1

1 ANÁLISIS DE TENSIONES

1.1 Introducción

El objetivo principal de una estructura o de un miembro estructural es el de transmitir fuerza desde un lugar a otro. Amenudo nuestra meta es transmitir las fuerzas asociadas con cargas del ambiente al suelo. La necesidad de transmitir fuerzasse origina en nuestro deseo de elevar o encerrar espacios, de crear pasos sobre ríos o imperfecciones del terreno, de conteneragua para abastecimiento o para la generación de energía, o de crear vehículos que transporten gente o material de un ladoa otro. Cuando pensamos en estructuras de ingeniería civil, tendemos a pensar en edificios, puentes, túneles o represas, perolas estructuras están por doquier y suceden a toda escala. Aviones, trenes y automóviles son estructuras. El brazo de lecturaen el disco duro de una computadora es una estructura. La tierra misma es una estructura sujeta a la rotura y a la propagaciónde ondas. Todas estas estructuras tienen en común la necesidad de transmitir fuerzas, y uno de los objetivos primarios de uningeniero es lograr que esta transmisión sea eficiente.

La transmisión de fuerzas en un cuerpo está gobernada básicamente por las leyes de Newton de conservación delmomento lineal y del momento angular. En un contexto estático estas ecuaciones se traducen en la familiar noción deequilibrio de fuerzas y momentos. Mientras que primariamente Newton se concentraba en sistemas de partículas, nosotrosnos concentraremos en cuerpos continuos deformables. Consecuentemente, debemos introducir un concepto auxiliar paramodelar la transmisión de fuerzas a través del cuerpo. La noción de tensión, definida de la forma en que Cauchy lo hace, esfundamental para el análisis de esfuerzos en un cuerpo continúo, y es el complemento natural del concepto de fuerza.

1.2 Fuerzas de volumen y de contacto

Sea un conjunto de partículas materiales χ . Este conjunto define un cuerpo continuoque en un instante dado ocupa una región W en un espacio de puntos euclidianotridimensional (ver figura 1.1).

Para estudiar los esfuerzos internos, aislamos una parte cualquiera P del cuerpo, yconsideramos la acción dinámica ejercida sobre dicha parte, por el resto del cuerpo y porel exterior al cuerpo. Se supondrá que dicha parte P ocupa una región H , compacta,interior a W y cuya frontera H∂ es una superficie bilátera, con plano tangente continuoen todo punto o unión de tales superficies.

La acción dinámica ejercida sobre P se clasifica en dos únicas categorías:a) Acciones dinámicas de volumen actuantes sobre P en el interior de H .b) Acciones dinámicas de contacto, actuantes sobre la frontera de H .Las acciones del tipo a), pueden interpretarse como acciones a distancia, ejercidas sobre el interior de H por el resto del

cuerpo ( χ -P ) que ocupa ( )HW − y por el exterior del cuerpo. Las acciones del tipo b), en cambio, se interpretan comoacciones a distancias cortas, distancias despreciables frente a la dimensión característica del problema en estudio y actuantessobre P en zonas de H “próximas” a H∂ , por zonas de ( χ -P ) “próximas” a H∂ , esto es una acción entre capas depequeño espesor “adheridas” a H∂ , una exterior y otra interior a H .

La acción dinámica de volumen sobre P , se representa por un torsor Hτ , cuya resultante HRr

y cuyo momento en O

H,OMr

vienen dadas por:

a

( )

( )

∧=

=

τ

∫∫

H

H,O

H

H

HdVt,PbrM

dVt,PbR

rrr

rr

con OPr =r

(1.2.1)

Figura 1.1

H

cH

W

2

De acuerdo con (1.2.1), la acción dinámica de volumen queda determinada por la función 3:b VF →r

, donde F es latrayectoria del cuerpo durante su movimiento y 3V el espacio vectorial de dimensión 3 que llamaremos densidad de fuerzasde volumen y supondremos continua en W para cada instante t .

La representación (1.2.1) de la acción dinámica de volumen sobre P implica descartar fuerzas de volumen concentradasen zonas de volumen nulo de H .

En lo sucesivo se supondrá que la acción dinámica de volumen sobre P es ejercida solamente por el exterior del cuerpo,lo que sólo es apropiado cuando no se consideran acciones mutuas a distancia entre partes del cuerpo y se considera quela acción a distancia sobre una parte cualquiera de P es debida únicamente al exterior del cuerpo.

Respecto de las acciones de contacto sobre P , su representación se realiza por un torsor H∂τ , cuya resultante HR ∂r

ycuyo momento en O H,OM ∂

r están dadas por:

( )

( )

∧=

=

τ

∫∫

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

H

HH,O

H

HH

HdAt,n,PfrM

dAt,n,PfR

rrrr

rrr

con OPr =r

(1.2.2)

La acción dinámica de contacto queda determinada, de acuerdo a (1.2.2) por la función 3:f VFN →×r

(donde Nes el conjunto de los versores de 3V ) que llamaremos función de densidad de fuerza de superficie y que supondremoscontinua en P para cada t y para cada Hn∂

r (donde Hn∂

r es la normal saliente a H∂ en P ).

El vector ( )t,n,Pf H∂rr

se denomina vector tensión en P para la frontera H∂ .Al escribir ( )t,n,Pf H∂

rr, estamos admitiendo la llamada hipótesis de Cauchy para las tensiones, ella establece que la

tensión en P , para la frontera H∂ depende de H∂ únicamente a través del versor normal saliente a H∂ en P .La representación (1.2.2) de la acción dinámica de contacto sobre H , supone asimismo, descartar fuerzas de contacto

aplicadas en zonas de área nula de H∂ .El esquema y las hipótesis consideradas hasta ahora para representar la acción dinámica sobre una parte P de un

cuerpo continuo, ubicada en una región H del espacio euclidiano, interior a la región W ocupada por el cuerpo, seextienden al caso en que H tiene parte de su frontera incluida en la frontera de W . Esto implica admitir la existencia detensiones, con las propiedades ya mencionadas, en superficies S que son parte de la frontera de W .

1.3 Ecuaciones de balance mecánico

Admitiremos que existen espacios euclidianos privilegiados, llamados absolutos y una cronología privilegiada, llamadaabsoluta, tal que el movimiento de un sistema material con respecto a un sistema euclidiano absoluto y a una cronologíaabsoluta verifica:

HHH Aτ=τ+τ ∂ (1.3.1)

donde HAτ es el torsor de cantidad de aceleración, el que está dado por:

( ) ( )

( ) ( )

ρ∧=

ρ=τ

∫∫

H

H,O

H

H

H

dVt,Pat,PrM

dVt,Pat,PR

rrr

rr

A

A

A con OPr =r

(1.3.2)

siendo ( )t,Par

la aceleración de P en el referencial absoluto y ρ la densidad que supondremos continua en P , para cadainstante t .

De (1.3.1) y las primeras ecuaciones (1.2.1), (1.2.2) y (1.3.2) se tiene la primera ecuación de balance mecánico:

( ) ( ) ( )∫∫∫ ρ=+∂

∂

HH

H

H

dVt,Pat,PdAt,n,PfdV)t,P(brrrr

(1.3.3)

3

Mientras que de las restantes se obtiene la segunda ecuación de balance mecánico:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ρ∧=∧+∧∂

∂

HH

H

H

dVt,Pat,PrdAt,n,PfrdVt,Pbrrrrrrrr

(1.3.4)

Notación: En lo que sigue, no escribiremos más el tiempo como variable, aunque convendremos en seguirlo considerando; tampoco

pondremos más el subíndice H∂ en el versor normal Hn ∂r

, que se sobreentiende.

