estudio experimental de diferentes modelos matemáticos

Trabajo Fin de Grado

Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales

Estudio Experimental de diferentes modelos

matemáticos para resolver el problema TSP

Autor: Ana Corral Sánchez

Tutor: José Manuel García Sánchez

Dep. Organización Industrial y

Gestión de Empresas I

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2020

Estudio Experimental Problema TSP Universidad de Sevilla Ana Corral Sánchez

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3

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería de las Tecnologías Industriales

Estudio Experimental de diferentes modelos

matemáticos para resolver el problema TSP

Autor:

Ana Corral Sánchez

Tutor:

José Manuel García Sánchez

Profesor titular

Dpto. de Organización Industrial y Gestión de Empresas I

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2020


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5

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes

miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

El Secretario del Tribunal

Sevilla, 2020


6


7

INDICE GENERAL

INDICE GENERAL ................................................................................................................. 7

ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................................. 9

................................................................................................................................................. 9

ÍNDICE DE TABLAS ............................................................................................................ 10

............................................................................................................................................... 10

1. OBJETIVO DEL TRABAJO ........................................................................................... 11

2. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 12

3. El PROBLEMA DEL VIAJANTE GENERALIZADO .................................................... 13

........................................................................................................................................... 13

3.1. Historia del TSP ...................................................................................................... 13

3.2. Definición del TSP .................................................................................................. 14

3.3. Aplicaciones en la vida real ..................................................................................... 15

3.3.1. Logística y distribución .................................................................................... 15

3.3.2. Secuencia de Genomas ..................................................................................... 17

3.3.3. Placas de circuitos y Microchips ...................................................................... 18

3.3.4. Otras aplicaciones ............................................................................................ 19

4. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DEL TSP ...................................................................... 20

4.1. Métodos exactos ...................................................................................................... 20

4.2. Métodos aproximados .............................................................................................. 22

4.3. Formulación general TSP......................................................................................... 23

5. LOS MODELOS MATEMÁTICOS ................................................................................ 26

5.1. Modelo 1: Modelo MTZ .......................................................................................... 27

5.1.1. Elementos y variables ...................................................................................... 27

5.1.2. Restricciones.................................................................................................... 28

5.1.3. Función Objetivo ............................................................................................. 29

5.2. Modelo 2: Modelo DL ............................................................................................. 30

5.2.1. Elementos y Variables...................................................................................... 30

5.2.2. Restricciones.................................................................................................... 31


5.3. Modelo 3: Modelo intermedio .................................................................................. 32


5.3.2. Restricciones.................................................................................................... 33


5.4. Modelo 4: Modelo de Sarin...................................................................................... 35


8


5.4.2. Restricciones.................................................................................................... 36


5.5. Comentarios sobre los modelos ................................................................................ 37

6. LOS PROBLEMAS ........................................................................................................ 39

6.1. Introducción de los problemas ................................................................................. 39

6.2. Problemas simétricos ............................................................................................... 40

6.3. Problemas asimétricos ............................................................................................. 42

7. LINGO ........................................................................................................................... 43

7.1. Introducción a Lingo................................................................................................ 43

7.2. Ampliación de Lingo ............................................................................................... 45

7.2.1. Los conjuntos ................................................................................................... 45

7.2.2. Restricciones.................................................................................................... 46

7.2.3. Interfaz con el usuario ...................................................................................... 48

7.3. Conversión de los ficheros (“.txt”) a Lingo .............................................................. 50

7.3.1. De Ficheros de Texto a Excel ........................................................................... 50

7.3.2. De Excel a Lingo ............................................................................................. 53

7.4. Los Modelos finales en Lingo .................................................................................. 54

7.4.1. Modelo MTZ ................................................................................................... 55

....................................................................................................................................... 55

7.4.2. Modelo DL ...................................................................................................... 55

7.4.3. Modelo Intermedio........................................................................................... 56

7.4.4. Modelo de Sarin ............................................................................................... 56

8. EXPERIMENTACIÓN ................................................................................................... 57

8.1. Experimentación Problemas Asimétricos ................................................................. 59

8.2. Experimentación Problemas Simétricos ................................................................... 64

9. CONCLUSIÓN ............................................................................................................... 68

10. BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................... 69


9

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura Nombre Página

Figura 1 Rutas de Alemania, problema del TSP 14

Figura 2 Hamilton Icosian Game 15

Figura 3 Recorridos de un vendedor 17

Figura 4 Rutas escolares en la ciudad de Valencia 18

Figura 5 Mapeo de Radiación Híbrida 19

Figura 6 Ejemplo de ejercicio con la Fuerza Bruta 22

Figura 7 Ejemplo método del Vecino más

próximo

23

Figura 8 Problema del TSP de ejemplo, datos 25

Figura 9 Problema del TSP de ejemplo, solución

1

25

Figura 10 Ejemplo de problema en fichero de texto 40

Figura 11 Fichero de texto con enunciado de

Problema asimétrico

42

Figura 12 Ejemplo de modelo matemático 45

Figura 13 Ejemplo de modelo matemático simple

en Lingo

46

Figura 14 Aplicación de las funciones en Lingo 48

Figura 15 Aplicación de los signos en Lingo 48

Figura 16 Inicio de Lingo, interfaz con el usuario 49

Figura 17 Ejecución de Lingo, interfaz con el

usuario

49

Figura 18 Solución de Lingo, interfaz con el

usuario

50

Figura 19 Paso 1 para la conversión de enunciados 51






Figura 25 Modelo MTZ en Lingo 56

Figura 26 Modelo DL en Lingo 56

Figura 27 Modelo Intermedio en Lingo 57

Figura 28 Modelo de Sarin en Lingo 57


10

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla Nombre Página

Tabla 1 Elementos del modelo MTZ 28

Tabla 2 Elementos del modelo DL 31

Tabla 3 Elementos del modelo Intermedio 34

Tabla 4 Elementos del modelo de Sarin 36

Tabla 5 Listado de problemas Simétricos 42

Tabla 6 Listado de problemas Asimétricos 43

Tabla 7 Funciones para restricciones en Lingo 47

Tabla 8 Listado de problemas Asimétricos 60

Tabla 9 Comparación por error, Problemas

Asimétricos

61

Tabla 10 Comparación por tiempo, Problemas

Asimétricos

62

Tabla 11 Comparación por óptimos, Problemas

Asimétricos

63

Tabla 12 Comparación por Lower Bound,

Problemas Asimétricos

64

Tabla 13 Listado de problemas Simétricos 65

Tabla 14 Comparación por error, Problemas

Simétricos

65

Tabla 15 Comparación por tiempo, Problemas

Simétricos

66

Tabla 16 Comparación por óptimos, Problemas

Simétricos

67

Tabla 17 Comparación por Lower Bound,

Problemas Simétricos

68


11

1. OBJETIVO DEL TRABAJO

Actualmente, existen diversos métodos y estrategias para la resolución del Problema del

Viajante de Comercio (TSP), es decir, “The Travelling Salesman Problem” como sus iniciales

indican, ya que quizás es el problema de optimización combinatoria más ampliamente

investigado.

Para la solución de este problema existen diferentes estrategias, tanto métodos aproximados,

donde entrarían las heurísticas y las metaheurísticas, como el uso de métodos exactos, donde se

sitúa este trabajo. El objetivo principal de este trabajo será analizar y comparar cuatro modelos

matemáticos diferentes que permitan la resolución óptima de los diferentes problemas TSP o

una solución factible pasado un tiempo razonable. Se utilizará una batería de problemas que

contemplará tanto escenarios simétricos como asimétricos respecto a la distancia entre nodos.

Los modelos matemáticos se implementarán en una herramienta informática de optimización

llamada Lingo, en la cual se formularán los modelos con su propio lenguaje, y los enlazaremos

con los problemas situados en ficheros de texto (“.txt”) que contendrán todos los datos

necesarios para su resolución.

En cuanto a los modelos, tendremos tres versiones principales. Por un lado, el modelo propuesto

por Miller, Tucker y Zemlin (1960) [5], por otro lado, el modelo propuesto por Desrochers y

Laporte (1988) [9], que es muy similar al modelo MTZ, y como tercer modelo el propuesto por

Sarin (1992) [2]. Finalmente, el último modelo de estudio será un modelo intermedio entre el

propuesto por Miller, Tucker y Zemlin y el propuesto por Desrochers y Laporte, el cual recibirá

el nombre del Modelo Intermedio.

La finalidad del trabajo es obtener datos concluyentes y reales, que sirvan de ayuda a la hora de

escoger uno de los cuatros métodos dependiendo del tipo de problema al que nos estemos

enfrentando.


12

2. INTRODUCCIÓN

El problema del viajante de comercio, más conocido como el TSP (Travelling Salesman Problem),

es uno de los problemas más conocidos de la historia, especialmente tienen una gran relevancia y aplicación en el ámbito de la logística y la distribución, así como en otros entornos dentro del

campo de la optimización. Los problemas TSP se puede emplear en cualquier situación que

requiera seleccionar nodos en cierto orden que reduzca los costes.

Estos problemas se basan generalmente en un viajante, el cual quiere visitar n ciudades, pasando

una sola vez por cada una de ellas, empezando por una ciudad origen en la que se acabará el

propio recorrido. El fin a la hora de resolver estos problemas, es decidir cuál es el recorrido que

debe seguir el viajero para que el coste total, es decir, ya sea por costes monetarios o sea

distancia total recorrida, sean los mínimos.

El problema del TSP trata de un viajero y de distintas ciudades, pero se podría hacer de forma

genérica y ser modelado como un grafo de manera que las ciudades sean los diferentes vértices

del grafo o los nodos, los caminos entre las ciudades sean los arcos que se forman al ir de un

vértice a otro, y los costes la distancia que hay entre ellos. De esta forma, se utilizada el

problema del TSP de forma más generalizada, donde los vértices podrían ser localidades,

puntos, empresas o tiendas entre otros, y el viajante, que es el que realiza los distintos caminos o

arcos en este caso, podría ser cualquier entidad, sea una persona o un vehículo. [5]

Los problemas a la hora de resolverlos es que tienen una gran complejidad ya que pertenecen a

la clase de problemas NP-completos (problemas que requieren un número de pasos exponencial

respecto al tamaño del problema para garantizar optimalidad) [12]. Esto implica que el tiempo

de ejecución de cualquier algoritmo, para poder resolverlos, aumenta de forma exponencial con

respecto al número de ciudades. Por lo tanto, un problema TSP con un gran número de nodos,

es muy difícil de resolver sin la utilización de herramientas informáticas.

Como la demanda del TSP es bastante elevada gracias a sus múltiples utilidades en diversos

ámbitos, en los últimos años se han desarrollado grandes evoluciones para poder resolverlos con

mayor facilidad. Hay muchas estrategias y métodos diferentes, los cuales explicaremos en el

desarrollo del trabajo.

En este trabajo analizaremos el Problema del viajante, explicando previamente en el capítulo 3

su historia, definición y aplicación en la vida real. Posteriormente, en el capítulo 4, se detallarán

las diferentes estrategias y métodos de resolución que tiene, centrándonos en los modelos

matemáticos ya que será la forma de resolución que vamos a usar. Primero, desarrollaremos

estos modelos matemáticamente explicando y detallando sus elementos, variables, restricciones

y función objetivo en el capítulo 5. Una vez planteados los cuatro modelos que vamos a utilizar,

añadiremos en el capítulo 6 todos los problemas que vamos a desarrollar, tanto los simétricos

como los simétricos, para poder entender mejor su estructura. En el capítulo 7, se explicará todo

lo relacionado con la herramienta informática que vamos a disponer para la resolución de los

problemas TSP, es decir, Lingo, tanto su lenguaje como la descripción de los cuatro modelos

finales. Finalmente, una vez explicado todo lo anterior, comenzará el apartado de la

experimentación, es decir, el capítulo 8, donde detallaremos el procedimiento que se ha llevado

a cabo, los resultados obtenidos por los cuatro modelos, y las distintas comparaciones de los

modelos basándonos en diferentes criterios. Se añadirán los capítulos 9 y 10 para hacer una

breve conclusión del trabajo y añadir las referencias.


