FACULTAD DE INGENIERA CIVIL SISTEMAS Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

FISICA II

TEMA: FUERZAS SOBRE PLACAS SUMERGIDAS PLANASDOCENTE:DELGADO WONG, MARTINALUMNOS: Anastacio Meja, Jess Alonso (101527-E) Correa Barrios, Angel Omar (105543-E) Echegaray Salcedo, Alejandro (091964-I) Guevara Barrera, Jorge Ysrael (105123-F) Llatas Cancino, Dahlberg de Tournefort (101950-E) Mendoza Rojas, Cecilia Andrena (105597-H) Portocarrero Alarcn, Luz Edith (102140-G) Quintos Coronado, Alex Ivan (100620-A) Vsquez Ordoez, Ana Rosa (102360-G)

Lambayeque, Julio del 2012INDICEINDICE3INTRODUCCIN4OBJETIVOS4FUERZAS SOBRE PLACAS SUMERGIDAS PLANAS5SUPERFICIES HORIZONTALES5SUPERFICIES VERTICALES6SUPERFICIES INCLINADAS8CENTRO DE PRESIONES13PRISMA DE PRESIONES15EFECTOS DE LA PRESIN ATMOSFRICA SOBRE LAS FUERZAS QUE ACTAN SOBRE SUPERFICIES PLANAS16EJERCICIOS17

1. INTRODUCCION

Un ingeniero debe calcular las fuerzas ejercidas por los fluidos con el fin de poder disear satisfactoriamente las estructuras que las contienen como presas, tanques y obras de descarga, como compuertas.

Para el desarrollo del tema debemos saber que en caso de superficies horizontales, la determinacin de la presin, es sencilla porque la presin es constante pero en caso de determinar la fuerza de presin sobre las superficies inclinadas o verticales han de aplicarse los conceptos de clculo integral.

Los conceptos a desarrollar seguidamente resultan importantes para el desarrollo de los mltiples problemas que se nos presenten.

2. OBJETIVOS

Determinar las fuerzas ejercidas por el fluido sobre la superficie planas sumergidas.

Calculo del centro de presiones como del prisma de presiones para la solucin de diversos tipos de problemas.

3. FUERZAS SOBRE PLACAS SUMERGIDAS PLANAS

a) SUPERFICIES HORIZONTALES:

Consideremos el estanque de la figura, el que contiene un lquido de densidad r.

Determinemos la fuerza de presin del lquido sobre el fondo.

La fuerza de presin est dada por F = p A.

Trabajando con presiones relativas:p = rgh y A = ab

De este modo, la fuerza de presin es:F = rghab

Pero hab corresponde al volumen del lquido sobre la superficie, V, o sea tenemos:F = rgV

Pero rV es la masa del lquido sobre la superficie, m, quedando la fuerza:F = mg

Resultando que la fuerza de presin sobre una superficie horizontal es igual al peso del fluido sobre ella.Fv = Peso del lquido sobre la superficie

Consideremos el caso en que el lquido est debajo de la superficie.

Calculemos la fuerza de presin del lquido sobre la superficie 1.

Trabajemos con presiones relativas. La superficie se encuentra a una profundidad h1 de la superficie libre del lquido. La presin del lquido a una profundidad h1 es:p = gh1

Y el rea de la superficie en la que acta esta presin es A = bc.

De este modo, la fuerza de presin es:F = gh1bc

Pero h1bc corresponde al volumen un volumen sobre la superficie:F = gh1bc

Pero h1bc corresponde al volumen un volumen sobre la superficie que estamos calculando la fuerza, Vsobre:

F = gVsobreF = msobreqF = Psobre

O sea, la fuerza de presin corresponde al peso del volumen de lquido que estara entre la superficie en la cual estamos calculando la fuerza hasta el nivel de la superficie libre.

b) SUPERFICIES VERTICALES:

Determinemos ahora la fuerza sobre una pared vertical. Consideremos para ello la superficie 2 del estanque.

La presin en el punto (1) es p1 = gh1La presin en el punto (2) es p2 = g(h1+h2)

Se genera el siguiente prisma de presiones:

La fuerza de presin corresponde al volumen del prisma de presiones, VP :F = VP

VP = (p1+p2) bh2

Reemplazando los valores de p1 y p2:

VP = g(2h1+h2)bh2FP = g(2h1+h2)bh2

El resultado que la fuerza de presin corresponde al volumen del prisma de presiones puede generalizarse para cualquier forma de la superficie plana.

c) SUPERFICIES INCLINADAS:

Sobre la superficie, debido a la accin de la presion hidrostatica, aparecera una fuerza normal a la misma. La presion hidrostatica dependen de la profundidad,tendremos:

Integrando a toda la superficie:

yCDG.A

Si llamamos a la profundidad del centro de gravedad de la superficie sumergida:F= . yCDG.A=( yCDG).A=.hCDG.AF=.hCDG.A

La fuerza resultante sobre uan superficie inclinada es iagul a lapresion hidorstatica sobre el CDG multiplicado por el area de la misma.

