COLEGIO POPULAR PARTICULAR A DISTANCIA

FÍSICA VECTORIAL

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COLEGIO POPULAR PARTICULAR A DISTANCIA

PRIMERO BACHILLERATOFISICO MATEMÁTICAS

SISTEMA DE COORDENADAS

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo o más generalmente variedad diferenciable.

En física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Un sistema de referencia viene dado por un punto de referencia u origen y una base vectorial ortonormal, quedando así definidos los ejes coordenados.

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Ejemplo de sistemas de coordenadas

Un sistema de coordenadas permite "etiquetar" los puntos de una variedad diferenciable mediante un conjunto de n-tuplas. Los casos más sencillos de sistemas de coordenadas se definen sobre el espacio euclídeo o "espacio plano", aunque también es posible construirlos sobre variedades con curvatura. Un sistema de coordenadas sobre una variedad n-dimensional se representa como un par ordenado formado por un dominio y una aplicación diferenciable a un conjunto abierto de , éste último conjunto contiene los posibles valores de las coordenadas, que obviamente serán números reales.

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Con coordenadas cartesianas señalas un punto diciendo la distancia de lado y la distancia vertical:

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En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto ( ) sobre un eje determinado:

Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un versor ( ) tal que:

, cuyo módulo es .

x_\text{A} = {\text{OA} \cdot \mathbf {i} \over |\text{OA}| \cdot |\mathbf{i}|} = El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x.

Así pues la coordenadas se establecen como las reglas de las matemáticas únicas, dando así la necesidad de utilizarlas y saber que los ejes X y Y respectivamente no tienen nada que ver con las coordenadas y son ya descartadas de la grafica.

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

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El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.

De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

Representación de puntos con coordenadas polares

Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares.

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En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.

El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.

El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.

Con coordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y el ángulo que se forma:

COORDENADAS GEOGRÁFICAS

Mapa de la Tierra mostrando las líneas de latitud (rectas horizontales) y de longitud (arcos) y angulos laterales.

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El sistema de coordenadas geográficas es un sistema de referencia que utiliza las dos coordenadas angulares latitud (norte o sur) y longitud (este u oeste) para determinar los ángulos laterales de la superficie terrestre (o en general de un circulo o un esferoide). Estas dos coordenadas angulares medidas desde el centro de la Tierra son de un sistema de coordenadas esféricas que están alineadas con su eje de rotación. La definición de un sistema de coordenadas geográficas incluye un datum, meridiano principal y unidad angular. Estas coordenadas se suelen expresar en grados sexagesimales

La latitud mide el ángulo entre cualquier punto y el ecuador. Las líneas de latitud se llaman paralelos y son círculos paralelos al ecuador en la superficie de la Tierra. La latitud es la distancia que existe entre un punto cualquiera y el Ecuador, medida sobre el meridiano que pasa por dicho punto. Para los paralelos, sabiendo que la circunferencia que corresponde al Ecuador mide 40.075,004 km, 1º equivale a 111,319 km.

o La latitud se suele expresar en grados sexagesimales.o Todos los puntos ubicados sobre el mismo paralelo tienen la misma latitud.o Aquellos que se encuentran al norte del Ecuador reciben la denominación Norte (N).o Aquellos que se encuentran al sur del Ecuador reciben la denominación Sur (S).o Se mide de 0º a 90º.o Al Ecuador le corresponde la latitud de 0º.o Los polos Norte y Sur tienen latitud 90º N y 90º S respectivamente.

La longitud mide el ángulo a lo largo del ecuador desde cualquier punto de la Tierra. Se acepta que Greenwich en Londres es la longitud 0 en la mayoría de las sociedades modernas. Las líneas de longitud son círculos máximos que pasan por los polos y se llaman meridianos. Para los meridianos, sabiendo que junto con sus correspondientes antimeridianos se forman circunferencias de 40.007 km de longitud, 1º equivale a 111,131 km.

Combinando estos dos ángulos, se puede expresar la posición de cualquier punto de la superficie de la Tierra. Por ejemplo, Baltimore, Maryland (en los Estados Unidos), tiene latitud 39,3 grados norte, y longitud 76,6 grados oeste. Así un vector dibujado desde el centro de la tierra al punto 39,3 grados norte del ecuador y 76,6 grados al oeste de Greenwich pasará por Baltimore.

