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TIPOS DE MOVIMIENTOS

PRESENTACIÓN

8

PRESENTACIÓN

En esta parte de la cinemática se estudian diferentes tipos de movimientos. El análisis cualitativo de un movimiento permite clasificarlo y utilizar las estrategias necesarias para determinarlo cuantitativamente.

Son los tipos de movimientos herramientas que nos permiten aproximarnos al movimiento real de los objetos. Es decir, la complejidad del movimiento de un objeto se puede simplificar utilizando los modelos matemáticos propuestos desde la cinemática clásica.

Después del estudio de los diferentes movimientos, rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado, circular uniforme, el alumno se familiariza con las magnitudes necesarias para la descripción del movimiento (posición, velocidad y aceleración) y con el carácter determinista de la física clásica, en claro contraste con las teorías científicas que llegaron a principios del siglo XX.

Tipos de movimientos

Movimiento rectilíneo y uniforme, MRU

Movimientos circulares

Movimiento uniformemente acelerado MUA

Movimiento armónico y simple

• Definición.

• Ecuaciones.

• Representación gráfica.

• Definición.

• Ecuaciones.


Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, MRUA

• Definición.

• Ecuaciones.


• Movimiento rectilíneo bajo gravedad.

Movimiento parabólico

• Composición de movimientos.

• Ecuaciones.

• Casos.

• Posición, u; velocidad, v, aceleración, a.

• Movimiento circular uniforme MCU.

• Periodo, T; frecuencia, f.

• Movimiento circular uniformemente acelerado, MCUA.

• Relación con las ecuaciones del movimiento rectilíneo.

ESQUEMA DE LA UNIDAD

269DÍA A DÍA EN EL AULA FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bto. Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

PROBLEMAS RESUELTOS

8 FICHA 1

ACTIVIDADES

1 Un coche acelera al ponerse el semáforo en verde. Después de recorrer 100 m, su velocidad es de 70 km/h. Calcula:

a) La aceleración del movimiento.

b) La velocidad a 50 m del semáforo.

Solución: a) 1,89 m/s2; b) 13,75 m/s (49,5 km/h)

2 Un niño deja caer una pelota desde su ventana situada a 15 m del suelo.

a) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?

b) ¿Con qué velocidad llega al suelo?

Solución: a) 1,75 s; b) 17,15 m/s

3 Un coche que circula por una carretera a 80 km/h frena al ver un obstáculo situado a 50 m. ¿Cuál debe ser la deceleración para que el coche no choque con el obstáculo?

Solución: Mayor que 4,94 m/s2

4 Desde un punto situado a 5 m de altura se ha lanzado un objeto hacia arriba. Sabiendo que ha tardado 6 s en llegar al suelo, calcula:

a) La velocidad con la que fue lanzado.

b) La altura máxima alcanzada.

Solución: a) 28,57 m/s; b) 41,64 m

5 Un ciclista necesita 10 s para pasar de 0 a 60 km/h. Calcula:

a) La aceleración obtenida.

b) La distancia recorrida.

c) La velocidad a los 8 s de comenzar a moverse.

Solución: a) 1,6!m/s2;

b) 83,3! m;

c) 13,3! m/s (48 km/h)

Una persona lanza un objeto desde el suelo verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 20 m/s. Calcula:

a) La altura máxima alcanzada.

b) El tiempo que tarda en caer al suelo desde el instante del lanzamiento.

c) La distancia recorrida en el primer segundo de su movimiento.

Dato: g = 9,8 m/s2.

El problema trata un MRUA. La dirección del movimiento es vertical, y el sentido positivo del sistema de referencia, hacia arriba. La aceleración del móvil es la de la gravedad, g, y, por tanto, de sentido negativo.

a) El objeto comienza su movimiento ascendiendo hasta que para, velocidad nula, y comienza a caer. El tiempo que tarda el objeto en alcanzar la altura máxima es el tiempo que pasa hasta que el objeto para, v1 = 0 m/s:

v1 = v0 - g t1 & 0 = 20 m/s - 9,8 m/s2 t1 & t1 = ,9 820

m/sm/s

2 = 2,04 s

Y la altura máxima alcanzada es:

? ? ? ? ? ?, , ,y y v t g t21

0 20 2 0421

9 8 2 04m/s s m/s s 20,4 m1 0 0 1 12 2 2 2= + - = + - =

b) El objeto tarda el mismo tiempo en subir que en bajar. Por tanto, el momento en que el objeto cae al suelo corresponde a: t2 = 2 2,04 s = 4,08 s.

