1

MAGNITUDES Y CÁLCULO

VECTORAL

MAGNITUDES Y CÁLCULO

VECTORAL

Física y química 1º BachilleratoFísica y química 1º Bachillerato

TEMA INICIAL DE INTRODUCCIÓN

2

01

Magnitud física intensiva es aquella que su valor no cambia al considerar diversas porciones de un cuerpo. Por ejemplo, la temperatura o la densidad.

Las magnitudes físicas son propiedades relativas a los cuerpos cuyo valor puede establecerse de forma objetiva. La masa, la carga eléctrica o la velocidad son ejemplos de magnitudes físicas

L a s m a g n i t u d e s f í s i c a s

Medir una magnitud física es compararla con una cantidad de la misma magnitud que se ha establecido como unidad de referencia

El resultado de una medida es siempre un número seguido de una unidad

M a g n i t u d e s i n t e n s i v a s y e x t e n s i v a s

Magnitud física extensiva es aquella que su valor depende de la porción de cuerpo considerada. Por ejemplo, el volumen o la masa

3

02M a g n i t u d e s f í s i c a s f u n d a m e n t a l e s

Solo son necesarias tres magnitudes físicas fundamentales para el estudio de la mecánica: masa, longitud y tiempo

Sin embargo, al estudiar termodinámica, electricidad y fotometría es necesario introducir otras magnitudes físicas fundamentales: la temperatura, la intensidad de corriente, la intensidad luminosa y la cantidad de sustancia

El resto de magnitudes físicas se denominan magnitudes físicas derivadas y se pueden expresar mediante fórmulas que relacionan las magnitudes fundamentales

Cualquier magnitud derivada se puede expresar como un producto de magnitudes fundamentales denominado ecuación de dimensiones

Para que una ley física sea correcta, es necesario que sea homogénea, es decir, que las ecuaciones dimensionales de sus dos miembros sean idénticas

M a g n i t u d e s f í s i c a s d e r i v a d a s

4

1 Unidades fundamentales y complementarias del S.I.Unidades fundamentales

El segundo (s) : Es la unidad de tiempo

El metro (m) : Es la unidad de longitud

El kilogramo (kg) : Es la unidad de masa

El amperio (A) : Es la unidad de intensidad de corriente eléctrica

El kelvin (K) : Es la unidad de temperatura termodinámica

La candela (cd) : Es la unidad de intensidad luminosa

El mol (mol) : Es la unidad de cantidad de sustancia

Unidades complementarias

El radián (rad) : Es la unidad de ángulo plano

El estereorradián (sr) : Es la unidad de ángulo sólido

5

12

Múltiplos decimales de las unidades del SI

Divisores decimales de las unidades del SI

MÚLTIPLOS Y DIVISORES DECIMALES

tera (T)

giga (G)

mega (M)

kilo (k)

hecto (h)

deca (da)

deci (d)

centi (c)

mili (m)

micro ()

nano (n)

pico (p)

1012

109

106

103

102

101

101

102

103

106

109

6

13 Para que el manejo números muy grandes o muy pequeños sea más fácil, se

emplea la denominada notación científica que consiste en escribir los números mediante una parte entera de una sola cifra, seguida de una parte decimal y una potencia de 10 con exponente entero, positivo o negativo según corresponda. Ejemplos:

Carga eléctrica del electrón : 1,6 · 1019 CMasa del electrón : 9,1·1031 kgVelocidad de la luz en el vacío : 2,998 · 108 m s1

Número de Avogadro : 6,022 · 1023 mol1

Las calculadoras científicas pueden operar con números en notación científica. Si el resultado de una operación es un número con más cifras que las disponibles en la pantalla, el resultado pasa automáticamente a notación científica

7

Magnitudes escalares y vectoriales

MAGNITUDES ESCALARES: son aquellas que quedan perfectamente determinadas por su número que expresa su medida y su unidad correspondiente que sirve para identificar a qué magnitud pertenece un valor numérico dado. Se llaman escalares porque se suelen representar mediante escalas numéricas. Ejemplo: el tiempo, la temperatura o la masa.

C l a s i f i c a c i ó n d e m a g n i t u d e s f í s i c a s

MAGNITUDES VECTORIALES: son aquellas que para definirlas completamente no basta con el número que expresa su medida, necesitamos indicar además una dirección y un sentido. Por esa razón se expresan mediante vectores.

