placas planas completo

8/19/2019 Placas Planas Completo

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ESTRUCTURAS 4 (C108) PLACAS PLANAS - TEORÍA

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1) PARTICULARIZACIONES DEL PROBLEMA ELÁSTICO

Dado un Sólido Elástico tridimensional, existen numerosos casos especiales o

particularizaciones del Problema Elástico que conducen a tipología estructuralesconocidas. En general, las particularizaciones se definen a partir de condicionesgeométricas (relativas a las dimensiones) y cinemáticas (relativas a las deformaciones).Algunos casos ya analizados en este curso o anteriores de Estructuras son:

- Teoría de Vigas- Problemas planos de Tensiones o Deformaciones.

En este contexto se desarrolla la Teoría de Placas Planas

2) PLACAS PLANAS

La particularización del Problema elástico que conduce a la tipología estructuraldenominada “ PLACA PLANA” se basa en las siguientes hipótesis dimensionales ycinemáticas:

Figura 01

a) Una de las tres dimensiones del cuerpo es mucho menor que los otros dos. Estadimensión mucho menor se denomina “ Espesor (h)”. En este c urso, asumiremos quese trata de la dimensión en dirección Z. Para establecer alguna referencia cualitativa,puede decirse que el espesor puede ser del orden de 1/30 o 1/50 de la menor de lasotras dos dimensiones.

b) Todas las cargas actuantes ( q) sobre la Placa tienen dirección normal al plano de lamisma.

c) Las tensiones normales en dirección del espesor de la placa ( z) son nulas, o almenos despreciables respecto a las correspondientes a las otras dos dimensiones.


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d) En el plano medio, el campo de deformaciones tiene solamente componente segúnel eje Z, es decir, “ w”.

e) Mantenimiento de las secciones planas: Un segmento de línea perpendicular alplano medio en el estado no deformado, se mantiene perpendicular a la superficiedeformada del plano medio. Esta condición cinemática es muy importante dado queimplica, en términos de deformaciones, que:

xz = xz = 0

Figura 02

3) CINEMÁTICA

Disponiendo el sistema de coordenadas XYZ de manera que resulte Z=0 en el planomedio de la placa, las condiciones cinemáticas pueden resumirse de la siguientemanera:

x,y,z: xz = xz = 0

En z=0 (plano medio): u=v=0, w=w(x,y) (solución)

A partir de las hipótesis anteriores, los desplazamientos u(x,y,z),v(x,y,z) en los planosfuera del plano medio pueden obtenerse a partir de la cinemática planteada en la Figura03:


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Figura 03

Observando los signos de las derivadas (que son negativas tal como están dibujadas) ydesplazamientos. Se puede escribir:

= = (Relaciones que cumplen la condición de que u=v=o en z=0 )

Si se observa desde arriba elementos cuadrangulares situados en el plano medio,superior e inferior al mismo, idénticos en el estado indeformado, se aprecia que para elestado deformado, no hay cambio en la posición para el que se encuentra ubicado en elplano medio, pero sí para los ubicados en valores no nulos de z:

Figura 04

Plano medio, z=0: Celeste (ABCD)Plano superior, z=h/2: Verde (A´B´C´D´)Plano inferior, z=-h/2: Naranja (A´´B´´C´´D´´)


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Las deformaciones específicas valen, como se dedujo en el módulo de Deformaciones:

= , = , =

+

Introduciendo las relaciones (1) y (2):

= = =

=

= + = 4) RELACIÓN CONSTITUTIVA, TENSIONES y ESFUERZOS INTERNOS

Cuando se consideran las condiciones planteadas para el problema en términos dedeformaciones, resumidas en:

x,y,z: xz = xz = z = 0

Resulta evidente que se trata de un PROBLEMA PLANO DE TENSIONES, en el plano XY.Por lo tanto, y como ya se analizó en el módulo de Relaciones Constitutivas, lasrelaciones entre tensiones y deformaciones quedan definidas por:

= Expandiendo las expresiones de la ecuación matricial, e introduciendo las relacionescinemáticas particulares del problema tratado (placas planas), se obtiene:


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= ( + )= + = ( + )= +

= = Recordando la expresión de G, y operando convenientemente sobre ella, se tiene:

= += += Quedando finalmente:

= = ( )( ) Se aprecia que todas las tensiones obtenidas varían linealmente en el espesor de la

placa. Los gráficos correspondientes se muestran en la Figura 05:

Figura 05

Para obtener los Esfuerzos Internos Mx, My, Mxy, es necesario desarrollar la integralde las tensiones en la altura. Queda entonces:

=∫ = + ∫


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Siendo:

∫ = =

→ = + Definiendo la RIGIDEZ de la Placa “N”:

=

E integrando de manera análoga las tensiones y, xy para obtener los momentos My,Mxy, se obtiene:

=+

=+

= Adicionalmente, de manera análoga a lo que sucede en las vigas, aparecen tensiones decorte verticales que generan Esfuerzos de Corte . Estas tensiones no tienen un correlatocon las distorsiones, es decir que existe una incongruencia (leve) en la hipótesis demantenimiento de las secciones planas. Esta situación es análoga a la que se se presentaen la teoría de Vigas de Bernouilli, y para placas de altura moderada respecto a susdimensiones planas, no reviste mayor importancia.