En efecto, las soluciones de la ecuación:

? ? ? ? ? ?,y y v t g t t t21

0 0 2021

9 82 0 0 2 22

2 23&= + - = + -

Son 0 segundos, el momento del lanzamiento, y t2 = 4,08 s, el momento de la caída.

c) La distancia, d, que recorre durante el primer segundo del lanzamiento es:

? ? ? ? ? ?,d y y v t g t21

20 121

9 8 1m/s s m/s s 15,1 m0 02 2 2 2= - = - = - =

270 DÍA A DÍA EN EL AULA FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bto. Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

TIRO PARABÓLICO

PROBLEMAS RESUELTOS

8 FICHA 2

ACTIVIDADES

1 Una esquiadora realiza un salto en una arista inclinada 25° sobre la horizontal y con un desnivel de 10 m. Si la velocidad con la que empieza el vuelo es 20 m/s, calcula la altura máxima alcanzada y el punto del impacto.

Solución: 13,65 m; 45,88 m

2 Un niño deja caer un coche por el borde de una mesa de 70 cm de altura después de empujarlo sobre ella con una velocidad de 30 cm/s. ¿A qué distancia de la mesa cae el coche?

Solución: 11,3 cm

3 Una estudiante se monta en una montaña rusa con varias vueltas completas. Cuando su coche empieza la primera vuelta y a 20 m del suelo se inclina 100° sobre la horizontal, se le caen las llaves del bolsillo de la camisa. Si la velocidad en ese momento es de 15 m/s, ¿a qué distancia de ese punto tendrá que buscar las llaves?

Solución: 10,5 m

4 ¿Cuánto tiempo dura la caída desde el trampolín, de 10 m, de los nadadores de alta competición que se elevan hasta tres metros por encima del trampolín en su salto?

Solución: 2,41 s

El caño de una fuente está inclinado 60° sobre la horizontal. Si el agua sale del caño con una velocidad inicial de 10 m/s:

a) ¿Qué dibujo forma el chorro de agua?

b) ¿Qué altura máxima alcanza el agua?

c) ¿A qué distancia del caño hay que colocar el sumidero?

d) ¿Cuál es el módulo de la velocidad del agua cuando esta cae al sumidero?

Fijamos el sistema de referencia del problema con origen en el caño, direcciones vertical y horizontal y sentidos hacia arriba y según el avance del movimiento. Entonces, en las unidades del SI, r 00= , v0 = 10 cos 60° i + 10 sen 60° j = 5 i + 8,66 j , y la aceleración de la gravedad tiene solo componente vertical con sentido negativo.

a) El chorro dibuja en el aire una parábola.

b) Para calcular la altura máxima hay que fijarse en la componente vertical del movimiento. Como la componente vertical de la velocidad en ese punto es cero, el tiempo que tarda en alcanzar ese punto es:

vy = v0y - g t & 0 = 8,66 m/s - 9,8 m/s2 t & t = 0,88 s

En ese tiempo el agua sube hasta una altura:

? ? ? ? ?, , , ,y y v t g t21

0 8 66 0 8821

9 8 0 88m/s s m/s s 3,8 m0 02 2 2 2

y $= + - = + - =

c) Durante su trayectoria el agua avanza en horizontal un espacio:

x = x0 + v0x t = 0 + 5 m/s 0,88 s = 4,4 m

Si no queremos que el agua caiga sobre el suelo, sino que deseamos recogerla para reciclarla, el sumidero debe estar a 4 m y 40 cm del caño.

d) La componente horizontal de la velocidad no cambia durante su movimiento, y la componente vertical de la velocidad final es igual, pero de sentido contrario, a la componente vertical de la velocidad inicial. Por tanto, la velocidad final es:

vf = 5 i - 8,67 j m/s

Y su módulo coincide con el de la velocidad inicial: 10 m/s.


MOVIMIENTO CIRCULAR

PROBLEMAS RESUELTOS

8 FICHA 3

ACTIVIDADES

1 Un volante que gira a 10 rad/s de velocidad angular se detiene dando 3 vueltas desde el instante que comienza a frenar hasta quedar completamente en reposo. Calcula:

a) La aceleración angular.

b) El tiempo que tarda en detenerse.