Es un error muy comn confundir yCDG con hCDG. La primera es la distancia al CDG medido sobre la propia superficie, la segunda, la profundidad del CDG desde la superficie libre.

El punto de aplicacin de esta fuerza, que ser normal a la superficie, lo calculamos de igual modo que el caso anterior.F.yc =Suponiendo que la superficie inclinada es plana y se mantiene el ngulo constante.(.hCDG.A).yc=(.yCDG.sin.A).yC=sinyC= / yCDG .A yC= IXX/ yCDG .A

Que como podemos ver,coincide ccon la expresion para la superficie verticales. Hay que notar que yc se mide sobre la superficie inclinad. Y a esra expresion le podemos aplicar tambien Steiner, con lo que las expresiones quedan tambien como:yC= yCDG + IXX/ yCDG .AyC= x CDG + IXX/ yCDG .A

la superficies inclinadas son la generalizacion de las veticales, por lo tanto, estas son solo uanparticularidad para angulo 90.Tambin podramos entender la fuerza sobre una superficie inclinada como la suma de dos fuerzas, una vertical, debido al peso del lquido sobre la superficie, y otra horizontal, debida a la presin hidrosttica sobre la proyeccin de la superficie sobre la vertical.

Yc coincide tambin en ambos caos ya que depende de los mismos parmetros, A, yCDG y Ixx y en ambos casos son los mismos.

1 2 ambas fuerzas resultantes coinciden en modulo y direccin, pero tiene sentidos contrarios.

El mdulo de las fuerzas resultantes es igual, ya que esta solo depende de hCDG y de A, y en ambos casos son el mismo:

Tal como ya se ha comentado, la fuerza resultante sobre una superficie inclinada se puede descomponer en dos componentes:

FV : Una fuerza vertical, debido al peso del fluido sobre la superficie FH : Una horizontal equivalente a la presin hidrosttica sobre la superficie vertical proyeccin.

La FH, como era de esperar, coincide en ambas configuraciones.Si se ha de cumplir que:

Como FH1=FH2 forzosamente se cumplir que FV1=FV2 por tanto:

Es decir, FV2 es igual al peso del lquido imaginario sobre la superficie. Este lquido tendr la misma superficie libre que el que ocupa el lado derecho de la superficie.

Las coordenadas del centro de las presiones coinciden con las coordenadas correspondientes a cada una de las componentes:

La profundidad a la que se encuentra el centro de presiones coincidir con la yc de la superficie vertical proyectada. La coordenada xc coincidir con la coordenada XCDG del volumen de fluido (real o imaginario) sobre la superficie.

d) CENTRO DE PRESIONES:

El centro de presin es aquel punto sobre un rea en el que se puede suponer que acta la fuerza resultante para tener el mismo efecto que la fuerza distribuida sobre el rea entera, debido a la presin del fluido. Podemos expresar este efecto en trminos del momento de una fuerza con respecto de un eje que pasa por el punto S.

De acuerdo a la figura el momento de cada pequea fuerza, dF, con respecto de este eje es:dM = Df . y

Pero Df = (y sen)(dA). Entonces:

dM = y[(y sen)(dA)] = sen (y2dA)

El momento de todas las fuerzas que actan sobre el rea completa se encuentra integrando sobre el rea. Ahora bien, si suponemos que la fuerza resultante, FR, acta en el centro de presin, su momento con respecto del eje que pasa a travs de S es FRLP. Entonces:

De nuevo de la teora de la mecnica sabemos que se define como el momento de inercia I del rea completa con respecto del eje desde el cual se mide y. Entonces:

Resolviendo para LP se obtiene:

Sustituyendo la expresin para de la ecuacin anterior, se obtiene:

Se puede desarrollar una ecuacin ms conveniente mediante el uso del teorema de la transferencia para el momento de inercia de la mecnica. Esto es:

En la que es el momento de inercia del rea de inters con respecto de su propio eje centroidal, y es la distancia del eje de referencia al centroide. La ecuacin queda como:

Reordenando trminos obtenemos la misma forma de la ecuacin:

e) PRISMA DE PRESIONES:

Otro enfoque al problema de determinar la fuerza resultante y la lnea de accin de la fuerzas sobre una superficie plana est dado por el concepto de un prisma de presin. Este es un volumen prismtico con su base conformada por el rea superficial dada y con altitud sobre cualquier punto de la base dada por p=h, h es la distancia vertical hasta la superficie libre como se observa en la figura.(Se puede Utilizar una superficie libre imaginaria para definirh si no existe unasuperficie libre real).En lafigura, h puede dibujarse en cualquier escala conveniente, de tal manera que sutraza sea OM.

