Geometría Torácica M. Sánchez López

En estas notas proponemos un método geo­métrico de fácil ejecución en ordenador

para uso en radioterapia, que permite aproximar los contornos torácico y pulmonar mediante sec­Introducción que nos sobra: el ciones de cónicas conectadas convenientemente. tiempo.A primera vista, y Así mismo damos un sencillo algoritmo útil para El problema tal co­para un profano en buscar los arcos de piel a través de los cuales in­ -",.,. '~_. /mo lo planteo es elMedicina, parece ciden los rayos tangencialmente al pulmón. Fi­ ":,".siguiente:natural que los mu­ nalmente veremos de forma detallada mediante

Conocidas las cur­chos problemas con un ejemplo práctico cómo calcular los ángulos de los que tiene que vas producidas a ni­giro y las coordenadas del foco emisor de radia­verse el operador de ciones. vel de la piel y del

una bomba de co­ pulmón por la sec­

balto, puedan simplificarse en tres tipos: ción de un contorno torácico, se trata de encon­A) Tipo geométrico, con la búsqueda de los trar en ellas sectores de las mismas, capaces de distintos contornos y trayectorias radiactivas. ser representados mediante curvas más senci­

B) Tipo físico, con la naturaleza de las radia­ llas en cuanto a su grado, como son las cónicas. ciones y cálculo de las isodosis. Las curvas en cuestión pueden dibujarse bien C) Tipo terapéutico o de dosificación que no experimentalmente o utilizando la tomografía necesita explicación. axial computarizada, especialmente indicada en Como es de esperar, sólo trataremos el prime­ la sección pulmonar, y para su aproximación ro, y en mi calidad de matemático aficionado se han ensayado entre otras las siguientes también a la Biología, intento mostrar cómo con curvas: unos elementales conocimientos matemáticos, Curvas de grado tres, como son los splines cú­puede resolverse el problema de encontrar las bicos [11 o las curvas de Bezier [3] [4] última­ecuaciones de una sección torácica del cuerpo mente de moda en las aplicaciones de CAD, humano, y en consecuencia abrir camino para y desde luego la solución más sencilla de susti­aquellos profesionales que tengan conocimien­ tuir los contornos por polígonos inscritos en los tos infonnáticos, y se interesen en la confección mismos, con los consiguientes errores que con­de sus propios programas. lleva tal aproximación. Es posible, que debido a la falta de informa­ El motivo por el cual hemos elegido las cóni­ .. ción bibliográfica específica, inalcanzable por cas, de entre tantos métodos de aproximación, muchas razones, el problema esté archirresuel­ radica en la facilidad que estas curvas dan pa­to y el trabajo realizado haya servido sólo para ra el cálculo de sus tangentes, puesto que se exi­rellenar las largas tardes del invierno, cosa ge que las radiaciones sean tangentes a las por otra parte nada despreciable para un jubi­ cónicas sectoriales que constituyen el contorno lado, pues aunque parezca paradoja es lo único pulmonar.

Fecha de rc(,epción: 22-6-9:} _______________0 _

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Ecuaciones del Contorno

Consideremos, en primer lugar, un arco de cur­va contorno, en el cual no existen puntos de inflexión, esto es, un arco donde la curva no cambie el signo de su curvatura o, lo que es lo mismo, conserve su carácter de cóncava o convexa en dicho intervalo. Ahora bien, como una cónica viene definida por cinco condiciones, podemos elegir las si­guientes: Los puntos extremos del arco y las tangentes en dichos puntos nos proporcionan un total de cuatro condiciones. Los puntos vendrán, como es lógico, determinados por sus coordenadas, y las tangentes por sus pendientes y por la con­dición de incidencia en los mismos. Supongamos que el referido arco de curva tie­ne por extremos los puntos AG) y AG + 1) Yque las tangentes en estos puntos se cortan en e! punto pG), entonces este punto será además e! polo [5] de la cuerda (AG)-AG + 1) determi­nada por los puntos de contacto. Queda por último determinar la quinta condi­ción que nos vendrá dada por un punto P¿ de­finido gráficamente como sigue: Trazamos una línea tangente al contorno y pa­ralela a la cuerda AG)-AG + 1), que cortará a las dos tangentes anteriores TG) y TG + 1) en P:J Y P4' respectivamente, y tendrá con el con­torno un contacto en el punto Po, Como es sabido, si la curva contorno fuese una cónica, por la construcción realizada en el pun­to de tangencia, P, sería el punto medio del segmento P:J-P4 , ya que dicha tangente y la recta que une e! punto de contacto P" con el punto medio de la cuerda AG)-AG + 1) ten­drían la dirección de dos diámetros conjuga­dos de la cónica. Entonces la quinta condición nos la dará el PWI­