La Figura 06 muestra estos esfuerzos y las tensiones que los originan:


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Figura 06

Quedan, en total, 5 Esfuerzos Internos:

ESFUERZOS INTERNOS:

- Momentos Flectores: Mx, My- Momentos Torsores: Mxy = Myx- Esfuerzos de Corte: Qx, Qy

5) EQUILIBRIO

Dibujando un elemento diferencial de placa con todos los esfuerzos internos queactúan, y considerando el caso de carga distribuida q(x,y), se tiene la situación quemuestra la Figura 07 (donde se ha desdoblado el elemento diferencial para mostrar porseparado momentos y fuerzas, que en realidad actúan todos juntos). El elementodiferencial mide “ dx” por “ dy”.

Figura 07

Es necesario plantear tres ecuaciones de equilibrio: dos de momentos y una de fuerzas.


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Equilibrio de momentos:Proyectando vectores momento en el eje Y:

+ + + =

En la ecuación de equilibrio entran también términos con el producto de tresdiferenciales, pero se los desprecia por ser de orden superior. Cancelando los términosque suman y restan (Mx, Myx), y simplifinndo el factor común (dx.dy) queda:

=+ Análogamente, proyectando vectores momento en el eje Y, se llega a:

=+ Estas dos expresiones permiten obtener los cortes en función de los momentos. Esinteresante obtener expresiones de los cortes en función de derivadas deldesplazamiento w(x,y). Usando las tres expresiones de la página 6, se obtiene:

=+= + = + + = +

+

= + Y, análogamente:

= +


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Equilibrio de Fuerzas:

+ + += →

=+ Introduciendo (1) y (2) en (3):

=+ + + =+ + + Como Mxy = Myx, queda finalmente la

Ecuación Diferencial de Equilibrio:

=+

+ 6) ECUACIÓN DE GERMAIN-LAGRANGE

Para obtener la ecuación diferencial de la placa elástica, se introducen en la ecuación deequilibrio las expresiones de Mx, My, Mxy en función de los desplazamientos w(x,y):

= + +

+ + →= + +

+ + →


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= + + + →

+ + =

O, utilizando el operador Laplaciano doble:

= =

Que es la denominada Ecuación Diferencial de Germain-Lagrange, cuya solución, unavez aplicadas las condiciones de contorno, describen los desplazamientos verticales decualquier punto del dominio

7) CONDICIONES DE CONTORNO

La resolución del problema de la Placa plana requiere el cumplimiento de lascondiciones de contorno, que normalmente se formulan en términos cinemáticos(desplazamientos y/o giros)

Los tipos de apoyo son una extensión dimensional de los aplicados en estructuras debarras, a saber:

a) Simple o continuo: w=0b) Empotrado: w=o, w´=0 (tangente nula en la dirección normal al apoyo)

Por otra parte, es necesario calcular las reacciones sobre estos apoyos, o en general enuna porción determinada del contorno (no en el interior de la placa). Para esto, seprocede analizando el equilibrio en un sector como el que se muestra en la Figura 08,

donde se asume que el eje Y es un borde o apoyo de la placa:


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Figura 08

Se plantea el equilibrio de momentos respecto al eje BB. Como el eje Y es un Apoyo, en elmismo no actúan los esfuerzos internos considerados anteriormente, sino las

Reacciones de Borde: FUERZAS Rx, y MOMENTOS Mo

El equilibrio de momentos respecto a BB se traduce (despreciando diferenciales de segundoorden) en la ecuación:

++ = Cancelando los ( Mo dy) , y simplificando ( dx dy) , queda:

+= → = Pero aplicando la ecuación de equilibrio (1), se puede reemplazar:=

Quedando finalmente:

= Y análogamente, considerando el caso en que el apoyo es el eje X::=


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De estas ecuaciones, que permiten obtener los valores de las reacciones en los bordes de laplaca (asumiendo que los mismos son paralelos a los ejes principales X o Y), se pueden extarerdos conclusiones físicamente importantes:

a) Las Reacciones de apoyo en términos de FUERZAS (Rx, Ry), permiten equilibrarsimultáneamente no solamente los esfuerzos de internos de Corte, sino también el

Momento Torsor . Esto mismo puede verse en numerosos textos explicado a partir de ladescomposición del Torsor en pares de fuerzas a distancias diferenciales, pero no esnecesario recurrir a esa figura, como se ha visto en la deducción anterior.

b) Las reacciones de apoyo en términos de MOMENTOS (Mo), no influyen en lasreacciones en términos de Fuerzas, y sencillamente serán iguales al Momento internoMx o My en coincidencia con el apoyo.