Solución: a) -2,65 rad/s2; b) 3,77 s

2 Un disco gira a 2000 revoluciones por minuto de velocidad constante. Si su radio es de 8 cm, calcula:

a) La distancia recorrida por un punto del borde en 5 s.

b) El tiempo que tarda en girar un ángulo de 2p radianes.

Solución: s = 83,78 m; t = 0,03 s

3 Una hélice pasa de 50 a 200 revoluciones por minuto en un tiempo de 6 s. Calcula:


b) El número de vueltas dadas en esos 6 s.

Solución: a) 2,62 rad/s2; b) 12,5 vueltas

4 Un tiovivo comienza a dar vueltas. Primero, con una aceleración angular de 0,2 rad/s2 durante 8 s. Después, manteniendo la velocidad de giro durante 20 s. Calcula el ángulo total girado.

Solución: 38,4 radianes

5 Un punto está situado a 30 cm del centro de una rueda. Esta empieza a girar alcanzando la velocidad angular máxima en 5 s. Sabiendo que en ese momento el punto se mueve a una velocidad de 1 m/s, calcula:

a) La aceleración angular de la rueda durante los 5 s.

b) La velocidad que llevaba el punto a los 3 s de iniciarse el movimiento.

Solución: a) 0,6! rad/s2;

b) 0,6 m/s

Una rueda comienza a girar con aceleración angular constante y al cabo de 3 s alcanza las 300 revoluciones por minuto. Si su radio es de 10 cm, calcula:


b) La velocidad lineal que lleva un punto del borde de la rueda a los 3 s.

El movimiento de la rueda es circular uniformemente acelerado. En 3 s desde el reposo alcanza una velocidad angular de:

? ?1

300

1

260

110

min

rev

rev

rads

minrad/s

pv p= =

a) La aceleración angular de la rueda es:

pt 3

010s

rad/s rad/s 10rad/s

30 2a

v v p=

-=

-=

b) La velocidad lineal está relacionada con la angular mediante el radio, así que:

? ? p,v t 0 110 rad/s s m/sv p= = =


ACTIVIDADES

1 En el extremo de un muelle colocamos un cuerpo, lo estiramos una longitud de 6 cm y lo dejamos oscilar libremente. Escribe las ecuaciones que permiten conocer su elongación, velocidad y aceleración en función del tiempo si vibra con una frecuencia de 50 Hz.

Solución: x = 0,06 ? sen (100p ? t + p/2); v = 6p ? cos (100p ? t + p/2); a = -600p2 ? sen (100p ? t + p/2)

2 Identifica en la ecuación la amplitud, la pulsación y la fase inicial. (Las unidades son las del SI).

? ?pp

x t8 253

sen= +d n

Solución: 8 m, 25p rad/s, p/3 rad

3 Una partícula oscila según un movimiento armónico simple de 4 cm de amplitud y 8 s de periodo. Calcula su posición, velocidad y aceleración en los siguientes casos:

a) Cuando la partícula pase por el centro de oscilación.

b) Un segundo después de que la partícula haya pasado por uno de los extremos de la trayectoria.

Solución: a) 0 cm, 3,14 cm/s, 0 cm/s2; b) 2,83 cm; -2,22 cm/s; -1,74 cm/s2

4 Una masa realiza un movimiento vibratorio armónico simple en el extremo de un muelle realizando 4 oscilaciones por segundo. Si la amplitud del movimiento es 25 cm, calcula:

a) La velocidad máxima que llega a alcanzar la masa.

b) La aceleración de la masa en el extremo del movimiento vibratorio armónico.

