1 Cinemtica (MRU)

Bienvenidos al mundo de la Fsica Pero, qu es la Fsica? La Fsica es una ciencia bsica, es decir fundamental; es madre de muchas otras ciencias. As, utilizan ideas de la fsica los qumicos cuando estudian la estructura de las molculas, los paleontlogos cuando intentan reconstruir el modo de caminar de los dinosaurios, y los climatlogos cuando estudian cmo las actividades humanas afectan la atmsfera y los ocanos. La fsica es la base de toda la ingeniera y la tecnologa; ningn ingeniero podra disear un televisor de pantalla plana, una nave espacial ni siquiera una trampa para ratones, sin antes haber comprendido las leyes bsicas de la fsica. El estudio de la fsica es tambin una aventura; ustedes la encontrarn desafiante, a veces frustrante y en ocasiones dolorosa; sin embargo, con frecuencia les brindar abundantes beneficios y satisfacciones. La fsica estimular en ustedes el sentido de lo bello, as como vuestra inteligencia racional. Si alguna vez se han preguntado por qu el cielo es azul, o cmo hacen las ondas de radio para viajar por el espacio vaco, o cmo un satlite permanece en rbita, las respuestas la encontrarn en la Fsica. Sobre todo, apreciarn a la Fsica como un logro sobresaliente de la inteligencia del hombre en su afn por entenderle mundo en que vivimos y a la humanidad misma. Pero como ven, el campo de las cuestiones de las que se ocupa la fsica es muy vasto y nosotros en este primer curso lo vamos a limitar a una parte de ella, conocida con el nombre de mecnica.

La mecnica estudia las relaciones mutuas que vinculan a 3 agentes fundamentales de la naturaleza: las fuerzas, la materia y el movimiento. Y precisamente nuestro estudio comenzar por esto ltimo: el movimiento; as, en estas primeras 4 clases estudiaremos al movimiento, al movimiento solo, aislado. Su vinculacin con las fuerzas y la materia se ir desarrollando despus, a lo largo del curso. Cinemtica. Si deseamos un ttulo para los temas que trataremos en estas 4 primeras clases, l ser cinemtica.

CINEMTICA, es la parte de la mecnica que describe los movimientos. Etimolgicamente la palabra cinemtica significa estudio de los movimientos. Cuando un cuerpo viaja, puede hacerlo en lnea recta o describiendo curvas de lo ms diversas. Llamaremos trayectoria a esa lnea recta o curva constituida por los infinitos puntos del espacio por donde ha pasado el cuerpo durante su marcha. No cabe duda que los movimientos ms simples para estudiar son aqullos que tienen una trayectoria rectilnea, y sern los primeros que vamos a estudiar. Como una recta tiene una sola dimensin, a estos movimientos se los llama tambin movimientos unidimensionales. Para que nuestro estudio sea lo ms simple posible, siempre sustituiremos el cuerpo que se mueve por un punto que lo represente: si estudiamos el movimiento de un auto de carrera, no estudiaremos los infinitos movimientos que realizan cada uno de los infinitos puntos de la carrocera, sino que escogeremos un nico punto del auto y describiremos el movimiento de ese nico punto. A ese nico punto al que quedar reducido un cuerpo a los fines de su estudio, le daremos el nombre de partcula. Resumiendo lo expresado hasta ac, en la clase de hoy estudiaremos la cinemtica de una partcula que describe una trayectoria rectilnea. En cinemtica tenemos dos variables bsicas que son la posicin (que representaremos con x) y el tiempo (t), y el propsito final de nuestro estudio consistir en obtener la expresin matemtica que vincule x con t. Sistema de referencia, posicin y desplazamiento. Para poder estudiar cualquier movimiento, es fundamental adoptar previamente un sistema de referencia; l consiste en uno (o ms) ejes cartesianos, respecto del cual (o de los cuales) puedan expresarse las coordenadas que ubiquen a nuestra partcula en un instante dado. Elegir un sistema de referencia significa adoptar 2 cosas: un origen (dnde estar el cero) y un sentido (cmo graduar el eje). Como estas son elecciones personales, es indispensable que al comenzar a resolver cualquier problema se haga un esquema donde se muestre claramente el sistema de referencia que se ha elegido. Supongamos que hacemos rodar una bola por una superficie horizontal; la bola seguir una trayectoria rectilnea; el sistema de referencia ser un eje nico x cuya direccin haremos coincidir con la trayectoria; el esquema ser:

La posicin de la partcula en un instante de tiempo dado queda expresada por el valor de la coordenada del eje de referencia sobre la cual se encuentra en ese instante. Si la partcula est dotada de movimiento, la posicin va cambiando con el transcurrir del tiempo. Ahora vamos a suponer que leemos las posiciones de la partcula para dos momentos de tiempo diferentes; por ejemplo t1 = 2 s y t2 = 3 s donde siempre t2 es posterior a t1 1 CASO: Para t1, corresponde un x1 = 2 m Para t2, corresponde un x2 = 7 m Es fcil ver que la partcula viaja hacia la derecha, en el mismo sentido que tiene la flecha del eje de referencia. A continuacin introduciremos un concepto muy importante: el desplazamiento (x)

DESPLAZAMIENTO es la diferencia que hay entre 2 posiciones. Para que este concepto sea verdaderamente til, la diferencia indicada no puede hacerse de cualquier manera sino que debe hacerse obedeciendo el siguiente orden:

x = xfinal xinicial = x2 - x1 En nuestro ejemplo, x = (7 2) m = + 5 m. El desplazamiento ha resultado positivo y la partcula viaja hacia la derecha. x es un vector que va de 1 hacia 2 cuyo sentido coincide con el del eje x. 2 CASO: Para t1, corresponde un x1 = 8 m Para t2, corresponde un x2 = 5 m Deducimos que ahora la partcula viaja hacia la izquierda con un sentido de movimiento opuesto al del eje x. x = x2 x1 = (5 8)m = - 3 m El desplazamiento es negativo y como vector tiene sentido opuesto al del eje x. 3 CASO: Para t1, corresponde un x1 = 4 m Para t2, corresponde un x2 = 4 m Aqu debemos ser cautelosos; no podemos asegurar que la partcula ha permanecido en reposo. La coincidencia de las posiciones extremas no aseguran el reposo. Nada sabemos sobre las posiciones intermedias entre t1 y t2. x = 0 (vector x nulo) no implica necesariamente reposo.

0 2 4 6 8

X (m)

x (m)

x1=2 x2=7

x

x (m)

x2=5m x1= 8m

x

Qu hemos aprendido a travs de estos ejemplos? Que el signo del desplazamiento nos informa sobre el sentido del movimiento de la partcula por su relacin con el sentido del eje de referencia. Velocidad media. (vmed). VELOCIDAD MEDIA de una partcula es el cociente entre su desplazamiento y el intervalo

de tiempo en que se produce.

12

12

ttxx

txvmed

=

=

Como se trata de un cociente entre un vector y un escalar, la vmed es una cantidad vectorial. Los vectores vmed y x tienen siempre la misma direccin y sentido.

La vmed es una cantidad vectorial, y su sentido seala el sentido del movimiento de la partcula.