CONVERSIÓN DE COORDENADAS

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Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas.

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x.

CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES A RECTANGULARES

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

CONVERSIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:

(aplicando el Teorema de Pitágoras)

Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:

Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real. Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por

convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].

Ejemplo

Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el triángulo:

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De cartesianas a polares

Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.

Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?

Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):

r2 = 122 + 52

r = √ (122 + 52)

r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13

Usa la función tangente para calcular el ángulo:

tan( θ ) = 5 / 12

θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°

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Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:

r = √ (x2 + y2)

θ = arctan( y / x )

 De polares a cartesianas

Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:

Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?

Usamos la función coseno para x: cos( 23 °) = x / 13

Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98

   

Usamos la función seno para y: sin( 23 °) = y / 13

Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08

 

Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son:

x = r × cos( θ )

y = r × sin( θ )

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ANÁLISIS VECTORIAL

Magnitudes Escalares

Son aquellas magnitudes que para su determinación necesitan únicamente de un valor numérico,

acompañado de su respectiva unidad.

Ejemplos:

5, 7.5, 6.333, Pi, 3m, 3sg, 7ºC.

Magnitudes Vectoriales

Son aquellas magnitudes que para su completa determinación necesitan de magnitud o módulo,

dirección y sentido, es decir, las magnitudes vectoriales pueden ser representadas mediante un gráfico

denominado vector.

Ejemplos:

La fuerza ( F ), la aceleración ( a ), El peso ( W ).

Vector

Se llama vector al segmento de recta dirigido cuyo punto inicial se llama origen y su punto final se

llama extremo.

E (Extremo)

O (Origen)

Al vector se lo puede nombrar mediante letras del alfabeto y sobre estas una flecha.

F

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F F

Elementos de un vector

Los elementos de un vector son:

Módulo o Magnitud

Dirección

Sentido

Módulo o Magnitud

Es la medida que tiene el vector, es decir, el número de veces que se repite una escala predeterminada

así:

1 2 3 4 5 6 7 8

F= Módulo o Vector

F= 8u

o

| F |=8u

Dirección

La dirección de un vector está dada por el ángulo que tiene el mismo respecto a una línea o recta

referencial así:

F

Өº Dirección

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Sentido

El sentido de un vector está dado por la ubicación de las flechas, es decir que un vector o dos vectores

pueden tener la misma dirección pero sentidos contrarios.

Sentido

Sentido

Vectores Iguales

Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección, y el mismo sentido.

F1 F2

Өº Өº Recta Referencial

F1 = F2

Vectores Deslizantes

Se llaman vectores deslizantes a los vectores iguales que actúan sobre una misma línea de acción.

Línea de acción

F1 = F2

Vectores Concurrentes

Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se intersecan en un solo punto así.

F1

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F3

F2

Vector suma o vector resultante ( R )

Es el vector que resulta de sumar dos o más vectores, es decir, el vector resultante puede reemplazar a

la acción de dos o más vectores.

F1

1 2 3 4

F2

1 2 3 4

R = F1 + F2

1 2 3 4 5 6 7 8

F2

F1

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R = F1 + F2

Módulo del vector suma resultante ( R )

Es la medida que tiene el vector suma o resultante, y esta depende de la configuración de los vectores a

sumarse; es decir, la suma de la resultante no siempre será la suma aritmética de los módulos de los

vectores participantes.

Existen dos métodos para determinar el módulo de la resultante que es:

Método Gráfico

Método Analítico

MÉTODO GRÁFICO

Es el método mediante el cual, empleando un juego geométrico se puede determinar todo el módulo

como la dirección de la resultante y son tres los métodos que pueden emplearse y son los siguientes:

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

Éste método consiste en dados tres vectores cualquiera graficar los mismos con el mismo punto de

aplicación y con sus propias características iniciales, para seguidamente proceder a transportar cada

vector al extremo del otro, conformando así un paralelogramo. Finalmente construiremos el vector

resultante a partir del origen de los vectores iniciales hasta los extremos de los transportados así:

MÉTODO DEL TRIÁNGULO

Éste método consiste en dados dos vectores cualquiera, ubicar el uno a continuación del otro con sus

características particulares, para finalmente unir con un vector resultante el origen del 1er vector con el

extremo del 2do vector y proceder a medir su módulo y su dirección.