Ejemplo: la fuerza o la velocidad, ya que no quedan bien determinadas con solo un valor numérico; muchos móviles poseen el mismo valor numérico de la velocidad pero viajan en diferentes direcciones

Magnitud física es todo aquello que se puede medir y según sus características se dividen en dos grandes grupos:

8

EJEMPLOS DE CAMBIO DE UNIDADES CON FACTORES DE CONVERSIÓN

Para cambiar unidades hay que tener en cuenta el factor de conversión con sus

múltiplos y submúltiplos. Recuerda, éste es una fracción en la que en el numerador

tenemos una de las unidades y en el denominador otra, según nos interese, y que van

acompañados de los números que igualan lo que hay en el numerador con lo que

parece en el denominador.

Realiza los siguientes cambios de unidades:Realiza los siguientes cambios de unidades:

• 45 m/s·(1 km/1000m)·(3600s/1 h) = 162 km/h. Factor de conversión Factor de conversión

De km a m de horas a s

• 10000 g/cm3·(1kg/1000 g)·(106 cm3/1 m3) = 107 kg/m3.Factor de conversión Factor de conversión

De kg a g de cm3 a m3.

G = 6,67·10-11 N.m2/kg2·(10-5 N/1 dina)·(104 cm2/1 m2)·(106 g2/1 Kg2) = 6,67·10-6 dina.cm2/g2.Factor de conversión Factor de conversión Factor de conversión

De km a m de cm2 a m2. De g2 a kg2

9

EJERCICIOS SOBRE CAMBIOS DE UNIDADES

• A) REALIZA LOS SIGUIENTES CAMBIOS DE UNIDADES UTILIZANDO FACTORES DE CONVERSIÓN.

•

• 250 cm m2• 10-3km3 m3• 5,0032·106 m3• 144 km/h m/s• 0,0023 m/s km/h• 10000 g/cm3 kg/m3• 800 mmHg Atm• 10-7 t kg• 10 Atrn Pa• 5·10-2 erg J• 400 K ºC• 5 N kp• 32” (pulg) cm• 5·107 m Å• 6,59·104 mbares bar• 650 mbares Pa• 2,33·103J cal• 6 J/s cal/h• 0,00002 dinas kp• 15 cal erg• 104 bares mmHg• 3 W

cal/min

CAMBIA LAS UNIDADES DE LAS CONSTANTES• Constante de gravitación universal.

G = 6,67 10-11 N.m2/kg2 dina.cm2/kg2.• Constante de Coulom. K = 9.109 N·m2/C2 dina·dm2/C2• Constante de de los gases. R = 0,082 Atm·l/mol·K Pa.m3/mol·K• Constante de plank. h = 6,62 .10-34 J.s cal·mín

B) DEMOSTRAR QUE SON CIERTAS LAS SIGUIENTES IGUALDADES:

• N.m2/kg2= m3/kg• W = J/s• J/mol·K = Pa·m3/mol.K• N = kg.m.s-2

ALGUNAS EQUIVALENCIAS DE INTERES.

1 dina = 10-5 N• 1 kp = 9,8 N• 1 pulg = 2,54.10-2 m• 1 Å =10-10 m• 1 cal = 4,18 J• 1 J = 0,24 cal• 1 erg = 10-7 J• l Atm = 760 mmHg• l Atm = 101325 Pa• 1 bar = 105 Pa

10

Los vectores y sus característicasUn vector es un segmento orientado que consta de los siguientes elementos: Longitud o módulo, , representa la medida del vector y se expresa mediante un

valor numérico. Se denomina vector unitario al que tiene módulo 1. Dirección es la de la recta sobre la que se apoya el vector.Indica su inclinación. Sentido, indicado por la flecha entre los dos posibles de cada dirección. Origen o punto donde comienza el vector

v

dirección

módulo

sentido

a

a

Podemos representar un vector respecto a los típicos ejes cartesianos (x,y si estamos en un plano o x,y,z si estamos en el espacio). En un plano, quedaría el vector representado por un par de números que son su proyección sobre cada uno de los ejes y reciben el nombre de COMPONENTES.

Las COMPONENTES DE UN VECTOR se obtienen restando las coordenadas del extremo del vector (donde está la flecha) menos las del origen o punto de aplicación del vector. Para calcular el MÓDULO del vector basta con aplicar Pitágoras.