La unidad de vmed en el MKS es m/s. Ejercicio 1. Reducir unidades de velocidad. a) Reducir 72 km/h a m/s [Resp. 20 m/s] b) Reducir 24 m/s a km/h [Resp: 86,4 km/h] Ejercicio 2. Mediciones experimentales efectuadas con una partcula en movimiento rectilneo, arrojaron los siguientes resultados:

PUNTO A B C D E F POSICIN (m) 8 12 16 20 16 0

TIEMPO (t) 0 2 4 6 7 11 a) Trazar un diagrama x = f(t) para el movimiento. b) Calcular las velocidades medias para los intervalos AC, CE y EF. Solucin.

sm

sm

ttxxV

AC

ACACMED 2)04(

)816(+=

=

=

sm

sm

ttxxvCE

CEmedCE 0)47(

)1616(=

=

=

sm

sm

ttxxvEF

EFEFmed 4)711(

)160(=

=

=

x (m)

t (s)

0 2 4 6 7 8 10 11 12

20 16 12 8 4

A

B

C

D

E

F

IMPORTANTE: Un diagrama x = f(t) NO muestra la trayectoria de la partcula. La partcula describe en este problema una trayectoria rectilnea. La trayectoria, (el camino) de la partcula es el propio eje de referencia x. Velocidad media y rapidez media. Las palabras velocidad y rapidez se usan indistintamente en el lenguaje cotidiano; no obstante en fsica tienen diferente significado. Se definen as:

tx

tiempoentodesplazamivelocidad

== (1)

==tiempo

recorridalongitudrapidez (2)

Mientras en la (1) x (y con l, tambin la velocidad), pueden tener diferentes signos segn el sentido del movimiento, en la (2) la longitud recorrida (y con ella la rapidez tambin) son cantidades siempre positivas; no nos informan sobre el sentido del movimiento; tan solo nos permite saber cun tan rpido se mueve la partcula. Por lo tanto, la velocidad es un vector y la rapidez es un escalar positivo. Pero cuidado!: No es la rapidez igual al mdulo del vector velocidad. nicamente rapidez = v cuando la partcula se ha movido todo el tiempo en el mismo sentido. Sino no. Podemos comprobar lo anterior, retomando el ejercicio 2 y calculando la rapidez en el intervalo CE. La longitud recorrida en ese intervalo es de 8 metros y demora 3 s en hacerlo, por lo que:

sm

smrapidezCE 7,23

8==

valor que difiere con vmed CE. En cambio, en los intervalos AC y EF donde la partcula se mueve siempre con el mismo sentido, se comprueba que la rapidez es igual al mdulo del vector velocidad. Movimiento rectilneo uniforme (MRU).

MRU es el movimiento que realiza la partcula cuando recorre una trayectoria rectilnea con velocidad constante.

Grficas posibles:

v (+)

v (-)

A B

x

t x0

agudo obtuso

v

t A

B

Leyes del MRU. 1- La posicin es una funcin lineal del tiempo. 2- La velocidad es constante. Ecuacin horaria del MRU. x = x0 + vt Destacar: 1- Por qu se llama ecuacin horaria? 2- En el diagrama x = f(t) la velocidad est representada por la pendiente de la recta, y ella es (+) (-) segn que el ngulo sea agudo u obtuso. 3- En la ecuacin horaria, x0 (posicin inicial) y v son constantes y x; t son las variables. Problemas de encuentro en MRU. A- ENTRE MVILES QUE VIAJAN EN UN MISMO SENTIDO. Un mvil pasa por A con v1 = 2 m/s. Cinco segundos despus otro mvil pasa por A en el mismo sentido con v2 = 3 m/s. Si A es el origen del sistema de referencia, hallar a) la posicin de encuentro; b) el tiempo de marcha del primer mvil desde A hasta el encuentro. c) Resolver grficamente. Solucin. 1 mvil xE = v1t 2 mvil xE = v2(t 5) Resolviendo el sistema de ecuaciones formado, se obtiene t = 15 s; xE = 30 m B- ENTRE MVILES QUE VIAJAN EN SENTIDOS OPUESTOS. Dos mviles parten simultneamente uno al encuentro del otro, desde dos lugares A y B distantes 1000 m. Ambos lo hacen con MRU. El que sali de A, con vA = 3 m/s y el que sali de B con vB = 5 m/s. a) Calcular la posicin de encuentro y el tiempo que dur la marcha. b) Resolver grficamente. Solucin.

Mvil A xE = vAt Mvil B xE = 1000 vBt Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con 2 incgnitas formado, se obtiene: tE = 125 s xE = 375 m

0 5 10 15

30 20 10

x (m)

t (s)

A xE B x (m)

0 1000 vA = 3 m/s vB = 5 m/s

0 125 333

t (s)

375

1000

A

B

2 Cinemtica. MRUV

En la clase pasada se estudi el MRU, un movimiento que posee la particularidad de transcurrir a velocidad constante. En el da de hoy continuaremos estudiando movimientos unidimensionales, pero donde a diferencia del MRU, se caracterizan por tener una velocidad variable en el tiempo. Cuando v cambia de valor en el tiempo, se dice que el movimiento es variado. Dentro de los movimientos variados, hay uno particularmente importante por el hecho de ocurrir espontneamente en la naturaleza; es aquel en el que para intervalos iguales de tiempo (t) le corresponden variaciones iguales de velocidad (v). O sea que el movimiento es variado, pero las variaciones no ocurren aleatoriamente o imprevisiblemente, sino con uniformidad. En este caso, el movimiento recibe el nombre de movimiento rectilneo uniformemente variado. Este es el movimiento que trataremos en la clase de hoy. Resumiendo, para tener un MRUV se necesita que se cumpla que:

teconstv tan=

A dicha constante le vamos a poner un nombre; la llamaremos aceleracin y la indicaremos con a. De modo que:

atv=

La unidad de la aceleracin en el MKS es m/s2. Desarrollando la expresin de arriba y despejando v, se obtiene la ecuacin horaria de la velocidad en el MRUV:

tavvtvva +=

= 00

La aceleracin es una cantidad vectorial y su sentido apunta hacia el lado de las velocidades crecientes.

LEYES DEL MRUV. 1- La posicin es una funcin cuadrtica del tiempo. 2- La velocidad es una funcin lineal del tiempo. 3- La aceleracin es constante. ECUACIONES HORARIAS DEL MRUV. De la 1 ley: x = x0 + v0t + at2 De la 2 ley: v = v0 + at De la 3 ley: a = cte. En cada una de las ecuaciones horarias, distinguir las constantes y las variables. Puede obtenerse otra ecuacin, despejando t en la ecuacin de la velocidad y sustituyendo en la de la posicin y operando: v2 v02 = 2a(x x0) Esta ya no es una ecuacin horaria, pues no figura el tiempo en ella, pero es de gran utilidad al momento de resolver problemas. POSIBLES REPRESENTACIONES GRFICAS:

