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Sistema de navegacion autonomo: Navegacion inercial.

Errores en navegacion inercial.

Modelos de Error

Fundamentos de Navegacion AereaTema 8: Sistema de navegacion autonomo. Navegacion inercial.

Errores.



Modelos de Error

Introduccion

Mecanizacion en ejes n y en ejes e

Alineamiento inicial


La navegacion autonoma es aquella que no depende demedidas externas y por tanto no es susceptible a interferencias(accidentales o provocadas) ni a manipulacion o error externo.

El ejemplo mas temprano es la navegacion a estima que ya sevio en la introduccion historica. En aviacion se emplea lanavegacion inercial.

El objeto de la navegacion inercial es determinar la posicion,velocidad y actitud de la aeronave, con la mayor precisionposible, a partir de las medidas de la IMU (InertialMeasurement Unit).

La IMU se compone de sensores inerciales: giroscopos yacelerometros.

Para la navegacion inercial, ademas de la IMU, es necesariauna estimacion inicial (fix) de posicion, velocidad y actitud, yun modelo gravitatorio.

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Modelos de Error

Introduccion



Historia de la navegacion inercial I

Historicamente la navegacion inercial no nace hasta el sigloXX.Sus antecedentes se encuentran en la navegacion a estima (yaestudiada) y en la invencion de los primeros giroscopos.Los giroscopos se inventaron en el siglo XIX; fue Leon Focaultquien les dio su nombre, popularizandolo gracias a unexperimento (fracasado) en el que los uso para tratar dedemostrar la rotacion de la Tierra.

Un giroscopo mantiene su eje de rotacion (en elespacio inercial) frente a perturbaciones. Este efectose conoce como rigidez giroscopica.Dichas perturbaciones generan un movimiento deprecesion y nutacion, que se puede medir.Por ejemplo, al forzar la rotacion de un giroscopo enun eje distinto a su eje de giro, se produce un efectoque permite estimar la velocidad de rotacion.

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Modelos de Error

Introduccion



Historia de la navegacion inercial II

Por tanto los giroscopos tienen un eje en tornoal cual giran permanentemente, otro eje en elcual se detectan perturbaciones y otro eje en elcual se miden dichas perturbaciones.Las plataformas giroestabilizadas se basan eneste fenomeno, son plataformas insensibles aperturbaciones que permiten diversasaplicaciones, como por ejemplo emplear unacamara de television en un helicoptero.Otra aplicacion del efecto es el girocompas obrujula giroscopica, que permite encontrar elNorte geografico.

Modernamente, se emplean giroscopos nomecanicos, mas sofisticados que empleandiversos efectos fısicos.

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Introduccion



Historia de la navegacion inercial IIIEn la II Guerra Mundial, se emplearongiroscopos y acelerometros por primera vez,para guiar misiles V-2.

La invencion de este sistema de guiado se debea un estadounidense, Robert Goddard.

Tras la guerra, hubo un rapido desarrollo. Losprimeros sistemas de navegacion inercialconsistıan en una triada de acelerometros ygiroscopos montados en una plataforma, capazde rotar y orientarse con libertad.

Se disena la plataforma de manera que siempremantenga su orientacion respecto a un sistemade referencia dado (g o n).

Por tanto medimos directamente anNG

y Cn

b

.Estos sistemas a veces se llamansemianalıticos. 5 / 59



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Introduccion



Historia de la navegacion inercial IVEstos sistemas son funcionales en cualquier sitio de laTierra: tierra, aire, oceanos, bajo el agua...

Con navegacion inercial el submarino USS Nautiluscruzo bajo el hielo y paso por el polo Norte en 1958.

Sin embargo es muy costoso, contiene elementos mecanicosque se desgastan, requiere una perfecta alineacion inicial(lenta), y presenta problemas de bloqueo de los gimbals(gimbal lock) si se alinean los ejes de rotacion.

El sistema inercial mas sofisticado que se creo fue elAIRS-Advanced Inertial Reference Sphere, que consiste enuna esfera hueca con un fluido donde flota otra esfera congiroscopos y acelerometros.

Mantiene (mediante inyeccion de chorros) siempre una referenciainercial, con lo que se mide ai

NG

(que se puede integrardirectamente) y C b

i

. Por esto se llama geometrico o analıtico.Su coste era enorme, pero se obtiene una gran precision, con unaderiva de 10�5 grados por hora (1,15o por ano). Se uso en misilesbalısticos y en bombarderos. 6 / 59



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Introduccion



Historia de la navegacion inercial V

En 1956 se patenta la idea del INS “strapdown”, es decir, fijo(fijado al cuerpo).

En este caso los sensores inerciales miden las magnitudes enejes cuerpo, es decir, !b

b/i y abNG

. Este tipo se sistema INS sedenomina “analıtico” o de plataforma analıtica, porquerealmente no existe una plataforma y todo se realiza mediantecalculo numerico.

Requiere el uso de ordenadores de gran capacidad de computoy de sensores precisos (por las vibraciones). Eso solo fueposible a partir de los 70.

Hoy en dıa es el unico que se usa en la practica.

Ademas, gracias a la navegacion integrada (complementar elINS con otros sistemas como el GPS) se pueden emplearsensores de baja calidad, con lo que el coste se ha abaratadoenormemente.

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Modelos de Error

Introduccion



Los acelerometros y la gravedad I

Un acelerometro no puede medir g .Principio de funcionamiento de un acelerometro: medir eldesplazamiento de una masa testigo. Ejemplo con muelle:

Se cumple que mx = F � kx , donde k es la constante delmuelle y F la fuerza en la direccion del eje. Puesto queF = ma, donde a es la aceleracion en la direccion del eje, setiene que a = k/m · x + x .Suponiendo que a es aproximadamente constante, x tiende auna posicion de equilibrio que cumple a = k/m · x , y portanto a es proporcional a x .Otros acelerometros mas sofisticados no requieren esperar aque se llegue al estado de equilibrio, por ejemplo compensandoF con una fuerza contraria para que nunca se desplace x .

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Introduccion



Los acelerometros y la gravedad II

¿Que sucede si el eje esta en la misma direccion de lagravedad?

