PRIMER EXAMEN PARCIAL ELASTICIDAD CIV-308Determinar las tensiones y deformaciones en los siguientes problemas, sin tomar en cuenta el peso propio de las vigas:

PROBLEMA 1

CLCULO DE TENSIONESLa solucin propuesta por Ayri al sistema de ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad, en funcin de las tensiones, despreciando el peso propio de las mismas, es la siguiente:

Pero si:

Haciendo operaciones auxiliares:

Reemplazando (a), (b) y (c) en :

Esta ecuacin se cumple para cualquier valore de y, por tanto se debe cumplir que:

Integrando: Respecto de x:

Respecto de y:

La funcin queda:

Clculo de los esfuerzos en funcin de las constantes de integracin:

Condiciones de Borde: Para

De (1), agrupando e igualando a cero:

De (2), agrupando e igualando a cero:

Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (d), (e), (f) y (g):

____________________

____________________

Reemplazando los valores de en la ecuacin de :

Para y

Reemplazando el valor de en la ecuacin de P se tiene:

Despejando :

Reemplazando el valor de en la ecuacin de :

Sustituyendo los valores de las constantes en la ecuacin de :

Las constantes son irrelevantes y se las desprecia porque su valor no afecta en el resultado, entonces las tensiones en la viga sern:

CLCULO DE DEFORMACIONES- Por la ley de Hooke:

- Integrando las ecuaciones (3) y (4):

- Luego:

- Derivando respecto de , y respecto de :

- Reemplazando en la ecuacin de :

- Pero siendo:

- Igualamos ambas expresiones de :

En la anterior expresin tenemos dos polinomios, uno en funcin de y otro en funcin de , ambos son iguales si y solo si son iguales a una constante.

Entonces igualando miembro a miembro a la constante se tiene:

- Integrando las anteriores expresiones:

- Reemplazando y en las ecuaciones de y de se tiene:

- Para hallar las constantes de y nos damos las condiciones de borde (en el empotramiento):Si: y

- Reemplazando los valores de las constantes, se obtiene los valores de y :

La deformacin mxima en el volado de la viga ser: