exclusiÓn exclusiÓn de saberes matemÁticos en de … · 2017. 10. 12. · vi capÍtulo iv...

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

MAESTRÍA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

EXCLUSIÓN EXCLUSIÓN EXCLUSIÓN EXCLUSIÓN DE SABERES MATEMÁTICOS EN DE SABERES MATEMÁTICOS EN DE SABERES MATEMÁTICOS EN DE SABERES MATEMÁTICOS EN

SITUACIÓN ESCOLARSITUACIÓN ESCOLARSITUACIÓN ESCOLARSITUACIÓN ESCOLAR

EL CASO DE LOS LOGARITMOSEL CASO DE LOS LOGARITMOSEL CASO DE LOS LOGARITMOSEL CASO DE LOS LOGARITMOS

Tesis que para obtener el grado de

Maestra en Ciencias en Matemáticas y su Didáctica

Presenta:

INGINGINGING. . . . MARÍA DE LOURDES PÉREZ RUIZMARÍA DE LOURDES PÉREZ RUIZMARÍA DE LOURDES PÉREZ RUIZMARÍA DE LOURDES PÉREZ RUIZ

DIRECTORESDIRECTORESDIRECTORESDIRECTORES:::: DR. CARLOS RONDERODR. CARLOS RONDERODR. CARLOS RONDERODR. CARLOS RONDERO GUERREROGUERREROGUERREROGUERRERO

DRA. ANNA TARASENKODRA. ANNA TARASENKODRA. ANNA TARASENKODRA. ANNA TARASENKO

PACHUCA, HGO. FEBRERO 2012

ii

DEDICATORIAS Y AGRADECIMIENTOS

Les dedico a mis tres hijos Javier, Dibe y Faride, así como, a mis nietos

Dibe, Aldo, Aline, Malú y Javo la realización de esta tesis porque son lo que, en

este mundo más amo.

Agradezco de manera muy especial a mis compañeros Mtro. José Eduardo

Flores e Ing. Román Bravo Cadena por la motivación, ayuda, paciencia y

tolerancia que me ofrecieron en la realización de este proyecto

A mis directores de tesis Dr. Carlos Rondero Guerrero y Dra. Anna

Tarasenko mi agradecimiento por su comprensión y ayuda.

Finalmente gracias a todos los profesores que contribuyeron con su

enseñanza al logro de esta tesis.

iii

RESUMEN

En este trabajo se realiza una investigación acerca de la problemática

educativa que, en México se tiene, en relación al fenómeno de la exclusión de los

saberes acerca de logaritmos. Se parte de un análisis de las condiciones socio

históricas en las que se origina y desarrolla la educación en México, para

determinar si estas condiciones inciden en el fenómeno que se investiga, además

se analizaron los programas de estudio y los libros de texto, particularmente en

referencia al modo en que se tratan y la relevancia que se le da o no, a los

logaritmos. En la parte experimental, se llevó a cabo la elaboración y aplicación

de una evaluación diagnóstica, sobre lo que los estudiantes de los diversos niveles

educativos saben acerca de los logaritmos. Aunado a lo anterior, se incluye un

estudio epistemológico, lo que en conjunto permitió dar evidencias de las

consecuencias que tiene la exclusión de los logaritmos en el sistema educativo.

iv

ABSTRACT

This paper was done on research of educational issues that Mexico has in

relation to the phenomenon of exclusion of knowledge about logarithms. It starts

with an analysis of socio-historical conditions which originated and has been

developed in education in Mexico, and determines whether these conditions affect

the phenomenon under investigation also analyzed was the curriculum along with

textbooks, particularly in reference to the way they treat and give relevance to

logarithms. Development and implementation of a diagnostic evaluation on what

students of various educational levels know about logarithms was carried out in the

experimental part. An epistemological study, along with evidences of the

consequences of the exclusion of logarithms in the education system is also

included.

v

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN viii CAPÍTULO I

EL PROBLEMA Y SU PLANTEAMIENTO 1.1 Planteamiento del problema exclusión y/o envejecimiento de los logaritmos

en situación escolar 11

1.1.1 Planteamiento del problema 11 1.1.2 Hipótesis 12 1.1.3 Objetivos 12

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO 2.1 Teorías de aprendizaje 14

2.1.1 Piaget y el constructivismo 14 2.2 Teorías sobre didáctica de las matemáticas 14

2.2.1 La Transposición Didáctica 14 2.2.2 El Obstáculo Epistemológico 16 2.2.3 Dialéctica Herramienta – Objeto 17 2.2.4 La teoría APOE 18 CAPÍTULO III

METODOLOGÍA

3.1 Metodología 22

3.1.1 Ingeniería Didáctica 22

vi

CAPÍTULO IV

CONTEXTO SOCIO HISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS 4.1 Fundamentación 27

4.1.1 Acerca del fenómeno sobre la exclusión de saberes de los

logaritmos 27

4.2 Contexto socio histórico de la educación en México y sus repercusiones en los saberes de los logaritmos 28

4.2.1 Antecedentes históricos de la educación en México 28

4.3 Contexto epistemológico de los logaritmos 41

4.3.1 Estudios acerca del aprendizaje de los logaritmos 41 4.3.2 Epistemología del saber logaritmos 42 4.3.3 Usos sociales de los logaritmos 64

CAPÍTULO V

SABERES PREVIOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE LOGARITMO 5.1 Investigación de los saberes previos para la conceptualización de

logaritmo 70

5.1.1 Mapa conceptual sobre la construcción del concepto logaritmo 70 5.1.2 Modelo de construcción del concepto logaritmo 71

CAPÍTULO VI

ACERCA DE LOS SABERES DE LOS LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR

6.1 Análisis de los programas de estudio y

libros de texto 74

6.1.1. Análisis de programas y libros de texto de matemáticas en nivel secundaria 74

6.1.2 Análisis de programas y libros de texto de matemáticas de nivel medio superior 86

vii

6.1.3 Análisis de programas de matemáticas de nivel superior 112 6.1.4 Caracterización del fenómeno de la exclusión 116

CAPÍTULO VII

EXPERIMENTACIÓN 7.1 Evaluaciones diagnósticas 122

7.1.1 Sobre logaritmos en el nivel medio básico 122 7.1.2 Sobre logaritmos en el nivel medio superior 125 7.1.3 Sobre logaritmos en el nivel superior 128 7.1.4 Análisis de entrevistas 132

CONCLUSIONES Y REFLEXIONES 136

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 143

ANEXOS 144

TRANSCRIPCIÓN DE LAS ENTREVISTAS 148

viii

INTRODUCCIÓN

En las instituciones educativas de nivel superior y particularmente en el

área de matemáticas, es frecuente escuchar que los profesores comentan, en

relación a los estudiantes que ingresan, que éstos, cada vez tienen menos

conocimientos sobre temas como inecuaciones y desigualdades, logaritmos,

números complejos, álgebra, trigonometría, teoría de conjuntos entre otros,

originando que tengan problemas de aprendizaje de algunos saberes matemáticos

en este nivel, lo cual provoca altos índices de reprobación sobre todo en las

asignaturas relacionadas con matemáticas avanzadas, por tal motivo, es

necesario investigar y dar solución a este problema, o por lo menos proponer una

solución, dado que el deterioro de los conocimientos matemáticos se va

agudizando.

Dado que investigar los temas antes mencionados sería muy amplio, se

eligió el tema logaritmos, y todo lo ocurrido con estos saberes en los programas de

matemáticas de los niveles anteriores al superior, para ser investigado, así como

también, los problemas de aprendizaje que enfrentan los estudiantes por la falta

de estos conocimientos.

En términos generales en el Capítulo I se plantea el problema, hipótesis y

objetivos, del fenómeno carencia de saberes acerca de logaritmos en los

estudiantes de nivel superior. En el Capítulo II, se hace referencia a las teorías de

aprendizaje, así como a las teorías de didáctica de las matemáticas que servirán

para dar sustento a la investigación.

En el Capítulo III, se describe la metodología de investigación, la cual

retoma algunos aspectos de la Ingeniería Didáctica. En el Capítulo IV, se realiza la

investigación sobre el inicio y desarrollo histórico de los niveles educativos de

secundaria y bachillerato, y acerca de la epistemología de los logaritmos.

En el Capítulo V, se muestra el análisis realizado, en relación a los

conocimientos previos que debe tener el estudiante para comprender el concepto

de los logaritmos y su aplicación, estableciéndose un modelo de aprendizaje de

ix

los logaritmos. En consecuencia en el Capítulo VI, se lleva a cabo la investigación

en los programas de estudio y libros de texto, sobre la presencia de estos saberes

necesarios para la comprensión de los logaritmos, así como el concepto, cálculo y

aplicación de los propios logaritmos.

Para concluir la investigación en el Capítulo VII, llamado experimentación,

se llevó a cabo la investigación acerca de los saberes sobre logaritmos que los

estudiantes de los diversos niveles educativos tienen, mediante la elaboración y

aplicación de un examen diagnóstico, a una muestra de estudiantes de cada uno

los niveles educativos mencionados. También se realizó una entrevista a un

docente y estudiante de nivel superior, para investigar acerca de estos saberes y

su repercusión en el estudio de matemáticas avanzadas, y así, con los resultados

obtenidos caracterizar el fenómeno de la “exclusión de saberes sobre logaritmos”,

si es que éste se presenta y sus posibles repercusiones en el estudio de

matemáticas de nivel superior.

Finalmente en el apartado de conclusiones y reflexiones, se expresan los

resultados de la investigación.

CAPÍTULO I

EL PROBLEMA Y SU PLANTEAMIENTO

En este capítulo se aborda la problemática a investigar así como la hipótesis y los

objetivos que guían la investigación.

CAPÍTULO I EL PROBLEMA Y SU PLANTEAMIENTO

11

1.1 Planteamiento del problema exclusión de los logaritmos en situación escolar

1.1.1 Planteamiento del problema

En el correr del tiempo se ha observado, que los estudiantes que ingresan a

alguna escuela de nivel superior tienen cada vez una mayor carencia de

conocimientos sobre, conjuntos, logaritmos, números complejos, desigualdades,

entre otros saberes matemáticos, lo cual, por supuesto, tiene incidencia sobre los

aprendizajes de cálculo y otras asignaturas de matemáticas avanzadas, afectando

la adquisición y aplicación de nuevos conocimientos, por esta razón, se hace

necesario investigar lo que ocurre con estos saberes y sus aprendizajes, en los

niveles anteriores al superior. Sin embargo, investigar acerca de todos estos

saberes y sus correspondientes aprendizajes, sería muy amplio, razón por la cual,

la investigación se acota únicamente a los saberes sobre logaritmos.

La recurrente y cada vez mayor carencia de saberes de los logaritmos,

permiten intuir que sus efectos y consecuencias no han sido considerados en los

aprendizajes, no solamente de matemáticas, sino también, de otras asignaturas

como física, química, biología, entre otras; ya que, al no tener los estudiantes el

sustento conceptual sobre los mismos, esto les dificultará incorporar

conocimientos más avanzados del tema a su red cognitiva, en consecuencia, la

aplicación de estos conocimientos a la solución de problemas es muy difícil. Por

estas razones, es necesario investigar lo que ocurre con estos saberes en los

niveles educativos medio básico y medio superior, así como, sus consecuencias

en nivel superior, para que en caso que esto se convierta en un obstáculo para la

adquisición de nuevos conocimientos, se proponga una solución que sirva para

evitar este fenómeno, o por lo menos disminuirlo. Por otro lado dicha investigación

permite conocer el origen y desarrollo del fenómeno, identificando que tanto afecta

a los estudiantes, y con ello, determinar si se trata de una exclusión, o un

envejecimiento (o incluso ambos) de saberes de los logaritmos.

CAPÍTULO I EL PROBLEMA Y SU PLANTEAMIENTO

12

1.1.2 Hipótesis

En la medida que se tenga mejor caracterizado el fenómeno de exclusión

de los saberes matemáticos, llamados logaritmos, se podrán identificar sus

repercusiones sobre la didáctica y la formación de profesores.

1.1.3 Objetivos

Objetivo General

Identificar y caracterizar el fenómeno de exclusión de los logaritmos en

secundaria y bachillerato, así como sus repercusiones en la didáctica.

Objetivo Particular

Mostrar algunas de las repercusiones didácticas en el nivel superior,

propiciadas por la exclusión del saber de los logaritmos, en secundaria y

bachillerato.

Cabe mencionar que la realización de esta investigación permitirá conocer,

por qué la enseñanza y aprendizaje de ciertos saberes matemáticos se deteriora,

hasta el grado de desaparecer del currículo, ocasionando un problema en la

didáctica de las matemáticas, en la formación de profesores y estableciéndose un

círculo vicioso, en el que cada vez los estudiantes saben menos de esos saberes

o conocimientos matemáticos, afectando así, otras áreas de conocimiento que se

relacionan con ellos.

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

En este capítulo se abordan algunos elementos teóricos en relación al aprendizaje,

y otros que son propios de la Didáctica de las Matemáticas.

CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO

14

2.1 Teoría de aprendizaje

De la teoría del constructivismo solo se consideraran algunos aspectos para

explicar la situación que se presenta con respecto al aprendizaje de los logaritmos.

2.1.1 Piaget y el constructivismo

El constructivismo de Piaget es una teoría que sostiene que el individuo

construye su conocimiento al interaccionar con la realidad, permitiéndole que sus

esquemas vayan cambiando a medida que adquiere experiencia, en tanto que su

inteligencia se va desarrollando por la adquisición de esquemas y estructuras

nuevas, dando lugar a diversas fases cualitativas de la misma llamados

“estadios”.

En esta construcción, entran en juego distintos procesos como son

asimilación, acomodación y equilibración. Cuando el estudiante entra en contacto

con un nuevo conocimiento, se produce un desequilibrio cognitivo en éste y al

interaccionar con el mismo lo va asimilando incorporándolo a su red de

conocimientos produciéndose de esta manera la acomodación, que consiste en

una transformación del conocimiento que ya poseía en función del nuevo, así,

cuando la interacción entre estos dos procesos finaliza el nuevo conocimiento ha

quedado incorporado en su estructura cognitiva y ocurre la equilibración.

2.2 Teorías sobre didáctica de las Matemáticas

2.2.1 Chevallard y la trasposición didáctica

La teoría de Chevallard (1995), dice que el conocimiento generado por los

matemáticos, sufre un proceso de transformación para hacerlo llegar al aula

denominado transposición didáctica, es decir el “saber sabio” se convierte en un

“saber a enseñar”, luego de ser validado por la “noosfera” (es el grupo de

profesores, las autoridades de la institución, los matemáticos relacionados con la

institución), para ser abordado en la escuela. La transposición didáctica es el


15

producto de los ajustes didácticos al “saber sabio” para convertirlo en un “saber a

enseñar”, que lo hace diferir del saber original.

Dentro de su teoría Chevallard nos habla del desgaste de los saberes, de

su envejecimiento de la expulsión de los mismos, y del control del saber, cuando

dice:

“El saber enseñado envejece, pues un buen día se percibe que se ha

vuelto viejo en relación a la sociedad (saber sabio y saber banalizado), ya que el

envejecimiento biológico lo declara en desacuerdo con el desarrollo del saber no

escolarizado”

“El saber ofrece una variable de control muy sensible, que permite obtener

efectos espectaculares con menores gastos y sobre la cual la instancia política

tiene asegurado el control mediante sus programas, comentarios oficiales y

manuales que los explicitan”

“El desgaste del saber es el saber que deviene viejo en relación con la

sociedad, y dualmente, la sociedad que deviene vieja (desgastada), a través de

sus niños, en relación con el saber”.

“Concretamente, ese saber ya “no sirve”, los alumnos ya no llegan a

absorberlo, la frescura del (re)comenzar desaparece y a falta de poder cambiar a

los alumnos, se hace preciso cambiar al saber”.

“Así el desgaste del saber se diagnostica simultáneamente (y dualmente),

como crisis de la enseñanza”.

“Si surge una dificultad, a propósito de tal o cual noción o tipo de ejercicio,

es evidentemente posible suprimir esa noción o ese tipo de ejercicio”.

“Puede ser que incluso bloques enteros del saber enseñado pueden

resultar alcanzados por esta expulsión”.


16

“Fenómeno de vaciamiento de contenidos que se observa en ciertas

épocas de amplia apertura del sistema de enseñanza respecto de nuevos flujos

de alumnos”.

Como se puede apreciar estos fragmentos tomados de la teoría de

Chevallard pueden servir para explicar el fenómeno que se investiga.

2.2.2 Bachelard y el obstáculo epistemológico

De la teoría de Bachelard se retomaran algunos aspectos relacionados con

el obstáculo epistemológico y el espíritu científico.

Un obstáculo epistemológico no debe ser evitado en la práctica docente,

sino enfrentado proporcionándole al alumno los elementos necesarios para

superarlo.

Para aprender se debe ir en contra de lo que ya se conoce en contra de

creencias y preconcepciones, ésta y otras citas de Bachelard son también

importantes en relación al obstáculo epistemológico y la explicación del fenómeno

que se investiga. A continuación las citas.

“La educación científica es una ardua tarea, en la que no es suficiente

pensar qué es lo que el alumno debe aprender sino, también, qué y cómo debe

desaprender lo que ya sabía”.

“Tarea doblemente dificultosa ya que lo que denomina paradoja pedagógica

consiste en que “todo lo que es fácil enseñar es inexacto” (1993:24).

Lo fácil no enseña, “cuanto más difícil es una tarea, tanto más educadora

es” (1948:47)

“El espíritu científico debe formarse en contra de la naturaleza, en contra

de lo que es, dentro y fuera de nosotros, impulso y enseñanza de la naturaleza,

en contra del entusiasmo natural, en contra del hecho coloreado y variado”.

(1948:27)


17

Bachelard encuentra que “existe un conjunto de obstáculos pedagógicos

que ponen en riesgo el aprendizaje y que pueden impedir que se haga efectivo”.

“El conocimiento científico nos prohíbe tener opiniones sobre cosas que no

conocemos bien, sobre cuestiones que no sabemos formular claramente”.

“Es necesario romper con el sentido común. El enemigo del conocimiento

científico es la opinión”.

“La opinión piensa mal porque no piensa, es el primer obstáculo que hay

que eliminar”. Bachelard (1971:159)

“La utilidad se convierte en una razón, en un principio de explicación y da

lugar a explicaciones finalistas sin ser científicas”.

“Lo que es verdadero sostiene Bachelard, lo es no porque sea útil, sino

porque es verdadero”.

“frente a lo real, lo que cree saberse ofusca lo que debiera saberse”

(1948:16)

“En la enseñanza de la ciencia si no hay problema no hay aprendizaje. Una

enseñanza desprovista de problemas desconoce el sentido real del espíritu

científico”.

La teoría de Bachelard permite caracterizar el fenómeno desde el punto de

vista del espíritu científico.

2.2.3 Douady y la dialéctica herramienta - objeto

Douady (1986,1995,1996) mediante su constructo teórico “dialéctica

herramienta-objeto y juegos de marcos o contextos” propone la comprensión de

las implicaciones y significados de aprender en situación escolar centrando su

interés en el aprendizaje dentro del aula y en el análisis de la micro sociedad

alumno docente y saber matemático.


18

La dialéctica herramienta-objeto organiza los papeles del profesor y del

alumno en tanto que los conceptos matemáticos juegan alternativamente el papel

de “herramienta” para resolver el problema de “objeto” al tomar un lugar en la

construcción de un conocimiento organizado.

Un saber matemático responde a dos aspectos; por un lado disponer de

ciertas nociones y teoremas para resolver un problema (herramienta bajo la acción

y control del individuo), por otro lado reconocer que estas nociones y teoremas

están integradas a un cuerpo de conceptos científica y socialmente reconocidos,

así como también la formulación de definiciones y demostración de teoremas

(objeto).

De esta manera un individuo aprende mediante una actividad intelectual la

cual traerá aparejado la disponibilidad de un saber con su doble status de

herramienta y de objeto, y un profesor enseña cuando crea las condiciones que

producen, a la larga, en el alumno un saber.

La dialéctica herramienta-objeto nos puede llevar a conceptos

generalizados en un interjuego dinámico y espiralado, de tal forma que a medida

que se interactúa con el conocimiento, este es de nivel más elevado o

especializado.

2.2.4 Dubinsky y la teoría APOE

La teoría APOE propuesta por Ed Dubynsky es de corte constructivista y su

esencia radica en que un individuo al percibir un desequilibrio ante una situación

problemática en un contexto social particular, intentará un reequilibrio mediante la

asimilación de la situación a sus esquemas o, bien, usar la abstracción reflexiva

para reconstruir esos esquemas con un nivel mayor de sofisticación, empleando

acciones, proceso, objetos y esquemas, lo que da origen a las siglas de la teoría:

A acción P proceso O objeto E esquema


19

Una acción es la transformación de un objeto matemático, realizada por un

individuo de acuerdo con algún algoritmo explícito, es decir, una acción es la

manipulación física o mental repetida, de un objeto transformándolo en otra forma.

Cuando el sujeto reflexiona sobre la acción y es capaz de realizar una

operación interna, logrando la misma transformación, entonces la acción se ha

interiorizado, y como todo esto ocurre en la mente del individuo, de tal manera que

puede imaginarla llevándola a cabo sin ejecutar todos los pasos, entonces se ha

convertido en un proceso.

Cuando es necesario ejecutar una acción sobre un proceso, el sujeto debe

encapsular el proceso como una totalidad creando así un objeto, y cuando sea

necesario, desencapsularlo y trabajar con el proceso del cual proviene.

Los esquemas son las formas en las cuales los conceptos existen en la

mente de los sujetos y se utilizan para abordar una situación problemática

desencapsulando y utilizando los procesos y los objetos. Un esquema también

puede tratarse como un objeto, sobre el cual, pueden aplicarse acciones y

procesos. Ver fig. 1.

La construcción de objetos y de procesos es una espiral, pues unos son

utilizados para la construcción de los otros, es decir la manipulación de los

procesos deriva en nuevos objetos y éstos son utilizados para crear nuevos

procesos, involucrándose en esta construcción cinco etapas.

1. Internalización se refiere a la interiorización cognitiva de las acciones que

generan el proceso.

2. Encapsulación es la manipulación de las nociones como si fueran objetos,

almacenados en la estructura cognitiva como un todo.

3. Coordinación es relacionar dos o más procesos para construir nuevos

procesos.

4. Reversibilidad consiste en manipular el proceso en sentido inverso para

generar nuevos procesos.


20

5. Generalización se presenta cuando un esquema ya construido se utiliza en

situaciones nuevas y diferentes para solucionar el problema, Ver fig. 1.

FIGURA 1 CONSTRUCCIÓN DE UN ESQUEMA

CAPÍTULO III

METODOLOGÍA Esta investigación se llevó a cabo considerando algunos aspectos de la metodología

de la ingeniería didáctica

CAPÍTULO III METODOLOGÍA

22

3.1 Metodología

La investigación acerca del fenómeno que se observa en los estudiantes

sobre la carencia de saberes de la noción logaritmo, se lleva a cabo en dos

momentos, el primero que abarca desde el análisis de los programas de estudio,

libros de texto y aplicación de examen diagnóstico en los niveles de secundaria

medio superior y superior, hasta las entrevistas con estudiante y profesor de nivel

superior, con la finalidad de tener una visión acerca de la presencia de los

logaritmos, la función logarítmica y exponencial en estos niveles, de tal manera

que se pueda rastrear, cómo y por qué se ha dado este fenómeno y con ello

caracterizar la exclusión de saberes matemáticos el caso de los logaritmos.

El segundo momento de esta investigación se refiere a los efectos que

produce la falta o escasez de conocimientos sobre logaritmos, funciones

logarítmicas y exponenciales en los aprendizajes de saberes matemáticos en nivel

superior, para lo cual considero conveniente emplear como método la Ingeniería

Didáctica.

3.1.1 Ingeniería didáctica

De la metodología de la ingeniería didáctica se retoman algunos aspectos

para guiar la investigación, a saber:

En la ingeniería didáctica se distinguen cuatro fases que son:

1. Análisis preliminar

2. Diseño de la situación didáctica y su análisis a priori.

3. Experimentación

4. Análisis a posteriori y validación.

De estas fases, la dos no se realiza dado que no hay diseño de situación

didáctica.

Siguiendo con la metodología de la ingeniería didáctica


23

1. Análisis preliminar

Después que se han establecido los objetivos específicos de la

investigación, se debe analizar y determinar a cada uno de los actores y sus

relaciones en el sistema didáctico,

• Componente epistemológica, se refiere al conocimiento matemático y su

devenir en saber

• Componente cognitiva, comprende las concepciones de los alumnos, así

como las dificultades y obstáculos que deben enfrentar los estudiantes para

apropiarse de las nociones matemáticas puestas en juego en la secuencia

implementada

• Componente didáctica, considera el tipo de enseñanza que se da en la

escuela sus efectos y la forma en cómo el estudiante se apropia del saber

matemático.

• Componente socio-cultural considera que el conocimiento se construye en

el seno de una serie de prácticas sociales compartidas por un grupo social.

De estas componentes la didáctica no se llevó a cabo dado que no se

investigó acerca de la forma de enseñanza de los profesores.

2. Análisis a priori y diseño de la situación didáctica.

Como ya se dijo esta segunda etapa no se realiza, sin embargo, se efectúa

un análisis a priori en función de los saberes acerca de los logaritmos, presentes

en los programas y libros de estudio, considerando la hipótesis para encontrar

indicios que corroboren o contradigan a la misma, pero, no hay diseño de situación

didáctica, solamente diseño de un examen diagnóstico para cada nivel educativo y

de esta manera, tener una referencia acerca de los conocimientos de los

estudiantes en relación al tema.

3. Experimentación


24

En esta fase la ingeniería didáctica indica que, se procede a la puesta en

escena de la situación diseñada de acuerdo con las condiciones previstas por el

investigador y considerando el contrato didáctico entre el profesor y los alumnos.

El investigador debe poner especial cuidado en el registro de los sucesos.

Dado que no hay situación didáctica la parte experimental solamente

consistió en la aplicación de los exámenes diagnóstico y las entrevistas a un

docente y estudiante de nivel superior.

4. Análisis a posteriori y validación

Se revisan los resultados registrados y se confrontan con la hipótesis

definida en el análisis a priori, para determinar en qué medida se cumplieron las

expectativas, o bien si los resultados corroboran la hipótesis, o no. De esta forma

la validación de la misma surge de la confrontación de los análisis a priori y a

posteriori.

Para la investigación sobre el fenómeno exclusión de saberes sobre

logaritmos, se realiza:

Una investigación documental sobre:

• la génesis de los logaritmos

• programas de estudio y libros de texto ambos de matemáticas en los

diversos niveles educativos involucrados.

• la educación en México,

De dónde se desprende:

1) el análisis preliminar:

• Componente socio-cultural. En este caso se realizó un análisis histórico

socio cultural porque se investigó acerca del nacimiento y desarrollo de la

educación en México, así como, las condiciones sociales de ésta, para

identificar, si estas condiciones influyeron en el desarrollo académico de los

estudiantes dentro de las aulas y con respecto a los saberes logaritmos.


25

• Componente epistemológica. Se realiza una investigación sobre la génesis

de los logaritmos y sus implicaciones tanto en el área de matemáticas como

en otras ciencias, para determinar la importancia de estudiar logaritmos.

• Componente cognitiva. Partiendo de la génesis de los logaritmos se realiza

un mapa conceptual sobre el esquema logaritmos para determinar que

saberes previos debe tener el estudiante que le permitan incorporar a su

red cognitiva los saberes de logaritmos, posteriormente se realiza un

análisis de los programas de estudio en los niveles medio básico, medio

superior y superior, buscando la presencia de los conocimientos previos y

los propios logaritmos, para identificar causas que originan este problema.

2) Análisis a priori.

Después del análisis de programas y libros de texto, es necesario

determinar, que conocimientos tanto previos como de los propios logaritmos

poseen los estudiantes, en los diversos niveles educativos, para establecer la

articulación entre programas, libros y conocimientos de los estudiantes, si es que

la hay, o detectar las causas de la desarticulación, las cuales podrían ser las

causas que generan el fenómeno investigado y confrontar con la hipótesis. Para

esto, se diseña un examen diagnóstico que revele, si los estudiantes poseen los

conocimientos necesarios para aprender los saberes de logaritmos y que tanto,

saben sobre logaritmos en cada nivel educativo.

3) Experimentación.