1.4 Teorema de acción y reacción

Sea P un punto interior a la región W ocupada por el cuerpoy π y π− los planos orientados que pasan por P , de normalessalientes n

r y n

r− ; demostraremos que ( ) ( )n,Pfn,Pf

rrrr−−= .

Demostración:Como P es interior a W , siempre podemos encontrar una

esfera de centro P , contenida en W . Llamémosla Γ , sea Γ∂ susuperficie y r su radio. Sea Σ el círculo de centro P y radio r ,intersección de Γ y el plano que pasa por P . Este plano divide Γen dos semiesferas 1Γ y 2Γ de superficies Σ∪Σ=Γ∂ 11 (donde

1Σ es la superficie de 1Γ , sin la superficie del disco) yΣ∪Σ=Γ∂ 22 .

Aplicando (1.3.3) a 1Γ y observando que la normal saliente a Σ es nr

− , tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ΣΣ

Σ

ΓΓ

−++=ρ dAn,QfdAn,QfdVQbdVQaQ1

1

11

rrrrrr

Aplicando (1.3.3) a 2Γ tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ΣΣ

Σ

ΓΓ

++=ρ dAn,QfdAn,QfdVQbdVQaQ2

2

22

rrrrrr

Aplicando (1.3.3) a Γ tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫Γ∂

Σ

ΓΓ

+=ρ dAn,QfdVQbdVQaQrrrr

Por ser 21 Γ∪Γ=Γ y 21 Σ∪Σ=Γ∂ , sumando las dos primeras ecuaciones y restando la última, se llega a que:

( ) ( )[ ] ⇒=−+∫Σ

0dAn,Qfn,Qfrrrr

( ) ( )[ ]0

r

dAn,Qfn,Qflim 20r

=π

−+∫Σ→

rrrr

por ser f continua ( ) ( ) 0n,Pfn,Pf =−+⇒rrrr

(1.4.1)

Figura 1.2

P

Σ

Γ1

Γ2

Γ

π

π

nr

nr

−

4

1.5 Existencia del tensor de tensiones

Consideremos un punto P fijo, para cada plano orientado π,de normal saliente n

r; tendremos una tensión ( )n,Pf

rr y queremos

estudiar la transformación ( )PT que a cada versor nr

le hacecorresponder su tensión ( )n,Pf

rr.

Notación:{ }linealesL/:LLin 33 VV →= ; a los elementos de Lin los

llamaremos tensores.

Notación:{ }1n/n 3 =∈=

rrVN . N asi definido es el conjunto de

versores de 3V .

Lema:Si en el tetraedro de la figura la normal saliente a la cara de área A es:

332211 enenennrrrr

++= , entonces AnA 11 = ; AnA 22 = ; AnA 33 = .

Demostración:Aplicando el teorema del gradiente al tetraedro ∫∫ φ=φ∇

SV

dAndVr

; enparticular para 1=φ se tiene 0dAn

S

=∫ r .Luego:

0dAe))n(sig(dAe))n(sig(dAe))n(sig(dAn321 A

33

A

22

A

11

A

=−+−+−+ ∫∫∫∫ rrrr

Luego:

333222111 eA)n(sigeA)n(sigeA)n(sigAnrrrr

++= .Multiplicando escalarmente esta última expresión por 1e

r, se tiene que:

1111111111 AAnA)n(sigAne.eA)n(sigAn.e =⇒=⇒=rrrr

Multiplicando escalarmente por 1er

y 2er

se llega a 22 AAn = y 33 AAn = .

Teorema de la existencia del tensor de tensiones( ) ( ) ( ) N∈∀=∈∃∈∀ n,nPTn,Pf/LinPT,WP

rrrr

Demostración:Consideremos un punto P interior a W , y un tetraedro trirectángulo de vértice P , interior a W como indica la figura 1.4.

Sea π el plano que contiene los puntos 1M , 2M y 3M , sea ),P(dh π= ; nr

la normal saliente a la cara 321 MMM ;

ii e))n(sig(r

− la normal saliente a la cara kj MMP con ij ≠ y ik ≠ .Aplicando la primera ecuación de balance mecánico al tetraedro, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ ρ=−+−+−++VA

33

A

22

A

11

AV

dVQadAe)n(sig,QfdAe)n(sig,QfdAe)n(sig,QfdAn,QfdVQb321

rrrrrrrrrr

El volumen del tetraedro es 3

AhV = y por el lema las áreas de las caras son ii AAn = , por lo que dividiendo laexpresión anterior por A y aplicando el teorema de acción y reacción, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ −++=1A

111

11

AV

dAe)n(sig,QfA1))n(sig(ndAn,Qf

A1dVQb

V3hhF

rrrrrr

( ) ( ) ( ) 0dVQaV3hdAe)n(sig,Qf

A1))n(sig(ndAe)n(sig,Qf

A1))n(sig(n

32 AV

333

33

A

222

22 =ρ−−+−+ ∫ ∫∫ rrrrr

x1 x2

x3

O

M1 M2

M3

MA2

A1

A3

Figura 1.4

A=área del triángulo M1M2M3A1= área del triángulo OM2M3

nr

1er

2er

3er

Figura 1.3

P

π

)n,P(frr

nr

5

Calculando:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0e,Pfne,Pfne,Pfnn,PfhFlim 3322110h

=−−−=→

rrrrrrrrr

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )332211 e,Pfe.ne,Pfe.ne,Pfe.nn,Pfrrrrrrrrrrrrrr

++=

Consideremos ( ) 33:PT VV → , tal que 3n V∈∀r

, la imagen de nr

en la transformación ( )PT es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )332211 e,Pfe.ne,Pfe.ne,Pfe.nnPTrrrrrrrrrrrrr

++= . Es inmediato a partir de las propiedades del producto escalar que

ℜ∈βα∀ , y 3v,u V∈∀rr

, tenemos:

( )( ) ( ) ( )vPTuPTvuPTrrrr

β+α=β+α y entonces ( ) LinPT ∈ .

Probamos entonces que:

( ) ( ) N∈∀=∈∃ n,nPTn,Pf/LinTrrrr

(1.5.1)

A esta transformación lineal, la llamaremos tensor de tensiones.

Observación 1:Este resultado permite hallar la tensión actuante en un plano de vesor normal n

r cualquiera, conociendo la misma en tres

planos ortogonales.

Observación 2:Dados 3 planos orientados de normales salientes 1e

r, 2er

y 3er

ortonormales, convendremos en representar por ijT lacomponente según la dirección ie

r de la tensión actuante en el plano de versor normal je

r.

Luego,( ) ( ) 13312211111 ePTeTeTeTe,Pf

rrrrrr=++=

( ) ( ) 23322221122 ePTeTeTeTe,Pfrrrrrr

=++= (1.5.2)( ) ( ) 33332231133 ePTeTeTeTe,Pf

rrrrrr=++=

Los vectores tensión y sus componentes se representan en la figura 1.5:

T21

T31

T11 T12

T22

T32

T13

T33

T23

Figura 1.5

1er 2e

r

3er

)e(f 1rr

)e(f 2rr

)e(f 3rr

Por comodidad, los tres diagramas separados de la figura anterior, con frecuencia, se suelen combinar en una figuraesquemática sencilla como la indicada en la figura 1.6; en ella se representan las componentes de los vectores tensión deacuerdo con la notación usada en las fórmulas (1.5.2).

