FuNcIoNeS

Por: Melissa Rascovsky, Melissa Sasson y Sergio Garrido

Presentado a: Patricia Cáceres

Colegio Colombo Hebreo

Àrea De Matemàticas

Dècimo grado

Bogota d.c

MMS

123

F(x)=5

FUNCIONES

¿Qué es una función?

GráficasFunciones crecientes, decrecientes y tasa de cambio

Transformaciones

Elementos

F(x)=3x+2

¿Qué es una función?

Una función es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto A exactamente un elemento llamado y, en un

conjunto B.

• El símbolo f(x) es el valor de y en x.• El conjunto A, es el conjunto de salida y es el dominio de la función. • El conjunto B, es el conjunto de llegada o de variables dependientes.• El rango de la función es el conjunto de valores que se relacionan con la variable x y toma

Y. • La variable independiente (x) es la que no varia dependiendo de la otra.• La variable dependiente (y), pertenece al conjunto B que varia dependiendo de lo que

varia x.

Dominio Representación

para hallar la intercepción con Y se debe reemplazar x con cero, y para hallar la intercepción con X, se debe reemplazar Y con

cero.

Es el conjunto de elementos que tienen imagen.

1. Verbal2. Algebraica3. Visual4. Numérica

Elementos de una función

Conjunto de salida

Conjunto de llegadadominio

rango

Función Inyectiva

Función Sobreyectiva

Función Biyectiva

Gráficas de funciones

GraficaciónGraficación de

funciones definidas por partes

Ecuaciones de funciones

f(x)= mx + b (función lineal)

f(x)= b (función constante) varían las formulas dependiendo de la

función, distintas en su dominio, dependiendo

de la variable independiente,(x).

Funciones linealesf(x) = mx + b

Funciones exponencialesf(x) = x^n

Funciones recíprocasf(x) = 1/x^n

Función valor absolutof(x) = IxI

Funciones crecientes y decrecientes, tasa de

promedio

Funciones crecientes

Tasa de cambio promedio

Se dice que es creciente cuando

la grafica sube, asciende desde (-

00, 00) en Y.

La tasa de cambio hace alusión a la pendiente, entre x=a y x=b, es decir:

Tasa de cambio promedio = cambio en

y / cambio en x

Funciones decrecientes

Se dice que es decreciente

Cuando la grafica baja, desciende de (00, -00)

Es decir con respecto a Y.

Transformaciones de funciones

Desplazamiento vertical

Desplazamiento horizontal

Desplazamiento(acortar, alargar) vertical

Desplazamiento( alargar o acortar)

horizontal

Sumar una constante a la función vertical:

se desplaza hacia arriba si la constante

es positiva y hacia abajo si es negativa.

y= f(x + c) desplaza la grafica c unidades a la izquierda y si se resta desplaza hacia la derecha.y= f (x - c)

Para alargar verticalmente una grafica se multiplica por un numero c mayor

que 1.Para acortar la grafica se multiplica por un numero

a menor que uno pero positivo, entre 1 y 0.

Para alargar una grafica se divide

por un numero 1/a, a es mayor que 1.

Para acortar la grafica se divide por

un numero 1/a, cuando a es menor

1, pero positivo.

Es el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto A y son las pre imágenes, cada elemento debe estar relacionado una vez con unelemento del conjunto de llegada B y posee una imagen.

Conjunto de salida

12345

ABCDE

A B

Conjunto de llegada

Es el conjunto de elementos del conjunto B, llamados imágenes, y si están relacionados con los elementos del conjunto A, son el conjunto de imágenes.

12345

ABCDE

A B

wVDSCd

rangoEs el conjunto de imágenes.

2345

dominio

Es el conjunto de pre imágenes, el conjunto de elementos que del conjunto A están relacionados una vez con un solo elemento del conjunto B.

12345

ABCDE

A B

Función inyectiva

No puede haber dos o mas elementos del dominio con la misma imagen.

cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x+5 del conjunto de los números reales es una función Inyectiva

ABCD

12345

Función sobreyectiva

si a todos y a cada uno de los elementos del rango les corresponde por lo menos un elementos del dominio.