ANALIZAR: 1- qu representa la pendiente en cada grfico. 2- En el grfico x = f(t) las parbolas pueden tener concavidad positiva (como la A) o concavidad negativa (como la B). Clasificacin de los MRUV. En s mismo, el signo de la aceleracin no nos indica si el cuerpo est acelerando o frenando. Por eso, si en la escuela secundaria les han enseado que cuando la aceleracin es positiva, el movimiento es acelerado y que cuando es negativa el movimiento es de frenado (o retardado), mejor perdonar, olvidar y empezar de nuevo. Clasificaremos los MRUV en dos: MUA (mov. unif. acelerado) y MUF (mov. unif. frenado). En el primero la rapidez es creciente; en el segundo la rapidez es decreciente. Para saber cundo se tiene uno u otro, deber aplicarse alguna de las siguientes dos reglas: 1- Si v aumenta al transcurrir el tiempo, es MUA; caso contrario es MUF. 2- Cuando v y a tienen signos iguales, es MUA; caso contrario es MUF. En general todo MRUV presenta una etapa donde es MUA y otra donde es MUF. Ejercicio 1 Trazar los diagramas x = f(t); v = f(t), y a = f(t), en correspondencia mutua, para el movimiento variado cuyas constantes son: x0 < 0 v0 < 0 a > 0

x v

a

t t

t x0 v0 A

B

a=(+)

a=(-)

v(-) v(+)

Solucin: Pasos a seguir: 1- Trazar los pares de ejes cartesianos alineados, uno debajo del otro y ubicar en cada uno a x0, v0 y a, de acuerdo con la consigna. Sabemos que en a = f(t) tendremos una recta horizontal; en v = f(t) una recta con pendiente y que en x = f(t), una parbola. 2- Comenzar a razonar a partir del diagrama de la aceleracin, luego pasar al de velocidad y finalmente llegar al de posicin. En nuestro caso a es positiva: se dibuja una recta horizontal por arriba del origen. Para pasar al diagrama de velocidad, tener en cuenta que en este diagrama la aceleracin se presenta como la pendiente y en base a eso darle a la recta de la velocidad la pendiente que le corresponda; (en nuestro caso, ascendente). Prestar atencin al sitio donde la velocidad se anula, en correspondencia con l, en la parbola estar su vrtice. 3- Repetir un razonamiento similar para pasar del diagrama de velocidad al de posicin. Tambin puede aplicarse la siguiente regla til: si a (+), en el x = f(t) la parbola presenta concavidad positiva. 4- Para darle al movimiento las denominaciones de MUA y de MUF, ponerle los signos (+) y (-) a la aceleracin y a la velocidad y aplicar las reglas anteriores. Respuesta:

Consideremos el movimiento en los puntos A, B y C. En A la partcula est en x < 0, se mueve en el sentido x frenando. (v y a tienen signo opuesto): MUF En B la partcula est en x < 0, instantneamente en reposo (VB = 0) y a punto de moverse en el sentido +x. En C la partcula contina en x < 0; se mueve en el sentido +x incrementando su rapidez (v y a tienen el mismo signo): MUA. Conclusin: A la izquierda de B el movimiento es un MUF; a la derecha de B es un MUA. Ver figuras ilustrativas para cada punto, abajo.

Ejercicio 2. dem para: x0 > 0; v0 > 0; a < 0 Solucin:

x0

v0

x

v

a

t

t

t

+

-

+

A B C

P 0 x P 0 x P 0 x

a a a v vB=0 v

En punto A En punto B En punto C

Razonando de la misma manera que el anterior, se obtienen los siguientes diagramas: A la izquierda del punto B el movimiento es MUF; a la derecha del punto B es un MUA. Hacer un anlisis de las caractersticas del movimiento en cada uno de los puntos indicados: A, B y C, de manera similar a como se hizo en el ejercicio 1. Finalmente aprovechar este ejercicio para mostrar que cuando la aceleracin es negativa, en el diagrama x = f(t) la parbola tiene concavidad negativa. Ejercicio 3. Encuentro en MRUV. Un automvil viaja a 144 km/h cuando el conductor observa que, a 200 m de distancia, un camin viene de frente a 54 km/h. Si ambos comienzan a frenar con a = 3 m/s2, hallar: a) La velocidad de cada uno en el momento del choque. b) Trazar x = f(t) para ambos mviles.

Solucin: 1- Reduciendo unidades de velocidad, resultan: vA = 40 m/s vC = 15 m/s. 2- Esquema del problema:

3- Planteo de las ecuaciones de posicin, para el encuentro: Para el auto: xE = 0 + 40t 3t2 Para el camin: xE = 200 15t + 3t2 Igualando: 40t 1,5t2 = 200 15t + 1,5t2 Las soluciones de esta cuadrtica son: t1 = 13,3 s; t2 = 5 s t1 se descarta porque el xE calculado con l da un valor que est afuera del intervalo 0- 200 m. El clculo de xE da 162,5 m a) vA = 40 35 = + 25 m/s vC = -15 + 35 = 0 m/s b) Observando el esquema, vemos que ambos movimientos son MUF. La parbola que corresponde al automvil tiene concavidad negativa, mientras que la que corresponde al camin tiene concavidad positiva.

x x0 0 v v0 0 a 0

t

t

t

A

B C

Auto Camin

0 200

x (m) aA vA vC aC

C

A

162,5

200

x (m)

5

t (s)

Cada libre y tiro vertical. Dentro de los MRUV, hay dos movimientos particularmente importantes por el hecho de ocurrir espontneamente en la naturaleza, que son la cada libre y el tiro vertical. El primero principalmente, ha interesado a filsofos y cientficos desde la antigedad. En el siglo 4 a JC Aristteles pensaba (errneamente) que los objetos pesados caan con mayor rapidez que los ligeros, en proporcin a su peso. Diecinueve siglos despus, Galileo afirm que los cuerpos caan todos con la misma aceleracin, independientemente de su peso. Los experimentos muestran que si puede omitirse el efecto del aire, Galileo est en lo cierto. Definiremos estos movimientos del siguiente modo:

Son los movimientos que realiza un cuerpo que se encuentra en las proximidades de la superficie terrestre bajo la nica influencia de la atraccin de la Tierra (fuerza peso) y en

ausencia de la atmsfera (vaco). Sobre la definicin reflexionar y explicar: a) Por qu dice en las proximidades de la superficie terrestre? b) Por qu debe condicionarse a la ausencia de la atmsfera? Sin atmsfera, todos los cuerpos, cualquiera sea su peso, caen con la misma aceleracin (constante) que llamaremos gravedad (g). El valor de g depende slo de la Tierra y es de 9,8 m/s2. El vector g tiene direccin vertical y sentido hacia abajo, siempre. c) Para resolver problemas relacionados con estos movimientos cuya trayectoria es vertical, deber adoptarse un eje de referencia vertical que por costumbre llamaremos y.El origen y el sentido podrn elegirse libremente. d) Las ecuaciones horarias de estos movimientos son: y = y0 + v0yt + gt2 vy = v0y + gt vy2 v0y2 = 2g(y y0) Estas ecuaciones horarias, deben escribirse siempre con todos sus trminos positivos, tal como se presentaron arriba. Si alguna de las constantes (v0; g) fuera negativa, ser al hacer el reemplazo en la frmula por su valor, que se producir el cambio de signo. Para determinar fcilmente el signo de estas constantes, siempre hay que dibujar el sistema de referencia que se ha elegido y observar en l si cada uno de los vectores que representan a dichas constantes tienen el mismo sentido o el contrario en comparacin con el del eje de referencia. Ejercicio 4. Desde un globo, a una altura de 175 m sobre el suelo y ascendiendo con una velocidad de 8 m/s, se suelta un objeto. Calcular: a) La altura mxima alcanzada por ste. b) La posicin y la velocidad del objeto al cabo de 5 segundos. c) El tiempo que tarda en llegar al suelo. NOTA: Utilizar g = 10 m/s2 Solucin: 1- Adoptar el eje de referencia.

