fisicoquímica molecular básica cuarto semestre carrera de químico tema 3

Fisicoquímica Molecular Fisicoquímica Molecular BásicaBásica

Cuarto SemestreCuarto Semestre

Carrera de QuímicoCarrera de Químico

Tema 3Tema 3

FQMB-2006 Tema 3 2

Clase en TitularesClase en Titulares

La ecuación de ondas monodimensional Soluciones de la ecuación de ondas Soluciones oscilatorias Modos normales de vibración Ecuaciones de ondas en más dimensiones.

FQMB-2006 Tema 3 3

Ondas en una dimensiónOndas en una dimensión

De Broglie determinó que las partículas tenían asociadas ondas, o, mejor dicho, que las partículas elementales (i.e. el electrón) se comportaban a veces exhibiendo propiedades de partícula y a veces de onda, dependiendo del experimento

FQMB-2006 Tema 3 4


Consecuentemente, es necesario que repasemos los conceptos ya aprendidos sobre ondas para aplicarlos a los fenómenos atómicos

Empecemos por definir nuestro sistema unidimensional en la forma que se muestra en la figura

u(x,t)

x0 l

Cuerda fija Cuerda fija por ambos por ambos extremosextremos

FQMB-2006 Tema 3 5


Recordemos que el Recordemos que el máximo desplazamiento máximo desplazamiento de la cuerda en la de la cuerda en la dirección perpendicular a dirección perpendicular a x es llamada x es llamada amplitudamplitud

La función u(x,t) mide el La función u(x,t) mide el desplazamiento del punto desplazamiento del punto x de la cuerda (entre los x de la cuerda (entre los

extremos 0 y extremos 0 y ll) al tiempo ) al tiempo tt

u(x,t)

x0 l

Cuerda fija Cuerda fija por ambos por ambos extremosextremos

FQMB-2006 Tema 3 6

Ecuación de ondasEcuación de ondas La ecuación que determina el comportamiento de la cuerda es una

ecuación diferencial a derivadas parciales (EDP)ecuación diferencial a derivadas parciales (EDP) que tiene la forma

donde v es la velocidad con que la perturbación se propaga en la cuerda

La EDP tiene dos variables independientesvariables independientes x y t Es una EDP lineallineal y a variables separablesvariables separables

u(x,t)

x0 l

22u(x,t)u(x,t)

xx22

22u(x,tu(x,t))

tt22

______________ ______________==11

vv22

____ (1)(1)

FQMB-2006 Tema 3 7

Ecuación de ondasEcuación de ondas

La ecuación

debe cumplir además con las condiciones de contornocondiciones de contorno

u(0,t) = 0u(0,t) = 0 u(l,t) = 0 u(l,t) = 0 t t

dado que la cuerda tiene fijos sus extremos y, por lo tanto, la amplitud de movimiento ahí es nula

22u(x,t)u(x,t)

xx22

22u(x,tu(x,t))

tt22

______________ ______________==11

vv22

____ (1)(1)

(2)(2)

FQMB-2006 Tema 3 8

Solución de la ecuación de Solución de la ecuación de ondasondas

La ecuación de ondas es a variables separables. Podemos entonces buscar la solución como

u(x,t) = X(x) T(t)u(x,t) = X(x) T(t)

Tendremos así que la ecuación de ondas

se transforma en

22u(x,t)u(x,t)

xx22

22u(x,tu(x,t))

tt22

______________ ______________==11

vv22

____

dd22T(t)T(t)

dxdx22

dd22X(x)X(x)

dtdt22

______________ ______________==11

vv22

____T(t)T(t) X(x)X(x)

(3)(3)

(1)(1)

(4)(4)

FQMB-2006 Tema 3 9


Podemos ahora dividir ambos lados de la ecuación por

u(x,t) = X(x) T(t)u(x,t) = X(x) T(t)

y obtenemos

Ambos lados de la igualdad dependen de distintas variables (x y t) que, a su vez, son independientes entre sí. Por lo tanto, cada lado de la ecuación puede variar independientemente del otro. La única forma en que la igualdad sea siempre válida, para cualquier valor de x y t es que ambos miembros sean iguales a una constante (es decir, una función que no depende ni de x ni de t)

dd22T(t)T(t)

dxdx22

dd22X(x)X(x)

dtdt22

______________ ______________==11

vv22

____XX11(x)(x) TT11(t)(t)

(3)(3)