13

3. El PROBLEMA DEL VIAJANTE GENERALIZADO

3.1. Historia del TSP

Los orígenes del problema del viajante de comercio no son totalmente claros. El primer

conocimiento que se tiene de él fue a partir de 1832 en Alemania [10] en un libro titulado “El

problema del viajero”. En este libro se desarrolla qué se debe hacer para obtener éxito en los

negocios, el cual, podría ser considerado como la primera referencia bibliográfica del problema

del TSP al comentar que con una elección apropiada del tour a realizar, se puede ahorrar mucho

coste, es decir, tiempo y distancia, y que el aspecto más importante es cubrir tantas ciudades

como sean posibles sin visitar una de ellas dos veces. En cuanto a tratamientos matemáticos, no

contenía nada, pero sí cinco rutas que recorren regiones de Alemania y Suiza, una de las cuales

será la solución óptima al problema del TSP planteado [4].

Fig.1 Rutas de Alemania, problema del TSP

Fuente: The travelling Salesman Problem, A computational Studio [4]

Sin embargo, el problema matemático surgió a través del “Hamilton Icosian Game”, un juego

matemático desarrollado en 1857 por William Rowan Hamilton [10]. El objetivo del juego era

dar con el recorrido óptimo de las aristas de un dodecaedro para visitar una sola vez cada vértice

de la figura, y que a su vez el vértice de partida coincidiera con el de llegada. El desafío se

planteaba como un tablero con agujeros en cada nodo del grafo del dodecaedro y su objetivo era

la búsqueda de un ciclo de Hamilton, nombre que se puso en honor a su autor [6].


14

Fig.2 Hamilton Icosian Game

Fuente: Cooperación en los problemas del viajante y rutas de vehículos [6]

A raíz de esto, el problema del TSP ha ido evolucionando y obteniendo una gran variedad de

estrategias y métodos de resolución, así como aumentando el número de nodos, y por lo tanto

aumentando su complejidad.

En cuanto a sus estrategias de resolución, las que vamos a desarrollar en el trabajo serán

métodos exactos usando modelos matemáticos, concretamente el primer modelo planteado será

el MTZ, el cual debe su nombre a sus propios autores, Miller, Tucker y Zemlin (1960). Este

modelo se formuló para introducir la eliminación de los subtours que se forman al ir de un nodo

a otro, concepto que se explicará a lo largo del trabajo. Posteriormente, se hicieron varias

versiones y mejoras del modelo MTZ, las cuales nosotros nos centraremos en el modelo DL, de

Desrochers y Laporte, y otro modelo intermedio entre estos dos. Finalmente, analizaremos y

experimentaremos con el modelo de Sarin.

3.2. Definición del TSP

El problema del viajante de comercio (TSP), debe su nombre a que la enunciación más común

de este problema habla de un viajante de comercio que tiene que partir de su casa para visitar

una serie de clientes ubicados cada uno en una ciudad diferente, y volver finalmente de nuevo a

su casa. Sin embargo, se pueden plantear muchos otros enunciados similares que conlleven las

mismas condiciones y se busque un mismo fin, reducir los costes, tanto de tiempo, de distancia

o de precio.

Otros enunciados similares, podrían ser: un transportista que necesita hacer una ruta para

entregar mercancías a varias tiendas, cada una situada en puntos diferentes de una localidad, o


15

un avión que quiere recorrer todos los países de un mismo continente. Todos buscan el mismo

fin, y tienen prácticamente que cumplirse las mismas condiciones:

• La entidad, que puede ser persona o transporte entre otros, debe salir de un punto inicial

de origen, y visitar los N puntos restantes.

• Cada punto para visitar tiene que ser visitado sólo una vez.

• El coste, que supone ir de un punto a otro, debe ser conocido. Este coste podría ser

distancia, tiempo o costes monetarios.

• Al terminar el recorrido, la entidad debe volver a su punto de origen cerrando así el

grafo que forma.

3.3. Aplicaciones en la vida real

El problema del viajante de comercio es un problema planteado en muchos ámbitos diferentes,

ya que el fin que busca se puede moldear a diversas situaciones similares. Entre ellos, destaca en

el ámbito de la logística y distribución, en la cadena de producción, en la elaboración de

microchips, en la agrupación de datos, en el turismo y agencias de viajes, en secuencias…

3.3.1. Logística y distribución

Una aplicación muy común del problema del TSP es en el movimiento en sí de personas,

equipos y vehículos para proporcionar un servicio, ya sea repartir mercancías, visitar ciertos

puntos concretos o con otros fines.

Cuando hablamos del “transporte” de estas entidades, nos referimos a la logística que lleva esa

entidad en desarrollar su función.

Dentro del campo de la logística, caben destacar ciertos puntos donde se utiliza frecuentemente

el problema del TSP para poder trabajar:

• Turismo:

Muchas agencias de viaje hacen uso de un software para resolver problemas TSP, y así

poder organizar sus viajes de una forma más económica tanto para ellos como para sus

propios clientes, proporcionando un viaje más completo.

No solo tienen que ser las agencias de viajes las que usen esto. También las propias

personas a la hora de viajar por su cuenta usan métodos de resolución de los problemas

TSP, sobre todo en viajes largos, donde se necesitan visitar muchos puntos o sitios

diferentes para una mejor organización y un aprovechamiento máximo del viaje.


16

• Vendedores:

En cuanto a vendedores, el problema TSP se implementa de tal forma que el viajante es

un vendedor, y quiere recorrer el máximo número de puntos distintos sin pasar por los

mismos, vendiendo así el mayor número posible de su producto, y con el objetivo a su

vez de ahorrar lo máximo en costes, ya sea de tiempo, como de distancia o gasolina.

Para ello, antes de partir, se crean rutas óptimas en el mapa de puntos interesados para

cumplir con el objetivo.

Dependiendo del número de ciudades, se obtendrá una gran cantidad de rutas diferentes

que tomar, decidiéndose por la que mayor beneficio le proporcione.

Fig.3 Recorridos de un vendedor

Fuente: Elaboración Propia

Un vendedor quiere vender su producto por las ciudades marcadas de Andalucía, partiendo de la

ciudad origen, que es Sevilla. Traza todos los diferentes caminos posibles a realizar, y se da

cuenta que no sabe bien qué ruta hacer para poder ahorrar lo máximo en tiempo, y en distancia,

lo cual le ahorraría en combustible.

En este tipo de casos, en la vida real, las compañías realizan un estudio con el uso de

herramientas apropiadas, para detallar qué recorrido sería el óptimo.

• Envíos postales:

El problema TSP juega un papel importante en los problemas postales generales, donde

las casas o calles están muy alejadas unas de otras, o donde solo es necesario visitar un

subconjunto de casas como en la entrega de paquetes.

Por ello, en este ámbito se ha adoptado recientemente el problema TSP en softwares

para el uso en las aplicaciones postales. Un ejemplo es la empresa Rapidis [4], que

emplea un módulo heurístico de Concorde para trazar rutas para sus clientes de

Forbruger-Kontakt, un distribuidor de material publicitario y muestras que opera en

Dinamarca y otros países.


17

• Secuencias:

Cuando hablamos de secuencia, nos referimos al orden en el cual n trabajos tienen que

ser procesados de tal forma que se minimice el costo total de producción.

• Rutas de transporte laborales o escolares:

Muy similar a lo que sucede con el vendedor o el cartero, pero en este caso surge con la

necesidad de crear la ruta óptima a la hora de recoger a trabajadores o alumnos en sus

respectivas casas o paradas, para llevarlas al trabajo o colegio.

Fig.4 Rutas escolares en la Ciudad de Valencia

Fuente: Routing Maps, empresa de Rutas

3.3.2. Secuencia de Genomas

El problema TSP también juega un papel importante en la secuencia de genomas, ya que nos

proporciona una herramienta para construir las secuencias a partir de datos experimentales sobre

la proximidad de pares individuales de marcadores.

Cada cromosoma, situado en el mapa del genoma, tiene una secuencia de marcadores con cierta

estimación de la distancia entre los marcadores adyacentes. Estos marcadores de los mapas son

conocidos como segmentos de ADN, y pueden detectarse en un laboratorio de forma fiable. La

capacidad de reconocer estos segmentos permite a los investigadores a utilizarlos para poder

comparar y combinar mapas físicos creados en diferentes laboratorios [4].

El problema TSP entra en juego, a la hora de tener información sobre del orden en el que

aparecen los marcadores en el genoma.


18

El mapeo de radiación híbrida (RH), desarrollada por Goss y Harris [4], es una de las técnicas

principales para poder obtener datos sobre la posición relativa de los marcadores, creando los

segmentos a partir de Rayos X.

Fig.5 Mapeo de Radiación Híbrida

Fuente: The travelling Salesman Problem, A Computational Studio [4]

3.3.3. Placas de circuitos y Microchips

Esta es una de las utilidades más favorables que puede plantear el problema del viajante de

comercio. La creación de placas de circuitos se enfoca en dos problemas distintos, los cuales

pueden ser solucionados gracias al problema TSP.

• Problemas de perforado:

El fin es buscar el orden óptimo de taladrar las placas.

En este caso, tomaremos las ciudades como las posiciones a perforar y las distancias

entre ellas como el tiempo que necesita la máquina en trasladarse de una a otra. La

ciudad origen en este caso será un punto adicional, donde permanecerá la perforadora

mientras no está trabajando.

• Problemas de conexión de chips:

La idea principal es minimizar la cantidad de cable necesario para poder unir todos los

puntos de una placa sin que haya interferencias, dando lugar así a errores.


19

Los chips son normalmente de tamaño bastante pequeño, es imposible poder poner más

de dos cables en un único pin. Por lo tanto, en este caso, ahora tomamos las ciudades

como los pins, y la cantidad de cable para unirlos como la distancia, intentando

minimizarla al máximo [16].

3.3.4. Otras aplicaciones

• Inspecciones a sitios remotos:

Ordenar los lugares que deberá visitar un inspector en el menor tiempo.

• Aplicaciones en Internet:

Supongamos que el viajante de comercio es un bit de datos, y que las ciudades son

servidores de Red distribuidos por todo el planeta.

Esta variante del problema del viajante de comercio puede simularse en el uso óptimo

de una plataforma masiva de distribución como es Internet.

• Problema de Scheduling: Este problema es más complejo de resolver, ya que se formula de tal manera que hay

“T” tareas que realizar y “m” procesadores. El objetivo a la hora de utilizar el problema

TSP es buscar una planificación en “m” procesadores para “T”, intentando minimizar el

tiempo.


20

4. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DEL TSP

Para la resolución del problema TSP, han ido evolucionando a lo largo de la historia diversas

formas, estrategias y métodos. Algunos de estos métodos inicialmente eran realizados a mano,

cuando el número de entidades o nodos era bastante pequeño, pero cuando empezaron a

utilizarse en casos en los cuales la complejidad aumentaba exponencialmente debido al aumento

de los nodos, tuvieron que poner en marcha distintos software y herramientas informáticas para

su resolución.