Solución: a) 2p m/s; b) 8p m/s2

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

PROBLEMAS RESUELTOS

8

Una partícula realiza un movimiento armónico simple cuya aceleración viene dada por la expresión a = -9p2 x, en unidades del SI. La amplitud del movimiento es de 3 cm. Sabiendo que se ha empezado a contar el tiempo cuando la aceleración adquiere su valor absoluto máximo en los desplazamientos positivos, determina:

a) El periodo y la pulsación del movimiento.

b) La expresión matemática del desplazamiento en función del tiempo x = x(t).

c) Los valores absolutos de la velocidad y de la aceleración cuando el desplazamiento es la mitad del máximo.

a) Comparando con la igualdad, a = -v 2 · x, se deduce que la pulsación es:

v2 = 9p2 & v = 3v rad/s

El periodo está relacionado con la pulsación:

T2

32rad/s

0,6 sv

p

p

p= = =

!

b) En la ecuación del desplazamiento solo desconocemos la fase inicial, f0.

x = A ? sen (v ? t + f0) = 0,03 ? sen (3p ? t + f0)

Para averiguar la fase inicial debemos atender los datos del enunciado sobre el tiempo inicial. La aceleración máxima se consigue en la posición de la máxima amplitud. De acuerdo con el enunciado, para t = 0 s la elongación es la máxima posible en los desplazamientos positivos, x = +A = +0,03 m.

0,03 = 0,03 ? sen (3p ? 0 + f0) & sen f0 = 1 & f0 = 2p

Por tanto, la ecuación de la elongación es:

?,x t0 03 32

sen pp

= +d n

c) La posición pedida es la mitad de la elongación, x = A/2 = 1,5 m.

? ? ( , ) ( , )v A x 9 0 03 0 015rad/s m m 0,73 m/s2 2 2 2!v p= - = - =

Calculamos el valor absoluto de la aceleración en esa posición:

;a; = ;-v2 ? x; = 9p2 rad2/s2 ? 0,015 m = 1,33 m/s2

FICHA 4


MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

MÁS PROBLEMAS

8Nombre:

Curso:

Fecha:

FICHA 1

EJEMPLO

PROBLEMAS PROPUESTOS

1 Dos coches que circulan en sentidos contrarios con velocidades constantes de 60 y 80 km por hora, respectivamente, se encuentran separados 50 km cuando el reloj marca la una en punto. Calcula a qué hora se cruzarán.

Una liebre corre hacia su madriguera perseguida por un galgo que trata de alcanzarla. El galgo corre a 40 km/h, mientras que la liebre lo hace a 30 km/h. Sabiendo que la distancia inicial que los separa es de 200 m y que de la posición inicial de la liebre a la madriguera hay 550 m, calcula si la liebre conseguirá llegar a su madriguera antes de que el galgo la alcance.

Las velocidades de la liebre y el galgo en el SI de unidades son, respectivamente, 8, 3

! m/s y 11, 1

! m/s.

Situando el origen del sistema de referencia en la posición inicial del galgo, tomando como sentido positivo el del movimiento de ambos animales, las ecuaciones de la posición para cada animal son:

xliebre(t) = 200 m + 8,3! m/s t

xgalgo(t) = 11,1! m/s t

En el momento en que el galgo alcance a la liebre sus posiciones serán iguales, por lo que:

200 m + 8,3! m/s t = 11,1

! m/s t &

, m/s

mt

2 7

20072 s= =!

Y la posición en ese instante será:

xgalgo(t = 72 s) = 11,1! m/s 72 s = 800 m

La liebre se salvará, porque su madriguera está situada a 750 m de la posición inicial del galgo y este necesita mayor distancia para alcanzarla.

60 km/h

50 kmA B

F80 km/hG

200 m 550 m



MÁS PROBLEMAS

8Nombre:

Curso:

Fecha:

FICHA 1


2 Jaime sale de su casa a las 8 en punto de la mañana para ir al colegio. A los 10 minutos llega a casa de Juan, situada a 1 km de la suya. Juan está terminando su desayuno, así que hasta las 8:25 h no se ponen en marcha los dos amigos. A las 8:40 h, cinco minutos antes de empezar las clases, Jaime y Juan están entrando en su centro escolar situado a 2 km de la casa de Juan. Si el centro escolar y las casas de Jaime y Juan están alineados, dibuja la gráfica del movimiento y calcula las velocidades de Jaime en cada uno de los tramos.

3 El vector de posición de un móvil viene dado por la siguiente expresión: ( )r t t t4 3i j= + .

a) Calcula la ecuación de la trayectoria.



MÁS PROBLEMAS

8Nombre:

Curso:

Fecha:


b) Indica el tipo de movimiento y el valor de la velocidad en un instante t.