to medio de P:l-P4 que llamaremos Po, La pro­ximidad de este punto con Po nos dará una idea de la bondad de! ajuste, como puede ver­se en la figlli"a 1, donde la zona rayada repre­s~nt.a el error cometido al aproximar por la comca. Resumiendo, necesitamos conocer los siguien­tes datos:

a) Para los puntos AG) y AG + 1) sus coorde­nadas respectivas (XG), Y(J)) y (XG + 1), YG+1)). b) Para las tangentes TG) y TG + 1) en AG) y AG + 1), respectivamente, pueden darse bienios ángulos de sus pendientes respectivas ei y el+ 1 -cosa molesta de calcular-, o esta otra más asequible de medir las longitudes PG)-AG) y PG+ 1)-AG + 1) que también resulta enojosa. Finalmente hemos optado por medir las coor­denadas del polo P y con su ayuda determinar las pendientes respectivas. c) En cuanto a las coordenadas de P6' las calculamos también mediante las de P5; así, de esta manera, la introducción de datos en un programa que ejecute lo visto hasta ahora, se reducirá a medir coordenadas y dibujar tangen­tes, lo que hace más amena la construcción. La tabla 1 la hemos deducido de una figura hi­potética, que nos servirá en lo que sigue para contrastar resultados.

A la vista de estos datos resulta sencillo calcu­lar las pendientes y con ellas las ecuaciones de las tangentes y cuerdas subsiguientes, con lo cual estamos en condiciones de calcular la có­nica correspondiente. En efecto, la familia de cónicas tangentes a las rectas TG) y TG+ 1) en los puntos AG) y AG + 1), respectivamente, como es sabido [5], viene da­da por:

TG) TG + 1) + u . p2 = O (1)

donde TG) YTG + 1) son las ecuaciones de las tangentes y p la ecuación de la recta AG), AG + 1). De forma más explícita sería:

(Y-YG)-M¡G) . (X-XG))) ;Y-YG + 1)-M2G) . (X-XG + 1) )) )

+ u : (Y-YG)-M:JG) . (X-X G) ))2 = O

donde M" ¡'V{2 y M, son las pendientes de TG), TG + 1) y AG)-AG + 1), respectivamente. Imponiendo la condición de incidencia en el punto P6, se determina el parámetro u, que­dando perfectamente definida la cónica. Esta ecuación nos permite, en una primera fa­se, comprobar la aproximación de cuantos Pllil­tos se quiera con la curva original, sin necesidad

Figura 1

de resolver la ecuación correspondiente y la consiguiente discriminación en cuanto a la raíz requerida. Si se desea trazar la cónica, se puede hacer re­presentando r puntos de ella como sigue: Dividimos los intervalos [XG), XG + 1)] y [YG), yG+ 1)1en r partes iguales, siendo 8x y 8y las amplitudes correspondientes a los suhinterva­

los resultantes, se tendrá:

X(t) XG) + t : 8x (2)

Y(t) YG) + t • 8y

con t 0, 1, 2, ...r-1.

,. ~,

Para un determinado t las ecuaciones (2) nos proporcionan un punto de la cuerda AG), AG + 1). Observemos ahora la figura 2, la rec­ta PR está definida por el polo P y punto R, correspondiente a un t cualquiera. Los puntos P y R por su construcción son el uno exterior y el otro interior a la cónica, con lo cual, al sus­tituirlos en (1) darán signos diferentes. Esto nos permite aplicar cualquier algoritmo (biparticio­nes, Regula Falsis, etc. [2]) y obtener el punto de la cónica con la aproximación prefijada, tal como se refleja en el diagrama de flujo de la

figura 3.

Tenemos, pues, de esta manera, resuelta la bús­queda de un contorno aproximado, mediante ecuaciones de segundo grado imprescindibles para las ulteriores aplicaciones.

Búsqueda de Arcos-Piel, a través de los cuales inciden los rayos tangencialmente al pulmón.