En este apartado, hablaremos de distintos métodos que se han ido llevando a cabo, y finalmente

con cual de todos estos métodos nos quedaremos para poder resolver los problemas planteados

en el apartado anterior.

4.1. Métodos exactos

Cuando mencionamos métodos exactos, nos referimos a métodos que nos proporcionan un

resultado final óptimo, es decir, la mejor solución que nos proporciona es la correcta. Para

explicar un poco estos métodos, es importante mencionar que encontrar el óptimo exacto es más

complicado de lo que parece, por ello muchos de los métodos que nos proporcionan un

resultado exacto, serán para casos con complejidad baja, es decir, con pocos nodos que recorrer.

A pesar de ello, hay métodos que son exactos y además el tiempo de ejecución se encuentra en

un rango bastante aceptable para un gran número de nodos.

Algunos de estos métodos podrían ser:

• Método de Branch and Bound:

El método de Branch and Bound o también conocido como ramificación y poda, nos

proporciona una solución óptima del problema del agente viajero. Para ello hay que ir

calculando la solución del modelo mediante el algoritmo Simplex, es decir, un método

numérico que busca un mínimo o un máximo local de una función cualquiera,

examinando en cada paso los vértices de un Simplex.

A medida que el tamaño de la red aumenta, es decir, al ir aumentando el número de

nodos, el tiempo de resolución también aumenta a gran escala, por lo que este método

solo sería útil para redes de pequeño tamaño [15].

• Método de la fuerza bruta:

El método de la fuerza bruta tan solo consiste en la exploración de todos los recorridos

posibles, sin la aplicación de ningún algoritmo sistemático. Por ello, es un método, que

se puede implementar y utilizar en problemas que tengan un número mínimo de nodos,

ya que al contrario sería interminable.

A continuación, mostramos un ejemplo de problema resolviéndose con el método de la

fuerza bruta, donde los costes son las distancias entre los nodos en kilómetros, y el nodo

origen es el punto A. Como se puede observar, se trazan todos los trazos posibles que

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_num%C3%A9rico

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_num%C3%A9rico

https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmplex


21

hay de un nodo a otro, y calculando todos los recorridos completos, sumando los

distintos costes que implican, podría deducirse el camino y coste óptimo.

Fig.6 Ejemplo de ejercicio con la Fuerza Bruta

Fuente: Investigación de Operaciones, TSP. Ingeniería Industrial online [15]

• Modelos matemáticos:

Finalmente, en este apartado de métodos exactos, mencionaremos los modelos

matemáticos. Con distintos modelos matemáticos, es decir, formulaciones de ciertas

restricciones, funciones objeticos y variables, podemos conseguir un resultado del

problema del TSP exacto.

Si estos modelos matemáticos los resolvemos sin la utilización de ninguna herramienta

informática o software, nos encontraríamos en la misma situación que los dos métodos

anteriores, es decir, solo nos servirían para casos con poco número de nodos. Por el

contrario, si usamos programas o aplicaciones informáticas, con este método,

podríamos encontrar un resultado exacto de un problema del TSP con un gran número

de ciudades.

En nuestro trabajo, nos vamos a basar en estos métodos, usando cuatro modelos

matemáticos diferentes, y ayudándonos de la herramienta Lingo (el cual usa un Branch

and bound realmente para resolverlo), la cual nos permite que podamos hacer los

problemas con una gran cantidad de ciudades, en un tiempo de ejecución bastante

aceptable.

Los modelos que vamos a desarrollar, y los cuales explicaremos en el siguiente apartado

serán:

- Modelo MTZ

- Modelo DL

- Modelo Intermedio

- Modelo de Sarin


22

4.2. Métodos aproximados

Cuando hablamos de métodos aproximados, nos referimos a aquellos en los que el resultado

final que nos proporcionan no es exacto, si no próximo a él. Aunque no sean exactos, nos dan

un óptimo bastante bueno y útil para resolver muchos problemas en la vida real. Además, estos

métodos son mucho más sencillos de realizar y su tiempo de ejecución también se reduce

bastante. Entre estos métodos podemos utilizar:

• Métodos heurísticos:

Son algoritmos que con poco esfuerzo computacional proporcionan una solución

aproximada, pero no necesariamente óptima del problema [13].

Alguno de los métodos más utilizados para resolver el problema del TSP dentro de las

heurísticas, son:

- Métodos constructivos, son métodos deterministas en los que se suelen

ir construyendo paso a paso una solución y se van eligiendo las

mejores en cada iteración. Algunos ejemplos son el método del vecino

más próximo o heurísticos de intersección.

- Métodos de búsqueda local, o también llamados procedimientos de

búsqueda. Estos procedimientos comienzan con una solución del

problema y después van mejorando mientras se pueda la solución

actual hasta que esta no pueda ser mejorada. La solución final se

denominará óptimo local. Un ejemplo es el procedimiento de 2

intercambios.

- Métodos combinados, que son los métodos en los que se combinan y

mezclan los dos métodos anteriores, es decir, los de búsqueda y los

constructivos.

Más cercano

Fig.7 Ejemplo del método del vecino más próximo

Fuente: Elaboración propia

v


23

4.3. Formulación general TSP

Finalmente, como hemos explicado anteriormente, para la resolución de nuestros problemas

TSP, vamos a utilizar dentro de los métodos exactos, unos modelos matemáticos con ayuda

de la herramienta informática Lingo. Hablando ahora en términos del problema del viajante

en sí, el objetivo es encontrar el orden en el cual se deben visitar cada una de las ciudades

para poder minimizar la distancia recorrida. Todas las soluciones posibles a este problema,

las llamaremos “tour”, sean las óptimas o no.

Para empezar a formular estos problemas, hay que tener en cuenta que existen dos

condiciones obvias que deben cumplirse siempre:

• Condición 1: Exactamente una ciudad debe ser visitada inmediatamente después de la

ciudad i [1].

Esta condición podría ser representada matemáticamente como:

∑ 𝑥𝑖𝑗 = 1

𝑛

𝑗

; ∀ⅈ = 1 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗

• Condición 2: Exactamente una ciudad debe ser visitada inmediatamente antes de la

ciudad j [1].

Esta condición podría ser expresada matemáticamente del siguiente modo:

∑ 𝑥𝑖𝑗 = 1

𝑛

𝑖

; ∀𝑗 = 1 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗

El valor Xij valdrá 1 cuando después de la ciudad i, el viajante vaya directamente a la ciudad j,

en caso contrario, valdrá cero. A pesar de estas dos restricciones, no serían suficientes para

plantear el modelo del problema TSP, y esto se puede demostrar con el siguiente ejemplo:

Problema de ejemplo 1

Se nos plantea un problema en el que se quieren recorrer 7 ciudades diferentes, pasando por

todas ellas, pero sin repetir y situadas de la siguiente manera:


24

Fig.8 Problema TSP de ejemplo, datos


Una solución que cumpla con las dos condiciones previamente descritas podría ser la siguiente:

Fig.9 Problema TSP de ejemplo, solución 1


Se puede observar a simple vista, que la solución cumple con las restricciones explicadas

anteriormente. Pero si nos fijamos bien, no es lo que buscamos, ya que aparecen “subtour”.

Los subtour son las rutas o los tours, que o bien no incluyen a la ciudad de origen, es decir, a la

ciudad 0, o bien no incluyen a todas las ciudades, aunque empiece y acabe en cero. Para que no

suceda este tipo de problemas, habría que añadir al modelo otras restricciones, que serán las que

hagan las diferencias entre las distintas formulaciones que vamos a implementar en nuestro

trabajo.

Por otro lado, todos los modelos que vamos a estudiar tienen un mismo fin, y por lo tanto

compartirán una misma función objetivo: reducir lo máximo posible los costes totales. Esta

función podría ser:

𝑀ⅈ𝑛 ∑

𝑛

𝑖

∑ 𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗

𝑛

𝑗

3

0

5

2

1

4 6

7

3

0

5

2

1

4 6

7


25

Donde, el elemento Cij representa el valor exacto en cuanto a costes, que hay en ir desde la

ciudad i hasta la j, y el valor Xij, es lo explicado anteriormente, es decir, valdrá 1 si se cumple

que directamente después de estar en la ciudad i, se irá a la j.


26

5. LOS MODELOS MATEMÁTICOS

En el apartado anterior mencionamos que los métodos que finalmente íbamos a utilizar para

desarrollar y resolver nuestros problemas tanto simétricos como asimétricos serían dentro de los

métodos exactos, los modelos matemáticos con ayuda de una herramienta informática llamada

Lingo.

El verdadero fin de este trabajo, no es resolver solo estos problemas del TSP, si no, deducir cuál

de los cuatro modelos matemáticos que vamos a utilizar es el mejor, tanto en la búsqueda del

óptimo como del tiempo de ejecución que implementa.

En el último subapartado anterior, el apartado 4.3, en la formulación general del problema TSP,

explicábamos que existen dos condiciones y una función objetivo común para cualquier método

matemático, que son totalmente necesarias para que el problema del TSP pueda resolverse. Pero

también añadíamos que con estas dos únicas condiciones se formaban unos “subtour”, es decir,

unos tours erróneos que no deberían de tenerse en cuenta, y que para hacer desaparecer estos

subtour habría que añadir otras restricciones, que serían las que formarían las diferencias entre

los cuatro modelos a desarrollar.

Por lo tanto, nuestros cuatro modelos, van a compartir varias variables, las dos condiciones

fundamentales y la función objetivo, como hemos explicado antes y las cuales se pueden ver de

forma resumida a continuación:

• Función objetivo:

𝑀ⅈ𝑛 ∑

𝑛

𝑖


𝑛

𝑗

• Condición 1:

∑ 𝑥𝑖𝑗 = 1

𝑛

𝑗

• Condición 2:

∑ 𝑥𝑖𝑗 = 1

𝑛

𝑖

Y a raíz de esto, comenzaremos a explicar modelo a modelo, su introducción, sus variables y

elementos que participan, sus restricciones y su función objetivo.


27

5.1. Modelo 1: Modelo MTZ

Este modelo matemático fue planteado por Miller-Tucker-Zemlin en torno al 1960. Lo que se

pretendía con este modelo era añadir en la formulación del problema TSP la eliminación de los

subtours, lo cual permitía encontrar el óptimo a los problemas.

5.1.1. Elementos y variables

A continuación, se explicarán los elementos que participan en el sistema. Son de forma

generalizada y pueden ser cosas, personas, herramientas, lugares o tiempo, entre otros [7].

Estos elementos normalmente tienen asociados cierta información la cual depende de ellos y las

llamaremos variables asociadas. Estas variables tienen que contener información, en este caso

numérica ya que estamos hablando de un modelo matemático y son las que participarán en las

acciones que se producen en el sistema y en las restricciones. Además, estos elementos tendrán

asociados unos datos, también numéricos, para poder realizar el problema, Por lo tanto, los

elementos, datos y variables asociadas que participan en este modelo son:

Elemento Tipo Variables asociadas Datos

Ciudades/Nodos Índice i,j=1…N Ui(posición ciudad i),

entero

-

Tramos/Arcos (i,j) - Cij (coste de i a j),

entero

Tabla 1. Elementos del modelo MTZ


• N: Será el número total de ciudades que existen en el problema.

• Tramos: Son los recorridos que se formarán en ir de una ciudad i a una ciudad j.

• Cij: Son los costes que supone ir de una ciudad i una ciudad j, recogidos en la matriz de

datos.

• Ui: Variable entera que implica el número de ciudades visitadas hasta la ciudad i.

Básicamente esta variable indica cual es la posición de visita de la ciudad de partida i.