La fuerza que acta sobre unelemento derea diferencial A es:F = hA = V

El cual es unelemento de volumen del prisma de presin.Despus de integrar, F =V,el volumen del prima de presin es igual a la magnitud de la fuerza resultante que acta en uno delos ladosde lasuperficie.Y tememosque:xp= 1/V V xdV y yp= 1/V V y dV

Lo cual muestra quexp y yp son las distancias al centroide del prima de presin, porconsiguiente, la lnea de accin de la resultante pasa a travs del centroide del prisma de presin.Paraalgunasreassimples,elprisma depresines msconvenientequela integracin oque el uso deecuaciones.Por ejemplo un rea rectangular conuno de sus bordes enla superficie libre tiene un prisma en forma de cua.Su centroideest a 1/3de la altitud desde la base; por consiguiente, el centro de presinse encuentra a 1/3 de la altitud desde su borde ms bajo.

f) EFECTOS DE LA PRESIN ATMOSFRICA SOBRE LAS FUERZAS QUE ACTAN SOBRE SUPERFICIES PLANAS:

En la discusin sobre fuerzas de presin, la presin datum no se mencion. Las presiones se calcularon mediante p=h en donde h es la distancia vertical por debajo de la superficie libre. Por consiguiente el datum tomado fue una presin manomtrica 0, o la presin atmosfricalocal. Cuando el lado apuesto de la superficie se encuentra abierto a la atmsfera, se ejerceuna fuerza sobre sta, causada por la atmsfera, igual al producto de la presin atmosfrica p0 y al rea p0A, basado en el 0 absoluto como datum. En el lado lquido la fuerza es:

(p0+ h) dA = p0A + h dA

El efecto dep0A de la atmsfera acta en forma igual a ambos lados y no contribuye a la fuerza resultante o a su localizacin.

Mientras se seleccione la misma presin datum para todos los lados de un cuerpo libre, la fuerza resultante y el momento pueden determinarse construyendo una superficie libre a presin 0 de este datum y utilizando los mtodos anteriores.

g) EJERCICIOS:

Superficies horizontales y verticales:

1) Calcular la magnitud de la fuerza sobre la ventanilla de observacin de vidrio, de 1m de dimetro, de un batscafo en el fondo de la fosa submarina de las Marianas en el Ocano Pacfico cuya profundidad es 10,9 km.

Solucin:

Datos e incgnitas:1030 kg / m3; d=1m; h = 10900m

En la figura se muestra el diagrama de la ventanilla de observacin:

La fuerza hidrosttica sobre la ventanilla ser:FR = pc AFR = w ghCG AFR = (1030)(9,8)(10900)(0.52)FR = 86.4MN

2) Una compuerta rectangular de 1,8 m de longitud y de 1,2 m de altura, est colocada verticalmente con el centro a 2,1 m debajo de la superficie del agua. Determine la magnitud, direccin y localizacin dela fuerza total sobre dicha superficie, debido al agua.

Solucin:

Datos del problemah = 1,2 m; b = 1,8m; FR=??

En la figura se muestra la compuerta sumergida.

La fuerza resultante debido al fluido lquido es:FR = pc AFR = w ghCG AFR = (1000)(9,8)(2.1)(1.2)(1,8)FR = 44452,8N

Su localizacin se determina utilizando la ecuacin:

yCP - yCG = yCP - yCG = yCP - yCG = 0,057m

Superficies inclinadas:

La compuerta triangular CDE tiene sus visagras en C y D y se abre por una fuerza normal P aplicada en E. Encima de ella hay aceite de peso especfico relativo 0.80 y por debajo acta la presin atmosfrica. Despreciando el peso de la compuerta determinar:

(a) El mdulo de la fuerza ejercida sobre la compuerta por integracin y por la frmula de la presin en el centroide del rea(b) La situacin del centro de presiones(c) La fuerza P necesaria para abrir la compuerta

Solucin

(a)

Cuando y=8, x=0, y cuando y=13, x=6; como x varia linealmente con y, tenemos:

Sustituyendo valores para encontrar x en funcion de y. Despejando a y b:

Anlogamente, y=13, x=6, y=18, x=0, x= . De aqu que:

Despus de integrar y sustituyendo por su valor:

(b) Con referencia a los ejes de la figura, 2.0 ,

Es cero debido a la simetra respecto al eje paralelo a x por el centroide; de aqu que .