Conseguido lo anterior, el primer problema que surge es hallar el segmento o segmentos del con­torno torácico por los cuales ha de pasar el ra­yo incidente para que sea tangente en un punto determinado del contorno pulmonar.

El punto de tangencia elegido debe ser uno de los tres introducidos en los datos iniciales, esto es, los extremos del sector pu!minar «}» elegido -los B(i), B(i+ 1)- Yel que llamamos punto intermedio PM(i). Sus coordenadas respectivas serán: (XB(i), YB(i) ), (XB(i + 1), YB(i+ 1) ) Y(XM(i), YM(i) ). Si el punto elegido ha sido B(i), la ecuación de la tangente en dicho punto vendrá dada por

Y-YB(i)-M¡(i) . (X-XB(i)) = O

Donde ahora MI(i) es el coeficiente angular de

Figura 2

~ ~ ~AFI

R

"'-', •.. '¡.

¡~

.

INICIO

Figura 3 x P(J) = XI XR = X2 " y P(J) = YI YR = Y2

-Ós:', ".;

F(X P(J), y P(J)) = Al

F (XR, YR) = A2

XM = 0.5 (Xl + X2) I

YM = 0.5 (Yl + Y2)

F (XM, YM) = AM

,.~, . .-'.;

SI A2 = AM

S ~---flII> RETURN

N

Al = AM

" '''":_'T->.~'''''''_

". '.'; ..

la tangente P2, B(i), que por pasar por e! polo P2 (X2(i), Y2(i) ) Y por el punto (XB(i), YB(i) ) valdrá

MI(i) = (Y2(i)-YB(i) )/(X2(i)-XB(i) )

Igualmente, en el caso de elegir el otro extre­mo del sector "L" o sea, el punto B(i+ 1), la ecuación del rayo tangente será

Y-YB(i+1)-M2(i)· (X-XB(i+1)) O

con

M2(i) (Y2(i) - YB(i+ 1) )/(X2(i) XB(i + 1) )

Finalmente, en el caso de elegir el punto me­dio PM (XM(i), YM(i)) resulta

Y-YM(i)-M;¡(i) . (X-XM(i)) O

con

M;¡(i) = (YB(i + l)-YB(i) )/(XB(i + l)-XB(i))

Serían, pues, éstas, unas rutiniJJas de fácil cons­trucción. El siguiente paso será buscar el sector en el cual inciden las tangentes al contomo pulmonar. Pa­ra tal fin nos basamos en el hecho de que toda recta en un plano, lo divide en dos regiones JJa­madas semiplanos. Analíticamente, cada uno de estos semiplanos, viene caracterizado por el signo común -positivo o negativo- que to­dos los puntos de cada región dan al sustituir sus coordenadas con la expresión

Y-f\X-B

que llamamos potencia del punto respecto a la recta considerada, de ecuación

Y-AX-B=O

Tomando como recta anterior cada una de las tangentes al contorno pulmonar, y como pun­tos de referencia los puntos extremos de cada sector piel, tendremos una sencilla rutina que nos proporciona dichos sectores, sin más que multiplicar potencias sucesivas de puntos con­secutivos, hasta encontrar uno o dos produc­tos negativos. Es evidente que puede darse el caso de un ra­yo que incida por dos sectores diferentes. Esto

supondría que la cabeza o foco irradiante esté a la derecha del brazo de la bomba de cobalto o a su izquierda y habría que puntualizarlo. Pero no acaban aquí los problemas. Hemos ob­tenido dos puntos extremos AG) y AG + 1), per­tenecientes a una cónica, los cuales determinan una partición de la misma en dos arcos com­plementarios. Hay, pues, que escoger el arco idóneo, esto es, aquél cuyo carácter de cóncavo o convexo res­pecto de un punto conocido, por ejemplo, el origen de coordenadas, coincida con las mis­mas características conocidas del contomo-piel. La solución analítica requiere el uso de diver­sas derivadas, lo cual complicaría indudable­mente la cosa, hay, pues, que ser más realistas y observar las figuras. En ambas figuras Ü es e! origen de coordena­das y los puntos P (polo de AG), AG + 1), P3,

P4 YP¿ ya han sido definidos así como los ex­tremos (AG) y AG + 1) del arco en cuestión. No queda más que e! punto P7, cuya construc­ción es inmediata (intersección de AG)-AG + 1) con la recta Ü-P¡,). Entonces, dada la situación de! origen Ü de coordenadas, exterior al segmento P¡,-P7, ocu­rre que en el caso de la figura 6 -de concavi­dad hacia el origen-, la

distancia (Ü,P¡,) > distancia (Ü,P7)

mientras que la convexidad hacia el ongen -figura 7- se tiene que

distancia (Ü,Pü) < distancia (Ü,P7)

Este sencillo artificio, nos permitirá distinguir una curvatura de otra, dándole a una variable 0, por ejemplo, los valores 1 y -1, que nos será de utilidad para calcular la distancia del foco emisor a la piel.