A las ciudades también las hemos llamado nodos, y a los tramos que realiza el viajante en ir de

una ciudad a otra también podrían considerarse como arcos.

En estos problemas también hay que mencionar a las variables de decisión, es decir, son las

acciones directas e indirectas que se producen en el sistema. A estas variables, en la ejecución

del problema, se les va proporcionando un valor, el cual inicialmente no estará determinado.

Estas variables son las que definen las variables principales del modelo y sus valores podrían ser


28

cualquiera, es decir, un valor binario, un entero o un valor continuo. Las variables de decisión

de este modelo serán [5]:

• Xij: Es una variable binaria (valor 1 o 0), la cual dependerá de si el TRAMOS(i,j) es

seleccionado o no para encontrar el óptimo.

𝑿𝒊𝒋 = {1, 𝑠ⅈ 𝑠𝑒 𝑣ⅈ𝑠ⅈ𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑐ⅈ𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑗 ⅈ𝑛𝑚𝑒𝑑ⅈ𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐ⅈ𝑢𝑑𝑎𝑑 ⅈ

0, 𝑠ⅈ 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑣ⅈ𝑠ⅈ𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑐ⅈ𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑗 ⅈ𝑛𝑚𝑒𝑑ⅈ𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐ⅈ𝑢𝑑𝑎𝑑 ⅈ}

5.1.2. Restricciones

En este apartado, detallaremos y explicaremos cuales son las restricciones que se usan en el

modelo MTZ. Las restricciones son condiciones y normas necesarias para poder cumplir con

nuestro objetivo [8].

R1) ∑ 𝑥𝑖𝑗 = 1𝑛𝑗 ; ∀ⅈ = 1 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗

R2) ∑ 𝑥𝑖𝑗 = 1𝑛𝑖 ; ∀𝑗 = 1 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗

R3) 𝑢𝑖 − 𝑢𝑗 + 𝑛𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑛 − 1 ; ∀𝑗, ⅈ = 1 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗

R4) 𝑢ⅈ ≤ 𝑛 ; ∀ⅈ = 1 … 𝑛

R5) 𝑥ⅈ𝑗 ∈ [0,1] ; ∀𝑗, ⅈ = 1 … 𝑛

A continuación, explicamos el significado de cada una de ellas:

R1) Esta restricción es general para todos los modelos, significa que exactamente una ciudad

debe ser visitada inmediatamente después de la ciudad i. Aquí va variando continuamente la

ciudad j, mientras que la ciudad i está fijada, por lo tanto, como la variable Xij valdrá 1 en caso

de que ese tramo sea recorrido, tiene que existir si o si un solo camino desde cualquier ciudad j a

la ciudad i fijada.

R2) Esta restricción también es general para todos los modelos, y hace lo mismo que la anterior,

refiriéndose a que exactamente una ciudad debe ser visitada inmediatamente antes de la ciudad


29

j. El procedimiento que utiliza es el mismo que el anterior, pero de forma contraria, es decir,

ahora fijando la ciudad j.

R3) Esta restricción es la que elimina los subtours explicados anteriormente, y por lo tanto la

que hace diferencia al modelo MTZ. Aquí se han añadido dos conjuntos de variables nuevas,

que indican la posición de visita que tiene la ciudad de partida i, y la que tiene la ciudad de

llegada j.

Como la ciudad de partida i, tiene que tener una posición anterior a la posición de llegada,

primero se desarrolló esta ecuación [8]:

𝑢𝑗 ≤ 𝑢𝑖 + 1

Con esto se rompía el subtour entre dos ciudades. Además, en este conjunto de variables Ui,

tendría que haber una variable Ux que indicara que era la primera ciudad visitada de todo el

recorrido, y otra variable Uy que indicara que era la última ciudad visitada antes de volver a la

ciudad origen (ciudad 0). Por lo tanto, habría que añadir algo a la ecuación que relacionara

automáticamente a la última ciudad visitada con la ciudad origen. De esta manera, se reformuló

la última restricción y se dejó tal y como está descrita arriba.

R4) Esta restricción obliga a que la variable contador de las ciudades visitadas hasta la i, es

decir, la variable Ui, sea igual o inferior al número total de ciudades de nuestro problema. Esto

es, ya que la variable Ui indica la posición de visita de la ciudad i, que máximo tendría la última

posición, es decir, la posición n.

R5) La última restricción, es simplemente para indicar que nuestra variable de decisión Xij, será

binaria, ya que como hemos explicado antes, valdrá 1 si se elige el tramo desde la ciudad i hasta

la j, y 0 en caso contrario.

5.1.3. Función Objetivo

La función objetivo, como hemos explicado en la introducción de este apartado, será común

para nuestros cuatro modelos a estudiar. Esto se debe a que el fin de la resolución de los

problemas es el mismo, realizar un recorrido que cumpla con todas las condiciones anteriores,

pero a su vez que ahorre lo máximo en costes, que en este caso los costes serán las distancias

que hay entre unas ciudades y otras.

Estos costes son representados en las variables Cij, y se formula de la manera expuesta abajo, de

tal forma que para todo el conjunto de ciudades i y j, el sumatorio de todos los camino elegidos

( cuando Xij vale 1) multiplicado por el coste que suponen dichos caminos, sea lo mínimo

posible:

𝑀ⅈ𝑛 ∑

𝑛

𝑖


𝑛

𝑗


30

5.2. Modelo 2: Modelo DL

Este segundo modelo fue el desarrollado por Desrochers y Laporte [9], en el que ocurre lo

mismo que con el modelo MTZ, a las dos condiciones generales y a la función objetivo común,

se le ha añadido una nueva restricción para la restricción de los subtours, que es diferente a la

del modelo MTZ, y por lo tanto en lo que únicamente se diferencian.

5.2.1. Elementos y Variables

Los elementos de este modelo son exactamente iguales que los del modelo MTZ, ya que la

única diferencia que hay entre estos dos, es que la restricción 3, es decir, la de eliminación de

subtour, que cambia muy levemente, manteniendo sus elementos, datos, variables asociadas y

variables de decisión [9].



entero

-


entero

Tabla 2. Elementos del modelo DL


Elementos y variables asociadas:




datos.



Variables de decisión:






31


Las restricciones son iguales que las del modelo MTZ, excepto la restricción 3 que cambia:

R1) ∑ 𝑥𝑖𝑗 = 1𝑛𝑗 ; ∀ⅈ = 1 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗

R2) ∑ 𝑥𝑖𝑗 = 1𝑛𝑖 ; ∀𝑗 = 1 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗

R3) 𝑢𝑖 − 𝑢𝑗 + (𝑛 − 1)𝑥𝑖𝑗 + (𝑛 − 3)𝑥𝑗𝑖 ≤ 𝑛 − 2 ; ∀𝑗, ⅈ = 1 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗

R4) 𝑢ⅈ ≤ 𝑛 ; ∀ⅈ = 1 … 𝑛

R5) 𝑥ⅈ𝑗 ∈ [0,1] ; ∀𝑗, ⅈ = 1 … 𝑛

A continuación, pasamos a explicar las restricciones:

R1) Esta restricción es general para todos los modelos, por lo que significa lo mismo que en el

modelo anterior, que exactamente una ciudad debe ser visitada inmediatamente después de la

ciudad i.

R2) Esta restricción también es general para todos los modelos, y significa lo mismo que en el

modelo anterior, que exactamente una ciudad debe ser visitada inmediatamente antes de la

ciudad j.

R3) Esta es la restricción que diferencia al modelo, es decir, la de eliminación de los subtours.

En esta restricción se hace una mezcla de la restricción 3 del modelo MTZ, y una nueva

incorporación que produce la eliminación de los subtours entre dos ciudades:

Xij+Xji<=1

Esta nueva restricción, unida a la R3 anterior, forma en una sola restricción con estos dos

conceptos, haciendo que el modelo pueda llegar a ser más eficiente.


32

R4) Esta restricción también se repite en el modelo anterior, y es para la variable que contiene la

posición de las ciudades no supere al número de ciudades total.

R5) También se repite en el modelo anterior, y es simplemente para que la variable de decisión

Xij sea binaria.


La función objetivo, vuelve a buscar la minimización de los costes totales en distancia:

𝑀ⅈ𝑛 ∑

𝑛

𝑖


𝑛

𝑗

5.3. Modelo 3: Modelo intermedio

Las características de este modelo son prácticamente iguales a las del modelo MTZ y el modelo

DL, donde se vuelve a repetir que la diferencia está en la ecuación de eliminación de los

subtours. En este caso, se hace una variación entre el modelo MTZ y el DL, por eso lo hemos

llamado Modelo Intermedio, donde utiliza la restricción 3 del modelo MTZ y añade una cuarta

restricción que provoca el mismo efecto que el cambio ocurrido en el modelo DL.


Los elementos de este modelo, al igual que ocurre en el modelo DL, son los mismos que los del

modelo MTZ, ya que el cambio que hay es mínimo.


33



entero

-


entero

Tabla 3. Elementos del modelo Intermedio






datos.









En cuanto a las restricciones de este modelo, se vuelven a repetir las generales y cambia la del

subtour, esta vez añadiendo simplemente una restricción nueva al modelo MTZ anterior:

R1) ∑ 𝑥𝑖𝑗 = 1𝑛𝑗 ; ∀ⅈ = 1 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗

R2) ∑ 𝑥𝑖𝑗 = 1𝑛𝑖 ; ∀𝑗 = 1 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗

R3) 𝑢𝑖 − 𝑢𝑗 + 𝑛𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑛 − 1 ; ∀𝑗, ⅈ = 1 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗

R4) 𝑥ⅈ𝑗 + 𝑥𝑗ⅈ ≤ 1 ; ∀𝑗, ⅈ = 1 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗


34

R5) 𝑢ⅈ ≤ 𝑛 ; ∀ⅈ = 1 … 𝑛

R6) 𝑥ⅈ𝑗 ∈ [0,1] ; ∀𝑗, ⅈ = 1 … 𝑛

En cuanto a la explicación de las restricciones anteriores:

R1) Misma restricción y explicación que en los dos otros modelos. Para indicar que se visitará

una ciudad inmediatamente después de la ciudad i.

R2) Misma restricción y explicación que en los otros dos modelos. Para indicar que se ha

visitado una ciudad previamente a la ciudad j.

R3) Esta restricción es la de eliminación de los subtours, y es exactamente igual que la que se

usó en el modelo MTZ, con su misma explicación. Lo único que varía es en la restricción

siguiente.

R4) Esta restricción es la que provoca la diferencia entre este modelo Intermedio y el modelo

MTZ. También sirve para la eliminación de los subtours, y verdaderamente es la parte nueva

que se añadió a la restricción 3 en el modelo DL, la que impedía los subtours entre dos

ciudades.

Lo que ocurre, es que en este modelo en vez de usar esa única restricción (𝑢𝑖 − 𝑢𝑗 +

(𝑛 − 1)𝑥𝑖𝑗 + (𝑛 − 3)𝑥𝑗𝑖 ≤ 𝑛 − 2) del modelo DL, utiliza la restricción 3 del modelo MTZ por

un lado, y la otra por otro (𝑥𝑖𝑗 + 𝑥𝑗𝑖 ≤ 1).

R5) Esta restricción se repite en los otros dos modelos. Es para que la variable asociada Ui no

supere al número de ciudades total.

R6) Finalmente, esta restricción también se repite en los otros dos modelos, y es para indicar

que la variable de decisión Xij es binaria.