Es decir, el centro de presiones esta 0.32m por debajo del centroide medido en el plano de la superficie.

(c) Tomando momentos respecto a CD y remplazando la accin del aceite por la resultante:

Centro de presiones:

1) Calcule la altura del agua que genera un empuje hidrosttico de 1872 lb sobre una compuerta plana, rectangular y vertical de 50 cm de ancho. Dibuje el esquema que representa la distribucin de presiones e indique el punto sobre el cual se aplicara dicho Empuje.

h = 1.84 mYk = 1.23 mE = 850 kgbh

Datos:

E = 1872 lb = 850 kgb = 50 cm = 0.5 mPe = 1000 kg/m3h = ?Yk= ?

2) Calcule el ancho que debe tener una compuerta plana, rectangular y vertical para soportar un empuje hidrosttico de 153.6 kg de un lquido cuyo peso especfico es de 9310 N/m3, si la altura del agua coincide con la altura de la compuerta y es de 35.4 pulg. Determine la altura a la cual se localiza el centro de presiones sobre la compuerta.

h = 0.9 mYk = 0.6 mE = 153.6 kgbh

Datos:

E = 153.6 kgPe = 9310 N/m3 = 950 kg/m3h = 35.4 pulg = 0.9 mb = ?Yk= ?

3) Calcule el Empuje hidrosttico que se genera sobre una compuerta plana y vertical de forma trapezoidal, donde la base mayor mide 1.2 m y la base menor mide 80 cm. La altura de agua coincide con la altura de la compuerta y es igual a 1.5 m. Calcule el centro de presiones del Empuje hidrosttico.

bh B

h = 1.5 mYk = 1.03 mE = 1200 kg

Datos:

26B = 1.2 mb = 80 cm = 0.8 mh = 1.5 mPe = 1000 kg/m3E = ?Yk = ?

Utilizando la Ecuacin General:

Si la compuerta es vertical =90 entonces el Sen 90 = 1

Utilizando la ecuacin particular:

4) Calcule la altura de agua que existe en un dique (desde el fondo hasta la superficie libre del agua), considerando que el agua es retenida por una compuerta plana, vertical y rectangular, con un ancho de 2 m La compuerta se encuentra sumergida bajo una lmina de 50 cm de profundidad. El Empuje hidrosttico generado sobre una compuerta (E) es de 154350 N. Calcule tambin el centro de presiones (yk).

h1 = 4 mYk = 2.65 mE1 = 15750 kgh2 = 0.5 m

b1 = 2 mb2 = 3 mh2 = 50 cm = 0.5 mE1 = 154350 N = 15750 kgPe = 1000 kg/m3h1 =?

h1 = 4 m

yk = 2.65 m

Prisma de presiones:

1) Determinar la resultante de las fuerzas hidrostticas que actan sobre la superficie rectangular de la represa mostrada.

Solucin:

Aqu sern vlidas las conclusiones que obtuvimos para el volumen que representa la distribucin de fuerzas distribuidas. En el caso de fuerzas debidas a la presin de lquidos, dicho volumen recibe el nombre de prisma de presiones.

Magnitud de la resultante: es igual al volumen del prisma de presiones.

Es decir:

Posicin del centro de presin: est dada por las coordenadas de la proyeccin del centroide del prisma de presiones sobre la superficie en la que acta la carga distribuida.

En la siguiente figura se ve claramente que el prisma de presiones es, en este caso, un prisma recto de seccin triangular, por lo que el centroide es fcil de ubicar:

2) La compuerta rectangular mostrada tiene un ancho b=1,5 m y est sumergida en agua (). Calcular la fuerza resultante debida a las fuerzas de presin del lquido sobre la compuerta y su ubicacin.

Solucin:

Sabemos que la representacin de las fuerzas distribuidas por unidad de area constituye un volumen que es denominado prisma de presiones.

La fuerza resultante es igual al volumen de prisma:

La recta de accin de F pasa por el centroide del prisma; dado que el ancho b es constante y en consecuencia el prisma es recto, la distancia H se puede determinar fcilmente a partir de que disponemos del conocimiento de la posicin del centroide del rea trapezoidal.

Finalmente:

3) La compuerta rectangular mostrada tiene un ancho b=3 m y est sumergida en agua ( =1000 kg/m3). Calcular la fuerza resultante debida a las fuerzas de presin del lquido sobre la compuerta y su ubicacin.

Solucin:

Sabemos que la resultante de las fuerzas distribuidas en toda el rea de la compuerta rectangular es igual al volumen del prisma de presiones.

O tambin:

Para la ubicacin del centro de presiones: