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FÍSICA GRADO EN MATEMÁTICAS

Mecánica newtoniana y física cuántica

María C. Boscá Dpto. Física Atómica y Nuclear Universidad de Granada

FÍSICA. GRADO EN MATEMÁTICAS.

PROGRAMA •  Tema 1. Magnitudes y sistemas de unidades. Vectores. •  Tema 2. Cinemática. Cambio de sistemas de referencia. •  Tema 3. Dinámica de Newton. •  Tema 4. Trabajo y energía. Leyes de conservación. •  Tema 5. Campos gravitatorio y eléctrico. •  Tema 6. Movimiento oscilatorio. Ondas. •  Tema 7. Introducción a la física cuántica.

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Magnitudes físicas y su medida. Sistema de unidades. •  La Física es una ciencia cuantitativa y se basa en la medición.

•  Medir significa “asignar números a objetos y eventos de acuerdo a reglas” (Stevens).

•  Una magnitud física es aquello que es susceptible de ser medido.

•  La medición es la determinación del valor numérico de una magnitud física como resultado de compararla con una cantidad arbitraria de ella misma, establecida como una unidad de esa magnitud en un determinado sistema de unidades.

•  Cantidad de una magnitud física medida es el número de alguna unidad de ella a que equivale: el tiempo es un magnitud, un bienio es una cantidad de tiempo, en años.

•  Se distinguen magnitudes fundamentales (arbitrarias; no vienen definidas en función de otras por convención) y derivadas (son función de las fundamentales).

-Ejemplo: sobre la base del Sistema Internacional de unidades (SI), tres magnitudes físicas fundamentales son: longitud, tiempo y masa.

•  También puede distinguirse entre magnitudes escalares, vectoriales y tensoriales.

•  Se denominan magnitudes suplementarias a las dos geométricas:

-ángulo plano: “cada una de las dos porciones de plano limitadas por dos semirrectas (sus lados) que parten de un mismo punto (su vértice)”.

-ángulo sólido: “cada una de las dos porciones del espacio limitadas por una superficie cónica”.

3 TIP|MOS: pp. 1-13.

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MAGNITUDES ESCALARES, VECTORES Y TENSORES

•  Magnitudes escalares son las que se pueden representar por un solo número.

-por ejemplo: la masa, la longitud... •  Magnitudes vectoriales son las que requieren una lista de n>1

números (una matriz nx1 o 1xn) para su descripción. - por ejemplo: la velocidad, la aceleración, la fuerza... •  Magnitudes tensoriales son las que requieren una matriz nxm

con índices múltiples, n≥1 y m≥1, para su representación. -por ejemplo: el tensor energía-impulso (relatividad)... •  La noción de tensor es la general: los escalares y los vectores

son casos particulares de tensores. •  Rango de un tensor: el número de índices mayores que la

unidad en la matriz de la representación. -por lo tanto: los escalares son tensores de rango cero, sin índices, y los vectores son tensores de rango uno.

TIP|MOS: pp. 1-13.

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•  Medir es estimar la magnitud o cantidad de cierta propiedad (“observable”, por tanto) de uno o más objetos, con ayuda de un sistema métrico específico que incluye un instrumento de medición, una escala de medición y un sistema de unidades de medición.

•  Una escala o nivel de medición es el conjunto de los posibles valores que una cierta variable puede tomar.

-es un intervalo de valores ordenados correlativamente, que admite un punto inicial y otro final. •  El nivel en que una variable puede ser medida determina las

propiedades de medición de una variable, el tipo de operaciones matemáticas que puede usarse apropiadamente con dicho nivel, las fórmulas y procedimientos estadísticos que se utilizan para el análisis de los datos y la prueba de las hipótesis teóricas pertinentes.

•  Hay dos tipos de escalas numéricas: de intervalo y de proporción o razón.

Medida y escalas

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Escala de intervalo

•  La medición en una escala de intervalos se basa en suponer que puede conocerse exactamente la diferencia entre las cantidades medidas según esta escala.

•  Esto es, debe ser posible asignar un número a cada magnitud medible en el objeto, en una unidad dada de esa magnitud, de modo tal que la diferencia entre los objetos quede reflejada por la diferencia entre los números asignados.

•  Las elecciones de origen y extremo son arbitrarias.

•  Ejemplo: las escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit. •  Permiten estimar los parámetros estadísticos: media aritmética,

mediana, moda, rangos y desviación estándar.

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Escala de razón o proporción o cociente

•  La medición en una escala de razón se basa en suponer que, además de poder conocerse exactamente la diferencia entre las cantidades de los objetos medidos, puede establecerse un cero absoluto, no arbitrario, por lo que también los números pueden compararse como proporciones e indicar así cuántas veces difieren en tamaño y en qué cantidad.

•  Permiten estimar todos los parámetros estadísticos.