La función objetivo, vuelve a buscar la minimización de los costes totales en distancia:

𝑀ⅈ𝑛 ∑

𝑛

𝑖


𝑛

𝑗


35

5.4. Modelo 4: Modelo de Sarin


Los elementos y las variables asociadas de este modelo son las mismas que en los tres modelos

anteriores, ya que son los que se usan en todos de manera generalizada. Sin embargo, las

variables de decisión sí que cambian [2].



entero

-

Tramos/Arcos (i,j) - Cij (coste de i a j), entero

Tabla 4. Elementos del modelo de Sarin






datos.






Para que esta variable valga 1, la ciudad j tiene ser visitada inmediatamente después de la i.

• Yij: Es una variable binaria (valor 1 o 0), la cual dependerá del CAMINO(i,j). También

valdrá 1 si la ciudad j se visita después de la ciudad i, pero no es necesario que sea

inmediatamente.

𝑌𝑖𝑗 = {1, 𝑠ⅈ 𝑠𝑒 𝑣ⅈ𝑠ⅈ𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑐ⅈ𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑗 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ⅈ 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢ⅈ𝑒𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜0, 𝑠ⅈ 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑣ⅈ𝑠ⅈ𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑐ⅈ𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑗 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ⅈ 𝑒𝑛 𝑛ⅈ𝑛𝑔ú𝑛 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

}


36


Las restricciones de este modelo [2] cambian más respecto a los otros tres modelos ya que se

han introducido variables de decisión nueva. Las restricciones generales se mantienen, pero las

relacionadas con la eliminación de los subtours cambia por completo, dejando de la siguiente

manera la composición de las restricciones:

R1) ∑ 𝑥𝑖𝑗 = 1𝑛𝑗 ; ∀ⅈ = 1 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗

R2) ∑ 𝑥𝑖𝑗 = 1𝑛𝑖 ; ∀𝑗 = 1 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗

R3) 𝑦ⅈ𝑗 ≥ 𝑥ⅈ𝑗 ; ∀𝑗, ⅈ = 2 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗

R4) 𝑦ⅈ𝑗 + 𝑦𝑗ⅈ = 1 ; ∀𝑗, ⅈ = 2 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗

R5) 𝑦ⅈ𝑗 + 𝑦𝑗𝑘 + 𝑦𝑘ⅈ ≤ 2 ; ∀ⅈ, 𝑗, 𝑘 = 2 … 𝑛; ⅈ ≠ 𝑗 ≠ 𝑘

R6) 𝑥ⅈ𝑗 ∈ [0,1] ; ∀𝑗, ⅈ = 1 … 𝑛

La explicación de todas estas restricciones es la siguiente:

R1) La primera restricción es la general para todos, y se repite exactamente igual en los otros

tres modelos, significando que se visitará una ciudad inmediatamente después de la ciudad i.

R2) Esta restricción también se repite en los otros tres modelos anteriores, significando que se

ha visitado una ciudad previamente a la ciudad j.

R3) Esta restricción es la primera para la eliminación de los subtours. Como hemos explicado

antes, la variable Yij mide si la ciudad j va después de la i en cualquier momento, y la variable

Xij mide si va inmediatamente. Por lo tanto, si la ciudad j va después de la i, puede ser en

cualquier momento por lo que Yij valdría 1, pero no tiene que ser inmediato, por lo que Xij

podría valer 0. Por ello, es necesario que Yij sea siempre mayor o igual que Xij.

Las dos valdrían 1 en el caso de que sea inmediato, las dos valdrían cero si aún no se ha pasado

por esas ciudades o si la ciudad i no precede a la j, y finalmente Yij valdría 1 y Xij valdría 0, si

la ciudad i precede a la j pero no en caso inmediato.


37

R4) Esta es la segunda restricción para la eliminación de los subtours, donde se conoce que si

Yij valiese 1, significaría que la ciudad j va después de la i. Si esto se cumple, sería imposible

que la variable Yji valiese 1, es decir, que la ciudad i fuese después de la ciudad j. Por lo tanto,

sólo una de estas dos variables podría valer 1, quedando reflejado que la suma de estas dos

variables tiene que ser obligatoriamente 1.

R5) La quinta restricción es la última para la eliminación de los subtours, pero esta vez utiliza

tres índices diferentes: i, j y k. Estos tres índices se utilizan para imponer una condición entre

tres ciudades, siendo cada índice una de ellas.

Significa que teniendo tres ciudades, si la ciudad i precede a la j, es decir, Yij vale 1, ya

inmediatamente sabemos que la ciudad j va después de la i. Por otro lado, si la ciudad j precede

a la ciudad k, es decir, Yjk vale 1, conocemos que la ciudad i es la primera, después la ciudad j

y finalmente la k. Por ello, la variable Yki tendría que ser cero, provocando así que la suma

máxima de estas tres variables sea 2.

R6) Finalmente esta restricción es la misma que en los otros tres modelos, y es para indicar que

la variable Xij es binaria.


La función objetivo es la misma que en los tres modelos anteriores, es decir, buscar el camino

total que requiera la menor distancia posible:

𝑀ⅈ𝑛 ∑

𝑛

𝑖


𝑛

𝑗

5.5. Comentarios sobre los modelos

Este apartado es simplemente para añadir que una de las restricciones que se repite en los tres

primeros modelos, es decir, en el modelo MTZ, el modelo DL y el modelo Intermedio, podría

cambiarse por una restricción que posiblemente disminuiría el tiempo de ejecución del

problema, ya que trabaja con menos variables.

Esta restricción es:

𝑢𝑖 ≤ 𝑛 ; ∀ⅈ = 1 … 𝑛


38

La cual se podría haber sustituido por:

𝑢𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; ∀ⅈ = 1 … 𝑛

Es un simple cambio, pero al final provoca una exploración menos, por lo que podría disminuir

el tiempo de ejecución y por lo tanto ser un modelo más favorable. Nosotros hemos querido

desarrollar el modelo con la primera restricción ya que es más general, pero hemos

experimentado con esta segunda forma solo con uno de los problemas, el br17 en concreto, para

ver si el tiempo de ejecución variaba mucho, y es prácticamente el mismo.


39

6. LOS PROBLEMAS

Antes de explicar y desarrollar los cuatro modelos que vamos a estudiar y con los cuales vamos

a realizar todos los experimentos, vamos a detallar qué problemas son también los que vamos a

usar, y ver las principales diferencias que hay entre ellos. A su vez explicaremos el formato en

el que se encuentran, y qué datos nos están proporcionando.

6.1. Introducción de los problemas Estos enunciados a nuestros problemas están en un formato de archivo de texto (“.txt”), y todos

simulan a localizaciones con ciertas ciudades dentro de ellas, las cuales querrían ser visitadas

ahorrando el mayor coste posible. Dentro de ellos se encuentran los siguientes datos relevantes:

• NAME: Nombre del problema, que nos orienta de su localización y dimensión.

• TYPE: puede ser TSP o ATSP, diferencia que se explicará posteriormente.

• DIMENSION: Dimensión del problema. Aquí se detalla la dimensión exacta de cada

problema, en este caso la dimensión dependerá del número de ciudades que tenga cada

problema.

• DATOS COSTES: Todos los costes que existen en ir de una ciudad a otra. Esta parte

del enunciado, nos la dan o bien en forma de matrices completas, o bien en matrices

diagonales inferiores.

Fig.10 Ejemplo de problema en fichero de texto



40

Los costes se encuentran en matrices, porque es la forma más sencilla de recopilar todos los

datos. Cada fila de la matriz representa a una ciudad, y a su vez cada columna de la matriz

representa también a cada ciudad. Para explicar mejor cómo se disponen los costes, usamos una

matriz de ejemplo:

(

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

)

En esta matriz que sería de una dimensión 3x3, es decir, que tendríamos 3 ciudades, cada

elemento de la matriz contiene los costes que hay entre la ciudad de su fila con la ciudad de su

columna. De esta manera, por ejemplo, el elemento a12, contendría el coste que hay de ir de la

ciudad 1 a la ciudad 2, o bien el elemento a32, es el coste que hay en ir de la ciudad 3 a la

ciudad 2.

A su vez hay que explicar, que los elementos diagonales, es decir, a11, a22 y a33, tendrían un

valor igual a cero, ya que estos costes serían los que hay de ir desde una ciudad a ella misma,

por lo tanto, esos costes son nulos.

Por otro lado, hay una sola diferencia entre unos problemas u otros, sin tener en cuenta las

diferencias de dimensión y costes propios, y esa diferencia es la que crea los dos grupos

distintos de problemas con los que vamos a trabajar: Problemas simétricos y problemas

asimétricos.

6.2. Problemas simétricos

Cuando hablamos de problemas simétricos o también llamados los de tipo TSP, nos estamos

refiriendo a aquellos en los que el coste de ir desde una ciudad i a una ciudad j es el mismo que

el coste de ir desde la ciudad j a la ciudad i.

Esto se ve reflejado en nuestra matriz de costes, en que los elementos opuestos tienen el mismo

valor, es decir, es nuestra matriz de ejemplo anterior el valor del coste a12 será el mismo que el

valor del coste a21. Por ello, a la hora del enunciado de los problemas, solo nos dan la matriz

diagonal inferior para no repetir lo mismo en la matriz diagonal superior, ahorrando así un gran

espacio.


41

Fig.11 Fichero de texto con enunciado de un TSP simétrico


Se puede comprobar con este ejemplo de problema simétrico, que únicamente nos dan la matriz

diagonal inferior, ya que la otra parte de la matriz es la misma, pero de forma traspuesta, por lo

que así ahorramos espacio. A su vez vemos que la diagonal está compuesta de ceros como

hemos explicado antes, debido a que el coste de una ciudad a sí misma es nulo.

A continuación, expondremos una tabla con todos los problemas simétricos que vamos a

resolver, con su nombre y dimensión:

Nombre del problema Dimensión (número de ciudades)

Bays29 29

Brazil58 58

Gr17 17

Gr21 21

Gr24 24

Gr48 48

Hk48 48

Tabla 5. Listado de problemas simétricos



42

6.3. Problemas asimétricos

Los problemas asimétricos o también conocidos como los de tipo ATSP, son aquellos en los que

el coste de ir desde una ciudad i hasta la ciudad j, cambia respecto al ir desde la j hacia la i. Por

lo tanto, en nuestra matriz de ejemplo, el elemento a13, que es el coste que requiere ir de la

ciudad 1 a la 3, es distinto que el valor del elemento a31, que es el coste de ir de la ciudad 3 a la

ciudad 1.

Por este motivo, a la hora del enunciado es necesario que la matriz de coste esté completa, es

decir, nos den todos los elementos de ella ya que cada posición de la matriz contiene un valor

único y necesario.

Sin embargo, vuelva a ocurrir que la diagonal es cero, como hemos explicado anteriormente. Un

ejemplo de este tipo de enunciado es la figura 8, definido en la introducción a modo de ejemplo.

El listado de problemas asimétricos con los que vamos a trabajar se muestran en la tabla

inferior:


Br17 17

Ft53 53

Ft70 70

Ftv33 34

Ftv35 36

Ftv38 39

Ftv44 45

Ftv47 48

Ftv55 56

Ftv64 65

Ftv70 71

P43 43

Ry48p 48

Tabla 6. Listado de problemas asimétricos



43

7. LINGO

Lingo será la herramienta con la que haremos la resolución de todos nuestros problemas

definidos anteriormente, en la que implementaremos los distintos modelos descritos en el

apartado anterior, pero con su propio lenguaje.

Antes de describir cómo quedan nuestros cuatro modelos en Lingo y cómo ha sido la

experimentación, es importante definir esta herramienta para entender mejor cómo funciona y

cómo va a complementarse con el problema TSP.

