Una funcinf(x, y)eshomognea de grado n si para un nmero realnsatisface la siguiente identidad:f(tx, ty)= tnf(x,y)Veamos con ejemplos si la funcin es homognea o no.a) f( x,y) = x2y - 4x3+ 3xy2es una funcin homognea de grado 3 porque:

b)f(x,y) = xex/y+ ysen (y/x)es una funcin homognea de grado 1 porque:c)f(x,y) = x + y2no es homognea porquef(tx, ty) = tx + t2y2t(x + ty2) tn(x + y2)d) f( x, y) = x22xy Es homognea de gradof(tx, ty) = (tx)2+ 2(tx)(ty)f(tx, ty) = t2(x2+ 2xy)e) f(x,y) = x3y - xy3+ 5 No es homognea (verificar)En una mayora de casos se puede verificar si una funcin es homognea si observas el grado de cada trmino de la funcin. Como ejemplo a lo anterior veamos ejemplos:f(x,y) = x2y + y2x + y3.Elgrado de los 3 trminos es 3 por tanto es homognea de grado 3f(x,y) = x5+ 12 xy. Esta funcin tiene dos trminos degrado 5 y 2 respectivamente por tanto no es homognea.Ahora veamos si una ecuacin diferencial es homogneas.DEFINICION DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS:Si la ecuacin diferencial tiene la forma:M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0Y cumple con la propiedad:

Se dice que la ecuacin diferencial es homognea siempre y cuando tienen el mismo grado n.Mtodo de solucin de una ecuacin diferencial homogneaSi la ecuacin diferencial tiene el mismo grado de homogeneidad se pueden reducir a una ecuacin de separacin de variables utilizando una sustitucin y= ux o x = vy Donde u y v son variables dependientes.Si elegimos y= ux entonces

Y por tanto por homogeneidad la ecuacin se transforma a variables separadas y procedemos a resolverla con los procedimientos para separacin de variables, explicado con anterioridad en el modulo.Veamos lo anterior con ejemplos:Ejemplo:

AquM = y2y N = x2- xy. Ambas son homogneas y de segundo grado "X" y "Y". Adems tenemos.

Integrando se tiene:Pero u= y/xLuego la solucin general es:y = c ey/xEl aprendizaje significativo permite al estudiante, tener mayor conciencia sobre lo que se aprende y de los procesos que utiliza para su consolidacin, as como darse cuenta del arsenal de herramientas disponibles para abordar los retos.Ecuaciones Homogneas.Son de la formay' = f(y/x)Se hace el cambio de la funcin y(x) por u(x) mediante y=ux, transformndose as la E.D. en una de variables separadas.Ejemplo:resolver la ecuacinxy2(dy/dx) = y3- x3La ecuacin la escribimosxy2dy = (y3- x3)dxComo es una ecuacin diferencial homognea de grado 3 sustituimospor tantoHaciendo distribucin y reduciendo la ecuacin se tiene:

Funcin Homognea Decimos que una funcin (x,y) es homognea de grado 'n' si: Ejemplo # 1 Determine si la funcin es homognea: Solucin: Por lo tanto

La funcin es Homognea de grado 3Ejemplo 2 Determine si la funcin es homognea: Solucin:

Por lo tanto

La funcin es Homognea de grado 0

Ejemplo 3Determinar si la funcin es homognea para:

Probamos,cancelamos "t"

Respuesta Final:

entonces podemos decir quepor lo tanto es una funcin Homognea de grado 0.WCEjemplo 4Determinar si la funcin es homognea para:

Probamos,Respuesta Final:

no es igual a

Para que una expresin pueda ser una funcin homognea esta tiene que tener el mismo grado en el numerador como en el denominador, por lo tanto podemos decir que esta ecuacin NO ES HOMOGNEA.WCECUACIN DIFERENCIAL HOMOGNEA Una EDO es homognea si se puede llegar a escribir de alguna de las formas siguientes: con f(x,y) funcin Homognea de cualquier grado.

con f(x,y) y g(x,y) funciones homogneas del mismo gradoAlgoritmo de Solucin

1) Comprobar que la EDO es homognea

2) Proponemos:

por lo que tenemos:

3)Sustituimos en la EDO (Nos quedar una EDO Separable)

4) Resolvemos para Z(x)

5) Restituimos para Y(x)

Ejemplo 1

Resolver:

Solucin:Siguiendo el algoritmo de solucin:P.1) EDO homognea de grado 0P.2) Proponemos:

por lo que tenemos:

P.3) Sustituimos en la EDO:

P.4) Resolvemos para Z(x):

P.5) Sustituimos para Y(x):

Ejemplo 2

Resolver:Solucion:P.1) comprobamos que es una Ecuacion Homogenia por que tenemos

de la ecuacion

P.2)sustituimmos:

por lo que tenemos:

P.3)

| | *

| |

P.4)

P.5)