11

y5

2

1 5 x

X

Y

xa

ya a

En x 5-1=4 luego la componente x es 4En y 5-2=3 luego la componente y es 3

El módulo queda: =5

Los ángulos serán:

2222 34 YX aa

a

aYsena

aXcos

a

aXsena

aYcos

Los vectores se pueden sumar y restar. Sumar un vector es hallar otro vector llamado RESULTANTE que produzca los mismos efectos que los vectores sumados si actuasen simultáneamente.

Para realizar la suma de vectores completa hay que hacerla numérica y gráficamente. Numéricamente se calcula el módulo del vector resultante, mientras que gráficamente se dibuja el vector resultante según su dirección y sentido, para realizar la suma de vectores correctamente se deben hacer ambas cosas. Para sumar varios vectores lo primero que hay que hacer es hacer coincidir sus orígenes.

Si se trata de vectores paralelos entre si (igual dirección) puede ocurrir que: a)Vayan en el mismo sentido con lo que basta con sumar sus módulos. b)Vayan en sentidos contrarios, con lo cual sus efectos se oponen y por lo tanto se restan sus módulos y el vector resultante va en el sentido del mayor de ellos.

12

ba

ba

Así se observa que con vectores la resta es en realidad una suma en la que a uno de los vectores se le ha cambiado de sentido, al que lleva el signo menos delante.

EL SIGNO DELANTE DE UN VECTOR INDICA SU SENTIDO, UN SIGNO MENOS DELANTE DEL VECTOR (es como multiplicarlo por –1 ) CAMBIA SU SENTIDO.

-Si se trata de vectores perpendiculares entre si es fácil tanto la suma como la resta ya que se sigue LA REGLA DEL PARALELOGRAMO y el Teorema de Pitágoras para hacer los cálculos.

a

b

22 ba -Si los vectores forman entre si un ángulo cualquiera se sigue empleando la regla del paralelogramo para hacer el dibujo pero para los cálculos hay que utilizar el Teorema del coseno (hay que tener en cuenta que el Teorema de Pitágoras es un caso particular del Teorema del coseno

13

a

b

Teorema del coseno: r2= a2 + b2- 2.a.b.cos como = 180 º entonces cos = -cosLuego r2 = a2 +b2 +2.a.b.cos siendo el ángulo entre los dos vectores

Los más fácil es sumar por componentes ya que conociendo las componentes de los vectores que se quiere sumar resulta mucho más fácil ya que basta con sumar las componentes, componente a componente y el módulo del vector resultante se obtiene a partir de las componentes resultantes. Restar sería restar las componentes.

La suma de dos o más vectores es otro vector que se obtiene de forma geométrica mediante dos métodos posibles

v2

v1

vv 21

vvv 321

v1

v2 v3

Método del paralelogramo: se sitúan dos vectores en un origen común. El vector resultante, se obtiene como la diagonal del paralelogramo formado por dos vectores dados.

Método del polígono: se sitúan sucesivamente, el origen de un vector en el extremo del siguiente. El vector resultante se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del último

14

Medida de magnitudes físicasP R O D U C T O D E U N V E C T O R P O R U N N Ú M E R O

El producto de un vector por un número r , es otro vector de igual dirección, cuyo módulo es el producto del módulo primitivo por el número. El sentido depende del signo del número

v

Si r es positivo, el vector resultante tiene el mismo sentido que el inicial

Si r es negativo, el vector resultante tiene sentido contrario al inicial

v3

v

v3

v

15

VECTORES UNITARIOSVECTORES UNITARIOS

5

u

Algo muy útil en Física son los llamados VECTORES UNITARIOS. . Es evidente que un vector unitario es aquel cuyo módulo es 1 pero ¿como se puede hacer que un vector sea unitario?.