4 Luis practica el piragüismo desde niño y es capaz de remar a una velocidad constante de 2 m/s en aguas en calma.

a) Calcula en qué dirección tendrá que remar para atravesar perpendicularmente a la orilla un río de 30 m de ancho en el que la velocidad de la corriente es de 1 m/s.

b) Calcula también el tiempo que tardará en llegar a la otra orilla.

FICHA 1

vc = 1 m/sF



MÁS PROBLEMAS

8Nombre:

Curso:

Fecha:

FICHA 2

EJEMPLO

1.a Espacio recorrido en función del tiempo:

? ? ?x x x v t a t21

0 02D- = = +

2.a Velocidad en función del tiempo:

?v v a t0= +

Deducir una 3.a ecuación que ligue Dx, v y a.

Estas dos ecuaciones aportan cada una información independiente. De ellas podemos deducir una tercera ecuación que puede sernos útil para resolver algunos problemas, concretamente para aquellos en los que no se nos hable de tiempo transcurrido. Aplicamos el método de sustitución:

Despejamos el tiempo t en la 2.a:

ta

v v0=

-

Lo sustituimos en la 1.a:

? ? ? ? ? ?x v t a t va

v va

av v

21

21

02

00 0

2

D = + =-

+-

f fp p

• Aplicamos la propiedad distributiva en el primer sumando y hacemos el cuadrado de la fracción en el segundo:

?? ?

( )x

av v v

aa

v v210 0

2

2

02

D =-

+-

• Desarrollamos el segundo sumando y simplificamos:

?

?

? ? ? ?

?

? ?( )x

av v v

aa v v v v

av v v

av v v v

22

220 0

2

2

202

0 0 02 2

02

0D =

-+

+ -=

-+

+ -

• Ponemos denominador común y sumamos las fracciones:

?

? ?

?

? ?

?

? ? ? ?( )x

av v v

av v v v

av v v v v v v

22

22

22 2 20 0

2 202

0 0 02 2

02

0D =

-+

+ -=

- + + -

• Simplificamos. Fíjate que ? ? ? ? ? :v v v v v v v2 2 0 2y que0 0 02

02

02- = - + =-

?x

av v

2

202

&D =-

? ?v v a x2202 D- = :

ó

vvax

con

velocidad finalvelocidad inicial

aceleraci nespacio recorrido

0

D

=

=

=

=

*

Esta es nuestra 3.a ecuación del MRUA independiente del tiempo.



MÁS PROBLEMAS

8Nombre:

Curso:

Fecha:

FICHA 2


5 Un coche de carreras cruza la línea de meta con una velocidad de 90 km/h y con una aceleración de a = 1,5 m/s2. ¿A qué distancia de la línea de meta estará cuando lleve una velocidad de 135 km/h?

6 A un turista se le cae el teléfono móvil desde un mirador de la Torre Eiffel de París. ¿Con qué velocidad llegará el móvil al suelo si el turista se encontraba a 150 m de altura?

7 Una moto que circulaba a 120 km/h ante la proximidad de un barranco frena bruscamente hasta pararse con una aceleración de a = 8 m/s2, quedándose justo al borde del precipicio. ¿A qué distancia se encontraba del barranco cuando comenzó a frenar?

8 Un ciclista que circula a 50 km/h ve que un animal silvestre entra en la carretera, por lo que frena con una aceleración de a = 4 m/s2. Cuando la velocidad del ciclista es de 20 km/h, el animal silvestre ya ha cruzado la calzada y no supone ningún peligro, por lo que el ciclista sigue su camino con velocidad constante. ¿Qué espacio recorrió durante su frenada?


PROBLEMAS CON DIFERENTES MÓVILES

MÁS PROBLEMAS

8Nombre:

Curso:

Fecha:

FICHA 3


9 En un momento dado el coche de unos ladrones pasa junto a un bar de carretera con una velocidad de 100 km/h. Diez minutos después pasa por el mismo sitio persiguiéndolo un coche de policía con una velocidad de 120 km/h. ¿Qué tiempo tarda en alcanzar el coche de policía al de los ladrones? ¿A qué distancia del bar de carretera estarán en ese momento?

a) Haz un dibujo de los dos coches sobre un sistema de referencia justo cuando el coche de policía pasa por delante del bar de carretera (sitúa ahí el origen del eje X).