Se llevó a cabo la aplicación y evaluación de los exámenes en cada nivel

educativo, así como las entrevistas a docente y estudiante de nivel superior.

4) Análisis a posteriori y validación.

Se analizaron los resultados de los exámenes y se confrontó con la

hipótesis para explicar el fenómeno investigado.

CAPÍTULO IV

CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER

LOGARITMOS En este capítulo se describen las circunstancias socio históricas en las que se inicia

y desarrolla la educación media básica, media superior y superior, el origen y descripción

de los logaritmos y su trascendencia en las matemáticas avanzadas.

CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS

27

4.1 Fundamentación

4.1.1 Acerca del fenómeno sobre la exclusión de saberes de los logaritmos

Una problemática recurrente en el estudio de matemáticas de nivel superior

es, encontrar que los estudiantes poseen escasos saberes sobre logaritmos,

ocasionando que el estudiante no construya de manera eficiente nuevos

conocimientos sobre todo en matemáticas avanzadas, como es el caso de algunas

soluciones de ecuaciones diferenciales, o aplicaciones en la tecnología por

ejemplo en el diseño de controladores electrónicos, porque se requiere de la

conceptualización y/o definición de estos saberes para su aplicación. El escaso

conocimiento sobre estos saberes permite conjeturar que la imagen conceptual

construida por el sujeto es vaga, o probablemente inexistente, entonces, de

acuerdo con Vinner&Tall (1996),“una aproximación pedagógica ingenua, supone que,

en el proceso de formación de un concepto, la definición se hará cargo y formará la

imagen conceptual del mismo”.

En el mejor de los casos si el profesor enseña los conocimientos de los que

carece el alumno, faltaría la interacción con ellos para lograr transformarlo en

proceso, y posteriormente en objeto para que pueda ser utilizado como

herramienta, Ferrari (2001).

“…un concepto tiene el estatus de herramienta cuando nuestro interés en él

se centra en la utilidad que nos brinda para resolver un problema, en tanto

que deviene en objeto cuando lo entendemos como un ente cultural insertado

en una estructura más robusta, el saber erudito socialmente validado”.

De acuerdo con la teoría APOE el interaccionar con los conocimientos nos

lleva a procesar dicha acción encapsulando dicho proceso en forma de un objeto

matemático el cual queda internalizado y cada que se requiera utilizarlo se podrá

echar mano de él.


28

Como este procesamiento no ha ocurrido, entonces el aprendizaje enfrenta

conflictos originados por la ausencia de estos objetos matemáticos, y es

precisamente ésta, una de las cuestiones que dan fundamento a la presente

investigación, para determinar que ocurre en los aprendizajes de los estudiantes y

los posibles conflictos que enfrenta.

4.2 Contexto socio histórico de la educación en México y sus repercusiones en los saberes de los logaritmos 4.2.1 Antecedentes históricos de la educación en México

Durante los primeros veinte años del siglo XX, México se enfrenta a un

doble desajuste económico y social originado por el movimiento revolucionario y la

primera guerra mundial, teniendo que resolver la problemática de la reconstrucción

nacional, y la educación del pueblo, entre otros muchos problemas, por esta razón

se restablece la Secretaría de Educación Pública y se funda la escuela secundaria

como una mezcla de la escuela alemana y la estadounidense, ajustada a las

necesidades que vivía México.

Nivel medio básico:

En 1917, Moisés Sáenz, uno de los fundadores de la escuela secundaria

inicia la tarea en los recintos de la Escuela Normal Preparatoria abanderada por

sus contenidos cruciales, como lo muestra la siguiente expresión:

“El programa esencial de la educación debe desarrollarse alrededor de estas

cuatro cuestiones: cómo conservar la vida, cómo ganarse la vida, como formar

la familia y cómo gozar la vida”

Sin embargo la escuela secundaria abre sus puertas hasta 1926, durante el

período presidencial de Plutarco Elías Calles en virtud de dos decretos. El primero

del 29 de agosto de 1925, que autoriza a la Secretaría de Educación Pública la

creación de las escuelas secundarias, el segundo del 22 de diciembre del mismo

año, que dio vida independiente y personalidad propia a la escuela secundaria.


29

De esta manera el nivel educativo de secundaria fue establecido para

atender a la población entre 12 y 15 años, siendo su principal objetivo preparar a

los estudiantes que aspiraban a estudiar una carrera profesional superior. Desde

sus inicios este nivel fue organizado para que tuviera una identidad escolar propia,

de tal manera que, ofreciera una formación considerando los rasgos específicos y

las necesidades educativas de la población adolescente.

Lamentablemente, este nivel escolar inició con el mismo plan de estudios de

la preparatoria, haciendo ligeras modificaciones pero con las mismas deficiencias,

un plan rígido, inflexible, uniforme, verbalista y frio, donde la cultura que se aprecia

en ese momento, es la simple habilidad para reproducir los conocimientos hechos.

A partir de 1925, este nivel educativo (Prawda, 1987) fue adoptando distintas

modalidades (general, técnica, telesecundaria, para trabajadores), pues además

de los conocimientos que debían enseñarse, para cumplir con su objetivo, también

se impartía una capacitación para el trabajo, como carpintería, máquinas

herramientas, electricidad, secretariado, contabilidad, corte y confección, etc. Lo

anterior obedece a que después del período post revolucionario el nivel de

analfabetismo era muy alto y las pocas personas que estudiaban en su mayoría no

alcanzaban ni a terminar la primaria, sin embargo, conforme el tiempo pasó el

nivel de analfabetismo se redujo y la educación secundaria se fue extendiendo,

considerándola algunas veces como un ciclo formativo con el que concluye la

educación básica y otras como una etapa escolar entre la educación primaria y la

iniciación de la enseñanza superior, bajo esta concepción la secundaría vendría a

ser el ciclo básico de la educación media y el bachillerato el segundo ciclo.

Entre las distintas modalidades que fue adoptando la educación secundaria,

podemos citar como trascendentes la de 1935 durante el gobierno de Lázaro

Cárdenas, en el cual el artículo 3° fue reformado y señalaba que la educación

impartida por el estado sería socialista, emancipadora, única, obligatoria, gratuita,

científica, técnica, de trabajo, socialmente útil, sin fanatismos e integral,

consagrada especialmente a la niñez proletaria, pero también encargada de


30

preparar técnicos y no estudiantes para las profesiones liberales como se venía

desempeñando.

En 1944, se da otra reforma importante, que consiste en un aumento

considerable de horas clase en las asignaturas fundamentales (español y

matemáticas), así como en las formativas del ciudadano (civismo e historia),

prácticas de taller, programas semiabiertos, materias optativas y horarios flexibles

de trabajo.

En agosto de 1974, se celebra una asamblea plenaria, de donde surgen las

Resoluciones de Chetumal, dando origen a una reforma educativa que comienza a

operar en 1976, y que consiste en ofrecer dos estructuras programáticas

equivalentes; por áreas de aprendizaje y por asignaturas, estableciendo que estas

dos estructuras tendrán la flexibilidad necesaria para permitir el tránsito fluido del

educando entre tipos, modalidades y grados del sistema.

En lo referente al currículo en ambas modalidades se encuentran; español,

matemáticas, lengua extranjera, educación física, educación artística y educación

tecnológica, cada curso tiene su continuación en el siguiente grado y tienen la

misma carga horaria. La diferencia se presenta en que, dentro del plan de

asignaturas, las ciencias naturales del plan de áreas se divide en biología, física y

química, así mismo ciencias sociales se divide en historia, geografía y civismo, el

total de horas de clases en ambas modalidades es el mismo la diferencia es la

fragmentación curricular, en el plan de áreas hay ocho cursos por grado y en el de

asignaturas son doce cursos por grado.

En las Resoluciones de Chetumal se definió a los programas de aprendizaje

como:

“el conjunto organizado de objetivos y sugerencias didácticas que, al

aplicarse, provocan cambios en la conducta de los educandos para lograr

tanto su desenvolvimiento integral, como la transformación del medio”.


31

Lo que originó programas de estudio por objetivos llevando al estudiante

por áreas a trabajar 200 objetivos particulares, 520 objetivos específicos y realizar

2240 actividades, en tanto que por asignatura tendría que trabajar 360 objetivos

particulares, 936 objetivos específicos y realizar 4032 actividades, en ambos

casos sin considerar educación física, tecnológica y artística, lo que conlleva a una

reforma educativa en 1993.

El plan de estudios de 1993 se sustentó principalmente, en el Plan Nacional

de Desarrollo 1989 – 1994, el programa para la Modernización Educativa 1989 –

1994, y el Acuerdo Nacional para la Modernización de la Educación Básica.

Este plan se estructuró por asignaturas y estableció cinco prioridades:

1. Asegurar que los estudiantes utilicen el idioma español en forma oral y

escrita expresando ideas y opiniones con precisión y claridad, además

de entender, valorar y seleccionar material de lectura, desarrollando el

uso del español como una competencia.

2. Ampliar y consolidar los conocimientos y habilidades matemáticas, para

aplicar los conocimientos de aritmética, álgebra y geometría en el

planteamiento y resolución de problemas cotidianos, así como,

organizar y analizar información cuantitativa.

3. Fortalecer la formación científica de los estudiantes, para superar los

problemas de aprendizaje de este campo, mediante la fragmentación de

las áreas de conocimiento en asignaturas, vinculando las ciencias con

los fenómenos de su entorno natural y promoviendo la protección del

medio ambiente, la preservación de la salud y los cambios que

caracterizan a la adolescencia.

4. Profundizar en la formación social y humana de los estudiantes,

mediante el estudio de historia, geografía y civismo; que les permitan

adquirir elementos de análisis para entender el desarrollo de las


32

culturas, el mundo contemporáneo y las relaciones sociales regidas por

los valores y la legalidad.

5. Aprender una lengua extranjera (inglés o francés), para ampliar su

desarrollo personal y profesional.

En términos generales este nivel no tuvo reforma de fondo desde su

concepción, hasta 1993, con la reforma de los artículos 3º y 31º de la Constitución

Política de los Estados Unidos Mexicanos, donde se estipuló que la educación

secundaria fuera considerada obligatoria, reconociéndosele como la etapa final de

la educación básica. Con esta decisión la educación preescolar, primaria y

secundaria se articuló conformando el nivel básico de educación, centrado en

reconocer los saberes y experiencias previas de los estudiantes, propiciando la

reflexión y comprensión, el trabajo en equipo, la convivencia democrática y el

desarrollo de capacidades y competencias, según cita la Reforma de la Educación

Secundaria (2006).

Sin embargo después de 13 años de la reforma educativa de 1993, los

resultados en la aplicación de diversas evaluaciones no son los esperados, debido

a que el exceso de contenidos y la atomización de los mismos se convirtieron en

un obstáculo para su integración, es decir los saberes quedaron aislados y el

estudiante no tiene la capacidad de integrarlos para el logro de un saber más

elevado.

Con la finalidad de superar estos obstáculos en la educación secundaria, el

Programa Nacional de Educación (ProNaE) 2001 – 2006, plantea la necesidad de

una nueva reforma en educación secundaria, que mejore tanto el currículo como la

práctica docente, a fin de lograr aprendizajes significativos en los estudiantes. Es

así que en el año 2002 inicia la Reforma de la Educación Secundaria, con una

investigación basada en la ingeniería didáctica y para el estudio de campo se

aplicó la teoría de las Situaciones Didácticas de Guy Brousseau.

En esta reforma se agrupó a los contenidos en tres ejes temáticos:


33

1. “Sentido numérico y pensamiento algebraico”

2. “Forma espacio y medida”.

3. “Manejo de la información”

Y los programas de estudio se organizan desde preescolar hasta

secundaria, estableciéndose una línea de continuidad entre preescolar, primaria y

secundaria, dando como resultado los programas de matemáticas 2006.

Analizando el contexto socio histórico de la educación secundaria en

México, se observa que ésta nace y se desarrolla auspiciada por el gobierno

principalmente, dado que se establece en la Constitución Política de los Estados

Unidos Mexicanos promulgada en 1917, en su artículo 3°, que la educación debe

ser laica, gratuita y obligatoria, y para que la educación fuera gratuita debía de

encargarse de impartirla el gobierno a través de la aplicación de los impuestos.

Lo anterior permite que el gobierno federal establezca las políticas acerca

de lo que habrá de enseñarse y cómo habrá de enseñarse de acuerdo a las

necesidades del país, o cualesquiera otros intereses, tal es el caso del presidente

Cárdenas que pensó que el futuro del país estaba en la tecnología y la técnica, y

entonces ofrece una educación secundaria con capacitación para el trabajo en

cuestiones técnicas, es decir, de acuerdo a las nuevas políticas de desarrollo los

planes y programas de estudio ya no son suficientes para los fines que se

esperaba lograr.

Si los países del primer mundo están inmersos en el desarrollo de la

tecnología y la aplicación de la técnica, entonces México debe seguir ese camino y

la enseñanza ha de virar hacia la tecnología y la técnica, y la educación como se

venía impartiendo no es suficiente y cae en la obsolescencia, por tanto han de

cambiarse los planes y programas de estudio.

Sin embargo, uno de los principales problemas del país era la pacificación

del mismo, para ello era necesario un control, que puede establecerse a través del

saber y el sistema educativo.


34

Este control permite a largo plazo manipular al pueblo, iniciando con niños

posteriormente con adolescentes y por último con adultos que verán en el

conocimiento la libertad de vivir y no en la lucha, pero, para que esto ocurra debe

ofrecerse una educación para todos, sin problemas que mantenga contenta a la

sociedad, si en el desarrollo de esta educación surgen dificultades se echa mano

del control del saber, como pudiera ser el caso de que algún saber ocasiona altos

índices de reprobación, la sociedad no estará de acuerdo con que sus hijos no

terminen su carrera, así mismo los estudiantes se verán frustrados en sus anhelos

de vida y el gobierno que invierte en la educación pierde por cada estudiante que

deserta, entonces si algún saber está ocasionando una dificultad es factible que

este pueda ser cambiado o eliminado del currículo.

En cuanto a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en secundaria,

desde su aparición en 1926 hasta la fecha, ha pasado por tres momentos

fundamentales que marcan su historia:

• El primero abarca de 1926 (año en que se publica el primer plan de

estudios para secundaria) a 1974; se caracteriza por los esfuerzos

centrados en las técnicas para enseñar y el aprendizaje en la repetición

mecánica de múltiples ejercicios.

• El siguiente es el período que abarca de 1975 a 1992, durante el cual

prominentes matemáticos de varios países apostaron a la idea de hacer

modificaciones relevantes a los contenidos: se introduce la teoría de

conjuntos y un alto nivel de formalización al abordar los temas, en el

marco de un movimiento internacional conocido como “la enseñanza de la

matemática moderna”.

• El tercer momento inició en 1993. Este período se caracteriza por centrar

la atención en el estudio que realiza el alumno con ayuda del maestro,

quien analiza y plantea situaciones problemáticas ad hoc, para que el

alumno utilice y haga evolucionar sus conocimientos previos.

La enseñanza de las matemáticas fue evolucionando, pues mientras en el

primer período ésta era de tipo conductista, basada en la resolución de múltiples


35

ejercicios, en la reforma de 1975, se introdujo la pedagogía por objetivos,

elaborándose programas excesivamente prescriptivos, donde se especificaba que

se pretendía aprender guiando paso a paso el cómo debía hacerse, en muchos

casos sin comprender el por qué, y el para qué, de esos pasos. Asimismo la

pretensión de los matemáticos de mejorar la calidad de los aprendizajes mediante

la teoría de conjuntos, no tan sólo no se logró, sino que fue peor, dado el escaso

dominio por parte de los profesores de la matemática estructural, Treviño J.L.

(2010, julio) en Origen y Evolución de la Educación Secundaria en México [en

línea].

De esta manera la reforma de 1993, fue la antítesis de la que hubo en 1975,

en cuanto a contenidos y metodología didáctica. Con respecto a los contenidos, el

cambio más relevante fue: la eliminación de la unidad Lógica y Conjuntos, y en

relación a la metodología didáctica, se pasó de la reforma de 1975 en la que se

guiaba paso a paso como hacer las cosas a la reforma de 1993 en la que se

señala escuetamente lo que se quería estudiar, dando recomendaciones

generales, respecto a la manera de estudiar, enseñar y aprender matemáticas.

En lo referente a la reforma del 2006, todavía no se tienen resultados del

impacto de la reforma en la educación secundaria.

En este devenir de la educación secundaria, como ya se dijo los programas

de matemáticas también han sufrido cambios, adaptándose a las modalidades de

educación ofertados en diferentes momentos históricos, sin embargo cabe hacer

mención que el cálculo numérico es un saber ligado a la vida cotidiana y al

desarrollo de las ciencias en general, y por esta razón siempre ha estado presente

en los programas de matemáticas.

En el período de 1926 a 1974 los programas de matemáticas se enfocaban

en la enseñanza del cálculo numérico, geometría, álgebra y trigonometría, sobre

todo después del período presidencial de Cárdenas, en el cual como se citó

anteriormente, la educación debía girar en torno de la técnica y la tecnología. Así

pues, se encuentra que en el programa de matemáticas de tercero de secundaria


36

eran estudiados los logaritmos para realizar operaciones de multiplicación,

división, potenciación y radicación de cantidades complejas, como un método más

sencillo, menos laborioso y bastante aproximado al valor real, por tal motivo, a los

logaritmos se les consideraba un conocimiento básico, que tenía que estar

presente en los programas de matemáticas, porque, a pesar de la existencia de la

regla de cálculo (véase epistemología de los logaritmos), el costo y estudio para

su utilización no eran accesibles para los estudiantes de secundaria.

En el segundo período que abarca de 1975 a 1992, los programas de

matemáticas sufren cambios en el marco de un movimiento internacional

conocido como “la enseñanza de la matemática moderna”, introduciendo la teoría

de conjuntos y las propiedades estructurales de los dominios numéricos, con la

finalidad de propiciar en el estudiante un razonamiento lógico que le permitiera el

planteamiento y resolución de problemas. En relación a los logaritmos como

método numérico, este se ve opacado por la aparición de la calculadora digital

alrededor de 1972, la cual cobra auge casi de inmediato, debido a la facilidad

rapidez y exactitud de los cálculos, incluso de los propios logaritmos, por esta

razón, el interés por estudiarlos se va perdiendo.

A partir de 1993 desaparecen los temas propuestos por la matemática

moderna de los programas de secundaria, además del tema de los logaritmos,

que probablemente fue considerado un conocimiento obsoleto, por el amplio uso

de la calculadora, ya que a diferencia de la regla de cálculo ésta es económica y

basta con solo teclear las cantidades y operador para obtener el cálculo

requerido.

Nivel medio superior:

En lo referente al nivel medio superior se encuentra como antecedente

remoto el estudio de humanidades en el colegio de Santa Cruz de Tlatelolco,

fundado en 1537. Durante la época Colonial la educación estaba en manos de las

órdenes religiosas y era impartida principalmente a las clases económicamente

acomodadas, aunque había escuelas para indígenas. En ese entonces los jesuitas


37

fundan los colegios de San Pedro y San Pablo en 1574, y el de San Ildefonso en

1588, los cuales al fusionarse el 17 de enero de 1618, conforman al Real Colegio

de San Pedro, San Pablo y San Ildefonso de México, antecedente de la Escuela

Nacional Preparatoria.

En los años siguientes de la colonia y el movimiento de independencia, la

educación no tuvo un avance significativo, debido a la inestabilidad política,

posteriormente el 23 de octubre de 1833 se establece un decreto que reforma la

educación superior considerando que, dos días antes había sido creada la

Dirección General de Instrucción Pública lo que permite que, en el Distrito Federal

fueron creadas dos instituciones de educación preparatoria, más adelante durante

el imperio de Maximiliano el 27 de diciembre de 1865 fue creada la Ley de

Instrucción Pública y se organiza la educación media al estilo de los liceos

franceses.

Es así como el 1° de febrero de 1868 abre sus puertas la Escuela Nacional

Preparatoria, en el edificio del antiguo Colegio de San Pedro, San Pablo y San

Ildefonso de México, fundada y dirigida por el profesor Gabino Barreda, quien

organiza su plan de estudios, iniciando con las matemáticas, la lógica, ciencias

naturales, lenguas extranjeras y latín; con la finalidad de que, estos estudios

fueran preparatorios para las carreras de abogado, médico, farmacéutico,

agricultor, veterinario, ingeniero, arquitecto y ensayador y beneficiador de

metales. Esta instrucción tenía una duración de entre cuatro y cinco años, por lo

que para ingresar, era necesario presentar un certificado de profesor público de

primeras letras o un examen de conocimientos.

En la primera década del siglo XX, figura Justo Sierra en el Despacho de

Instrucción Pública y Bellas Artes, quien restablece la Universidad de México y le

otorga el carácter de Nacional, integrando a la Escuela Nacional Preparatoria

como base de los estudios superiores y con el carácter de bachillerato

universitario.


38

En 1922, siendo director de la Escuela Nacional Preparatoria Vicente

Lombardo Toledano, se realiza el Primer Congreso Nacional de Escuelas

Preparatorias, en el que establece un plan de estudios para todo el país, con una

duración de cinco años después de la primaria, en él se incluye el aprendizaje de

un oficio como preparación para la vida.

Con la fundación de la escuela secundaria en 1926, el bachillerato se

reduce a dos años y en 1931 se establece el bachillerato especializado y un año

después se regresa al bachillerato único sin descartar el especializado.

Durante la gestión del presidente Cárdenas, se funda el Instituto Politécnico

Nacional, surgiendo de esta manera los estudios tecnológicos. El nivel medio se

divide en prevocacional y vocacional, que corresponde a secundaria y

preparatoria respectivamente.

En el mandato de Adolfo López Mateos, nacen los Institutos Tecnológicos

Regionales, con sus propias escuelas de enseñanza media. En enero de 1971, se

funda el bachillerato del Colegio de Ciencias y humanidades y en septiembre de

1973 el Colegio de Bachilleres.

El nivel medio superior, enfrenta diversos problemas, entre ellos la diversidad

de planes de estudio de las preparatorias y bachilleratos, que dificultan el libre

tránsito de los alumnos en los diversos sistemas, y limitan la continuidad de sus

estudios, además del bajo rendimiento en el proceso enseñanza aprendizaje y la

elevada deserción, entre otros problemas.

En el Congreso Nacional de Bachillerato, celebrado en marzo de 1982 en

Cocoyoc, Mor., se declara que el bachillerato constituye una fase de la educación

de carácter esencialmente formativo, y por tanto, debe ser integral y no sólo

propedéutico, con objetivos y personalidad propios. Se indica también que la

finalidad del bachillerato es “generar en el joven el desarrollo de una primera

síntesis personal y social en orden a su integración en la sociedad, preparación

para la educación superior y capacitación para el trabajo”, y también se recomienda


39

“que en todas las instituciones que imparten bachillerato en el país, se adopte un

plan de estudios de tres años”.

En la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS) del 2009, se

realizó una revisión del currículum académico manejado por las diversas

instituciones que imparten el bachillerato en México y entro en vigencia en el

periodo escolar 2009-2010, la RIEMS busca unificar los planes de estudio de

bachillerato en el país, y profesionalizar los servicios académicos que se prestan en

ese nivel.

La UNAM no forma parte del Sistema Nacional de Bachilleratos, porque no

aceptó implementar la reforma en sus planteles de nivel medio superior ni acepto

aplicar la prueba de Enlace de evaluación de resultados. En esta reforma se tomó la

decisión de suprimir a la filosofía como materia obligatoria en bachillerato.

En México se tiene una gama muy amplia de escuelas y planes de estudio en

el nivel medio superior, a saber:

Bachilleratos de la SEP:

Educación Técnica profesional

Colegio Nacional de Educación profesional (CONALEP)

Bachillerato General

Dirección General de Bachillerato (DGB)

Colegio de Ciencias y Humanidades (UNAM)

Escuela Nacional Preparatoria (UNAM)

Colegio de Bachilleres (COBAEH)

Educación Tecnológica Agropecuaria

Dirección General de Educación Tecnológica Agropecuaria (DGETA)

Educación en Ciencia y Tecnología del Mar

Bachillerato Tecnológico.


40

Dirección General de Educación Tecnológica Industrial (DGETI)

Centros de Estudios Científicos y Tecnológicos y Centros de Estudios Tecnológicos (IPN)

Colegios de Estudios Científicos y Tecnológicos de los Estados (CECyTE´s)

Centro de Estudios Tecnológicos Industriales y de Servicios (CETis)

Sistema de Bachillerato del Gobierno del D.F.

Preparatorias de Universidades Autónomas

Preparatorias Abiertas

Preparatorias abiertas privadas

Preparatorias abiertas de la SEP

Preparatorias abiertas de Universidades Autónomas

La educación del nivel medio superior al igual que los otros niveles

educativos también se ve influida por la políticas gubernamentales por ejemplo en

el mandato del emperador Maximiliano la educación era al estilo de los liceos

franceses, sin embargo se observa que este nivel tiene una mayor autonomía,

como es el caso de la Escuela Nacional Preparatoria fundada y dirigida por el

profesor Gabino Barreda, quien también organiza los planes y programas de

estudio sin ser presionado por el gobierno hacia un estilo de educación y

comienza por los programas de matemáticas ya que los consideraba de suma

importancia en la educación. Dentro del ámbito sociocultural de la educación se

observa que antiguamente las matemáticas eran consideradas un conocimiento

básico de gran importancia, sin embargo conforme ha ido pasando el tiempo la

relevancia del estudio de las matemáticas ha ido disminuyendo, al grado que cada

vez son menos los contenidos matemáticos que se encuentran en los programas

de estudio, incluso algunos saberes que antes eran de gran interés ahora ya no lo

son, como es el caso de los logaritmos. Por esta razón es necesario investigar

que ha pasado con estos saberes en su tránsito de secundaria a bachillerato y

nivel superior.


41

Considerando que el nivel medio superior, es un período formativo y

propedéutico para el nivel superior, los planes y programas de estudio son muy

diversos y aunque tienen un tronco común para cumplir con la parte formativa, en

lo que respecta al área de matemáticas, se estudia álgebra, trigonometría,

geometría analítica, cálculo diferencial e integral y estadística. Sin embargo, cada

subsistema delimita que cursos ha de impartir, y así mientras algunos abarcan

hasta geometría analítica, otros hasta cálculo, otros introducen precálculo e

imparten hasta cálculo diferencial, creándose una diversidad muy amplia de

programas de estudio, lo que provoca problemas muy serios en el propio sistema

y en nivel superior, ya que en muchas ocasiones, habiendo elegido un

propedéutico para determinada carrera, al final no les gustó o no tuvieron acceso

a ella y terminan por elegir otra, para la cual no llevan los conocimientos

matemáticos necesarios.

Dentro del tronco común de este nivel, en el área de matemáticas, se

encuentra el estudio de álgebra, trigonometría y geometría analítica, y es en

trigonometría, donde se estudiaba a los logaritmos como método numérico, los

cuales eran aplicados en la resolución de triángulos rectángulos, en tanto que, la

función exponencial y logarítmica en el área de cálculo, presentándose el mismo

fenómeno que en secundaria, el cálculo numérico eran de gran interés pero con la

aparición de la calculadora este interés se ha ido perdiendo.

4.3 Contexto epistemológico de los logaritmos

4.3.1 Estudios acerca del aprendizaje de los logaritmos

En Ferrari (2001) se presenta una investigación histórica desde el punto de

vista socio epistemológico, de los logaritmos partiendo de su génesis numérica y

mostrando su evolución hacia la propia función logaritmos.

Adicionalmente realiza un análisis didáctico de la presencia de los

logaritmos, la función logaritmo y su inversa la función exponencial, en el

currículum de los niveles educativos medio básico, medio superior y superior


42

desde el siglo XIX, hasta el siglo XX, así como también en los libros de texto y

libros de antaño.

Uno de los aportes de su investigación, es el citado a continuación

“Nuestra visión del devenir de los logaritmos como objetos del saber nos

lleva a proponer como hipótesis epistemológica, de construcción de

conocimiento:

Incorporar los diseños de nociones de progresión aritmética y geométrica y

su vinculación con los logaritmos como medio de facilitar el tránsito entre

las ideas aritméticas y funcionales”

Nótese la importancia que le confiere a las progresiones aritmética y

geométrica en el estudio de los logaritmos y la función logarítmica y exponencial.