6

Figura 1.6

T32

T11

T31

T21

T12

T13

T33

T23

T22

1er 2e

r

3er

)e(f 1rr

)e(f 2rr

)e(f 3rr

Observación 3:Conocidos los valores ijT con 3,2,1j,i = conocemos las imágenes de los tres vectores de la base ortonormal { }321 e,e,e

rrr

y por la tanto estamos en condiciones de escribir la matriz asociada a la transformación lineal T en dicha base:

[ ]

=

333231

232221

131211

TTTTTTTTT

T

Definición:La proyección nf

r de ( )n,Pf

rr sobre n

r la llamaremos vector tensión normal y a su medida algebraica n.fn

rr=σ tensión

normal, es claro que nfnrr

σ= . Si 0>σ la tensión normal es de tracción y si 0<σ diremos que es de compresión.

Definición:La proyección tf

r de ( )n,Pf

rrsobre π la llamaremos vector tensión rasante y es inmediato que nt fff

rrr−= .

Si { }'e,e,nrrr

constituyen una base ortonormal en P ⇒ ( ) ( ) 'enT'.eenT.efff ntrrrrrrrrr

+=−= . A los números reales ( )nPT.err

y( )nPT'.e

rr los llamaremos tensiones rasantes según las direcciones e

r y 'er

respectivamente.

Observación 4:La demostración del teorema de existencia del tensor de tensiones es válida para todo punto P interior al cuerpo W . Sin

embargo, como para cada nr

, ( )n,Pfrr

es continua en W , podemos extender la existencia del tensor de tensiones a la frontera.Admitiremos que existe una interacción de contacto entre las zonas interiores y exteriores al cuerpo cercanas a su superficieque queda caracterizada por las tensiones en la frontera, lo que nos permite usar la fórmula ( ) ( )n,PfnPT

rrr= como ligazón

entre las fuerzas de contacto exteriores con las tensiones interiores, en la forma de condición mecánica de contorno.

Observación 5:El hecho de que muchos materiales presentan un comportamiento diferente según que la tensión normal actuante tenga

el sentido de la normal, es decir, sea de tracción, o de sentido contrario, es decir, sea de compresión, nos obliga a trabajar conla componente de nf

r según n

r; σ en lugar de trabajar con la norma de nf

r; nfr

. Como este problema no ocurre con latensión rasante tf

r, podemos trabajar directamente con su norma tf

r=τ , la cual hará más simples sus aplicaciones.

Observación 6:Las ecuaciones del balance mecánico (1.3.3) y (1.3.4) pueden expresarse, aplicando (1.5.1) de la siguiente manera:

7

∫∫∫ ρ=+∂ HHH

dV)t,P(a)t,P(dAn)t,P(TdV)t,P(brrr

(1.5.3)

∫∫∫ ρ∧=∧+∧∂ HHH

dV)t,P(a)t,P(rdAn)t,P(TrdV)t,P(brrrrrrr

(1.5.4)

1.6 Ecuación puntual de balance mecánico

Teorema:( ) ( ) ( )QaQbQT.WQ

rrρ=+∇⇒∈∀

Demostración:Sea HQ/WH ∈⊂ , aplicando a H la primera ecuación de balance mecánico, tenemos:

( ) ( ) ( )∫∫∫ ρ=+∂ HHH

dVPadAn,PfdVPbrrrr

Del teorema de existencia del tensor de tensiones, tenemos que ( ) ( )nPTn,Pfrrr

= , suponiendo que T es diferenciable concontinuidad en W , tenemos:

( ) ( ) ( )∫∫∫ ρ=+∂ HHH

dVPadAnPTdVPbrrr

Luego aplicando el teorema de la divergencia para un campo tensorial:

( ) ( ) ( ) 0dVPadVPT.dVPbHHH

=ρ−∇+ ∫∫∫ rr

Dividiendo entre ( )HV y tomando límite para ( ) 0HV → , con H,HQ ∀∈ :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0dVPaPT.PbHV

1limH

0Hv=ρ−∇+∫→

rr. Luego:

( ) ( ) ( )QaQbQT.rr

ρ=+∇ (1.6.1)

Observación:Si consideramos una base ortonormal { }321 e,e,e

rrr donde ( ) 332211 ebebebQb

rrrr++= , ( ) 332211 eaeaeaQa

rrrr++= y

[ ]

=

333231

232221

131211

TTTTTTTTT

T

la ecuación vectorial (1.5.1) se expresa como:

13

13

2

12

1

111 a

xT

xT

xTb ρ=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+

23

23

2

22

1

212 a

xT

xT

xTb ρ=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+

33

33

2

32

1

313 a

xT

xT

xT

b ρ=∂∂

+∂∂

+∂∂

+

8

1.7 Simetría del Tensor de Tensiones

Intentaremos buscar una segunda ecuación puntual de balance mecánico como hicimos en la parte 1.6. Partiremos estavez de la segunda ecuación del balance mecánico dada en (1.5.4).

Teorema:El tensor de tensiones SimT ∈La segunda ecuación puntual de balance mecánico puede expresarse entonces asi: )P(T)P(T *=

Demostración:Sea un dominio H incluido en una región ocupada por un cuerpo sólido. La segunda ecuación global del balance

mecánico para el cuerpo que ocupa ese dominio H es:

∫∫∫ ρ∧=∧+∧∂ HHH

dVardAn)P(TrdVbrrrrrrr

Si multiplicamos escalarmente ambos lados de la igualdad por un vector hr

cualquiera obtenemos:

∫∫∫ ρ∧=∧+∧∂ HHH

dVar.hdAn)P(Tr.hdVbr.hrrrrrrrrr

0dAn)P(Tr.hdV)ab(r.hHH

=∧+ρ−∧ ∫∫∂

rrrrrrr

Aplicando la regla del producto mixto al 2º término queda:

0dA)rh.(n)P(TdV)ab(r.hHH

=∧+ρ−∧ ∫∫∂

rrrrrrr

Llamando *T al tensor adjunto de T queda:

0dA)rh(T.ndV)ab(r.hH

*

H

=∧+ρ−∧ ∫∫∂

rrrrrrr

Aplicando el teorema de la divergencia al segundo miembro queda:

0dV)rh(:TdV)T.r.(hdV)ab(r.hH

*

HH

=∧∇+∇∧+ρ−∧ ∫∫∫ rrrrrrrr

Utilizo la propiedad ( ) ( ) v:Lv.L.vL. * rrr∇+∇=∇

0dV)rh(:T)rh.(T.dV)ab(r.hH

*

H

=∧∇+∧∇+ρ−∧ ∫∫ rrrrrrrr

Separando la segunda integral en dos miembros y aplicando la regla del producto mixto al primero queda:

0dV)rh(:TdV)T.r.(hdV)ab(r.hH

*

HH

=∧∇+∇∧+ρ−∧ ∫∫∫ rrrrrrrr

0dV)rh(:TdV)aT.b(r.hH

*

H

=∧∇+ρ−∇+∧ ∫∫ rrrrrr

De la primera ecuación del balance puntual concluimos que el primer término es nulo y por lo tanto el segundo también,es decir:

0dV)rh(:TH

* =∧∇∫ rr

Figura 1.7

O

HP

1er

2er

3er

9

Como el dominio de integración H es cualquiera en cualquier punto P se cumplirá la igualdad:0dV))P(rh(:)P(T* =∧∇

rr

Veamos que pasa cuando hr

es 1er

0dV))P(re(:)P(T 1* =∧∇

rr (1.7.1)La matriz de )P(T* es:

