GEOMETRÍA DEL ESPACIO

PLANOS Y RECTAS EN EL ESPACIO

• El punto, la recta y el plano constituyen los elementos fundamentales de la GEOMETRÍA DEL ESPACIO

• GEOMETRÍA DEL ESPACIO: es la rama de la geometría que estudia las figuras geométricas en el espacio tridimensional, es decir , aquellas que no están contenidas en un mismo plano.

• En un cubo puede verse el germen de los tres elementos

básicos de la geometría: planos, rectas y puntos.

• Las caras son trozos de plano

• Las aristas son segmentos de rectas

• Los vértices son puntos determinados por dos aristas que se

cortan

• Punto: es el primer objeto geométrico y origen de todos los demás. Tiene posición, pero no dimensiones.

• Representación gráfica: El punto A : . A

• Recta: Es un conjunto infinito de puntos situados en una misma dirección. Una recta no tiene origen, ni fin.

• Representación gráfica : La recta L :L

PLANO: DETERMINACIÓN

• ¿Qué es un plano?... Difícil de definir, pero podemos tener una idea cuando nos imaginamos la superficie de una mesa, la pasta de un cuaderno

• El plano es una superficie infinita formada por una cantidad ilimitada de puntos y rectas, contiene completamente a una recta que pasa por dos puntos que le pertenecen a dicho plano.

Representación gráfica: El plano H

DETERMINACIÓN DE UN PLANO

• ¿Cómo queda determinado un plano?

Tres puntos no colineales

Una recta y un punto exterior a ella

Dos rectas paralelas

Dos rectas secantes

H

H

H

H

.A .B

.C

.AL

POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS

1. Dos planos que se cortan

determinan una recta. 2. Dos rectas que se cortan

determinan un punto.

4. Tres puntos no situados en

una recta determinan un plano.

3. Dos puntos determinan una recta

5. Dos rectas que se cortan

determinan un plano.

POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO

Paralelos Superpuestos Secantes

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

Contenida en el plano Paralela al plano Secante al plano

Posiciones de dos planos:

Planos secantesPlanos paralelos

Posiciones de dos rectas:

Posiciones de recta y plano:

Rectas secantes Rectas paralelas Rectas que se cruzan

Recta y plano secantesRecta y plano paralelos Recta contenida en un plano

TEOREMA DE THALES EN EL ESPACIO

• “Tres o más planos paralelos determinan en dos rectas secantes a ellos, segmentos proporcionales

EF

DE

BC

AB

A

B

C

D

E

F

ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO

• Es el ángulo formado por la recta y su

proyección sobre el plano

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO

• Si una recta “r” es perpendicular a un plano , entonces es

perpendicular a todas las rectas que pasan

por su pie y pertenecen al plano

TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES

• Si por el pie de una perpendicular a un plano se traza una perpendicular a un a recta contenida en el plano, entonces cualquier punto de la primera recta y el pie de la segunda van a determinar una línea recta que es perpendicular a la tercera

H

L1

L2L

L3

L1 ┴ H; L C H

L2 ┴ L → L3 ┴ L

ÁNGULO DIEDRO

• Se llama ángulo diedro, o simplemente diedro, a la porción de espacio comprendida entre dos semiplanos que tienen un borde común, y están situados en planos distintos.

Los semiplanos MAB y NAB que tienen borde común AB, se llaman caras del diedro.La recta que pasa por A y B se llama arista del ángulo diedro.

Ángulos diedrosÁngulo diedro, o diedro, es la región del espacio

comprendida entre dos semiplanos determinados por

la misma recta.

Caras del diedro son los semiplanos que lo forman.

Arista del diedro es la recta común a las dos caras.

La abertura del ángulo diedro es igual a la abertura del

ángulo rectilíneo.

La medida del ángulo diedro es la medida del ángulo

rectilíneo.

Mtemáticas

1º ESO

Clasificación de ángulos diedrosLa clasificación de los ángulos diedros se hace en función del ángulo rectilíneo

correspondiente.

Por tanto, puede hablarse, como se hace con los ángulos rectilíneos, de diedros

agudos, obtusos, rectos, complementarios, suplementarios, etc

90º

Diedro recto Diedros

complementarios

Diedros

suplementarios

ÁNGULO TRIEDRO

• Ángulo poliedro de tres caras y tres diedros