(5)(5)

FQMB-2006 Tema 3 10


Es decir

donde K es la constante de separación. Obsérvese entonces que tenemos dos ecuaciones ahora, que tienen respectivamente la forma

dxdx22

dd22X(x)X(x)______________ = K == K =XX11(x)(x)dd22T(t)T(t)

dtdt22

______________11

vv22

____ TT11(t)(t)

______________dd22X(x)X(x)

dxdx22 K X(x) = 0K X(x) = 0

______________dd22T(t)T(t)

dtdt22 K vK v22 T(t) = T(t) = 00

(6)(6)

(7)(7)

(8)(8)

FQMB-2006 Tema 3 11

Las ecuaciones (7) y (8) son ecuaciones diferenciales ordinariasecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), linealeslineales (las funciones y sus derivadas están sólo a la potencia 1) y a coeficientes constantes coeficientes constantes (los coeficientes son 1, -K y -Kv2 , ninguno de ellos depende de las variables x y t)

Nótese que, en general, la solución de EDOs como la (7) y la (8) va a depender del valor de la constante K. Por eso, vamos a discutir las soluciones para estas ecuaciones en función del valor de la constante de separación. Consideremos primero el caso en que K=0


______________dd22X(x)X(x)

dxdx22= 0 = = 0 = ______________dd22T(t)T(t)

dxdx22 (9)(9)

FQMB-2006 Tema 3 12

Obviamente, las soluciones de las ecuaciones (9) son


X(x) = aX(x) = a11x + bx + b11 T(t) = a T(t) = a22t +bt +b22

(10)(10)

Ahora bien, no es difícil de demostrar que para que se cumplan las condiciones de contorno de las ecuaciones (2), todos los coeficientes en las ecuaciones (10) deben ser nulos. Obtenemos entonces que, si K=0, la única solución de las ecuaciones (7) y (8) es la así llamada solución trivial solución trivial

X(x) = 0 T(t) = 0 X(x) = 0 T(t) = 0 x,t (11)(11)

Esto, evidentemente, no nos sirve de mucho

FQMB-2006 Tema 3 13

Si, por el contrario, K > 0, entonces ambas ecuaciones tienen la forma


(12)(12)

La solución general de una ecuación con esta forma, es siempre

______________dd22Y(y)Y(y)

dydy22 kk22 Y(y) = 0 Y(y) = 0

Y(y) = cY(y) = c11 e e kyky + c + c22 e e kyky (13)(13)

lo que puede comprobarse por sustitución directa. Nótese que cada uno de los términos en el lado derecho de la ecuación, satisfacen la EDO (12) por sí mismos. El hecho de que la EDO es lineal posibilita que la combinación linealcombinación lineal de ambos términos sea también una solución

FQMB-2006 Tema 3 14

Veamos que pasa, para la función X(x), cuando aplicamos las condiciones de contorno (2)


(14)(14)

Manipulando en la ecuación (15) introduciendo la ecuación (14) tenemos

X(0) = 0 = cX(0) = 0 = c11 + + cc22 X(l) = 0 = cX(l) = 0 = c11 e e klkl + c + c22 e e klkl (15)(15)

X(l) = 0 = cX(l) = 0 = c11 e e klkl + c + c22 e e klkl = c= c11 ( (e e klkl - - e e klkl ) ) tt (16)(16)

Esta condición puede satisfacerse sólo si C1=0, de donde surge, por la ecuación (14), que C2=0, es decir ... tenemos nuevamente la solución trivial. Desilusionante, no?

FQMB-2006 Tema 3 15

El caso mas interesante es cuando K es negativo. Tenemos entonces

Soluciones oscilatoriasSoluciones oscilatorias

(17)(17)

La solución general es similar a la anterior

______________dd22Y(y)Y(y)

dydy22 kk22 Y(y) = 0 Y(y) = 0

Y(y) = cY(y) = c11 e e iikyky + c + c22 e e iikyky (18)(18)

Estas soluciones son funciones complejasfunciones complejas, donde interviene el símbolo ______

i = i = (19)(19)

