estructuras iii - aero.ing.unlp.edu.ar · en un cuerpo sujeto a diversas fuerzas, ya sea de...

Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de La Plata

ESTRUCTURAS III

CONCEPTOS DE ELASTICIDAD

Autores: MScAA Ing. Alejandro J. Patanella Ing. Juan Pablo Durruty Dr. Ing. Marcos D. Actis

2009

Estrucutras III Conceptos de Elasticidad

ELASTICIDAD CONCEPTOS INTRODUCTORIOS

1.- TENSIONES 1.1.- TENSIÓN EN UN PUNTO Existen dos tipos básicos de fuerzas que pueden actuar sobre un cuerpo para producir tensiones. Estas son: - Fuerzas de superficie: Actúan sobre la superficie del cuerpo generalmente generadas

cuando el cuerpo entra en contacto con otro, generalmente se manifiestan como tracciones sobre la superficie del cuerpo.

- Fuerzas de volumen: Aparecen debido a la masa del cuerpo en cuestión. Entre ellas se pueden enumerar las fuerzas inerciales como ser centrifugas, gravitatorias, etc...

En un punto dado en un cuerpo, la magnitud y dirección de la tensión resultante Tn

depende de la orientación del plano que pase a través del mimo. Esto significa que existe un número infinito de vectores de tensión resultante que pueden ser utilizados para representar la tensión resultante en cada punto. Este se puede ver claramente en la Figura 1.

σxx

σyy τxz

σzz

τyz

τyx

τxy

τzy

τzx

Tn

Figura 1.- Tetraedro elemental mostrando las tensiones en sus cuatro caras

Para que el tetraedro de la Figura 1 se encuentre en equilibrio se deben cumplir las

siguientes condiciones,

),cos(),cos(),cos(

),cos(),cos(),cos(

),cos(),cos(),cos(

znynxnT

znynxnT

znynxnT

zzyzxznz

zyyyxyny

zxyxxxnx

σ+τ+τ=

τ+σ+τ=

τ+τ+σ=

o en forma tensorial

{ } [ ]{ }CT σ= donde C es la matriz de los cosenos directores.

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Ahora bien podemos considerar un cuerpo infinitesimal el cual es parte de un cuerpo de forma general. Este cuerpo infinitesimal esta seleccionado de forma tal que esta limitado por áreas infinitesimales distintas definidas por los planos de intersección del sistema coordenado seleccionado. Tomando estas consideraciones se puede describir el estado tensional del mismo según se ve en la Figura 2. Cabe aclarar que este estado tensional es el único que puede existir y a partir de este estado general se pueden calcular las tensiones en cualquier otra dirección.

dx

dz

dy

x

z

y

σzz*

σyy*

σxx*

σzx* σzy

*

σxz*

σxy*

σyz

σyz*

σyx*

σyz

σyy

σzx

σzz

σzz

σxx

σxz

σxy

x

z

y x

z

y σzx*

σxz*

σzz*

σxx*

σxx

σzx

σyz

σyx

σxz

σzy

Figura 2.- Estado general de tensiones en un cuerpo

1.2.- ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE TENSIONES En un cuerpo sujeto a diversas fuerzas, ya sea de superficie o volumen, tensiones de magnitud y dirección variable aparecerán a lo largo del mismo. La distribución de dichas tensiones debe ser tal que el equilibrio total del cuerpo es mantenido, también cada elemento del cuerpo debe cumplir con la misma condición. Considerando un elemento de

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área dx · dy ·dz, al cual se le aplica una fuerza F (ver Figura 3), se puede plantear el equilibrio en la dirección x como,