333231

232221

131211

TTTTTTTTT

Veamos como queda la matriz de ))P(re( 1rr

∧∇

3OP2OP1OP e)zz(e)yy(e)xx()P(rrrrr

−+−+−=

2OP3OP1 e)zz(e)yy()P(rerrrr

−−−=∧

[ ]

−=∧∇⇒010100

000))P(re( 1

rr

Haciendo el producto escalar entre tensores de la ecuación (1.7.1) queda:

23322332 TT0TT =⇒=− (1.7.2)Aplicando el mismo razonamiento a las componentes según 2e

r y 3er

hubiéramos obtenido:

3113 TT = (1.7.3)

2112 TT = (1.7.4)Considerando (1.7.2), (1.7.3) y (1.7.4) vemos que [ ]T es simétrica, es decir *TT = y SimT ∈

1.8 Consecuencias de la simetría del Tensor de Tensiones

Bases propias para el tensor de tensionesComo el tensor de tensiones ( )PT es simétrico, existe para cada punto P del sólido, por lo menos una base ortonormal

{ }321 d,d,drrr

en la cual la matriz asociada al tensor ( )PT es la diagonal:

( )[ ]

σσ

σ=

3

2

1

000000

PT

Donde 1σ , 2σ , 3σ son los autovalores correspondientes a los autovectores 1dr

, 2dr

, 3dr

de acuerdo al teoremaespectral.

Definición:A los valores propios 1σ , 2σ , 3σ del tensor de tensiones ( )PT los llamaremos tensiones principales en el punto P .A los vectores propios 1d

r, 2dr

, 3dr

del tensor de tensiones ( )PT los llamaremos direcciones principales de las tensionesen el punto P .

Observación 1:De las relaciones entre autovalores y autovectores de una transformación lineal tenemos que:

( ) 111 ddPTrr

σ= ; ( ) 222 ddPTrr

σ= ; ( ) 333 ddPTrr

σ=Por lo tanto las tensiones en los planos de versores normales 1d

r, 2dr

, 3dr

tienen sólamente componente normal, lacomponente rasante es nula.

Observación 2: La ecuación característica de ( )[ ]PT es:

[ ]( ) 0IIIITdet 322

13 =+λ−λ+λ−=λ−

10

Tal ecuación es independiente de la base elegida para obtener ( )[ ]PT por lo que a sus coeficientes 321 IeI,I losllamaremos primer, segundo y tercer invariantes del tensor de tensiones. Es claro que son independientes de la base elegidapara representar ( )[ ]PT .

trTI1 =

( ) ( )[ ]22

2221

1211

1113

3133

3332

23222 TtrtrT

21

TTTT

TTTT

TTTT

I −=++= siendo T:TT2 =

donde el símbolo : es el producto interno en el espacio vectorial .lin[ ]( )TdetI3 =

1.9 Tensiones octaédricas

Llamaremos plano octaédrico a un plano cuya normal forma ángulos iguales con las tres direcciones principales.Vamos a calcular el vector tensión que actúa sobre un plano octaédrico.

Sean 1σ , 2σ , y 3σ las tres tensiones principales y 1dr

, 2dr

y 3dr

sus tres direcciones principales correspondientes. El

versor normal al plano octaédrico nr se puede expresar en esta base como )ddd(

33n 321

rrrr++= , por lo que el vector

tensión )ddd(33nTf 332211oct

rrrrrσ+σ+σ== .

La tensión normal 3I)(

31n.nTn.f 1

oct321octoct =σ⇒σ+σ+σ===σrrrr

El cuadrado de la tensión rasante

−σ+σ+σ=τ⇒σ−=τ

3I)(

31f

212

32

22

12oct

2oct

2oct

2oct

r

Observemos que )T(tr 223

22

21 =σ+σ+σ , y que [ ] 2

21

22212 I2I)T(tr)T(trI

21I −=⇒−=

Podemos escribir entonces 212oct2

21

212

21

2oct I

31I(

32II

31

32I

31I2I

31 −−=τ⇒

−=

−−=τ

1.10 Elipsoide de Lamé

Sean 1σ , 2σ , 3σ las tres tensiones principales que caracterizan al estado de tensiones en un punto P de un cuerpo.Consideremos una terna ortonormal, coincidiendo con las direcciones principales 1d

r, 2dr

y 3dr

del tensor de tensiones( )PT .

A cada versor normal nr

, hagámosle corresponder un punto ( )321 x,x,xQ tal que ( ) PQn,Pf =rr

. Queremos determinar ellugar geométrico de Q .

Sea 332211 dndndnnrrrr

++= , tenemos:

( )

σσσ

=

σσ

σ=

23

22

11

3

2

1

3

2

1

nnn

nnn

000000

n,Pfrr

Luego, ( ) 333222111 dndndnn,Pfrrrrr

σ+σ+σ=

Como 332211 dxdxdxPQrrr

++= , deberá ser: 111 nx σ= ; 222 nx σ= ; 333 nx σ=

Consideremos tres tipos de estados de tensiones:1) Si 01 ≠σ , 02 ≠σ y 03 ≠σ , diremos que tenemos un estado triaxial de tensiones en el punto P .

En este caso: 1

11

xnσ

= , 2

22

xnσ

= y 3

33

xn

σ= y como n

r es un versor, ⇒=++ 1nnn 2

32

22

1 1xxx

23

23

22

22

21

21 =

σ+

σ+

σ y el lugar geométrico de Q es un elipsoide de centro P y semiejes 1σ , 2σ y 3σ , como se presenta en la figura 1.8. De

11

este resultado deducimos que el máximo valor absoluto de las tensiones principales es el máximo de las normas de los

vectores tensión en el punto P .

1

2

3

σ1

σ2

σ3

P

Figura 1.8

2) Si una sola tensión principal es nula, diremos que tenemos un estado plano de tensiones en el punto P .

Podemos suponer sin perder generalidad que 03 =σ , 01 ≠σ y 02 ≠σ , luego: 1

11

xnσ

= , 2

22

xnσ

= .

De 1n1nn1nnn 23

22

21

23

22

21 ≤−=+⇒=++

1xx2

2

22

21

21 ≤

σ+

σ⇒ , y el lugar geométrico es la región del plano 21xx limitada por la elipse de centro P y semiejes 1σ

y 2σ , representado en la figura 1.9.

De este resultado se concluye que al variar nr

en todo el espacio, los vectores tensión en el punto P son coplanares.

3) Si dos tensiones principales son nulas, diremos que tenemos un estado uniaxial de tensiones en el punto P .

Suponiendo 023 =σ=σ y 01 ≠σ , luego: 1

11

xnσ

=

De 1nn1n1nnn 22

23

21

23

22

21 ≤−−=⇒=++ 2

1212

1

21 x1x σ≤⇒≤

σ⇒

Por lo que el lugar geométrico se reduce al segmento [ ]11,σσ− sobre el eje 1Ox , representado en la figura 1.10. Los

vectores tensión en el punto P son todos colineales.

P P

σ1

-σ1

σ1

σ2

x

y

z

x

y

z

Figura 1.9 Figura 1.10

12

1.11 Estado plano de tensiones Isostáticas

Definición:Diremos que una estructura trabaja en un estado plano de tensiones, si el estado de tensiones en cada punto de la

estructura es biaxial y la dirección principal asociada con la tensión principal nula es la misma para todos los puntos de laestructura.

Líneas de tensiones principalesEn estado plano de tensiones los valores y direcciones de las tensiones principales generalmente varían punto a punto.

Si se determinan las direcciones principales en un cierto número de puntos de la estructura, se pueden representar esas dosdirecciones perpendiculares mediante una pequeña cruz en cada punto como se indica en la primer figura. Las líneas queunen esas cruces son las envolventes de las tensiones principales y se llaman isostáticas, estarían indicando por donde«fluyen» las tensiones principales.