Supongamos que el objeto esta en caıda libre. Para aplicar laLey de Newton tenemos que estar en un sistema de referenciainercial, pero puesto que el objeto esta en caıda libre, tenemosque tener en cuenta que el sistema de referencia fijo en elcuerpo es no inercial!Por tanto: m(x � g) = F � kx . Por otro ladoF = m(a

NG

� g). Por tanto, en el equilibrio: aNG

= k/m · x .9 / 59



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Introduccion



Los acelerometros y la gravedad III

¿Es cierto pues que un acelerometro no puede medir lagravedad?Es cierto que un acelerometro no puede medir g directamente.En estado de caıda libre en cualquier punto de la atmosfera (oen la Luna) sentirıa la misma aceleracion: cero.Sin embargo, en reposo sobre la superficie de la Tierra (porejemplo un acelerometro sobre una mesa), existe una fuerzade reaccion R = �g , es decir, R = g (apunta “hacia arriba”).Por tanto a

NG

= g y se tiene g = k/m · x . Es por tanto unamedida “indirecta” de la gravedad.La definicion correcta de acelerometro es “un dispositivo quemide desviaciones del estado de caıda libre”.Observese que la aceleracion debida al geopotencial(anadiendo la rotacion de la Tierra) tiene exactamente elmismo caracter que la gravitatoria y por tanto no se puedemedir (directamente).

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Introduccion



Mecanizacion en ejes n I

En este tema supondremos, para simplificar, que n = g , y quela Tierra es esferica.Mecanizar las ecuaciones quiere decir escribirlas en el sistemade referencia apropiado y de forma que se puedan calcular apartir de las entradas.Partimos de las ecuaciones fundamentales de la navegacion:

Velocidad: d

dt

vn = �⇣!n

n/e + 2!n

e/i

⌘⇥vn + an

NG

+ gn

Actitud: C b

n

= �⇣!b

b/n

⌘⇥C b

n

Posicion:˙� =

vN

R

e

+ h

˙� =

vE

c�(Re

+ h)

˙

h = �vD

Donde sabemos ademas que: !n

e/i = [!E

c� 0 � !E

s�]T y

!n

n/e = [ vER

e

+h

� vNR

e

+h

� vE tan�R

e

+h

]T .11 / 59



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Introduccion



Mecanizacion en ejes n II

Tambien disponemos de un modelo de gravedad:gn ' [0 0 g(h)]T , donde g(h) = µ

e

(R

e

+h)

2

.

Ademas nuestra IMU nos proporcionara las medidas de lossensores inerciales: ab

NG

y !b

b/i . Observese que estas no son lasmagnitudes que aparecen en las ecuaciones fundamentales dela navegacion: necesitamos an

NG

y !b

b/n.

Se tiene que anNG

= Cn

b

abNG

= (Cb

n

)TabNG

.Y se tiene que

!b

b/n = !b

b/i � !b

e/i � !b

n/e = !b

b/i � Cb

n

⇣!n

e/i + !n

n/e

⌘.

Recordemos que por tanto:⇣!b

b/n

⌘⇥=

⇣!b

b/i

⌘⇥� Cb

n

⇣!n

e/i + !n

n/e

⌘⇥(Cb

n

)T

Por tanto las ecuaciones fundamentales de la navegacion develocidad y actitud se modifican:

Velocidad: d

dt

vn = �⇣!n

n/e + 2!n

e/i

⌘⇥vn + (C b

n

)TabNG

+ gn

Actitud: C b

n

= �⇣!b

b/i

⌘⇥C b

n

+ C b

n

⇣!n

e/i + !n

n/e

⌘⇥12 / 59



Modelos de Error

Introduccion



Mecanizacion en ejes n III

Ya disponemos pues de todo lo que necesitamos y podemosesquematizarlo en el siguiente diagrama de bloques:

IMU

)Á;¸;h(

n

|g

e=in

|!;n=e

n

|!

nbC

b=ib

|!

NGb

|a

n

|v

Calculo devel. angulares

Modelogravitatorio

CalculoActitud

posicionCalculo

velocidadCalculo

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Modelos de Error

Introduccion



Mecanizacion en ejes e

En ocasiones, por motivos de integracion INS-GPS, convienemecanizar las ecuaciones en los ejes e (en los que trabaja elGPS).

Se llega a las siguientes ecuaciones para velocidad y posicion:

Velocidad: d

dt

v e = �2⇣!e

e/i

⌘⇥v e + ae

NG

+ g e =

�2⇣!e

e/i

⌘⇥v e + (C n

e

)T (C b

n

)TabNG

+ g e

Posicion: d

dt

r e = v e .

Habrıa que escribir Cn

e

en funcion de r e y v e , escribir unmodelo de g e , y escribir la ecuacion de la actitud, y se llegarıaa un esquema similar al anterior.

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Introduccion



Alineamiento inicial I

Supongamos que tenemos el avion en reposo en unaeropuerto, y es necesario inicializar el INS con un “fix”.¿Como se harıa?Evidentemente, se tiene que �, � y h son las del aeropuerto, oincluso con mayor precision, las tomadas de un sistema GPS.Puesto el avion esta en reposo, vn = 0.Queda encontrar el valor inicial de actitud, es decir,Cb

n

(t = 0). Para ello se usa la medida obtenida de giroscoposy acelerometros (en reposo).De la ecuacion fundamental de la navegacion se tiene:

0 = �⇣!n

n/e + 2!n

e/i

⌘⇥0 + an

NG

+ gn, luego anNG

= �gn y

por tanto abNG

= Cb

n

anNG

= �Cb

n

gn.

Por otro lado es claro que !b

b/n = !b

b/i � !b

e/i � !b

n/e y

evidentemente !b

b/n = 0 y !b

n/e = 0.

Por tanto:!b

b/i = !b

e/i = Cb

n

!n

e/i .15 / 59



Modelos de Error

Introduccion



Alineamiento inicial II

Tenemos por tanto dos ecuaciones: abNG

= �Cb

n

gn y

!b

b/i = Cb

n

!n

e/i . Llamando a las medidas x1

= abNG

y

x2

= !b

b/i , y denotando los modelos como y1

= �gn yy2

= !n

e/i , se tiene que

x1

= Cb

n

(0)y1

, x2

= Cb

n

(0)y2

Tendrıamos 6 medidas (las componentes de dos vectores) para9 grados de libertad (las entradas de la matriz).

Es necesario pues “generar” una medida adicionalindependiente.

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Modelos de Error

Introduccion



Alineamiento inicial III

Llamemos x3

= x1

⇥ x2

. Observese que este vector se puedeescribir como (x

1

)⇥ x2

en el sistema de referencia b (dondeestan expresadas las x).Por otro lado, por las propiedades del operador ⇥ se tiene que

(x1

)⇥ = Cb

n

(0)⇣y1

⌘⇥Cn

b

(0). Por tanto x3

= (x1

)⇥ x2

=

Cb

n

(0)⇣y1

⌘⇥Cn

b

(0)Cb

n

(0)y2

= Cb

n

(0)⇣y1

⌘⇥y2

. Por tanto

denotando y3

= y1

⇥ y2

, se tiene que x3

= Cb

n

(0)y3

.Escribiendo la matriz A como la matriz cuyas columnas sonx1

, x2

y x3

, y la matriz B como la matriz cuyas columnas sony1

, y2

y y3

, se tiene: A = Cb

n

(0)B y por tanto Cb

n

(0) = AB�1.