0=+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ−

∂τ∂

+τ+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ−

∂

τ∂+τ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛σ−

∂σ∂

+σ

dzdydxFdydxdzz

dzdxdyy

dzdydxx

xzxzx

zx

yxyx

yxxxxx

xx

Dividiendo por el área del elemento y considerando las demás direcciones, se obtiene,

dzzzz

zz ∂∂

+σ

σ

dyyyy

yy ∂

∂+

σσ

dyyyx

yx ∂

∂+

σσ

dxxxz

xz ∂∂

+σσ

dxxxx

xx ∂∂

+σσ

dxxxy

xy ∂

∂+

σσ

dyyyz

yz ∂

∂+

σσ

dzzzx

zx ∂∂

+σσ dz

zzy

zy ∂

∂+

σσ

x

z

y

Figura 3.- Estado de tensiones en un elemento de un cuerpo

0

0

0

=+∂σ∂

+∂

τ∂+

∂τ∂

=+∂

τ∂+

∂

σ∂+

∂

τ∂

=+∂τ∂

+∂

τ∂+

∂σ∂

zzzyzxz

yzyyyxy

xzxyxxx

Fzyx

Fzyx

Fzyx

Estas ecuaciones representan las ecuaciones de equilibrio que cualquier distribución de tensiones ya sea experimental o teórica debe cumplir. En ésta determinación solo se ha utilizado 3 de las 6 condiciones de equilibro. Las otras tres permiten hallar relaciones adicionales. Para ello considerando de nuevo un elemento del cuerpo y planteando momentos respecto al centroide del mismo (ver Figura 4), de forma tal que las tensiones normales y las fuerzas aplicadas no generen ningún momento, el equilibrio de momentos en la dirección y quedara como,

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02222

2222

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂τ∂

−τ−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂τ∂

+τ−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂τ∂

−τ+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂τ∂

+τ

dxdzdydxx

dxdzdydxx

dzdydxdzz

dzdydxdzz

xzxz

xzxz

zxzx

zxzx

la cual se reduce a

xzzxxzzx dzdydxdzdydx τ=τ⇒=τ−τ 0

2dz

zzx

zx ∂∂

+ττ

2dx

xxz

xz ∂∂

−ττ2

dxxxz

xz ∂∂

+ττ

2dz

zzx

zx ∂∂

−ττ

dz

dx

dy

Figura 4.- Equilibrio de momentos en dirección y en un elemento de un cuerpo y analizando en las otras 2 direcciones tenemos,

zyyz

yxxy

τ=τ

τ=τ

De esta forma se reduce la cantidad de incógnitas a solo 6. 1.3.- TRANSFORMACIÓN DE TENSIONES A veces es necesario determinar las componentes de tensión en algún plano distinto al que σxx y σyy actúan manteniendo a estas sobre el mismo plano de acción. Es decir, para un caso particular donde solo rote el plano en estudio respecto al eje z, de esta forma σzz no varia, girando el plano x-y un ánguloθ arbitrario, como se ve en la Figura 5, buscando el equilibrio en dirección del eje x se obtiene

)sen()cos(2)(sen)(cos' 22 θθτθσθσσ xyyyxxxx ++=

de igual forma para las otras dos direcciones tenemos, )sen()cos(2)(cos)(sen' 22 θθτθσθσσ xyyyxxyy −+=

))(sen)((cos)sen()cos()(' 22 θθτθθσστ −+−−= xyyyxxxy

Página 4 de 15


θ

σyy

σzzσxx

σzz

τxy

τxy’ σxx’

A sen(θ )

A cos(θ )

Figura 5.- Rotación de un plano respecto al eje z

Esta transformación de tensiones se puede generalizar en forma matricial a través de la matriz transformación [C], también llamado de cosenos directores de la siguiente forma,

[ ] [ ] [ ] [ ]TCC ⋅⋅= σσ ' siendo

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

στττστττσ

=σ

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθθ−θ

=1000)cos()sen(0)sen()cos(

C

Tensor de tensiones Tensor de transformación (giro respecto de z)

2.- DEFORMACIONES 2.1.- DEFINICIONES DE DESPLAZAMIENTO Y DEFORMACIONES Si un cuerpo es sujeto a un sistema de fuerzas, sus puntos individuales se moverán. Este movimiento de un punto arbitrario es un vector llamado desplazamiento. Cada punto del cuerpo posee un único vector desplazamiento. Cada vector puede resolverse a componentes paralelas a un set de coordenadas cartesianas, es decir, u, v y w son las componentes del desplazamiento en las direcciones de los ejes x, y y z. El movimiento de un cuerpo puede considerarse en la suma de dos partes. Una translación y/o rotación del cuerpo como un todo (representa un movimiento de cuerpo rígido) El movimiento de los puntos del cuerpo relativo a otro (representa una deformación)

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Q*

z’Δ

x’Δ*P

Δy’Q

wΔz

Figura 6.- Gradientes de desplazamiento asociados a una deformacin εxx

La deformación normal a lo largo de un segmento de línea arbitraria es definida como el cambio del segmento de línea dividido su longitud inicial, esta se puede expresar en función de los desplazamientos relativos de los puntos del cuerpo. Mirando la Figura 6, podemos expresar la deformación del segmento PQ en la dirección del eje x, de la siguiente manera.

