Períodos

A través

da Histori

a

AXeomet

ría

Índice O nacemento da Xeometría nas civilizacións

pre-helénicas O período pre-alexandrino da matemática grega:

Thales, Pitágoras e Eudoxo Euclides e a fundamentación

axiomática da Xeometría. Os Elementos Os tres problemas clásicos gregos Outros momentos gloriosos da Xeometría grega:

Arquímedes e Apolonio A Xeometría árabe. Unión entre Matemáticas e Arte Descartes e a Xeometría analítica O quinto postulado. Xeometrías non euclídeas Félix Klein. A Topoloxía Xeometría fractal

CONTIDOS

ACTVIDADES

RECURSOS

O nacemento da Xeometría nas civilizacións pre-helénicas

Mesopotamia

India Exipto China

∆ Coñecemento científico como don divino∆ A orixe da Xeometría∆ O sentido práctico da Xeometría∆ Comprensión dos diferentes sistemas de

numeración∆ Unidades de medida non convencionais∆ Construción e clasificación de triángulos∆ Principais documentos conservados

Traballando con pauciños Sistemas de numeración

América precolombina

MP

MW

MW

MP

SE

Geoclic.ico

Principais documentos conservados

Tablilla Plimptom. Mesopotamia (aprox. 1900 a.C.)

Papiro de Moscova (aprox. 1800 A. C.)

Tratado CHOU PEI (aprox. 1200 A.C.)

Papiro de Rhind. Exipto (aprox. 1650 A. C.)

Sistemas de numeración

Sistema exipcio

Sistema chinés-xaponés

Sistema cuneiforme

América precolombina

Calendario azteca

Calendario inca

Sistema de numeración maya

CONTIDOS

ACTVIDADES

RECURSOS

O período pre-alexandrino da matemática grega: Thales, Pitágoras e Eudoxo (640 a.C.—355 a.C.)

∆ Teorema de Thales. Corolarios e Aplicacións∆ Teorema de Pitágoras. Demostración e

Aplicacións.∆ Construción de polígonos inscritos nunha

circunferencia ∆ Polígonos semellantes. Razón de

semellanza.∆ Puntos notables dun triángulo∆ O número de oro

Aplicando o Teorema de Thales

Demostración empírica do Teorema de Pitágoras

Estrelando un polígono

VHS

Aplicando o Teorema de Pitágoras

SE

MP

SM

MW

CONTIDOS

ACTVIDADES

RECURSOS

Euclides (325 a. C. --265 a. C.)e a fundamentación axiomática da Xeometría. Os Elementos

∆ O Método axiomático. Os Elementos∆ Definicións básicas: axiomas, postulados e teoremas∆ Os cinco postulados ∆ Método deductivo como base dunha ciencia abstracta∆ Demostración da suma dos ángulos dun triángulo∆ Sólidos Platónicos. Fórmula de Euler

Traballando as dificultades didácticas dos postulados

Os poliedros. Clasificación e propiedades

Demostración empírica da suma dos tres ángulos dun triángulo

VHS

MP

SM

Poly.lnk

MW

SM

Os postulados de EuclidesP1: Unha recta pode trazarse desde un punto

calquera hasta outro. P2: Una recta finita pode prolongarse

continuamente e facerse una recta ilimitada ou indefinida.

P3: Una circunferencia pode describirse con un centro e unha distancia.

P4. Tódolos ángulos rectos son iguais entre sí. P5. Por un punto exterior a unha recta só se

pode trazar unha única paralela a dita recta pasando por dito punto

CONTIDOS

ACTVIDADES

RECURSOS

Os tres problemas clásicos gregos

A cuadratura do círculo

∆ Carácter intelectual de la geometría∆ Significado de cada un dos problemas∆ Restricións para a súa resolución∆ Resolución de ecuacións∆ Números racionais∆ Números irracionais∆ Números transcendentes∆ Números alxebraicos

A duplicación do cubo

A trisección do ángulo

Cadrando o círculo Lenda de Apolo

SM

MW

MW

Geoclic.icoSE

Cadrando o círculo

O primeiro documento escrito que apareceu sobre o problema remóntase ao año 1650 A.C. co papiro de Rhind, onde o escriba exipcio Ahmes transcribe un documento de a lo menos dous séculos antes que trata sobre o cálculo do número π. Di que hai que cortar 1/9 do diámetro do círculo e construír o cadrado co restante, o que da unha aproximación a π sorprendente, 3.1605. Fai a experiencia e comproba se obtés a mesma aproximación.

Colle un círculo de diámetro dado (12cm) e intentar facer un cadrado de área igual á do círculo.