No se han tenido en cuenta los errores de medida: Cb

n

(0)probablemente no saldrıa ortonormal (habrıa que emplear unalgoritmo mas sofisticado que tuviera en cuenta los errores demedida).

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Modelos de Error

Variables de error. Error en actitud

Modelo de propagacion linealizado

El canal vertical


Si conocieramos con total precision las condiciones iniciales, elmodelo de gravedad fuera perfecto, y los sensores inerciales nocometieran errores de medida, entonces la navegacion inercialserıa totalmente exacta.No obstante, esto no es ası, y cada uno de los terminosmencionados contiene errores.

Errores en condiciones iniciales.Errores en el modelo de gravedad �gn.Errores en los sensores inerciales. Para simplificar losagruparemos en un unico valor: �ab

NG

, �!b

b/i .

La navegacion inercial realiza integracion de ecuacionesdiferenciales, luego estos errores se van acumulando.Es importante tener un modelo del error para saber comocrece, para cuantificarlo, para aplicar medidas que permitandisminuirlo (como integracion con otros sensores), paradescubrir que sensores son mas crıticos (analisis desensibilidad), etc...

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Modelos de Error



El canal vertical

Variables de error.

En general, para una variable cualquiera de navegacion x , sedenota con x el valor estimado con el INS.Puesto que este valor no sera exacto se define el error como�x = x � x .Error en posicion: las variables de posicion son �, � y h. Lasvariables estimadas seran �, �, h. Definimos el error enposicion �p como �p = [�� h]T = [�� h� h]T .Error en velocidad: igualmente se define �vn = vn � vn, dondevn es la velocidad calculada por el INS.Para la actitud, ¿como definir un error en la matriz de actitud�Cb

n

? No serıa correcto considerar una matriz de nuevecoeficientes pequenos ya que no necesariamente serıa unamatriz de actitud.En su lugar, supongamos que el INS estima una actitud de losejes cuerpo b que, al no ser exactamente la real, denotaremospor b.

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Modelos de Error



El canal vertical

Error de actitud.

Por tanto, realmente Cb

n

= Cˆ

b

n

, donde se tiene que:

n(

ˆ ,ˆ✓,')�! b��

x�!x

b

S1

��y�!

y

S

1

S2

��z�!

z

S

2

b

Se tiene entonces Cb

n

= Cb

ˆ

b

Cˆ

b

n

, por analogıa con lasdefiniciones anteriores definimos�Cb

n

= Cb

n

� Cb

n

= Cb

ˆ

b

Cb

n

� Cb

n

= (Cb

ˆ

b

� Id)Cb

n

.

Suponiendo que los errores �� = [��x

��y

��z

]T sonpequenos, se vio que Cb

ˆ

b

= Id� ��⇥, donde como siempre:

��⇥ =

2

40 ��

z

��y

��z

0 ��x

��y

��x

0

3

5

Por tanto, la ecuacion que define la “matriz de error” �Cb

n

es�Cb

n

= (Id� ��⇥ � Id)Cb

n

= ��⇥Cb

n

.Y se tieneCb

n

= (Id� ��⇥)Cb

n

.20 / 59



Modelos de Error



El canal vertical

Ecuaciones de propagacion del error

Se quiere estudiar como evoluciona el error del INS con eltiempo. Para ello, es necesario encontrar el modelo depropagacion del error.

Este modelo se encuentra directamente de las ecuaciones dela navegacion inercial, suponiendo que los errores sonpequenos, con lo que las ecuaciones se pueden linealizar.

Por ejemplo, supongamos que x es una variable que el INSestima como x . La ecuacion que verifica x sera x = f (x). ElINS lo que hara sera calcular x a partir de ˙x = f (x). Portanto: �x = x � ˙x = f (x)� f (x) = f (x + �x)� f (x).

Desarrollando esta expresion en serie de Taylor y quedandonosel termino constante y el lineal: f (x + �x) ' f (x) + @f

@x |x=x

�x .

Por tanto llegamos a la siguiente expresion: �x = @f@x |x=x

�x ,que es aproximada y solo sirve para �x pequeno.

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Modelos de Error



El canal vertical

Propagacion del error en posicion I

Se tiene que las ecuaciones de la posicion son:

˙� =

vN

R

e

+ h

˙� =

vE

c�(Re

+ h)

˙

h = �vD

Por tanto el INS calculara:

˙

ˆ� =

vN

R

e

+

ˆ

h

˙

ˆ� =

vE

c ˆ�(Re

+

ˆ

h)

˙

ˆ

h = �vD

Aplicando la teorıa antes desarrollada, por ejemplo, para h:

�h = h � ˙h = �vD + vD = ��vD. Como la ecuacion ya eralineal no hubo que linealizar.

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Modelos de Error



El canal vertical

Propagacion del error en posicion II

Para la latitud: �� = �� ˙� = vNR

e

+h

� vN

R

e

+

ˆ

h

= vN+�vNR

e

+

ˆ

h+�h� vN

R

e

+

ˆ

h

.

Desarrollando en serie de Taylor y quedandonos hasta eltermino lineal: vN+�vN

R

e

+

ˆ

h+�h= vN

R

e

+

ˆ

h

+ 1

R

e

+

ˆ

h

�vN � vN

(R

e

+

ˆ

h)

2

�h

Por tanto: �� = 1

R

e

+

ˆ

h

�vN � vN

(R

e

+

ˆ

h)

2

�h.