Angulos de giro y coordenadas del foco emisor

En e! caso ideal de radiación rectilínea. en e! cual nos hemos colocado, cuando en realidad los rayos son haces cónicos, se trata de encon­trar los ángulos ey u, que han de girar el bra­zo y su cabeza, para que el rayo incidente al

Figura 4

"!,'.• ',,; ..

p

o

contorno pulmonar sea tangente al mismo, bien en el primer punto B(i) o bien en el designado anteriormente como punto PIJ' Para ello habría que introducir las coordena­das (XO, YO) del centro 01 de giro del brazo de la máquina, para mayor facilidad de cálcu­lo podemos suponer que XO= O, Yque L es la longitud de dicho brazo. Con estos datos consideramos los siguientes ca­sos, según que el ángulo U sea a la derecha o a la izquierda de dicho brazo. A estos efectos el ángulo 0;l sea mayor o me­nor que nl2 y según también que el ángulo U

sea a la derecha o a la izquierda de dicho brazo. A estos efectos el ángulo 0;J se define como el formado por la recta B2-01 y la dirección po­

......,.....,-~':.:.'sitiva del eje x. El ángulo U, viene definido por el brazo F-01 y el rayo tangente F-B2, y se di­ce, está a la derecha del brazo, cuando se des­criba a partir de éste, en sentido de las agujas del reloj, y a la izquierda cuando el sentido de giro sea el inverso. En las figuras que siguen -3 y 9- hemos su­puesto YO = 2 YL variable; seguramente va­lores irreales, pero 'suficientes para que sean visibles en un folio.

Figura 5

,-c:'"....~ ........

.~ .,,:,-.~,,~ ......

Por otra parte, las medidas utilizadas se supo­nen son centímetros. 1.cr caso: 82 < 1t/2 y a a la derecha (figu­ra 8). Triángulo a considerar: F, B2, 01. El ángulo ~ defínido por el rayo F-B2, tangen­te al contorno pulmonar y el lado 01-B2, de­terminado por el centro de giro y el punto de tangencia, vale como es obvio

donde tg(82) Ytg(8:J) son las pendientes de las rectas B2-F y B2-01 perfectamente conocidas

por sus ecuaciones, lo que nos permite deter­minar ~.

También la distancia 01-B2 es conocida al te­nerse en la entrada de datos las coordenadas de los puntos 01 y B2:

-----,---------,---,d(Ol, B2), = V'(XO-XP(i)l+ (YO-YP(i)?

Se tiene así, el triángulo 01-B2-F definido por sus lados 01-B2, 01-F = L yen ángulo ~.

Aplicando el teorema de los senos

L/sen ~ = d(B2,F)/sen r = (01,B2) / sen a

y de aquí

.- -: ,..".,~ -,.........

sen a = d(Ol,BS) . sen ~/L y r = -a-~

con lo que una vez calculado a, mediante la oportuna operación inversa, se tiene para el án­gulo e o ángulo girado por el brazo

e = 7[/2 + e;] - r y observando la figura es inmediato que

el = 7[/2 - e

En el segundo caso -misma figura, notación y algunas letras señaladas con primas- los re­sultados serían los siguientes, como es fácil com­

probar: 2. o caso: e:1 < 7[/2 y a a la izquierda

B' = -~ = -e2 + e;] 8' = 7[/2 - r' - e:¡

e,' = it/2 + 8'

3. er caso: e;] > 7[/2 y cabeza a la izquierda. Figura 9.

~ = - e2 + e., e = 3 . 7[/2 - r - e:¡

el = 7[/2 - e

Figura 6

F

Aj

Cz

":,

--------------

.< •••• ".

4. o caso: 83 < 1t/2 y cabeza a la derecha. Fi­

gura 9.