7.1. Introducción a Lingo

Lingo es una herramienta informática utilizada para resolver modelos de optimización tanto

lineales como no lineales automáticamente y de forma rápida, ofreciendo unos resultados muy

detallados de manera que nos permitirá interpretarlos de forma cómoda.

Para programar en Lingo es necesario utilizar su propio lenguaje, el cual describiremos a

continuación, así como el formato necesario para escribir el modelo [14].

El formato principal que debe tener cualquier modelo en Lingo consta de 5 partes:

• Encabezado:

Sirve para indicarle a Lingo que vamos a escribir un modelo.

“MODEL: “

• Función Objetivo:

Aquí se especifica si lo que buscamos es maximizar o minimizar los valores de los costes de

todas las variables. Además, hay que añadir para evitar errores, poner punto y coma (;) al final

de cada línea, de modo que así indicaremos al programa que en la siguiente línea se va a escribir

otra indicación diferente a la anterior. Por ejemplo:

“ MIN = 5*X4 + 2*X3 + X2 + 6*X1”

• Restricciones del problema:

Al igual que todos los modelos de optimización, existen una serie de restricciones que se deben

cumplir para conseguir el objetivo y hay que reflejarlas manteniendo la siguiente forma:

“X1 + 2*X2 = 2 ;”

“2*X3 + X4 <= 1 ;”

• Restricciones asociadas al tipo de variable:

- En Lingo, por defecto, las variables son continuas (≥ 0)

- Las variables enteras se escriben como @GIN(X1)


44

- Las variables binarias se escriben como @BIN(X2);

- Las variables libres se escriben como @FREE(X3);

• Fin:

Para indicarle a Lingo que hemos finalizado la escritura del modelo.

“END”

• Detalles:

Además, hay que tener en cuenta varios detalles:

- Para insertar un comentario en la propia programación del modelo hay que preceder

la línea a comentar con el símbolo “¡” y el final con un punto y coma.

- Lingo ignora las líneas en blanco.

-La longitud máxima admitida en una misma línea es de 512 caracteres

Ejemplo de modelo en Lingo

A continuación, ilustramos un ejemplo de modelo matemático sencillo, para pasarlo

posteriormente a Lingo utilizando su lenguaje propio y su estructura previamente explicada.

Max X1 + Y1 – X2

s.a.

X1 + Y1 >= 2

X2 + Y1 <= 4

X1 + X2 – Y1 <=3

X1, X2 >= 0 , entera

Y1 binaria

Fig. 12 Ejemplo de Modelo matemático


El modelo consta de una función objetivo, tres restricciones y tres variables, de las cuales dos

son variables enteras y una es una variable binaria, es decir, que puede valer 1 o 0. En Lingo se

pondrá el tipo de las variables como restricciones, quedando así:


45

Fig.13 Ejemplo de modelo matemático simple en Lingo


7.2. Ampliación de Lingo

En este subapartado vamos a detallar un poco más en la herramienta Lingo, así como explicar

funciones de la librería, explicar los conjuntos y lectura de datos numéricos o detallar en cómo

nos devuelve Lingo la solución óptima [14].

7.2.1. Los conjuntos

Cuando queremos expresar un modelo de forma simplificada, es necesario el uso de conjuntos.

Los conjuntos están relacionados directamente con los elementos del problema, y podrían

distinguirse dos tipos:

• Conjuntos primitivos: Recogen los elementos conjunto del problema y sus variables

asociadas independientes o relacionadas con elementos no conjuntos.

• Conjuntos derivados: Recogen las variables asociadas relacionadas entre elementos

conjunto. Están formados, por tanto, por los elementos primitivos ya definidos.

Los elementos concepto o unitarios simples no son necesario definirlos y sus variables

asociadas independientes se definen directamente en la sección de valores (DATA). LINGO

posee dos secciones para la definición de los conjuntos:

• Sección SET: Se definen los nombres y número de elementos de los conjuntos.

• Sección DATA: Se definen los valores de las variables asociadas. Es posible también

definir aquí el número de elementos del conjunto.


46

Por ejemplo, si tuviéramos un problema con 4 ciudades o nodos a visitar, habría que especificar

esa dimensión en el apartado SETS. A su vez, habría que indicar cuáles son las variables

asociadas al elemento ciudades. En el modelo MTZ, por ejemplo, una variable asociada al

elemento “ciudades” podría ser la variable Ui, la que indica la posición de cada ciudad, y

quedaría así:

Ciudades/1…4/: Ui;

Arcos (ciudades ,ciudades): Cij, Xij;

ENDSETS

Aquí también se observa cómo se ha creado el elemento “arcos”, que serán los tramos entre una

ciudad y otra, por ello, se escribe “(ciudad,ciudad)”, porque los datos de esos tramos estarán

definidos en una matriz de dimensión del número de ciudades a visitar. Además, se observa que

se definen las dos variables relacionadas con los arcos, es decir, la variable Cij, que

verdaderamente serán datos, y la variable de decisión Xij, que será la binaria.

Ahora para dar valores numéricos a esos datos relacionados con las ciudades, entraremos en la

sección DATA. Verdaderamente aquí solo es necesario proporcionarles datos a los costes Cij,

los cuales estarán definidos en nuestro fichero de texto en nuestro caso. De forma general se

podrían definir así:

DATA:

C= 1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16;

ENDDATA


• Funciones:

A la hora de representar restricciones más complejas en Lingo usamos funciones como @FOR o

@SUM:

Tabla. 7 Funciones para restricciones en Lingo

Fuente: Resolución de Problemas, Librerías de optimización


47

Donde la función que desempeñan se podría simular a:

Fig. 14 Aplicación de las funciones Lingo

Fuente: Resolución de problemas, Librerías de optimización

Y para implantarlo en Lingo, se debería seguir esta forma:

@funcion (nombre_conjunto [ (lista índices) [ | calificador condicional ]]: expresión);

La lista de índices y el calificador condicional son opcionales. La expresión es la restricción que

se impone.

• Signos:

El formato utilizado en Lingo en las restricciones para sus signos es el siguiente:

Fig. 15 Aplicación de los signos en Lingo

Fuente: Resolución de problemas, Librerías de optimización

Ejemplo de Restricción compleja en Lingo:

Suponiendo que v(i) es un dato del elemento Objetos(i), la restricción sería:


48

7.2.3. Interfaz con el usuario

Una vez que ejecutamos la aplicación Lingo, lo primero que nos aparece es la siguiente ventana:

Fig.16 Inicio de Lingo, interfaz con el usuario


En esta página en blanco es donde comenzaremos a escribir el modelo en lenguaje Lingo que

queremos solucionar, utilizando todo lo explicado anteriormente. Si queremos escribir un nuevo

código solo hay que pulsar en la pestaña de la hoja en blanco, situada en la barra superior a la

izquierda.

En esa barra superior se encuentran varias herramientas que nos pueden servir de ayuda, pero la

que vamos a explicar ya que es la más importante, es la que se necesita pulsar para que el

modelo de Lingo se pueda solucionar:

Fig.17 Ejecución en Lingo, interfaz con el usuario



49

Una vez definido el modelo con todos sus encabezados necesarios, sus elementos y variables

definidas, sus restricciones y su función objetivo, solo habría que pulsar la pestaña de arriba, y

Lingo nos daría en un tiempo de ejecución desconocido que dependerá de la complejidad del

problema, la solución de este. Esto ocurrirá en caso de que todo esté perfectamente descrito y de

que Lingo haya podido encontrar un óptimo, en caso contrario, saldrá un mensaje de error.

Fig.18 Solución de Lingo, interfaz con el usuario


Si todo es correcto, como hemos explicado, y Lingo encuentra para el modelo un óptimo, nos

aparecerá esta pestaña a modo de resumen donde contendrá los datos principales de la

resolución. Por ejemplo:

• El tiempo de ejecución (Elapsed Runtime)

• El óptimo encontrado (Objetive)

• Número total de variables utilizadas (Variable- total)

• El tipo de modelo, en nuestro caso, MILP (Mixer Integer Linear Problems) (Solver

Status- Model Class)

• El tipo de método de resolución (Extended Solver Status- Solver Type) que usa, en

nuestro caso un Branch and Bound.

Seguidamente, después de esta pestaña, se nos abrirá otra que contiene el desarrollo de todo el

problema. Aquí se detallarán todas las variables obtenidas en el modelo y sus valores, así como

diversos datos que nos pueden ayudar a hacer un buen estudio del modelo.


50

7.3. Conversión de los ficheros (“.txt”) a Lingo

Los enunciados de los diferentes problemas que vamos a desarrollar en esta experimentación se

encuentran en ficheros de texto, es decir, en documentos de tipo “.txt”. Por lo tanto,

necesitaremos alguna aplicación o método para realizar la conversión de dichos enunciados a

nuestra herramienta de resolución Lingo.

Gracias a la forma en la que nos enunciados vienen desarrollados en los ficheros, con los datos

necesarios para la resolución de los problemas en forma de matriz, decidimos que la forma más

sencilla para hacer el traspaso de datos sería a través de Excel. Además, esta forma es la más

utilizada y estudiada en el Grado de Ingeniería de las Tecnologías Industriales, específicamente

en una asignatura llamada Técnicas de Optimización que está ligeramente relacionada con este

proyecto, y de la cual he obtenido muchos conocimientos para poder desarrollarlo.

Primero explicaremos, el traspaso de los datos desde el fichero de texto hasta la aplicación

Excel, y después explicaremos cómo se utiliza Lingo para poder extraer datos de Excel de una

forma muy sencilla.

7.3.1. De Ficheros de Texto a Excel

Para explicar este proceso, simplemente pondremos a modo de ejemplo el cambio de fichero a

Excel de uno de los problemas. El ejemplo lo haremos con un problema asimétrico, ya que la

matriz viene desarrollada al completo:

Fig.19 Paso 1 para la conversión de enunciados



51

Se abre el fichero de texto del problema a resolver. Los datos que vamos a necesitar de aquí

serán tanto la dimensión del problema como todos los costes que hay en la matriz. Una vez que

el fichero de texto esté medianamente ordenado (en algunos ficheros venía la matriz peor

definida), está listo para traspasarlo a Excel:



Abrimos Excel, y lo primero que hacemos es pulsar en la barra superior a la izquierda, en la

pestaña Archivo-Abrir (1). Después le daremos a examinar para poder buscar más fácilmente

nuestro fichero de texto, siempre y cuando hayamos modificado previamente que se puedan

abrir “Todos los archivos” (2). Si no se hace esto, solo nos dejará abrir documentos tipo Excel.

Abrimos nuestro fichero de texto, y nos aparecerá lo siguiente:


52



Al abrir el fichero en Excel, lo primero que nos aparece es esta pestaña. En ella tendremos que

pulsar la opción de “Delimitados”, y a continuación pulsar “Siguiente”. Lo segundo que nos

aparecerá será la próxima imagen adjunta, en la que debemos de indicar cual será nuestro

delimitador. Esto se refiere a qué será lo que provoque la separación en las distintas celdas de

Excel. En nuestro caso, cada dato en el fichero viene separado simplemente por un espacio, por

lo que nuestro delimitador será el “Espacio”:



Posteriormente, habría que finalizar en esa misma pestaña, y automáticamente el fichero de

texto se colocará en formato Excel. Cada dato del problema será una casilla del Excel, lo que

nos permitirá trabajar con él.