F(x)=B

Ejemplo: la función f(x) = 6x del conjunto de los números naturales al de los números pares es Sobreyectiva.1

2345

DFGHi

Función biyectiva

Todos los elementos del conjunto A tienen una imagen distinta en el conjunto B (Inyectiva), cada elemento del conjunto B le corresponde un elemento del conjunto A (Sobreyectiva). Es Inyectiva y Sobreyectiva a la vez.

Ejemplo: La función f(x) = 3x del conjunto de números reales es Inyectiva y Sobreyectiva. Por lo tanto es Biyectiva.

12345

-1-2-3-4-5

Funciones

Polinómicas

Constante Grado par

Otras

Grado impar Lineal

Afín Lineal Identidad

Cuadrática Lineal Cúbica

Trigonométrica

Exponencial

Racional

Logarítmica

Valor absoluto

Polinómicas Son aquellas funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos.

donde es un polinomio en , , es decir, una suma finita de potencias de multiplicados por coeficientes reales.

Dominio= Conjunto de Salida= IRConjunto de llegada= IR

Ejemplo:

Funciones de grado par

Son funciones que como máximo grado de un término es un número par. Está dada por la ecuación:

Conjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada=IR Rango = (-oo,máximo] o [máximo,oo)

Punto de corte con y= igualando x a 0Puntos de corte con x= igualando y a 0Vértice= +-b/2aConjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada =IR Rango=(-oo,máximo] o [máximo,oo) F(x) ≥0 en x IR positivos. F(x) ≤0 en x IR negativos

Por lo general es la función cuadrática.

Funciones de grado impar

Son funciones en las cuales el máximo grado de un término es un número impar . Está dada por la ecuación:

Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada=IR Rango =IR

en la función constante el rango es la variable f(x)=a

Función cúbica

Punto de corte con y= igualando x a 0Punto de corte con x= igualando y a 0Conjunto de salida=Dominio=IRConjunto de llegada =IRRango= IR

F(x) ≥0 en x IR positivos F(x) ≤ 0 en x IR negativos

Se divide en función cúbica y lineal.

Lineal Un polinomio de primer grado de una variable real es una función matemática de la forma:

F(x)= mx

donde m y b son constantes. La función lineal , pasa por el punto (0,0) como origen a diferencia de la función lineal afín.

Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente

•m es denominada la pendiente de la recta. •b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b).

Dominio= IR= conjunto de salidaRango= IR= conjunto de llegadaPunto de corte con Y= 0Punto de corte con X= 0

Ejemplo:

Y = 5x

Dominio= IR= conjunto de salidaRango= IR= conjunto de llegadaPunto de corte con Y= 0Punto de corte con X= 0

Afín Una función lineal afín es aquella cuya expresión matemática viene dada por: Y= mx + n

donde x e y son variables, m una constante que se denomina pendiente y n otra constante denominada ordenada en el origen. Su gráfica es una recta que corta al eje de ordenadas en n.

La pendiente m de una recta mide la inclinación de la siguiente manera: •Si M>0 la función es creciente. •Si M=0 la función constante. •Si M<0 la función es decreciente.

La pendiente de una recta se puede hallar de la siguiente manera:

para lo cual es necesario disponer de dos puntos de la recta y hallar las variaciones restando sus coordenadas x e y respectivamente.

Ejemplo:

Y=4x+2

Dominio= IR= conjunto de salidaRango= IR= conjunto de llegadaPunto de corte con y= 2Punto de corte con x= -2/4

Identidad

Una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento.

f(x)=x / f(x)=y

• Dominio= IR= conjunto de salida• Conjunto de Salida= IR= conjunto de llegada•Punto de corte con X= 0•Punto de corte con y= 0

x 1 2 3 4

y 1 2 3 4

• Dominio= IR= conjunto de salida• Conjunto de Salida= IR= conjunto de llegada•Punto de corte con X= 0•Punto de corte con y= 0

Constante Se llama función Polinómicas de grado cero o función matemática constante a la que no depende de ninguna variable, se la representa de la forma:

F(x)= a

donde a es la constante.

Dominio= IR= conjunto de salidaRango= {a}Conjunto de Llegada= IRPunto de corte con x= no hayPunto de corte con y= aPunto de corte con x no hay si a# de cero.