Figura 1.11

Las isostáticas permiten visualizar como se transmiten las fuerzas en el interior del cuerpo, lo cual es muy útil enestructuras complejas. Por ejemplo, consideremos las isostáticas de una ménsula de sección rectangular sujeta a la acción deuna carga concentrada en su extremo libre. Ya que los bordes superior e inferior de la viga están libres de fuerzas de contacto,y en particular de tensiones rasantes, las líneas de borde serán isostáticas. Sabemos que el borde superior de la viga está entracción y el inferior en compresión y que además la línea neutra está libre de tensiones normales. Por lo tanto, las isostáticaspartirán formando ángulos rectos con respecto a un borde y terminarán paralelas al borde opuesto. Se representan como enla segunda figura, donde las líneas gruesas son las isostáticas de compresión y las delgadas las de tracción.

Figura 1.12

La tercer figura muestra las isostáticas de una viga simplemente apoyada sometida a una carga concentrada en el centrodel claro e indica como la viga actúa como una serie de arcos a compresión sostenidos por una serie de cables a tracción.

Figura 1.13

13

Este modelo guía la disposición de la armadura en vigas de hormigón. Como el hormigón no resiste la tracción se lorefuerza en las zonas traccionadas con armadura de acero. Parece lógico colocar estas barras siguiendo las trayectorias delas isostáticas de tracción.

Vemos así que en el caso de la viga simplemente apoyada, en el centro de la viga es necesario disponer barras horizontalesen la parte inferior, mientras que en los apoyos es necesario levantarlas formando un ángulo de 45º con el eje de la viga.

Debemos observar que en este razonamiento es esencialmente cualitativo ya que la fisuración del hormigón y la presenciade la armadura perturba el estado de tensiones del material supuesto aquí, homogéneo e isótropo.

1.12 Tricírculo de Mohr

Sea WP ∈ ,sabemos que a cada versor nr

le corresponde un vector tensión( ) ( )nPTn,Pf

rrr= . Al vector ( )n,Pf

rr lo podemos expresar como:

( ) tfnn,Pfrrrr

+σ= con tfr

=τLuego, a cada versor n

r, le podemos hacer corresponder una pareja ordenada

( ) +ℜ×ℜ∈τσ, y tomando un par de ejes cartesianos ( )τσ,,0 , un punto M decoordenadas ( )τσ, en el semiplano 0≥τ .

No hay inconvenientes en trabajar con 0≥τ , pues desde el punto de vista resistentenos preocupa el signo de la tensión normal σ y no el de la tensión rasante τ .

Vamos a determinar la región donde varía M al variar el versor nr

en el conjuntoN de los versores.

233

222

211 nnnn.nT σ+σ+σ==σ

rr

23

23

22

22

21

21

2333222111

222 nnnenenenf σ+σ+σ=σ+σ+σ==τ+σ

rrrr

De estas ecuaciones podemos obtener ),( τσ al variar nr

, es decir tenemos lafunción F tal que )n(F),(

r=τσ . Encontrar el recorrido de F es el problema planteado.

Si expresamos a nr

en coordenadas esféricas tenemos:

321 esenesencosecoscosnrrrr

θ+ϕθ+ϕθ= y podemos plantear el problema así:

),(F),( ϕθ=τσ , con

π≤θ≤π−π≤ϕ≤

=→20

D,RD:F 2

También se podría hallar F-1 que cumple ),(F),( 1 τσ=ϕθ − es decir, si tenemos un punto ),( τσ podemos hallar su versornr

correspondiente.Veamos primero un caso particular:Sea 2211 dndnn

rrr+= con 1d

r y 2dr

direcciones principales cualesquiera.Podemos expresar 21 dsendcosn

rrrϕ+ϕ= y 2211 dsendcos)n(T

rrrϕσ+ϕσ=

Hasta ahora dimos un signo a las tensiones normales, no así a las rasantes, para ellodebemos definir un sentido positivo para el vector tangente t

r: dado un plano de versor

normal saliente nr

lo consideramos con sentido positivo al vector tangente tr

que resultade girar n

r

2π grados en sentido horario.

Esto nos permite trabajar con un vector tensión normal nfnrr

σ= y otro tensiónrasante tf t

rrτ= , donde n.f

rr=σ y t.f

rr=τ .

Descomponiendo nTfrr

= en la base { }t,nrr

t)t.f(n)n.f(frrrrrrr

+=

21 dsendcosnrrr

ϕ+ϕ=

21 dcosdsentrrr

ϕ−ϕ=t)cossencos(senn)sencos(f 21

22

21

rrrϕσϕ−ϕσϕ+ϕσ+ϕσ=

Figura 1.11

M(σ,τ)

ϕ θ

Figura 1.121er

2er

3er

nr

ϕ

Figura 1.13

nr

tr

1dr

2dr

14

La componente según nr

es la tensión normal σ y la componente según tr

es la tensión rasante τ .

21

22

21

cossencossensencos

ϕσϕ−ϕσϕ=τϕσ+ϕσ=σ⇒

Utilizando:

22cos1cos2 ϕ+=ϕ

22cos1sen 2 ϕ−=ϕ

22sencossen ϕ=ϕϕ

Se obtiene:

ϕσ−σ

+σ+σ

=σ 2cos22

2121

ϕσ−σ

=τ 2sen2

21

Puede verse que es una forma paramétrica de la circunferencia de centro

σ+σ 0,

221 y radio

221 σ−σ , es decir para un

valor dado de ϕ se obtiene el punto M según la figura 1.14.

τ

σσ1σ2

ϕ 2ϕ

ϕM

Figura 1.14

A la inversa, si tenemos un punto M situado en la circunferencia podemos hallar los ángulos βα y que forma el versornr

con las direcciones principales 1dr

y 2dr

según la construcción de la figura 1.15.

τ

σσ1σ2

βα

M

Figura 1.15

Si consideramos τ en valor absoluto nos queda la semicircunferencia en el semiplano positivo de τ .

τ

σσ1σ2

Figura 1.16

15

Para nr

combinación lineal de 2dr

y 3dr

o 1dr

y 3dr

razonando de la misma manera vemos que el punto ),( τσ puede estaren alguna de las tres circunferencias de la figura 1.17.

τ

σσ1σ2σ3

Figura 1.17

Veamos que pasa cuando nr

es de la forma: 332211 dndndnnrrrr

++= con 0n,n,n 321 ≠Nombremos las tensiones principales de ( )PT como Iσ , IIσ y IIIσ de manera que IIIIII σ≥σ≥σ . Si escribimos la matriz

asociada con ( )PT en la base de direcciones principales { }321 d,d,drrr

tendremos:

( )[ ]

σσ

σ=

III

II

I

000000

PT

Supongamos que en esa base 332211 dndndnnrrrr

++= .Luego, ( ) 3III32II21I1 dndndnnPTf

rrrrrσ+σ+σ==

23III

22II

21I nnnn.f σ+σ+σ==σ

rr(1.12.1)

⇒+σ=⇒+σ=2

t2

2

t fffnfrrrrr

2223

2III

22

2II

21

2I nnn τ+σ=σ+σ+σ (1.12.2)

Luego, como N∈nr

1nnn 23

22

21 =++⇒ (1.12.3)

Además 1n0 21 ≤≤ ; 1n0 2

2 ≤≤ ; 1n0 23 ≤≤ (1.12.4)

De (1.12.1), (1.12.2), (1.12.3) tendremos un sistema de tres ecuaciones con tresincógnitas, de donde podemos despejar 2

1n , 22n y 2

3n , que sustituidas en (1.12.4)nos darán 3 regiones del plano. Su intersección será la región R buscada.