La deformación normal a lo largo de un segmento de línea arbitraria es definida como el cambio del segmento de línea dividido su longitud inicial, esta se puede expresar en función de los desplazamientos relativos de los puntos del cuerpo. Mirando la Figura 6, podemos expresar la deformación del segmento PQ en la dirección del eje x, de la siguiente manera.

xxwwwx

xvvvx

xuuu Δ

∂∂

+=Δ∂∂

+=Δ∂∂

+= ***

luego

( ) xxx

xxxxxx Δε+=Δ⇒

ΔΔ−Δ

=ε 1''

la nueva longitud Δx’ puede expresarse en función de los gradientes de desplazamiento como,

( )222

2 1' ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=Δ xxwx

xvx

xux

reemplazando en la definición de εxx

121222

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+∂∂

+=εxw

xv

xu

xu

xx

en forma similar para las otras dos direcciones

121222

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+=εyu

yw

yv

yv

yy

121222

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+∂∂

+=εzv

zu

zw

zw

zz

Las componentes de distorsión (deformaciones de corte) tambien pueden relacionarse con los desplazamientos considerando los cambio de los ángulos del cubo del elemento considerado. Considerando el cambio angular de los segmentos inicialmente definidos por PQ y PR, ver Figura 7, podemos encontrar que,

Δx Δy u

P v

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⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ΔΔ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=θ''''

1''

1*)(cosyy

yw

xx

xw

xx

xv

yy

yv

yy

yu

xx

xu

por definición de deformación de corte

Δx

Δx’Δy’

Δy

Δz

Δz’

u

w

v

Q

P

Q*

P*

Figura 7.- Gradientes de desplazamiento asociados a una distorsión γxy

*)(cos*2

sen)(sen*2

θ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−π

=γ⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−π

=γ xyxy

sustituyendo y utilizando la definición de deformación, obtenemos,

( )( )yyxxxy

yw

xw

yv

xv

yu

xu

xv

yu

ε+ε+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

=γ11

arcsen

de igual forma se puede deducir,

( )( )zzyyyz

zu

yu

zw

yw

zv

yv

yw

zv

ε+ε+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

=γ11

arcsen

( )( )xxzzzx

xv

zv

xu

zu

xw

zw

zu

xw

ε+ε+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

=γ11

arcsen

Estas últimas ecuaciones representan la descripción general de las deformaciones en términos de las posiciones de los puntos de un cuerpo antes y después de su deformación. En la gran mayoría de los problemas ingenieriles, los desplazamientos y las deformaciones producidas por las cargas aplicadas son muy chicas. Bajo estas condiciones, se puede asumir que los productos y los cuadrados de los gradientes de deformaciones son muy péquenos respecto a los otros términos, pudiéndose así despreciarse. De esta forma las ecuaciones de deformación-desplazamiento pueden expresarse como,

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xw

zu

zv

yw

yu

xv

zw

yv

xu

zxyzxy

zzyyxx

∂∂

+∂∂

=γ∂∂

+∂∂

=γ∂∂

+∂∂

=γ

∂∂

=ε∂∂

=ε∂∂

=ε

2.2.- ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD Un campo de desplazamiento único puede ser asegurado solo si el cuerpo en consideración es un continuo y el campo de deformaciones satisface un set de ecuaciones llamadas de compatibilidad. Estas seis ecuaciones que deben ser satisfechas para que las deformaciones sean compatibles son,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