•  Ejemplos: la escala de temperatura Kelvin, o absoluta o termodinámica, que establece un cero absoluto, o temperatura a que cesa todo movimiento molecular.

-O en el caso de la medición de longitudes con una regla.

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ESCALAS DE TEMPERATURA

TIP|MOS: pp. 566-569.

fundamentales y derivadas

magnitudes derivadas Son aquellas magnitudes que se expresan en

función de las magnitudes fundamentales.

Magnitud física Magnitud física es todo aquello que puede ser medido

escalares y vectoriales

magnitudes vectoriales Son aquellas magnitudes que para determinarlas además de conocer su valor numérico y su unidad, se necesita su dirección y sentido.

velocidad (v =e/t) fuerza (F=m.a) potencia (P=W/t) aceleración (a=v/t) trabajo (W=F.d)

temperatura masa longitud tiempo

velocidad fuerza aceleración cantidad de movto (p=m.v)

magnitudes fundamentales -aquellas elegidas arbitrariamente como base para establecer las unidades de un Sistema de Unidades. -en el Sistema Internacional de Unidades son 7:

magnitudes escalares -magnitudes que quedan perfectamente determinadas con sólo conocer su valor numérico y su unidad.

amperio

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SISTEMAS DE UNIDADES •  Un sistema de unidades es un conjunto coordinado de dos tipos de unidades: -unidades fundamentales: elegidas arbitrariamente como unidades básicas para las magnitudes establecidas entonces como fundamentales por el sistema. -unidades derivadas: obtenibles a partir de las fundamentales mediante fórmulas matemáticas. •  Existen distintos sistemas de unidades:

-  Sistema Internacional, SI (mks): entre sus unidades fundamentales están el metro (m), el kilogramo (kg) y el segundo (s). -  Sistema cegesimal (cgs): adopta como unidades fundamentales, entre otras, el centímetro (cm), el gramo (g) y el segundo (s). -  Sistema técnico: adopta como unidades fundamentales, entre otras, el centímetro (cm), el segundo (s) y el kilopondio (kp, 1kp = 9,8 N , la fuerza es magnitud fundamental y la masa es magnitud derivada).

•  Reglas para las unidades y sus símbolos: - Se representan con caracteres romanos, no son abreviaturas (sin punto al final). - Se escriben en minúscula, nombre y símbolo, excepto si derivan de un nombre propio, en cuyo caso el símbolo (no así el nombre) debe ir en mayúscula (ejemplo: amperio, A). - Al contrario que los símbolos, los nombres no están normalizados internacionalmente y se adaptan a las distintas lenguas. - Las unidades derivadas pueden expresarse en función de las fundamentales.

10

TIP|MOS: pp. 3- 7.

SISTEMAS DE UNIDADES

Unidades de diferentes sistemas. 11 TIP|MOS: pp. 3-7.

k

k

SISTEMAS DE UNIDADES TÉCNICO INGLÉS

12

1 libra = 0,454 kg 1 onza= 28,3 g 1 tonelada inglesa = 907 kg

TIP|MOS: pp. 5-6.

NOTACIÓN DE UNIDADES

13

NOTACIÓN DE UNIDADES

14

SISTEMA INTERNACIONAL DE MAGNITUDES Y UNIDADES FUNDAMENTALES

amperio


PATRONES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL •  Adoptadas las magnitudes fundamentales y sus unidades, en los diferentes Congresos científicos de

metrología se han ido adoptando los patrones (“patrón”: modelo que sirve de muestra para sacar otra cosa igual) para las unidades:

•  Metro: •  Longitud: metro (m):

-Clásico: desde 1889, distancia entre dos trazos paralelos realizados sobre una barra de platino con 10% de iridio, a cero grados centígrados, que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de Sévres, París. -En 1960, se redefinió como 1 650 763,73 longitudes de onda de la luz anaranjada-rojiza emitida, en el vacío, por el átomo de criptón-86, 86Kr, en una transición atómica hiperfina entre los niveles energéticos 2p10 y 5d5. -En 1983, se redefinió como la longitud recorrida por la luz en el vacío en un tiempo de 1/299 792 458 segundos. -Aproximadamente igual a la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre.


DEFINICIONES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL

•  Segundo (s):

•  Tiempo: segundo (s):

-1968: Duración de 9 192 631 770 p e r í o d o s d e l a r a d i a c i ó n correspondiente a la transición hiperfina entre los dos niveles del estado fundamental del átomo de cesio 133, 133Cs, en equilibrio a cero Kelvin (apostilla de 1997). -Aproximadamente igual a la fracción 1/86 400 del día solar medio o tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta sobre su eje de rotación (86400=24x60x60).


