clase 8 placas planas sumergidas

Facilitador:

Ing. Juan Medina

Ctedra de Mecnica de Fluidos

Octubre 2013

Departamento de Trmica y Energtica

Universidad de Carabobo

Semestre nico 2013

Fuerzas Hidrostticas sobre Superficies Sumergidas Facultad de Ingeniera - UC 2

Repaso de Momentos de Inercia y de rea

Fuerzas Hidrostticas sobre Superficies

Planas Sumergidas


Semestre nico 2013

Momentos de Inercia y de rea Baricentro y Centro de Gravedad Momentos de Inercia y de rea Producto de Inercia Teorema de los Ejes Paralelos

Momentos de Inercia y de rea

El momento de inercia de un cuerpo es indicativo de la resistencia al giro

de dicho cuerpo respecto a un eje

Cuando consideramos el anlisis fsico de los cuerpos, es correcto hablar

del momento de inercia para representar la distribucin de la masa de un

cuerpo en rotacin respecto al eje de giro

Cuando consideramos el anlisis geomtrico de los cuerpos, es correcto

hablar del momento de rea para representar la distribucin del rea de

una superficie en rotacin respecto al eje de giro




Planas Sumergidas

Baricentro y Centro de Gravedad

Semestre nico 2013


La posicin del Baricentro de una superficie plana es una propiedad geomtrica

importante. El Baricentro es un punto contenido en una superficie, tal que cualquier

recta que pasa por l divide a la superficie en dos partes de igual momento

respecto a dicha recta

El Baricentro coincide con el Centro de Gravedad de un cuerpo cuando ste es

homogneo (distribucin de densidad uniforme) posee propiedades de simetra.

Las coordenadas del baricentro corresponden al Primer Momento del rea

respecto de los ejes coordenados dividido entre el rea total

dxdydAAS

dxdy

ydxdy

dA

ydAyc

dxdy

xdxdy

dA

xdAxc




Planas Sumergidas


Semestre nico 2013


El Centro de Gravedad, a diferencia del Baricentro, es una propiedad fsica

relativa a la distribucin de la masa del cuerpo

dxdydz

dxdydzr

dm

rdmd

zyx

zyxzyx

CG

),,(

),,(),,(

Si la densidad del cuerpo es uniforme, puede demostrarse

cCG xx cCG yyy a su vez




Planas Sumergidas


Semestre nico 2013


Para reas compuestas (por figuras simples), puede aplicarse el Teorema de

Varignon para hallar el Baricentro (y/o C.G.) de la figura compuesta

i

iic

tciicttcA

AxxAxAx

,

,,,

i

iic

tciicttcA

AyyAyAy

,

,,,

Figura Ci(x,y) Ai

),( 111 yxC

),( 222 yxC

1A

2A




Planas Sumergidas


Semestre nico 2013


El momento de inercia refleja la distribucin de la masa de un cuerpo respecto a un

eje de giro (resistencia a adquirir una aceleracin angular)

El segundo momento de rea de una superficie refleja la distribucin del rea de

la superficie respecto al eje de revolucin

Una vez ms, cuando el cuerpo es homogneo (distribucin de materia, densidad,

uniforme) los momentos de inercia y de rea coinciden. Todos los momentos de

rea se calculan respecto al eje centroidal

dxdyydAyI xA22

,dxdyxdAxI yA

22

,

Si la densidad del cuerpo es uniforme, puede demostrarse

xxGxA III ,, yyGyA III ,,y a su vez




Planas Sumergidas

Producto de Inercia

Semestre nico 2013


El producto de Inercia (de rea) se obtiene como el producto cruzado de las

coordenadas por el diferencial de rea. Cuando el rea de una figura se encuentra

en ms de un cuadrante del Sistema Coordenado Cartesiano (p.ej.), el signo del

producto de inercia depender de la distribucin de rea dentro de los cuadrantes

(si existe uno de los ejes coordenados es un eje de simetra, el producto de inercia

es nulo)

xydxdyxydAI xy




Planas Sumergidas

Teorema de los Ejes Paralelos

Semestre nico 2013


Para relacionar los momentos de inercia centroidales (obtenidos a partir de la

definicin), con respecto a cualquier eje paralelo, simplemente se traslada la

coordenada respectiva en la definicin

dAddAydAdyI x2

1

22

1)(

AdII xx2

1

AdII yy2

2




Planas Sumergidas

Centroides y Momentos de Inercia (Caraballo, 2010)

Semestre nico 2013


Facultad de Ingeniera - UC 10



Planas Sumergidas

Consideraciones generales para clculo de Fuerzas Hidrostticas sobre Placas Sumergidas

Semestre nico 2013

Consideraciones generales Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante Ubicacin del Centro de Presin Superficies Planas parcialmente sumergidas Teorema de Varignon para Superficies sumergidas en diferentes capas de fluidos

Considrese la superficie superior de una placa plana de manera arbitraria,

completamente sumergida como se observa en la figura.