γ∂−

∂γ∂

+∂

γ∂

∂∂

=∂∂ε∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

γ∂+

∂γ∂

−∂

γ∂

∂∂

=∂∂

ε∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

γ∂+

∂γ∂

+∂

γ∂−

∂∂

=∂∂ε∂

∂

ε∂+

∂

ε∂=

∂∂γ∂

∂

ε∂+

∂

ε∂=

∂∂

γ∂

∂

ε∂+

∂

ε∂=

∂∂

γ∂

zyxzyx

zyxyxz

zyxxzy

zxxz

yzzy

xyyx

xyzxyzzz

xyzxyzyy

xyzxyzxx

xxzzzx

zzzzyz

yyxxxy

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

Para una explicación más física de las relaciones de compatibilidad, se puede considerar un cuerpo bi-dimensional compuesto de elementos cuadrados. Cuando el cuerpo es cargado, los elementos se deforman. Midiendo los cambios de ángulos y los cambios de longitud, las deformaciones en cada elemento pueden ser halladas diferenciando el campo de desplazamientos. Ahora, considerando el problema inverso, suponiendo que tenemos un cuerpo formado por muchos elementos individuales deformados. Si y solo si cada elemento esta deformado de forma correcta, el cuerpo puede ser reensamblado sin que existan huecos. La prueba para saber si estos elementos están deformados correctamente son las ecuaciones de compatibilidad. Si estas se cumplen, el campo de deformaciones garantizara un campo de desplazamientos satisfactorio. 3.- RELACIONES TENSIÓN - DEFORMACIÓN Las tensiones son relacionadas con las deformaciones a través de ciertas consideraciones respecto a las propiedades del material. La primera condición a introducir es la linealidad entre deformaciones y tensiones en el cuerpo, lo cual permite escribir el set de ecuaciones generales que relacionan la tensión con la deformación, es decir,

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zxyzxyzzyyxxzx

zxyzxyzzyyxxyz

zxyzxyzzyyxxxy

zxyzxyzzyyxxzz

zxyzxyzzyyxxyy

zxyzxyzzyyxxxx

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

γ+γ+γ+ε+ε+ε=τ



γ+γ+γ+ε+ε+ε=σ



666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

Los coeficientes Kij son una propiedad del material y no depende de la deformación ni de la tensión aplicada a menos que el límite de elasticidad del material no sea superado. Existen 36 coeficientes de la elasticidad del material que no son independientes entre si, de forma tal que a través de consideraciones energéticas estos pueden reducirse a 21. Este último número puede seguir reduciéndose en función del tipo de material considerado en el estudio, es decir, si este es ortotropico, isotropico, etc. Por ejemplo para un material ortotropico (con tres planos de simetría) la matriz K de constantes elásticas queda como,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

66

55

44

332313

232212

131211

000000000000000000000000

KK

KKKKKKKKKK

reduciéndose de esta forma a 9 constantes elásticas independientes. Para el caso de materiales isotropicos (cualquier plano considerado es un plano de simetría) la matriz se reduce aun más y solo son necesarias dos constantes independientes, es decir,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

)(000000)(000000)(000000000000

121121

121121

121121

332313

232212

131211

KKKK

KKKKKKKKKKK

donde

μ+λ=== 2332211 KKK y

λ=== 132312 KKK

siendo λ y μ los constantes de Lamé. Quedando de esta forma las relaciones tensión deformación para un material isotropico, en función de las dos constantes de Lamé, como,

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zxzxyzyzxyxy

zzzzyyxxzz

yyzzyyxxyy

xxzzyyxxxx

γμ=τγμ=τγμ=τ

εμ+ε+ε+ελ=σ

εμ+ε+ε+ελ=σ

εμ+ε+ε+ελ=σ

2)(

2)(

2)(

ó

zxzxyzyzxyxy

xxyyzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

τμ

=γτμ

=γτμ

=γ

σ+σμ+λμ

λ−σ

μ+λμμ+λ

=ε

σ+σμ+λμ

λ−σ

μ+λμμ+λ

=ε

σ+σμ+λμ

λ−σ

μ+λμμ+λ

=ε

111

)()23(2)23(

)()23(2)23(

)()23(2)23(

En la practica las constantes elásticas utilizados para un material isotropico son K, E, G y ν, que representan el modulo de volumen, el modulo de elasticidad o de Young, el modulo de corte y el coeficiente de Poisson, respectivamente. Los constantes de Lamé se pueden relacionar con estas constantes elásticas tomando, por ejemplo, casos particulares de tensión. Por ejemplo, considerando un estado tensiones correspondiente a una presión hidrostática tenemos que;

pzzyyxx −=σ=σ=σ y 0=τ=τ=τ zxyzxy reemplazando en las ecuaciones se obtiene;