Operando igualmente con la longitud:

�� = 1

cˆ�(Re

+

ˆ

h)

�vE � vE

cˆ�(Re

+

ˆ

h)

2

�h + vE tan

ˆ�cˆ�(R

e

+

ˆ

h)

��

Poniendolo todo en una matriz:

�p =

d

dt

2

4��h

3

5=

2

6664

0 0 � vN(R

e

+

ˆ

h)

2

1

R

e

+

ˆ

h

0 0

vE tan

ˆ�

c ˆ�(R

e

+

ˆ

h)

0 � vEc ˆ�(R

e

+

ˆ

h)

2

0

1

c ˆ�(R

e

+

ˆ

h)

0

0 0 0 0 0 �1

3

7775

2

666664

��h�v

N

�vE

�vD

3

777775

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Modelos de Error



El canal vertical

Propagacion del error en posicion III

El resultado se puede escribir abreviadamente como�p = C

pp

�p + Cpv

�vn, donde:

Cpp

=

2

664

0 0 � vN

(R

e

+

ˆ

h)

2

vE tan

ˆ�cˆ�(R

e

+

ˆ

h)

0 � vE

cˆ�(Re

+

ˆ

h)

2

0 0 0

3

775 ,

Cpv

=

2

64

1

R

e

+

ˆ

h

0 0

0 1

cˆ�(Re

+

ˆ

h)

0

0 0 �1

3

75

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Modelos de Error



El canal vertical

Errores en velocidad angular

Para repetir el procedimiento con las ecuaciones de velocidady actitud necesitamos antes encontrar el error en !n

e/i y en!n

n/e que denotaremos como �!n

e/i y �!n

n/e .En primer lugar se tiene que:

!n

e/i =

2

4!E

c�0

�!E

s�

3

5 ! �!n

e/i =

2

4�!

E

s�0

�!E

c�

3

5 ��

Por otro lado: !n

n/e =

2

664

vE

R

e

+

ˆ

h

� vN

R

e

+

ˆ

h

� vE tan

ˆ�R

e

+

ˆ

h

3

775, por tanto:

�!n

n/e =

2

664

1

R

e

+

ˆ

h

�vE � vE

(R

e

+

ˆ

h)

2

�h

� 1

R

e

+

ˆ

h

�vN + vN

(R

e

+

ˆ

h)

2

�h

�1 tan

ˆ�R

e

+

ˆ

h

�vE + vE tan

ˆ�(R

e

+

ˆ

h)

2

�h � vE(1+tan

2

ˆ�)

R

e

+

ˆ

h

��

3

775

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Modelos de Error



El canal vertical

Propagacion del error en velocidad I

Las ecuaciones de la velocidad que calcula el INS seran:d

dt

vn = �⇣!n

n/e + 2!n

e/i

⌘⇥vn + (Cb

n

)T abNG

+ gn

Por tanto las ecuaciones del error seran:

d

dt�vn = �

⇣�!n

n/e + 2�!n

e/i

⌘⇥vn �

⇣!n

n/e + 2!n

e/i

⌘⇥�vn

+(�Cb

n

)T abNG

+ (Cb

n

)T �abNG

+ �gn

Recordemos que �Cb

n

= ��⇥Cb

n

. Los otros terminos loshemos calculado, excepto �ab

NG

(el error en los acelerometros)y �gn (el error en el modelo gravitatorio).Puesto que

gn '

2

400µe

(R

e

+h)

2

3

5 ! �gn =

2

6400

� 2µe

(R

e

+

ˆ

h)

3

3

75 �h + �Gn, donde

�Gn son errores en el modelado gravitatorio.26 / 59



Modelos de Error



El canal vertical

Propagacion del error en velocidad II

Por tanto podremos escribir, como en el caso de la posicion,�vn = C

vp

�p + Cvv

�vn + Cv��+ C

a

�abNG

+ �Gn.

Es una ecuacion lineal en los errores, donde las matrices estandefinidas en funcion de la estimacion del INS, y con dosterminos forzantes: el error en los acelerometros �ab

NG

y elerror en el modelo gravitatorio �Gn.

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Modelos de Error



El canal vertical

Propagacion del error en actitud I

Finalmente, calculamos el error en actitud. Recordemos eldiagrama considerando una actitud estimada intermedia b:

n(

ˆ ,ˆ✓,')�! b��

x�!x

b

S1

��y�!

y

S

1

S2

��z�!

z

S

2

b

La actitud real verifica Cb

n

= �⇣!b

b/n

⌘⇥Cb

n

y la actitud

estimada verifica ˙Cb

n

= Cˆ

b

n

= �⇣!ˆ

b

ˆ

b/n

⌘⇥Cb

n

. Por tanto

!b

b/n = !ˆ

b

ˆ

b/n. ¿Cual es la definicion entonces de �!b

b/n?

Tenemos que definir el error como la realidad menos laestimacion: �!b

b/n = !b

b/n � !ˆ

b

ˆ

b/n. Pero son dos vectores que

no estan en la misma base!! (sı en una base muy parecida).Descomponemos !b

b/n = !b

b/ˆb+ !b

ˆ

b/ny escribimos

!b

ˆ

b/n= Cb

ˆ

b

!ˆ

b

ˆ

b/n=

�Id� ��⇥�!ˆ

b

ˆ

b/n, llegando a:

�!b

b/n = !b

b/ˆb+

�Id� ��⇥�!ˆ

b

ˆ

b/n� !b

ˆ

b/n= !b

b/ˆb� ��⇥!

ˆ

b

ˆ

b/n.

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Modelos de Error



El canal vertical

Propagacion del error en actitud II

Puesto que los angulos son muy pequenos, se tiene�� = !b

b/ˆb. Por tanto llegamos a �!b

b/n = �� ⇥!b

b/n.

Por tanto finalmente la ecuacion del error de actitud ��queda como �� = �!b

b/n + ��⇥!b

b/n.Para finalizar hay que expresar todo en funcion de la velocidadangular b/i , que es la que mide el giroscopo. En primer lugar,

!b

b/n = !b

b/i � Cb

n

⇣!n

e/i + !n

n/e

⌘. Tomando error en esta

ecuacion:�!b

b/n = �!b

b/i � �Cb

n

⇣!n

e/i + !n

n/e

⌘� Cb

n

⇣�!n

e/i + �!n

n/e

⌘.

Por tanto la ecuacion del error de actitud �� queda:

�� = �!b

b/i + ��⇥Cb

n

⇣!n

e/i + !n

n/e

⌘� Cb

n

⇣�!n

e/i + �!n

n/e

⌘

+��⇥!b

b/i � ��⇥Cb

n

⇣!n

e/i + !n

n/e

⌘

= �!b

b/i � Cb

n

⇣�!n

e/i + �!n

n/e

⌘+ ��⇥!b

b/i29 / 59



Modelos de Error



El canal vertical

Propagacion del error del INS.

Por tanto podremos escribir, como antes,�� = C�p�p + C�v�vn + C��+ �!b

b/i .Es una ecuacion lineal en los errores, donde las matrices estandefinidas en funcion de la estimacion del INS, y con unterminos forzante: el error en los giroscopos �!b

b/i .Si ponemos todos los errores juntos, llegamos a:

d

dt

2

4�p�vn

��

3

5 =

2

4Cpp

Cpv

0Cvp

Cvv

Cv�

C�p C�v C��

3

5

2

4�p�vn

��

3

5+

2

40

Ca

�abNG

+ �Gn

�!b

b/i

3

5

Ademas estaran los errores en condiciones iniciales:2

4�p�vn

��

3

5 (t = 0).