MÉTODO DEL POLÍGONO

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Éste método se aplica cuando queremos determinar la resultante de más de dos vectores y consiste en

ir ubicando un vector a continuación del otro con sus características particulares, para de ésta manera

unir con un vector resultante el origen del primer vector con el extremo del último vector y medir en

éste tanto su módulo como su dirección.

ACTIVIDADES

1. Transformar de coordenadas polares a cartesianas

2. Convertir de coordenadas cartesianas a polares

3. Hallar el vector resultante de dos vectores fuerza de 4Kp y 3Kp aplicados en un punto 0 y

formando un ángulo de: 90º

4. Dados los siguientes vectores determinar el módulo de la resultante y la dirección de la

misma.

5. Determinar por el método del triángulo el módulo de la resultante y su dirección.

6. Resolver los siguientes vectores por el método del polígono

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ACTIVIDADES RESUELTAS PRIMERO DE BACHILLERATO FISICO MATEMATICO

FISICA VECTORIAL 1

1. Transformar de coordenadas polares a cartesianas

A(2; 120º)

B (1; 0º) = (1, 0)

C (1; 180º) = (−1, 0)

D (1; 90º) = (0, 1)

C (1; 270º) = (0, −1)

2. Convertir de coordenadas cartesianas a polares

A=

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A= (2;60º)

B=

B= (2;120º)

C=

C= (2;240º)

D=

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D= (2;300º)

E=(2, 0)

E= (2; 0º)

F= (−2, 0)

F = (2; 180º)

G= (0, 2)

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COLEGIO POPULAR PARTICULAR A DISTANCIA

G =(2;90º)

H= (0, −2)

H =(2;270º)

3.- Hallar el vector resultante de dos vectores fuerza de 4Kp y 3Kp aplicados en un punto 0 y

formando un ángulo de: 90º

Solución:

Se comienza dibujando los dos vectores 0A y 0B, de forma que sus módulos representen 4Kp y 3Kp a

la escala elegida, y formando los ángulos que dice el enunciado, se construye el paralelogramo

trazando BR paralela a 0A y AR paralela a 0B.

La diagonal 0R representa en cada uno de los casos, el vector resultante de los dos lados.

Midiendo 0R con la escala adoptada, se obtiene 5 Kp, el ángulo medido con un semicírculo graduado,

resulta de 37º.

B R

3

0 90º A

4

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COLEGIO POPULAR PARTICULAR A DISTANCIA

4.- Dados los siguientes vectores determinar el módulo de la resultante y la dirección de la

misma.

a) Datos:

F1=4N

Ө1=20º

F2=3N

Ө2=80º

R=?

ӨR=?

b) Datos:

F1=4N

Ө1=30º

F2=3N

Ө2=120º

R=?

ӨR=?

3)

5.- Determinar por el método del triángulo el módulo de la resultante y su dirección.

a) Datos:

F1=6N

Ө1=110º

F2=5N

Ө2=200º

R=?

ӨR=?

b) Datos:

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F1=4N

Ө1=40º

F2=3.5N

Ө2=330º

R=?

ӨR=?

6.- Resolver los siguientes vectores por el método del polígono

Datos:

F1=3Kp

Ө1=30º

F2=4Kp

Ө2=120º

F3=3.5Kp

Ө3=80º

F4=5Kp

Ө4=330º

R=?

ӨR=?

2)

Datos:

F1=3Kp

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COLEGIO POPULAR PARTICULAR A DISTANCIA

Ө1=70º

F2=4Kp

Ө2=280º

F3=3.5Kp

Ө3=45º

F4=5Kp

Ө4=140º

R=?

ӨR=?

NOTA: Los ejercicios de operaciones de vectores por el método gráfico deberán resolverse en hoja de papel milimetrado.

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