( )zz

zz

yy

yy

xx

xxKεσ

=ε

σ=

εσ

=μ+λ= 31

31

31

31 23

Luego, considerando un estado de tracción simple, por ejemplo, en la dirección x, tenemos;

0=τ=τ=τ=σ=σ zxyzxyzzyy

xxxx Eσ=ε

1 y xxzzyy Eσ

ν−=ε=ε

que reemplazando en las ecuaciones anteriores

( )μ+λμ+λμ

=23

E y ( )μ+λλ

=ν2

De la misma forma, considerando un estado de corte puro, tenemos que,

0=τ=τ=σ=σ=σ zxyzzzyyxx

xy

xyGγ

τ=μ=

Entonces se pueden re-escribir las relaciones tensión deformación para un material isotropico en función de las constantes K, G, E y ν, como,

Página 10 de 15


( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]( ) ( ) ( )

zxzxyzyzxyxy

xxyyzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

EEE

E

E

E

τν+

=γτν+

=γτν+

=γ

σ+σν−σ=ε

σ+σν−σ=ε

σ+σν−σ=ε

121212

1

1

1

o bien,

( )( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) zxzxyzyzxyxy

xxyyzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

EEE

E

E

E

γν+

=τγν+

=τγν+

=τ

ε+εν+εν−ν−ν+

=σ


=σ


=σ

121212

1211

1211

1211

4.- CIRCULO DE TENSIONES DE MOHR 4.1.- ESTADO DE TENSIONES BIDIMENSIONAL La derivación del círculo de Mohr se basa en el paralepipedo de tamaño diferencial, como el de la Figura 3. En el círculo de Mohr el eje horizontal representa a las tensiones normales, siendo las de tracción las correspondientes a la dirección positiva y a las de compresión a la dirección negativa, en el eje vertical se representan las tensiones de corte. Una representación del mismo se puede ver en la Figura 8b, para un estado de general de tensiones en el plano (σz=0) según se ve en la Figura 8a. El punto donde el círculo de Mohr cruza el eje x representa el valor de las tensiones principales y los máximos en dirección vertical representan la máxima tensión de corte. 4.2.- ESTADO DE TENSIONES TRIDIMENSIONAL En todo cuerpo real existen tres planos ortogonales sobre los cuales pueden representarse las tensiones actuantes sobre el mismo. El planteo realizado para el estudio de tensiones en el plano se puede extender a los otros dos planos ortogonales, sobre los cuales una vez definidas las tensiones pueden ser agrupadas a través de sus ejes principales a fin de representar un círculo de Mohr similar al presentado en el párrafo anterior. El círculo de tensión de Mohr permite representar una gráfica bidimensional adecuada del estado de tensión tridimensional en un punto. Eligiendo el eje de nuestro sistema coordenado en las direcciones de las tensiones principales en el punto P y suponiendo que las tensiones principales son diferentes y que se ordenan como,

321 σ>σ>σ

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Con esta disposición, el vector tensión tin, tiene componentes normales y cortantes

que satisfacen,

23

23

22

22

21

21

22

233

222

211

nnn

nnn

SN

N

σ+σ+σ=σ+σ

σ+σ+σ=σ

Combinando estas dos expresiones se pueden despejar los cosenos directores de los ejes principales tensión resultando en,

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )2313

2212

3

1232

2132

2

3121

2322

1

σ−σσ−σσ+σ−σσ−σ

=


=


=

SNN

SNN

SNN

n

n

n

σyy

σxy

σyz

σxx

z, z*

y

x

dx dy

dz

dxxxx

xx ∂∂

+σσ

dyyyx

yx ∂

∂+

σσ

dxxxy

xy ∂

∂+

σσ

dyyyy

yy ∂

∂+

σσ

z, z*

x*

y* y

x θ

θ

Tensión normal de tracción

Tensión corte positiva en la

cara x

Plano de máxima tensión de corte

Planos de las tensiones principales

Tensión normal de tracción

Tensión corte positiva en la

cara y

Figura 8.- Circulo de Mohr en dos dimensiones

a.- Estado de tensiones plano para un elemento diferencial b.- Circulo de Mohr correspondiente e indicación de los planos de tensiones principales

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Estas ecuaciones son la base para graficar el círculo de Mohr correspondiente a un estado tridimensional de tensiones representado en el “plano de tensiones”, como el que se puede ver en la Figura 9, siendo σN el eje de las abscisas y σS el eje de las ordenadas.