Este es el modelo de propagacion del error del INS. Puestoque el termino forzante es desconocido (y se modela mediantela estadıstica) es una ecuacion diferencial estocastica. 30 / 59



Modelos de Error



El canal vertical

Ecuacion del error en el canal vertical I

Si trabajamos solo con el error en h y VD

, y despreciamostodos los terminos excepto el gravitatorio, llegamos a lasiguiente ecuacion:

�h = ��VD

�VD

' �2µe

(Re

+ h)3�h.

Por otro lado podemos aproximar en el denominadorRe

+ h ' Re

. Teniendo en cuenta que la aceleracion de lagravedad al nivel del mar g

0

= µe

R

2

e

, tendrıamos las ecuaciones:

�h = ��VD

�VD

' �2g0

Re

�h.

Escribiendolo como una unica ecuacion para �h: �h = 2g

0

R

e

�h.31 / 59



Modelos de Error



El canal vertical

Ecuacion del error en el canal vertical II

La solucion de la ecuacion diferencial es:

�h = C1

e

q2g

0

R

e

t

+ C2

e�q

2g

0

R

e

t

, donde las constantes son funcionde las condiciones iniciales de altura y velocidad vertical.

Estas ecuaciones son inestables! El primer termino crece hastael infinito.

Fısicamente, lo que sucede es lo siguiente: si hay un error dealtitud, p.ej. el INS piensa que el avion esta mas alto de loque realmente esta, el modelo de gravedad predice que lagravedad es menor de lo que es, con lo que el INS predice queel avion se eleva, es decir, el error inicial se amplifica!

Este resultado se mantiene si no se desprecian los terminosque no se han considerado. Por tanto el canal vertical del INSes inestable y no se puede usar por sı solo; empleando otrasmedidas (p.ej. barometricas) es posible compensar el canalvertical y obtener una medida fiable de la altura.

32 / 59



Modelos de Error

Breve recordatorio de estadıstica

Procesos estocasticos. Ruido blanco. Propagacion.

Medidas del error.

Fuentes de Error

Hemos visto que las ecuaciones de propagacion del error sondel tipo �x = A(x)�x + �✏, donde �x son las variables denavegacion (posicion, velocidad, actitud) y los �✏ las fuentesde error. Estas fuentes son:

Errores en el modelo de gravedad �gn.

Errores en los sensores inerciales �abNG

, �!b

b/i .

Aparte esta el error en las condiciones iniciales �x(t0

).

Si discretizamos estas ecuaciones en el tiempo, podrıamosescribir un modelo algo mas sencillo y utilizado en la practica:�x(t

k+1

) = A(tk

)�x(tk

) + �✏(tk

). (Veremos tanto el casocontinuo como el discreto).

¿Como se modelan los errores? ¿Como se interpretan lasecuaciones que contienen errores?

Para responder a estas preguntas es necesario recordaralgunos conceptos estadısticos.

33 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Descripcion estadıstica del error

Consideremos por ejemplo el caso del error de medida de unacelerometro: ab

NG

= abNG

+ �abNG

, donde �abNG

son errores demedida.

Una componente de �abNG

, por ejemplo �ax

, puede tener elsiguiente aspecto:

Es imposible conocer el valor con exactitud.

Se observa que cambia con el tiempo.

Por tanto, se representan sus propiedades usando laestadıstica.

34 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Variables aleatorias continuas unidimensionales

Sea una variable aleatoria X 2 R continua.

Recordemos que la funcion de distribucion F (x) es laprobabilidad de que X x , que se escribe comoF (x) = P(X x).

La funcion de distribucion se calcula mediante la funcion dedensidad f (x): F (x) =

Rx

�1 f (y)dy .

Se define el operador esperanza matematica actuando sobre lafuncion g(x) como E [g(X )] =

R1�1 g(y)f (y)dy . Se trata de

un operador lineal, de forma queE [↵

1

g1

(X ) + ↵2

g2

(X )] = ↵1

E [g1

(X )] + ↵2

E [g2

(X )]. Los doscasos importantes son:

Media: m(X ) = E [X ] =R1�1 yf (y)dy .

Varianza: V (X ) = E [(X �m(X ))2] = E [X 2]� (E [X ])2.Desviacion tıpica �, la raız cuadrada de la varianza,� =

pV (X ).

35 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Distribucion normal o gaussiana I

Es la distribucion mas usada en estadıstica. Se escribeX ⇠ N(m,�2) y su funcion de densidad es

f (x) = 1

�p2⇡Exp

⇣� (x�m)

2

2�2

⌘.

Intervalos de confianza: si X ⇠ N(m,�2):Intervalo 1-�: P(X 2 [m � �,m + �]) = 68,3%.Intervalo 2-�: P(X 2 [m � 2�,m + 2�]) = 95,45%.Intervalo 3-�: P(X 2 [m � 3�,m + 3�]) = 99,74%.

36 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Distribucion normal o gaussiana II

El teorema central del lımite dice que la suma de variablesaleatorias (con cualquier tipo de distribucion) tiende en mediaa la normal. Puesto que los errores a gran escala provienen dela suma y acumulacion de muchos errores a pequena escala,esto justifica el uso de la normal como modelo para errores.

Una propiedad importante de la normal es que la suma denormales es de nuevo normal, es decir, si X ⇠ N(m

x

,�2

x

) eY ⇠ N(m

y

,�2

y

) y son independientes, entonces si Z = X + Yse tiene que Z ⇠ N(m

x

+my

,�2

x

+ �2

y

).

Por tanto �z

=q

�2

x

+ �2

y

, es decir, la desviacion tıpica de la

suma de errores es la raız cuadrada de la suma de loscuadrados de las desviaciones tıpicas de los errores.

Esta regla, conocida como Root-Sum-of-Squares (RSS) esmuy importante.

37 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Variables aleatorias continuas multidimensionales

Sea una variable aleatoria X 2 Rn continua multidimensional.Cada componente de X sigue una distribucion unidimensional.Como en el caso unidimensional, se define una funcion dedistribucion conjunta, que se calcula mediante la funcion dedensidad f (x).Igualmente E [g(X )] =

RRn

g(y)f (y)dy . Los dos casosimportantes son:

Media: m(X ) = E [X ] =RRn

yf (y)dy .Matriz de covarianzas:Cov(X ) = E [(X �m(X ))(X �m(X ))T ] = ⌃. Es una matrizsimetrica y definida positiva. Los valores de la diagonalrepresentan la varianza de cada componente de X , mientrasque los valores fuera de la diagonal la correlacion entre doscomponentes de X . Se tiene ⌃ = E [(XXT ]�m(X )m(X )T .