Ejemplo:

Y= 5Dominio= IR= conjunto de salidaRango= 5Conjunto de Llegada= IRPunto de corte con x= no hayPunto de corte con y= 5

Función cuadráticaUna función cuadrática, es una función polinómica de grado par, que tiene como máximo grado el numero 2. se define por la siguiente ecuación:

Conjunto de salida: IR= dominio

Conjunto de llegada= IR

Rango= {(-oo,máximo] o [máximo,00)}

Punto de corte con y= c

Punto de corte con x=

Para hallar el mínimo y máximo relativos, se usa la ecuación: x= -b 2a

Conjunto de Salida= IRConjunto de Llegada= IRDominio= IRRango= IRPunto de corte con y= C

Función:Conjunto de Salida= IRConjunto de Llegada= IRDominio= IRRango= {[0,oo)}Punto de corte con y= 2Punto de corte con x= (x+2)(x+2)=0 x=-2Eje de simetría: x=-2Mínimo en x= -2

Función cúbicaEs una función polinómica de grado impar, cuyo grado mayor en el termino de la ecuación es de 3.

Se da por la siguiente ecuación:

Conjunto de salida= IR=dominio

Conjunto de llegada= IR= rango

Punto de corte con y= d

Punto de corte con x= factorización de la ecuación por medio del ( teorema del factor)

Dominio= IRRango= IRConjunto de Llegada= IRConjunto de Salida= IRPunto de corte con y= D

Función=

Dominio= IRRango= IRConjunto de Llegada= IRConjunto de Salida= IRPunto de corte con y= 2Punto de corte con x= -5,2

Función de valor absoluto

La gráfica de la función del valor absoluto consiste en dos rayos queforman la letra V, con su punto inferior en el origen se define por la siguiente ecuación:

Conjunto de salida: IR = dominio

Conjunto de llegada= IR

Rango= IR positivos{[0,oo)}

Punto de corte con y= 0

Punto de corte con x= 0

f(x) = |x|

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, para un mejor análisis.

3. En los intervalos en los que x es negativa se le cambia el signo a la función.

1. La función se debe igualar a cero, se excluye el valor absoluto y se calculan las raíces.

F(x)= /x-3/

ej: (x-3)=0 x=3

2.Con las raíces se forman intervalos y se evalúa la variable dependiendo el signo del intervalo.

F(x)={ -(x-3) si x<3}F(x)={x-3 si x> 3}

Función:

F(x)= /x-3/

Conjunto de salida=dominio= IR

Conjunto de llegada= rango= {`0,oo)}

Punto de corte con y= 3

Punto de corte con x= 3

Debido a un desplazamiento horizontal.

Función logarítmicaLa función logarítmica es aquella función que va de reales positivos en reales, ya que los números negativos y el cero no tiene logaritmo.

propiedadesDominio=(o,oo)IR+=conjunto de salidaConjunto de llegada=rango=IRPunto de corte con x=1Punto de corte con y= no hayAsíntota vertical= x=0

Logaritmos Decimales:Son los logaritmos que tienen por base el número 10. normalmente no se escribe la base.

Logaritmos naturales:Se llaman logaritmos naturales a los logaritmos que tienen por base el número e.

Cambio de base:

Clases de logaritmos:

Desplazamientos:Si a la función logarítmica se le suma en un paréntesis una número este realiza un desplazamiento horizontal hacia la izquierda, mientras que si se le resta a la variable x dentro del paréntesis hará un desplazamiento horizontal hacia la derecha.

Ej:

Si a la función se le suma un número, se desplaza verticalmente hacia arriba y si se le resta a la función un numero esta se desplaza verticalmente hacia abajo.

Ej: f(x)= log x+2

Conjunto de salida=D=[-3,00)

Conjunto de llegada=R=IR

Punto de Corte con x=-2

Punto de corte Corte con y= 1,3

F(x)>0 x€(-2,00)

F(x)<0 x €(-3,00)

Asíntota en x= -4

Función exponencial

la función exponencial, es la funcion real y=ax donde a pertenece a IR, Esta función tiene por dominio el conjunto de los números reales, f(x)=ax .