4.3.2 Epistemología del saber logaritmos

El concepto de logaritmo, se originó como un método de cálculo y se fue

enriqueciendo a medida que era aplicado en las diversas áreas científicas. Cuenta

así, con su propio espacio dentro de las matemáticas, debido a su adaptabilidad

en la explicación de diversos fenómenos. Sin embargo, el logaritmo es un objeto

matemático complejo, que necesita ser explorado desde su génesis para

comprender su significado.

El conocimiento sobre la génesis de los logaritmos, servirá para indagar

acerca de la carencia de saberes sobre éstos mismos, que presentan los

estudiantes de nivel superior permitiendo realizar un análisis de cómo se ha

introducido y desarrollado dentro del aula, en los textos escolares y los diversos

currículos.

Los aportes epistemológicos se presentan en forma cronológica, resaltando

las varias etapas que dan forma a la invención o descubrimiento de los logaritmos

y a su evolución.


43

Indagando sobre los indicios de los logaritmos, se encuentra que éstos

comienzan a gestarse, o se inicia la idea de ellos en las tablas elaboradas por los

babilonios (2000 años A.C.), en dichas tablas ya se muestra una correspondencia

entre cantidades (aunque en esa época no se tenía idea de la noción logaritmo).

Los babilonios aportan a la génesis de logaritmo el descubrimiento y

establecimiento de la correspondencia numérica entre dos tablas de números.

Varios historiadores consideran que el origen de la invención o

descubrimiento de los logaritmos se remonta hasta Arquímedes (287 a 212 A.C.),

ya que es el primero en prestar atención a las propiedades de los números y

darlas a conocer como una curiosidad en su libro “Arénaire” cuando compara dos

progresiones una aritmética y otra geométrica como se muestra en la tabla 1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 8 16 32 64 128 256 512

Tabla 1 Sucesiones aritmética y geométrica

Según Hogben (1956), la regla de Arquímedes dice:

“para multiplicar entre sí dos números cualesquiera de la sucesión de abajo,

debemos sumar los dos números de la sucesión de arriba situados encima de

aquellos dos. Luego debe buscarse en la misma sucesión de arriba dicha suma.

El número de la sucesión inferior que le corresponda debajo será el producto

deseado”.

Si se multiplica 4 x 64, aplicando la regla de Arquímedes se suma 2+6, y se

busca la suma 8 en la sucesión aritmética y se obtiene el resultado de la

multiplicación en esa misma columna pero en la sucesión geométrica, que es 256.


44

Primera aportación de Arquímedes a la génesis del logaritmo, establecer la

correspondencia entre dos progresiones, una aritmética y otra geométrica.

Segunda, la multiplicación de dos números de la progresión geométrica

corresponde a la suma de los dos números en la progresión aritmética, pudiendo predecir

el resultado de esta y otras multiplicaciones, además de, alargar las series numéricas.

Desde los babilonios hasta Arquímedes transcurrió más de un milenio, sin

embargo, el paso dado por Arquímedes es enorme, en cuanto a la génesis del

logaritmo, pues esta correspondencia entre las sucesiones aritmética y geométrica

es fundamental para su invención.

Nuevamente después de un poco más de un milenio, esta relación entre las

dos sucesiones también es observada, por el filósofo y matemático alemán Miguel

Stifel (1487-1567) en el siglo XVI como lo demuestra su libro “Arithmetica integra”

publicado en 1544 en la ciudad de Nuremberg, en donde se trata por primera vez

el cálculo con potencias y en particular, la multiplicación: an.am = an+m, para todos

los números racionales n y m.

La tabla de Stifel es la primera tabla de logaritmos que se conoce, aunque

es muy rudimentaria, pues contiene números desde -3 hasta 6 (denominada

exponentes) y sus respectivas potencias de 2. Ver Tabla 2.

Nótese la similitud con la de Arquímedes, en cuanto a las progresiones

aritmética y geométrica, en tanto que, la diferencia es el empleo de números

negativos en la serie aritmética que no utilizó Arquímedes, y cuya correspondencia

en la geométrica son números fraccionarios.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

1/8 ¼ ½ 1 2 4 8 16 32 64

Tabla 2 Primera tabla de logaritmos

Con respecto a su tabla Stifel explica:


45

“la adición en la sucesión aritmética corresponde a la multiplicación en la

geométrica, lo mismo que la sustracción en aquélla corresponde a la división

en ésta. La simple multiplicación en la sucesión aritmética corresponde a la

multiplicación por sí mismo, o potenciación en la geométrica; y la división en

la primera corresponde a la extracción de la raíz en la segunda, algo así como

la división por dos, corresponde a la extracción de la raíz cuadrada”.

Esta relación numérica que Arquímedes descubre, entre la progresión

aritmética: �� = � + �� − �

Dónde: � = 1; � = 1,2,3, … � � = 1

Y la progresión geométrica:

�� = ��

Dónde: � = 2; � = 1,2,3, … y � = 2

es aprovechada por Stifel para predecir el resultado de la multiplicación de dos o

más números de la sucesión geométrica, mediante una suma de la aritmética, es

decir, si se ponen en correspondencia las dos series, de tal manera que el primer

elemento de la aritmética (1+0=1), corresponde también al primer elemento de la

geométrica, cuyo exponente es el resultado de la aritmética (2x20=21), y así

sucesivamente, se concluye, que la sucesión aritmética corresponde a los

exponentes de la geométrica. De esta manera cuando se multiplican dos o más

números de la geométrica, tenemos la multiplicación de dos cantidades con la

misma base cuyo exponente es el correspondiente valor de la serie aritmética, y

de acuerdo con Arquímedes, éstos se suman convirtiéndose en el exponente de la

base de la serie geométrica, y situando esta suma en la aritmética, el resultado de

elevar la base a dicha suma, y en consecuencia la multiplicación, se localiza en la

sucesión geométrica, de dónde muy probablemente Stifel deduce el cálculo con

potencias y en particular, la multiplicación:

��. �� = ��


46

Utilizando su tabla Stifel por inferencia pudo deducir que si para una

multiplicación los exponentes se suman, para una división deberán restarse, en

tanto que para una potenciación deberán multiplicarse y para una raíz cuadrada

deberán dividirse por dos, lo cual puede ser comprobado con la misma tabla. La

aportación de Stifel a la génesis de los logaritmos es:

Que la multiplicación de dos números de la sucesión geométrica corresponde a dos

potencias de la misma base, lo que convierte a la multiplicación, en la suma de los

exponentes de dichos números (sucesión aritmética), a la división en la resta, la

potenciación en la multiplicación y la raíz cuadrada en división por dos.

Obsérvese que con la tabla de Stifel aparecen los primeros indicios sobre

las propiedades de los logaritmos, al convertir una multiplicación en suma, una

división en resta y una potenciación en multiplicación.

Durante la edad media el estudio de las matemáticas casi permaneció

inactivo, desde aproximadamente el siglo IV D.C. con la muerte de Diofanto, hasta

el siglo XIII D.C; tiempo en el que se establece contacto comercial con los árabes,

produciéndose un avance considerable en el estudio de las propiedades

numéricas, gracias a la introducción e incorporación de la numeración decimal y

de posición manejada por este pueblo, además en ese tiempo los árabes eran

considerados el pueblo más desarrollado en las ciencias matemáticas, química,

astronomía y medicina, debido a la traducción de los antiguos manuscritos griegos

que fueron obtenidos al conquistar parte del imperio romano.

Posteriormente, surgen matemáticos y científicos como: Tartaglia (1500 –

1557), Stifel, Durero y Copérnico así como Galileo Galilei (1564 – 1642) y Johan

Kepler (1571 – 1630), a mediados del siglo XVI se presentan Francois Viète en

Francia, John Napier (1550 – 1617) en Escocia y Jobst Bürgi (1552 - 1632) en

Suiza.

En este siglo la expansión comercial crece y era necesario hacer cálculos

sobre la riqueza acumulada, considerando reglas de interés compuesto, además,

las técnicas de navegación requieren ser más eficientes, inclusive las


47

investigaciones astronómicas realizadas también se aplicaban en la navegación

con este fin, en consecuencia los cálculos que debían realizarse eran de gran

magnitud y surge la necesidad de buscar algoritmos menos laboriosos para

multiplicar, dividir, calcular potencias y extraer raíces, lo que inspiró a Napier y

Bürgi a la invención o descubrimiento de los logaritmos.

A finales del siglo XVI, los matemáticos daneses Wittich y Clavius,

publicaron De Astrolabio en 1593, donde sugieren la aplicación de las tablas

trigonométricas, para abreviar cálculos mediante el uso de seno y coseno de la

suma de dos ángulos, posteriormente John Napier, dedujo un método sencillo

para multiplicar senos de ángulos por adición directa, lo cual fue bien acogido por

los astrónomos Tycho Brahe y Johann Kepler, empleando para ello la identidad

llamada “prosthapheresis”, que establece:

�� = !"�� − − !"�� +

O la atribuida al árabe Ebn – Jounis (980 – 1083)

�� !"� = �� #�� + + �� − $

En las que se observa la transformación de un producto en una suma. Este

hallazgo permite reducir los cálculos en astronomía y en las rutas de navegación,

lo que anima a Napier a trabajar en sus logaritmos.

John Napier (1550-1617) nació en Escocia y perteneció a una familia noble

de gran riqueza. Dedicado a cuidar de sus propiedades, tenía a las matemáticas

como una afición pero pasó a la historia porque alrededor del año 1594, se le

ocurrió una idea, pensó que todas las cifras podían expresarse de forma

exponencial y dada esa característica se podía transformar una multiplicación en

suma de exponentes, así, el propio Napier, expresó:

“… viendo que no hay nada más problemático en la práctica matemática y

nada más molesto que hacer cálculos, multiplicaciones, divisiones, raíces


48

cuadradas y cúbicas de números muy grandes… he trabajado arduamente en

resolver esos problemas…”

Napier en Escocia y Burgüi en Suiza inventan cada uno por su lado los

logaritmos aún antes de que se conociera la constante e y el concepto de

exponencial, partiendo su cálculo de un círculo de radio 107 llamado sinus totus

porque dibuja un triángulo donde el seno se considera la semicuerda del círculo y

en consecuencia el mayor valor de este es el radio. Ver fig.2

Figura 2 Sinus Totus

Para calcular sus logaritmos Napier utiliza la relación entre las sucesiones

aritmética y geométrica y la concepción cinemática de un movimiento sincrónico,

como la fluctuación entre dos sucesiones, para ello considera un modelo

mecánico, el desplazamiento de un punto con movimiento constante, recorriendo

por supuesto distancias iguales en tiempos iguales representando a la progresión

aritmética, en correspondencia con un segundo punto que se mueve con velocidad

proporcional al desplazamiento correspondiendo a la progresión geométrica, es

decir dos partículas idénticas se desplazan simultáneamente a lo largo de dos

rectas parales (de longitud 107 unidades), una con velocidad constante y la otra

con aceleración decreciente porque en tiempos iguales alcanza a recorrer una

porción del espacio recorrido anteriormente.

Napier representa al sinus totus (Ver fig. 3), como el segmento �% de

longitud fija 107 y un segundo segmento paralelo al primero como & ∝. En t = 0


49

ambos puntos están al inicio en � � & respectivamente, el punto B se mueve sobre

& ∝ y el punto b sobre �%, la velocidad inicial de ambos puntos es la misma, pero

la velocidad de b irá decreciendo porque depende de la distancia recorrida en la

unidad de tiempo anterior, hasta llegar a cero.

Figura 3 Representación de sinus totus

En un determinado tiempo el punto b está a una distancia x de Z, y el punto

B a una distancia y de A, entonces la distancia y se localiza en la sucesión

aritmética y la distancia x en la geométrica, por lo tanto:

log x = y, o y = log x

“el logaritmo de un seno dado es aquel número que se incrementa

aritméticamente con velocidad constante e igual que aquella con la cual el

radio empieza a decrecer geométricamente, y en el mismo tiempo en el radio

decrece hacia el seno dado” (Cantoral et al., 1983).

Si se denomina al sinus totus(107) como x, y expresando la variación del

mismo conforme transcurre el tiempo queda:

Seno: ( ( )� − �(* ( )� − �

(*� … ( )� − �

(*�

Logaritmo: 0 …...1 ……2 … …..n


50

Se observa claramente la relación entre los senos y la velocidad de los

puntos en cada intervalo de tiempo, lo que demuestra la concordancia entre su

modelo y el concepto logaritmo.

En su libro Napier (1614) define a los logaritmos como: “los logaritmos son

números que corresponden a números proporcionales y tienen iguales diferencias”

La idea de la progresión aritmética y geométrica se encuentra presente en

la definición, ya que, al citar “las iguales diferencias” se refiere a la progresión

aritmética, en tanto que la cita “los números proporcionales” representan la

progresión geométrica que se presenta en la multiplicación de x por las n

disminuciones sucesivas de )� − �+*,

, donde n es el logaritmo.

Se sabe que Napier fue el inventor de la palabra logaritmo. Inicialmente les

llama “números artificiales” a los logaritmos y “números naturales” a los

antilogaritmos, más tarde el mismo Napier usa la palabra logaritmo como un

número que indica una proporción.

ln � = � número artificial o logaritmo /01 − 123� = � número natural

Napier tarda 20 años en calcular y desarrollar sus tablas de logaritmos, ya

que inicia en 1594 y las da a conocer hasta 1614 (ver tabla 3), en la ciudad de

Edimburgo con el nombre de Mirifici Logarithmorum canonis descriptio, o

“descripción de la maravillosa regla de los logaritmos”, (sin explicar cómo fueron

construidas), y es hasta 1619 (dos años después de su muerte), que se da a

conocer el procedimiento utilizado para el cálculo de los logaritmos, bajo el título

de Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, es decir, “Construcción del

Maravilloso Canon de Logaritmos”, en donde explica el método con el que

construyó la tabla de logaritmos y sus propiedades.

La idea germinal sobre la que se sustentan los logaritmos neperianos, está

dada por la relación entre las progresiones aritmética y geométrica, y se conjetura

que Napier, retoma la idea ya mostrada por Arquímedes, así como, la identidad

“prosthapheresis”, de transformar la multiplicación en suma de exponentes, así


51

mismo la idea de Stifel, de convertir la división en resta, la potenciación en

multiplicación y la raíz cuadrada en división por dos, de los exponentes, para la

invención de sus logaritmos. Las aportaciones de Napier a los logaritmos, son:

1. El desarrollo de la sucesión que da como resultado una aproximación al

número e, aunque él nunca lo supo.

2. El cálculo en función de esta sucesión de las tablas de logaritmos conocidos

como neperianos.

3. La introducción de las palabra, logaritmo (inicialmente les llamó números

artificiales) para el exponente (sucesión aritmética) y números naturales

(sucesión geométrica) entendiéndose uno el inverso del otro.

4. Deducir las propiedades de los logaritmos para realizar operaciones de

multiplicación, división potenciación y radicación.

El suizo Jobst Bürgi (1552 – 1632) relojero de profesión y constructor de

instrumentos, descubrió o inventó los logaritmos antes que Napier, incluso se

afirma que la idea la concibió alrededor del año 1586, motivado por las

observaciones de Stifel, y el libro de cálculo de Simón Jacob (1565), pero se dice,

que no los dio a conocer por falta de tiempo y material para ello, siendo

reprochado por Kepler al afirmarle “haber dejado en el desamparo al hijo de su

espíritu, en vez de educarlo para la publicidad”.

Es hasta el año de 1620 que Bürgi publica en Praga sus tablas de

logaritmos con el título Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen, pero, el 8 de

noviembre de 1620 es tomada Praga y sus tablas permanecen desconocidas.

Bürgi se dio cuenta que la relación entre las progresiones observada por

Stifel, era aplicable a otras progresiones con cualquier razón racional, y partió de

una progresión aritmética con el primer término cero y razón 10 siendo el último

término 32000, teniendo como base:

41 + 1106

789

= 2.7184593


52

Tabla 3 Logaritmos de Napier o naturales


53

Posteriormente Henry Briggs (1561-1631), profesor de geometría en

Oxford, tiene la idea de elaborar una tabla de logaritmos de base 10 y su origen se

presenta durante una discusión entre él y Napier, Briggs le sugiere elaborar una

tabla de logaritmos con base 10 dado que el sistema empleado en los cálculos es

decimal y llegan a la conclusión de que el logaritmo de 1 debía ser 0 y el

logaritmo de 10 debía ser igual a 1, de esta forma la tarea de construir la primera

tabla de logaritmos en base 10 fue asumida por Briggs (1615). Actualmente se

conocen como “logaritmos de base vulgar”, logaritmos comunes, logaritmos de

base 10 o logaritmos de Briggs.

Por ser 10 la base del sistema numérico que se utiliza, los cálculos de las

tablas logarítmicas se simplifican y sus números fundamentales están dados por:

Logaritmo -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Antilogaritmo .0001 .001 .01 .1 1 10 100 1000 10000

Tabla 4 Números fundamentales de los logaritmos de Briggs

Si el logaritmo es el exponente al que se eleva la base 10, para que se

obtenga un número dado, entonces el logaritmo de 0.0001, es el exponente al que

hay que elevar 10 para que nos de ese número en este caso -4. Como se puede

observar en la tabla 4 el logaritmo de cantidades múltiplos de 10, es un número

entero que se calcula, recorriendo el punto decimal tantas veces sea necesario,

hasta dejar expresada la cantidad con una cifra entera, entonces el número de

lugares que se recorrió el punto es el exponente o logaritmo de la base 10, y si

éste, se recorrió hacia la derecha es negativo y en caso contrario es positivo.

log 0.001 = -3 log 10000 = 4

Sin embargo no todas las cantidades son múltiplos exactos de 10 y cada

cifra tiene su propio logaritmo, el cual debe ser calculado en función de la base 10.

Así pues, si se desea calcular: [email protected] y √10 =D 3.162


54

?@A78 3.162 = ?@A78√10 = ?@A78101E = 0.5

Para calcular el logaritmo de 2 se busca una potencia aproximada 210 = 1024,

278 =D 10F ⇒ 2 =D 10 H1I = 108.F ⇒ ?@A78 2 ≅ 0.3

Ahora si se piensa en un número como 316.2, dado que ya se conoce el

logaritmo de 3.162 se puede expresar como:

316.2 = 3.162 / 10K

[email protected] = ?@A78 3.162 + ?@A7810K = 0.5 + 2 = 2.5

De esta forma se genera la tabla siguiente

N log N N log N

1 0 10 1

2 0.3 20 1.3

3 0.48 30 1.48

4 0.6 40 1.6

5 0.7 50 1.7

6 0.78 60 1.78

7 0.84 70 1.84

8 0.9 80 1.9

9 0.95 90 1.95

Antilog n n Antilog n n

Tabla 5 Cálculo de logaritmos de Briggs

Briggs al formar su tabla de logaritmos, escribió una sucesión aritmética

cualquiera (logaritmos) cuyo primer término era 1, y una sucesión geométrica


55

(antilogaritmos) cuyo primer término era precisamente la razón o base de esta

sucesión, como se observa en la siguiente tabla.

n = log10 N N = antilog10 n

1 10

0.875 10LM ≅ 7.4980

0.750 10H9 ≅ 5.6234

0.625 10NM ≅ 4.2170

0.500 101E ≅ 3.1623

0.375 10HM ≅ 2.3714

0.250 1019 ≅ 1.7783

0.125 101M ≅ 1.3385

0 1

Tabla 6 Cálculo de los logaritmos de Briggs

Extrayendo raíces de más alto grado podrán hacerse los intervalos de los

logaritmos tan pequeños como se desee.

Buscando Briggs una forma más simple de obtener logaritmos cada vez

más pequeños, es decir, que la distancia entre dos logaritmos consecutivos sea lo

más pequeña posible, utiliza un método por naturaleza sencillo, pero acorde a lo

que se desea, es decir, usa la media aritmética para aplicarla en la sucesión

geométrica.

De esta forma, si en la sucesión aritmética tenemos tres números a, b y c,

se sabe que:

O = � + P2


56

Análogamente si en la sucesión geométrica se tienen tres números A, B y

C, el segundo de ellos es la media geométrica de los otros dos,

Si se tiene & = �Q; R = �S

Entonces; &/R = �Q�S = �Q�S

y T = �2UVE = √�Q�S = √�Q�S = √&R

Dando como resultado la siguiente tabla

N = antilog10 n n = log10 N

A = 1 � = 0

B = 10 O = 1

R = √&T ≅ 3.162277 P = 12 �� + O = 0.5

W = √TR ≅ 5.623413 � = 12 �O + P = 0.75

X = √RW ≅ 4.216964 Y = 12 �P + � = 0.625

Z = √WX ≅ 4.869674 [ = 12 �� + Y = 0.6875

\ = √XZ ≅ 4.531583 A = 12 �Y + [ = 0.65625

] = √Z\ ≅ 4.697587 ℎ = 12 �[ + A = 0.671875

_ = √\] ≅ 4.613838 ` = 12 �A + ℎ = 0.6640625

a = √]_ ≅ 4.655524 b = 12 �ℎ + ` = 0.66796875

Tabla 7 Cálculo de logaritmos empleando media aritmética y geométrica


57

Cabe resaltar, que aquí se presenta nuevamente la relación entre las

progresiones aritmética y geométrica, solo que ahora representada por la media

aritmética y la media geométrica, las cuales son utilizadas por Brigss para calcular

sus logaritmos, y es que, este proceso de cálculo le permite reducir cada vez más

la distancia entre los valores de los logaritmos.

Como se puede advertir elaborar la tabla de logaritmos es un trabajo muy

laborioso que requiere primero, partir del logaritmo de los dígitos, después de

múltiplos de 10, posteriormente de números múltiplos de 10 elevados a un

exponente fraccionario, y después ir calculando promedios de cantidades y de

exponentes, para hallar el logaritmo de cantidades separadas por intervalos cada

vez más pequeños, con la finalidad de que los logaritmos den resultados más

exactos, en el cálculo de las operaciones.

Henry Briggs elabora las tablas de logaritmos en base 10 del 1 al 20000 y

de 90000 a 100000 siendo publicados en 1618, como Logarithmorum Chilia es

prima (primer tratado sobre los logaritmos vulgares o de Briggs), posteriormente

fueron completadas del 1 al 100000 en 1628 por el matemático Vlacq, y dados a

conocer en 1631 en su obra Logarithmall Arithmetike, donde explica la invención

de los logaritmos diciendo:

“Los logaritmos son números inventados para resolver más fácilmente los

problemas de aritmética y geometría… Con ello se evitan todas las molestias

de las multiplicaciones y de las divisiones; de manera que, en lugar de

multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de divisiones se

hacen sustracciones. La laboriosa operación de extraer raíces, tan poco grata,

se efectúa con suma facilidad... En una palabra, con los logaritmos se

resuelven con la mayor sencillez y comodidad todos los problemas, no solo de

aritmética y geometría, sino también de astronomía”.

De esta manera Briggs, nos deja entrever las relaciones implícitas que

existen, entre los cálculos numéricos, de las sucesiones aritmética y

geométrica, para la obtención de los logaritmos, mediante la media aritmética


58

y la media geométrica, los cuales se utilizarán como logaritmos en la solución

de problemas aritméticos y geométricos.

Figura 4 Implicaciones de las medias aritmética y geométrica

En lo sucesivo se considerará, que los logaritmos de base 10 sólo se

nombraran como log y se sobre entiende que su base es 10, solamente que se

calcule logaritmos con otras bases, entonces se colocará la base como subíndice

Briggs aporta al desarrollo de los logaritmos, la metodología de cálculo utilizando

la media aritmética y la media geométrica, así como, nuevas tablas basadas en el número

10 y no en una sucesión, como es el caso de Napier, simplificando las operaciones

realizadas en el sistema decimal y corroborando que se pueden desarrollar logaritmos de

cualquier otro número o sucesión.

Los logaritmos de Briggs se fundamentan en la misma idea germinal que

los anteriores y continúa con la idea de Napier acerca de logaritmo y antilogaritmo

como operaciones inversas, pero, difiere en el desarrollo del algoritmo de las

progresiones como ya se dijo.


59

El vocablo logaritmo etimológicamente, viene del griego “logos” (λόγος),

razón y “arithmos” (άρίθµος), número, que unidos significa, “un número que indica

una relación o proporción” y se refiere a la proposición hecha en su “Teorema

Fundamental”, que establece, que la diferencia de dos logaritmos determina, la

relación de los números a los cuales corresponden, de esta forma, una sucesión

aritmética de logaritmos, se relaciona con una sucesión geométrica de números.

El término antilogaritmo fue introducido a fines del siglo XVII, aunque no fue

utilizado tan ampliamente como el logaritmo, aunque perduró en muchas tablas,

hasta que cayó en desuso.

Continuando ahora, con la conceptualización de logaritmo, se dice que:

El logaritmo de un número (serie geométrica), es el exponente (serie

aritmética), al que hay que elevar una base para obtener dicho número:

28 = 256

Entonces, el logaritmo de 256 en base 2 es el exponente al que hay que

elevar 2 para obtener 256, en este caso 8, por lo tanto

log2 256 = 8.

Esto nos lleva a pensar en la correspondencia de expresar una cantidad en

forma exponencial y su inversa en forma logarítmica, o al contrario, pasar de la

forma logarítmica a la exponencial.

28 = 256 corresponde log2 256 = 8

Como puede observarse el exponente, es en realidad el logaritmo, de esta

forma la sucesión aritmética es el logaritmo y la sucesión geométrica es la base

elevada a dicho exponente, o exponencial, o antilogaritmo, o forma inversa del

logaritmo.

Sin embargo, cabe hacer notar que la base del logaritmo o serie

geométrica, es un número real positivo exceptuando el cero y el 1, por obvias


60

razones (0 y 1 elevado a cualquier potencia es 0 y 1 respectivamente), y

considerando que la serie geométrica es un número positivo elevado a una

potencia, entonces, la definición de logaritmo es:

Dado un número c positivo y no nulo �d > 0, y un número real � positivo,

y diferente de 1 �� > 0; � ≠ 1, se le llama logaritmo en base � de c al exponente

( al que hay que elevar la base � para obtener el número c, y se escribe:

g"h�c = (

y se lee logaritmo en base � de c es igual a (, en consecuencia, se tiene

�( = c

De esta definición se puede deducir:

1. El logaritmo de 1, es 0, porque �8 = 1, Y�i@�PYj, ?@Ak 1 = 0 2. El logaritmo de un número igual a la base es 1 porque

�7 = �, Y�i@�PYj, ?@Ak � = 1

3. El logaritmo de una potencia cuya base sea igual a la base del logaritmo es

igual al exponente de la potencia, ya que, �� = ��, �, ?@Ak�� = l

4. No existe el logaritmo de un número negativo, o de cero, en el campo de los

números reales, porque no hay ningún exponente real que convierta a la

base en negativa, ni tampoco que la haga cero, excepto el infinito, pero

éste, no es número real.

5. El logaritmo de un número c, tal que m < d < 1 es negativo si la base � del

logaritmo es � > 1,

�� = 1�� < 1, Y� P@�jYPoY�P`�, ?@Ak

1�� = −�

6. El logaritmo de un número c, tal que m < d < 1 es positivo si la base � del

logaritmo es �� < 1,

41�6

�= 1

�� < 1, p@� ?@ i��i@, ?@A1q

1�� = �

7. El logaritmo de un número c > 1 es positivo si � > 1


61

�� = d, Y�i@�PYj, ?@Ak d = l

8. El logaritmo de un número c > 1 es negativo si �� < 1

41�6

��= 1

�� = �� = d, p@� ?@ i��i@, ?@A1q d = −l

Ya se dijo como se calcularon los logaritmos de Napier y Briggs, que éstos

son exponentes de una base, pero, ahora se describirá como están constituidos

los logaritmos, para ello considérese la tabla de logaritmos siguiente:

log 1r. 0000 1r. 0043 1r. 0086 1r. 0128 1r. 0170 1r. 0212 1r. 0253 1r. 0294 1r. 0334

antilog 0.10 .101 .102 .103 .104 .105 .106 .107 .108

log 0.0000 0.0043 0.0086 0.0128 0.0170 0.0212 0.0253 0.0294 0.0334

antilog 1.0 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08

log 1.0000 1.0043 1.0086 1.0128 1.0170 1.0212 1.0253 1.0294 1.0334

antilog 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

log 2.0000 2.0043 2.0086 2.0128 2.0170 2.0212 2.0253 2.0294 2.0334

antilog 100 101 102 103 104 105 106 107 108

log 3.0000 3.0043 3.0086 3.0128 3.0170 3.0212 3.0253 3.0294 3.0334

antilog 1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070 1080

Tabla 8 Algunos logaritmos y antilogaritmos de Briggs

En la tabla 8 se observa que, en los logaritmos se establecen patrones,

como es el caso del logaritmo de las cantidades siguientes, 102, 1.02, 10.2, 102,

1020 todos tienen la misma parte fraccionaria .0086 y solo difieren en la parte

entera, porque de acuerdo a los cálculos de Briggs

log 0.102 = log 1.02/10�7 = log 1.02 + log 10�7 = 0.0086 − 1 = 1r . 0086

log 1.02 = log 1.02/108 = log 1.02 + log 108 = 0.0086 + 0 = 0.0086


62

log 10.2 = log 1.02/107 = log 1.02 + log 107 = 0.0086 + 1 = 1.0086

log 102 = log 1.02/10K = log 1.02 + log 10K = 0.0086 + 2 = 2.0086

Entonces la parte entera del logaritmo es el exponente de la base 10, al

expresar el número en notación científica y solamente una cifra entera, a esta

parte, se le conoce como característica y se puede calcular como, el número de

cifras enteras menos uno para cantidades mayores de uno, y para cantidades

menores de uno, la característica es negativa y representa al lugar que ocupa la

primera cifra significativa después del punto.