Trataremos entonces de resolver el problema de esta manera:

( )

τ+σ=σ+σ+σ

σ=σ+σ+σ

=++

2223

2III

22

2II

21

2I

23III

22II

21I

23

22

21

nnn

nnn

1nnn

I

Por la regla de Cramer:

2III

2II

22IIIII

21

1111n

σστ+σσσσ

∆=

2III

222I

IIII2

2

1111n

στ+σσσσσ

∆=

222II

2I

III2

3

1111n

τ+σσσσσσ

∆=

Donde 2

III2

II2

I

IIIIII

111

σσσσσσ=∆

∆ puede ser cero si hay dos o más tensiones principales iguales; ésto nos lleva a una discusión.

Figura 1.18

nr

fr

nfr

tfr

16

Caso 1:⇒σ>σ>σ IIIIII restando la primer columna a la segunda y la segunda a la tercera

( )( ) ( )( )IIIII2

I2

IIIII2II

2III

2II

2III

2I

2II

2I

IIIIIIIII

001σ−σσ−σ−σ−σσ−σ=

σ−σσ−σσσ−σσ−σσ=∆

( )( )( ) ⇒σ−σσ−σσ−σ= IIIIIIIIIIII

( )( ) ( )( )[ ]IIIII222

IIII2

II2

III21

1n σ−στ−σ−σ−σ−σσ−σ∆

=

[ ] ⇒τ+σ+σ−σσ−σσ−σ+σσ∆

σ−σ= 222

IIIIIII2

IIIIIIIIIIII

( ) ( )[ ]( )( )( )IIIIIIIIIIII

IIIIIIIIII22

IIIII21n

σ−σσ−σσ−σσσ+σσ+σ−τ+σσ−σ

=

( )( )( )IIIIIII

IIIIIIIIII22

21n

σ−σσ−σσσ+σσ+σ−τ+σ

= (1.12.5)

Análogamente,

( )( )( )IIIIIIII

IIIIIIII22

22n

σ−σσ−σσσ+σσ+σ−τ+σ= (1.12.6)

( )( )( )IIIIIIIII

IIIIII22

23n

σ−σσ−σσσ+σσ+σ−τ+σ

= (1.12.7)

Fijado 1n , la ecuación (1.12.5) representa una circunferencias de centro ( ) 2/IIIII σ+σ y radio ( )1nR que al variar 1nentre 0 y 1, lo hará entre ( ) 2/IIIII σ−σ y ( )[ ]2/IIIIII σ+σ−σ

n1=1

n1=0

(σΙΙ+σΙΙΙ )/2

Figura 1.19

τ

σ

Tratando similarmente las ecuaciones (1.12.6) y (1.12.7) se tienen dos conjuntos de circunferencias con centros ubicadossobre el eje σ en ( ) 2/IIII σ−σ y ( ) 2/III σ−σ y radios límites ( ) 2/IIII σ−σ ; ( )[ ]IIIIII 2/ σ−σ+σ y ( ) 2/III σ−σ y( )[ ]IIIIII 2/ σ−σ+σ respectivamente.

Cualquier punto ( )τσ, debe estar en la zona limitada entre las circunferencias de cada una de las tres familias. Así, elpunto sólo puede estar dentro de la región rayada que muestra la figura 1.20, que es la intersección de las regiones limitadaspor las tres familias.

17

σσΙΙΙ σΙΙ σΙ

τ

Figura 1.20

Caso 2:Dos tensiones principales iguales.Supongamos que IIIIII σ>σ=σ . En este caso, 0=∆ y para que el sistema no sea incompatible debe ser:

0111

2III

2II

22IIIII =

σστ+σσσσ ; 0

111

2III

222I

IIII =στ+σσσσσ ; 0

111

222II

2I

III =τ+σσσ

σσσ .

La última relación es 0 = 0 y los dos primeros desarrollados, dan el mismo resultado:

( ) ( )2IIII

2

IIII2

41

21 σ−σ=

σ+σ−σ+τ

o sea una circunferencia. Ésto se ve en la figura 1.20, cuando III σ→σ , el área rayada se reduce a una circunferencia dediámetro IIII σ−σ .

En el caso IIIIII σ=σ>σ , trabajando en forma análoga se obtiene otra circunferencia.

Caso 3:Todas las tensiones principales son iguales: IIIIII σ=σ=σ .En este caso, IIIIII σ=σ=σ=σ y 0=τ , por lo cual la región se reduce a un punto.

Observación 1:Una vez hallado el punto P de coordenadas ),( τσ podemos visualizar el vector f

r sobre el plano de versor normal n

r

según la figura 1.21

σ

τ

σΙΙΙ σΙΙ σΙ

τT

Figura 1.21

P

nr

fr

18

Observación 2:En el caso de ser IIIIII σ>σ>σ , las curvas que limitan la región rayada de la figura 1.20 son las circunferencias

representadas en la figura 1.17. Cada una de estas circunferencias las obteníamos al hacer nr

combinación lineal de dos delos versores de la base { }321 d,d,d

rrr. Por ejemplo la circunferencia que va de 1σ a 2σ se obtiene cuando n

r es combinación

de 1dr

y 2dr

.

Observación 3:Si mantenemos constante la componente de n

r según la dirección id

r obtenemos un círculo de centro 2/)( kj σ+σ con

ji ≠ , ki ≠ . Un ejemplo de esto se muestra en la figura 1.19 donde se mantiene constante la componente según la dirección

1dr

.

Observación 4:Dado un punto M en el tricírculo de Mohr de coordenadas ),( τσ podemos hallar los ángulos directores del versor n

r

para el cual se tiene la tensión normal σ y la tensión rasante τ . Por ejemplo, si queremos hallar al ángulo α que forma elvector n

r con la dirección principal 1d

r procedemos de la siguiente manera:

1) Trazamos la circunferencia con centro

σ+σ 0,

2IIIII . Los puntos sobre esta circunferencia tienen 1n constante es

decir tienen α constante α= cosn1 .2) Al cortar con las circunferencias extremas, como se observa en la figura 1.22, hallamos los puntos H e I; el punto H

tiene un versor normal que es combinación lineal de 3dr

y 1dr

, el I tiene un versor normal que es combinación lineal de 2dr

y

1dr

. De acuerdo a la figura 1.15 el ángulo α es el que se muestra en la figura 1.22.

MH

I

Figura 1.22

α

σΙσΙΙσΙΙΙ

Observación 5:Del razonamiento anterior se desprende que para todo punto de la zona rayada se tiene una normal asociada en el punto.

Observación 6:De la construcción de Mohr se concluye que el máximo valor de la tensión normal es igual a Iσ (la mayor de las tensiones

principales) mientras que el mínimo IIIσ (la menor de las tensiones principales).También se concluye que la máxima tensión rasante es:

( )2

IIIIMÁX

σ+σ=τ

y que la tensión normal sobre el plano en el cual actúa la máxima tensión rasante es ( ) 2/IIII σ−σ . De la figura de Mohr seconcluye que el versor normal a dicho plano, tiene en la base de direcciones principales componentes 1n , 2n y 3n tales que

21nn 2

32

1 == , 0n 2 = . Por lo tanto, la máxima tensión rasante actúa en los dos planos bisectores del diedro definido porlos planos de tensión normal máxima y mínima.