El análisis anterior es adecuado cuando se tienen bordes lineales, pero cuando se encentrandos bordes en una ESQUINA, surge una particularidad denominada

REACCIÓN DE ESQUINA:

Figura 09

Planteando el equilibrio de fuerzas verticales a nivel diferencial, se observa que la suma defuerzas:

++ + (Observar que se trata de diferenciales de fuerzas)

No puede ser igual a cero en términos generales, es decir que deberá aparecer una fuerza queprovea el equilibrio, y esa fuerza es la REACCIÓN DE ESQUINA, cuya expresión diferencial es:

= ++ +


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Utilizando las expresiones de las reacciones de borde Rx, Ry, se puede condensar la expresióna:

= +

Pero si se considera que Myx =Mxy, el término de la derecha es justamente la expresióngeneral del diferencial de la función Myx=Mxy, quedando:

= + = Integrando en ambos lados:

∫ = =∫ = Pero el hecho de que Mxy = Myx se origina en la igualdad de Cauchy xy = yx , y si se recuerdala convención de signos para tensiones vista en el módulo Tensiones, se verá que la igualdad anivel de tensiones de corte conduce que los momentos torsores “iguales” en la esquina soncomo se muestra en el esquema de la derecha en la Figura 09, en realidad en módulo tienensignos opuestos, ya que Myx A es negativo al tener sentido opuesto al eje X. Resulta por lo tanto,

en módulo:

=| |+| |= | En resumen, en las esquinas se genera una reacción que, en la práctica, siempre es hacia abajo(es decir, “ancla” la esquina de la placa), cuyo valor absoluto es el doble del momento torsor enla esquina, como se muestra en la Figura 10. Esta reacción se produce solamente cuando losbordes que concurren a la esquina son simplemente apoyados, dado que si están empotrados olibres, el torsor Mxy es nulo.

Figura 10


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Ejemplo: Sea una placa rectangular con lados “a” en dirección X, y “b” en dirección Y,simplemente apoyada en sus cuatro bordes, como muestra la figura 11.

Figura 11

En muchas ocasiones, resulta más adecuado partir de una deformada adecuada, y encontrar ladistribución de carga a la que corresponde. Sea entonces un campo de desplazamientos w(x,y),dado por:

= “wo” es el valor máximo de la deformada, o flecha máxima, que ocurre en el centro de la placa,

es decir, en el punto (a/2 , b/2)

Calculando las derivadas necesarias:

= = = =

=

=


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= Planteando la ecuación diferencial de Germain-Lagrange:

+ + == + + El término entre paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto, y entonces queda:

+ + == + Condiciones de contorno:

Para los bordes simplemente apoyados, y como ya se analizó anteriormente, las condiciones aaplicar son:

Bordes x=0, x=a:

= = = = = = = =

Es decir que las condiciones se cumplen automáticamente, por la función desplazamientosw(x,y) elegida

Bordes y=0, y=b:

Es fácil verificar que, de manera análoga, las condiciones de borde se cumplenautomáticamente (hacerlo!)

Inmediatamente se obtiene un primer resultado de interés práctico, que la carga a la quecorresponde el problema responde a la ecuación:

= + =


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Si “qo” es el valor máximo de la carga, al igual que los desplazamientos w, se verifica que ocurreen el centro de la placa, es decir, en el punto (a/2 , b/2).

A partir de esto, se obtiene el primer resultado práctico del problema, que permite obtener laflecha máxima en el centro de placa, a partir del valor máximo de carga (estando implícita,obviamente, su distribución senoidal, es decir, NO es una carga uniforme):

= + Los esfuerzos internos se obtienen:

=+ =

+ +

=+ = + + = =

+

De manera similar se obtienen los cortes Qx, Qy, las reacciones Rx, Ry y la reacción deesquina Re (Hacerlo!)