Con respecto a la parte fraccionaria del logaritmo, se le conoce como

mantisa y se obtiene de las tablas elaboradas por Briggs, y a diferencia de la

característica la mantisa siempre es positiva.

La razón por la cual ha de manejarse para el cálculo de la mantisa una cifra

entera, es porque al calcular el logaritmo de esa cantidad la característica es cero,

y la cifra hallada representa únicamente a la mantisa.

Entonces, los logaritmos siempre tendrán una parte entera correspondiente

al exponente de la base 10 (llamada característica), y una parte fraccionaria,

correspondiente a la cantidad expresada con una cifra entera y cuyo valor siempre

será menor de uno (llamada mantisa), la cual, se calcula, empleando las tablas de

logaritmos. En este sentido, el logaritmo consta de dos partes que se unen, pero,

cuyos significados son distintos, incluso, puede ser que estas partes tengan el

mismo o diferente signo, ya que la mantisa siempre será positiva, en tanto que, la

característica puede ser negativa o positiva:

log 268 = log 2.68 + ?@A10K = 0.4281 + 2 = 2.4281

log 0.0368 = log 3.68 + ?@A10�K = 0.5658 + �−2 = 2r. 5658

Este último logaritmo calculado, es una concepción difícil de comprender

por el estudiante, al considerar que un número este constituido de una parte

entera negativa y una parte fraccionaria positiva, probablemente no entienda


63

porque si se tiene un número entero negativo y otro fraccionario positivo no se

realice la resta para expresar el número con un solo signo. Sin embargo,

contextualizando la forma en que fue concebido el cálculo de un logaritmo, se

observa que, al expresar el número con una cifra entera y notación científica, se

realiza una multiplicación por 10, tantas veces como sea necesario, y cada vez

que se multiplique por 10, se recorre el punto una cifra entera del número original,

es decir, si la notación científica empleada es 103, significa que se recorrió el

punto tres cifras y se dejó solamente una entera. El número original entonces,

tiene 3 cifras recorridas, más la cifra entera, tiene 4 cifras enteras, en el caso de

números enteros, pero en el caso de números menores que la unidad, cada vez

que se recorre el punto a la izquierda, el exponente de la base 10 es negativo, por

esta razón, si la notación empleada es 10-2, significa que el número es menor que

uno y que la primera cifra significativa después del punto, ocupa el segundo lugar

porque el punto se recorrió dos veces.

La mantisa del logaritmo siempre será positiva, y representa el exponente al

que hay que elevar la base 10, para obtener el número generado de una cifra

entera, por lo tanto, ésta siempre será menor de uno porque el máximo número de

una cifra entera es 9.999…, pero no será 10, que equivale a tener exponente uno,

entonces, es en la mantisa, donde recae el valor del logaritmo.

Si se puede calcular el logaritmo de un número, será necesario realizar la

operación contraria, es decir, conociendo el logaritmo de un número calcular dicho

número, por esta razón deben conservarse los valores originales de la

característica y la mantisa, ya que para realizar la operación contraria al logaritmo,

ha de utilizarse la mantisa para hallar el número de la misma manera que en los

logaritmos, solo que ahora en las tablas de antilogaritmos, posteriormente si la

característica es positiva se le suma uno y éste, será el número de cifras enteras

de la cantidad cuyo logaritmos se conoce, si la característica es negativa (la

cantidad es menor que uno), no se le suma nada y ésta representa, el lugar de la

primera cifra significativa después del punto, hacia la derecha.


64

Actualmente el uso de las calculadoras ha simplificado el cálculo de los

logaritmos, expresándolo como un solo número positivo o negativo, además de

que, el empleo mismo de la calculadora, facilita la resolución de operaciones

aritméticas, aunque los números implicados sean muy extensos o

extremadamente pequeños, por tal motivo, el uso de los logaritmos como método

de cálculo ha quedado en desuso, y considerando que la suma o resta de

logaritmos con características negativas y positivas es un saber difícil de

comprender para los estudiantes, y que además ocasiona alta reprobación,

entonces, es probable pensar que se convierta en un saber excluido del currículo,

como ya se citó en el contexto socio histórico, sin embargo, la función logaritmo y

su inversa la exponencial, son saberes muy utilizados para modelar situaciones

problemáticas y resolverlas.

Para que las funciones exponencial y logarítmica, sean aplicadas en

diversas situaciones científicas, debe tenerse construida una red de conocimientos

sobre la génesis de los logaritmos, y tener encapsulado el proceso logaritmo-

exponencial, como un objeto matemático para ser utilizado como herramienta en

la comprensión y aplicación de las funciones, pero si todo lo concerniente a

logaritmos no es estudiado, didácticamente será difícil, que el estudiante logre un

conocimiento profundo sobre estas funciones.

4.3.3 Usos sociales de los logaritmos

El uso y aplicación de los logaritmos en las ciencias es muy amplio, una de

estas aplicaciones es la regla de cálculo, considerada sin duda, la herramienta de

cálculo analógico más extendida. Ésta se basa en la utilización de escalas

logarítmicas, para simplificar notablemente los cálculos. En particular, mediante

las escalas A y B de la regla, así, el cálculo del producto o división se reduce al de

la suma o resta de las mismas en las escalas logarítmicas correspondientes.

La primera regla de cálculo fue inventada por el inglés Edmund Gunter en

1620, sirviéndose de los logaritmos que seis años atrás inventara Napier para

simplificar algunos cálculos astronómicos complicados. A partir de esta fecha, la


65

regla de cálculo sufrió una constante evolución, aunque su uso no se hizo popular

hasta la incorporación de notables mejoras por el geómetra francés Amadeo

Mannheim a mediados del siglo XIX. A lo largo de todo el siglo XX ha sido el

instrumento de cálculo preferido por los ingenieros y técnicos hasta que la

aparición, en la década de los 70, de las calculadoras científicas de bolsillo la hizo

obsoleta.

FIGURA 5 REGLA DE CÁLCULO

Sin embargo el empleo de los logaritmos en la ciencia debe verse desde

cuatro enfoques:

1) La generación de los logaritmos a través del cálculo y su aplicación en

astronomía y navegación dando como resultado la publicación de tablas de

bolsillo.

2) Los logaritmos como método de cálculo numérico y su aplicación en la regla

de cálculo así como el uso de las tablas de logaritmos para la realización de

operaciones dentro de las ciencias física y química.

3) Dar a conocer la relación entre una sucesión aritmética y otra geométrica

que lleva a conjeturar a la primera como un logaritmo de la segunda.

4) El uso de los logaritmos dentro del cálculo diferencial e integral

principalmente por Leibniz y Newton, pudiendo conducir por simple

integración de los inversos a los resultados logarítmicos, así como a

razonamientos analíticos relacionados a fenómenos físicos o químicos.


66

Actualmente el logaritmo y la exponencial son empleados principalmente en

el cálculo tanto diferencial como integral, en la solución de ecuaciones

diferenciales, en el modelado de fenómenos como el crecimiento poblacional, en

aplicaciones tecnológicas como son controladores, entre otras, aplicaciones, lo

que lleva a considerar que logaritmo y exponencial son saberes básicos para el

estudio y aplicación de las matemáticas avanzadas, la ciencia y la tecnología.

De lo anterior se desprende que los estudiantes de nivel superior deben

contar con estos conocimientos, cosa que a menudo no sucede, ocasionando

problemas tanto en la comprensión de los mismos logaritmos, como en su

aplicación, por lo que es conveniente investigar que sucede con el tema logaritmos

en el tránsito desde las matemáticas de nivel básico hasta las de nivel avanzado,

identificando las causas que originan el fenómeno presentado por los estudiantes

que ingresan en educación superior. Ver fig. 6

Figura 6 Saberes Excluidos

Ya que el tránsito entre los saberes matemáticos debe darse en forma

articulada, entonces es necesario hacer un análisis de cómo se presenta dicha

articulación, o si existe una desarticulación de saberes, o bien, ¿cómo es la

didáctica empleada por los profesores en la enseñanza de estos saberes?


67

En nivel superior algunos docentes consideran que estos temas son vistos

en secundaria y/o bachillerato, de esta manera, cuando el estudiante cuestiona al

profesor acerca de estos saberes, el profesor le dice, que ya debieron ser vistos y

solamente da una breve explicación sobre el tema que no le servirá al estudiante

para lograr la abstracción del saber (como objeto matemático), y cuando el

estudiante requiera de estos saberes (como herramienta), en futuras aplicaciones,

será difícil, que sin haber interactuado con el proceso lo tenga guardado como un

objeto matemático, para ser utilizado como herramienta, que le permita incorporar

a su red cognitiva conocimientos más avanzados, ya sea en el área de

matemáticas, o alguna otra ciencia donde se empleen estos conocimientos, como

es el caso de química, matemáticas financieras, física, entre otras.

De acuerdo con lo anterior, si estos saberes no son aprendidos en

secundaria ni en bachillerato, y en nivel superior son abordados por los profesores

para explicar algún otro saber, de tal manera, que no hay una formalización de su

enseñanza, y la ignorancia sobre este saber continúe (a menos que el propio

estudiante se haga cargo de su aprendizaje), cuando estos estudiantes terminan

su educación profesional, y algunos de ellos deciden incorporarse como docentes

su formación es deficiente, y al aparecer este saber, en el proceso enseñanza

aprendizaje, el profesor solo podrá dar una breve explicación.

Por lo antes expuesto, este fenómeno que inicialmente se pensó afectaba

sólo a los estudiantes de matemáticas y ciencias afines, posteriormente se induce

que también puede afectar a la didáctica de las matemáticas, y la formación de

docentes en matemáticas. El problema se va multiplicando, lo que de alguna

manera explicaría el hecho de que los estudiantes cada vez tienen mayores

deficiencias en los saberes mencionados.

Es necesario que estos saberes básicos, que además, tienen implicaciones

muy importantes en las ciencias, como es el caso de logaritmos, que sirve para

modelar funciones logarítmicas y exponenciales, utilizadas ampliamente en

Biología o Economía, no pasen inadvertidos en el currículo o bien queden


68

excluidos del mismo, pues resulta difícil creer que un estudiante de ingeniería, no

pueda pasar de una expresión logarítmica a una exponencial, es decir, dado

� = ?@Ak / i��j[@�l�� Y�: �v = /

De acuerdo a lo antes expuesto es necesario investigar que ha ocurrido con

los saberes acerca de logaritmos, dentro del currículo de secundaria y bachillerato.

Ver fig. 7.

Figura 7 Exclusión de los logaritmos.

CAPÍTULO V

SABERES PREVIOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE

LOGARITMO Investigación acerca de los saberes que deben estar construidos cognitivamente

para entender la noción logaritmo y así establecer un esquema del concepto logaritmo que

permita posteriormente analizar los programas de estudio.

CAPÍTULO V SABERES PREVIOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE LOGARITMO

70

5.1 Investigación de los saberes previos para la conceptualización de

logaritmo

Considerando, que el aprendizaje del concepto logaritmo, requiere de

conocimientos previos, tales como, identificar la base de una potencia, la potencia

misma, trabajar con los exponentes, desarrollar una cantidad expresada en

función de una potencia, sobre todo de base 10, resolver problemas de

radicación, calcular potencias, entre otros saberes, es necesario determinar

cuáles son los conocimientos previos que el estudiante debe tener para la

comprensión de los logaritmos.

Por esta razón, si se desea investigar acerca de los saberes de logaritmos

y su tránsito, a través, de los niveles escolares secundaria, medio superior y

superior, debe iniciarse con los programas de estudio y determinar si contemplan

la enseñanza de estos saberes previos, de los propios logaritmos, y la forma

como se articulan los saberes sobre logaritmos, las funciones exponencial y

logarítmica y su aplicación en la solución de problemas y en matemáticas

avanzadas para ir construyendo conocimientos más profundos.

En caso de que estos saberes previos tampoco sean enseñados, la red de

conocimientos del estudiante tendría un hueco muy grande en el que aislado de

todo conocimiento se encontrarían las funciones exponencial y logarítmica, sin

ninguna articulación de saberes.

5.1.1 Mapa conceptual sobre la construcción del concepto logaritmo

Para determinar qué conocimientos requiere el estudiante para comprender

el concepto logaritmo y exponencial se elabora un mapa conceptual. Ver fig. 8

Como se observa en el mapa conceptual tenemos como conocimientos básicos o

previos, identificación de base y exponente, potenciación radicación, teoría de los

exponentes y notación científica, para la conceptualización de logaritmo, la que da

origen a la forma exponencial y logarítmica de un número, así como, la

transformación de una a otra forma.


71

FIGURA 8 MAPA CONCEPTUAL DE LOGARITMO

De la forma logarítmica se desprende el cálculo del logaritmo de un número

y operaciones como multiplicación, división, potenciación y radicación aplicando

las propiedades de los logaritmos, y con todo este cumulo de conocimientos

poder resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Cabe hacer mención que el mapa se refiere únicamente a los

conocimientos adquiridos hasta nivel medio superior, porque como ya se explicó

en la parte epistemológica, las aplicaciones de los logaritmos se encuentran en

matemáticas avanzadas, y otras ciencias como física, química, biología, etc.

5.1.2 Modelo constructivista de saberes del concepto logaritmo

Utilizando la teoría constructivista, para determinar el orden en que la red

de conocimientos se va conectando, se considera, primeramente la base y


72

exponente, posteriormente potenciación, teoría de los exponentes, notación

científica y radicación, como, los conocimientos básicos necesarios para

comprender el concepto de logaritmo, y con ellos la forma exponencial y

logarítmica de un número, realizar cálculos de logaritmos y aplicar las

propiedades a la resolución de operaciones y solución de problemas. Se trata de

jerarquizar los conocimientos de acuerdo a un acercamiento constructivista del

aprendizaje de los logaritmos, para establecer un modelo de enseñanza y se

pueda comparar contra los programas de estudio.

Orden Conceptos

10 Solución de problemas

9 Propiedades

8 Cálculos

7 Formas exponencial y logarítmica

6 Logaritmos

5 Radicación

4 Notación científica

3 Teoría de exponentes

2 Potenciación

1 Base y exponente

Tabla 9 MODELO CONSTRUCTIVISTA DEL CONCEPTO LOGARITMO

CAPÍTULO VI

INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL

CURRÍCULUM ESCOLAR

El capítulo trata de la investigación documental acerca de la presencia de los

saberes previos sobre logaritmos y de los propios logaritmos en el currículo de secundaria,

bachillerato y nivel superior, con el propósito de indagar acerca del fenómeno de la

exclusión y/o envejecimiento de dichos saberes.

CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR

74

6.1 Investigación y análisis de los programas de estudio y libros de texto acerca de los logaritmos

6.1.1 Investigación y análisis de programas de matemáticas en nivel medio básico

Como ya se dijo, los programas de estudio vigentes desde la creación del

nivel secundaria hasta la fecha, casi no han sufrido cambios, y en lo que respecta

a los programas de matemáticas, éstos han sido unos cuantos. Para el análisis se

consideraran los dos últimos, el programa de 1993 hasta 2005 y el vigente desde

2006 hasta la fecha.

Dentro de este nivel existen diversas modalidades de estudio, como:

� Secundaria General

� Telesecundaria

� Secundaria Técnica

� Secundaria para Trabajadores, entre otras.

Sin embargo los planes de estudio son básicamente los mismos.

Programa de Matemáticas para nivel secundaria de 1993 a 2005.

La reforma de los programas 1993 inicia en 2001 y aplica hasta 2006.

(Proyecto Piloto de Articulación del Sistema Educativo en Ixmiquilpan,

Hidalgo,2001), razón por la cual los programas vigentes en 1993 aplican hasta

2005. Estos programas están desarrollados en cinco áreas que se estudiarán a lo

largo de los tres grados, a saber:

1. Aritmética:

2. Álgebra


75

3. Geometría (con Trigonometría a partir del tercer grado)

4. Presentación y tratamiento de la información.

5. Nociones de Probabilidad.

El propósito general que marcan los programas es: “El desarrollo de las

habilidades operatorias, comunicativas y de descubrimiento de los alumnos”. Y

para lograrlo deben desarrollar las capacidades:

• Adquirir seguridad y destreza en el empleo de las técnicas y

procedimientos básicos a través de la solución de problemas.

• Reconocer y analizar los distintos aspectos que comprende un problema.

• Elaborar conjeturas, comunicarlas y validarlas.

• Reconocer situaciones análogas (es decir que, desde un punto de vista

matemático, tienen una estructura equivalente).

• Escoger o adaptar la estrategia adecuada para la resolución de un

problema.

• Comunicar estrategias, procedimientos y resultados de manera clara y

concisa.

• Predecir y generalizar resultados.

• Desarrollar gradualmente el razonamiento deductivo.

Otro propósito señalado en los programas es “que el alumno aprenda a

utilizar las matemáticas para solucionar problemas, no solamente los que se

resuelven con los conocimientos y técnicas aprendidas en la escuela, sino también

aquellos cuyo descubrimiento y solución requieren de la curiosidad e imaginación

creativa”.


76

Lo que se pretende es que el estudiante relacione los diversos

conocimientos matemáticos y los aplique además de practicarlos continuamente.

1. Aritmética: se le otorga gran importancia al manejo de los números con

decimales y/o fracciones y el manejo inteligente de la calculadora,

aunque no aclara como ha de lograrse esto último.

2. Álgebra: revisar las reglas de escritura algebraica y trabajar con

ecuaciones lineales, utilizando el plano cartesiano para que la solución

sea razonada y visualizada de forma concreta.

3. Geometría: tema al que se le concede gran importancia sin que se caiga

demasiado pronto en el razonamiento deductivo propio de las

demostraciones, que requieren de una mayor profundidad del

conocimiento que además requiere de la madurez que se obtiene a

través del tiempo.

4. Trigonometría: se plantea solamente abordar el uso de las razones

trigonométricas para resolver problemas típicos sobre distancias.

5. Estadística y Probabilidad: se plantea la organización y representación

de datos en gráficas de barra o línea, así como el cálculo de las medidas

de tendencia central empleando las fórmulas correspondientes. En lo

relativo a probabilidad, conteo aplicando la regla del producto y utilizando

la simulación para calcular probabilidades de eventos.

A continuación una breve descripción temática de los cursos de

matemáticas en secundaria.


77

Aritmética Álgebra Geometría

• Números naturales y operacionales.

• Decimales

• Fracciones

• Proporciones

• Números enteros

• Prealgebra

• Iniciación al lenguaje algebraico

• Ecuaciones lineales

• Plano cartesiano

• Sistema de ecuaciones lineales

• Operaciones con polinomios

• Productos notables y factorización

• Ecuaciones de segundo grado

• Trazos geométricos

• Simetrías

• Áreas y perímetros

• Volúmenes

• Teorema básico de geometría

Tabla 10 CONTENIDO DE LAS ÁREAS DE MATEMÁTICAS DE LOS PROGRAMAS

1993-2005 DE NIVEL MEDIO BÁSICO

Cabe hacer mención que en estos programas desaparecen los temas de

Lógica de conjuntos, así como el énfasis puesto por los programas anteriores en

las propiedades estructurales de los diferentes dominios numéricos. También se

abandona el tratamiento conjuntista de la probabilidad.(Programa de Matemáticas

para secundaria 1993).

Trigonometría Estadística Probabilidad

• Razones

Trigonométricas

• Teorema de Pitágoras

• Resolución de

triángulos rectángulos

• Datos agrupados

• Medidas de tendencia

central

• Equivalencia de figuras

• Círculos

• semejanza


78

Programa de Matemáticas para secundaria 2006.

En los programas de 1993 los contenidos temáticos se agrupan de diferente

manera para primaria y secundaria, por esta razón la reforma educativa de 2006

propone tres ejes temáticos y establece la continuidad de ellos desde preescolar o

primero de primaria hasta culminar la secundaria, dichos ejes temáticos son:

a) “Sentido numérico y pensamiento algebraico”

b) “Forma, espacio y medida”

c) “Manejo de la información”

Dando origen a la distribución de conceptos básicos por eje, subtema y

grado en la educación secundaria.

Sentido numérico y

pensamiento algebraico

Secundaria

1° 2° 3°

Sig

nif

icad

o y

uso

de

los

nú

mer

os

Números naturales

Análisis comparativo de distintos sistemas de numeración, según sus propiedades y su evolución histórica

Números fraccionarios y decimales.

Interpretación del significado.

Representaciones equivalentes.

Representación en la recta numérica, a partir de distintas informaciones.

Comparación y orden

Números con signo

Interpretación y uso en distintos contextos.

Representación en la recta numérica, a partir de distintas informaciones.

Comparación y orden.


79

Sig

nif

icad

o y

uso

de

las

op

erac

ion

es

Problemas aditivos

Significado de la adición y sustracción de números decimales y fraccionarios.

Significado de la adición y sustracción de números con signo.

Algoritmos de la adición y sustracción con números fraccionarios y decimales

Significado de la adición y sustracción con expresiones algebraicas.

Algoritmos para sumar y restar polinomios.

Problemas multiplicativos.

Significado de la multiplicación y división de números decimales y fraccionarios.

Algoritmo de la multiplicación y división con números fraccionarios y decimales

Significado de la multiplicación y división de números con signo

Significado de la multiplicación y división de expresiones algebraicas

Algoritmo para multiplicar y dividir polinomios

Potenciación radicación

Significado de elevar a una potencia, un número cualquiera diferente de cero.

Cálculo de potencias con exponente natural.

Significado de extraer una raíz a números naturales y decimales.

Cálculo de la raíz cuadrada por diversos métodos.

Productos y cocientes de potencias de la misma base, potencia de una potencia.

Exponentes negativos.

Notación científica.

Operaciones combinadas

Expresiones algebraicas equivalentes.

Jerarquía de operaciones. Uso de paréntesis.

Algoritmos para factorizar expresiones algebraicas y efectuar o simplificar cálculos

Sig

nif

icad

o y

u

so d

e la

s

Patrones y fórmulas

Obtención de reglas de sucesiones numéricas y figurativas.

Interpretación de fórmulas geométricas

Construcción de sucesiones de números con signo, a partir de una regla dada y obtención de la regla

Deducción de una expresión algebraica, para definir el enésimo término de una sucesión numérica o


80

que genera la sucesión. figurativa.

Ecuaciones Resolución de ecuaciones de primer grado de la forma

x + a = b

ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales o decimales

Resolución de problemas mediante ecuaciones primer grado de la forma

Ax + bx + c = dx + ex + f

Aplicando las propiedades de la igualdad.

Resolución de ecuaciones con paréntesis. Resolución de problemas utilizando sistemas de dos ecuaciones lineales.

Resolución de problemas mediante ecuaciones cuadráticas.

Planteamiento de la ecuación lineal, cuadrática o sistema de ecuaciones que resuelve un problema dado.

Relación funcional

Uso de tablas y expresiones algebraicas para representar e interpretar funciones lineales con parámetros enteros

Uso de tablas y expresiones algebraicas para representar e interpretar funciones lineales.

Uso de tablas y expresiones algebraicas para representar e interpretar funciones cuadráticas.

Forma, espacio y medida

secundaria

1° 2° 3°

Fo

rmas

geo

mét

rica

s

Figuras planas

Construcción de polígonos regulares

Criterios de congruencia de triángulos.

Características de figuras que recubren el plano

Aplicaciones de la congruencia de triángulos.

Rectas y ángulos

Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo

Mediatrices, medianas, alturas y bisectrices en triángulos; propiedades y construcción.

Diferentes tipos de ángulos y sus propiedades.

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia, y de circunferencias entre sí.

Ángulo central y ángulo inscrito de una circunferencia.


81

Semejanza Semejanza de figuras.

Criterios de semejanza de triángulos y su aplicación al resolver problemas.

Estudio del teorema de Tales

Cuerpos geométricos

Cubos, prismas y pirámides.

Elementos y propiedades.

Desarrollos planos.

Cuerpos generados por deslizamientos y por revolución.

Formas generadas al hacer cortes en un cuerpo geométrico.

Cuerpos con caras curvas (esferas, conos y cilindros); desarrollos planos; elementos y propiedades.

Secciones planas en cilindros, esfera y conos.

Med

ida

Estimar, medir y calcular

Perímetros y áreas de triángulos, cuadriláteros y círculo.

Conversión de unidades de medida

Estimación, medición y cálculo de ángulos.

Equivalencias en el sistema sexagesimal.

Volumen de cubos, prisma y pirámides.

Equivalencia entre unidades de volumen y capacidad.

Cálculo del área total o parcial de cuerpos geométricos.

Cálculo de ángulos inscritos y centrales, arcos, sectores circulares y corona circular.

Volumen de cilindros y conos.

Aplicación del teorema de Pitágoras.

Razones trigonométricas.

Resolución de triángulos rectángulos.

Justificación de fórmulas

Significado de fórmulas geométricas.

Justificación de las fórmulas de perímetro y área de triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares y círculo.

Justificación de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.

Justificación de las fórmulas de volumen de cubos, prismas paralelepípedos rectos y pirámides.

Justificación de las fórmulas de volumen de cilindros y conos .

Significado de las razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

T rMovimientos Simetría axial; Traslación y rotación de Homotecia;


82

en el plano propiedades.

Clasificación de figuras utilizando la simetría axial.

figuras; propiedades.

Diseños que combinan la simetría axial y la central, la rotación y traslación de figuras.

propiedades.

Manejo de la información

secundaria

1° 2° 3°

An

ális

is d

e la

info

rmac

ión

Relaciones de proporcionalidad

Aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad.

Reparto proporcional

Proporcionalidad directa; propiedades, expresión algebraica y gráfica.

Proporcionalidad inversa.

Cálculo del factor inverso.

Proporcionalidad múltiple.

Relaciones de proporcionalidad y función lineal.

Comparación de razones.

Porcentaje. Cálculo y expresión en forma decimal y fraccionaria .

Porcentajes mayores del 100%

Índices.

Noción de probabilidad

Espacio muestral.

Estimación de probabilidades.

Probabilidad clásica.

Comparación de probabilidades. Juegos equitativos o no equitativos.

Cálculo de la probabilidad de eventos independientes.

Cálculo de la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes.

Simulación: urnas de Bernoulli

Rep

rese

Diagramas - tablas

Tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Representación tabular de funciones lineales.


83

Arreglos rectangulares, diagramas de Carroll y de árbol en problemas de conteo .

Arreglos rectangulares y diagramas de Venn, en problemas de conteo.

Combinación, permutación y variación.

gráficas Gráficas de línea, de barras y circulares.

Polígonos de frecuencia.

Gráficas de línea de datos que varían con el tiempo.

Análisis de los parámetros m y b en las gráficas de función lineal.

Gráficas de segmento de línea.

Gráficas de sistemas de ecuaciones lineales.

Gráficas de tipo caja-brazos.

Gráficas de funciones lineales; razón de cambio.

Análisis gráfico de funciones cuadráticas cúbicas y racionales.

Gráfica de crecimiento aritmético o lineal, y geométrico o exponencial.

Gráficas de secciones rectas y curvas de fenómenos de movimiento.

Medidas de tendencia central y

dispersión

Comparación del comportamiento de dos conjuntos de datos, a partir de sus medidas de tendencia central.

Cálculo de las medidas de tendencia central en datos agrupados.

Análisis de la distribución de los datos de una población, en gráficas de caja-brazos, con base en las medidas de tendencia central y de dispersión.