Conjunto de salida=IR=dominio

Conjunto de llegada= IR

Rango= {[0,00)}

Punto de corte con x= no hay en este caso

Punto de corte con Y= 1

Decreciente si 0<a<1

Propiedades:Dominio: IRRango : IR positivosEs continua Los puntos (0, 1) y (1, a) son fijos.Creciente si a >1.Decreciente si a < 1.

Si se le suma a la función un número, este realiza un desplazamiento vertical hacia arriba, si se le resta un número a la función este se desplaza verticalmente hacia abajo. Solo cambia el rango.

Ej: +2

Si se le suma a la variable x un número este se desplaza horizontalmente hacia la izquierda, si se le resta un número este se desplaza hacia la derecha. Cambiaría el punto de corte con y.

Ej :

Conjunto de salida=D=IR

Conjunto de LLegada=IR

R={[3,00)}

Punto de corte con x no hay

Punto de corte con y= 4

F(x)>0 xE(IR)

F(x)<0 no hay

Asintota horizontal en y= 3

Función racionalLa función racional es una función expresada de la forma: en que P(x) y Q(x) son polinomios con una variable desconocida. Es una fracción, Por este motivo están definidas y tienen su dominio en todos los números que no anulan el polinomio denominador, que no hacen que el denominador sea 0.

Propiedades:1.Tiene dominio que no incluya las raíces del polinómio Q(x).que sería una asíntota horizontal.2. tienen una asíntota vertical y horizontal,

Y=P(X)

Q(X)

Propiedades:

(x+2) (x−2)

(2x+3) (x−1)

Raíces: estas se hallan factorizando dependiendo de la ecuación de la función, se iguala y a cero y con ello se hallan las raíces, tanto del denominador como la del nominador. Las raíces que hacen del denominador cero, se convierten en asíntotas verticales.

F(x)=

Raícesnumerador: x=2,x=-2Denominador= x=-3/2,x=1(asíntotas)

Dominio: {IR - ( asíntotas)} Se puede definir como un numero x no igual a 1 o negativo 3.

D={x/x A IR ; x≠-3 x≠1} ∈ ∧

características:1.El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulan el denominador.2. Para cada valor de x que anula el denominador tenemos una asíntota vertical: Q(a)=0 « x=a es una asíntota vertical de f(x).3. Si x=a es una raíz simple de Q(x)=0, la asíntota x=a tienen sentidos distintos, una hacia +00 y la otra a -00. 4. Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x) existe una asíntota oblicua.5. Si P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, hay una asíntota horizontal en y=m/n siendo m y n los coeficientes respectivamente.6. Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asíntota horizontal en y=0.

1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal.3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales.

Raices(puntos de corte con xnumerador: x=2,x=-2Denominador= x=-3/2,x=1

Función a trozos

Cuando definimos una función con expresiones parciales y se especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una función a trozos. También puede ser la combinación de una o más funciones.

Más estas difieren en sus partes por el dominio.

Por ejemplo:

Se divide principalmente en dos:

La función mantisa y la función signo.

Dominio= IRConjunto de salida= IRRango 1= {[0, -00), Rango 2= {[0,1]}, rango 3={(1,00)}Conjunto de llegada= IR

Función mantisaes una función periódica de periodo 1, ya que f (x) = f (x + 1) = f (x + 2) = f (x + 3)... = f (x + n), que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera.

)()( xExxf dominio= (-∞, ∞) rango= [0, 1).Conjunto de salida=IRConjunto de llegada = IR

• Desplazamiento horizontal: y=x+1-E(X+1)

Se desplaza 1 unidad a la derecha.

Desplazamiento vertical:

F(x)=x+0.5-E(x)

Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= [0.5, 1.5]Conjunto de llegada= IR

Función signo

es una función matemática que obtiene el signo de cualquier número real que se tome por entrada. Se representa generalmente mediante sgn(x).

*Como parte de la función valor absoluto posee: dominio=IR-{0} y Rango ={-1,1}.

Propiedades:

La función signo es una función impar

Todo número real x puede expresarse como producto de su valor absoluto y la función signo evaluada en x.