a) mygvvymx 2,17817520

6402

)(0

20

2

=+

=+

=

y

0

g y0 175m v0y = 8 m/s

b) y5 = 175 m + (8 m/s)(5 s) (10 m/s2)(5 s)2 = 90 m v5 = 8 m/s (10 m/s2)(5 s) = - 42 m/s c) Al llegar al suelo es y = 0; luego: 0 = 175 m + (8 m/s)t (10 m/s2)t2 t = 6,77 s Valores medios e instantneos de velocidad y aceleracin. Hemos definido la velocidad media como:

12

12

1212 tt

xxtxvm

=

=

Consideremos el caso de una partcula que realiza un MRUV, un movimiento donde la grfica de x = f(t) es una parbola; la figura ilustra un caso. La pendiente de la cuerda que pasa por los puntos 1 y 2 mide la velocidad media de la partcula entre esos puntos del recorrido. La velocidad media representa la velocidad que hipotticamente debera tener una partcula para recorrer con MRU el mismo trayecto empleando el mismo tiempo. Pero la vm no expresa la velocidad real de la partcula, instante a instante. Ntese que el concepto de vm obliga a elegir de antemano dos puntos de la trayectoria: inicial y final del intervalo x. La vm depende de 2 puntos. Cuando la velocidad de la partcula est cambiando continuamente su valor en el tiempo, el concepto de velocidad media no resulta til y se lo reemplaza por el de velocidad instantnea. El valor de la velocidad instantnea solamente depende de un punto. Retomando el ejemplo del grfico, si se desea obtener la velocidad instantnea en el punto 1 (v1) deberamos acercar el punto 2 al 1 reduciendo el intervalo t. La pendiente de la curva se ira acercando cada vez ms a la curvatura de la parbola. Finalmente cuando el punto 2 se confunda con el 1 (y el intervalo t tienda a cero), la cuerda se habr convertido en la tangente a la parbola en el punto 1. En este momento, el valor de la pendiente de la recta tangente expresa la velocidad instantnea. Lo descripto se escribe, con la notacin del clculo infinitesimal as:

10

vtxlm

t=

y finalmente vdtdx

= (1)

Con la aceleracin podemos aplicar un razonamiento similar y a partir del concepto de aceleracin media:

12

12

1212 tt

vvtvam

=

=

se llega a la aceleracin instantnea:

dtdv

tva lm

t=

= 0

(2)

Una combinacin de estas dos ltimas expresiones nos permite decir tambin que

0 t1 t2

x1

x2 x

t

1

2

x

t

22

dtxda =

Ejercicio 5. Utilizar las relaciones (1) y (2) para deducir, a partir de la ecuacin de la posicin en el MRUV, las ecuaciones de la velocidad y la aceleracin.

Obtencin de ecuaciones de velocidad y posicin, por integracin de a = f(t). Abundan en la vida diaria ejemplos de movimientos variados donde

la aceleracin no es constante. Esto es lo que ocurre por ejemplo, cuando pisamos el pedal del acelerador de un automvil; cuanto mayor sea la rapidez del auto, ms lentamente adquirir rapidez adicional; un auto comn tarda el doble en acelerar de 50 km/h a 100 km/h que en acelerar de 0 a 50 km/h. En situaciones como esta, al no ser constante la aceleracin, no son vlidas las ecuaciones del MRUV y no pueden ser utilizadas en un problema. Sin embargo las relaciones (1) y (2) continan siendo vlidas. Recordar que matemticamente integrar significa recorrer el camino inverso al de cuando se deriv. Las relaciones (1) y (2) permitieron a partir de una ecuacin x = f(t) conocida, encontrar las ecuaciones de velocidad y aceleracin. Si se conociera la ecuacin de a = f(t), por integracin se podrn obtener las ecuaciones de velocidad y posicin. Las relaciones a emplear son:

+=2

1

12t

tdtavv (3)

+=2

1

12t

tdtvxx (4)

Si en el instante inicial vale t1 = 0 y para l, llamamos v0 a la velocidad inicial y x0 a la posicin inicial, las ecuaciones de arriba pueden escribirse de manera ms prctica as:

+=t

dtavv00

(5)

+=t

dtvxx00

(6)

Este procedimiento es interesante porque afortunadamente en los movimientos con aceleracin variable la informacin ms accesible que se consigue es la de a = f(t) antes que las de v = f(t) o de x = f(t). Ejercicio 6. Un automvil recorre un tramo rectilneo de una autopista en el sentido +x. En el instante t = 0, cuando su velocidad es de 10 m/s, pasa al lado de un letrero que est en x = 50 m. Su aceleracin es una funcin del tiempo: a = 2 m/s2 (0,10 m/s2)t a) Deducir las expresiones de v = f(t) y de x = f(t) b) En qu momento es mxima su velocidad? c) Cunto vale dicha velocidad mxima? d) Dnde est el automvil cuando alcanza la velocidad mxima?

Slo para UNLaM

e) Si el auto se detiene, en qu instante y posicin ocurre? f) Trazar los diagramas cartesianos del movimiento, en correspondencia mutua. Solucin: 1- Identificar las condiciones iniciales: para t = 0, v0 = 10 m/s; x0 = 50 m a) Ecuacin de la aceleracin: a = 2 0,1t

Aplicando la (5): +=t

dtavv00

= v0 + (2 0,1t)dt

v = 10 m/s + 2 m/s2t 0,05 m/s3t2

Aplicando la (6): +=t

dtvxx00

= x0 + (10 2t 0,05t2)dt

x = 50 m + 10 m/st + 1 m/s2t2 0,017t3 b) La velocidad se hace mxima en el momento en que deja de aumentar y comienza a

disminuir. En ese instante, 0== adtdv . Entonces, igualamos a cero la expresin de la

aceleracin: 0 = 2 0,1t t = 20 s c) Reemplazando en la expresin de la velocidad, a t por el valor de 20 s y calculando, resulta: v = 30 m/s d) Haciendo un trabajo similar en la expresin de la posicin, resulta: x = 517 m e) Cuando el auto se detiene se hace v = 0. Entonces, igualando a cero la expresin de la velocidad, resulta. 0,05t2 2t 10 = 0 ecuacin cuadrtica cuya solucin es t = 45 s. (La otra solucin se descarta por tratarse de un tiempo negativo). Para conocer la posicin de detencin, se ingresa este valor de t en la ecuacin de posicin y se calcula. Resulta x = 4044 m

FUNCIN LINEAL FUNCIN CUADRTICA FUNCIN CBICA Inflexin en t = 20 s. (A la izquierda de ese valor, concavidad positiva; a la derecha, concavidad negativa. Ejercicio 7.