19

σ

τ

σΙΙΙ σΙΙ σΙ

τMÁX

45º45º

Figura 1.23

1.13 Círculo de Mohr para estados biaxiales de tensión

Si trabajamos en un estado biaxial de tensiones, una de las tensiones principales será nula y a las dos restantes, lasllamaremos Iσ y IIσ con III σ≥σ .

Sean 1dr

y 2dr

las dos direcciones principales de tensiones principales 1σ y 2σ respectivamente.Veamos como varían σ y τ al variar n en el plano dado por 1d

r y 2dr

.El problema fue resuelto en la parte anterior y los resultados se representan en la figura 1.24.

σΙσΙ

σΙΙ

σΙΙ

σ(ϕ)

σ(ϕ)

τ(ϕ)

τ(ϕ)

ϕ

τ(ϕ+π/2)

τ(ϕ+π/2)

σ(ϕ+π/2)

σ(ϕ+π/2)

Figura 1.24

ϕ

τ

σσΙσΙΙ

ϕ 2ϕ

(τ(ϕ),σ(ϕ))nr

tr

1dr

2dr

20

1.14 Estado hidrostático de tensiones

Definición:A un estado de tensiones en el que las tres tensiones principales sean iguales IIIIII σ=σ=σ lo llamaremos estado

hidrostático de tensiones.

Observación 1:La matriz asociada al tensor de tensiones en una base de direcciones principales será [ ] [ ] ITIT σ=⇒σ= .

Observación 2:nnnInTnrrrrr

⇒σ=σ=⇒∈∀ N es dirección principal y σ su correspondiente tensión principal. Concluimos quetodo versor es una dirección principal y su tensión principal correspondiente es σ .

1.15 Estado de corte puro

Definición:A un estado de tensiones en el cual las tres tensiones principales suman cero,

0IIIIII =σ+σ+σ lo llamaremos estado de corte puro.

Teorema:Un tensor de tensiones T representa un estado de corte puro si y solo si existe

una base ortonormal { }321 e,e,errr

tal que las tensiones normales a los planos denormal saliente 1e

r, 2er

y 3er

son nulas.

Observación:El teorema es inmediato si estamos en un caso de estado biaxial de tensiones, pues si 0II =σ como es estado de corte

puro ⇒σ−=σ⇒=σ+σ+σ IIIIIIIIII 0 el centro de la circunferencia de Mohr es el origen ⇒ los puntos

( )

σ−σ

2,0 IIII , ( )

σ−σ−

2,0 IIII

son diametralmente opuestos por lo cual corresponden a planos perpendiculares.Basta elegir como base a la terna { }321 e,e,e

rrr tal que 1e

r es la dirección de tensión nula, 2e

r y 3er

las direcciones que danlos puntos P y 'P del círculo de Mohr.

Recíprocamente, si ( )δ,0P , ( )δ−,0P corresponden a planos perpendiculares P⇒ y ´P son diametralmente opuestos,luego se deduce que el centro está en el origen de coordenadas. Luego 00 IIIIIIIIII =σ+σ+σ⇒=σ+σ ⇒ tenemosun estado de corte puro.

Demostración:Si ⇒=σ+σ+σ 0IIIIII la máxima tensión normal Iσ será positiva y la mínima 0III <σ .Luego cualquier versor 0n

r cuyo punto correspondiente en el tricírculo de Mohr pertenezca al segmento AB marcado en

la figura 1.26, tendrá tensión normal nula. Consideremos una base ortonormal { }021 n,e,errr

. Sabemos que la matriz de tensionesen dicha base será:

[ ]

=

333231

232221

131211

TTTTTTTTT

T

con 0T33 = pues la tensión normal sobre el plano de normal 0nr

es nula.Trataremos de probar que existen dos versores n

r y 'n

r, normales a

0nr

que también tienen tensión normal nula.

Figura 1.25

P

P'

τ

σσΙΙΙ σΙΙ=0 σΙ

τ

σΙΙΙ σΙΙ σΙσ

Figura 1.26

21

Como 022110 n0enennnnrrrrrr

++=⇒⊥ y análogamente, 2211 e'ne'n'nrrr

+= . Para que la tensión normal sobre el plano denormal saliente n

r sea nula ( ) ⇒= 0n.nT

rr

( ) ( )[ ] ( ) 0enen.enTnTenTnT 221122221121212111 =++++rrrr

0nTnnT2nT 22222112

2111 =++

La traza es invariante, luego:

22113212211 TT00TTTtr −=⇒=σ+σ+σ=++=0nTnnT2nT 2

22221122

111 =++ . Si 0n0n0n 12 =⇒=⇒=r

; luego, 0n 2 ≠ y dividiendo entre 22n se tiene:

0TnnT2

nnT 11

2

112

2

2

111 =−+

una ecuación de segundo grado que por ser 0T4T4 211

212 >+=∆ tiene dos raíces reales y distintas:

2

1

nn

y 2

1

'n'n

( ∆ sería cerosi 0TT 1112 == y 1e

r y 2e

r serían entonces las normales buscadas)

Por las relaciones entre coeficientes y raíces 0'nn'nn1'n'n

nn

22112

1

2

1 =+⇒−= .

Luego 2211 enennrrr

+= y 2211 e'ne'n'nrrr

+= , son dos versores perpendiculares entre sí y a 0nr

; tales que sus tensiones

normales ( ) 0n.nT =rr

y ( ) 0'n.'nT =rr

.Probamos entonces que existe una base ortonormal { }0n,'n,n

rrr donde las tensiones normales a los planos de normal

saliente nr

, 'nr

y 0nr

son nulos.El recíproco es trivial pues la matriz asociada con T en dicha base tendría igual a cero cada elemento de su diagonal

principal y por tanto traza nula; como ésta es invariante 0Ttr0 321321 =σ+σ+σ⇒σ+σ+σ== como queríamosdemostrar.

1.16 Descomposición del tensor de tensiones en sus partes esférica y desviadora

Definición:Llamaremos tensión promedio a:

3I

3Ttr

31IIIIII

m ==σ+σ+σ=σ

Definición:Llamaremos parte esférica del tensor de tensiones al tensor IT mE σ= , donde I es la identidad en Lin .Es inmediato que ( ) TtrI

3I3Ttr 11

mmmE ===σ+σ+σ= .Además como sus tres autovalores son iguales a mσ , admite a cualquier versor como autovector, representa un estado

de tensiones hidrostáticas.

Definición:Llamamos parte desviadora del tensor de tensiones al tensor I)trT(

31TTTT ED −=−=

( ) 0TtrTtrTtrTtrTTtrTtr EED =−=−=−=Si representamos por 1J , 2J y 3J a las invariantes de este tensor desviador de tensiones, su traza 0TtrJ D1 ==

representa un estado de corte puro.El tensor desviador tiene los mismos autovectores que el tensor de tensiones , porque si d

r es una dirección principal de

ddTTrr

σ=⇒ .Como el tensor esférico admite a todo versor como autovector ddIdT mmE

rrrσ=σ=⇒ , por lo cual

( ) ( )ddddTdTdTTdT mmEED

rrrrrrrσ−σ=σ−σ=−=−=

Luego si σ es la tensión principal asociada a la dirección principal dr

del tensor de tensiones T , mσ−σ será elautovalor asociado con la dirección principal d

r del tensor desviador de tensiones DT .

[ ]DT en la base { }321 d,d,drrr

es:

σ−σσ−σ

σ−σ

m000m000m

III

II

I

22

Usando el resultado anterior, es inmediato probar que 3IIJ

21

22 −=

Observación:Todo tensor de tensiones T se puede expresar como DE TTT += donde ET es un tensor esférico que representa un

estado de tensiones hidrostático y DT es un tensor desviador que representa un estado de corte puro. Es fácil probarademás que dicha descomposición es única.