Por ejemplo, para n = 3 y escribiendo X = [X ,Y ,Z ]:

⌃ =

2

64�2

x

E [(X � m

x

)(Y � m

y

)] E [(X � m

x

)(Z � m

z

)]

E [(X � m

x

)(Y � m

y

)] �2

y

E [(Y � m

y

)(Z � m

z

)]

E [(X � m

x

)(Z � m

z

)] E [(Y � m

y

)(Z � m

z

)] �2

z

3

75

38 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Distribucion normal multivariante I

Se escribe X ⇠ Nn

(m,⌃) y su funcion de densidad esf (x) = 1

Det(⌃)(2⇡)n/2Exp

��1

2

(x �m)T⌃�1(x �m)�.

Los intervalos de confianza son ahora regiones de Rn,definidos por P(X 2 ⌦) = P

⌦

.La forma de estas regiones de confianza es de elipsoides,descritos por la ecuacion (x �m)T⌃�1(x �m) = d2, donde ddepende de P

⌦

. Cuanto mayores sean los valores de losautovalores de ⌃, mayor sera el elipsoide. Las direcciones delos ejes del elipsoide vendran dados por los autovectores de ⌃.

39 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Distribucion normal multivariante IISi por ejemplo describimos el error en posicion en ejes cuerpo,�rb = [�x �y �z ]T , como una normal multivariante con n = 3,de media cero (centrada en el avion) y con matriz decovarianzas:

⌃ =

2

64�2

x

0 0

0 �2

y

0

0 0 �2

z

3

75

Entonces �x

representa la magnitud del error ATE(along-track error), �

y

del error XTE (cross-track error) y �z

del error VE (vertical error) y podemos asimilar el movimientodel avion al movimiento del elipsoide, que representa unaregion de incertidumbre donde se puede encontrar el avion congran probabilidad.Se verifica que si X ⇠ N

n

(mx

,⌃x

) e Y ⇠ Nn

(my

,⌃y

) y sonindependientes, entonces si Z = X + Y resultaZ ⇠ N

n

(mx

+my

,⌃x

+ ⌃y

).Igualmente AX + b donde A y b son no-aleatorios verifica queAX + b ⇠ N

n

(Amx

+ b,A⌃x

AT ).40 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Procesos estocasticos.

Un proceso estocastico o variable estocastica no es sino unavariable aleatoria X (t) que cambia con el tiempo. Los erroresde navegacion seran este tipo de variables.

Por tanto la media y la covarianza tambien varıan con eltiempo: m(t), ⌃(t).

Para un proceso, se define la autocorrelacion comoR(t, ⌧) = E [X (t)X (⌧)T ]. La autocorrelacion permite conocerhasta que punto la historia pasada de X influye en su valoractual.

Proceso gaussiano: Un proceso gaussiano verificaX (t) ⇠ N

n

(m(t),⌃(t)), es decir, se distribuye como unanormal multivariante cuya media y covarianza varıan con eltiempo.

41 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Ruido blanco.

Ruido blanco: Se define como ruido blanco un proceso ⌫(t)que verifica:

E [⌫(t)] = 0.E [⌫(t)⌫(t)T ] = �2Id.R(t, ⌧) = E [⌫(t)⌫(⌧)T ] = �(t � ⌧)�2Id, donde �(x) vale 1 six = 0 y 0 en cualquier otro caso.

La ultima condicion quiere decir que el valor del ruido blancoen un instante es independiente de su valor en cualquierinstante anterior.

Ruido blanco gaussiano: Es un proceso que cumple lascondiciones anteriores, y ademas es gaussiano.

Un buen modelo para las fuentes de error (errores de medida,errores gravitatorios) es �✏(t

k

) = b + D⌫, donde ⌫ es ruidoblanco gaussiano. El valor de b dara la media del error (sesgo,llamado bias en ingles).

42 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Propagacion del error: caso continuo.Si en las ecuaciones de propagacion del error�x(t) = A(t)�x(t) + �✏(t) sustituimos �✏(t) = b + D⌫,obtenemos el siguiente modelo de propagacion del error:�x(t) = A(t)�x(t) + b + D⌫.Observacion: tıpicamente b tambien esta sometido a un errorvariable, de forma que b(t) = D

b

⌫b

. De momento ignoramosesta variacion.Se realizan las siguientes hipotesis:

⌫ es ruido blanco gaussiano con varianza �2

⌫ .Inicialmente, �x(t

0

) ⇠ Nn

(m0

,⌃0

). Si se conocieranperfectamente, entonces ⌃

0

= 0.Ademas se tiene la hipotesis de que �x(t

0

) y ⌫ sonindependientes.

Bajo estas condiciones, se tiene que �x(tk

) es un procesogaussiano, es decir, �x(t) ⇠ N

n

(m(t),⌃(t)), donde la media yla covarianza verifican la siguiente evolucion:

Propagacion de la media: m(t) = A(t)m(t) + b.Propagacion de la covarianza: ⌃ = A⌃+ ⌃AT + �2

⌫DDT . 43 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Propagacion del error: caso discreto.Si en las ecuaciones de propagacion del error�x(t

k+1

) = A(k)�x(tk

) + �✏(tk

) sustituimos �✏(tk

) = b + D⌫,obtenemos el siguiente modelo de propagacion del error:�x(t

k+1

) = A(k)�x(tk

) + b + D⌫.Observacion: tıpicamente b tambien esta sometido a un errorvariable, de forma que b(t

k+1

) = b(tk

) + Db

⌫b

. Parasimplificar ignoramos esta variacion.Se realizan las siguientes hipotesis:

⌫ es ruido blanco gaussiano con varianza �2


0

) ⇠ Nn

(m0

,⌃0

). Si se conocieranperfectamente, entonces ⌃

0

= 0.Ademas se tiene la hipotesis de que �x(t

0

) y ⌫ sonindependientes.