Utilizar las ecuaciones (5) y (6) para obtener las ecuaciones de v = f(t) y de x = f(t) a partir de que a = cte en el MRUV.

a 0 v 30 10 0 x 4044 517 50 0

2

20 45 t

t

t

3 Cinemtica en dos dimensiones

Tiro oblicuo. Cinemtica vectorial. En las clases anteriores se estudi el movimiento de una partcula sobre una trayectoria rectilnea. Como una recta tiene una sola dimensin, basta una sola coordenada (x) para dejar expresada la posicin en un cierto i9natante. Hoy estudiaremos el caso de partculas que se mueven sobre un plano, como la tiza cuando se desliza sobre la pizarra, un barco que navega en el mar o un objeto que da vueltas sobre una mesa. Como un plano tiene 2 dimensiones (x;y) la posicin de la partcula en cada instante requerir de 2 coordenadas. La cinemtica en 2 dimensiones continuar empleando los mismos conceptos ya estudiados, de posicin, desplazamiento, velocidad y aceleracin. Ahora adquiere real importancia recordar que todos estos conceptos son vectoriales. En el movimiento rectilneo todos estos vectores tienen una misma direccin: la de la trayectoria. Ahora en cambio, tendrn distintas direcciones (en el plano e incluso fuera de l). Vector posicin ( r ) El primer paso en el estudio de todo movimiento consiste en poder describir la posicin de la partcula en un cierto instante. La figura muestra la trayectoria de una partcula en un plano cartesiano (x;y); ella pasa primero por el punto 1 y ms tarde por el punto 2.

Cuando est en 1, la posicin est dada por el vector posicin ( r 1). Los vectores posicin tienen su origen en el origen del sistema de referencia y su extremo se apoya en el punto cuya posicin se desea expresar. Las coordenadas cartesianas del punto, son las componentes de r : r = xi + yj (1) Cuando la partcula llegue al punto 2, su posicin ser expresada por r 2. Vector desplazamiento ( r ) Este vector expresa el cambio de posicin experimentado por la partcula: r = r 2 - r

1 = (x2 x1)i + (y2 y1)j

Grficamente r es un vector con origen sobre el extremo de r 1 y con extremo sobre el extremo de r 2. Vector velocidad media ( medv ) Como ya sabemos,

12

12

ttrr

trvmed

=

=

(2)

Como es resultado de un cociente entre un vector y un escalar positivo, la velocidad media es otro vector de la misma direccin y sentido que r . Velocidad instantnea ( v )

Es el lmite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo se aproxima a cero:

dtrd

trv lm

t

=

= 0

(3)

El vector velocidad instantnea en un punto tiene por direccin la de la tangente a la trayectoria, su sentido es el del movimiento y su mdulo es la rapidez de la partcula. La velocidad instantnea se relaciona con sus componentes

cartesianas as: yx vvv

+=

jvivv yx +=

Teniendo en cuenta que vx = dx/dt y vy = dy/dt, queda:

jdtdyi

dtdx

dtrdv +==

(4)

La rapidez (esto es el mdulo de v ) es: 22 yx vvvv +==

(5) La direccin de v se expresa mediante el ngulo calculable a partir de:

x

y

vv

tg = (6)

Vector aceleracin media ( ma )

1

2 r

r 1 r 2

0

y

x

1

2

0

y

x

v1

v2

0

x

y

vy

vx

v

12

12

ttvv

tvam

=

= (7)

El vector ma

tiene la misma direccin y sentido que el v , direccin que no es la de la trayectoria. Vector aceleracin instantnea ( a ) Cuando el punto 2 se aproxima al 1 y tiende a confundirse con l, el tringulo vectorial auxiliar vvv ,, 21 tiende a tomar esta forma: y el vector aceleracin instantnea apunta decididamente hacia el lado de la trayectoria donde se encuentra su centro de curvatura.

Por otro lado, dtvd

tva lm

t

=

= 0

(8)

Ntese que cualquier movimiento curvo es siempre acelerado, no importa si la rapidez es constante o no. A los fines de clculo, resulta til esta expresin:

jdt

ydidt

xdjdt

dvi

dtdva yx 2

2

2

2

+=+= (9)

Componentes intrnsecas de la aceleracin. En todo movimiento en dos dimensiones (movimiento curvo) el vector velocidad puede cambiar por 2 razones: porque cambia su mdulo o porque cambia su direccin. Como la aceleracin a mide los cambios que se producen en la velocidad, deber registrar tanto uno como otro cambio. Para poder apreciar separadamente la magnitud del cambio de direccin, de la magnitud del cambio de mdulo, se descompone al vector a en dos direcciones. Estas direcciones no son las del sistema de referencia, sino dos direcciones ligadas al movimiento mismo, en el instante considerado; por ello, a estas componentes de la aceleracin se las llama componentes intrnsecas.

Cules son estas direcciones? Una es la del movimiento (que es la de la tangente a la trayectoria) y la otra es perpendicular a la primera (que por ser perpendicular a la tangente, tiene la direccin del radio de curvatura instantneo; como tal, se dirige al centro de curvatura). Las componentes de la aceleracin en estas direcciones se llaman aceleracin tangencial ( ta

) y aceleracin normal ( na ). Ellas

son las componentes intrnsecas de la aceleracin.

ta mide los cambios en la rapidez. Se deduce que

dtvd

at

=

na mide los cambios en la direccin de la velocidad. Se deduce que

rvan

2

= donde r es el

radio de curvatura.

1

2

0

y

x

v1

v2

v1

v2 v

am

v1

v2

v a

1

0

y

x

at

an a

Ejercicio 1. Una partcula se mueve en un plano x;y; sus coordenadas varan en el tiempo segn: x = 2 m (0,25 m/s2)t2 y = (1 m/s)t + (0,025 m/s3)t3 Determinar: a) Para t2 = 2 s, cules son las coordenadas de la partcula y cul su distancia al origen? b) Para el intervalo entre t0 = 0 y t2 = 2 s. obtener el vector desplazamiento y el vector velocidad media. c) Representar grficamente la trayectoria. d) Deducir la expresin general del vector velocidad instantnea. e) Calcular la velocidad instantnea para t2 = 2 s, expresndola en forma cartesiana y en forma vectorial. f) Para el intervalo entre t0 = 0 y t2 = 2 s, obtener las componentes de la aceleracin media. g) Calcular la aceleracin instantnea para t2 = 2 s. Solucin: a) Se toman las expresiones de x = f(t) e y = f(t) del enunciado, se reemplaza t por el valor 2 s y se calcula: x2 = 2 0,25 t2 = 2 0,25 22 = 1 m y2 = 1 t + 0,025 t3 = 1 2 + 0,025 23 = 2,2 m La distancia de la partcula al origen se calcula con Pitgoras: md 4,2)02,2()01( 22 =+= b) Calculamos previamente las coordenadas de posicin para t0 = 0: x0 = 2 0,25 t2 = 2 m y0 = 1 t + 0,025 t3 = 0 m 0202 rrr

= = (x2i + y2j) (x0i + y0j)