PATRONES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL

•  Kilogramo (kg):

•  Masa: Kilogramo (kg):

-Clásico: desde 1901, masa del prototipo cilíndrico de platino con un 10% de iridio, que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de Sévres, París. -Hoy en día, se estima que ha perdido unos 50 microgramos de peso, desde su fabricación. -A partir de mayo de 2019, la unidad de masa no será un objeto físico, sino un valor derivado de la constante de Planck. -Aproximadamente igual a la masa de un litro de agua destilada a 4 grados centígrados y presión atmosférica estándar.

Existen copias oficiales del prototipo que se comparan con el prototipo oficial ("Le Grand Kilo") más o menos cada 10 años.



•  Intensidad luminosa: candela (cd): -Intensidad luminosa de una fuente que, en una dirección determinada por una abertura perpendicular a dicha dirección*, emite una radiación monocromática de frecuencia 540 · 1012 Hz, y cuya intensidad energética en esa dirección es de 1/683 vatios por estereorradián (1 W = 1 m2 kg s-3 ).

•  Cantidad de sustancia: mol (mol): -Es la cantidad de sustancia que contiene tantas entidades elementales de materia (átomos, moléculas, iones...) como átomos de carbono hay en 0,012 kg de carbono 12, 12C (esto es, 6,023 · 1023, el número de Avogadro).

Muestras con un mol de agua, fósforo, cinc y dicromato de potasio: aunque la masa es diferente para cada una de ellas, todas contienen el mismo número de entidades elementales (la misma cantidad de sustancia).

19 TIP|MOS: pp. (*) “abertura perpendicular a esa dirección, que tenga una superficie de 1/600 000 metro cuadrado y radie como un

cuerpo negro a la temperatura de fusión del platino, T=2 043 K=1 770 ºC, bajo la presión de 101 325 pascales”.


•  Intensidad de corriente eléctrica: amperio (A): -Intensidad de una corriente constante que, mantenida en el mismo sentido en dos conductores paralelos rectilíneos de longitud infinita y sección circular despreciable, colocados a una distancia de 1 m el uno del otro, en el vacío, produce entre estos dos conductores una fuerza de 2x10-7 newton por metro de longitud.

•  Temperatura: kelvin (K): -Es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua (combinación única de temperatura y presión a la que la fase sólida, la fase líquida y la fase gaseosa pueden coexistir en equilibrio termodinámico). -La escala termodinámica de temperaturas o escala Kelvin se adoptó en la XI Conferencia General de Pesos y Medidas celebrada en París en 1960. En ella, la temperatura de congelación del agua a la presión de 1 atmósfera se tomó como 273,15 K, y la de ebullición, 373,15 K.

amperímetro

20 TIP|MOS: p. 568.

Estereorradián (sr): ángulo sólido que, con vértice en el centro de una esfera, abarca un área de la superficie esférica igual a la de un cuadrado que tiene por lado el radio r de la esfera.

Radián (rad): medida de un ángulo plano central comprendido entre dos radios que abarcan un arco s de longitud igual al radio R con el que ha sido trazada la circunferencia.

Ángulo sólido Ángulo plano

MAGNITUDES SUPLEMENTARIAS

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MAGNITUDES DERIVADAS

•  Magnitudes derivadas son aquellas que se definen a partir de las fundamentales mediante una fórmula matemática.

•  Una medida indirecta produce el resultado de una magnitud derivada a partir de las medidas de las magnitudes fundamentales con que se relaciona, vía la correspondiente fórmula matemática.

•  Existe una amplia variedad de magnitudes derivadas, para las que se establecen en correspondencia unidades que se denominan también como “derivadas”.

•  Para establecer la unidad, en un sistema de unidades dado, de una magnitud derivada, basta con relacionarla mediante la fórmula que la define con las correspondientes unidades fundamentales y, en su caso, con otras unidades derivadas como ella y previamente definidas. 22

MAGNITUDES Y UNIDADES DERIVADAS

23

¡módulo de!: unidad de “rapidez”

¡módulo de!


24

¡módulo de!


25

julio vatio

faradio

culombio voltio ohmio

hercio

henrio

CONVERSIÓN DE UNIDADES

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•  Las magnitudes físicas se representan mediante un número y una unidad.

•  Las unidades de la misma magnitud se someten también al álgebra.

•  El paso entre dos unidades distintas de la misma magnitud física lo proporciona el adecuado factor de conversión, que es una fracción cuyos numerador y denominador constituyen medidas iguales de la magnitud expresadas en distintas unidades, del mismo sistema o no.