Pista: estás dibujando la situación en t = 0:

b) Identifica el tipo de movimiento de cada uno y escribe sus ecuaciones de posición y velocidad en función del tiempo (expresa los espacios en metros y las velocidades en m/s).

c) Establece las igualdades que se produzcan en el momento de la captura.

d) Resuelve esas ecuaciones y averigua cuánto tiempo tarda el coche de policía en alcanzar al de los ladrones.

e) Con el tiempo anterior, halla a qué distancia del bar de carretera se produce la captura.


CAÍDA BAJO GRAVEDAD

MÁS PROBLEMAS

8Nombre:

Curso:

Fecha:

FICHA 4

EJEMPLO


10 Desde la punta de un trampolín, que está a 3 m sobre el agua, Alba se impulsa verticalmente hacia arriba con una velocidad de 2 m/s. Calcula la velocidad con que Alba entrará en el agua.

Dato: g = 98 m/s2.

Andrea se deja caer desde el punto más alto de la Torre Eiffel, a 320 m de altura. Cuando pasa por un punto situado a 200 m de altura abre su paracaídas y a partir de ese momento baja con velocidad constante. Calcula el tiempo total que dura la caída hasta el suelo.

Dato: g = 9,8 m/s2.

El movimiento rectilíneo de Andrea está compuesto de un tramo uniformemente acelerado partiendo del reposo y otro segundo tramo de movimiento uniforme.

El sistema de referencia se fija en el suelo con sentido positivo hacia arriba, de manera que Andrea parte de la posición y0 = 320 m, abre el paracaídas en y1 = 200 m y llega a la base de la Torre Eiffel en la posición y2 = 0 m.

En este sistema de referencia la velocidad es negativa, y la aceleración de la gravedad, también.

Calculamos el tiempo que Andrea se mueve en caída libre bajo la aceleración de la gravedad de la siguiente manera:

? ? ? ? ?, ,y y v t g t t t21

200 320 021

9 8 4 95m m m/s s1 0 02 2 2& &= + - = + - =

Ahora podemos calcular la velocidad al final del primer tramo:

v1 = v0 - g t & v1 = 0 - 9,8 m/s2 4,95 s = -48,50 m/s

Que corresponde a la velocidad constante v1 con la que Andrea baja durante el segundo tramo. El tiempo que tarda Andrea en recorrer los 200 m que le faltan para llegar al suelo con movimiento uniforme es:

,,v

ty y

t48 5

0 04 12

020

m/sm m

s12 1

&=-

=-

-=

El tiempo total empleado en la caída es:

4,95 s + 4,12 s = 9,07 s



11 María está asomada a la ventana de su casa a 15 m de altura.

Dato: g = 9,8 m/s2.

a) ¿Con qué velocidad debe lanzar Inés, situada justo debajo de la ventana, un estuche desde el suelo para que llegue justo hasta la posición de María?

b) ¿Cuánto tiempo habrá tardado el estuche en recorrer los últimos 5 m de subida?

c) ¿Con qué velocidad debe lanzar María hacia abajo una pelota, en el mismo instante en que Inés lanza el estuche, para que el choque entre ambos objetos se produzca a 5 m de altura?


MÁS PROBLEMAS

8Nombre:

Curso:

Fecha:

FICHA 4

María

Inés



12 Tomás y Paco están en un globo que asciende a 3 m/s. Cuando la altitud es de 50 m, Tomás deja caer una piedra. Calcula:

Dato: g = 9,8 m/s2.

a) El tiempo que tarda la piedra en llegar al suelo.

b) La velocidad a la que tendrá que lanzar Paco una segunda piedra 2 s después de que Tomás suelte la suya para que ambas lleguen al suelo simultáneamente.


MÁS PROBLEMAS

8Nombre:

Curso:

Fecha:

FICHA 4

3 m/s

F


TIRO PARABÓLICO

MÁS PROBLEMAS

8Nombre:

Curso:

Fecha:

FICHA 5

EJEMPLO

Laura, que está aburrida en su casa, se entretiene lanzando bolas de papel a la papelera. Efectúa los lanzamientos con una velocidad inicial de 2 m/s y un ángulo de 30° sobre la horizontal. Si la altura desde la que lanza es de 1 m y 15 cm:

a) ¿Dónde debe estar situada la papelera para que Laura enceste sus lanzamientos, suponiendo que la altura de la papelera es de 50 cm y su diámetro es de 20 cm?

b) ¿Con qué velocidad entrará la bola en la papelera?