= (x2 x0)i + (y2 y0)j = (1-2)i + (2,2 0)j = -1 i + 2,2 j

jsmis

ms

jitrvm 1,15,0)02(

2,2102 +=

+=

=

c) Para poder trazar la trayectoria, utilizaremos las coordenadas (x;y) de la partcula, en los instantes t0 = 0 s; t1 = 1 s; t2 = 2 s. En t0 = 0 s la partcula est en 0(2 ; 0) m (ya calculado). En t1 = 1 s la partcula est en 1(1,75 ; 1,025) m En t2 = 2 s la partcula est en 2(1 ; 2,2) m (ya calculado). d) v = vx i + vy j donde vx = dx/dt vy = dy/dt vx y vy se obtienen derivando las ecuaciones de x = f(t) e y = f(t) del enunciado; luego vx = -0,5t vy = 1 + 0,075t2 Finalmente: v = (-0,5t)i + (1 + 0,075t2)j e) Para hallar la v2 en t2 0 2 s, se reemplaza en la expresin general de v la t por su valor y se calcula: v 2 = (-0,5 t) i + (1 0,075 t2) j = (-0,5 2) i + (1 0,07522) j = -1 i + 1,3 j EXPRESIN CARTESIANA

0

2,2

1

d P

y

x

r0 r1

r2

0

1

2

v0

v1

v2

y (m)

x (m)

2

1

1 2

smvvV yx 6,1)3,1()1(

22222 =+=+=

'435213,1' =

== tgarc

vv

tgarcx

y

A este valor que da la calculadora (que corresponde a un ngulo del 4 cuadrante) se le deben sumar 180 para que quede expresado en forma correcta. Luego: = - 5243 + 180 = 12734 Finalmente v 2 = [1,6 m/s; 12734] FORMA VECTORIAL. f) Las componentes de la am son:

am x = 202

02 5,00201

sm

ttvv

tv xxx =

=

=

am y = 202

02 15,00213,1

sm

ttvv

tv yyxy =

=

=

donde vx = -0,5t vx 2 = -1 vx 0 = 0 vy = 1 + 0,075t2 vy 2 = 1,3 vy 0 = 1

g) ax = 25.0)5,0(

sm

dttd

dtdvx ==

ay = 22

15.0)075,01( sm

dttd

dtdvy =+=

Para t2 = 2 s: a = ax i + ay j a

= (-0,5 i + 0,30 j) m/s2

Tiro oblicuo. En la cinemtica bidimensional los dos movimientos ms importantes para estudiar son el tiro oblicuo y el movimiento circular. Esta clase se completar estudiando el primero de ellos. Tiro oblicuo es el movimiento que realiza cualquier proyectil (bomba abandonada desde un avin, una bala de revlver o de can o simplemente una pelota. Se estudiar este movimiento en su forma ms pura, que es tambin la ms simple, para lo cual se lo despojar de toda perturbacin que lo complique. Por eso se supondr que el movimiento tiene lugar en el vaco, en ausencia de atmsfera, por las razones expuestas cuando se estudi la cada libre de los cuerpos. De todos modos conviene insistir en que no tomar en cuenta la resistencia del aire es algo que se hace no porque su efecto sea despreciable, sino para evitar complicaciones verdaderamente grandes. En verdad, el efecto de la resistencia del aire no es para nada despreciable, al punto que entre el clculo de un tiro oblicuo en el vaco y el mismo tiro transcurriendo en la atmsfera se pueden tener diferencias en valores de hasta un 30 %. En Dinmica se estudia que toda aceleracin es debida a una fuerza; no hay aceleracin sin fuerza. Entonces, en aquellas direcciones en que hay una fuerza (o una componente de fuerza), el movimiento es acelerado, mientras que en aquellas direcciones en que no hay fuerza (ni componente de fuerza), el movimiento ser rectilneo uniforme. Supngase el caso de una bala de can recorriendo su trayectoria. Qu fuerzas actan sobre ella?: solamente la debida a su peso, que es vertical. De acuerdo con el concepto anterior, en la direccin vertical habr aceleracin: la de la gravedad, vertical y constante, mientras que

en la direccin horizontal al no haber fuerza ni componente de fuerza, la aceleracin ser nula. Conclusin, si un tiro oblicuo se proyecta sobre los ejes cartesianos, en la direccin del eje y se tendrs un tiro vertical y/o cada libre, que es un MRUV y en la direccin del eje x se tendr un MRU. Esto se aprovecha para plantear los problemas de tiro oblicuo a travs de sus componentes vertical y horizontal, aplicando en cada caso las ecuaciones horarias que correspondan. Es comn que en un problema de tiro oblicuo los datos sean la rapidez inicial de lanzamiento (v0) y el ngulo de tiro (). Si es as, para r esolverlo deben seguirse los siguientes pasos: 1- Adoptar un sistema de referencia, con su origen (por conveniencia) en el punto de lanzamiento. 2- Calcular el valor de las componentes de la velocidad inicial segn: v0 x = v0 cos v0 y = v0 sen 3- Escribir las ecuaciones de posicin y velocidad segn la direccin de cada eje:

En y (MRUV) En x (MRU) y = y0 + v0 y t + g t2 (1) vy = v0 y + g t (3)

x = v0 x t (2)

Empleando convenientemente las ecuaciones de arriba, siempre ser posible resolver un problema de tiro oblicuo. NOTA: Cuando = 0, el tiro oblicuo cambia su nombre por el de tiro horizontal. En este caso, en el sistema de referencia a utilizar conviene invertir el sentido del eje y. Ecuacin de la trayectoria. Las ecuaciones (1) y (2) reciben el nombre de ecuaciones paramtricas; son del tipo: x = f(t) y = f(t) siendo t el parmetro. Una ecuacin del tipo: y = f(x) se llama ecuacin geomtrica o ecuacin de la trayectoria. Para obtenerla a partir de las ecuaciones paramtricas, se hace lo siguiente: 1- Se escriben las ecuaciones (1) y (2), previo reemplazo de v0y y v0x por sus expresiones: y = y0 + v0 sen t + g t2 x = v0 cos t

2- En la ecuacin de abajo se despeja t: cos0v

xt =

3- Se sustituye esta expresin de t en la ecuacin de arriba. Ordenando, se obtiene:

[ ] 0220 cos2

yXtgXv

gy ++

=

sta es una ecuacin cuadrtica del tipo Ax2 + Bx + C donde

20 cos2 v

gA = B = tg C = y0

Estas funciones tienen como representacin grfica una parbola. Queda demostrado as que:

Todo tiro oblicuo tiene por trayectoria a una parbola. Si se ha adoptado un eje y con sentido hacia arriba, no olvidar que en la ecuacin de la trayectoria g deber ingresarse con signo negativo. Ejercicio 2. Desde la parte superior de una torre se arroja una pelota con velocidad de 10 m/s y un ngulo de elevacin de 37. Sabiendo que la torre tiene 30 m de altura, calcular: a) cunto tarda la pelota en llegar al suelo? b) la distancia entre la base de la torre y el punto de impacto. c) la rapidez de la pelota en el momento del impacto. d) obtener la ecuacin de la trayectoria. e) Hallar los valores de las componentes intrnsecas de la aceleracin, en el punto R de la trayectoria, 2 segundos despus del lanzamiento. Solucin: v0 x = v0cos = 10cos 37 = 8 m/s v0 y = v0sen = 10sen 37 = 6 m/s a) y = y0 + v0yt + gt2 0 = 30 + 6t 5 t2 Resolviendo: t = 3,12 s; La otra solucin se descarta por ser t negativa. b) L = vxt = 8 m/s 3,12 s = 25 m c) vyP = v0y + gt = (6 103,12) m/s = -25,2 m/s s

mvP 44,26)2,25(822 =+=

d) [ ] 0220 cos2

yXtgXv

gy ++

=

[ ] mXtgXs

ms

my 3037

8,0)10(2

102

22

2++

=

y = -0,077 (1/m)X2 + 0,75 X + 30 m e) Clculo de las componentes de vR: vR x = v0 x = 8 m/s

vR y = v0 y + gt = 6 102 = -14 m/s 3057,0 === tgarcvvtgarc

Ry

Rx

Clculo de las componentes intrnsecas de la aceleracin: an = gsen = 100,5 = 5,0 m/s2 at = gcos = 100,86 = 8,6 m/s2