Bajo estas condiciones, se tiene que �x(tk

) es un procesogaussiano, es decir, �x(t

k

) ⇠ Nn

(mk

,⌃k

), donde la media y lacovarianza verifican la siguiente evolucion:

Propagacion de la media: mk+1

= Amk

+ b.Propagacion de la covarianza: ⌃

k+1

= A⌃k

AT + �2

⌫DDT . 44 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Propagacion del error: ejemplo sencillo continuoSupongamos que tuvieramos una ecuacion de propagacion delerror en una dimension (por ejemplo la posicion en el eje x)dada simplemente por: �x = ⌫, donde:

⌫ es ruido blanco gaussiano de varianza �2

⌫ .Inicialmente, �x(0) = 0, conocido con total certeza.Ademas �x(t) y ⌫ son independientes.

Entonces aplicando las formulas anteriores,�x(t) ⇠ N(m(t),�2(t)), donde la media y la desviacion tıpicaverifican:

Propagacion de la media: m = 0. La solucion es m = m(0).Como m(0) = 0, se tendra m(t) = 0 para todo t.Propagacion de la varianza: d

dt

�2 = �2

⌫ . La solucion es�2(t) = �2(0) + �2

⌫t. Como �2(0) = 0, se tiene que �2 = �2

⌫t.Por tanto la desviacion tıpica verifica � = �⌫

pt.

Si x son metros y el ruido blanco tiene �⌫ = 0,1 m/pminutos,

entonces aunque inicialmente la posicion se conoce sin error,pasada una hora �

60

=p60 · 0,1 = 0,77, luego un intervalo

2-� serıa �x 2 [�1,55, 1,55].45 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Propagacion del error: ejemplo sencillo discretoSupongamos que tuvieramos una ecuacion de propagacion delerror en una dimension (por ejemplo la posicion en el eje x)dada simplemente por: �x

k+1

= �xk

+ ⌫, donde:La variable temporal k representa minutos, es decir, x

6

es elerror en posicion pasados 6 minutos.⌫ es ruido blanco gaussiano de varianza �2


0

) = 0.Ademas �x(t

k

) y ⌫ son independientes.Entonces aplicando las formulas anteriores,�x(t

k

) ⇠ N(mk

,�k

), donde la media y la varianza verifican:Propagacion de la media: m

k+1

= mk

. Como m0

= 0, setendra m

k

= 0 para todo k .Propagacion de la varianza: �2

k+1

= �2

k

+ �2

⌫ . Como �2

0

= 0, se

tiene que �2

k

= k�2

⌫ . Por tanto la varianza verifica �k

=pk�⌫ .

Si por ejemplo x son metros y el ruido blanco tiene �⌫ = 0,1metros, entonces aunque inicialmente la posicion se conoce sinerror, pasada una hora �

60

=p60 · 0,1 = 0,77, es decir un

intervalo 2-� serıa �x 2 [�1,55, 1,55].46 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Modelo de errores de sensores inerciales.Una IMU consta de giroscopos y acelerometros. Estosdispositivos seran estudiados en otras asignaturas.Un modelo tıpico de medida serıa: m = (1 + �)m + b + ⇠,donde m es la medida obtenida del valor real m, � es el factorde escala, b es el sesgo y ⇠ es ruido de medida. Estos valoresse pueden calibrar pero estan sujetos a variaciones.Las principales caracterısticas de estos dispositivos son:

Ancho de banda: determina la frecuencia maxima deaceleracion o giro que son capaces de detectar. Se asimila a la“velocidad” maxima con la que se toman medidas.Rango de medicion.Supervivencia a choques.Ruido (en unidades de medida por

pHz). Mide ⇠. Se puede

usar para calcular como se degrada la medida acumulada.Inestabilidad del sesgo (en unidades de medida). Mide el ruidoaleatorio que entra en b.Inestabilidad del factor de escala (en porcentaje). Mide el ruidoaleatorio que entra en �.

47 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Acelerometros.

Precisiones tıpicas de acelerometros:

48 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Giroscopos

Precisiones tıpicas de giroscopos (RLG=Ring Laser Gyro,FOG=Fibre Optic Gyro, MEMS=Micro-Electro-MechanicalSystems).

49 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Propagacion del error para un giroscopo

Si estuvieramos estimando un giro unidimensional de unangulo, ✓, a partir de la medida de su velocidad angular porun giroscopo, !, se tiene: ✓ = !.

El error verificara �✓ = �! y suponiendo que �! es ruidoblanco de varianza �2

⌫ y que tenemos un error inicial �✓0

, setiene, como antes:

�✓ =q

�✓20

+ �2

⌫t,

y en particular si �✓0

= 0 tendrıamos �✓ = �⌫pt.

En las especificaciones de un giroscopo suele venir el datoARW=�⌫ , en unidades de grados/

ptiempo. Para estimar la

desviacion tıpica del error en un tiempo t basta multiplicarARW por

pt. Luego se anadirıa el error inicial usando la regla

RSS.50 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Propagacion del error para un acelerometro I

Para un desplazamiento unidimensional se tiene igualmente,para la velocidad, v = a y para la posicion, x = v .

Esto implica el siguiente sistema de ecuaciones para el error:

d

dt

�v�x

�=

0 01 0

� �v�x

�+

�a0

�

Por tanto, usando las ecuaciones de propagacion y bajo las

hipotesis habituales, tenemos que

�vk

�xk

�⇠ N

2

(m(t),⌃(t)) y

suponiendo que �a es ruido blanco de varianza �2

a

, se tienenlas siguientes ecuaciones para m

k

y ⌃k

:

m = Am, ⌃ = A⌃+ ⌃AT + �2

a

DDT

donde A =

0 01 0

�, D =

10

�

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Modelos de Error



Medidas del error.

Propagacion del error para un acelerometro II

Suponiendo que el error inicial tiene media cero con erroresiniciales en posicion y velocidad de desviacion tıpica �

x

(0),�v

(0), m(0) = 0.Esto implica m(t) = 0 para todo t. Por otro lado para ⌃,definimos los coeficienes como:

⌃ =

�2

v

⇠⇠ �2

x

�

Donde ⇠ es la covarianza entre la velocidad y la posicion, queasumimos cero inicialmente. Insertando ⌃ en las ecuacionesobtenemos

�2

v

˙⇠˙⇠ �2

x

�=

0 0

1 0

� �2

v

⇠⇠ �2

x

�+

�2

v

⇠⇠ �2

x

� 0 1

0 0

�+ �2

a

1 0

0 0

�

Desarrollando:

�2

v

= �2

a

,

⇠ = �2

v

�2

x

= 2⇠52 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Propagacion del error para un acelerometro III

Resolviendo la primera ecuacion obtenemos como antes�2

v

= �2

v

(0) + t�2

a

. Introduciendo esta ecuacion en la segundaobtenemos:

⇠ = �2

v

(0) + t�2

a

y puesto que ⇠(0) = 9, su solucion es ⇠ = t�2

v

(0) + t

2

2

�2

a

.Introduciendo esta ecuacion en la tercera obtenemos:

�2

x

= 2t�2

v

(0) + t2�2

a

cuya solucion es �2

x

= �2

x

(0) + t2�2

v

(0) + t

3

3

�2

a

.