•  Ejemplo: 1 gcm3⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 1 g

cm3⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ x100 [cm]1[m]

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

x 1[kg]1000[g]⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= 1 [g][cm3]

x1003 [cm3 ]13[m3 ]

x 1[kg]1000[g]

= 1x 1003

13[m3 ]x1[kg]1000

= 1000 kgm3⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−regladel tres :1m =100 cmy m = x cm

⎫⎬⎭⇒ y m = 1m

100 cm⋅ x cm = 1

100⋅ x m

1kg =1000 gy kg = x g

⎫⎬⎭⇒ y kg = 1kg

1000 g⋅ x g = 1

1000⋅ x kg

TIP|MOS: pp. 6-7.

CONVERSIÓN DE UNIDADES

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•  No siempre la conversión entre unidades la da la aplicación de la regla de tres.

•  Ejemplo: el paso entre kelvin y grado centígrado:

TIP|MOS: pp. 566-569.

UNIDADES DERIVADAS COHERENTES •  Cuando en la fórmula que en física define una magnitud derivada

se puede obviar, hacer desaparecer, una constante de proporcionalidad, mediante la aplicación de un determinado conjunto de unidades, la constante se considera como superflua.

•  Un conjunto de unidades en el que se han eliminado todas las constantes superfluas del conjunto de ecuaciones de una teoría física se denomina como sistema coherente de unidades (¡para esa teoría!).

•  Los sistemas de unidades internacional (SI) y cegesimal (cgs) son coherentes para la mecánica.

•  Una unidad derivada es coherente respecto a un conjunto de unidades cuando, respecto a ese conjunto, es un producto de potencias de las unidades fundamentales de ese conjunto sin factores de proporcionalidad distintos al número uno.

•  En un sistema coherente todas sus unidades lo son respecto a él. •  Una unidad derivada puede ser coherente respecto a unos sistemas

de unidades e incoherente respecto a otros. 31

UNIDADES DERIVADAS COHERENTES •  Ejemplo: -segunda ley de Newton: -introduciendo determinadas unidades: , donde C representa una constante cuyo valor depende de las unidades específicas adoptadas: por ejemplo, si elegimos la unidad kp para la magnitud fuerza, el kg para la masa y el m/s2 para la aceleración, entonces:

-y como 1kp = 9,81 kg . ms-2 , entonces C = 1 / 9,81. •  La constante C es superflua, porque puede hacerse desaparecer, esto

es, tomar el valor 1, expresando la fuerza en newton (N coherente en SI) :

(1 N = 1 kg . ms-2 ) •  La unidad kp es incoherente en SI, respecto al conjunto de unidades

(kg, m, s), y es coherente respecto al conjunto (UTM, m, s): (“unidad técnica de masa”, UTM: 1 UTM = 9,81 kg)

F!"=m ⋅a

"

F!"(uf ) =C ⋅m(um ) ⋅a

!(ua )

F!"(kp) =C ⋅m(kg) ⋅a

!(ms−2 )

F!"(N ) =m(kg) ⋅a

!(ms−2 )

32 1kp = 19,81

kgm s−2 = 1UTM m s−2

CONSTANTES EN FÍSICA (no superfluas)

•  En las fórmulas físicas suelen aparecer constantes no superfluas:

a) constantes particulares, que dependen de la naturaleza de los entes que intervienen en el fenómeno con el que concierne la fórmula. -Por ejemplo, la constante elástica recuperadora k de un muelle, que aparece en la ley de Hooke para la fuerza, F = -k.x . b) constantes universales, independientes de la naturaleza de los entes relacionados con un fenómeno dado, de manera que, para ese fenómeno, se mantienen invariantes bajo cambios de la naturaleza de los entes intervinientes. -por ejemplo, la constante de gravitación universal, G, que aparece en la ley de gravitación universal: F =Gm1 ⋅m2

r2 33

ALGUNAS CONSTANTES FÍSICAS

34 TIP|MOS: últimas hojas azules.

ALGUNOS MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS

submúltiplos múltiplos

35 TIP|MOS: p. 5.

ALGUNOS MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DECIMALES

Potencias de 10.

36

TIP|MOS: p. 5.

37

PREFIJOS EN EL SI

Los prefijos pertenecientes al SI los fija oficialmente la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (Bureau International des Poids et Mesures), ver Wikipedia.

ALGUNOS MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO

Múltiplos y submúltiplos del metro (¡faltaban los acentos en los nombres! ¿o no?)