Atención

FQMB-2006 Tema 3 16

Recordemos que un número complejo puede siempre escribirse como

Disgresión por los Disgresión por los números complejosnúmeros complejos

z = x + i y x = Re(z) y = Im(z)z = x + i y x = Re(z) y = Im(z)

donde x e y son números reales que se acostumbran llamar parte realparte real y parte imaginariaparte imaginaria del número complejo. Reglas importantes son

(20)(20)

z* = x z* = x i y i y complejo conjugado de zcomplejo conjugado de z(21)(21)

zz11 + z + z22 = (x = (x11 + x + x22) + i (y) + i (y11 + y + y22)) adiciónadición (22)(22)

zz11 z z22 = x = x1122 y y11

22 + i (x + i (x11yy22 + y + y11xx22)) multiplicaciónmultiplicación (23)(23)

zz11/z/z22 = z = z11 z z22* / z* / z22 z z22** división división (24)(24)

FQMB-2006 Tema 3 17

Algo muy importante es lo que pasa al multiplicar un complejo y su conjugado

Disgresión por los Disgresión por los números complejosnúmeros complejos

z z* = xz z* = x22 + y + y22 + i (xy - yx) = x + i (xy - yx) = x22 + y+ y22

Generalmente se escribe

(25)(25)

||z|| = z z* = x||z|| = z z* = x22 + y + y22 norma de znorma de z(26)(26)

|z| = ||z|||z| = ||z||½ ½ = (x= (x22 + y + y22) ) ½½ módulo de zmódulo de z(27)(27)La importancia de estas definiciones surgirá mas adelante

FQMB-2006 Tema 3 18

Los números complejos pueden Los números complejos pueden representarse como vectores en un plano representarse como vectores en un plano definido por las componentes reales e definido por las componentes reales e imaginarias del número complejo. Este imaginarias del número complejo. Este plano se llama elplano se llama el plano complejoplano complejo

Fijándonos en la figura, tenemosFijándonos en la figura, tenemos

r = |z|r = |z| (28)(28)

tantan = Re(z)/Im(z) = Re(z)/Im(z) (29)(29)

lo que implicalo que implica

z z = x + iy = r = x + iy = r coscos + r + r sensen ==

= r (= r (coscos + i + i sensen) = r ) = r ee ii(30)(30)

Digresión por los números Digresión por los números complejoscomplejos

. (x,y)(x,y)

Re(zRe(z))

Im(zIm(z))

rr

FQMB-2006 Tema 3 19

T(t) = cT(t) = c33 e e iivtvt + c + c44 e e iivtvt C C coscos t + D t + D sensen tt (34)(34)


Veamos entonces las soluciones generales de las ecuaciones Veamos entonces las soluciones generales de las ecuaciones (6-8) cuando (6-8) cuando K = K = escrito así para que sea evidente que K escrito así para que sea evidente que K es negativo). Tenemos es negativo). Tenemos

______________dd22X(x)X(x)

dxdx22 22 X(x) = 0 X(x) = 0

______________dd22T(t)T(t)

dtdt22 22vv22 T(t) = 0 T(t) = 0

(31)(31)

(32)(32)

Escribiendo la solución en la forma (18) y usando la relación Escribiendo la solución en la forma (18) y usando la relación (30) (30)

X(x) = cX(x) = c11 e e iixx + c + c22 e e iixx A A cos cos x + B x + B sensen xx (33)(33)

=v

FQMB-2006 Tema 3 20


Tenemos que aplicar ahora las condiciones de contorno de la Tenemos que aplicar ahora las condiciones de contorno de la ec. (2) ec. (2)

X(0) = X(0) = A A cos cos 0 + B 0 + B sensen 0 = A = 00 = A = 0 (35)(35)X(l) = X(l) = A A cos cos ll + B + B sensen ll = B = B sensen ll = 0 = 0 (36)(36)

La ecuación (36) se satisface si B=0, lo que (junto con A=0) La ecuación (36) se satisface si B=0, lo que (junto con A=0) nos dejaría únicamente la solución trivial. nos dejaría únicamente la solución trivial. PEROPERO, la ec. (36) se , la ec. (36) se satisface también si satisface también si

ll = n = n n = 1, 2, 3, ... n = 1, 2, 3, ... (37)(37)No incluímos n=0 porque conduce nuevamente a la solución No incluímos n=0 porque conduce nuevamente a la solución

trivial. trivial. Las condiciones de contorno provocan la cuantización Las condiciones de contorno provocan la cuantización de de