8' = 8:1 - r' - 1t/2

81' = 8' - 1t/2

Distancias

En primer lugar debemos calcular las coorde­nadas del foco emisor F, para lo cual de las fi­guras anteriores se tiene

XF XO + L' cos 81 e YF YO + L . sen 8]

A continuación, localizando el sector con-espon­diente por la técnica anterior, y si buscamos la distancia foco-piel, es preciso conocer la con­cavidad o convexidad respecto del origen de coordenadas del contorno torácico en dicho sector, cosa resuelta anteriormente y expresa­do en la variable cr(i) característica de dicha cualidad. La técnica a emplear para hallar el punto de intersección del rayo emisor con un sector de-

Figura 7

F

_--- Aj+lIN --

Aj

.'. '.':.

F''''4.

\'la;"",

I " I \\ I I I \ I \ 8' I \ \ I

Figura 8

" '

Al

I y'

81

\

P,A9

83 < í a = Derecha 2 l a' = Izquierda

terminado de la piel, ha sido descrita en el or­ganigrama de la figura 3. Como se ve para que tenga éxito dicho algorit­mo, es fundamental encontrar dos puntos ini­ciales, I1 e 12 tales que uno de ellos sea interior a la cónica del sector y el otro exterior a la mis­ma. Para ello es necesario conocer la curvatu­ra del contorno piel, ya que para el contorno pulmonar la suponemos siempre cóncava ha­cia el origen.

P5

terior a ella, lo mismo que IN ha de ser interior, por lo que todos los puntos de la cuerda AG)­AG + 1) son interiores.

P7

As

....... , ,

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/YJ ~-------_.

81 --­

Así en la figura 12 tenemos las dos curvas C¡ y C2 con la misma o(i) = 1, Ylos únicos pun­tos iniciales F e IN. El primer punto F, foco emisor, por la conve­xidad de la curva respecto de él, ha de ser ex­

... ::.;.

"...."-~.

"""''''''.'-'''''::''

Si hubiésemos tomado como interior el punto P(i) de tangencia. sería un caso dudoso y ha­bría que comprobarlo, porque muy bien po­dría estar encerrado por la cónica completada

CI ·

En el caso de la figura 13 con dos o(i) de signos distintos, tenemos el punto IN -intersección del rayo emisor con la cuerda AG)-AG + 1)­que sigue siendo interior y el punto F, que ahora es el dudoso, y el punto P(i) que es exterior.

· ....,.~ '. Figura 9

Ps --­ As

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01

Con estas precauciones, hemos confeccionado nuestro programa cuyos resultados aparecen en las tablas 9 y 11. Para DÚ, la mayor dificultad, tanto de este mé­todo como de 011'0 cualquiera, no estaría en la «calculosis», sino en la exacta ubicación del sis­tema de ejes coordenados, y por consiguiente

el origen y centro de giro en la sección toráci­ca en estudio .....

M. Sánchez López, Doctor en Ciencias Exac­tas. Catedrático Jubilado deMatemáticas de la E.La. T.l de Jaén.

Tabla 1. Listado entrada coordenadas

Coord. puntos extremos Coord. puntos polos Coord. puntos intermedios

X(l) = O Y(l) = S.l

X(2) = 7.4 Y(2) = 6.6

Xl(l) = 4.1 Yl(l) = S.3

Xl(2) = S.9 Yl(2) = .5.S

Xl(3) = 10.6 Yl(3) = 3.3

Xl(4) = 12.9 Yl(4) = 1.6

Xl (S) = 16.S Yl (S) = -S.7

Xl(6) = 13.7 Yl(6) = -S.2

Xl(7) = S.l Yl(7) = -7.6

Xl (S) = 4.2 Yl(S) = -9

X3(1) = 3 Y3(1) = 7.6

X3(2) = 9 Y3(2) = S.4

X3(3) = 11 Y3(3) = 3

X3(4) = 13.7 Y3(4) = S

X3(S) = lS Y3(5) = -S.4

X3(6) = 13.7 Y3(6) =

X3(7) = S.5 Y3(7) = -7.6

X3(S) = 4 Y3(S) = -S.7

X(3) = 9.4 Y(3) = 4.9

X(4) = 11.7 Y(4) = 2.4

X(S) = 14.3 Y(S) = -1.2

X(6) = 14.6 Y(6) = -7.4

X(7) = 9.2 Y(7) = -7.7

X(S) = 7 Y(S) = -S

X(9) = .S Y(9) = -9.4 Xl(9) = OYl(9) = O X3(9) = OY3(9) = O

Listado entrada coordenadas pulmón

Coord. plintos extremos Coord. plintos polos Coord. puntos intermedios

XP(l) = .9 YP(l) = 7.S

XP(2) = 6.7 YP(2) = S.S

XP(3) = 10.4 YP(3) = O

XP(4) = S.l YP(4) = -4.5

XP(5) = 4.6 YP(S) = -S.lS

XP(6) = 2.2 YP(6) = -l.S

X2(1)