38

micra

´

´ ´

39

-La voz kilómetro tiene una acentuación esdrújula debido a que está formada por el elemento compositivo -metro, que es átono. Esta forma proviene del sustantivo metro y, al adquirir la condición de elemento compositivo, se vuelve átona. Cuando -metro se une a otro elemento, como kilo, el acento siempre recae en el primero: kilómetro, centímetro, decímetro, barómetro, termómetro, etc. -En cambio, otras formas que están compuestas por voces como litro y gramo, que son sustantivos y que no se han convertido en elementos compositivos, por lo que tienen un acento propio que, en este caso, es llano o grave. Cabe mencionar que, según el Diccionario panhispánico de dudas, de la Real Academia Española y la Asociación de Academias de la Lengua Española (Bogotá: Santillana, 2005), la voz kilogramo es llana en todo el ámbito hispánico (pronunciación [kilográmo]), salvo en Chile, donde se usa con normalidad la forma esdrújula kilógramo, posiblemente por una analogía con la voz kilómetro (cf. publicación original de “Español de México”). -Atto (símbolo: a) es un prefijo del Sistema Internacional que indica un factor de 10−18. El origen de este prefijo es la palabra danesa “atten”, que significa «dieciocho». -Zepto (símbolo: z) es un prefijo del Sistema Internacional que indica un factor de 10-21. Adoptado en 1991, viene del latín “septem”, que significa «siete», pues es igual a 1/10007. -Yocto (símbolo: y) es un prefijo del Sistema Internacional que indica un factor de 10-24. Adoptado en 1991, viene del griego “οκτώ”, que significa “ocho”, porque es igual a 1/10008. -Peta (símbolo: P) es un prefijo del Sistema Internacional que indica un factor de 1015, equivalente a 1 000 000 000 000 000 (mil billones). Adoptado en 1975, viene del griego “πέντε”, que significa “cinco”, ya que equivale a 10005. -Exa (símbolo E) es un prefijo del Sistema Internacional que indica un factor de 1018 (un trillón). Adoptado en 1975, viene del griego “έξα” («éxa») que significa “seis” (como «hexa-»), pues equivale a 10006. -Zetta (símbolo: Z) es un prefijo del Sistema Internacional que indica un factor de 1021 (mil trillones). Adoptado en 1991, viene del latín “septem”, que significa “siete”, pues equivale a 10007. Un prefijo del mismo valor, Hepa, fue introducido de manera informal algunos años antes de la promulgación de zetta. -Yotta (símbolo Y) es un prefijo del Sistema Internacional que indica un factor de 1024 (un cuatrillón). Adoptado en 1991, viene del griego “oκτώ” (“októ”), que significa “ocho”, pues equivale a 10008.

ALGUNOS MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS

DIMENSIONES •  “Dimensión” es un término que se asocia a la mayoría de las

magnitudes físicas según su naturaleza o especie, de manera que sólo aquellas que pueden sumarse comparten la misma dimensión.

•  Las dimensiones de las magnitudes fundamentales que intervienen en mecánica son: L (longitud), M (masa) y T (tiempo).

•  Las dimensiones de las magnitudes derivadas se pueden hallar a partir de las fundamentales, mediante la correspondiente ecuación de dimensiones.

•  En una ecuación física: - Sólo se pueden sumar (y restar) magnitudes con igual dimensión (L±M ý); sí se pueden multiplicar y dividir diferentes (LMT-2 þ).

- Los términos a ambos lados de toda ecuación han de tener dimensiones iguales.

•  Puede haber magnitudes físicas distintas con iguales dimensiones (ejemplo: las energías cinética y potencial); comparten unidades.

•  Existen magnitudes físicas sin dimensiones, “adimensionales”, como las suplementarias.

40

TIP|MOS: pp. 7-8.

41

ECUACIÓN DE DIMENSIONES

•  Cada expresión de la dimensión de una magnitud derivada en términos de las dimensiones de las fundamentales constituye una “ecuación de dimensiones”, en la que la correspondiente magnitud derivada se indica entre corchetes.

•  Ejemplos: -superficie S: [S]=L2

-volumen V: [V]= L3

-velocidad v: [v]=LT-1

-aceleración a: [a]=LT-2

-fuerza F: [F]=MLT-2

-energía E: [E]=ML2T-2

TIP|MOS: pp. 7-8.

theta

io

42

ECUACIONES DE DIMENSIONES

julio

43

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y HOMOGENEIDAD

•  Una fórmula física es homogénea cuando los dos miembros de la correspondiente ecuación matemática tienen la misma ecuación dimensional.

•  Toda fórmula física correcta es homogénea (¡pero no al revés!). •  El análisis dimensional de una fórmula física puede establecer

su incorrección, pero no su corrección: •  Ejemplos: -la fórmula es incorrecta:

-de las dos fórmulas para el período del péndulo, sólo una puede ser correcta (l es longitud; g la aceleración gravedad):

F =m ⋅ v M LT −2 ≠M LT −1

TIP|MOS: pp. 7-8.

44


•  Una fórmula física es homogénea cuando los dos miembros de la correspondiente ecuación matemática tienen la misma ecuación dimensional.

•  Toda fórmula física correcta es homogénea (¡pero no al revés!). •  El análisis dimensional de una fórmula física puede establecer

su incorrección, pero no su corrección: •  Ejemplos: -la fórmula es incorrecta:

-de las dos fórmulas para el período del péndulo, sólo una puede ser correcta:

F =m ⋅ v M LT −2 ≠M LT −1

TIP|MOS: pp. 7-8.