TABLA 11 PROGRAMA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICAS PARA NIVEL

MEDIO BÁSICO 2006

Como se puede observar, en los programas tanto de 1993 como en el

modificado de 2006, no aparece el tema logaritmos, lo que podría ser un pequeño

acercamiento al tema logaritmos es la gráfica de crecimiento exponencial,

estudiada en tercer grado, aunque el enfoque es establecer una comparación con

una gráfica de crecimiento lineal y no establece un comparativo con la gráfica de

una función logarítmica, por lo tanto, en los programas de matemáticas nivel

secundaria no se aborda el tema logaritmos.


84

En cuanto a los conocimientos previos para el aprendizaje de los logaritmos

están presentes potenciación, radicación y notación científica, no están

explicitados base y exponente, pero se consideran inmersos en potenciación,

tampoco está la teoría de los exponentes, pero algunos de sus temas se estudian

en potenciación, radicación y notación científica, exceptuando exponente cero.

Para precisar un poco más se realizará un análisis de libros de texto gratuitos para

telesecundarias, porque el examen diagnóstico fue realizado en una

telesecundaria, pero además, debe considerarse que los programas son los

mismos en todo el nivel medio básico y los textos gratuitos son para todo tipo de

secundaria.

Análisis de los libros de texto para nivel medio básico

Se realizó el análisis de los libros de matemáticas utilizados en

telesecundaria los cuales fueron elaborados en la coordinación de informática

educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE).

Matemáticas I, tomo I se estudia, sistemas de numeración, fracciones en la

recta numérica, sucesiones de números, geometría, simetría, expresiones

algebraicas, proporcionalidad, adición, multiplicación y división de fracciones y

números decimales, mediatriz, bisectriz y polígonos regulares, además fórmulas

para calcular perímetros y áreas de polígonos regulares y constante de

proporcionalidad con aplicaciones.

En Matemáticas I, tomo II, se estudia división con números decimales,

ecuaciones de primer grado, áreas perímetros y porcentajes, tablas de frecuencia

grafica de barras circular y nociones de probabilidad, números con signo, potencia

y raíz cuadrada, circunferencia círculo y su área la constante pi, relaciones de

proporcionalidad, operaciones con signo, áreas de figuras planas gráficas, tablas y

expresiones algebraicas proporcionalidad inversa y medidas de tendencia central.

En Matemáticas II, tomo I, se estudian operaciones de números con signo,

jerarquía de las operaciones, expresiones algebraicas de modelos geométricos,


85

problemas de expresiones algebraicas con suma, multiplicación y división de

polinomios, proporcionalidad directa e inversa algunos temas de geometría plana,

conteo, polígono de frecuencias y medidas de tendencia central.

En el tomo II, sucesiones de números con signo, aunque son muy

elementales, ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones, polígonos,

línea recta, triángulos congruentes, puntos y rectas notables de un triángulo,

simetría central, eventos independientes, mutuamente excluyentes y gráficas de

línea, lo más relevante para el tema logaritmos es potencias y notación científica,

en el cual se estudian productos de potencias con la misma base, potencias de

potencias, cocientes de potencias, exponentes negativos y notación científica, lo

que en realidad es teoría de los exponentes, sólo faltaría estudiar la potencia cero.

Matemáticas III tomo I, se tiene: congruencia de triángulos, cuadriláteros,

recta circunferencia ángulos semejanza de triángulos experimentos estadísticos,

ecuaciones no lineales, solución por factorización, razón de cambio y productos

notables, de este libro lo rescatable en cuanto al tema investigado es la práctica

con productos notables.

En Matemáticas III tomo II, relaciones funcionales y expresiones

algebraicas, gráficas, características de gráficas no lineales, gráficas por pedazos,

resolución de ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones, teorema de Tales,

figuras homotéticas, diferencias en sucesiones, teorema de Pitágoras, razones

trigonométricas, crecimiento exponencial y lineal, representación de la

información, cono, cilindro y su volumen, gráfica cajabrazos.

En este último tomo se tiene el acercamiento más importante a los

logaritmos dado que se estudia el crecimiento exponencial de base 2 y lo compara

con un crecimiento lineal, se ejercita en identificar un crecimiento exponencial, lo

ejemplifica mediante un crecimiento bacterial y el interés compuesto, asociándolo

a su gráfica, la práctica lleva al estudiante a descubrir que el crecimiento

exponencial es mayor que el lineal, se estudia la depreciación como un

decrecimiento exponencial identificando su gráfica.


86

El análisis de los programas de matemáticas de nivel medio básico y los

libros para su aprendizaje, demuestra que éstos últimos se apegan a los

programas correspondientes, y el tema logaritmos no aparece en los programas y

tampoco en los libros de matemáticas empleados para su estudio.

6.1.2 Análisis de programas de matemáticas de nivel medio superior

En el nivel medio superior la asignatura de matemáticas se estructura de

acuerdo a su desarrollo y grado de complejidad, de forma clásica, como se

muestra:

1. Aritmética

2. Álgebra

3. Geometría

4. Trigonometría

5. Geometría Analítica

6. Cálculo Diferencial

7. Cálculo Integral

Ahora bien esta estructura no ha permanecido intacta, por el contrario ha

sufrido cambios en los temas vistos de cada rama ya que, se han adecuado a las

aplicaciones científicas y tecnológicas vigentes, y a los perfiles de egreso de cada

subsistema, pues en algunos casos este nivel se enfoca, en darle al estudiante los

elementos necesarios para decidir qué carrera ha de estudiar, entonces, la

preparación es multidisciplinaria, en otros casos, este nivel se concibe como un

elemento de formación profesional a nivel técnico, y la matemática que se enseña

es específica y apropiada a la carrera técnica que se estudia.

En términos generales, las matemáticas en el nivel medio superior se

enfocan, para lograr en el estudiante, la habilidad de describir situaciones

concretas, mediante algoritmos, así como, una formación que le permita acceder a

la educación de nivel superior.


87

Los programas aplicados por los diversos subsistemas de nivel medio

superior de 1993 a 2001 se sintetizan en la siguiente tabla.

TABLA 12 PROGRAMAS APLICADOS AL SUBSISTEMA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR 1993-2005


88

En términos generales los temas de cada asignatura de la tabla anterior son

los siguientes.

Aritmética Álgebra Geometría y Trigonometría

• Sistemas numéricos

• Números reales

• Razones y proporciones

• Lenguaje Algebraico

• Monomios y polinomios

• Fracciones algebraicas

• Ecuaciones lineales

• Ecuaciones lineales (sistemas)

• Ecuaciones cuadráticas

• Inecuaciones

• Productos notables y factorización

• Potencias y raíces

• Resolución de problemas.

• Funciones

• Logaritmos

• Conceptos básicos

• Recta

• Ángulos

• Triángulos

• Polígonos

• Círculos

• Sólidos

• Áreas y perímetros

• Funciones trigonométricas

• Círculo trigonométrico

• Teorema de Pitágoras

• Identidades trigonométricas

• Resolución de triángulos

a) Rectángulos b) Oblicuángulos


89

Geometría Analítica Precálculo Cálculo Diferencial

• Sistemas

Coordenados

• Distancia entre puntos

• División de un

segmento

• Área de polígonos

• Lugar geométrico

• Línea recta

• Circunferencia

• Parábola

• Elipse

• hipérbola

• Graficación

• Variación gráfica

• Lugares geométricos

• Funciones algebraicas

y trascendentes

• Producto Cartesiano

• Operaciones con

funciones

• Límites y continuidad

• Números reales

• Desigualdades

• Sucesiones y series

• Funciones y sus

gráficas

• Límites y continuidad

• Conocimiento intuitivo

de la derivada

• Derivada

• Fórmulas (algebraicas

y trascendentes)

• Aplicaciones

• Puntos críticos y de

inflexión

• Máximos y mínimos.


90

Cálculo Integral Estadística y

Probabilidad

Matemáticas

Financieras

• Diferencial

• Integral indefinida

• Integral directa

• Métodos de

integración

• Integración definida

• Área bajo la curva

• aplicaciones

• Estadística descriptiva

• Manejo de da datos y

graficación

• Medidas de tendencia

central

• Medidas de dispersión

• Teoremas de

probabilidad

• Conteo

• Distribución de

probabilidad normal

• Razones y

proporciones

• Porcentaje

• Interés simple

• Interés compuesto

• Interés sobre saldos

• Anualidades

• Introducción a la

investigación de

operaciones.

TABLA 13 CONTENIDO TEMÁTICO DE LOS PROGRAMAS DEL SUBSISTEMA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR 1993-2005

Revisando el contenido de los programas el tema de logaritmos aparece en

la asignatura de Álgebra como el último tema y en la asignatura de Pre cálculo

aparecen las funciones trascedentes, dentro de las cuales se encuentran las

funciones logarítmicas y exponenciales, sin embargo en los programas de

bachillerato 2005 - 2008 el tema logaritmos se estudia después del tema función

exponencial y logarítmica, en el programa de matemáticas IV, como se puede

apreciar en el siguiente apartado tomado del programa de estudios.


91

Contenido

Objetivos temáticos

4.1. Función exponencial Resolverá problemas teóricos o prácticos susceptibles de modelarse mediante funciones exponenciales o logarítmicas utilizando su interrelación como funciones inversas y sus propiedades tanto gráficas como algebraicas.

4.1.1.Concepto de función exponencial • Notación • Dominio y rango • Crecimiento y decaimiento

exponencial

4.1.2. Variación exponencial • Valores de x y razones

constantes de la función • Obtención de la función

algebraica correspondiente • Taza y función de

crecimiento

4.1.3. El numero e • Caracterización e importancia • Función exponencial natural

TABLA 14 PROGRAMA 2005 DE MATEMÁTICAS IV FUNCIÓN EXPONENCIAL


92

Contenido Objetivos temáticos

4.2. Función logarítmica Resolverá problemas teóricos o prácticos susceptibles de modelarse mediante funciones logarítmicas utilizando su relación de función inversa de la función exponencial, sus propiedades gráficas y algebraicas y la simplificación de operaciones y expresiones con exponentes y logaritmos.

4.2.1.Concepto de función logarítmica • Logaritmo de un número. • Función logaritmo como

inversa de la función exponencial

• Grafica de la función logarítmica

• Dominio y Rango.

4.2.2. Logaritmos comunes y naturales. • Definición y propiedades • Operación con logaritmos • Cambio de base

4.3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. • Métodos de resolución

algebraica.

Resolverá ecuaciones simples que contengan expresiones logarítmicas y exponenciales aplicando las propiedades de exponentes y logaritmos y su relación como operaciones inversas.

TABLA 15 PROGRAMA 2005 DE MATEMÁTICAS IV FUNCIÓN LOGARÍTMICA

En el programa se observa que el primer tema se refiere a la función

exponencial, la cual vista de ese modo se descontextualiza del tema logaritmos y

su relación inversa con ellos, sin embargo, el objetivo temático marca la utilización

de la función exponencial o logarítmica para modelar situaciones problemáticas,

sin que ésta última haya sido vista, ya que, se estudia después. En el segundo

apartado se aborda la función logarítmica y su relación con la exponencial,

posteriormente logaritmo concepto, cálculo, propiedades, es decir primero se

estudia la función logarítmica y su relación con la exponencial sin que medie el


93

estudio de logaritmo, ya que éste se ve después, junto con sus propiedades y

calculo (da la impresión que es más importante que el estudiante mecanice como

graficar la función que la función misma), por último se aborda el tema de

ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

De acuerdo al mapa conceptual sobre la construcción del concepto

logaritmo, la función exponencial para su aprendizaje requiere de los objetos

matemáticos, logaritmo y exponencial, como conocimientos previos.

Para que el logaritmo y la exponencial, se consideren objetos matemáticos,

la teoría APOE, establece que se tiene que interactuar con ellos, hasta que se

reconozca el proceso de transformación, es decir, es necesario calcular logaritmos

y convertirlos a la forma exponencial, las veces que sea necesario hasta que el

estudiante pueda realizar este proceso sin ninguna duda, y así ser encapsulado y

guardado en su red cognitiva como objeto matemático, para que, cuando el

proceso sea requerido se desencapsule y aplique. Retomando, para comprender

el comportamiento de la función exponencial o logarítmica, es necesario utilizar

estos objetos matemáticos, los cuales, si es que llegan a implantarse como tales,

serán vistos después del estudio de las funciones mencionadas.

Recuérdese que los programas del nivel anterior no contenían el tema

logaritmos, así es que, el estudiante no tiene idea de ellos, entonces

didácticamente es muy difícil que el estudiante entienda realmente esta función y

casi imposible que la pueda aplicar para resolver problemas.

El estudiante enfrenta la función exponencial con el único antecedente de

crecimiento exponencial visto en secundaria (después de un lapso de 2 años),

pero dado el tiempo transcurrido, no se sabe, que tanto recuerda del tema, para

que se considere guardado como un objeto matemático, así mismo no ha tenido

contacto con el número e no sabe que significa ni qué valor tiene y más aún ni

siquiera tiene idea de cómo obtener su valor con la calculadora. El aprendizaje de

esta función trae consigo aprender e interactuar con nuevos y antiguos

conocimientos, pero la interactuación no se presenta en el sentido didáctico de la


94

construcción del conocimiento, lo que dificulta su aprendizaje, incluso puede

resultar que éste, no sea significativo para el estudiante porque los conocimientos

básicos apenas están siendo asimilados y acomodados en su mente.

En cuanto a la función logarítmica ocurre lo mismo que en la exponencial, el

estudiante calcula logaritmos ayudado de la calculadora, sin tener idea de qué es

un logaritmo y todo se reduce a una operación mecánica sin sentido, ya que, el

programa introduce el cálculo de logaritmos, para abordar la función logarítmica, y

el tema siguiente es concepto, cálculo y propiedades de los logaritmos (la parte

mecánica del cálculo de la función prevalece sobre su comprensión),

En lo que se refiere a la articulación de saberes, la función exponencial y

logarítmica no tiene ningún conocimiento previo que las articule con su red

cognitiva, este conocimiento es nuevo y queda aislado de dicha red.

Por otro lado, para que el estudiante resuelva ecuaciones exponenciales y

logarítmicas, necesita tener bien identificado como pasar una función logarítmica a

su inversa la exponencial y viceversa (como objetos matemáticos), además de la

aplicación de las propiedades de los logaritmos, lo cual no se ve reflejado en el

programa, porque en el contenido, marca cálculo de logaritmos, pero, en el

objetivo solamente solución de ecuaciones.

A partir del ciclo escolar 2009 – 2010 la Dirección General de Bachillerato,

incorporó en su plan de estudios, los principios básicos de la Reforma Integral de

la Educación Media Superior (RIEMS), con el propósito de fortalecer y consolidar

la identidad de este nivel educativo en todas su modalidades y subsistemas;

proporcionar una educación pertinente y relevante al estudiante que le permita

relacionar su educación escolar y el entorno, así como, el tránsito académico a los

diversos subsistemas y escuelas, teniendo como eje principal un Marco Curricular

común en todas las instituciones de bachillerato que promueve el desarrollo de

competencias.


95

A través de este marco el estudiante debe desarrollar competencias

genéricas aplicables a diversos contextos, competencias disciplinares para

participar en la sociedad del conocimiento y continuar con sus estudios superiores

y por último debe desarrollar capacidades específicas mediante las competencias

profesionales para su posible inserción laboral.

En este último plan de estudios 2009 – 2011 existe un tronco común en los

cuatro primeros semestres, posteriormente en 5° semestre hay una formación

propedéutica y por último en 6° semestre se tiene una formación profesional.

PLAN DE ESTUDIOS DE MATEMÁTICAS 2009 – 2011 (TRONCO COMÚN)

MATEMÁTICAS I

BLOQUE TEMA

I Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

II Utilizas magnitudes y números reales

III Realizas sumas y sucesiones de números

IV Realizas transformaciones algebraicas I

V Realizas transformaciones algebraicas II

VI Resuelves ecuaciones lineales I

VII Resuelves ecuaciones lineales II

VIII Resuelves ecuaciones lineales III

IX Resuelves ecuaciones cuadráticas I

X Resuelves ecuaciones cuadráticas II

TABLA 15 PROGRAMA DE MATEMÁTICAS I


96

Como se puede apreciar en este programa se estudian algunas relaciones

de números, así como ecuaciones lineales y cuadráticas, pero nada relacionado

con logaritmos o forma exponencial del logaritmo.

MATEMÁTICAS II

BLOQUE TEMA

I Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas.

II Comprendes la congruencia de triángulos.

III Resuelves problemas de semejanza de triángulos y Teorema de Pitágoras.

IV Reconoces las propiedades de los polígonos.

V Reconoces las propiedades de la circunferencia.

VI Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

VII Aplicas las funciones trigonométricas.

VIII Aplicas las leyes de los senos y cosenos.

IX Aplicas la estadística elemental.

X Empleas los conceptos elementales de la probabilidad.

TABLA 16 PROGRAMA DE MATEMÁTICAS II

En matemáticas II el estudio es sobre geometría plana y trigonometría, de

ésta última las relaciones trigonométricas y su aplicación sin considerar las

funciones trascendentes donde se ubica la función logarítmica y exponencial.

En tanto que, en matemáticas III se estudia geometría analítica,

específicamente los lugares geométricos, recta, circunferencia, parábola y elipse.


97

MATEMÁTICAS III

BLOQUE TEMA

I Reconoces lugares geométricos

II Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

III Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico.

IV Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta.

V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia.

VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse.

TABLA 17 PROGRAMA DE MATEMÁTICAS III

MATEMÁTICAS IV

BLOQUE TEMA

I Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones.

II Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas.

III Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos.

IV Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro.

V Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas.

VI Aplicas funciones racionales.

VII Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas.

VIII Aplicas funciones periódicas.

TABLA 18 PROGRAMA DE MATEMÁTICAS IV


98

En este nuevo plan de estudios se encuentra el tema función logarítmica y

exponencial en matemáticas IV en el bloque VII titulado Utiliza Funciones

Exponenciales y Logarítmicas. Para realizar un análisis del tema se presenta el

bloque en cuestión:

UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

OBJETOS DE APRENDIZAJE COMPETENCIAS A DESARROLLAR

• Función exponencial • Función logarítmica • Gráfica de la función

exponencial y logarítmica • Propiedades de los

exponentes • Propiedades de los

logaritmos • Cambio de una expresión

exponencial a una logarítmica y viceversa

• Ecuaciones exponenciales • Ecuaciones logarítmicas

• Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

• Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

• Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. • Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. • Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y

la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

• Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.

• Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

• Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales

• Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso delas tecnologías de la información y comunicación.

• Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

• Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y propiedades físicas de los objetos que lo rodean

• Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos


99

Actividades de Enseñanza

Actividades de Aprendizaje

Instrumentos de Evaluación

Explicar, con los medios o materiales didácticos que se disponga, el campo de aplicación de las funciones exponenciales y logarítmicas, así mismo describir brevemente las propiedades de estas últimas. Solicitar a los estudiantes elaboren un resumen de las propiedades de los exponentes y los logaritmos.

Investigar y resumir las propiedades de los exponentes y los logaritmos. Tabular una función exponencial considerando algunos elementos de su dominio.

Rúbrica para efectuar una autoevaluación de ejercicios de descripción de las funciones y las tablas con sus respectivos dominios y contradominios.

Elaborar una relación de algunas situaciones en las cuales se presenta el comportamiento de crecimiento exponencial de un fenómeno determinado. Solicitar a los alumnos y alumnas un listado de situaciones de la vida cotidiana que suceden en su hogar, comunidad, industria, naturaleza, etc., donde se manifiesten fenómenos que pueden ser descritos con funciones exponenciales o logarítmicas.

Indagar y elaborar una lista describiendo aquellas situaciones o fenómenos en los que se puede observar comportamientos exponenciales o logarítmicos y que por lo tanto se pueden representar por funciones de esos tipos.

Lista de cotejo para efectuar una Coevaluaciòn con criterios suficientes para revisar los listados y descripciones de las situaciones o fenómenos con carácter exponencial o logarítmico. Anexar en la lista de cotejo componentes para evaluar aspectos actitudinales y de valores, como son puntualidad, responsabilidad, respeto entre otros.

Elaborar una presentación, con los recursos a su alcance, sobre la tabulación y gráficas de funciones exponenciales con diferentes bases empleando alguna graficadora o en su defecto en pizarrón. Pedir a los alumnos y alumnas que formen equipos y construyan las tablas y gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas.

Organizar equipos y representar gráficamente funciones exponenciales y logarítmicas haciendo notar que ambas funciones son inversas.

Rúbrica para realizar una coevaluación de la tabulación y graficación de las funciones exponenciales y logarítmicas, incluyendo en su escala la valoración del trabajo colaborativo, la iniciativa personal en el aprendizaje propio y el respeto entre géneros

Seleccionar algunos ejercicios para realizar el cambio de forma exponencial a la logarítmica y viceversa. Proponer una lista de problemas tipo sobre el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional, depreciación. Elaborar una relación de problemas tipo, cuyo modelo matemático corresponda a funciones logarítmicas o exponenciales.

Resolver ejercicios donde cambia de la forma exponencial a la logarítmica y viceversa. Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Resolver, en equipos, problemas de interés compuesto, crecimiento o decrecimiento poblacional, depreciación, etc.

Lista de verificación para efectuar una auto evaluación de las transformaciones realizadas en funciones logarítmicas y exponenciales. Rúbrica para realizar una coevaluación de la solución de problemas, incluyendo en su escala la valoración del trabajo colaborativo, la iniciativa propia en el aprendizaje y el respeto entre géneros.

TABLA 19 PROGRAMA DE MATEMÁTICAS IV BLOQUE VII


100

Como se recordará en el análisis realizado a secundaria se encontró que, el

tema logaritmos fue excluido del currículo, y de acuerdo al programa vigente, se

inicia este bloque con el estudio de la función exponencial, por tanto, este

conocimiento no está articulado con otros conocimientos, ya que, los logaritmos y

la exponencial son el conocimiento previo, para el estudio de la función y no han

sido estudiados. Considerando la teoría del constructivismo, este saber no puede

ser acomodado dentro de la red cognitiva por la falta de conocimientos previos,

ahora bien, Vygotsky dice que el cambio cognitivo se da en la zona de desarrollo

próximo, y esta zona no existe, por tal razón aunque la interacción interpersonal

con los demás estudiantes y el profesor se haya dado, este conocimiento queda

aislado y no será significativo porque no está relacionado con otro que ya posea

de acuerdo con la teoría de Ausubel.

Para mostrar que conocimientos debe tener el estudiante y como son

utilizados dentro de la función exponencial o logarítmica, se presenta el desarrollo

de estas funciones:

La función exponencial y logarítmica se forma a raíz de la invención de los

logaritmos y con ellos expresar una cantidad en forma exponencial o su inversa

en forma logarítmica, dado que una implica a la otra, es decir,

Forma exponencial 2w = 32

Su inversa ?@AK32 = 5 forma logarítmica

Las funciones nacen de esta concepción y la inclusión de variables,

Función exponencial �Q = � su inversa

Función logarítmica / = ?@Ak� con notación funcional,

[�/ = �Q y su inversa [�/ = ?@Ak/

Función exponencial


101

Se le llama función exponencial, a la función cuya variable independiente

es el exponente de la base, y se denota como:

x = �( donde �yz

El comportamiento de la función exponencial no es el mismo, para una

base mayor de uno, que para una base menor de uno pero mayor que cero, por lo

que se realizará el análisis por separado.

Comportamiento de una función exponencial de base a, para a >1

f: R → R

FIGURA 9 FUNCIÓN EXPONENCIAL

f(x) = ax donde a ε R

Es una función creciente con las siguientes propiedades:

1) p�� / = 0, la función toma el valor de 1: [�0 = �8 = 1

2) p�� / = 1, la función toma el valor de �: [�1 = �7 = �

3) La función es positiva para cualquier valor de /: [�/ > 0 (la potencia de

cualquier base positiva es número positivo)

4) La función es creciente porque la base � > 1


102

5) Es una función continua.

El comportamiento de la función cambia para una base 0 < � < 1

La función es decreciente, y si la base es una fracción con numerador 1,

entonces:

[�/ = �Q, j` � = 12

[�/ = 4126

Q= 1Q

2Q = 12Q = 2�Q

Se convierte en una función de base � > 1, pero el exponente es negativo, y por

lo tanto, se comporta como una función decreciente, de forma contraria a la

función con exponente positivo que es creciente.

Las propiedades de una función [�/ = ��Q, son:

1) p�� / = 0, la función toma el valor de 1: [�0 = �8 = 1

2) p�� / = 1, la función toma el valor de �: [�1 = ��7 = 7k

3) La función es positiva para cualquier valor de /: [�/ > 0 (la potencia de

cualquier base positiva es un número positivo)

4) La función es decreciente porque la base � < 1

5) Es una función continua.

Función logaritmo

La función logarítmica de base � es aquella función que le asigna a cada

número su logaritmo en base �.

[�/ = ?@Ak /

La función logarítmica está definida en el conjunto de los números reales

positivos, exceptuando el cero (ya se explicó en la definición de logaritmo que los

números negativos y el cero no tienen logaritmo),


103

W[: z� − {0|, j`, z� − {0| = �0, +∞

W[: �0, +∞

?@Ak: z� − {0| → z

Para el análisis de la función logarítmica conviene distinguir entre bases

mayores que uno y menores que uno.

Función logarítmica con base � > 1

FIGURA 10 FUNCIÓN LOGARÍTMICA

a) La función es creciente

b) El logaritmo de uno es cero: ?@Ak1 = 0

c) El logaritmo de la base es uno:?@Ak� = 1

d) El logaritmo de números entre 0 y 1 es negativo: ?@Ak7k = −1

e) Los números � > 1 tienen logaritmo positivo:

j`, ?@Ak1 = 0, �, � > 1, Y�i@�PYj, ?@Ak� > 0 Función logarítmica con base � < 1

a) La función es decreciente y continua

b) El logaritmo de uno es cero: ?@Ak1 = 0

c) El logaritmo de la base es uno:?@Ak� = 1


104

d) El logaritmo de números entre 0 y 1 es positivo, si son menores que la base

pero si son mayores que la base son negativos:

j` � < 1, Y�i@�PYj, �� < �, p@� ?@ i��i@, ?@Ak�� = �

pY�@, j` d > �, �, �� = 1�� > �, Y�i@�PYj, ?@Ak d < 0

e) Los números � > 1 tienen logaritmo negativo:

j`, � < 1, Y�i@�PYj, 1� > 1, p@� ?@ i��i@, ?@Ak

1� = −1

Se ha dicho que la función exponencial es la inversa de la logarítmica y

viceversa, y para comprobar que una función es la inversa de otra basta con

intercambiar las variables independiente y dependiente en una de las dos

funciones y despejar la variable dependiente comprobando que se obtiene la otra

función.

x = g"h� (, `�iY�P�lO`��@ ��`�O?Yj, ( = g"h� x

�YjpYb��@ �, x = �(, �oY Yj ?� [o�P`ó� Y/p@�Y�P`�?

Graficando estas funciones se observa que son simétricas respecto de la

bisectriz de los cuadrantes primero y tercero. Ver fig. 11

Sean dos funciones f y g, donde f es la función exponencial y g la

logarítmica,

[�/ = �Q, �, A�/ = ?@Ak/

En la gráfica se puede apreciar que, f es reflexión de g, con respecto de la

recta y = x y a su vez g es reflexión de f respecto de la misma recta, lo que

demuestra que son inversas.


105

FIGURA 11 FUNCIONES LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL

Si dos funciones � x h son inversas, entonces el dominio de � es la imagen

de h, y el dominio de h es la imagen de �, para toda ( en el dominio

correspondiente.

Si, � = h��, y h es la función logarítmica con �h = �m, ∞

Entonces, z� = �m, ∞

La función logaritmo puede tener diversas bases, sin embargo las más

utilizadas son, x = �� (, y x = g� ( cuyas bases son 10 y e respectivamente.

En el desarrollo presentado de las funciones logarítmica y exponencial se

observa que la noción logaritmo es utilizada como herramienta para el análisis de

las funciones, considerando la teoría de Douady (1995)

“Mediante su constructo teórico “dialéctica herramienta-objeto y juegos de

marcos o contextos” propone la comprensión de las implicaciones y

significados de aprender en situación escolar centrando su interés en el


106

aprendizaje dentro del aula y en el análisis de la micro sociedad alumno,

docente y saber matemático” en Ferrari (2001)

La dialéctica herramienta-objeto organiza los roles del profesor y del alumno

en tanto que, los conceptos matemáticos juegan alternativamente el papel de

“herramienta”, para resolver el problema de “objeto”, al tomar un lugar en la

construcción de un conocimiento organizado, entonces, un individuo aprende un

saber con su doble status, de herramienta y de objeto, y un profesor enseña

cuando crea las condiciones que producen, a la larga, en el alumno un saber.