Combinaciones admisibles de σn y τn

Figura 9 .-Circulo de Mohr par un estado tridimensional de tensiones

4.3.- EJEMPLO

Figura 10 .-Estado de tensiones en un punto

Considerando un punto material cuyo estado de tensiones se ve en la Figura 10, podemos dibujar el círculo de Morh para este estado tensional (Figura 11) marcando a su vez los valores máximos de las tensiones de corte y los valores de las tensiones principales

Figura 11 .-Circulo de Mohr para el estado de tensiones dado

Página 13 de 15


Los planos principales de tensión y los planos de tensión de corte máximos se pueden desprender del cubo elemental anteriormente dibujado quedando los mismos como,

Figura 12 .-Tensiones en los planos principales

Una vez determinadas las tensiones principales según se ve en la figura anterior (Figura 12) podemos introducirlas en alguna hipótesis de rotura, como ser la de Tresca, Guest, Huber-Misses, para así poder dimensionar el cuerpo. 5.- CASOS PLANOS DE ELASTICIDAD En la teoría de la elasticidad existe una clase especial de problemas conocidos como estados planos, que pueden ser resueltos en forma más simple que los casos generales tridimensionales con solo introducir un par de consideraciones. La geometría y naturaleza de los estados de carga permiten clasificar los estados de cómo tensión plana o deformación plana. Generalmente el caso de deformación plana se utiliza cuando el cuerpo es de gran espesor comparado con sus dimensiones laterales. En cambio el caso de tensión plana es empleado cuando el cuerpo es de espesor fino en consideración con sus dimensiones laterales. 5.1.- DEFORMACIÓN PLANA Asume que las deformaciones en al cuerpo están contenidas en el plano, es decir, que las deformaciones en x e y son solo función de la posición en x e y, y que las deformaciones en dirección z son nulas. Con estas consideraciones podemos escribir las relaciones desplazamiento-deformación como,

Página 14 de 15


00

0

=∂∂

+∂∂

=γ=∂∂

+∂∂

=γ∂∂

+∂∂

=γ

=∂∂

=ε∂∂

=ε∂∂

=ε

zu

xw

yw

zv

xv

yu

zw

yv

xu

zxyzxy

zzyyxx

Análogamente las ecuaciones de equilibrio quedan reducidas a,

00 =+∂

σ∂+

∂

τ∂=+

∂

τ∂+

∂σ∂

yyyxy

xxyxx F

yxF

xx

Y las relaciones tensión-deformación para un material isotropico se simplifican como,

( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]

( ) 0012

01211

1211

=τ=τγν+

=τ

=σνε+εν−ν−ν+

=σνε+εν−ν−ν+

=σ

zxyzxyxy

zzxxyyyyyyxxxx

E

EE

5.2.- TENSIÓN PLANA En los casos que el espesor del cuerpo es muy pequeño respecto a sus otras dimensiones, es muy ventajoso asumir que

0=τ=τ=σ zxyzzz a lo largo del espesor de la placa. Con estas consideraciones las ecuaciones de equilibrio se pueden reducir a

0

0

=+∂

σ∂+

∂

τ∂

=+∂

τ∂+

∂σ∂

yyyxy

xyxxx

Fyx

Fyx

análogamente las relaciones tensión-deformación quedan como,

( )( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( ) ([ ]

( )

)

( ) ( )yyxxzz

zxyzxyxy

zz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

E

E

E

ε+εν−

ν−=ε

=τ=τγν+

=τ

=σ


=σ


=σ

1

0012

0

1211

1211

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estructuras iii - aero.ing.unlp.edu.ar · en un cuerpo sujeto a diversas fuerzas, ya sea de...

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