La presin en la superficie libre del fluido en el que se encuentra inmersa la

placa es la presin atmosfrica local

Patm una presin cualquiera P0 La distribucin de presiones sobre la placa forma un Prisma de Presiones,

cuya altura se incrementa conforme

aumenta la profundidad en el fluido

(E.F.H.)

Aplicando la Ecuacin Fundamental de la Hidrosttica (variante de J. Foss), puede

obtenerse la presin absoluta para cualquier punto de la placa

gySenpghpp 00Fuerzas Hidrostticas sobre Superficies Sumergidas




Planas Sumergidas

Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante sobre Superficies Planas Sumergidas

Semestre nico 2013


La fuerza hidrosttica resultante Fr que acta sobre la superficie se determina

cuando se integra la fuerza PdA (segn definicin de presin) que acta sobre un

diferencial de rea dA sobre toda el rea superficial

dAgySenppdAFr )( 0

ydAgSenApFr 0

Ntese que el Primer Momento de rea est relacionado con la expresin integral

presente en la ltima ecuacin

dAyydAdA

ydAy cc

Fuerzas Hidrostticas sobre Superficies Sumergidas




Planas Sumergidas

Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante sobre Superficies Planas Sumergidas

Semestre nico 2013


Ms sin embargo, de acuerdo a la posicin de los ejes coordenados

)(0 SenygAApF cr

Sustituyendo:

z

y

cc hSeny

Por tanto, se concluye

AghpF cr )( 0

ApF crLa magnitud de la fuerza resultante que acta sobre una superficie plana de una placa

totalmente sumergida en un fluido homogneo (de densidad constante) es igual al producto de

la presin Pc en el centroide de la superficie y el rea A de sta





Planas Sumergidas

Ubicacin del Centro de Presin en Superficies Planas Sumergidas

Semestre nico 2013


El Centro de Presin de la Superficie y el Centroide de la misma estn separados

una cierta distancia, para encontrar la ubicacin del centro de presin puede

tomarse una sumatoria de momentos (Por Teorema de Varignon) desde el punto

de origen del sistema coordenado en la superficie

Es fcil percatarse de que, al existir un Prisma de Presiones, la presin resultante

proveniente de dicha distribucin de presiones no necesariamente est ubicada en

el propio Centroide de la superficie sumergida

dAgySenpyypdAFyM rpO )( 0

dAygSendAypFy rp2

0





Planas Sumergidas


Semestre nico 2013


Ntese que el Primer y Segundo Momento de

rea estn relacionados con la expresin

integral presente en la ltima ecuacin

Simplificando

dAygSenydApFy rp2

0

dAyydAdA

ydAy cc dAyI z

2

Sustituyendo y simplificando

gSenIAypFy Ozcrp ,0

Donde el Segundo Momento de rea Iz est expresado desde el origen del

sistema de coordenadas yz, O

z

y

O





Planas Sumergidas


Semestre nico 2013


Para trasladar desde el punto O al eje del centroide, se utiliza el Teorema de los Ejes Paralelos

gSenAyIAypFy czcrp )(2

0

AyII czOz2

,

Sustituyendo

Sustituyendo el valor de la Fuerza de Empuje resultante hallado con anterioridad

))(()(2

00 gSenAyIAypASengypy czccp

)()(2

00 AgSenygSenIAypASengyApy czccp





Planas Sumergidas


Semestre nico 2013


Simplificando:

)()(2

00 AgSenygSenIAypASengyApy czccp

gSenIAgSenyApyASengyApy zcccp )()( 00

ASengyAp

gSenIyy

c

zcp

0

AgSen

py

Iyy

c

zcp

)( 0

Se obtiene:





Planas Sumergidas


Semestre nico 2013


AgSen

py

Iyy

c

zcp

)( 0AghpF cr )( 0

Si se trabaja con Presin manomtrica (Patm = P0 = 0):

AghF cr Ay

Iyy

c

zcp

Ntese que poco importa la coordenada xp zp del centro de presin, debido a

que la distribucin de presiones no vara en direccin horizontal





Planas Sumergidas

Superficies Planas Parcialmente Sumergidas

Semestre nico 2013


Mientras la altura en la cual sobresale la

superficie sumergida no sea significativa

(z




Planas Sumergidas

Teorema de Varignon para Superficies Sumergidas en diferentes capas de fluidos

Semestre nico 2013


Superficies Sumergidas en diferentes capas de fluidos

En este caso se trabaja cada

fluido de manera independiente

y luego se aplica una sumatoria

de fuerzas para hallar la fuerza

resultante. Posteriormente se

aplica el Teorema de Varignon

para hallar el momento

resultante producido por los

diferentes empujes y el centro

de presin total

iriptrtp FyFy ,,,,irtr FF ,,


clase 8 placas planas sumergidas

Documents