30

y (m)

x L

v0 = 10 m/s

37

R

vR

vRx

vRy 90

at

an

g

Tambin por semejanza de s se puede poner: an = gR

Rx

vv

at = gR

Ry

vv

4 Cinemtica en dos dimensiones

Movimiento circular Previo: Efectuar las siguientes 2 consideraciones: 1- Rever los productos entre vectores (escalar y vectorial) y la regla de la mano derecha. 2- Recordar la regla de derivacin de un producto: d(uv) = du v + u dv Movimiento circular.

Es el que describe una partcula que se mueve teniendo por trayectoria una circunferencia.

La figura muestra un disco girando alrededor del eje e, que el perpendicular al disco y pasa por su centro. Un punto como el P describe un movimiento circular. La posicin del punto P la da el vector posicin r . En un tiempo t el punto describe el arco s , arco que es abarcado por el ngulo

. Velocidad.

0 r

eje

P s O

La velocidad del punto P puede expresarse de dos maneras:

a) Velocidad tangencial: dtsdv

= Unidad: m/s

b) Velocidad angular: dtd

= Unidad: 1/s = radin/s

Recordar el concepto de radin. Ambas formas de expresar la velocidad estn relacionadas: arco = ngulo x radio rdsd

=

rdtd

dtsd

=

rv =

Momento de ubicar en el grfico los vectores ds, d y r. Aceleracin: Como v es un vector, la velocidad cambia porque se producen cambios en la direccin y/o cambios en el mdulo. Sean cuales fueren los cambios que sufre v , es la aceleracin quien mide la magnitud de los mismos:

dt

rddtvda )(

==

La derivada de un producto vectorial se hace de la misma manera que la de un producto comn, slo que debe respetarse el orden de los factores:

dtrdr

dtda

+=

donde =

dtd (aceleracin angular, en 1/s2) y v

dtrd = (velocidad tangencial, en m/s).

Ubicar en el grfico, en la misma direccin y sentido que d . Luego nos queda: vra += donde en el 2 miembro, el primer trmino es ta

y el segundo es na . Ellas son las

componentes intrnsecas de la aceleracin. Ubicar ta

y na en el grfico, razonando cada producto vectorial con la regla de la

mano derecha. Al ubicarlos, se comprende el motivo de sus nombres.

ta mide la rapidez con que v cambia de mdulo.

na mide la rapidez con que v cambia de direccin.

ta

y v tienen el mismo sentido cuando el mdulo de v aumenta, y tienen sentidos opuestos cuando el mdulo de v disminuye. Para hallar los mdulos de las componentes de la

aceleracin, se hace: / ta / = r [m/s2]

/ na

/ = v = 2 r = v2 / r [m/s2]

r d

0 P

v

r 0 P

v

d

an

at

Movimiento circular uniforme (MCU). Si at = 0 = 0 = cte: el movim. es un MCU. Las ecuaciones horarias del MCU guardan analoga formal con las ecuaciones del MRU: x = x0 + vt = 0 + t PERODO: (T) Es el tiempo empleado por la partcula para dar una vuelta completa.

==

sTempleadotiempogiroundeangularentodesplazami 12

Luego, [ ]sT2

=

FRECUENCIA: (f) Es la cantidad de vueltas realizadas por la partcula en la unidad de tiempo.

==

sTf 1

21

o Hertz (Hz)

Es comn tambin expresar la frecuencia en rpm sigla que expresa uto

vueltasfmin

=

La equivalencia entre unidades es: 60 rpm = 1 Hz Movimiento circular uniformemente variado (MCUV). En este caso es 0 y tiene un valor constante (valor que puede ser positivo o negativo). Las ecuaciones horarias del MCUV guardan analoga formal con las del MRUV: x = x0 + v0t + at2 = 0 + 0 t + t2 v = v0 + a t = 0 + t v2 v02 = 2 ax 2 02 = 2 Movimiento relativo. Hasta ahora hemos hablado del movimiento de las partculas (sea con v = cte, con v variable o con v = 0; con o sin aceleracin, etc) dando por sobreentendido que lo hacan con respecto de las rutas, las localidades, en definitiva, respecto de la Tierra. Sin embargo hay casos en que nosotros, automticamente, usamos otros sistemas de referencia que no son la Tierra; por ejemplo, le decimos a un nio que viaja en tren a nuestro lado que se quede quieto. La nica forma en que la criatura puede cumplir con nuestro deseo sera arrojndose por la ventanilla o correr hacia el furgn de cola a 100 km/h (no era esa nuestra intencin), y por ms que se tranquilice, no podr hacer otra cosa que seguir movindose a 100 km/h, junto con el tren y dems pasajeros adultos. En este caso, sin darnos cuenta, usamos el sistema de referencia fijo al tren, aunque jams oiremos que el tren se encuentra quieto, dicho por un pasajero, a menos que efectivamente est detenido con respecto a la Tierra.

La condicin de movimiento o falta de l- es, pues, relativa a los sistemas de referencia, seamos o no concientes de ello al hacer nuestras afirmaciones. Moverse no es algo propio de un cuerpo, sino algo que concierne a dos cuerpos. No es fcil convencer a nadie de que la montura de un potro indmito est en reposo, si se elige un sistema de referencia adecuado, mientras que la Tierra, con sus rboles e instalaciones, se sacude hacia uno y otro lado. Efectivamente, aunque tericamente podra hacerse tal afirmacin, no es frecuente hacerla, ni prctico. Parece que lo ms prctico consiste en utilizar a la Tierra como referencia universal, si no fuera porque, entre otras cosas, tambin deseamos decir a veces que la Tierra se mueve. Ninguna dificultad habr si decimos respecto de qu (del Sol, de las estrellas, etc.). Segn este enfoque relativista, la discusin entre Galileo y la inquisicin sobre si la Tierra se mueve o no lo hace, parecera por ahora- carecer en absoluto de significado, al no haber referencia a sistema patrn alguno. Por entonces consideraban que la quietud o el movimiento eran atributos de cada cuerpo y no de pares de ellos. Cuando decan se mueve o no se mueve no mencionaban otro cuerpo. Es ms, dejaban entrever que tenan la idea de un espacio absoluto que servira como sistema de referencia universal, aunque no lo decan en forma explcita. Como es fcil imaginar, la descripcin de un movimiento depende del sistema de referencia que se utilice: el movimiento de la pa fonogrfica sobre un disco, respecto del disco, sigue una trayectoria en forma de espiral plana, cuya longitud podra estimarse en 300 m, que la pa recorre totalmente a una velocidad variable. En cambio, respecto de la habitacin, el movimiento de la pa consiste en un arco de crculo de no ms de 25 cm de recorrido, y con una velocidad de mdulo constante. No slo la descripcin de la trayectoria cambia con el sistema de referencia; tambin lo hacen la velocidad y la aceleracin. La transformacin de Galileo. 1 CASO: DOS SISTEMAS DE REFERENCIA QUE SE MUEVEN CON MRU. Consideremos dos sistemas de referencia, y que uno de ellos se mueve con respecto al otro de modo que su origen hace un MRU y sus ejes mantienen siempre la misma orientacin. A ese movimiento se lo llama traslacin uniforme. En la figura de la derecha, todos los puntos de B se mueven con velocidad v BA (que es la velocidad de B respecto de A). Recprocamente, A se mueve con respecto a B con velocidad: v AB = - v