45


¿Es homogénea? En caso afirmativo, ¿cuáles son las dimensiones de la constante C?

46


-y estas dimensiones han de ser también las de la constante C: [C]=ML-1 T-2

PERELMAN: pp. 10-11. 47

REGLAS DE REDONDEO

•  Redondeo de un número: eliminar o reemplazar por ceros, de derecha a izquierda, una o más cifras de él.

•  Reglas de redondeo, aplicables en un paso: 1) Si la primera cifra que se omite o anula es 0, 1, 2, 3 o 4, entonces la última cifra que se conserva no se altera. -ejemplo: 4364 4360 (a tres cifras) ó 4400 (a dos) ó 4000 (a una) 2) Si después de la primera cifra que se va a conservar sigue como primera cifra 6, 7, 8 o 9, o un 5 seguido de una o más cifras no nulas, entonces debe sumarse una unidad a la última cifra que se conserva; si ésta es 9, entonces se pone 0 y se aumenta en una unidad la precedente. -ejemplos: 8,726 8,73 ó 8,7 ó 9 8,753 8,75 ó 8,8 ó 9 9,777 9,78 ó 9,8 ó 10

(a 3, 2 o 1 cifras “significativas”)

48

REGLAS DE REDONDEO

•  Reglas de redondeo: 3a) Si después de la primera cifra que se va a conservar sigue como sola cifra un 5, o un 5 seguido sólo de ceros, entonces debe sumarse una unidad a cifra precedente si ésta es impar; no se modifica si es cero o par: -ejemplos: 945 940 9750 9800 3b) Otra posibilidad es establecer como regla que si después de la primera cifra que se va a conservar sigue un 5, entonces siempre debe sumarse una unidad a la cifra precedente: 945 950 en vez de 940 4) Las reglas se aplican en un paso: -ejemplo: redondeo de 5,34636 a dos cifras: cuatro pasos: 5,34636 5.3464 5.346 5,35 5,4 ¡incorrecto! un paso: 5,34636 5,3 ¡correcto! PERELMAN: pp. 10-11.

49

¿se aplica 3a o 3b? ¿algún error?

50

(*): se aplica 3b

(**)

(*)

(**) 304.698 con dos decimales redondea a 304,70; a un decimal, a 304,7; a tres cifras, a 305

(*)

51

CANTIDADES Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS •  Toda medida de una magnitud posee una incertidumbre y un error: -incertidumbre: usualmente, la mayor precisión posible, o su mitad. -error absoluto: diferencia entre el exacto (la media de los valores) y el valor particular. -error relativo: cociente entre el error absoluto y el exacto (la media de los valores). •  El número de dígitos que contiene la cantidad resultado de la medida, en una unidad

dada, informa sobre el error de esa medida:

•  Se denominan cifras significativas al número de dígitos informativos de cada dato

numérico proporcionado por una medida, es decir: todo dígito cuyo valor se conoce o con seguridad o con el ineludible error asociado (se exceptúa el cero cuando sitúa el punto decimal).

•  Cifras significativas: desde la primera cifra no nula a la izquierda hasta, yendo hacia la derecha, la primera cifra afectada de error, incluida.

-en la medida anterior b., sólo hay 3 cifras significativas; 4 en 3.c. -la cantidad 0,0010457 tiene 5 cifras significativas.

TIP|MOS: pp. 8-11.

(en rigor: incertidumbre Δx=0,1 cm)

(Δx=0,05 cm)

52

CANTIDADES Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS

•  Número de cifras significativas:

•  ¿Cuántas cifras significativas tiene una medida cuyo resultadoi obtenido es el

número 35000? -necesitamos más información, porque pudieran ser 2, 3, 4 ó 5. -para especificarlo, puede procederse al subrayado de los ceros significativos: 35000 tiene 4 cifras significativas (i.e.: es la medida de una magnitud en u. con una incertidumbre de 10 u.)

≥

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CIFRAS SIGNIFICATIVAS

•  Si usamos números con error el resultado también viene afectado de error: los errores se propagan en los cálculos:

•  Observación: una medición no tiene por qué ser menos precisa que

otra por tener menos cifras significativas. -ejemplo: 20,3 m (± 0,1 m) es más precisa que 2146 m (± 1 m).

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REGLAS PARA DETERMINAR LAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS

•  Suma y resta: el resultado no puede poseer dígitos significativos que no lo eran en su orden en uno de los números dados; si hay decimales, el resultado tiene tantos decimales significativos como el sumando con el menor número de ellos.