Dominio= IR

Rango= ´{-1,0,1}

Conjunto de salida=IR

Conjunto de llegada=IR

Ejemplo:

Desplazamiento horizontal:

F(x)=sgn(x+2)

Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= {0, 1}Conjunto de llegada= IR F(x){2 si x>2 , -2 si x<2, 0 si x=2

Funciones trigonométricas

Generalidades, ¿qué son?

seno tangentecoseno secantecotangente cosecante

Características y generalidades

Las funciones trigonométricas, son relaciones angulares, con relación al triangulo.

Dependen del circulo goniométrico:O de un circulo inscrito en el plano, con ángulo inscrito dentro del circulo. Es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0).En el se da un triangulo rectángulo de catetos x y y, cuya hipotenusa tiene longitud 1. la ecuación:

Ecuaciones trigonométricas en el triangulo:

Identidades reciprocas y ecuaciones:

Características Dominio:

Sen θ y cos θ= IR

Tan θ y csc θ={2n + } 2Sec y cot= IR menos n

Función seno

La gráfica de la función seno consiste una línea curva que tiene una curvatura que se repite por determinado periodo se define por la siguiente ecuación:

Conjunto de salida: IR = dominio Amplitud: 1

Conjunto de llegada= IR Periodo: 2 π

Rango= {-1,1}Máximos en x= (π/2+2n π)Mínimos en x= (3π/2 +2n π)Punto de corte con y= 0

Punto de corte con x= {n π ··. n £Z }

f(x) = sen x

DESPLAZAMIENTO

)( nxseny

Conjunto de salida=dominio= IRConjunto de llegada=IRRango={-1,1}Puntos de corte con x= πn-(π)Punto de corte con y=0Periodo=2πAmplitud=1

DESPLAZAMIENTO VERTICAL

nsenxy

Conjunto de salida=dominio= IRConjunto de llegada=IRRango={2,4}Puntos de corte con x no hayPunto de corte con y=3Periodo=2πAmplitud=1

Ampliación del periodosennxy

Conjunto de salida=dominio= IRConjunto de llegada=IRRango={-1,1}Puntos de corte con x= π/2nPunto de corte con y=0Periodo=πAmplitud=1

Si se multiplica por un número natural, el periodo se hace menor, si se multiplica por un número entero se hace mayor.

Dominio= IR punto de corte con x en x=

Rango ={-1,1}

Periodo= 2 π

Máximos en x=

Mínimos en =

Amplitud=1

Para la función coseno consta de las siguientes características:

)12(2

n

)2( n

)12( n xcos =yc

bcos

La gráfica de la función coseno consiste una línea curva que tiene una curvatura que se repite por determinado periodo se define por la siguiente ecuación:

Desplazamiento vertical

Cambio de periodo

Cambio de amplitudDesplazamiento horizontal

b + x cos = f(x) Donde b es un número IR.

En este caso la onda se desplaza hacia abajo, la cantidad “b”

Dominio= IRRango= (-4,-2)Periodo=2Puntos de corte con x en x=Máximos en x = Mínimos=Amplitud= 1

)12(

2n

)2( n)12( n

3- x cos = f(x)

(ax) cos = f(x) En este caso, si a> 1 hay un menor periodo, y si es menor que uno, hay un mayor periodo

Ejemplo:

x)2

1( cos = f(x)

Dominio= IR

Rango= {-1,1}

Periodo= 4

Amplitud= 1)4( nMáximos en x = Mínimos= )22( n

)12( nPuntos de corte con x=

cos(x) a = f(x) En este caso, si a en mayor que uno, la amplitud aumenta, y si es menor, disminuye.

Cambia el rango y la amplitud, en comparación con la función coseno original

cos(x) 2 = f(x)Rango= (-2,2)

Amplitud= 4

Solo cambio la amplitud y por ende el rango

b)(x cos = f(x) En este caso, la onda se desplaza horizontalmente. Si b es positivo, se desplaza a la izquierda, si es negativo se desplaza a la derecha

Cambian los puntos de corte con “x” y con “y”, no cambia el periodo, no cambia la amplitud, no cambia el rango, ni dominio, ni conjunto de salida ni llegada. Cambia la ubicación de los máximos y mínimos.