53



Para finalizar el traspaso de los datos del Fichero de texto a Excel, únicamente sería necesario

proporcionarles nombres dentro de Excel a esas ciudades y esos costes que se necesitan en

Lingo. Esto es, dar nombre a la matriz completa de costes la cual la hemos llamado a todas

“COSTES_NombreProblema” (en nuestro ejemplo será COSTES_br17), y por otro lado, crear

un vector “CIUDADES_NombrePorblema”, que contendrá a todas las ciudades del problema

(en nuestro ejemplo de llamará “CIUDADES_br17”). Todo esto se puede comprobar en la

imagen colocada en la parte superior.

7.3.2. De Excel a Lingo

Ahora, necesitamos que Lingo sea capaz de leer todos esos datos de Excel para que poder

resolver el problema. Para ello simplemente debemos conocer una función que usa Lingo para

leer datos de Excel.

Esa función es @OLE, utilizándola junto con los nombres definidos anteriormente en el propio

Excel, Lingo sería capaz de recoger todos esos datos que necesita. Para utilizarla correctamente,

a la hora de describir los elementos y los conjuntos en Lingo en la sección SETS y DATA,

debemos de escribir esta función seguida de los nombres de los datos de Excel. En el ejemplo

de Lingo que vimos en el subapartado 7.2, los valores de los costes lo dábamos de manera:

DATA:

C= 1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16;

ENDDATA

Sin embargo a través de Excel, lo escribiremos de la siguiente manera:


54

DATA:

C=@ole("Matriz_NombreProblema.xlsx","COSTES_NombreProblema");

ENDDATA

Esto es, porque a todos los documentos de Excel que contienen las matrices de datos los hemos

llamado Matriz_NombreProblema, y a los datos de costes los hemos llamado

COSTES_NombreProblema. De igual manera se utilizará el vector de las ciudades, quedando

finalmente en Lingo el siguiente código:



7.4. Los Modelos finales en Lingo

A continuación, mostraremos cómo han quedado finalmente nuestros cuatro modelos en Lingo.

Los modelos que se van a desarrollar están escritos para el primer problema desarrollado, es

decir, el problema br17. De esta manera es más fácil entender la estructura, y simplemente

habría que cambiar el nombre del problema por otro que se quiera resolver.

- Donde pone “Matriz_br17.xlxs”, iría el nombre del Excel que contiene

el enunciado del problema.

- Donde pone “CIUDADES1_br17”, iría el vector ciudades explicado

anteriormente, que tiene la dimensión del problema.

- Donde pone “COSTES_br17” irían los datos de los costes entre las

distintas ciudades del problema.

- Y donde pone n, sería la dimensión del problema, que en este caso

sería un 17.

Lo único a cambiar en el resto de problemas es poner el nombre del problema a resolver, en

lugar de br17.


55

7.4.1. Modelo MTZ

Fig.25 Modelo MTZ en Lingo


7.4.2. Modelo DL

Fig.26 Modelo DL en Lingo



56

7.4.3. Modelo Intermedio

Fig.27 Modelo Intermedio en Lingo


7.4.4. Modelo de Sarin

Fig.28 Modelo de Sarin en Lingo



57

8. EXPERIMENTACIÓN

En este apartado desarrollaremos la experimentación llevada a cabo, así como la exposición de

todos nuestros resultados con los diferentes modelos y en los diferentes problemas, para poder

compararlos de una forma sencilla.

Primero mostraremos la batería de problemas que hemos ejecutado, y seguidamente

comenzaremos a comparar los resultados finales. Es importante mencionar que la ejecución de

los problemas se ha parado al llevar una hora ya que, en caso de no hacerlo, podríamos pasarnos

días esperando a que un problema se resuelva. Esta experimentación se podría hacer en

cualquier periodo de tiempo determinado, siempre y cuando todos tengan el mismo, para poder

hacer una comparación coherente. Debido a esto, no podríamos decir que estamos obteniendo

datos totalmente exactos en todos los problemas, ya que muchos de ellos, al interrumpirlos no

llegarían al óptimo real, pero si a una aproximación.

Para la comparación de los diferentes modelos vamos a separar primero los problemas en

simétricos y asimétricos, para ver cómo se comportan los modelos con ambos tipos de

problemas. Una vez especificado en el tipo de problema en el que nos encontramos,

comenzaremos a comparar por tablas, basándonos en cuatro criterios por separado:

• El error:

Esto lo calcularemos con la siguiente fórmula del error, para poder ver qué margen de

error tenemos con la solución obtenida por nosotros y el verdadero óptimo del

problema.

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟(%) =ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜−ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙

ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑥100

• Tiempo de ejecución:

Para esta comparación, simplemente miraremos el tiempo de ejecución de cada

problema. En caso de que el problema haya sido interrumpido debido a la superación de

la hora, pondremos una “I” de interrumpido (lo cual supondrá que el tiempo de

ejecución ha sido una hora), en caso contrario, pondremos los minutos y segundos

exactos de ejecución.

• Número de óptimos conseguidos:

En esta tabla escribiremos el número de óptimos totales, es decir, dentro del periodo de

la hora, en cuántos problemas distintos han podido cada modelo conseguir su óptimo. Si

el modelo MTZ tiene un 4, significa que ha sido capaz de obtener el óptimo real de 4 de

los problemas que ha ejecutado.

• Lower Bound:

Esta parte de la comparación la haremos solo para dos problemas de cada tipo, ya que

supone una nueva experimentación con Lingo cambiando la restricción de la variable

Xij binaria, por una que indique ser menor o igual a 1 (Xij<=1). Esto nos proporcionará

el Lower Bound o límite inferior. Cuanto más próximo al óptimo, mejor.


58

Una vez realizadas las comparativas por cada punto, se hará una comparativa general para

decidir cuál de los cuatro modelos podría ser el mejor para cada tipo de problema.

Antes de comenzar las comparaciones y exposición de datos, explicaremos los pasos que hemos

llevado a cabo para la realización de estos experimentos:

• PASO 1:

El primer paso fue el desarrollo de los 4 modelos matemáticos en Lingo, haciéndolos de

una forma generalizada, es decir, para ningún problema en concreto.

• PASO 2:

Seguidamente, se realizó la conversión de los enunciados de los ficheros de texto a

Lingo siguiendo los pasos explicados en el subapartado 7.3. Para ello traspasamos los

datos del fichero a Excel, y después, en la propia experimentación de cada problema en

los modelos genéricos, se leerían desde Lingo los datos necesarios de los documentos

de Excel creados.

• PASO 3:

Aquí comienza la experimentación de todos los problemas. Para ello, hemos ido

resolviendo toda la batería de problemas en un mismo modelo, y después hacerlo de la

misma manera con el resto de modelos. Este proceso se tiene que hacer con el

enunciado en Excel abierto del problema a resolver, y modificando el modelo en Lingo

correctamente con los datos del problema para que pueda proceder a su lectura, como se

explica en el subapartado 7.3.

• PASO 4:

Finalmente, una vez modificado el modelo de Lingo de acuerdo con el problema a

resolver y su Excel de datos abierto simultáneamente, se procede a la ejecución del

problema. Como hemos dicho antes, el tiempo máximo de ejecución será de 1 hora, es

decir, si el problema lleva ejecutándose más de una hora, se interrumpiría para tener

todos los datos en un mismo periodo de tiempo.

• PASO 4:

Este último paso es la interpretación de los datos una vez resuelto o interrumpido el

problema con su modelo. Los datos que debemos recoger de cada problema terminado,

será el óptimo/mejor solución encontrada y su tiempo de ejecución. Pueden ocurrir dos

casos:

- Que se haya interrumpido la ejecución a la hora, por lo que en la hoja

de solución nos aparecerá un mensaje que pondrá “Feasible

solution found”, es decir, el óptimo encontrado no tiene por qué

ser el óptimo del problema, es solo la mejor solución encontrada en

ese rango de tiempo. Ese valor encontrado podría ser el óptimo, pero

como Lingo no lo sabe, determina que es la mejor solución

encontrada, ya que verdaderamente necesitaría más tiempo para seguir

inspeccionando otros resultados.


59

- Que el problema haya terminado de resolverse en menos de 1 hora.

Entonces, en la hoja de solución de Lingo aparecerá el mensaje

“Global optimal solution found”, es decir, verifica que se

ha encontrado el óptimo del problema ejecutado.

8.1. Experimentación Problemas Asimétricos

Para comenzar a detallar en la comparación de este tipo de problemas, pondremos una tabla con

todos los distintos problemas que hemos llevado a cabo, así como su dimensión:


Br17 17

Ft53 53

Ft70 70

Ftv33 34

Ftv35 36

Ftv38 39

Ftv44 45

Ftv47 48

Ftv55 56

Ftv64 65

Ftv70 71

P43 43

Ry48p 48

Tabla 8. Listado de problemas asimétricos


Tenemos en total una batería de 13 problemas asimétricos a resolver. Como explicamos en un

subapartado anterior, los problemas simétricos serán los que tengan una matriz de costes

completa, donde los elementos Cij serán distintos a los elementos Cji.

A continuación, desarrollaremos las cuatro comparativas de los cuatro modelos distintos que

tenemos. Para ello mostraremos una tabla con la recogida de todos los datos significantes de la

experimentación, y en amarillo pondremos los datos relevantes finales, es decir, con los que se

podría resumir esta tabla en cuanto a mejora de los modelos.


60

• Comparación según el error:

Tabla 9. Comparación por error Problemas Asimétricos


En esta tabla hemos definido los problemas a resolver, con su dimensión (número de ciudades

del problema) y el óptimo real que tienen. Seguidamente, hemos colocado las diferentes

soluciones obtenidas en los cuatro modelos, así como el error que tienen estos modelos en

cuanto a cercanía a su óptimo real de la forma explicada en el apartado anterior.

El porcentaje de error total es el sumatorio de todos los porcentajes de error que han surgido al

utilizar ese método en todos los problemas. Como se puede observar en la tabla, los tres

primeros modelos tienen un porcentaje de error mínimo frente al 24% de error que tiene el

modelo de Sarin.

Sin embargo, dentro de esos tres modelos, el que parece mejor en cuanto a porcentaje de error

del óptimo es el modelo Intermedio, con un 0,018% de error, lo cual es mínimo y verifica que

mediante él podríamos obtener datos prácticamente exactos.


61

• Comparación según el tiempo de ejecución:

Tabla 10. Comparación por tiempo Problemas Asimétricos


En esta comparación estamos teniendo en cuenta el tiempo de ejecución de cada problema en

cada tipo de modelo. Como dijimos antes, si aparece una “I”, significa que el problema se ha

tenido que interrumpir a la hora, por lo que verdaderamente no sabríamos su tiempo de

ejecución final. Este periodo de tiempo podría ampliarse o reducirse, lo importante es que todos

los problemas y modelos se sometan al mismo tiempo de ejecución para poder compararlos.

Hemos definido el problema, y después todos sus tiempos de ejecución en los cuatro modelos

distintos. Al final, hemos indicado para cada problema cuál ha sido el modelo que más rápido

ha proporcionado la mejor solución encontrada. Se puede descartar como válido en tiempo de

ejecución el modelo de Sarin, ya que en ningún problema se ha alcanzado el mejor tiempo. Por

otro lado, los tres primeros modelos han trabajado bastante similar, proporcionando unos

tiempos de ejecución bastante rápidos y completando la mayor parte de los problemas dentro del

periodo de la hora.

Sin embargo, se puede verificar que el modelo más exitoso en cuanto a tiempo de ejecución es

el modelo Intermedio, ya que 6 de los 13 problemas que hay se resuelven más rápido a través

del modelo Intermedio.