1.17 Espacio de tensiones de Haigh-Westergaard

Esta representación geométrica del estado detensiones en un punto, es muy usada en el estudio dela teoría de la plasticidad y de los criterios de rotura.Desde que el tensor de tensiones T tiene seiscomponentes independientes, sería posible considerardichas componentes como coordenadas posicionalesen un espacio de seis dimensiones, pero ésto sería muydifícil de trabajar. Una alternativa más simple, válidacuando no interesa especificar diferencias decomportamiento del material con respecto a lasdirecciones principales, es tomar las tres tensionesprincipales como coordenadas y representar el estadode tensiones en un punto, como un punto en esteespacio tridimensional. Este espacio es llamado espaciode tensiones de Haigh-Westergaard (ver figura 1.27).

Llamaremos eje hidrostático a la recta cuyos puntos de coordenadas ),,( 321 σσσ cumplen 321 σ=σ=σ y planosdesviadores a los planos perpendiculares a dicho eje.

Si P tiene coordenadas ( )IIIIII ,, σσσ , su proyección ON sobre el eje hidrostático será n)n.OP(rr

, donde

( ) ( ) m321321 33

1ONeee3

1n σ=σ+σ+σ=⇒++=rrrr

3I3ON 1

m =σ=

( )3m2m1m eeenONONrrrr

σ+σ+σ== . Luego ( )mmm ,,ON σσσ=

( ) ( )321m3m2m1 S,S,S,,NP =σ−σσ−σσ−σ= , donde 1S , 2S y 3S son los autovalores del tensor desviador detensiones.

Llamamos ( ) ( ) =++−++=++==ρ 3231212

3212

32

22

1 SSSSSS2SSSSSSNP 221 J2J2J −=− , donde 2J es

el invariante del tensor desviador de tensiones (usamos que el primer invariante 0J1 = ).Así, los vectores ON y NP representan las componentes hidrostática y desviadora del tensor de tensiones representado

por el punto P de la figura adjunta.Ahora consideremos las proyecciones del vector OP , y de los ejes de coordenadas Iσ , IIσ y IIIσ sobre el plano

desviador como muestra la figura 1.28. En esta figura, los ejes I'σ , II'σ y III'σ son las proyecciones de Iσ , IIσ y IIIσ y NPla de OP . Llamando 1'e

r a un versor de dirección igual a la proyección de 1e

r se tiene que:

( )6

11,1,26

331,

31,

311'e 1 −−=

−−−=

r

O 3

e1

Figura 19

1

2

Plano desviador1+ 2+ 3=cte

r

Eje hidrostático= =

(S1,S2,S3)

N( m, m, m)

P( 1, 2, 3)

Figura1.27

nr1e

r

23

La proyección de NP en la dirección del versor 1'er

, 'NQ está dada por

N

3´Figura 20

1´

2´

P

θρ cosθ = raíz(3/2) S1

Q´

ρ

Figura 1.28

( ) ( )1,1,26

1.S,S,S'e.NPcos'NQ 3211 −−==θρ=r

( )321 SSS26

1cos −−=θρ⇒ y como ρ

=θ⇒=++1

321

S23

cos0SSS

Sustituyendo ρ por 2

12

JS

23cosJ2

−=θ⇒−

Usando la relación ⇒θ−θ=θ cos3cos43cos 3

( )( )2

21

23

2

1

2

1

3

2

1 JSJ

S2

33J

S233

JS

2343cos +

−=

−−

−=θ

( )( )32312111

23

2

1 SSSSSSSSJ

S2

333cos +++−

=θ

( )( )[ ]

( ) 23

2

321323211

23

2

1

J

SSS2

33SSSSSSJ

S2

333cos−

=+++−

=θ

( ) 23

2

3

J

J2

333cos−

=θ

Observamos ahora que el estado de tensiones ( )321 ,, σσσ puede ser expresado por ( )θρ,,r donde:

3Ir 1= depende del primer invariante del tensor de tensiones,

2J2−=ρ depende del segundo invariante del tensor desviador de tensiones y

24

( ) 23

2

3

J

J2

33cosar31

−=θ depende del segundo y tercer invariante del tensor desviador.

Estas coordenadas tienen sobre las anteriores, la ventaja de trabajar con los invariantes por lo cual no se necesitandeterminar las tensiones principales.

1.18 Ecuación de equilibrio

Definición:El cuerpo está en equilibrio en un instante ( )tWQt ∈∀⇔ , la aceleración ( ) 0t,Qa =

r

Observación 1:En este caso, la ecuación puntual de balance mecánico queda:

( ) ( ) 0QTQb =∇+r

Observación 2:Esta ecuación de equilibrio no contiene ninguna variable cinemática y en general no es suficiente para determinar la

distribución de tensiones, aunque estén dadas condiciones de borde, porque solamente se tienen tres ecuaciones enderivadas parciales y seis componentes de tensiones independientes a determinar. Se necesitan agregar ecuaciones, que engeneral incluyen ecuaciones constitutivas que relacionan tensiones con deformaciones las cuales definen la naturaleza delmaterial con el que se está trabajando.

1.19 Estado de tensiones membranal

Una membrana ideal es una lámina de material tan delgada en comparación con sus dimensiones laterales que solamentepuede soportar tracción.

No cabe en estas estructuras hablar de línea media sino de superficie media, entendiendo por tal la superficie formada porlos puntos que equidistan de las dos superficies que limitan la cáscara.

Llamando e al espesor de la membrana, su rigidez felxional por unidad de ancho se mide por [ ])12e(1EEI 3×= ; por tantopara un e suficientemente pequeño, la rigidez flexional está limitada hasta volverse despreciable y la flexión y el cortantetransversal, que son proporcionales a EI deben anularse.

La resistencia a la compresión de una membrana ideal también es despreciable ya que debido a su delgadez estádestinada a pandearse bajo esfuerzos de compresión muy pequeños.

Una cáscara delgada es una membrana curva, lo suficientemente delgada para desarrollar esfurzos flexionantesdespreciables sobre la mayor parte de su superficie, pero lo bastante gruesa para no pandearse bajo esfuerzos de compresiónpequeños como lo haría una membrana ideal.

Definición:Diremos que una cáscara delgada trabaja en un estado de tensiones membranal si todos los punos de una misma normal

nr a la superficie media están sometidos al mismo estado biaxial de tensiones, donde la dirección principal asociada a latensión principal nula es la normal n

r a la superficie media.

Observación 1:Con estas hipótesis la matriz asociada con el tensor de tensiones en una base que contenga al versor normal n

r a lasuperficie media tendrá solamente tres componentes no nulos, los que pueden determinarse con las tres ecuaciones deequilibrio. Observemos que esto no pasa cuando trabajamos en problemas de estado plano, porque en ese caso las ecuacionesde equilibrio independientes se reducen a dos.

25

Observación 2:En la práctica para que las hipótesis anteriores tengan validez, la relación entre el espesor de la cáscara y su menor radio

de curvatura no debe exeder de 0,1 aproximadamente.Como esta estructura no tiene rigidez a la flexión las cargas externas deben ser tales que no produzcan flexión, no puede

estar sometida a cargas concentradas por ejemplo. En cuanto a los apoyos, deben ser tales que transmitan a la estructura lasmismas tensiones que le transmitiría la prolongación de la cáscara, la cual suponemos suprimida