FQMB-2006 Tema 3 21


La solución general para X(x) es entonces La solución general para X(x) es entonces

XXnn(x) = (x) = B B sensen n n x n=1,2,3,... x n=1,2,3,... (38)(38)____ll

Tenemos que resolver ahora la ecuación (32) que tiene la Tenemos que resolver ahora la ecuación (32) que tiene la forma forma

______________dd22T(t)T(t)

dtdt22 nn

22 T(t) = 0 T(t) = 0

n=1,2,3,... n=1,2,3,... (39)(39)

donde introdujimos la ecuación (37) en la forma donde introdujimos la ecuación (37) en la forma

nn = = nnvvn n v / v / ll n=1,2,3, ... n=1,2,3, ... (40)(40)

FQMB-2006 Tema 3 22


La solución general es simplemente La solución general es simplemente

TTnn(t) = D (t) = D coscos nnt + E t + E sensen nnt n=1,2,3,... t n=1,2,3,... (41)(41)

Nótese que no tenemos condiciones de contorno para definir D y Nótese que no tenemos condiciones de contorno para definir D y E (las constantes de integración), por lo que lo dejaremos E (las constantes de integración), por lo que lo dejaremos entonces así. Con (38) y (41) podemos entonces escribir entonces así. Con (38) y (41) podemos entonces escribir

uunn(x,t) = X(x,t) = Xnn(x)T(x)Tnn(t) = B (t) = B sensen n nx {D x {D coscos nnt + E t + E sensen nnt} t} ==

= {a = {ann coscos nnt + bt + bnn sensen nnt} t} sensen n nxx

n=1,2,3,... n=1,2,3,... (42)(42)

ll

ll

______

______

FQMB-2006 Tema 3 23

u(x,t) = u(x,t) = u unn(x,t) =(x,t) =

= = (a (ann coscos nnt + bt + bnn sensen nnt) t) sensen n nx x n=1,2,3,... (43)n=1,2,3,... (43)


Acá hemos hecho depender los coeficientes a y b de n, dado Acá hemos hecho depender los coeficientes a y b de n, dado que las condiciones iniciales para cada solución (con n que las condiciones iniciales para cada solución (con n diferente) podrían ser diferentes. Dado que cada una de las diferente) podrían ser diferentes. Dado que cada una de las ecuaciones (42) es una solución de la ecuación diferencial ecuaciones (42) es una solución de la ecuación diferencial lineal (1), la solución más general posible es la suma de todas lineal (1), la solución más general posible es la suma de todas las soluciones individuales las soluciones individuales

ll______

n=1n=1

n=1n=1

FQMB-2006 Tema 3 24

Modos Normales de Modos Normales de VibraciónVibración

Una simplificación trigonométrica simple nos permite escribir Una simplificación trigonométrica simple nos permite escribir

u(x,t) = u(x,t) = u unn(x,t) = (x,t) = A Ann coscos ( (nnt + t + nn) ) sensen n nx x

n=1,2,3,... n=1,2,3,...

(44)(44)

ll______n=1n=1 n=1n=1

Los ALos Ann serán las amplitudes de cada solución, mientras que los serán las amplitudes de cada solución, mientras que los nn se llaman se llaman ángulos de faseángulos de fase de cada solución. Cada solución de cada solución. Cada solución uunn(x,t) representa un (x,t) representa un movimiento armónicomovimiento armónico de diferente de diferente frecuencia y se llama frecuencia y se llama modo normalmodo normal de vibración. El modo de vibración. El modo normal con n=1 se llama normal con n=1 se llama fundamentalfundamental o o primer armónico primer armónico , , para n=2 tenemos el segundo armónico o para n=2 tenemos el segundo armónico o primer sobretonoprimer sobretono, , etc. En la siguiente gráfica se muestran algunos de los etc. En la siguiente gráfica se muestran algunos de los armónicos.armónicos.