La dualidad herramienta – objeto requiere, de acuerdo con la teoría APOE,

que la noción logaritmo sea sometida a una interacción, manipulación o

transformación repetida, que lo interioriza, de tal manera que el estudiante pueda

realizar dicha transformación sin llevar acabo todos los pasos, o bien en forma

mental, convirtiendo esta interacción en un proceso, el cual se encapsula para ser

guardado como un objeto matemático, en su red cognitiva, y así, cuando se

requiera realizar nuevamente el proceso, éste sea desencapsulado y utilizado

como herramienta.

En el estudio de las funciones exponencial y logarítmica se utiliza al

logaritmo como herramienta, y de acuerdo con Douady (1995), primero debe estar

instalado como objeto, para posteriormente ser utilizado como herramienta, pero

en los programas de secundaria, el estudio de los logaritmos ya no se contempla y

en bachillerato, ha desaparecido el cálculo con logaritmos, quedando solamente el

estudio de las funciones, entonces, no se puede convertir en objeto matemático,

un proceso que no se ha realizado, porque, la interacción con los logaritmos ha

desaparecido, de los programas de secundaria y bachillerato, eso deja entrever

que, con respecto a las funciones logarítmica y exponencial quedan muchas

preguntas sin respuesta, como:

¿Cómo sabe el estudiante que el g"h m = �?, porque es el resultado que

arroja la calculadora, pero este número no tiene significado, si la calculadora le

dijera 100 él lo creería porque no existe el análisis del concepto logaritmo,


107

solamente una función matemática cuyos resultados se obtienen en la calculadora

y por lo tanto es la que sabe el cálculo de dicha función y en consecuencia sus

resultados son correctos.

¿Cómo entender el comportamiento de la función logarítmica o exponencial

en un intervalo m < / < 1 ? nuevamente la respuesta es: la calculadora es la que

sabe el cálculo de la función en ese intervalo, y si, se diera un análisis,

probablemente, algo habrá de entender de esa función en ese intervalo.

Pero si se cambia la base de los logaritmos, de tal manera que no sea

�m " �, la calculadora no podrá ayudarlo, a menos que el profesor le indique como

teclear para calcularlo, y si la base es un número m < / < 1 la situación sale de su

entendimiento, aún con la ayuda de la calculadora.

Continuando con el análisis del programa, el cual marca, dentro de las

actividades de aprendizaje, que el estudiante debe buscar relaciones que se

puedan modelar empleando estas funciones, pero ¿Cómo ha de hacerlo? cuando

no ha tenido ningún contacto con el concepto logaritmo y la forma exponencial, es

más para efectuar transformaciones de la forma exponencial a la logarítmica y

viceversa, estudian primero la teoría de los exponentes y las propiedades de los

logaritmos, lo que resulta incongruente, siendo la teoría de los exponentes un

conocimiento básico, para la comprensión de los logaritmos y la exponencial, se

estudie después de las funciones, y que las propiedades de los mismos se

estudien sin que medie ni siquiera la idea de logaritmo, ni como se calcula porque

está implícito en la utilización de la calculadora, sin embargo con esta carencia de

saberes sobre los logaritmos, el estudiante debe lograr un conocimiento lo

suficientemente profundo, para poder distinguir problemas cuyas variables se

relacionen en forma exponencial o logarítmica y aplicar dichas funciones en su

solución. En lo que respecta a ecuaciones exponenciales y logarítmicas el

estudiante debe aplicar los saberes acerca de logaritmos para su solución, sin que

éstas hayan sido practicadas.


108

En cuanto a los textos, se realizará el análisis de los mismos utilizados en el

bachillerato de DGETI, de acuerdo a la reforma curricular del 2004. Se eligió

realizar el análisis de estos libros porque fueron elaborados para el sistema con

base en sus programas de estudio, aunque no a la última reforma, sin embargo su

uso es vigente, al menos hasta el semestre junio-diciembre de 2011.

Análisis de los libros de texto para nivel medio superior de la

colección DGETI

Libro de Álgebra (María Teresa Sada García, 2005) maneja una

Introducción sobre conceptos fundamentales acerca de los números, que

comprende clases de números, jerarquía de las operaciones, propiedades de las

operaciones, operaciones con números enteros, con números racionales,

potenciación y radicación. Maneja dos capítulos.

Capítulo 1: Lenguaje Algebraico, .que comprende expresión algebraica,

lenguaje común y algebraico, términos semejantes, operaciones fundamentales

suma, resta, multiplicación, división de expresiones algebraicas, radicación de

monomios, productos notables, factorización y fracciones algebraicas.

Capítulo 2: Ecuaciones, igualdad, ecuaciones de primer grado, sistemas de

ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas e inecuaciones de primer grado con

una incógnita.

Libro de Geometría y Trigonometría (Szklars Zarska, Gutiérrez Carbajal,

2011), consta de tres capítulos:

Capítulo 1, Geometría Plana: Introducción a la geometría que comprende

antecedentes históricos, razonamiento lógico, axioma, teorema y corolario y

conceptos básicos de la geometría. Puntos, rectas y axiomas de la geometría

euclidiana que trata, puntos y rectas en un plano, semirrecta, segmento y su

medida, así como axioma del paralelismo, ángulos que estudia, ángulo y su

notación, medida sexagesimal de los ángulos, clasificación de los ángulos y

teoremas sobre ángulos. Triángulos y sus propiedades, que abarca elementos de


109

un triángulo y su notación, clasificación, propiedades y congruencia de triángulos,

rectas y puntos notables de un triángulo, proporcionalidad de segmentos y

teorema de Tales, semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras. Polígonos,

que trata: su notación, clasificación, diagonales y ángulos de los polígonos

convexos, clasificación y propiedades de los cuadriláteros, perímetro y área de

polígonos comunes. Circunferencia y círculo, que estudia: circunferencia, círculo y

sus elementos, ángulos y figuras relacionadas con la circunferencia y el círculo,

perímetro de la circunferencia, el número π, área del círculo.

Capítulo 2, Trigonometría: comprende, Introducción a la trigonometría,

Razones trigonométricas deducidas de un triángulo rectángulo, definición de razón

trigonométrica, concepto de función trigonométrica, valores exactos de las razones

trigonométricas y resolución de triángulos rectángulos. Funciones trigonométricas,

concepto de ángulo y su medición, funciones trigonométricas de ángulos, gráficas

de funciones trigonométricas, ley de senos y cosenos, resolución de triángulos

oblicuángulos. Identidades trigonométricas, identidades trigonométricas

fundamentales y sus aplicaciones, identidades trigonométricas de suma y resta de

ángulos identidades trigonométricas del doble y mitad de un ángulo.

Capítulo 3, Ecuaciones Trascendentes. Introducción a las ecuaciones

trascendentes. Ecuaciones trigonométricas, concepto y resolución de ecuaciones

trigonométricas. Ecuaciones exponenciales, concepto de ecuación exponencial y

resolución de ecuaciones exponenciales. Ecuaciones Logarítmicas, concepto de

logaritmo y sus propiedades, logaritmos comunes y logaritmos naturales, cálculos

simples con logaritmos empleando la calculadora y resolución de ecuaciones

logarítmicas.

En este último capítulo para abordar las ecuaciones exponenciales, el libro

primero realiza un breve estudio de potenciación y teoría de los exponentes para

utilizar como método de solución el expresar ambos miembros de la ecuación

como potencias de la misma base.


110

Para el caso de las ecuaciones logarítmicas el tratamiento es diferente se

estudia primero concepto de logaritmo, propiedades del logaritmo, logaritmos

decimales y naturales, cálculo de logaritmos en la calculadora y por último

solución de ecuaciones logarítmicas.

Libro de Cálculo (Orduño Vega, 2007), consta de cinco capítulos, tres de

Cálculo Diferencial y dos de Cálculo integral.

Capítulo 1: Las funciones en el contexto de los problemas de máximos y

mínimos.

Inicia con introducción, resolución de problemas de máximos y mínimos

utilizando precálculo, posteriormente aborda el tema de las funciones iniciando

con la conceptualización de los tipos de variables, función, dominio y rango de una

función, así como su gráfica, por último resolución de problemas de máximos y

mínimos asistidos con computadora y recapitulación de la Unidad I para confirmar

los conocimientos adquiridos, una autoevaluación, y un problemario.

Capítulo 2: Las funciones, el límite y la derivada.

Trata los temas funciones, polinomiales, trascendentes y operaciones con

funciones, posteriormente la recta secante y la recta tangente, el límite y

finalmente la derivada. En el tema funciones trascendentes se ven las funciones

exponencial y logarítmica, pero solamente como una referencia de que se utilizan

para resolver problemas de crecimiento de una población. Didácticamente no se

puede realizar ningún análisis.

Capítulo 3: aplicaciones de la derivada y más reglas para derivar

Los temas son: resolución de problemas de máximos y mínimos, estudio del

comportamiento gráfico de una función y más reglas para derivar. En el tema

graficación solo se tratan funciones polinomiales, en el tema de más reglas para

derivar ya aparecen las fórmulas para derivar funciones exponenciales y

logarítmicas, pero como parte de la resolución de ejercicios.


111

Capítulo 4: interpretación geométrica de la integral

Concepto de área, área bajo la gráfica de una función, sumatorias, cálculo

del área bajo la gráfica de un función utilizando sumatorias, la integral y su

relación con el valor del área bajo la gráfica de una función.

Capítulo 5: el Teorema Fundamental del Cálculo e integración de funciones

Temas; el Teorema Fundamental del Cálculo, aplicación del Teorema

Fundamental del Cálculo para determinar el área bajo una curva, integración de

funciones utilizando las reglas básicas, métodos y técnicas de integración.

Concluyendo, en el nivel medio superior, el programa de matemáticas

vigente ha eliminado el cálculo de logaritmos y solamente se estudian las

funciones logarítmica y exponencial, y las propiedades de los logaritmos, si bien

es cierto que en el libro de trigonometría de la DGETI, para resolver ecuaciones

logarítmicas, éstos se estudian como medio de resolución de las ecuaciones,

operando la calculadora, mientras el concepto y propiedades, son referencia para

el alumno en la solución de dichas ecuaciones, este tratamiento no es suficiente

para que el estudiante conceptualice a los logaritmos.

El desgaste, envejecimiento y exclusión de los logaritmos, como cálculo

numérico, abarca, no solamente el nivel medio básico, sino, hasta el nivel medio

superior, permaneciendo las funciones por su trascendencia y aplicación, sin

considerar la noosfera, las implicaciones didácticas tan adversas, para el

conocimiento y aplicación de las mismas funciones, y del estudio de matemáticas

avanzadas.

Se puede concluir en la parte cognitiva, que el estudio de las funciones

logarítmica y exponencial, planteado de esta forma es un conocimiento aislado sin

conocimientos previos, ni zona de desarrollo próximo y en consecuencia no es

significativo.


112

En la parte didáctica de acuerdo a la teoría APOE, los logaritmos y la

exponencial no logran convertirse en objetos matemáticos por la falta de

interacción entre ellos, en consecuencia de acuerdo con la teoría de Douady,

estos conceptos difícilmente podrán ser utilizados como herramienta, en el estudio

de las funciones logarítmica y exponencial, lo que dificulta su aplicación en la

modelación y/o solución de problemas.

Referente a la articulación de saberes, como ya se dijo en la parte cognitiva,

el conocimiento de las funciones exponencial y logarítmica queda aislado, no hay

saberes que articular, el concepto de logaritmo no se estudia entonces las

propiedades, los mismos logaritmos y la exponencial, es posible que sean

entendidos como un invento de algún matemático que tuvo esa idea, y no son

conectados con su red cognitiva.

En cuanto a la epistemología de los logaritmos y exponencial o

antilogaritmo, se concluye, que se ha dejado perder la relación numérica, tan

maravillosa, que permite inventar o descubrir a los logaritmos, que como una

puerta mágica, nos descubre la comprensión de ellos y de las implicaciones tan

profundas en el campo de las matemáticas, cual enredadera comienza a penetrar

en otras áreas de las matemáticas, como es el caso del cálculo infinitesimal,

estadística, geometría, trigonometría, matemáticas financieras, e incluso de otras

ciencias como física, química y biología

6.1.3 Análisis de programas de matemáticas de nivel superior

Realizando el análisis de algunos de los programas de nivel superior, por

ejemplo presento dos programas de Matemáticas de Ingeniería en Mecatrónica.

La razón de haber elegido estos programas es por la tecnología que en esta

carrera deben aprender los estudiantes y en la cual los logaritmos están

totalmente inmersos, ya sea en la parte electrónica, o eléctrica, o en el control.


113

INGENIERIA EN MECATRÓNICA HOJA DE ASIGNATURA CON DESGLOSE DE UNIDADES TEMÁTICAS

1. Nombre de la asignatura Cálculo aplicado

2. Competencias Desarrollar proyectos de automatización y control, a

través del diseño, la administración y la aplicación de

nuevas tecnologías para satisfacer las necesidades del

sector productivo.

3. Cuatrimestre Primero

4. Horas Prácticas 30

5. Horas Teóricas 30

6. Horas Totales 60

7. Horas Totales por Semana Cuatrimestre

4

8. Objetivo de la Asignatura El alumno obtendrá las ecuaciones matemáticas para

representar sistemas eléctricos, electrónicos y

mecánicos utilizando análisis vectorial y calculo

diferencial e integral

Unidades Temáticas Horas

Prácticas Teóricas Totales

I. Análisis vectorial 5 5 10

I. Aplicaciones de cálculo diferencial 10 10 20

II. Aplicaciones de cálculo integral 10 10 20

III. Introducción al modelado 5 5 10

Totales 30 30 60


114

INGENIERÍA EN MECATRÓNICA HOJA DE ASIGNATURA CON DESGLOSE DE UNIDADES TEMÁTICAS

9. Nombre de la asignatura Ecuaciones diferenciales aplicadas

10. Competencias Desarrollar proyectos de automatización y control, a

través del diseño, la administración y la aplicación de

nuevas tecnologías para satisfacer las necesidades del

sector productivo.

11. Cuatrimestre Segundo

12. Horas Prácticas 48

13. Horas Teóricas 27

14. Horas Totales 75

15. Horas Totales por Semana Cuatrimestre

5

16. Objetivo de la Asignatura

El alumno evaluará las ecuaciones matemáticas de

sistemas eléctricos, electrónicos y mecánicos para

simular su funcionamiento ante diferentes condiciones

de operación

Unidades Temáticas Horas

Prácticas Teóricas Totales

IV. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales

10 5 15

V. Aplicaciones de transformadas de Laplace y su inversa

13 7 20

VI. Aplicaciones de transformadas y series Fourier

13 7 20

VII. Aplicaciones de función de transferencia y variables de estado

8 5 13

VIII. Aplicaciones de la transformada Z 4 3 7

Totales 48 27 75

TABLA 18 PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS NIVEL SUPERIOR


115

En los programas de nivel superior, como es de esperarse, no se encontró

el estudio de logaritmos, exponencial, funciones exponencial y logarítmica,

solamente sus aplicaciones, porque la enseñanza de estos conocimientos

corresponde a los niveles educativos anteriores, como se observa en los

programas de matemáticas de ingeniería en mecatrónica, en los cuales, se

contemplan aplicaciones de estos saberes en, cálculo diferencial e integral,

modelado, ecuaciones diferenciales, transformada de Laplace, función de

transferencia, entre otras.

En el análisis de libros utilizados en nivel superior, tampoco se encuentran

estos conocimientos explicados, en el mejor de los casos se hace alusión a su

aplicación y se da a conocer el resultado, o se habla de su comportamiento y por

tal razón se modela como, pero ya no hay explicación de su uso o

comportamiento, por la razón antes mencionada.

De lo antes dicho, se deduce que, existe una ruptura entre los saberes de

logaritmo y exponencial con sus respectivas funciones, porque de acuerdo con el

constructivismo, no hay bases sobre las cuales sustentar el conocimiento de las

mismas y sus aplicaciones en matemáticas avanzadas. Esto afecta a la didáctica

de nivel superior, en donde los saberes más avanzados no son entendidos y habrá

que dedicar tiempo de la asignatura para explicar los saberes de logaritmos, dado

que los conocimientos, se tienen que articular, sobre todo cuando se trata de

aplicaciones prácticas donde la parte conceptual juega un papel muy importante.

En el escenario escolar, la realización de la interacción entre alumno-

conocimiento-docente, se ve afectada, porque el conocimiento esta fuera del

entendimiento del estudiante, por falta saberes previos, y en el mejor de los casos,

el profesor retomará la enseñanza de estos saberes, sacrificando tiempo de su

programa de estudios, que probablemente no concluya, pero, en el peor de los

casos y sobre todo si el profesor tampoco tiene estos conocimientos claros,

porque no le fueron enseñados, dejará en manos del estudiante la investigación y


116

aprendizaje de estos saberes, que finalmente si no son entendidos, en la actividad

práctica de su profesión serán un obstáculo para su desarrollo.

6.1.4 Caracterización del fenómeno de la exclusión

Como ya se explicó en la investigación del marco socio histórico, hasta

antes de la década de los setenta, los logaritmos eran considerados un tema muy

importante dentro de los programas de estudio, por el amplio uso dentro del

cálculo numérico, pero con la aparición de la calculadora (desde 1972), este tema

quedó en desuso, esto es una muestra de cómo la irrupción de la tecnología tiene

incidencia sobre los saberes escolares de forma negativa, aunque permitida a su

vez por quienes toman las decisiones acerca del currículum.

Por otra parte, en el análisis epistemológico se da cuenta de la dificultad,

que representa para el estudiante el uso de los logaritmos, debido a que, cuando

su estructura no es comprendida, representa un obstáculo para su operatividad.

Ahora bien los llamados altos índices de reprobación son siempre una

preocupación para los funcionarios educativos, lo que requiere de una toma de

decisiones para reducirlos. En el caso de los logaritmos, en un momento dado se

le atribuyó, ser en parte, motivo de reprobación en matemáticas.

Estos tres aspectos son las principales causas, que explican la exclusión de

los logaritmos.

El fenómeno que se va gestando queda explicado por la teoría de

Chevallard (1995).

“El saber enseñado se gasta, desgaste moral u obsolescencia”,

“El saber enseñado envejece, pues un buen día se percibe que se ha vuelto

viejo en relación a la sociedad (saber sabio y saber banalizado), ya que el

envejecimiento biológico lo declara en desacuerdo con el desarrollo del

saber no escolarizado”.


117

El saber matemático de los logaritmos, se desgasta debido a la

obsolescencia por el uso de la calculadora, que los hace ver innecesarios para el

cálculo numérico, y entonces, ya no tiene sentido aprenderlos, la tecnología

mostrada en la calculadora y puesta al servicio de la sociedad, los convierten en

un saber envejecido, porque ya no es acorde con el desarrollo del saber no

escolarizado, en consecuencia la sociedad, está en desacuerdo con la enseñanza

de este saber.

“El desgaste del saber es el saber que deviene viejo en relación con la

sociedad, y dualmente, la sociedad que deviene vieja (desgastada), a través

de sus niños, en relación con el saber.

Concretamente, ese saber ya “no sirve”, los alumnos ya no llegan a

absorberlo, la frescura del (re)comenzar desaparece y a falta de poder

cambiar a los alumnos, se hace preciso cambiar al saber.

Así el desgaste del saber se diagnostica simultáneamente (y dualmente),

como crisis de la enseñanza”.

El reclamo de la sociedad, incluidos los profesores, consiste en que deben

excluirse del currículo.

Los logaritmos antes considerados un saber sabio, ahora ya no sirve y

carece de interés su aprendizaje, ocasionándose una crisis.

Para el sistema educativo, es necesario solventar la crisis y retomar el

equilibrio, para ello, la noosfera habrá de decidir cómo restablecerlo,

considerando la aplicación y utilización del conocimiento.

La noosfera son los profesores y autoridades del área de matemáticas que

pueden decidir acerca de los saberes del currículo.

“La noosfera tiene producción abundante tanto en los métodos de

enseñanza como en los contenidos a enseñar”.


118

Sin embargo, el equilibrio ha de restablecerse a través del control del

saber:

“El saber ofrece una variable de control muy sensible, que permite obtener

efectos espectaculares con menores gastos y sobre la cual la instancia

política tiene asegurado el control mediante sus programas, comentarios

oficiales y manuales que los explicitan”.

La noción logaritmo ha provocado dificultades en función de su

envejecimiento,

“Si surge una dificultad, a propósito de tal o cual noción o tipo de ejercicio,

es evidentemente posible suprimir esa noción o ese tipo de ejercicio.

Puede ser que incluso bloques enteros del saber enseñado pueden resultar

alcanzados por esta expulsión.

Fenómeno de vaciamiento de contenidos que se observa en ciertas épocas

de amplia apertura del sistema de enseñanza respecto de nuevos flujos de

alumnos”.

En este sentido, la noosfera habrá de decidir, si excluye al tema de los

logaritmos del currículo, para restablecer el equilibrio y que temas del saber sabio

habrán de enseñarse.

“Entonces la nooesfera opta por un reequilibrio mediante una

manipulación del saber, seleccionando los contenidos del “saber sabio”

que habrá que convertir a “saber a enseñar”, los cuales serán sometidos a

una transposición didáctica”.

Concluyendo: en los programas vigentes de secundaria el tema logaritmos

desapareció, y se asume que primeramente se produjo el desgaste del saber

logaritmos, ocasionando el envejecimiento de los mismos y como consecuencia la

exclusión de los logaritmos del currículo de secundaria.


119

El fenómeno se presenta porque la decisión fue tomada en función de la

opinión y no del espíritu científico, a decir de Bachelard

“el conocimiento científico nos prohíbe tener opiniones sobre cosas que no

conocemos bien, sobre cuestiones que no sabemos formular claramente”.

“Es necesario romper con el sentido común. El enemigo del conocimiento

científico es la opinión”.

“La opinión piensa mal porque no piensa, es el primer obstáculo que hay

que eliminar”. Bachelard (1971:159)

El conocimiento científico acerca de los logaritmos dejo de enseñarse y

aprenderse porque el primer obstáculo para adquirirlo que es la opinión, pesó más

que el mismo espíritu científico, se le dio más valor a la utilidad cotidiana del

conocimiento, que a la inmensa validez en la ciencia.

“La utilidad se convierte en una razón, en un principio de explicación y da

lugar a explicaciones finalistas sin ser científicas”.

“Lo que es verdadero sostiene Bachelard, lo es no porque sea útil, sino

porque es verdadero”.

La opinión basada en su utilidad fue “ya no se utilizan los logaritmos ya no

sirve ese conocimiento”, “ya no hay razón para enseñarlo”, explicación finalista

que por supuesto no es científica.

La teoría sobre el obstáculo epistemológico de Bachelard permite ver el

error de no enseñar el constructo logaritmos

“Frente a lo real, lo que cree saberse ofusca lo que debiera saberse”

(1948:16)

Lo real fue la opinión “ya no sirven” y lo que debiera saberse son las

implicaciones en la ciencia, el logaritmo es fundamental en la explicación de

fenómenos físicos, en aplicaciones tecnológicas, entre otras cosas.


120

“En la enseñanza de la ciencia si no hay problema no hay aprendizaje. Una

enseñanza desprovista de problemas desconoce el sentido real del espíritu

científico”.

Lo fácil no enseña, “cuanto más difícil es una tarea, tanto más educadora

es” (1948:47)

Parece que se busca la enseñanza de un saber, que no cueste trabajo

aprenderlo, pero esto resulta ser un contrasentido a lo que es el conocimiento

científico por sí mismo. Tal argumento sólo atiende a lo inmediato, sin preocuparse

por propiciar en los estudiantes una formación científica trascendente.

CAPÍTULO VII

EXPERIMENTACIÓN

En este capítulo se lleva a cabo la elaboración, aplicación y análisis de exámenes

sobre los saberes previos a la noción logaritmo y sobre la misma noción, para determinar

el conocimiento real que los estudiantes tienen sobre logaritmos en los diversos niveles

educativos, y concluir acerca del fenómeno investigado.

CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN

122

7.1 Pruebas diagnósticas

7.1.1 Sobre los logaritmos en el nivel medio básico

Después de haber realizado el análisis de los programas de matemáticas,

de los niveles educativos investigados, es necesario conocer los conocimientos,

que los alumnos tienen, en cada uno de estos niveles, para concluir acerca del

fenómeno que se investiga. Para ello, se elabora y aplica un examen diagnóstico,

mostrado en el Anexo A-1

El instrumento de diagnóstico, fue aplicado a 50 estudiantes de la

telesecundaria “José Vasconcelos”, ubicada en la comunidad de El Mirador,

Capula, en el municipio de Ixmiquilpan, Hgo., con los resultados observados en la

gráfica.

FIGURA 12 GRÁFICA DEL EXAMEN APLICADO A SECUNDARIA

De los 50 exámenes contestados se obtiene, la tabla siguiente.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p

o

r

c

e

n

t

a

j

e

pregunta

% de respuestas correctas


123

pregunta porcentaje

xm = 40%

� × �m� = 35%

¿cuál es la base en la expresión (x�� 30%

�(�� "��!�ó� !��í��!� m. mm�mm 15%

�� + �� = 10%

�� × � × �� = 10%

�(�� "��!�ó� !��í��!� �m�mm 10%

�� = 0%

�� = 0%

�� = 0%

TABLA 19 PORCENTAJE DE PREGUNTAS CORRECTAS EN

SENTIDO DESCENDENTE PARA SECUNDARIA

En ella se muestra un conocimiento deficiente, en los temas teoría de los

exponentes, potenciación y radicación, previéndose, dificultades en la

comprensión y aplicación de los logaritmos, en el siguiente nivel.

En seguida se presentan dos exámenes presentados por estudiantes de

nivel medio básico.


124


125

7.1.2 Sobre los logaritmos en el nivel medio superior

Para realizar un diagnóstico, acerca de los conocimientos sobre logaritmos,

de los estudiantes de bachillerato, se aplicó un examen, sobre conocimientos

previos para aprender logaritmos, así como, el cálculo de logaritmos, forma

exponencial de un logaritmo y propiedades de los mismos, como se observa en el

ANEXO A-2, a cincuenta estudiantes del Bachillerato El Mirador Capula, con los

resultados mostrados en la siguiente gráfica.

FIGURA 13 GRÁFICA DEL EXAMEN APLICADO A NIVEL MEDIO SUPERIOR

De los exámenes contestados se obtienen los resultados:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p

o

r

c

e

n

t

a

j

e

pregunta



126

pregunta porcentaje

�, � = 100%

El exponente al que debes elevar 4 para obtener 256 95%

�� mmm = 90%

√−�� = 60%

�, �� = 55%

��mmmmmm�m. mmm�, ��g�� "��!�ó� !��í��!� 40%

(m = 35%

)��*� = 30%

g"h�� = �, �� x �(�"�� 15%

�(�� "�� "�� ( + �� x 5%


SENTIDO DESCENDENTE PARA BACHILLERATO

Obsérvese que las preguntas sobre cálculo de logaritmo obtuvieron

porcentajes muy altos, sin embargo, la pregunta donde hay que identificar la base

de un logaritmo y el exponente o logaritmo, apenas alcanza el 15%, lo que permite

conjeturar, que el estudiante calcula los logaritmos en su calculadora sin tener

idea de lo que representa, en cuanto a las propiedades de los logaritmos, no las

identifica, y con respecto a los conocimientos previos ya se tiene un mayor

conocimiento de teoría de los exponentes.

A continuación se presentan dos exámenes presentados por los estudiantes

de nivel medio superior.