Ejemplo:

1)(x cos = f(x)

Dominio= IRRango= (-1,1)Periodo=2Puntos de corte con x en x=Amplitud= 2

1)12(

2

n 1, es la distancia que se corrió hacia la

izquierda. Es en la onda no modificada)12(2

n

coseno

Función tangente

La gráfica de la función tangente consiste una serie de líneas curvas en sentido horizontal que tiene una curvatura que se repite por determinado periodo se define por la siguiente ecuación:

Conjunto de salida: IR - [(2k+1).pi/2, k e Z] = dominio{n π ··. n £Z }

Conjunto de llegada= IR Periodo: π rad

Rango= IR

Punto de corte con y= 0

Punto de corte con x= {n .·. π, n £Z }

f(x) = tan x

tangente

Función cotangente

La gráfica de la función cotangente consiste una serie de líneas curvas en sentido horizontal que tiene una curvatura que se repite por determinado periodo se define por la siguiente ecuación:

Conjunto de salida: {IR - [(2n+1). π /2 .·. n E Z]} = dominio

Conjunto de llegada= IR Periodo: π rad

Rango= IR

Punto de corte con y= 0

Punto de corte con x = {π/2+n}

f(x) = ctg x

cotangente

Función secante

La gráfica de la función secante consiste una serie de parábolas en sentido vertical que se repite por determinado periodo se define por la siguiente ecuación:

Conjunto de salida: {IR - [(2n+1). π /2.·. n E Z]} = dominio

Conjunto de llegada= IR Periodo: 2 π rad

Rango= (− ∞, −1] U [1, ∞)

Punto de corte con y= 1

Punto de corte con x= no hay

f(x) = sec x

Asíntotas en x= π/2(2n-1)Máximos=(2 πn,-1)Mínimos= (π(2n+1),-1)

xxf sec)(

)sec( nxy

DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL

Conjunto de salida=dominio= IRConjunto de llegada=IRRango={IR-[-1,1]}Puntos de corte con x no tienePunto de corte con y no tienePeriodo=2π

DESPLAZAMIENTO VERTICALnxy sec

Conjunto de salida=dominio= IRConjunto de llegada=IRRango={IR-[1,3]}Asíntotas en x=π/2(2n-1)Punto de corte con y=3Periodo=2π

AMPLIACIÓNxny sec

Conjunto de salida=dominio= IRConjunto de llegada=IRRango={IR-[-3,3]}Puntos de corte con x no hayPunto de corte con y=3Periodo=2πAmplitud=3

DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL)csc()( nxxf

Conjunto de salida=dominio= IRConjunto de llegada=IRRango={IR-[-1,1]}Puntos de corte con x no hayPunto de corte con y no hayPeriodo=2π

Función cosecante

Conjunto de salida: {IR - [n. π.·.n E Z]} = dominio

Conjunto de llegada= IR Periodo: 2 π rad

Rango={ (− ∞, −1] U [1, ∞)}

Punto de corte con y= no hay

Punto de corte con x= no hay

f(x) = csc x

La función cosecante consiste en la razón trigonométrica recíproca del seno, o también su inverso multiplicativo:

Asíntotas en x=n πMáximos=(3 π/2+2 πn,-1)Mínimos=(π/2+2 πn,-1)

cosecante

DESPLAZAMIENTO VERTICAL nxxf csc)(

Conjunto de salida=dominio= IRConjunto de llegada=IRRango={IR-[1,3]}Punto de corte con y no hayPeriodo=2πPuntos de corte con x={(2n+1) π/2}

Ocurre cuando se lo sumas o restas a la función.

Amplitud xnxf csc)(

Conjunto de salida=dominio= IRConjunto de llegada=IRRango={IR-[-3,3]}Puntos de corte con x no hay ni en y.Periodo=2π

cambio del periodonxxf csc)(

Conjunto de salida=dominio= IRConjunto de llegada=IRRango={IR-[-1,1]}Puntos de corte con x no hay ni con y.Periodo=4π

Referencias de consulta• http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_de_tercer_grado • http://es.wikipedia.org/wiki/Función_cuadrática • http://es.wikipedia.org/wiki/Función_matemática • http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones.htm • http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/estructural/libro/

estructural/node29.html• http://www.vitutor.com/fun/2/c_12.html • http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/

T3_Funcion_Logaritmica.htm • http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html • http://es.wikipedia.org/wiki/Función_trigonométrica