Si este vector a tiene, por ejemplo de componentes (3,4) su módulo es:

El vector unitario sale de dividir a entre su modulo por lo tanto tiene de componentes (3/5, 4/5) que haciendo el módulo queda:

543 22 a

15

4

5

322

u

SE OBTIENE UN VECTOR UNITARIO DIVIDIENDO UN VECTOR ENTRE SU PROPIO MÓDULO. SE OBTIENE UN VECTOR UNITARIO DIVIDIENDO UN VECTOR ENTRE SU PROPIO MÓDULO.

a

au

Entonces todo vector se puede representar como:-Su módulo, que indica su valor numérico.-Un vector unitario que indica la dirección.-Un signo (+ o -) que indica el sentido.

a

au

aa

u

uaa

.

uaa

.por ejemplo

ua

.5

16

Cualquier vector de un plano se puede escribir como suma de un conjunto de dos vectores { } de módulo unidad, perpendiculares entre sí, multiplicados por unos coeficientes numéricos:

ji

,j bi av

De todos los posibles vectores unitarios , en todas las posibles direcciones del espacio los que usarás con más frecuencia son los que se sitúan en los ejes cartesianos de referencia ya que sirven para identificar las componentes de un vector.

El vector unitario en la dirección del eje x se llama i ,el que se sitúa sobre el eje y se llama j y el que se sitúa sobre el eje z se llama k.

El vector unitario en la dirección del eje x se llama i ,el que se sitúa sobre el eje y se llama j y el que se sitúa sobre el eje z se llama k.

Si escribimos significa

que este vector tiene como componentes sobre el eje x 5 , sobre el eje y 3 y sobre el eje z 2 o lo que es lo mismo que si colocamos su origen en el origen de coordenadas su extremo estaría en el punto (5,3,2)

kjia

335

x

z

y

i

j

k

17

09

Los coeficientes {a, b, c} se denominan coordenadas cartesianas del vector y se corresponden con sus proyecciones sobre los ejes cartesianos.

222 cbav Su módulo es:

a

b

c

v

x

y

z

j

i

k

i

j

x

y

O(0, 0 , 0)a

b

v

v

Cualquier vector del espacio se puede escribir como suma de un conjunto de tres vectores { } de módulo unidad, perpendiculares entre sí, multiplicados por unos coeficientes numéricos:

k,j,i

k cjbi av

22 bav

Su módulo es:

Los coeficientes {a, b} se denominan coordenadas cartesianas del vector y se corresponden con sus proyecciones sobre los ejes cartesianos.

18

Producto escalar de dos vectores

• Se denomina así al número escalar que resulta de multiplicar entre sí los módulos de los vectores por el coseno del ángulo comprendido entre ambos. Matemáticamente:

• Como (B cos ) representa la proyección del vector B sobre la dirección de A, el producto escalar de dos vectores puede definirse también como el producto del mó dulo de uno cualquiera de ellos por la proyección del otro sobre él

cos BABA

19

Cálculo del producto escalar cuando los vectores

vienen expresados en función de y

i

i

i

j

Sean los vectores yEl producto escalar de ambos vendría dado por:Efectuando las operaciones indicadas y teniendo en cuenta que los productos:

quedaría finalmente:

EJEMPLOS:1. Dados los vectores (3, -2) y (5, 1), deducir sus módulos, su producto escalar y el

ángulo que forman.Solución: a) b) c) arc cos 0,7071 = 45º.

2. Dados los vectores (5, - x) y (2, 8), deducir el valor de x para que ambos vectores sean perpendiculares.

Solución: El producto escalar de ambos debe ser cero: 5.2 - 8.x = 0 10 – 8x = 0 De donde : x = 1,25.

jAiAA yX

jBiBB yx

jBiBjAiABA yxyX

1 jjii

0 kjji

yyxX BABABA

1349 A 26125 B 132151253 BA

7071,02613

13cos

BA

BA

20

Ejercicios de Magnitudes y cambios de unidades

• 1.- Calcula las componentes cartesianas del vector que tiene por origen el origen de coordenadas, de módulo 5 unidades y que forma un ángulo de 52º 7´48´´ con el eje de abscisas.

• 2.- Dados los vectores con coordenadas a(2,1, -2) y b(- 5, 3, -6) , calcula su suma, su diferencia y un vector unitario en la dirección del vector a.

• 3.- Dados los vectores a(2, -1, -2) y b(6, - 2, 3), calcula el ángulo que forman entre ellos.

• 4.- ¿Para qué valores de m los siguientes vectores a = mi + 2 j y b = 2m i + m j; son perpendiculares?

• 5.- Halla el producto escalar de los vectores: a(2, -1, -2) y b(6, - 2, 3),.

k2ji2a

k2ji2a