127


128

7.1.3 Investigación de los saberes acerca de logaritmos en el nivel superior

Para diagnosticar con que conocimientos cuentan, los estudiantes de nivel superior, sobre logaritmos, se elaboró y aplicó un examen (ver Anexo A-3) a 70 estudiantes de la Universidad Tecnológica del Valle del Mezquital, situada en el Km 4 de la carretera Ixmiquilpan – Capula. Con los resultados mostrados a continuación:

FIGURA 14 GRÁFICA DEL EXAMEN APLICADO A NIVEL SUPERIOR

En la gráfica se aprecia que, el nivel de conocimientos sobre los logaritmos

ha disminuido considerablemente, comparado con bachillerato, y realizando un

análisis sobre el examen, el cual se presentan en la tabla siguiente:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

p

o

r

c

e

n

t

a

j

e

pregunta



129

pregunta porcentaje

�, �� = 18%

g"h�� = !, ∴ �! = �, ��!�� "��!��, ��, �(�"�� x g"h��" 16%

�� mm = �, !�� (��ó� �(�"��!��g 14%

�� = ��, !�� (��ó� g"h��!� 10%

¿Qué base tienen los logaritmos que conoces? 10%

¿En dónde consideras que tienen aplicación los logaritmos? 5%

g"h�� = 4%

¿Para qué se inventaron los logaritmos? 4%

��g�� m�(�� = �mmmmm 2%

�� g"h�m� = �� , !�g!�g� �� + �� 0%

��g�� (�� = �� 0%

Elabore una tabla de 5 logaritmos en base 2, enteros 0%


SENTIDO DESCENDENTE PARA NIVEL SUPERIOR

Se observa que las preguntas corresponden a los saberes de logaritmos,

concepto, propiedades, cálculo y aplicaciones, así como algunos datos históricos

sobre su origen, por lo que, se considera un examen adecuado al tema, sin

embargo, el porcentaje de aciertos es muy pequeño y comparado con el obtenido

en bachillerato, se infiere que el nivel de conocimientos ha disminuido,

posiblemente porque ha olvidado dichos conocimientos, tal vez, porque no fueron

significativos debido a la falta de conocimientos previos sobre las funciones

exponencial y logarítmica (como ya se dijo), además del tiempo transcurrido, en el

que no fueron practicados estos conocimientos, dando lugar a que se olvidarán,

como lo refiere Hermann Ebbinghaus, autor de Sobre la Memoria(1885), en donde

nos habla de la curva del olvido, en ella establece gráficamente como los


130

conocimientos son olvidados, casi en su totalidad, si no son refrescados

continuamente. Y en este caso, las funciones logarítmica y exponencial, se

estudian en bachillerato, en el segundo año y posteriormente son retomadas en

nivel superior, hasta el segundo o tercer año según corresponda al programa de

estudios, dando un total de por lo menos 2 años de no ser utilizarlos.

En conclusión, la aplicación de los exámenes diagnóstico en los niveles

investigados, nos demuestran que, en nivel medio básico, no se conocen los

logaritmos y solo algunos de los saberes previos para la comprensión de

logaritmo.

En el nivel medio superior, es dónde más saberes tienen los alumnos

acerca de logaritmos, por el estudio de las funciones exponencial y logarítmica,

pero, sin embargo, el examen revela que su conocimiento radica en el cálculo de

los mismos con la calculadora, ya que, no pueden identificar dado un logaritmo,

cual es la base del mismo y el exponente.

En tanto que en nivel superior, los conocimientos sobre logaritmos se han

olvidado casi totalmente, dando como resultado que, en este nivel, es dónde los

estudiantes menos saben sobre el tema.

Los exámenes, corroboran lo que ya se había dicho sobre la construcción

de nuevo conocimiento (función logarítmica y exponencial), que al carecer de

conocimientos previos y zona de desarrollo próximo, el conocimiento no es

significativo y por lo tanto, solo se aprende en el momento, pero no trasciende.

La didáctica de estos conocimientos se ve afectada, porque, la

transformación logaritmo-exponencial no se realiza las veces suficientes para ser

convertida en proceso, y en consecuencia no se puede aprender el esquema

logaritmos.

En seguida se muestran dos exámenes presentados por estudiantes de

nivel superior.


131


132

Por otro lado, cabe destacar, que el promedio de aciertos en las

evaluaciones diagnósticas fue: en secundaria, de 14.2%, el 53% para nivel medio

superior y apenas el 6.8% en el nivel superior.

Esto resulta congruente, con los programas de matemáticas, en los cuales

se encuentra que, en secundaria se ven algunos de los elementos necesarios para

el aprendizaje de logaritmos, en nivel medio superior solamente se estudian las

funciones exponencial y logarítmica pero no, los logaritmos y en nivel superior sólo

se ven aplicaciones, presuntamente porque “el estudiante debe de tener los

elementos necesarios básicos”, realizándose siempre una serie de suposiciones,

que arrojan por resultado el 6.8% de aprendizaje acerca de los logaritmos en este

nivel, hecho lamentable, porque es el reflejo de la realidad educativa en el país.

7.1.4 Análisis de entrevistas

Entrevista al profesor Román Bravo Cadena, profesor de tiempo completo

en la Universidad Tecnológica del Valle del Mezquital.

Ingeniero en electrónica, egresado de la Universidad Autónoma

Metropolitana unidad Azcapotzalco, con especialidad en sistemas digitales y

computadoras así como, en control e instrumentación, actualmente estudia un

posgrado en energética enfocado al área de energías renovables.

Análisis:

El profesor dice que hace como 2 años los logaritmos aparecían en el

programa de Matemáticas I, pero que actualmente ya quitaron el tema de

logaritmos, que él considera muy importante, porque tanto la función exponencial

como la logarítmica tienen muchas aplicaciones, y los estudiantes en su mayoría

desconocen totalmente el tema logaritmos, incluyendo definición, y propiedades.

Tiene que enseñar logaritmos aunque le ocasione un retraso en la

enseñanza de su programa, porque el conocimiento de éstos, es una parte

medular para el área de la electrónica, porque les permite comprender lo que les


133

enseña y en caso contrario, no puede construir conocimiento más elevado porque

carece del sustento para hacerlo. Reconoce que otros docentes dan por hecho

que el estudiante ya posee los conocimientos suficientes sobre logaritmos, o bien

que los estudiantes deben estudiarlo por su cuenta, y cuando estudian materias

más avanzadas no entienden. Considera que si los estudiantes no aprenden

logaritmos, el aprendizaje y aplicación de la ciencia no se logra, porque no

comprenden el significado de un crecimiento exponencial, por ejemplo de una

población bacteriana, que se desea utilizar en la obtención de biogás.

En otras palabras, los logaritmos son fundamentales digamos para modelar

diferentes fenómenos de crecimiento o decrecimiento. Hoy en día existen muchas

aplicaciones de los logaritmos, por ejemplo en el control electrónico, en

ecuaciones diferenciales, en biología, capacitores, etc. si no se tiene el

conocimiento sobre logaritmos y exponenciales no se puede modelar y no se

puede resolver problemas y estará lejos de resolver uno científico o tecnológico

real, así, los ingenieros tienen una formación cada vez más incompleta, lo que se

traduce en incompetencia y arrastran esta carencia de conocimientos incluso

hasta la maestría),

No se explica porque desaparecen temas del estudio de las matemáticas

qué son fundamentales para la ciencia y tecnología, habría que saber desde los

planes de estudio quien los hace y por qué los quitaron. Considera que el

problema es grave porque estamos formando profesionales carentes de saberes

fundamentales e ignorantes al fin y al cabo.

Considera que los logaritmos deberían darse desde secundaria continuar

en bachillerato y después en nivel superior, para mantener frescos estos

conocimientos, ya que los estudiantes llegan al nivel superior con muchas

carencias en el área de las matemáticas, además de los logaritmos, en álgebra,

trigonometría, geometría, aritmética, funciones, relaciones, etc.

La calculadora o computadora es una máquina que hace lo que se le indica,

pero si no existe el conocimiento que sustenta la aplicación, para el usuario no


134

sirve de nada, si el estudiante utiliza su calculadora para calcular un logaritmo, el

resultado ahí está pero no tiene significado en la mente del estudiante.

La educación se debe redireccionar, como ingenieros todavía nos falta,

pero habría que ver ¿qué se busca con los modelos educativos? Que un ingeniero

sepa cambiar un foco o desarrollar conocimientos más profundos que nos

permitan desarrollar cosas necesarias. Termina diciendo

“Alguna vez platicando con algunos amigos de Sudamérica de Brasil, de

Argentina, que la universidad era un lugar donde se iban a aprender

conocimientos muy precisos, los logaritmos son precisos desde luego, pero

también son fundamentales. Son herramientas de una base que sustenta a

otro tipo de conocimientos más especializados, sin esa base no se puede

sustentar, sin raíces los árboles se van para abajo”.

Concluyendo acerca de la entrevista del profesor:

• Aunque anteriormente se enseñaban los logaritmos la parte conceptual no

se abordaba.

• Hoy en día existen muchas aplicaciones científicas de los logaritmos.

• Si no se aprenden los logaritmos el aprendizaje y aplicación de la ciencia

no se logra.

• Los ingenieros con estas carencias estarán lejos de resolver un problema

científico o tecnológico, considerándose incompetentes, lo que es un

problema grave.

• El profesor tiene que tomar tiempo de su materia para enseñar estos

conocimientos y dejar de ver algunos temas de su área.

• Considera que los logaritmos deberían darse desde secundaria continuar

en bachillerato y después en nivel superior, para mantener frescos estos

conocimientos.


135

Entrevista al estudiante. Alejandro Meza Pérez, estudiante de la Universidad

Tecnológica del Valle del Mezquital. Actualmente cursa el noveno cuatrimestre de

ingeniería en mecatrónica.

El estudiante refiere que en secundaria es su primer acercamiento con los

logaritmos, cuando estudio álgebra les enseñaron a calcular logaritmos, como un

valor definido por un científico en una época lejana y que hasta la fecha no tiene

bien cimentado el concepto de logaritmo.

Como estudiante de ingeniería en mecatrónica requiere del conocimiento de

los logaritmos, en la parte de control ya sea termodinámico o electrónico, en las

ecuaciones diferenciales, se requiere del conocimiento de los logaritmos y su

aplicación.

En secundaria aprendió a calcularlos usando la calculadora, y el valor

carecía de sentido, en la preparatoria supo que existían las tablas para el cálculo

de logaritmos, pero usaba la calculadora y aunque sabía que existían logaritmos

en otras bases, el no aprendió a calcularlos, sabía cómo receta de cocina lo que

tenía que hacer en la calculadora para obtenerlo, y el estudio del concepto de

logaritmo nunca se hizo.

En nivel superior, cuando fue necesario aplicar las propiedades de los

logaritmos, el profesor tuvo que enseñarles este conocimiento porque no

entendían de qué hablaba el profesor, sin retomar el concepto de logaritmo, solo

les enseñó lo suficiente para que entendieran lo que estaban haciendo, y que

actualmente no tiene bien cimentado el concepto de logaritmo, así, cuando la

solución de la ecuación o sistema es una función exponencial o logarítmica la

grafican para ver su comportamiento y su análisis no va más allá.

Cuando una función es exponencial entiende que crece rápidamente, más

rápido que una función lineal, pero, no tiene idea de cómo identificarlo si no se lo

dicen, no sabe cómo distinguir un crecimiento exponencial de uno logarítmico y


136

cuando la solución de un problema es una función de éstas, aplican tablas

establecidas y dan un resultado sin ningún análisis.

Con los conocimientos actuales no podría realizar exitosamente el proyecto

de un sistema de control, sin embargo sabe que tiene la capacidad de investigar

en libros, internet, profesores, hasta lograrlo.

Considera que los mexicanos tienen talento, ingenio para hacer las cosas

pero que la educación está decayendo, pues a decir de sus profesores antes se

estudiaban cosas más difíciles sobre todo en matemáticas, y luego compara con

un hermano pequeño que estudia primaria y que no sabe por ejemplo calcular la

raíz cuadrada cuando él desde tercer grado la aprendió, entonces el problema

radica en el proceso educativo donde la enseñanza cada vez es más sencilla pero

se aprende menos.

Comenta que su promedio en matemáticas es aproximadamente 9 y que

estudio técnico en construcción en bachillerato en el área físico matemático.

Concluyendo acerca de la entrevista del estudiante:

• En secundaria aprendió a calcular los logaritmos usando la calculadora, y el

valor carecía de sentido, y así continuó en la preparatoria.

• En nivel superior cuando fue necesario aplicar las propiedades de los

logaritmos el profesor tuvo que enseñarles este conocimiento.

• Actualmente no tiene bien cimentado el concepto de logaritmo y cuando la

solución de la ecuación o sistema es una función exponencial o logarítmica

la grafican para ver su comportamiento y su análisis no va más allá.

• no sabe cómo distinguir un crecimiento exponencial de uno logarítmico y

cuando la solución de un problema es una función de éstas, aplican tablas

establecidas y dan un resultado sin ningún análisis.

• No tiene la capacidad de desarrollar un proyecto de control por la carencia

de conocimientos sobre logaritmos.

CONCLUSIONES Y REFLEXIONES


138

Considerando la investigación realizada se observa que el tema cálculo

numérico con logaritmos fue excluido del currículo de secundaria y casi totalmente

del currículo de bachillerato. A continuación se presentan las conclusiones en los

diversos rubros:

Acerca de la caracterización del fenómeno exclusión de saberes

matemáticos, el caso de los logaritmos

• El cálculo numérico empleando logaritmos se fue haciendo obsoleto por la

aparición de la calculadora digital.

• El uso de los logaritmos para resolver operaciones, en algunos casos

resultaba difícil de comprender por los estudiantes, ocasionando alto índice

de reprobación.

• Los profesores que imparten este conocimiento aluden que no es necesario

enseñarlo porque pueden utilizar la calculadora, y que esto disminuye el

índice de reprobación.

• La noosfera toma la decisión de ir eliminando el cálculo numérico con

logaritmos, hasta prácticamente hacerlo desaparecer del currículo de

secundaria.

• En bachillerato el cálculo con logaritmos era utilizado principalmente para

resolver problemas de triángulos rectángulos y oblicuángulos porque las

razones trigonométricas son cantidades con muchos dígitos pero con la

aparición de la calculadora el problema de resolver estas operaciones

desaparece sin necesidad de utilizar los logaritmos, cayendo en desuso

dicha aplicación de los logaritmos.

• La noosfera toma la decisión de ir quitando los saberes sobre los conceptos

logaritmo y exponencial, como se aprecia en los diferentes programas, en

los cuales poco a poco fue desapareciendo el logaritmo como cálculo

numérico y quedando el estudio de las funciones, basado principalmente en

la graficación de las mismas, y dónde se calculan algunos logaritmos

mediante la calculadora para elaborar la gráfica, pero no se resuelven

operaciones entre ellos.


139

Acerca de lo didáctico.

• Sin una adecuada instalación de los conceptos logaritmo y exponencial

desde la perspectiva de cálculo numérico, posteriormente, no podrán ser

utilizados como herramienta en el estudio de las funciones logarítmica y

exponencial.

• La exclusión de los logaritmos del currículo en los niveles anteriores al

superior ocasiona una desarticulación de saberes entre logaritmo y

funciones logarítmica y exponencial.

• En el escenario escolar, la realización de la interacción entre profesor-

estudiantes-saberes, se ve afectada, porque el conocimiento a enseñar,

esta lejos del entendimiento del estudiante, por la falta de saberes sobre

logaritmos, afectándose la didáctica de la materia.

• La didáctica del profesor resulta infructuosa, porque los saberes que

organizó planificó y desarrolló para ser enseñados, sustentados en los

conocimientos previos sobre logaritmos, los estudiantes no los tienen.

Acerca de lo cognitivo:

• El estudio de las funciones logarítmica y exponencial es un conocimiento

aislado sin saberes previos, ni zona de desarrollo próximo, lo que dificulta

su estudio y puede no ser significativo para el estudiante.

• Existe una desarticulación conceptual entre los saberes de logaritmo y

exponencial, que tiene repercusiones cognitivas y didácticas cuando se

estudian las funciones logarítmica y exponencial y sus aplicaciones en

matemáticas avanzadas.

• La aplicación de los exámenes diagnóstico en los niveles investigados,

demuestra que en nivel medio básico, no se conocen los logaritmos y sólo

algunos de los saberes previos para la comprensión de logaritmo.

• En el nivel medio superior, el examen revela que el conocimiento de los

estudiantes sobre logaritmos radica en el cálculo de los mismos con la

calculadora, ya que no pueden identificar dado un logaritmo cual es su base

y el exponente.


140

• En nivel superior los conocimientos sobre logaritmos ya han sido casi

totalmente olvidados, según lo demuestra el examen aplicado.

• El estudiante de nivel superior entrevistado reconoce no estar capacitado

para llevar a cabo una competencia de su carrera por la falta de

comprensión de los logaritmos.

Acerca de sus efectos en los estudiantes de nivel superior

• El estudiante no reconoce al logaritmo y exponencial como operaciones

inversas, lo que dificulta la comprensión y articulación de las funciones del

mismo nombre.

• Al resolver ecuaciones exponenciales o logarítmicas se le muestra cómo

transformar las funciones y como aplicar las propiedades de los logaritmos

pero su aprendizaje se dificulta como lo muestra el examen diagnóstico

• En este nivel se conjetura que el estudiante no tiene conocimientos previos

o zona de desarrollo próximo y sus conocimientos sobre las funciones están

desarticulados.

• Los estudiantes deben aplicar los concepto de logaritmo y exponencial, así

como resolver problemas mediante la aplicación de las funciones

logarítmica y exponencial pero sin zona de desarrollo próximo, sin tener los

conocimientos articulados se le dificultará resolver problemas, aplicar el

concepto de logaritmos en cuestiones matemáticas pero sobre todo será

casi imposible que pueda modelar una aplicación tecnológica que requiera

de logaritmos.

Acerca de lo epistemológico

• Arquímedes descubre que si se tienen en correspondencia una sucesión

geométrica y una aritmética la multiplicación de dos números de una

sucesión geométrica se relaciona con la suma de los dos números

correspondientes en la sucesión aritmética, calculando así la multiplicación

de dichos números de la sucesión geométrica.


141

• Stifel aporta a la idea germinal de logaritmo, el hecho de que la

multiplicación (sucesión geométrica) es la suma de los exponentes de la

misma base (sucesión aritmética), la división es la resta, la potenciación es

la multiplicación y la raíz cuadrada es la división por dos.

• Las aportaciones de Napier a los logaritmos, son:

� El desarrollado la sucesión que da como resultado una aproximación

al número e, en la que se observa la relación de las sucesiones

aritmética y geométrica.

� El cálculo de sus tablas de logaritmos, conocidos como neperianos.

• Briggs aporta a la génesis de los logaritmos:

� Un nuevo método de cálculo basado en la media aritmética y la

media geométrica

� Tablas logarítmicas de base 10

• El origen de las funciones exponencial y logarítmica se presenta como una

trasposición de logaritmo y la exponencial

Acerca de la formación de profesores

• La epistemología de los logaritmos nos lleva de la mano a la

conceptualización de los mismos, pero esta parte no se enseñó por eso los

profesores no tienen la idea de su conceptualización y por tal razón no la

enseñan, como lo dice el estudiante y el mismo profesor entrevistado.

Se requiere atender el fenómeno de la exclusión aquí caracterizado y ampliar a

otros saberes matemáticos en los cuales los estudiantes de nivel superior han

mostrado carencias como es el caso de números complejos, desigualdades,

conjuntos, entre otros.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

142

Referencias Bibliográficas

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ANEXOS

ANEXOS

145

ANEXO - A1

Nombre: Firma:

Escuela: Grado y Grupo: Fecha:

RESUELVA CORRECTAMENTE: 1.- 32 x 3 x 35 = 2.- y0 = 3.- 5– 1 = 4.- ¿Cuál es la base en la expresión x y+1? EXPRESE LA CANTIDAD SIGUIENTE EMPLEANDO NOTACIÓN CIENTÍFICA Y UNA CIFRA ENTERA. 5.- 10300 6.- 0.001000 7.- Calcula 64½

8.- Desarrolla 4 x 105 9.- Resuelve (2-1)2

10.- Resuelve 42 + 4 – 1/2

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL VALLE DEL

MEZQUITAL

Examen diagnóstico

(Secundaria)

Este examen es parte de una investigación de conocimientos matemáticos

ANEXOS

146

ANEXO –A2

Nombre: Firma: Escuela: Grado y Grupo: Fecha: RESUELVA CORRECTAMENTE: 1.- (8 – 1/3)2 =

2.- =−3 125

3.- (1 000 000) (0.0001), empleando notación científica 4.- x0 = CALCULA EL LOGARITMO: 5.- log 1000 = 6.- ln e3 = 7.- ln 1 =

8.- Expresa de otra forma log x + log y = 9.- Encuentra el exponente al que debes elevar 4 para obtener 256 10.- En log3 81 = 4, identifique: Base___________ Exponente __________

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL VALLE DEL

MEZQUITAL

Examen diagnóstico

(Media Superior)


ANEXOS

147

ANEXO –A3

Nombre: Firma:

Escuela de procedencia: Fecha:

PE: Grado y Grupo:

CONTESTE CORRECTAMENTE:

1.- Si cba =log ; entonces, ba c= , si 0>a , 1≠a y 0>b ; identifica:

La potencia ____________ El exponente ____________ La base ____________ El logaritmo ____________ 2.- ¿Qué base tienen los logaritmos qué conoces?

3.- Calcule =3ln e

4.- Cambie la expresión logarítmica 2100log = a una expresión exponencial

5.- Cambie la expresión exponencial 6443= a una expresión logarítmica.

6.- Calcule =1log2

7.- Si aa loglog10 = , calcule =+ 5log2log

8.- Resuelva 10000010 12=

+x

9.- Resuelva 2433 1=

+x 10.- Describe brevemente para qué se inventaron los logaritmos 11.- ¿En dónde consideras que tienen aplicación los logaritmos? 12.- Elabore una tabla de 5 logaritmos de base 2 donde el logaritmo sea un número entero, por ejemplo:

12log2 =

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL VALLE DEL MEZQUITAL

Examen diagnóstico


ANEXOS

148

A4 ENTREVISTA AL PROFESOR

Entrevista realizada por los doctores del área de matemáticas Dr. Carlos Rondero

Guerrero(C)y la Dra. Anna Tarasenko (A), al Prof. Román Bravo Cadena (R), el día 27 de

julio del 2011, a las 9:47 hrs; en la UAEH.

C Nos encontramos en el área académica de matemáticas y física de la universidad

autónoma del estado de hidalgo hoy es día 27 de julio de 2011 y vamos a realizar la

entrevista con el maestro, maestro si nos puede dar su nombre por favor, claro,

donde trabaja?

R Si, Román Bravo Cadena, soy profesor de tiempo completo en la universidad

tecnológica del valle del mezquital.

C Gracias maestro, nos puede decir muy brevemente, su formación desde licenciatura

R Soy ingeniero en electrónica, egresado de la universidad autónoma metropolitana

unidad Azcapotzalco, con especialidad en sistemas digitales y computadoras

también en control e instrumentación, actualmente estudio un posgrado en

energética enfocado al área de energías renovables

C A ya. Yo ahí trabaje hace muchos años también. Bueno maestro, muchas gracias por

permitirnos realizar la entrevista. El tema de que ese trata es alrededor precisamente

de los logaritmos. Usted da algún curso de matemáticas actualmente?

R En este instante estoy dando clases de electrónica, pero si hemos dado clases de

matemáticas como: cálculos, integral diferencial, ecuaciones diferenciales y pues

matemáticas 1 que en el área es la que abarca un poco logaritmos.

C A eso vamos a checar los logaritmos. Digamos de en su experiencia a nivel

universitario, donde aparece por primera vez en lo que usted ha trabajado, en que

curso aparece por primera vez los logaritmos

ANEXOS

149

R En matemáticas 1 precisamente. Ahí se empezaba a ver la teoría de logaritmos,

antes, porque hoy en día los temarios han cambiado y ya ni siquiera aparecen,

aparecieron hasta hace 2 años más o menos

C Eso es. Usted que cree que haya alrededor de este problema de los logaritmos.

Primero habría dos aspectos, las consecuencias que tiene eso, que en lo que vamos a

enfocar la entrevista, las consecuencias que tiene que no aparezcan los logaritmos

por un parte y por otro lado, las consecuencias de que los estudiantes no lo aprendan

R Bueno la aplicación de logaritmos al fin y al cabo o donde aparecen los logaritmos y

los exponenciales en una serie de cosas, como en el crecimiento de bacterias, en la

electrónica, que es el área en donde uno se desarrolla, los capacitores se cargan de

esa manera y se descargan de la misma forma, los capacitores es uno de los

elementos más importantes para el control de las cargas eléctricas en la parte de la

electricidad, entonces en realidad es una parte medular en la comprensión de estas

materias como tal, así como las materias de la parte electrónica. Incluso el

comportamiento del flujo de electrones a través de los semiconductores está basado

precisamente bajo ese tipo de funciones, logarítmicas y exponenciales. El no

comprender implica que tampoco comprenda uno el funcionamiento de estos

dispositivos electrónicos, pero no nada más en esa parte, en la parte de transferencia

de calor por ejemplo pues sucede exactamente lo mismo

C Si pero en este caso el que no conozcan previamente los estudiantes los elementos

conceptuales de los logaritmos va a impedir que muchas cosas como las que usted

nos platica, no las acaben de entender

R Si, pero sin la comprensión de lo básico no se puede avanzar más allá, sino se

entiende lo básico

C Pero en este caso cuando usted trabaja con los estudiantes y empieza a tratar este

tipo de temas, la pregunta es, saben algo ellos de logaritmos?

ANEXOS

150

R El conocimiento es definitivamente muy pero muy pobre, en alguna parte se perdió,

no hay, o es muy escaso. Pocos pero muy pocos medio que tienen la idea pero no

C Bueno pero conocen la definición de logaritmo de lo que recuerde que usted que ha

trabajado con ellos

R No cuando llegan no tienen prácticamente los elementos necesarios para trabajar

con logaritmos, incluyendo los conceptos

C Pero los conceptos básicos, en este caso la definición de los logaritmos y su relación

con la función exponencial cuando encuentra la base de los logaritmos mismos y

luego su relación con la función exponencial

R Si muy poco

C Eso usted cree que venga desde secundaria, bachillerato o que ya debiera tenerse

este conocimiento al llegar a la universidad. Como ve usted ese problema?

R Es un asunto muy particular en mi experiencia, yo recuerdo cuando me toco ir a la

escuela me enseñaron en la secundaria la función logarítmica, la función

exponencial, recuerdo también las tablitas que nos mostraban pero nunca nos

mostraron los conceptos, vimos que el logaritmo de un numero era tal numero o en

base tanto pero nunca nos explicaron en realidad los conceptos que sustentan todo

este conocimiento, en la prepa sucede lo mismo con la función exponencial

engancha también la función logaritmo pero nunca nos dan los conceptos para tener

una estructura verdaderamente sólida para la aplicación de los conocimientos

C ¿Tampoco se ven las propiedades elementales de los logaritmos?

R En aquel entonces si se veían. Ahora los muchachos parece ser que ni eso ven.

Ahora la misma notación científica parece ser que medio se acuerdan. Pero notando

por ejemplo a los chicos que van entrando en primero que me ha tocado dar clases a

ellos, pues no, tengo que dar todo ese conocimiento, de otra manera no lo tienen.

ANEXOS

151

C Desde ahí que ha de ser un tema interesante o sea, si usted se da cuenta que los

estudiantes ya en este caso, de la universidad donde trabaja, no tienen esos

conocimientos previos, usted identifica el problema y empieza a darles esos

conocimientos básicos de logaritmos y sobre las exponenciales, ¿si hace usted eso?

R No tengo otra opción, aunque el temario no me lo marca y aunque los tiempos a

veces no me lo permiten, porque el temario es tanto y hay que darlo exprés, de por

sí las materias ya son pesadas, son sistemas cuatrimestrales, y se tornan muy muy

densos. Si no tienen por lo menos los conceptos básicos, como vamos a entrar en

conocimientos más avanzados, no hay manera, no hay sustento.

C Eso, eso, es muy importante lo que usted nos está mencionando en el sentido en que

efectivamente esa actitud que usted toma de decir, no tienen los conocimientos

básicos y se requieren, entonces usted va y se regresa y los explica y continúa con

los siguientes temas de su curso. El gran problema que hemos identificado es que

muchos profesores no hacen eso, o sea, les parece que ya los estudiantes deben

saberlo y él no toma en sus manos como usted lo dice, ese problema y busca

resolverlo, porque los estudiantes difícilmente por su propia iniciativa lo van a

hacer, pero usted nos dice que si lo hace, si le preocupa y si le interesa que aprendan

los conceptos básicos.

R Yo en mi experiencia ahí mismo en la escuela y no nada más ahí, he dado clases en

otros institutos, encuentro que el profesor siempre está atado a su temario y se apega

más al temario que incluso a las necesidades reales del conocimiento, entonces no

se dan, y ellos lo dan por hecho de que el estudiante tiene la cultura de ponerse a

estudiar, del auto aprendizaje y pues en realidad, me toca que cuando yo no doy

clases al principio, ya más adelantados, pues están perdidos.