El hombre de Vitrubio (Leonardo da Vinci)

Lenda de ApoloA peste do ano 427 a.c. causa a morte de Pericles xunto coa dunha cuarta parte da poboación de Atenas. Para tentar rematar con ela enviouse a un mensaxeiro ao oráculo de Apolo en Delos. O oráculo indicou que sería preciso duplicar o volume do altar cúbico de Apolo. Os atenienses duplicaron as dimensións do altar para compracer o oráculo, pero en realidade a peste non cesou.

Cal foi o motivo de que a peste non cesara? Cales serían as dimensións do altar duplicado?. Unha estratexia para chegar á solución pode ser que o intentes primeiro para un cadrado.

CONTIDOS

ACTVIDADES

RECURSOS

Outros momentos gloriosos da Xeometría grega: Arquímedes (III a. C) e Apolonio

∆ Principio de Arquímedes∆ Leis da Panca∆ Formulación matemática dunha lei científica ∆ O número π∆ Método de exhausción∆ Área e perímetro de polígonos regulares∆ Área e perímetro da circunferencia∆ Cónicas. Propiedades das cónicas. Aplicacións∆ Volume da esfera En busca de Lenda da coroa Aproximación á área do círculo O mundo das cónicas

MW

MP

MP

Tangram

SE

MW

Lenda da coroaConta a lenda que Hierón II, Rey de Siracusa, pediu ao seu parente Arquímedes que comprobara se unha coroa que encargara a un ourive local era realmente de ouro puro. O rey lle pediu de forma expresa que non danase a coroa. Arquímedes deulle voltas ao problema sen saber como atacalo, ata que un día, ao meterse na bañeira para darse un baño, se lle ocorreu a solución . Cal foi dita solución? Con

que nome se a coñece?

O mundo das cónicas Indica qué cónicas e qué propiedades das mesmas considéranse

as idóneas para a construcción dos aparellos que ves nas seguintes imaxes

Antenas de televisión

Espellos solares

…os faros dos coches. A lámpara situada no foco fai que o haz de luz se concentre na carretera.

Radares primarios de defensa aérea

Radares fixos

CONTIDOS

ACTVIDADES

RECURSOS

A Xeometría árabe. Unión entre Matemáticas e Arte

∆ Transformacións xeométricas no plano: Xiro, translación e simetría∆ As figuras planas∆ Análise Didáctica das isometrías. Dificultades∆ Mosaicos regulares e semirregulares∆ Mosaicos periódicos y aperiódicos ∆ Frisos e rosetóns ∆ Percepción espacial

Escher

Polígonos regulares que recobren o plano

Constrúe o teu mosaico

Traballando os recubrimentos do plano

Dificultades didácticas nas isometrías

Penrose

MP

SM

MW

MW

MW

Geoclic.ico

A Alhambra

Federov (1891)

Traballando os recubrimentos do plano

Observa estes recubrimentos do plano e di que tipo de isometrías ou combinación delas se aplica para obter ditas composicións.

A Alhambra

El CLAVO HUESO PAJARITA

Mosaicos periódicos e aperiódicos

CONTIDOS

ACTVIDADES

RECURSOS

Descartes (1596-1650) e a Xeometría analítica

∆ O discurso do Método.∆ Paso clave na abstracción de concetos xeométricos∆ Método de Descartes-Fermat∆ A Xeometría analítica. Vantaxes do método analíticosobre o sintético ∆ Análise da notación∆ Coordenadas cartesianas. Representación ∆ Resolución de sistemas de ecuacións. Aplicacións

Posición relativa dunha recta e unha circunferencia no plano O Plano da túa cidade

O xadrez

Graphmatica (2).lnk

MW

SM

SE

Geoclic.ico

Geogebra

CONTIDOS

ACTVIDADES

RECURSOS

O quinto postulado. Xeometrías non euclídeas. Hiperbólica: Lobachevsky,

Bolyai e Gauss

∆ Análise do quinto postulado de Euclides∆ Concepto de paralelismo. Dificultades didácticas∆ Xeometría hiperbólica.Propiedades∆ Xeometría elíptica.Propiedades ∆ A cuarta dimensión

Elíptica: Riemann

As Laranxas

Trazado de rutas minimais para traxectos en avións

Dificultades no concepto de paralelismo

MW

Cinderella.ico

SM

CONTIDOS

ACTVIDADES

RECURSOS

Enunciado original:“si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos de un mismo lado menores de dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en los que están los ángulos menores de dos rectos”

Enunciado de Tolomeo:“por un punto exterior una recta sólo se puede trazar una única paralela”

El quinto postulado (Axioma de las paralelas

Diferencias entre as tres xeometrías

Elíptica HiperbólicaEuclídea

CONTIDOS

ACTVIDADES

RECURSOS

A cuarta dimensión

Representación da gravidade como curvatura do espazo

As Laranxas Colle unha laranxa e traza un

triángulo na súa superficie. Que observas?. Compara o que ocorre si facémolo mesmo nunha cadeira de montar (ver figura). Analiza ditas situacións comparándoas co que ocorre si o facemos nun plano.