FQMB-2006 Tema 3 25

Modos NormalesModos Normales

nodos

FQMB-2006 Tema 3 26

Modos NormalesModos Normales

Los puntos de la cuerda que permanecen fijos Los puntos de la cuerda que permanecen fijos durante el movimiento de ésta, se llaman durante el movimiento de ésta, se llaman nodosnodos

Nótese que para el n-ésimo sobretono hay n-1 Nótese que para el n-ésimo sobretono hay n-1 nodos (el estado fundamental no tiene nodos)nodos (el estado fundamental no tiene nodos)

Las ondas (fundamental y sobretonos) que se Las ondas (fundamental y sobretonos) que se obtienen en la forma de la ecuación (44) se obtienen en la forma de la ecuación (44) se llaman llaman ondas estacionariasondas estacionarias, justamente porque , justamente porque la posición de los nodos está fija en el tiempola posición de los nodos está fija en el tiempo

Entre los nodos, la cuerda se mueve arriba y Entre los nodos, la cuerda se mueve arriba y abajo (como un fundamental con menor abajo (como un fundamental con menor distancia!)distancia!)

FQMB-2006 Tema 3 27

Ondas ViajerasOndas Viajeras

El segundo El segundo armónico oscila armónico oscila dos veces más dos veces más rápido que el rápido que el primero, por lo que primero, por lo que cuando se suman cuando se suman esto provoca la esto provoca la típica onda viajera, típica onda viajera, donde hay dos donde hay dos máximos de máximos de diferente altura, diferente altura, dando la imagen dando la imagen de que la onda “se de que la onda “se mueve”, p.ej. una mueve”, p.ej. una olaola

FQMB-2006 Tema 3 28

Superposición de ondasSuperposición de ondas

Una superposiciónUna superposiciónde ondas que de ondas que viajanviajanen dirección en dirección opuestaopuestasuman sus suman sus amplitudesamplitudes

Dos ondas de Dos ondas de distinta distinta frecuencia frecuencia viajando en el viajando en el mismo sentido se mismo sentido se interfiereninterfieren

Dos ondas de Dos ondas de la misma la misma frecuencia frecuencia viajando en viajando en direcciones direcciones opuestas opuestas producen una producen una onda estacionariaonda estacionaria

Dos ondas de Dos ondas de frecuencias frecuencias ligeramente ligeramente diferentes diferentes viajando en el viajando en el mismo sentido mismo sentido producen pulsos producen pulsos (paquetes de (paquetes de ondas)ondas)

FQMB-2006 Tema 3 29

Ondas en más Ondas en más dimensionesdimensiones

Los principios que rigen a las ondas en más dimensiones son los mismos que ya vimos.

La analogía en 2 dimensiones con la cuerda fija en sus extremos es una membrana vibrante que toma vida en los tambores del carnaval.

FQMB-2006 Tema 3 30

Ondas en 2 dimensionesOndas en 2 dimensiones La generalización de la ecuación de ondas (1) a dos dimensiones tiene la formaLa generalización de la ecuación de ondas (1) a dos dimensiones tiene la forma

Esta podría ser la ecuación de ondas de una membrana de lados Esta podría ser la ecuación de ondas de una membrana de lados aa y y bb respectivamente, tal que está fija a lo largo de todo su perímetro respectivamente, tal que está fija a lo largo de todo su perímetro

xx22

22u(x,y,t)u(x,y,t)________________ ==22u(x,y,t)u(x,y,t)

tt22

________________11

vv22

____

yy22

22u(x,y,t)u(x,y,t)________________++

aa

bb00

u(0,y,t) = u(a,y,t) = 0u(0,y,t) = u(a,y,t) = 0

u(x,0,t) = u(x,b,t) = 0u(x,0,t) = u(x,b,t) = 0

(45)(45)

(46)(46)

FQMB-2006 Tema 3 31

Ondas en 2 dimensionesOndas en 2 dimensiones Aplicamos nuevamente el método de separación de variables y tenemosAplicamos nuevamente el método de separación de variables y tenemos

u(x,y,t) = F(x,y) T(t)u(x,y,t) = F(x,y) T(t)

Sustituyendo la expresión (47) en la ecuación (45) y dividiendo por F(x,y)T(t) tenemosSustituyendo la expresión (47) en la ecuación (45) y dividiendo por F(x,y)T(t) tenemos

Esta ecuación, en principio, sabemos como resolverla, con lo cual obtenemos las dos ecuaciones Esta ecuación, en principio, sabemos como resolverla, con lo cual obtenemos las dos ecuaciones

(47)(47)

dd2 2 T(t)T(t)

dtdt22vv2 2 T(t)T(t)11_____ ___________ ______

==F(x,y)F(x,y)