C Por eso insisto, ¿usted si toma su responsabilidad desde el principio?.

R Si, en la medida también de lo que me permite la misma institución, que a veces

también está viendo que si ya vi este tema, este otro tema; por lo que trato de

corregir esto, porque más adelante me vuelvo a topar con lo mismo. Yo lo veo como

ANEXOS

152

están las carreteras en México, puros hoyos, le echamos tierra al bache, pero este

sigue.

C Entonces, usted considera que no aprender también logaritmos, ¿nos puede hablar

un poco de eso? El hecho de que los estudiantes no aprendan logaritmos, ¿Qué

consecuencias tiene para ellos mismos? Usted hace rato nos habló de circuitos

eléctricos de electrónica, de que otro tipo de cosas, sinos va detallando otros

aspectos y consecuencias que puede traer para un estudiante que no sepa logaritmos.

R Para mí, definitivamente el conocimiento es un aserie de elementos que uno va

construyendo, según la teoría del constructivismo, y a partir de ellos empieza uno a

construir otro tipo de conocimientos. Al tener esa carencia de esos conocimientos,

pues los que se tendrían que sustentar sobre de ellos, no tienen una base sólida, por

ejemplo: una aplicación es energías renovables, anda de moda por ahí la generación

de biogás y de biodiesel. Toda esa generación se lleva a cabo mediante bacterias, el

crecimiento de las bacterias es precisamente exponencial.

C Exacto.

R Si no tenemos ese crecimiento exponencial de bacterias, pues difícilmente vamos a

tener un cultivo y utilizarlas de manera óptima. Y eso no nadamás aplica a la

biología, también en la electrónica. Mucho de nuestro conocimiento de la física, que

al fin y al cabo, por ahí vienen las matemáticas de la mano, está siendo también el

sustento para seguir avanzando, por ejemplo en la aplicación de circuitos eléctricos

ya más complejos, con bobinas y capacitores, inevitablemente nos llevan a

ecuaciones diferenciales de segundo orden, pues están basadas las soluciones en las

ecuaciones de Euler no, entonces no podemos resolver las matemáticas del

matemático sublime si no tenemos esos elementos en los que se están basando.

C En otras palabras, los logaritmos son fundamentales digamos para modelar

diferentes fenómenos de crecimiento o también de decrecimiento, que es

fundamental para diferentes problemas de modelación.

ANEXOS

153

R Alguna vez me toco acudir aquí y nos preguntaban qué ¿que se necesitaba para que

los chamacos que llegan a la Universidad tuvieran los conocimientos básicos para

poder trabajar en las matemáticas?, pero ni siquiera tenían los principios básicos

algebraicos, entonces hay una carencia de conceptos, tanto en la parte algebraica, la

parte de logaritmos, la parte de exponenciales, hay mucha carencia de conceptos en

realidad. Pues hasta en .donde yo tengo la comprensión de las cosas, casi todo lo

vamos a tratar a la altura de nuestros conceptos, y si no tenemos los conceptos,

pues, difícilmente vamos a avanzar más allá. Lejos de la aplicación, desde luego.

C ¿Estamos relacionando, tanto a logaritmos que están directamente asociados con las

exponenciales?

R Si. En este caso, solución de ecuaciones diferenciales, que también al final de

cuentas, este, las ecuaciones diferenciales modelan comportamientos de circuitos

eléctricos.

C Si,¿de sistemas?

R Si de sistemas, exactamente, de sistemas en general, entonces la trascendencia de

los logaritmos una vez más insisto relacionados directamente con las exponenciales.

C Son fundamentales. En que otros aspectos de los que usted recuerda, por favor

maestro maestro, este, que importancia usted le concede a los logaritmos o alcanza a

ver a parte de los que nos ha platicado a nosotros.

R Si en aplicaciones yo pienso que hoy en día el control, es un elemento muy

cotidiano, desde que llega uno y abre la puerta de su casa, en su carro, en la cocina,

en la lavadora, en el baño, por todos lados anda el asunto del control. El control está

basado también en ecuaciones diferenciales y esas ecuaciones diferenciales que se

resuelven por la Laplace o equis separación o cualquier método de solución, pues

también tienen un sustento, como una parte fuerte en los exponenciales. Al no tener

los exponenciales o los logaritmos, tenemos un abismo, no podemos modelar no

ANEXOS

154

podemos resolver problemas que de otra manera con esos conocimientos es

relativamente rápido y fácil, pero sin ese conocimiento no hay nada.

C Entonces, regresando al problema que a nosotros nos atañe, no hay conocimiento

básico elemental, sin embargo en el nivel universitario, me dice usted que antes lo

trataban y ya desapareció del primer curso de matemáticas y luego tienen los demás

cursos de matemáticas en las carreras de ingeniería y van apareciendo por ahí los

logaritmos, regresando al fenómeno, si no tiene el sustento básico, usted ya nos ha

platicado, como es que acá, en el nivel universitario se va a trabajar, usted atiende el

problema y dice: voy a revisar ciertos conceptos, aspectos conceptuales de los

logaritmos y exponenciales y lo trabaja. Si vemos el problema en un nivel un poco

más amplio en su universidad, ¿Cómo vería usted ahí el problema del aprendizaje

respecto de los logaritmos en los estudiantes? ¿Cómo lo vería usted a nivel más

amplio en su experiencia en la universidad?

R Encuentro por ejemplo, ya en mis clases de maestría que esa carencia se sigue

arrastrando, seguimos arrastrándola aun siendo ingenieros yo considero que no, por

la naturaleza de los trabajos o de la misma educación, pues no hemos tenido la curia

de ir tapando esa seria de fallas que tenemos y no nada más eso, aunado a que el

cerebro también olvida y que cualquier conocimiento tiene que estar constantemente

siendo reabsorbido, analizado de nuevo se siguen teniendo carencias muy grandes.

Cosas que tuvimos que haber estudiado en prepa, en secundaria, en la universidad

ya no aparecen, estamos trabajando con suposiciones de que: “el alumno debería de

saber”, pero hay que estar siguiendo los programas de estudio, o de suposiciones

falsas.

C Y luego ¿qué consecuencias trae todo esto?

R ¡Más ignorancia!

R Si, al tener esa falta de conocimientos, no podemos llegar a la aplicación tampoco,

definitivamente no se puede, si vamos a llegar así como que, pues mochos, pues

tampoco, definitivamente no se puede, no da soluciones.

ANEXOS

155

C Y si llega un estudiante de ingeniería, que usted conoce más, en su trayectoria y

experiencia además, las consecuencias que tiene otra vez en las aplicaciones, en su

trabajo diario, cuando quiere desarrollar aspectos de tecnología, que pase cuando

carece de este conocimiento fundamental de los exponenciales y logaritmos.

R Pienso en un ejemplo, en una aplicación, así rapidísimo: un brazo que tiene que

tomar una pieza (ahora que están de moda los robots), para poder resolver un

problema, sino sabemos cómo se carga un capacitor, que al fin y al cabo puede

arrancar un motor, menos vamos a mover el motor y no vamos a tener la precisión

necesaria, nos quedamos lejos de resolver un problema real, se queda tal vez en el

pizarrón ahí, sin llevarlo a la realidad. Si aun así, del pizarrón a la realidad hay una

serie de factores que uno no siempre contempla, pues con esas carencias todavía

estamos más lejos de una solución real.

C Entonces, la formación que adquiere un ingeniero en estas instituciones educativas:

universidades e institutos tecnológicos etc. sin esa formación básica de logaritmos,

le parecería a usted, claro, tiene relación después con otros muchos aspectos, pero

sin ese conocimiento básico de logaritmos le parecería a usted que ese ingeniero que

egresa de nuestras instituciones estaría carente de algo pero fundamental.

R Si desde luego, pienso por ejemplo en un plato de conejo guisado de los que hacía

mi abuela, pues si no tiene cominos ya no sabe igual, el sabor ya no es el mismo y si

le quita uno el picante también, y si le quitamos la cebolla pues va quedando cada

vez menos completo. Yo lo siento de la siguiente manera, de menos integrar

conocimientos de lo que son las necesidades.

C Y entonces, la gran pregunta es: ¿Qué estamos haciendo para remediar o que usted

piensa que podríamos hacer para resolver ese problema de un aprendizaje muy

fallido si se pudiese decir así, o muy limitado o restringido alrededor del tema de los

logaritmos?

ANEXOS

156

R Pienso yo por ejemplo ahora en mi institución y en los cambios de temarios, antes

me aparecían y ahora no aparecen, no sé hasta qué nivel de profundidad en los

niveles de educación superior, media superior, secundaria y bachillerato

R No sé cómo haya desaparecido, en mi institución desaparecen las matemáticas que

ven esos temas y si yo después tengo que ver aplicaciones de control, pues dejo de

ver las aplicaciones de control para poder ver esa parte, entonces en un mundo que

va corriendo, todo debe de ser rapidísimo, porque yo lo veo así, todo mundo lleva

prisa y se va perdiendo ese conocimiento y no sé por qué causa, motivo o razón

desaparece de los programas de estudio por lo menos en la escuela. Habría que ver

desde los planes mismos de estudio ¡quien los hizo! Y por qué los quitaron.

C ¿Pero si le parece a usted una situación grave?

R Si, definitivamente es grave. Porque yo pienso que no solamente en asuntos de

logaritmos, hay muchos otros. Entonces ese montón de carencias nos van haciendo

personas “carentes” de conocimiento y entonces, ignorantes al fin y al cabo.

C Pero usted por ejemplo podría decir, tomando en consideración lo real, que si

deberían de verse en secundaria lo más elemental.

R Si, es muy necesario, en la época de la secundaria la mente aún está fresca, está

abierta, yo recuerdo que estudié en una secundaria técnica, me daban agricultura,

apicultura, ganadería pesca, electricidad, carpintería, procesamiento de lácteos, de

carnes y todo eso le va dando a uno habilidades en las manos que posteriormente

difícilmente se desarrollan. El cerebro, pienso yo que aún se está desarrollando bien

y es una etapa crucial en el conocimiento.

C ¿Los logaritmos deberían de verse en secundaria?, ¿Luego otro nivel en

bachillerato?

R Sí.

ANEXOS

157

C Que hubiera una articulación del tema ¿no?, secundaria, bachillerato, nivel

universitario.

R Yo considero muy necesario, porque, como le decía hace unos momentos, uno debe

de estar refrescando los conocimientos. Entonces si se deja de dar un año, sean

conceptos o no, hay un olvido. Debería de estar uno constantemente

retroalimentando los conocimientos.

A En su experiencias académicas, además de exponenciales y logaritmos ¿Qué otros

temas cree que falten en estas épocas?

R Yo encuentro en los chicos que llegan, en realidad, carencias en todos los temas. Por

ejemplo ya no se ven funciones trigonométricas, el álgebra misma no tiene la

secuencia, e incluso no tiene secuencia. Yo recuerdo que las multiplicaciones que es

uno de los elementos básicos en primaria, antes se nos exigía sabérnoslas de

memoria y ahora ya no. Entonces desde el álgebra misma se requiere de manera

muy urgente que se retomen esos temas y se vuelvan a aplicar. Yo no sé quién hace

los programas de estudio, desaparecen una serie de elementos que son muy

necesarios, como es geometría, álgebra, los mismos logaritmos y exponenciales,

teoría de funciones, relaciones.

A Gracias, una preguntita más pequeña: ¿Dónde usted trabaja usan calculadora o

graficadoras para calcular logaritmos?

R Una calculadora para mí no es más que un máquina que hace lo que uno le pide, no

sabe lo que uno le está pidiendo a la calculadora o computadora, el uso de la

máquina es “igual”. Sin el conocimiento que sustenta la utilización de esa máquina,

pues, tengamos la computadora más moderna, es indiferente.

C En esa misma dirección, ¿qué pensaría usted de esto que argumenta que algunas

personas quizás hagan esos programas y que digan que los logaritmos no los

necesitamos y que con la calculadora se encuentran logaritmos? ¿Qué pensaría usted

o que contra argumentaría al respecto?

ANEXOS

158

R Pues los pondría a hacer un logaritmo a ver si lo pueden resolver, yo pienso que las

personas que los están haciendo no conocen las aplicaciones del conocimiento y

hasta dónde puede llegar.

C Ese es un problema grave, que bueno que lo tratamos, porque pareciera que es ahora

como ya tenemos las calculadoras o las computadoras, software y demás, pues le

decimos a la calculadora, calcúlame tal valor de logaritmo de tal número, y ya, con

eso es suficiente, o calcúlame el antilogaritmo o lo que fuera, pero el asunto es que

en problema, los estudiantes ¿saben que están haciendo las calculadoras, por qué les

arrojan todos esos números?, ¿cómo lo interpretan?, ¿tienen los conocimientos

básicos para entender lo que está haciendo la calculadora?, ¿son capaces de

interpretar?

R No lo tienen, tener un montón de datos ahí amontonados, no sirve de nada si, no se

tiene la interpretación y la posible aplicación de ellos. De tal suerte que si el chico

usa su calculadora y saca un número de logaritmo, no sabe que es un logaritmo,

tiene el valor de un número, pero eso en su cabeza no representa nada. Si yo voy

con un chico y le digo haber: ¡grafícame la exponencial que es eso!, no tiene ese

conocimiento. En mi experiencia yo recuerdo que se veía ese conocimiento, que

existía ese conocimiento en la secundaria, pero no esos conceptos necesarios para

tener la interpretación correcta, desde luego, de los mismos. Al paso de los años uno

va encontrando ese montón de carencias y va uno tratando de sanar todas esas

carencias, pero definitivamente el chico no sabe qué hacer con esos datos, aunque

usen calculadora y les arrojen resultados.

C Ese argumento que pueden utilizar algunas personas, e inclusive algunos profesores

de ¿por qué? No ven logaritmos, es un tanto falaz o inadecuado, porque requieren

necesariamente los estudiantes, de cualquier nivel conocer los conceptos básicos de

los logaritmos, sus propiedades básicas para poder interpretar, y en todo caso

llevarlo un poco más adelante, a lo práctico, como en temas como en los que hace

un rato se mencionaban.

ANEXOS

159

R Pienso yo que debemos de redireccionar el asunto educativo, porque como

ingenieros nos falta todavía, también habría que ver ¿qué es lo que se busca en los

modelos educativos?, si nada más estamos buscando cambiar un foco o

verdaderamente llegar a otro tipo de conocimientos más profundos que nos permitan

desarrollar cosas, tan necesarios.

C Ya casi para terminar. En la formación matemática de un ingeniero, otra vez hay

muchos temas por supuesto, además de los que se veían en licenciatura, pero de lo

que vemos como elementos básicos, en este caso los logaritmos una vez más a usted

le parece fundamental, claro, hay muchos otros temas, pero concretamente en

logaritmos le parece fundamental el aprender antes del nivel universitario.

R Si, alguna vez platicando con algunos amigos de Sudamérica de Brasil, de

Argentina, que la universidad era un lugar donde se iban a aprender conocimientos

muy precisos, los logaritmos son precisos desde luego, pero también son

fundamentales. Son herramientas de una base que sustenta a otro tipo de

conocimientos más especializados, sin ese base no se puede sustentar, sin raíces los

árboles se van para abajo.

C pues parece ser todo maestro, muchísimas gracias por participar, por estar aquí con

nosotros.

R Muchas gracias a ustedes por la invitación

ANEXOS

160

A5 ENTREVISTA AL ESTUDIANTE

Entrevista realizada por los doctores del área de matemáticas Ing.María de Lourdes

Pérez Ruiz (L)y la Dra. Anna Tarasenko (A), al TSU Alejandro Meza (M), el día 27 de

julio, a las 10:30 hrs; en la UAEH:

L Estamos en la UAEH para llevar una entrevista con un estudiante de ingeniería en

Mecatrónica acerca del tema de los logaritmos, quisieras darnos tu nombre y

decirnos, en qué nivel estas.

M Mi nombre es Alejandro Meza Pérez, soy estudiante de la Universidad Tecnológica

del Valle del Mezquital. Actualmente me encuentro cursando el noveno

cuatrimestre de la ingeniería en Mecatrónica.

L Quisieras, dado que el tema es de logaritmos, decirnos ¿en qué momento educativo

tienes el primer contacto con lo que, son los logaritmos?

M Mi primer contacto fue en nivel de secundaria, justamente cuando empezamos a ver

los temas de álgebra, en ese nivel fue en donde nos presentaron por primera vez los

logaritmos.

L Cuando tú tienes este primer contacto con los logaritmos, entendías el significado,

el concepto de los logaritmos.

M Realmente no, solo lo manejaba como un valor definido por algún científico en

alguna época antigua, pero no, en si el concepto de logaritmo no está bien

cimentado hasta la fecha.

L En que momento ya a nivel licenciatura, requieres del concepto de los logaritmos.

M En ingeniería en Mecatrónica se nos exige mucho la parte de control. El control de

procesos en una industria está basado, ya sea termodinámica, ya sea electrónica, en

el proceso que sea se requieren mucho en la matemática a nivel superior, ya sean

ANEXOS

161

ecuaciones diferenciales de primero o segundo orden, si es necesario conocer lo que

es el logaritmo, como aplicarlo.

L Ok Cuando tu aplicas el logaritmo ¿Qué necesidades tienes dado que tienes, más

bien; que no tienes el concepto de logaritmos sino solamente una idea vaga de que

son números? Que haces tú para suplir estas necesidades? ¿Cómo tu logras aplicarlo

o utilizarlo en las ecuaciones?

M Bueno desde atrás, en primaria y en bachillerato; en la secundaria solo manejaban

que era un número, tienes tu calculadora, está la tecla de logaritmo, utilízala y es

todo. Ya en bachillerato me enseñaron que el logaritmo también viene en tablas, nos

dijeron hay libros donde pueden encontrarlas, también nos enseñaron que tenían

otra base los logaritmos, para serles sincero yo no se manejar muy bien la

calculadora, los logaritmos; si tengo un logaritmo en base diez lo aplico, pero si

tengo un logaritmo en otra base ya se me dificulta meterlo a la calculadora y para

sustituirlo sería mi carencia en logaritmos, así no lo han manejado como una simple

receta de cocina, ya que hagas tu formulario, o en calculadora y ya es un valor dado

nada más. Realmente no analizamos lo que es el concepto de logaritmo.

L Ok. Los logaritmos tiene propiedades que se aplican desde calculo diferencial, por

supuesto en ecuaciones diferenciales, incluso hay ecuaciones diferenciales que

requieren de estas propiedades y de la exponencial misma para llegar a un resultado

concreto, ¿cómo entonces haces para esta carencia?, ya no es el cálculo del número,

sino aplicar las propiedades de los logaritmos.

M Bueno, si esas propiedades de los logaritmos que usted menciona, lo vimos

recientemente, hace un cuatrimestre. Estamos llevando una ingeniería en la que

estamos a punto de salir, apenas al ver ecuaciones diferenciales, el profesor tuvo que

regresarse a ver esos conceptos para resolver ecuaciones diferenciales. Porque él

nos decía: este el logaritmo de esto y de esto, se suman, y nosotros nos quedamos

¿qué? Él nos decía: son conceptos básicos, que tuvieron que haberlo visto en

preparatoria, pero nosotros nos quedamos como una cara de ¿qué?, porque no

supimos esos conceptos básicos. Él tuvo que regresarse a darnos esos conceptos

ANEXOS

162

para poder avanzar en su materia, sino simplemente no hubiéramos podido resolver

las ecuaciones.

L Cuando él se regresa a estos conceptos, ¿retoma el concepto de logaritmos para

explicarles que es?

M No, él no se regresó tan atrás a lo que es el concepto, él solamente se enfocó a la

carencia, qué nos hacía falta, aplicar las propiedades.

L ¿Actualmente tú ya cuentas con una idea conceptualizada de lo que es un logaritmo?

M Bien sustentado no, sinceramente no.

L Cuando en lo que tu estas estudiando qué me dices que se requiere para el control de

procesos, el modelado y demás, tu aplicas las propiedades de los logaritmos y llegas

a un resultado, si éste tiene que ver con alguna función exponencial o logarítmica

¿Cómo interpretas?

M Bueno, la mayoría de las veces con graficación de los valores, por ejemplo, si

tenemos un proceso lo graficamos contra el tiempo, si nos encontramos con alguna

función exponencial o logarítmica, lo graficamos para ver su comportamiento, pero

así, ¿analizar por qué es exponencial o logarítmica?, o ¿por qué tiene esas

variaciones en el tiempo?, no siento que tengamos ese conocimiento para decir,

¡pasa por esto!

L Si tú observas el comportamiento del crecimiento demográfico, ¿podrías explicarlo

con las propiedades de las funciones logarítmicas o exponenciales?

M No, solamente nos manejan que esta función crece exponencialmente. Nosotros al

pensar en la función exponencial, decimos ¡es mucho!, no está creciendo

linealmente, esta crece y crece y se va.

L Exactamente, pero si nadie te dijera que es un crecimiento exponencial ¿podrías

relacionarlo?

ANEXOS

163

M No.

L Y eso se debe a que no tienes el concepto de que es exponencial ya que es un

logaritmo, si tú supieras exactamente que es un logaritmo y que es una exponencial.

Si sabes esa idea creo que podrías hacer la relación, pero debido a que no la tienes

no puedes hacer la relación, entonces ¿Cómo piensas cuando ustedes resuelven un

problema de modelación?, ¿cómo entiendes este comportamiento sino hay una

relación con la realidad?

M Llegamos a un resultado entre comillas favorable, porque llegamos al resultado,

sabemos que el sistema se comporta así, pero no lo entendemos al cien por ciento.

Les digo, nos manejan un concepto mecanizado, agarras tu tabla y sacas los

resultados y ya, ese es el resultado que te dio, no nos hacen analizar más allá, que es

lo que realmente está pasando con el sistema, o con el fenómeno.

L Si tú pensaras en realizar un proyecto en control de algún sistema, con esta carencia

que tienes, ¿crees que podrías realizarlo exitosamente?

M Probablemente no, pero yo tengo un concepto, que a veces el conocimiento se

adquiere más por necesidad que por gusto y en ocasiones así lo va a requerir el

trabajo, tenemos que meternos a los libros para entender, pero eso ya es un caso

extremo, porque nosotros no estamos tan fascinados por regresar a un libro y ver lo

que está pasando, pero si es por necesidad, el alumno tiene que regresarse.

L Si tú te situaras en un México ideal, en donde México fuera un país vanguardista en

cuanto a tecnología, que tuvieras las bases fundamentales para hacer punta de lanza

tecnológica, como nuevo profesional.

M Yo creo que México tiene todo lo necesario para salir adelante, tenemos talente,

tenemos todo, tenemos ingeniería, ingenio para realizar las cosas, pero realmente de

una época para acá los conocimientos han ido decayendo. Yo he tenido muchos

profesores que nos contaban que en la preparatoria o en la secundaria, es que antes

las matemáticas se veían más duro, se veían conceptos más pesados, e incluso

ANEXOS

164

ahorita tengo un hermano pequeño que está en la primaria, su nivel que está

llevando, realmente está muy pobre. Hay algunos conceptos que todavía no los

entiende, la raíz cuadrada él todavía no la ve. Yo recuerdo haberla visto en tercero

de primaria, mi mamá me la enseño desde antes. Eso quiere decir que de cierto

modo l educación está decayendo poco a poco y es realmente ahí donde está el

problema, por eso no hemos avanzado, hay algo que se está perdiendo en el proceso.

A Probablemente todo es tan cercano a este tema, quisiera preguntarte cual es tu

calificación en matemáticas promedio, como un 7 un 8, 9 o diez en matemáticas.

M A mí siempre me han gustado las matemáticas, mi promedio es de alrededor de 9.

A Y tampoco es lo más bajo, ¿verdad?

M No, solamente en ciertas ocasiones hay materias que si me han demandado de más y

bajo un poco, pero conservo cierto nivel porque le tengo agrado a las matemáticas.

A Y ¿tú sabes que libros de matemática puedes tomar?, un libro de matemáticas de por

ejemplo de nivel de preparatoria y ¿en preparatoria estudiaste logaritmos?, porque la

pregunta de la profesora fue ¿cuándo tuviste el primer encuentro con los

logaritmos?, ¿pero si la viste otra vez o no?

M En el bachillerato estudie técnico en construcción, ahí se requiere el área de físico –

matemáticas para calcular estructuras y todo eso, igual nos presentaron los

logaritmos, vimos álgebra, vimos trigonometría.

A ¿Y si estudiaste bien logaritmos?

M Los conceptos siguen siendo muy bajos.

A ¿Por la técnica de educación?

M Si, seguimos siendo: llegar, aplicar y ya se acabó. No llegamos más allá.

A Entonces vamos a poner un ejercicio de logaritmo.

ANEXOS

165

�@Aw25=

¿Qué número es?, sin calculadora.

M Tengo entendido que es algo relacionado con el exponencial, que es multiplicar uno

de estos números para llegar al resultado

A Es exponente, exacto.

M El resultado es 2, que es la potencia.

A Excelente, ¿esto tú lo aprendiste en preparatoria?

M Me lo explicaron alguna vez, me parece que lo vimos en la secundaria, este

conocimiento lo acabo de refrescar el cuatrimestre pasado, si no hubiera llevado esa

materia en este momento no lo hubiera podido resolver, sinceramente.

A ¿Y tú usas calculadora, verdad, para calcular logaritmos, si la necesitas?

M Si

A Por ejemplo si te dan el logaritmo de 1, ¿también usas calculadora, o si puedes

pensar de esta forma de definición de exponente?

M No, si nos dejaran un ejercicio, lo que hacemos todos los alumnos es: llegar y

calculadora ta, ta, ta, ta, resultado. Es llegar aplicar calculadora y ya. Estamos muy

mecanizados en este sistema. Ya no nos detenemos a pensar. He llegado en

ocasiones en las que operaciones simples, como sumas y multiplicaciones, llegamos

y a la calculadora. Ya no nos detenemos a ver que es fácil.

A Si entre mis estudiantes también, de pronto digo diez entre dos y sacan calculadora.

Ya no quieren hacer nada mentalmente, y cambia mucho si la calculadora les da

coseno de 0 es 1, no dudan. Tú crees que vale la pena estudiar logaritmos más

profundos.

ANEXOS

166

M Yo creo que sí, porque te dan un concepto en una forma vaga y nosotros no estamos

aprendiendo realmente. Estamos aprendiendo a utilizar máquinas, utilizar tablas, no

estamos aprendiendo realmente.

A Si se rompe máquina, pues no sabemos qué hacer.

M En la vida real, es cuando se ve realmente para qué son las matemáticas.

A ¿Tú crees que matemáticas sirvan en general para aprender a calcular números?

M Antes no lo comentaban así y, tal vez en ese sentido es por eso que no le ponemos

tanto interés a las matemáticas. No podemos echarle toda la culpa al sistema

educativo. Está fallando el sistema educativo, pero los alumnos también fallan.

Tanto en la secundaria por estar distraídos haciendo otras cosas, o en el bachillerato

porque no les encontramos aplicación útil a las matemáticas. Nos presentan un

logaritmo, nos dicen: a logaritmo de este tal, pero no nos dicen para que es, para que

realmente estamos ocupando el logaritmo, lo tomas como ¡Ha, logaritmo!, pero no,

si nos dijeran realmente para qué sirve el logaritmo, y que es, le encontraríamos

sentido a las matemáticas, y podríamos entender ya a conciencia.

A En general en el mundo, no solo en México, en todo el mundo, disminuyen horas de

matemáticas en secundaria, preparatoria, etcétera, el nivel disminuye en nivel medio

básico y básico, entonces, tú crees que si vale la pena disminuir horas de

matemáticas, que no sirven tanto, ¿no es necesario que uno sepa tantas cosas de

matemáticas, muy profundas y bien sustentadas?

M No, las matemáticas, desde mi punto de vista, son muy importantes. La mayor parte

de las cosas que nos rodean, están fundamentadas en matemáticas, ya sea un

arquitecto que esté construyendo un edificio o un ingeniero electrónico que esté

realizando sistemas de alarmas, para todo se requieren las matemáticas, no podemos

llegar simplemente y armar un aparato, para ver sí funciona, tenemos que estar

seguros de que el aparato va a funcionar, para ello se requieren matemáticas.

A Muchas gracias, muy interesante.

exclusiÓn exclusiÓn de saberes matemÁticos en de … · 2017. 10. 12. · vi capÍtulo iv...

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