-es decir: se busca el número con menos cifras significativas decimales y el resultado se presenta con este número de decimales; si una cantidad tenía las decenas (i.e.) no significativas, el resultado tampoco puede tenerlas. -ejemplos: 97,456 + 3,33 = 100,786 è 100,79 3400 + 275 = 3675 è 3700 ; 3400 + 275 è 3680 ; 3400 + 275 è 3675 140,26 + 62,2183 = 202,4783 è 202,48 •  Multiplicación y división: el número de cifras significativas del resultado

debe ser igual al del factor con menos cifras significativas que intervenga en la operación.

-es decir: se busca el número con menos cifras significativas y el resultado se presenta a su vez con este número de cifras significativas. -ejemplos: 424 / 135 = 3,140740741 è 3,14 49 800 x 3 490 = 173 802 000 è 174 000 000 49 800 x 3 490 = 173 802 000 è 173 800 000 3 586 x 7,2 = 25 819,2 è 26 000 •  Redondeos: al eliminar las cifras no significativas es necesario redondear.

PERELMAN: pp. 7-11.

55


•  Potencias cuadradas o cúbicas: el resultado conservará tantas cifras significativas como la tiene la base; la última cifra es menos exacta que la de la base.

-ejemplos: 4,43^2 = 19,6249 è 19,6 40^2 = 1600 è 2000 ; 40^2 è 1600 157^2 = 24 649 è 24600 5,81^3 = 196,122941 è 196

•  Raíces cuadradas o cúbicas: el resultado conservará tantas cifras significativas como tiene el número bajo el signo radical; la última cifra es más exacta que la de la base.

-ejemplos: (4,33 × 10-6)^(1/2) = 2,082 × 10-3 è 2,08 × 10-3

(38,7)^(1/2) = 6,220932 è 6,22

•  Redondeos: al eliminar las cifras no significativas es necesario redondear.

PERELMAN: pp. 7-11.

40×40: 4? 4? −−−−−−− ?? 16? −−−−−−− 1???

40×40: 40,? 40,? −−−−−−− ?0? 000 160? −−−−−−− 16??,0?

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CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y REDONDEOS

•  Ejemplos:

-Nota: en las notaciones con potencias de diez, tipo x,xx×10y, sólo el primer factor se suele considerar como con cifras significativas.

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CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y REDONDEOS

•  Ejemplos:

-Nota: en las notaciones con potencias de diez, tipo x,xx×10y, sólo el primer factor se suele considerar como con cifras significativas.

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•  Las reglas anteriores se relacionan solamente con el resultado final; si al realizar una operación, no termina el cálculo, entonces en el resultado de esta operación intermedia se conserva una cifra significativa más (o dos) de que lo que requieren las reglas, por redondeo en un paso.

-por ejemplo, al calcular en una etapa intermedia de resolución de un problema el producto de dos cantidades con dos como menor número de cifras significativas, se conservarían en cada etapa de cálculo tres cifras significativas,

36 × 1,4=50,4 50,4 + 3,4= 53,8

-Pero en el resultado final sólo se darían dos cifras significativas: 54 (redondeado a dos cifras significativas)

•  Nota: al restar se pueden perder cifras significativas: 30,437 – 30,433 = 0,004 -Por ello conviene en los cálculos realizar antes las sumas que las restas.

PERELMAN: p. 14.

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•  Usual: Antes de calcular se establece, conforme al número de cifras del dato que posee el menor número de cifras significativas, cuántas cifras exactas puede tener el resultado final. Cuando se establezca este valor, se procede a efectuar los cálculos, y en todos los cálculos intermedios se conserva una cifra más que las estipuladas para el resultado final.

-Si, por ejemplo, en los datos de un problema se dan algunos números de tres cifras y uno de dos cifras, el resultado final tendrá dos cifras significativas, y se toman los resultados intermedios con tres cifras. -Las cifras adicionales, a la derecha, se sustituyen por cero o se eliminan mediante redondeo.

PERELMAN: p. 14.

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ORDEN DE MAGNITUD

TIP|MOS: pp. 12-13.

•  En el contexto de cálculos aproximados, es frecuente redondear un número a la potencia de 10 más próxima. La cifra resultante se define como el “orden de magnitud” de la cantidad.

-ejemplo: la altura de una hormiga, unos 8x10-4 m, tiene un orden de magnitud de 10-3 m. •  Cuando una cantidad C “tiene un orden de magnitud 10x”, o “es

del orden de magnitud de 10x”, se indica C ~ 10x o C ≈ 10x . -ejemplos: la altura h de una persona es del orden de magnitud h ~ 10-0 : está más próxima a 1 m que a 10 m o a 0,1 m .

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ORDEN DE MAGNITUD

TIP|MOS: pp. 12-13.

•  En el contexto de cálculos aproximados, es frecuente redondear un número a la potencia de 10 más próxima. La cifra resultante se define como el “orden de magnitud” de la cantidad.