X2(2)

X2(3)

X2(4)

X2(S)

X2(6)

= 4.9 Y2(1) = 7

= 9.S Y2(2) = 3.S

= 10.S Y2(3) = -2.S

= 6.3 Y2(4) =-S.9

= :3.2 Y2(S) = -4.S

= OY2(6) = O

XM(l) = 4.2 YM(l) = 7.1

XM(2) = 9.9 YM(2) = 3.S

XM(3) = 10.6 YlVI(3) =

XM(4) = 6.7 YM(4) = -S.S

XM(.5) = 3.2 YM(S) = -3.S

XM(6) = OYM(6) = O

Corte radiación al tórax

e = 29.56036 < 90 grados y a = a la izquierda

Coordenadas foco XV(2) = -2.441091 YF(2) = 11.69748 XO = O YO = 2 Longitud brazo = 10 Intersección rayo-piel X(2) = 4.426924 Y(2) = 7.308666 .........,.-........ ~. '

Distancia (2) foco-piel = 8.15054 Distancia (2) Piel-pulmón = 2.728176 -i:'. '0.;

Angulo cabeza = 43.04227 grados Angulo brazo = 165.8708 grados e3 = 29.56036 grados e2 = 147.1715 grados el = 104.1292 grados ~ = 62.3889 grados r = 74.5688:3 grados

';.

, ..... ~ -. 'r •

".'",:",~." .......

Corte radiación al tórax e = 31.2026 < 90 grados y a = a la derecha

Coordenadas foco XF(2) = 17.696 YF(2) = -1.294194 XO = O YO 2 Longitud brazo = 18 Intersección rayo-piel X(2) = 10.99442 Y(2) = 3.029408 Distancia (2) foco-piel 7.975255 Distancia (2) piel pulmón = 5.110598 Angula cabeza = 22.28337 grados Angula brazo = 79.45483 grados 8 = = 29.56036 grados 82 = 147.1715 grados 81 = 10.54518 grados ~ = 117.6111 grados T = 40.1055:3 grados

Corte radiación al tórax Coordenadas foco XF(3) = 12.19788 YF(3) -11.23675 XO = O YO 2 Longitud brazo = 18 Intersección rayo-piel X(:3) = 11.64749 Y(3) = -7.796808 Distancia (3) poco-piel 3.483699 Distancia (.3) piel-pulmón = 7.895977 Angula cabeza = 33.57078 grados Angula brazo = 42.66107 grados 8:3 = 169.1145 grados 82 = 99.09029 grados 81 = 132.6611 grados ~ = 109.9758 grados T = :36.4534 grados

Corte radiación al tórax Coordenadas foco XV(3) = 8.272925 YF(3) 13.29419 XO = O YO = 2 Longitud brazo = 14 Intersección rayo-piel X(3) = 9.685451 Y(3) = 4.525482 Distancia (3) foco-miel 8.881748 Distancia(3) piel-pulmón = 4.581546 Angulo cabeza = 45.31285 grados Angulo brazo = 36.22255 grados 83 169.1145 grados 82 = 99.09029 grados 81 = .53.77745 grados ~ 70.02418 grados r = 64.66298 grados

--------------------------------

Extremos arcos torácicos cortados por tangentes pulmonares

NU1 (1) = 1 NU2 (1) = 2 NU3 (1) = O NU4 (1) = O

NU1 (2) = 1 NU2 (2) = 2 NU3 (2) = 3 NU4 (2) = 4

NU1 (3) = 3 NU2 (3) = 4 NU3 (3) = 6 NU4 (3) = 7

NU1 (4) = 4 NU2 (4) = 5 NU3 (4) = 8 NU4 (4) = 9

NU1 (5) = 6 NU2 (5) = 7 NU3 (5) = O NU4 (5) = O

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