Dato: g = 9,8 m/s2.

Fijamos el sistema de referencia del problema con origen en los pies de Laura, direcciones vertical y horizontal y sentidos hacia arriba y según el avance del movimiento.

Entonces, en el SI de unidades:

, ;r v1 15 j m0 0= = 2 cos 30° i + 2 sen 30° j = 1,73 i + 1 j m/s

Y la aceleración de la gravedad tiene solo componente vertical con sentido negativo, ,g 9 8 j=- m/s2.

a) Calculamos el tiempo que tarda en llegar la bola a la papelera fijándonos en la componente vertical, que sigue un movimiento uniformemente acelerado. La bola alcanza la altura del borde de la papelera, y = 0,5 m, en un tiempo t:

? ? ? ? ? ?, , ,y y v t g t t t21

0 5 1 15 121

9 8m m m/s m/s0 02 2 2&= + - = + -

??

? ?, ,

,, ( , )

t t t4 9 0 65 02 4 9

1 1 4 4 9 0 652 &!

- - = =- -

La solución positiva es t = 0,48 s. En ese tiempo la bola se traslada horizontalmente con movimiento uniforme una distancia:

? ?, , ,x x v t 0 1 73 0 48 0 83m m/s s m 83 cm0 0x= + = + = =

Como el diámetro de la papelera es de 20 cm, la papelera (el punto más cercano a Laura) puede estar a una distancia de Laura desde 63 cm hasta 83 cm.

b) Para determinar el vector velocidad del momento de llegada hay que calcular cada una de sus componentes.

La componente horizontal es vx = 1,73 m/s porque el movimiento en esa dirección es uniforme y la velocidad permanece constante.

La componente vertical se calcula recordando que en esa dirección el movimiento es uniformemente acelerado:

vy = v0y - g t = 1 m/s - 9,8 m/s2 0,48 s = -3,70 m/s (signo negativo porque la bola cae).

Por tanto:

, ,

, ( , )

v 1 73 3 70

1 73 3 70

i j m/s

2 2

= -

+ -v 4,08 m/s; ;= =

30°



13 Un niño juega a lanzar bolitas de papel por encima de un muro de 3 m de alto. Si el niño lanza desde 1 m de altura con una velocidad de 10 m/s y está situado a 4 m del muro, ¿con qué ángulo debe lanzar para que las bolitas pasen justo por encima del muro?

Dato: g = 9,8 m/s2.

TIRO PARABÓLICO

MÁS PROBLEMAS

8Nombre:

Curso:

Fecha:

FICHA 5

a

v0



14 Una avioneta vuela a 500 m de altura con una velocidad de 130 m/s. ¿A qué distancia en horizontal de una marca dibujada en el suelo debe soltar un paquete para que este caiga exactamente sobre la marca?

Dato: g = 9,8 m/s2.

15 Una atleta de élite lanza la jabalina con un ángulo de 45° alcanzando la marca de 70 m de distancia al punto de lanzamiento. Dato: g = 9,8 m/s2.

a) ¿Cuál fue la velocidad de salida de la jabalina?

TIRO PARABÓLICO

MÁS PROBLEMAS

8Nombre:

Curso:

Fecha:

FICHA 5

uy

ux



b) ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada?

c) ¿Cuánto tardó en caer al suelo?

16 Mario golpea el balón con el pie para lanzárselo a Tamara que está situada a 18 m de distancia. El ángulo de salida del balón es de 30° sobre la horizontal y la velocidad a la que sale el balón de la bota de Mario es de 15 m/s. ¿A qué altura deberá poner el pie Tamara para hacer el control de la pelota que le envía Mario? Dato: g = 9,8 m/s2.

TIRO PARABÓLICO

MÁS PROBLEMAS

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Curso:

Fecha:

FICHA 5

30°

Mario Tamara


MOVIMIENTO CIRCULAR

MÁS PROBLEMAS

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Curso:

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FICHA 6

EJEMPLO


17 Un tiovivo gira a razón de 10 vueltas cada 3 minutos. Calcula la velocidad angular (en rad/s) y la velocidad lineal de un niño que está montado en un cochecito a 10 m del eje de giro.

18 Una rueda gira a razón de 20 vueltas/minuto. Determina:

a) El periodo.

b) La velocidad angular.

c) La velocidad lineal en un punto de la periferia sabiendo que el diámetro de la rueda es 100 cm.