Paraboloide hiperbólicoVer diferencias

Trazado de rutas minimais para traxectos en avións Como se pode ver no mapa, as cidades de Madrid e Tokio atópanse,

aproximadamente, no mesmo paralelo. Sen embargo na viaxe en avión entre as dúas cidades, sobrevóase o Círculo Polar Ártico, preto do Polo Norte. A que pensas que se debe a elección deste traxecto?

Do mesmo xeito o avión que une Madrid e Washington voa sobre Groenlandia. Pensas que as liñas aéreas están equivocadas na elección destas rutas? Por que?

CONTIDOS

ACTVIDADES

RECURSOS

Félix Klein. A topoloxía

∆ Definición de Topoloxía. Topoloxía intuitiva∆ Homeomorfismos ∆ Clasificación das Xeometrías segundo as transformacións que permitan∆ Teoría de grafos ∆ Teoría de nós∆ Estudio de figuras con propiedades xeométricas

especiais: A botella de Klein

Construíndo a banda de Möbius. Propiedades As sete pontes de KÖNIGSBERG

O teorema das catro cores

Xogo: enlazados

MW

MP

CONTIDOS

ACTVIDADES

RECURSOS

A botella de Klein

Representación da “botella de Klein”

BANDA DE MÖBIUS

Constrúe a banda de Möbius seguindo as instrucións do debuxo. Comproba que estamos ante unha superficie dunha soa cara o que se ve cando tentamos pintar un lado dunha cor e o oposto doutra, chegará un momento no que as dúas cores coincidan nun punto. Ademais esta única cara non é orientable. Se partimos cunha triada de eixes perpendiculares, e se despraza paralelamente ao longo da cinta, chegarase ao punto de partida ca orientación invertida. Agora recorta a cinta lonxitudinalmente, qué ocorre? e se o volvemos facer?

AS SETE PONTES DE KÖNIGSBERGUn cidadán de Königsberg (Prusia) propúxose dar un paseo cruzando cada un das sete pontes que existen sobre o río Pregel unha soa vez. Os dous brazos do río rodean a unha illa chamada Kneiphof. Como debe cruzar as pontes para realizar o paseo? Analiza a solución que da Euler ao problema  

TEOREMA DAS CATRO CORES

Teorema das catro cores: “Nun plano ou nunha esfera non se necesitan máis de catro cores para colorear un mapa de maneira que dous rexións veciñas, é dicir, que compartan unha fronteira e non unicamente un punto, non queden coloreadas da mesma cor“.

Tenta colorear o mapa de españa utilizando só catro cores

CONTIDOS

ACTVIDADES

RECURSOS

CONTIDOS

ACTVIDADES

RECURSOSEl nudo trébol

ENLAZADOS

Para dous compañeiros: cada un colle unha corda de 3 metros de lonxitude. Faille un nó en cada un dos extremos da corda deixando oco para meter as mans. Un deles mete as mans polo oco e o outro enlázase como amosa a imaxe. Hai que soltarse do compañeiro sen quitar a corda polas mans. ¿Qué nocións matemáticas poñemos en xogo para chegar a solución? ver video

CONTIDOS

ACTVIDADES

RECURSOS

Xeometría fractal Un fractal é un obxecto semixeométrico

cuxa estrutura básica, fragmentada ou irregular, repítese a diferentes escalas.

Benoît Mandelbrot acuñou o término en 1975.

Figura autosemellante. Moitas estruturas naturales son de tipo

fractal. Podemos encontrar características fractais en

distintos sistemas e órganos anatómicos: a árbore vascular, os alveolos pulmonares, as redes neuronais, etc.

Música Fractal

Conxunto de Mandelbrot

Triángulo de Sierpinski Copo de nieve de Koch

Sistemas de funciones iteradas.Esponja de Menger

La construcción de la esponja de Menger se define de forma recursiva: Comenzamos con un cubo (primera imagen). Dividimos cada cara del cubo en 9 cuadrados. Esto subdivide

el cubo en 27 cubos más pequeños, como le sucede al cubo de Rubik.

Eliminamos los cubos centrales de cada cara y el cubo central , dejando sólamente 20 cubos (segunda imagen).

Repetimos los pasos 1, 2 y 3 para cada uno de los cubos menores resultantes.

La esponja de Menger es el límite de este proceso tras un número infinito de iteraciones.

FIN da Presentación