62

• Comparación por número de óptimos conseguidos:

Tabla 11. Comparación por óptimos, Problemas Asimétricos


Esta tercera comparación calcula cuantos óptimos ha sido capaz de proporcionar el modelo en el

periodo de tiempo establecido, es decir, en una hora. Por ello, hemos definido primero el óptimo

de cada problema, después la solución encontrada por cada uno de los modelos, y finalmente, si

estos dos últimos valores coinciden o no. Si hay un “SI”, es que el modelo ha logrado el óptimo,

y en caso contrario, un “NO”.

Se puede observar una vez más, que el modelo de Sarin consigue pocos óptimos, por lo que es

descartado de nuestra elección como mejor modelo de resolución. También se observa que los

tres primeros modelos dan muy buenos resultados, resolviéndose 10 o más problemas

correctamente. Entre estos tres métodos, destaca el modelo Intermedio una vez más, con una

resolución óptima de 12 de los 13 problemas que hay, casi un 93% de acierto.


63

• Comparación según el Lower Bound:

Tabla 12. Comparación por Lower Bound, Problemas Asimétricos


Finalmente, la última comparación ha sido con el Lower Bound o límite inferior. Este dato es

mejor cuanto mayor y más próximo sea al óptimo real de cada problema. Esto se debe a que

cuando la cota inferior está muy cerca al óptimo, el rango de resultados que dará este modelo

estará muy reducido.

Estos datos se han obtenido cambiando la restricción explicada anteriormente, y se ha resuelto

solo para dos problemas asimétricos, para ver como trabajaban con esta nueva restricción. Se

puede observar según la tabla adjuntada, que para el problema “br17” el que mejor lower bound

que proporciona es el modelo Intermedio, pero para el problema “ftv38” el mejor modelo según

el lower bound es el modelo de Sarin, proporcionando una cota de 1881, bastante cercano a su

óptimo.

• Comparación final:

Para acabar con la comparación de los problemas asimétricos, después de haber recopilado

todos los datos sobre error, tiempo de ejecución, óptimos y lower bound de todos los problemas

con todos los modelos, se puede verificar que el modelo de Sarin no es muy eficaz a la hora de

la resolución de este tipo de problemas, proporcionando datos muy negativos en comparación

con los otros tres modelos.

Finalmente, comparando los tres primeros modelos, es decir, el modelo MTZ, el DL y el

Intermedio, se observa que todos dan unos resultados muy semejantes y eficaces para estos

problemas. Sin embargo, nos decantaríamos por el modelo Intermedio, debido a que en las

cuatro comparaciones anteriores, ha sido el modelo más destacado y con mejores resultados

obtenidos.


64

8.2. Experimentación Problemas Simétricos

Para este tipo de problemas realizaremos exactamente lo mismo que en el subapartado anterior,

es decir, mostraremos la batería de problemas a resolver, y posteriormente haremos las cuatro

comparativas distintas, mostrando los diferentes resultados y analizando cuál de los cuatro

modelos es más eficaz para estos problemas.

Tabla 13. Listado de problemas simétricos


• Comparación según el error:

Tabla 14. Comparación por error Problemas Simétricos


Para comenzar la comparación en los problemas simétricos, comprobaremos el porcentaje de

error total que tienen cada uno de los modelos para todos sus problemas.


Bays29 29

Brazil58 58

Gr17 17

Gr21 21

Gr24 24

Gr48 48

Hk48 48


65

Es el mismo procedimiento que en los problemas asimétricos, y se puede comprobar que el

modelo de Sarin tiene un alto porcentaje de error. Le sigue el modelo Intermedio, donde se

reduce muchísimo ese porcentaje, pero que al compararlo con los modelos MTZ y DL, con un

0% de error, también sería descartado.

Por lo tanto, según esta comparación, nos quedaríamos como modelos más eficaces tanto el

modelo MTZ como con el modelo DL.

• Comparación según el tiempo de ejecución:

Tabla 15. Comparación por tiempo Problemas Simétricos


Aquí compararemos los distintos tiempos de ejecución, de la misma manera explicada en los

problemas asimétricos. También se han interrumpido al transcurrir una hora de ejecución y se

ha señalado con la “I” de interrumpido.

Todos los modelos han ido medianamente rápido, pero al igual que antes, destacan los modelos

MTZ y DL, siendo los más rápidos en cuanto a tiempo de ejecución. Esto se debe a que tres de

ellos se han resuelto más rápido con el modelo MTZ, y los otros tres se han resuelto más rápido

con el modelo Dl.

El problema “gr48” ha sido el único en no poder resolverse en un tiempo igual o inferior a la

hora por uno de estos dos modelos, el resto se han resuelto sin problemas.


66

• Comparación por número de óptimos conseguidos:

Tabla 16. Comparación por óptimos Problemas Simétricos


Esta tercera comparación se ha realizado según el número de óptimos conseguidos en el periodo

de ejecución establecido. Es el mismo proceso que en los problemas asimétricos, es decir,

contabilizar los óptimos de los problemas conseguidos por cada uno de los modelos.

Como se puede observar en la tabla superior, se vuelve a descartar el modelo de Sarin, que a

pesar de que consigue resolver con óptimos más de la mitad de los problemas, los otros modelos

le han superado. Le sigue el modelo Intermedio, que logra casi un 80% de óptimos, pero los

modelos MTZ y DL vuelven a ser los más eficientes, con un 100% de óptimos resueltos en el

periodo de tiempo.


67

• Comparación según el Lower Bound:

Tabla 17. Comparación por tiempo Problemas Simétricos


Esta última comparación se hace con el Lower Bound, exactamente igual que como se ha

realizado con los problemas asimétricos.

Este Lower bound es el límite inferior, por lo que cuanto más próximo al óptimo del problema,

mejor. Todos los modelos se han acercado más o menos igual, pero ha destacado el modelo

Intermedio, siendo tanto en el problema “bays29” como en el problema “gr17” el que ha

proporcionado una solución más próxima a sus respectivos óptimos.

• Comparación final:

Para la comparación final de los cuatro modelos según la resolución de seis problemas

simétricos, se ha podido comprobar que los modelos que más han destacado por su inmejorable

resolución, con una aproximación casi exacta a los óptimos y un tiempo de ejecución bastante

bueno, han sido los modelos MTZ y DL.

Estos dos modelos han sido capaces de proporcionar un óptimo exacto del total de los

problemas, con un error del 0%, además de ejecutarlos en un periodo bastante rápido.

Por otro lado, el modelo de Sarin una vez más ha sido el primer descartado, pero es importante

mencionar que este modelo funciona mejor con los simétricos que con los asimétricos. En

cuanto al modelo Intermedio, ha proporcionado muy buenos resultados, pero no ha destacado

como ha ocurrido con los problemas asimétricos.


68

9. CONCLUSIÓN

Gracias a la existencia de librerías de optimización como LINGO y utilizando cuatro modelos

matemáticos de optimización diferentes (MTZ, DL, Intermedio y Sarin), en este proyecto hemos

analizado la resolución de una batería de problemas TSP, de diferentes tamaños y

características. La conclusión más importante es que para los problemas asimétricos sería más

oportuno utilizar el modelo Intermedio, y para los problemas simétricos, el modelo MTZ o el

modelo DL. Estos modelos a la hora de nuestra experimentación nos han proporcionado una

optimización y un tiempo de ejecución aceptables.

Este trabajo podría utilizarse en otros muchos estudios y en la resolución de diversos problemas,

que como indicábamos al comienzo del trabajo, tienen muchas aplicaciones en la vida real. Por

ello, por su gran demanda y aplicación, la resolución y el desarrollo de estos problemas del TSP

resultan muy interesantes y de gran provecho, sobre todo mirando un horizonte en los que la

tecnología permita la resolución exacta de problemas de gran tamaño. Actualmente, muchos de

los rompecabezas que se pueden plantear en el día a día están relacionados con estos problemas,

así como la organización de actividades o viajes, la recogida de personas o cosas, o incluso las

secuencias de trabajos, por lo que supone de gran utilidad ponerlo en marcha, utilizando en caso

necesario estas herramientas y modelos desarrollados.

Además, se utiliza una herramienta informática muy eficaz, Lingo, con la que puede resolverse

cualquier problema de optimización. Gracias a este trabajo, hemos podido exprimir al máximo

esta herramienta, profundizar en ella y ver las distintas capacidades y usos que nos puede

proporcionar, observando que, en problemas de bastante complejidad y tamaño es capaz de

proporcionar soluciones óptimas en cuestión de segundos o minutos.

Finalmente, me gustaría resaltar el esfuerzo de acometer un estudio experimental dentro del área

de la optimización. La implementación, el chequeo de errores y obtener conclusiones de un

análisis de este tipo han supuesto todo un reto para mí.


69

10. BIBLIOGRAFÍA

[1] London School of Economics

“Model of Solving the Travelling Salesman Problem”

Autor: H.P. Wiliams

[2] Operation Research Letters 33

“New tighter polynomial length formulations for the asymmetric traveling salesman problem

with and without precedence constraints”

Autor: Subhash C. Sarin (2003)

[3] Lecture Notes in Computer Science book series (LNCS)

“The Traveling Salesman, Computational Solutions for TSP applications”

Autor: Gerhard Reinelt (1994)

[4] ProQuest Ebook Central

“The Traveling Salesman Problem: A Computational Study”

Priceton University Press (2007)

[5] Scientia et Technica Año XXII, Vol. 22, No. 4

“An Application of the MTZ method to the solution of the Travelman Salesman Problem”

Autores: Jairo Alberto Villegas Flórez, Carlos Julio Zapata Grisales ̧Gustavo Gatica

Ingeniería Industrial, Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Colombia. Ingeniería

Industrial, Universidad Andrés Bello, Chile

[6] Universidad de Santiago de Compostela, Máster Interuniversitario en Técnicas Estadísticas

“Cooperación en los problemas del viajante (TSP) y de rutas de vehículos (VRP): una

panorámica”

Autor: Aida Calviño Martínez (2011)

[7] Tesis USM, Universidad Técnica Federico Santa María

“Formulaciones basadas en Flujos en redes para un problema de ruteo en Last Mile”


70

Autor: Álvaro Javier Correa Maldonado

[8] Modelos y Optimización I

“El problema del Viajante: Conceptos, Variaciones y Soluciones Alternativas”

Autor: Lic. Silvia A.Ramos

[9] European Journal of Operational Research 59

“The Traveling Salesman Problem: An overview of exact and approximate algorithms”

Autor: Gilbert Laporte (1992)

[10] Programación matemática del grado de matemáticas en la Universidad de Cádiz

“El problema del viajante de Comercio o TSP”

Autores: Azahara Carpintero, Juan de Dios Días Ramírez, Victoria Franco Otero.

[11] Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo

URL: https://www.uaeh.edu.mx/scige/boletin/tlahuelilpan/n3/e5.html

[12] Asociación Nacional de Estudiantes de Matemáticas

URL: http://www.anem.es/web/2018/09/el-problema-del-viajante/

[13] Programación matemática del grado de matemáticas en la Universidad de Cádiz

URL: http://knuth.uca.es/moodle/mod/page/view.php?id=3417

[14] Ingeniería de Organización: Métodos Cuantitativos de Gestión

“Resolución de problemas, Librerías de Optimización Lingo”

Autor: José Manuel García Sánchez

[15] Ingeniería Industrial Online

URL: https://www.ingenieriaindustrialonline.com/investigacion-de-operaciones/problema-del-

agente-viajero-tsp/

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71

[16] Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo

URL: https://www.uaeh.edu.mx/scige/boletin/tlahuelilpan/n3/e5.html




72

estudio experimental de diferentes modelos matemáticos

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