-ejemplo: la altura de una hormiga, unos 8×10-4 m, tiene un orden de magnitud de 10-3 m. •  Cuando una cantidad C “tiene un orden de magnitud 10x”, o

“es del orden de magnitud de 10x”, se indica C ~ 10x . -ejemplos: la altura h de una persona es del orden de magnitud h ~ 10-0 : está más próxima a 1 m que a 10 m o a 0,1 m .

TIP|MOS: p. 12. 62

UNIVERSO Y ÓRDENES DE MAGNITUD

TIP|MOS: pp. 9-10.

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

•  Notación científica: por simplificación, cuando se manejan números de orden de magnitud o muy elevado o muy pequeño, frente a la unidad , 1 = 100 , se usa la notación científica, que los expresa como el producto de un número con valor absoluto entre 1 y 10, denominado mantisa, multiplicado por una potencia decimal con el adecuado exponente, y conservando el número de cifras significativas en su caso.

•  Ejemplos: -1 000 000 = 106 (mantisa 1, exponente 6). -150 000 000 000 = 1,5 × 1011 (mantisa 1,5 , exponente 11). -150 000 000 000 = 1,50000 x 1011 (mantisa 1,50000 , exponente 11). -0,000 000 000 000 178 = 1,78 x 10-13 (exponente -13). -150 000 000 000,85 m ± 0,1 m -150 000 000 000,85 m ± 2 000 000 m

TIP|MOS: pp. 9-10.

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

•  Notación científica: por simplificación, cuando se manejan números de orden de magnitud o muy elevado o muy pequeño, frente a la unidad , 1 = 100 , se usa la notación científica, que los expresa como el producto de un número con valor absoluto entre 1 y 10, denominado mantisa, multiplicado por una potencia decimal con el adecuado exponente, y conservando el número de cifras significativas en su caso.

•  Ejemplos: -1 000 000 = 106 (mantisa 1, exponente 6). -150 000 000 000 = 1,5 × 1011 (mantisa 1,5 , exponente 11). -150 000 000 000 = 1,50000 x 1011 (mantisa 1,50000 , exponente 11). -0,000 000 000 000 178 = 1,78 x 10-13 (exponente -13). -150 000 000 000,85 m ± 0,1 m -150 000 000 000,85 m ± 2 000 000 m

-150 000 000 000,85 m ± 0,1 m 1,500 000 000 009 x 1011 m ± 10-1 m -150 000 000 000,85 m ± 2 000 000 m 1,50000 x 1011 m ± 2 x 106 m

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NOTACIÓN CIENTÍFICA Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS

•  Cuando se adopta la notación científica, todos los dígitos de la mantisa son cifras significativas.

-por ejemplo, si nos dan el número -15700 , no sabemos cuántas cifras significativas tiene: pueden ser 3, 4 ó 5. -a veces, para especificarlo, se procede al subrayado de los ceros significativos: -15700 tiene 4 cifras significativas. -si se aplica la notación científica, entonces todos los dígitos de la mantisa son significativos: -15700 -1,570 × 104

-15700 -1,5700 × 104

-15700 (tres cifras significativas) -1,57 × 104

-Nota: cuando se acarrean muchas cifras significativas, la notación científica deja de ser útil.

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ORDEN DE MAGNITUD Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS PROBLEMAS

1)   ¿Cuántos gastan anualmente en gasolina los coches particulares de España? -suponed: 40 millones de habitantes; 1 coche cada 4 habitantes; consumo de 0,1 litros cada kilómetro; recorrido medio anual por coche de 10000 km; precio medio de 1 euro por litro de gasolina. 2)   ¿Qué grosor de un neumático de coche se desgasta por cada kilómetro

recorrido? -suponed: espesor de 1 cm para un neumático nuevo; desgaste total del neumático cada 6×104 km. 3) ¿Cuántos granos de arena hay en una playa? -suponed: playa rectangular de 500 m de largo por 100 m de ancho; arena de unos 3 m de profundidad; granos de arena esféricos con radio medio de 0,5 mm; volumen de aire entre granos despreciable frente al volumen total de arena. 4)   En 12 g de carbono hay NA = 6,02 × 1023 átomos de C. Si se realiza su contaje a razón de un átomo por segundo, ¿cuántos años se tardaría en el recuento total?

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1)   ¿Cuántos gastan anualmente en gasolina los coches particulares de España? -suponed: 40 millones de habitantes; 1 coche cada 4 habitantes; consumo de 0,1 litros cada kilómetro; recorrido medio anual por coche de 10000 km; precio medio de 1 euro por litro de gasolina.

Resultado: 1010 €

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2)   ¿Qué grosor de un neumático de coche se desgasta por cada kilómetro recorrido? -suponed: espesor de 1 cm para un neumático nuevo; desgaste total del neumático cada 6x104 km.

Resultado: 2×10-5 cm / km

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