Por tanto hemos obtenido: �v

=p

�2

v

(0) + t�2

a

y

�x

=q

�2

x

(0) + t2�2

v

(0) + t

3

3

�2

a

.En las especificaciones de un acelerometro suele venir el datoruido (�

a

) en g (aceleracion de la gravedad) partido porpHz .

Multiplicando este dato por 9.8 obtenemos �a

, en unidades dem/s3/2.

53 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Propagacion del error para un acelerometro IV

Para estimar la desviacion tıpica de la velocidad y la posicionprocederıamos como sigue:

Para la velocidad: bastarıa multiplicar el valor del ruido porpt

y sumar (RSS) con el error inicial en velocidad.

Para la posicion: bastarıa multiplicar el valor del ruido porq

t

3

3

y sumar (RSS) con el error inicial en velocidad multiplicadopor t y el error inicial en posicion.

Existen otros errores que habrıa tambien que anadir (porejemplo el sesgo).Ejemplo:

Supongamos que queremos estudiar la propagacion del ruidode un acelerometro pasada un hora, sabiendo que su valor esde 50µg/

pHz ⇡ 500 · 10�6ms�3/2, con errores iniciales nulos.

Entonces �v

=pt · 500 · 10�6ms�2/3 = 3 · 10�2ms�1 y

�x

=pt3/3 · 500 · 10�6ms�3/2 = 62m. Luego un intervalo

2� � de la velocidad serıa v 2 [v � 0,06, v + 0,06] y unintervalo 2� � de la posicion serıa x 2 [x � 125, x + 125].

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Modelos de Error



Medidas del error.

Medida del error en 2-D

Para el caso 2-D (por ejemplo posicion sobre un mapa) y si elerror esta distribuido como X ⇠ N

2

(0,⌃), las regiones deconfianza serıan elipses:

Dado ⌃ podemos escribir ⌃ = Pdiag{�1

,�2

}PT donde P esuna matriz con autovectores y �

i

los autovalores. Losautovectores dan la direccion de los ejes de la elipse y losautovalores son proporcionales a su magnitud (cuyo valorexacto dependera del grado de confianza del intervalo).

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Modelos de Error



Medidas del error.

Otras medidas de error en 2-D

CEP: Circular Error Probable. Sustituye la elipse por uncırculo en cuyo interior hay un 50% de encontrar a la variable.

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Es mas simple de entender pero mas complejo de hallar ymenos representativo estadısticamente hablando. Si�x

/3 �y

3�x

, entonces CEP ' 0,59(�x

+ �y

).Otra medida comunmente usada (FAA) es el 2DRMS: cırculoque contiene del 95% al 98% de los puntos. Se calcula

DRMS =q

�2

x

+ �2

y

. Entonces el 2DRMS es el cırculo de

radio 2 · DRMS . Igualmente existe el DRMS, 3DRMS...56 / 59



Modelos de Error



Medidas del error.

Algoritmo de mınimos cuadrados I

En la resolucion de problemas de navegacion es frecuenteencontrar sistemas de ecuaciones sobredeterminados (excesode medidas) o incluso incompatibles (medidas no coherentesentre sı).Puesto que las medidas contienen errores (de diferentemagnitud, segun el tipo de medida), es conveniente resolverestos sistemas teniendo en cuenta dicho error.Se puede usar un algoritmo de mınimos cuadrados, queresuelve un sistema del tipo: y = Az + b, donde:

y es de dimension n y conocido (medidas).z es de dimension m n y es desconocido (datos a calcular).A es conocido (medidas).b son los errores (desconocidos): b ⇠ N

m

(0,⌃)

Se busca una solucion z de forma que Az sea lo mas parecidoposible a y en el sentido de los mınimos cuadrados.Matematicamente, se busca z tal que la funcion de costeJ = (y � Az)T (y � Az) sea mınimo.

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Modelos de Error



Medidas del error.

Algoritmo de mınimos cuadrados II

Se busca @J@z = 0.

En primer lugar: J = yT y � 2yTAz + zTATAz

Tomando la derivada: @J@z = �2yTA+ 2zTATA

Igualandola a 0:yTA = zTATA

Despejando z : zT = yTA(ATA)�1 ) z = (ATA)�1AT y .

Observese que (ATA)�1AT es la pseudoinversa y existesiempre que A tenga al menos m filas (medidas)independientes.

Propiedades estadısticas de la solucion:E [z] = E [(A

T

A)

�1

A

T

y ] = (A

T

A)

�1

A

T

E [y ] = (A

T

A)

�1

A

T

E [Az + b] =

(A

T

A)

�1

A

T

AE [z] = E [z] = z.

Cov [z] = Cov [(A

T

A)

�1

A

T

y ] = (A

T

A)

�1

A

T

Cov [y ]A(A

T

A)

�1

= (A

T

A)

�1

A

T

Cov [Az +

b]A(A

T

A)

�1

= (A

T

A)

�1

A

T

⇣ACov [z]A

T

+ ⌃

⌘A(A

T

A)

�1

= (A

T

A)

�1

A

T

⌃A(A

T

A)

�1

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Modelos de Error



Medidas del error.

Algoritmo de mınimos cuadrados ponderados

¿Existe alguna mejora posible del algoritmo de mınimoscuadrados que disminuya la covarianza de la estimacion?Se plantea ponderar las medidas en la funcion de coste conuna matriz de pesos W , de forma que se de mas peso a lasmedidas mas precisas y menos a las menos precisas. Portanto: J = (y � Az)TW (y � Az) donde W ha de ser unamatriz simetrica definida positiva.Procediendo como antes (se deja como ejercicio) se llega az = (ATWA)�1ATWy .Propiedades estadısticas de la solucion:

E [z] = z.

Cov [z] = (A

T

WA)

�1

A

T

W⌃WA(A

T

WA)

�1

Para minimizar la covarianza, tomar W = ⌃�1; es simetrica ydefinida positiva, y se le da mas peso a las medidas con menorvarianza y menos peso a las de mayor varianza.Llegamos a z = (AT⌃�1A)�1AT⌃�1y ; calculando la

covarianza se obtiene: Cov [z ] = (AT⌃�1A)�1.59 / 59

fundamentos de navegacio´n a´ereanavegacion inercial. el objeto de la navegacion inercial es...

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