11__________vv2 2 T(t)T(t)

11

yy22

22FF________ xx22

22FF________(( ++ )) (48)(48)

FQMB-2006 Tema 3 32

Ondas en 2 dimensionesOndas en 2 dimensiones

(49)(49)

22 F(x,y) = 0 F(x,y) = 0 yy22

22FF________ xx22

22FF________ ++

dd2 2 T(t)T(t)

dtdt22

__________ vv2 2 2 2 T(t) = T(t) = 00

++

++ (50)(50)

La ecuación (49) es una vieja conocida y sabemos como resolverla. En La ecuación (49) es una vieja conocida y sabemos como resolverla. En el caso de la ecuación (50) nos encontramos con otra ecuación a dos el caso de la ecuación (50) nos encontramos con otra ecuación a dos variables, pero haciendo F(x,y) = X(x)Y(y) podemos hacer variables, pero haciendo F(x,y) = X(x)Y(y) podemos hacer nuevamente una separación de variables.nuevamente una separación de variables.

Habiendo separado las variables con constantes de separación p y q Habiendo separado las variables con constantes de separación p y q respectivamente, obtenemos respectivamente, obtenemos

FQMB-2006 Tema 3 33

Ondas en 2 dimensionesOndas en 2 dimensiones

xx = (x,y) (51) = (x,y) (51)

Nótese que la forma de esta ecuación es completamente similar a Nótese que la forma de esta ecuación es completamente similar a la de la ecuación en 1 dimensión, excepto que ahora tenemos dos la de la ecuación en 1 dimensión, excepto que ahora tenemos dos números “cuánticos” n y m que etiquetan el estado. Las números “cuánticos” n y m que etiquetan el estado. Las frecuencias de vibración, en este caso, dependen de ambos frecuencias de vibración, en este caso, dependen de ambos números n y mnúmeros n y m

nmnm = v = v ( n ( n22/a/a22 + m + m22/b/b22))1/2 1/2 (52)(52)

u(u(xx,t) = ,t) = u unmnm((xx,t) = ,t) = A Anmnm coscos ( (nmnmt + t + nmnm) ) sensen n nx x sensen mmy y aa

______m,n=1m,n=1 m,n=1m,n=1

aa______

FQMB-2006 Tema 3 34

Modos normales en 2 Modos normales en 2 dimensionesdimensiones

Algunos de los modos normales en el caso bi-dimensional Algunos de los modos normales en el caso bi-dimensional pueden verse en la siguiente figura.pueden verse en la siguiente figura.

Nótese que cuando m=n=1 tenemos el estado fundamental (en las dos Nótese que cuando m=n=1 tenemos el estado fundamental (en las dos direcciones perpendiculares, la membrana tiene la misma forma que tenía direcciones perpendiculares, la membrana tiene la misma forma que tenía la cuerda cuando n=1)la cuerda cuando n=1)

Los otros dos modos normales tienen m=1 y aumenta el n. Si modificamos Los otros dos modos normales tienen m=1 y aumenta el n. Si modificamos ambos números obtenemos la figura de la siguiente diapositiva. ambos números obtenemos la figura de la siguiente diapositiva.

FQMB-2006 Tema 3 35


En el caso bidimensional, aparecen soluciones degeneradas. En el caso bidimensional, aparecen soluciones degeneradas. Por ejemplo Por ejemplo uu1212 y y uu2121

FQMB-2006 Tema 3 36

Ondas en dos dimensionesOndas en dos dimensiones Si el desplazamiento es sólo en Si el desplazamiento es sólo en

la dirección X tenemos ondas la dirección X tenemos ondas longitudinaleslongitudinales

Si el desplazamiento es sólo en Si el desplazamiento es sólo en la dirección Y tenemos ondas la dirección Y tenemos ondas transversalestransversales

Si el desplazamiento es en las dos Si el desplazamiento es en las dos direcciones tenemos fenómenos direcciones tenemos fenómenos como el de las olas marinascomo el de las olas marinas

FQMB-2006 Tema 3 37


Resolvamos las ecuaciones en función del tiempo para un par Resolvamos las ecuaciones en función del tiempo para un par de oscilaciones de una membrana (usando Mathematica)de oscilaciones de una membrana (usando Mathematica)

fisicoquímica molecular básica cuarto semestre carrera de químico tema 3

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