponde un solo # y a un punto le corresponde un solo punto.

Fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas :

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Longitud de un segmento

Para unir dos puntos Ejem: ____ p1p2 ___ ___ ____ Op2 = Op1 + p1p2 ____ ___ ___ p1p2 = Op2 – Op1 Reemplazando tenemos: ____ Op2 = x2 p1p2 = x2 –x1 Op1 = x1 Extremo - Inicio Ejemplo: __ AB = 5 + 4 = 9 __ BA = - 4 – 5 = -9

La Distancia LA distancia es igual al valor absoluto del segmento, El valor absoluto siempre tendra respuesta positiva. ____ d = | p1p2 | = | x2 – x1 | __ d = | AB | = | 9 | = 9 __ d = | BA | = | -9 | = 9 Ejercicios: La distancia entre 2 puntos es 9, si uno de los puntos es -2 hallar el otro punto. d = 9 A = ( -2 ) B = ( ? ) __ d = | AB | = | x2 – x1 | __ AB 9 = x2 + 2 x2 = 7 // __ AB - 9 = x2 +2 x2 = -11 //





3

Encontrar las coordenadas de un punto P que divide a un segmento en una razón dada:

__ r = AB PB

__ r = ( x2 – x ) = x – x1 AP = x –x1 rx2 – rx = x –x1 __ r = x – x1 rx2 + x1 = x + rx PB = x2 – x x2 – x rx2 + x1 = ( 1 + r ) x (1 +r ) = rx2 + x1

//)1(21

rrxxx

Hallar el punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son los puntos: -7 y -19

1

//13226

21719

221

)1(21

PABPr

xxrrxxx

Puntos de Trisección

⅓ ⅔

La razón es un cociente de 2

números =ba

//151

211

)7(2119

121

3231

11

xx

ApBpr

//1123

3321

)7(21922

3132

22

xx

ApBpr





4

21

PPPPr nproposició

fe

cd

ba

r

EFDE

BCAB

PPPPr 2

1

xxxx

BCABr

2

1

yyyy

EFDEr

2

1

rrxxx

1

21

rryyy

1

21

Un extremo de un segmento dirigido es -8 y su punto medio es 3 ¿Hallar las coordenadas del otro extremo? P( -8) Pm (3) 6 = -8 + x1 x1 = 14 //

Sistema Coordenado Rectangular

Distancia entre dos puntos

____ | p1p2 | = ? h2 = c2 + c2

p1c = x2 – x1 | p1p2 | = //12(12( )) 22yyxx

cp2 = y2 – y1

Determinar las coordenadas P que dividen al segmento P1 P2 en una razón dada:

221 xxPm

2

8 wxm





5

Hallar el perímetro del cuadrilatero cuyos vértices son los puntos de coordenadas: A(-3, -1), B(0 , 3), C(3, 4), D(4, -1) __ __ __ __ Perímetro = |AB| + |BC| + |CD| + |DA| |AB| = 22 )12()12( yyxx

|AB| = 22 )13()30( 169 25 //5

|BC| = 22 )34()03( 19 10 //16.3

|CD| = 22 )14()43( 26 //10.5

|DA| = 22 )11()34( //7 Perímetro: 5 + 5.10 + 3 + 16 + 7 = 20.26// Demostrar que los puntos de coordenadas (-2, -1) (2, 2) (5, -2) son los vértices de un triangulo isóceles. |AB| = |BC| AC |AB| = 22 )12()22( 916 25 //5

|BC| = 22 )22()52( 169 25 //5

|AC| = 22 )21()25( 149 50 AB = BC// Demostrar que los tres puntos de coordenadas A(12,1) B(-3,-2) C(2,-1) Son Colineales (Colineal Significa “ sobre la misma recta”) |BC| + |CA| = |BA| |BC| = 22 )21()32( 125 26 //09.5

|CA| = 22 )11()122( 4100 104 //19.10

|BA| = 22 )21()312( 9225 234 //29.15 Los vértices de un triangulo son: A(3,8), B(2,-1), C(6,-1) Si D es el punto medio del lado C calcular la longitud de la mediana.

221,

221 yyxxpm

22,

28

pm //)1,4( D

d|AD| = 22 )18()34( d|AD| = 811 d|AD| = 82 d|AD| = //055.9





6

Uno de los extremos de un segmento rectilineo de longitud 5 es el punto de coordenadas (3,2) si la abscisa del otro extremo es 6 ¿Hallar la Ordenada? L = 5 A = (3,-2) Abscisa = 6 Ordenada = ? Hay 2 formas para sacar: (5)2 = 222 ))2()36(( y 25 = 9 + (y+2)2 16 = y2 + 4y + 4 2)2(16 y y2 + 4y + 4 = 16 4 = | y + 2 | (y +6) (y – 2) 4 = y + 2 y = 2// y = -6 // 4 = - (y + 2) y = -6// y = 2 // Repaso de formulas: AB = - BA AC = AB + BC d = x2 – x1 Sistema Coordenado lineal

rrxxx

1

21 Sistema Coodenado rectangular y Razón

d = 22 )12()12( yyxx Distancia de dos puntos en una recta

Ángulo “” de dos rectas Es el comprendido entre 2 rectas dirigidas:

AlphaGamma

Ángulo de inclinación 0º x 180º





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Pendiente de una recta o

Coeficiente Angular

la pendiente de una recta se denota con la letra m como la tangente del ángulo de inclinación. m = pendiente m = tg x = inclinación

Si el ángulo de inclinación es menor de 90º es positiva



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