La noria de un parque de atracciones tarda 15 s en dar una vuelta. Si su velocidad angular es constante, calcula:

a) La velocidad angular en radianes/segundo.

b) El periodo y la frecuencia.

c) El ángulo girado en 5 s.

d) La velocidad lineal de un viajero situado a 10 m del eje de giro.

La noria se mueve con movimiento circular uniforme, MCU, por lo que serán de aplicación sus ecuaciones.

a) p3t 15

2s

rad0,1

srad

0,4189s

rad.v

u p= = =

!

b) El periodo es el tiempo que tarda en dar una vuelta, por lo que será T = 15 s.

La frecuencia es la inversa del periodo, por lo que sería:

6fT1

151

s0,0 Hz= = =!

c) El ángulo girado en 5 s será:

? ? p6,t 0 13 5s

rads 0, rad 2,0944 rad.u v p= = =

! !

d) La velocidad lineal de un viajero la calculamos a partir de la relación entre esta y la velocidad angular:

? ? p3,v R 0 13 10s

radm 1,

sm

4,19sm

.v p= = =! !



19 Calcula la velocidad angular de la aguja horaria y del minutero del reloj.

20 Un satélite tarda dos días en dar una vuelta alrededor de la Tierra. Su velocidad angular será:

a) 0,5p vueltas/minuto.

b) p rad/s.

c) p rad/día.

d) 0,5 p rad/día.

21 El movimiento circular uniforme ¿tiene aceleración?

22 La velocidad angular de un tocadiscos de la década de 1970 es de 45 rpm. Calcula:

a) La velocidad angular en rad/s.

b) El periodo y la frecuencia.

c) El número de vueltas que dará en 5 minutos.

MOVIMIENTO CIRCULAR

MÁS PROBLEMAS

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FICHA 6



MÁS PROBLEMAS

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FICHA 7


23 Observa las líneas en la gráfica siguiente. Representan la posición frente al tiempo para dos móviles, A y B, ambos con MAS. ¿Cuál de los dos móviles tarda más en completar una oscilación?

24 Observa las líneas en la gráfica siguiente. Representan la posición frente al tiempo para dos móviles, A y B, ambos con MAS. ¿Cuál de los dos móviles tarda más en completar una oscilación?

EJEMPLO

Una partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio, x = 0 cm. El punto de inicio es x = 25 cm desde el reposo. Escribe la ecuación de la posición, velocidad y aceleración del móvil.

La posición sigue la ecuación ? ?( )x A tsen 0v f= + . El dato del periodo nos permite conocer v:

,T2

1 52

34

srad/sv

p p p= = =

Obtenemos el valor de f0 y A a partir de las condiciones iniciales que indica el problema. En t = 0 s, x = 25 cm y v = 0 m/s. Incluimos los datos en la ecuación y en la correspondiente ecuación de velocidad ? ? ?( )v A tcos 0v v f= + :

? ?

? ? ?

? ?

? ? ?

??( )

( )( )

( )x A tv A t

AA

A A A25 00 0

250

252

2

25

2

sencos

sencos

sencos

sen

rad

cm

rad0

0

0

0

0

00

0& & & &

v f

v v f

v f

v v f

f

f

p

fp f

p= += +

= += +

==

=

=

=

=) ) ) * *

Podemos ahora sustituir para completar las ecuaciones de la posición (en centímetros) y la velocidad (en centímetros por segundo):

? ?

? ?

x t

v t

253

42

3100

34

2

sen

cos

p p

p p p

= +

= +

e

e

o

o

Para la aceleración del móvil, ? ? ?( )a A tsen20v v f=- + (en centímetros por segundo al cuadrado):

? ?a t9

4003

42

sen2p p p

=- +e o

x

x

t

-x

x’

-x’

0

A

B

x

x

t

-x

0

A

B



25 Una partícula, que solo puede moverse a lo largo del eje OX, se sitúa inicialmente (t = 0 s) en la posición x0 = 0,5 cm y se libera con velocidad nula. Sobre ella actúa una fuerza variable que hace que oscile según un MAS de pulsación 300. Escribe las ecuaciones de la posición y la velocidad.


MÁS PROBLEMAS

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Curso:

Fecha:

FICHA 7


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