BA donde el signo menos

indica que v AB es opuesta a v

BA. POSICIONES: Supongamos ahora una partcula ubicada en un punto P del plano, de la cual conocemos su vector posicin r PB y su velocidad v

PB en un instante dado, medidos con

respecto al sistema de referencia B (ver figura en la pgina siguiente). Medida desde A la posicin es otra, aunque su ubicacin fsica en el plano es la misma, ya que el vector posicin que ahora seala la partcula P desde OA es r

PA.

y

y

x

x Sistema A

Sistema B

vBA

Si observamos la figura siguiente, resulta que: r PA = r

BA + r

PB

De esta manera se vinculan las posiciones en ambos sistemas. Analicemos qu ocurre a medida que transcurre el tiempo. Si la partcula se mueve con respecto a B y adems el sistema se mueve con respecto a A, los vectores posicin cambiarn, tal que para un instante t la posicin del punto P respecto del sistema A ser: r PA = r

BA + r PB

Podemos hallar los desplazamientos: r PA = r

PB + r

BA

con r PA = r PA - r

PA

r PB = r PB - r

PB

r BA = r BA - r

BA

VELOCIDADES: Si consideramos el intervalo de tiempo empleado para estos desplazamientos, podremos calcular:

t

rt

rt

r PBABPA

+

=

de acuerdo con lo visto anteriormente estas son velocidades medias, pero como ya sabemos pueden definirse tambin las instantneas: v PA = v

BA + v

PB (1)

Hemos obtenido as la ley de adicin de velocidades, que nos dice cmo se transforman las velocidades de un sistema a otro. De acuerdo con lo dicho, cuando tenemos 2 sistemas (como el A y el B) en movimiento mutuo, es imposible asegurar cul de ellos es el que se mueve (si el otro est fijo) o si ambos se mueven un poco cada uno. Sin embargo comnmente resulta cmodo convenir arbitrariamente que uno de ellos est fijo y que todo el movimiento lo realiza el otro. Si convenimos que A es el sistema fijo y B el mvil, la velocidad de la partcula P respecto de A ( v PA) se llama velocidad absoluta, la v PB se llama velocidad relativa y la v

BA se llama velocidad de

arrastre, de modo que la ecuacin (1) puede interpretarse diciendo:

Veloc. absoluta = veloc relativa + veloc de arrastre. (Suma vectorial) ACELERACIONES: Haciendo un procedimiento anlogo al anterior, podramos ver cmo se transforman las aceleraciones, de un sistema a otro, tomando un intervalo de tiempo t y registrando los cambios de velocidad de la partcula en ese intervalo:

t

vt

vt

v PBABPA

+

=

Si, como dijimos, todos los puntos del sistema B tienen la misma velocidad constante,

entonces: 0=

tvBA lo cual implica que BA aa

= (2)

(A)

(B)

OA

OB rPA rPB

P vPB

vBA

OA

OB (A)

(B) P

rPA rBA

rPB

Las aceleraciones son las mismas en ambos sistemas (aunque no lo sean las respectivas velocidades). 2 CASO: DOS SISTEMAS DE REFERENCIA QUE SE MUEVEN CON MRUV. Supongamos ahora, en cambio, que el sistema B se mueve de tal manera que su origen hace un MRUV y sus ejes mantienen siempre la misma orientacin. (Por supuesto que existen otros movimientos posibles de B con respecto a A, aparte de los ya dichos, pero no sern tratados, como por ejemplo, rotaciones y traslaciones curvilneas). Luego podemos usar: PBBAPA aaa

+= (3)

Hemos hablado de cmo se transforman posiciones, velocidades y aceleraciones, pero nada dijimos del tiempo, aunque cuando tomamos intervalos de tiempo para calcular las velocidades medias, simplemente dividimos por t todos los trminos de la expresin de desplazamientos, sin discriminar entre tA

y tB estamos afirmando que el tiempo transcurre igualmente desde ambos sistemas de referencia. Aunque parezca extrao, esta afirmacin no es vlida para velocidades grandes, comparables con la de la luz. Pero para velocidades ordinarias es correcto decir que tA

y tB, y escribir explcitamente la llamada transformacin de Galileo: BBAA rtvr

+=

tA = tB que permite calcular posiciones y tiempos en el sistema A conociendo posiciones y tiempos en el sistema B. O sea con estas ltimas y con las (1) y (3), podemos describir los movimientos del chico, camine, corra, salte, se quede quieto o no, dentro de un tren que se desplaza con MRU o con MRUV, respecto de cualquier pasajero sentado o desde el andn de alguna estacin. Ejercicio 1. Un bote cruza un ro de 30 m de ancho con una rapidez de 4 m/s respecto del agua y orientado de tal forma que, si las aguas estuvieran en reposo, cruzara perpendicularmente a las orillas. El bote parte de un punto O, ubicado sobre una de las orillas y llega a otro punto B ubicado sobre la otra orilla, distante 50 m. Cul es la velocidad del agua?

Solucin: Una forma sencilla para no equivocarse es escribir la frmula vectorial de transformacin de velocidades de la siguiente manera: 0=++ CABCAB vvv

(4) Notar la rotacin de los subndices: AB, BC, CA. Se

trata de una expresin muy simtrica y fcil de entender y de recordar. En cuanto a A, B y C son lo que uno desee: el sistema A; el sistema B; la lancha; el cuerpo; lo que haga falta: siempre funciona bien. Recordando esta otra expresin: v DE = - v

ED que nos dice que si

permutamos los subndices debemos invertir el sentido del vector, que la velocidad del objeto D respecto del E es opuesta a la velocidad de E respecto de D. Hecha esta introduccin, elegimos: A = agua T = tierra L = lancha

30 m

40 m

50 m

O

C D

vLA vLT

vAT

Para poder aplicar la igualdad (4) necesitamos poner algo as como: 0=++ LATLAT vvv

(5) Pero hemos dibujado v LT y no v

TL. Invertimos pues el sentido del

vector al tiempo que intercambiamos los subndices. Y ahora s aplicamos la relacin (5).

Por semejanza entre el tringulo OCD y el de velocidades de la derecha, podemos poner:

s

mv

mm AT

43040

=

Luego: vAT = 5,33 m/s

vLA

vAT

vLT

vLA

vAT

vTL