8) PLACAS PLANAS CIRCULARES CON CARGA AXIALSIMÉTRICA

Cuando la geometría de la placa es circular, resulta conveniente utilizar CoordenadasPolares (r, ) en lugar de rectangulares. Para obtener la Ecuación Diferencial de Germain-Lagrange, se puede partir de la expresión operacional de la misma:

= = En coordenadas polares, el Laplaciano 2 se expresa:

= + Si se considera solamente los estados de carga en que hay simetría respecto al origen,se tiene que las cargas solamente dependen de la coordenada radial “ r”, y por lo tantono hay variación respecto a , quedando:


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= = + Donde las derivadas parciales pasan a ser totales, por tener una sola variable ( r)

Y por lo tanto, el Laplaciano doble:

=+ + Desarrollando:

=+ + = + + + =

= + +[ ]+ = = + + + + =

= + + + + + =

= + ++ +→ Finalmente, se obtiene la ecuación de Germain-Lagrange en coordenadas polares:

= + + = Para obtener la solución, es posible hacer una integración directa dado que se trata de unaecuación diferencial de una sola variable. Es conveniente partir de la expresión

= Aplicándola otra vez, sobre sí misma:

= ={ }= =


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= Integrando en ambos lados:

∫ =∫ → =+→ = +→

∫ =∫ +∫→

=∫ +∫ →= + +→ ∫ =∫ + + → = + + +→ = + + +→

∫ = ∫ + + + → = + + + +→ = + + + +→ = + + + +→ = + + + +→


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Las constantes C 1 y C2 pueden renombrarse, porque deben determinarse a posteriori enfunción de las condiciones de contorno. Haciendo, entonces la reasignación (indicada por

) :

→ → La ecuación general de la placa circular axialsimétrica con carga q constante queda:

= + + + + Y la derivada (pendiente respecto al radio):

= + ++ + Deformaciones Específicas y Tensiones

La Figura 13 muestra el estado tensional que actúa en un elemento diferencial de placa

circular axialsimétrica, cuya planta y corte (indicando la posición del elemento diferencial)se aprecian en el extremo superiorizquierdo de la figura. Por lascondiciones de simetría, y las hipótesisya asumidas para las placas en general,resultan:

== =Figura 13

También por la condición de Axialsimetría, los únicos desplazamientos horizontales

posibles son lo de dirección radial ( u), ya que en dirección tangencial cualquierdesplazamiento no nulo violaría esa condición. No obstante, esto no significa que noexistan deformaciones específicas en dirección tangencial, ya que los desplazamientos


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radiales generan alargamientos tangenciales, para mantener la condición de axialsimetría,tal como muestra la Figura 14.

Figura 14

=∆ ∆ =∆

=∆=∆∆→ = Como por otra parte sigue valiendo:

=→ == Mientras que, por otra parte, y siguiendo las expresiones ya obtenidas en el módulo de

Deformaciones, se puede escribir:

== == Para obtener las tensiones, se debe tener en cuenta que la condición de Estado Plano deTensiones sigue valiendo, con la única salvedad de que el plano está definido por r- enlugar de XY. A continuación se aplica la Ley de Hooke, quedando:

= + = +

= + = +


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Esfuerzos Internos M r, M , Q r

Los momentos flectores se obtienen por integración en el espesor de la placa de lastensiones normales. El procedimiento es totalmente análogo al utilizado en placasrectangulares, quedando:

=∫ = + ∫ Siendo:

∫ = = Y recordando la ya definida RIGIDEZ de la Placa “N”:

= Reemplazando, y operando de manera similar para M , queda:=+

= +

Para obtener una expresiónde Qr, y de maneraanáloga a lo desarrolladoen el caso de placasrectangulares, esnecesario plantear elequilibrio interno a niveldiferencial, actuando los

esfuerzos que semuestran en la Figura 15:

Figura 15


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Proyectando momentos respecto a un plano vertical y perpendicular al radio, en la carasituada a (r + dr), y despreciando a priori los diferenciales de orden superior evidentes(como la carga externa q), queda:

+ +

+ = Simplificando ( dr d queda:

+ = →

= + Expresándolo en términos de w y sus derivadas (por reemplazo de las expresiones de losmomentos anteriormente obtenidas), se obtiene (hacerlo!):

=+ Ejemplo: Placa circular de radio “R” con carga uniforme “q”, empotrada en su perímetro.

Al evaluar la ecuación general, obtenida por integración de la Ecuación de Germain-Lagrange:

= + + + + Se observa que los términos segundo y cuarto no pueden evaluarse en r=0. Como esepunto es parte del dominio del problema, resulta en primera instancia que debe ser:

C1 = C3 =0, quedando:

= + + Y su derivada:

= +


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Es necesario obtener dos constantes, para lo cual deben plantearse condiciones decontorno adecuadas. En este caso, tales condiciones serán:= = + +

= = + →=

Reemplazando en la primera expresión:

= + += +→ = +→=

Queda finalmente:

= + → = +→

=

De la expresión resulta inmediato que la flecha máxima ocurre obviamente en r=0 (centrode la placa), y vale:

= = =

= =

= A partir de estas expresiones se obtienen los Momentos Mr, M , y el Corte Qr . Observarque Qr puede (y es más simple) obtenerse por EQUILIBRIO GLOBAL , quedando (Hacerlo):

=

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