tensiones y deformaciones en cilindros
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En todas las cosas el éxito depende de la
preparación previa. Sin la cual el fallo se
producirá
Confucos, Analects.
Imagen: Latas de bebida. Junto con los
envases de comida, son lo recipientes a presión
más comunes.
40t
di
Razón: diámetro interior (di) vs espesor (t)
40t
di
Este número pudiese cambiar
Cilindros de pared delgada
presurizados internamente.
(a) Tensiones que actúan sobre el cilindro;
(b) Tensiones que actúan sobre un elemento.
Se quieren determinar los esfuerzos producidos por la
presión interna p en un recipiente cilíndrico.
Se considera que un cilindro es de pared delgada si su
relación radio r y el espesor t es mayor que .
En este caso, se puede idealizar el problema
considerando que los esfuerzos cortantes
y sólo se tienen los esfuerzos normales transversales
y longitudinales como se muestran
Nótese que se idealiza el problema como si se tuviera
un estado plano de esfuerzos principales.
Haciendo una sección a lo largo del tubo, como se
muestra en la figura , se tiene que la fuerza externa
por unidad de longitud estará dada por,
por lo que la componente en la dirección del eje y
de esta fuerza será
La fuerza interna por unidad de longitud será
Por equilibrio estático, , lo que significa que,
por lo tanto, el esfuerzo transversal será
(1)
Text Reference: Figure 10.1, page 390
1dF pds prd
ext
0
sen sen sen 2y ydF dF pr d F pr d pr
int T2yF t
0yF
ext int T0 2 2 0y yF F t pr
T
pr
t
Tomando ahora una sección transversal, como se muestra
en la figura , se tiene
una fuerza externa
y una fuerza interna
en donde es el área transversal rodeada por
pared externa del cilindro y es su perímetro
exterior.
Por equilibrio estático, esto es,
por lo tanto, el esfuerzo longitudinal será (2)
Nótese que por lo que el
esfuerzo transversal resulta ser el más crítico.
Text Reference: Figure 10.1, page 390
2extx
F r p
int 2x LF rt
2r
2 rt
0xF2
L2 0r p rt
L 2
prt
LT 2
T
Figure 10.2 Vista frontal de un cilindro de pared delgada, presurizado
internamente.
Del equilibrio
Tensiones
Componentes
Vista frontal completa de un cilindro de pared
gruesa, presurizado interna y externamente.
(a) con los esfuerzos que actúan sobre el
cilindro; (b) con los esfuerzos que actúan sobre
un elemento
rr
rrr
dr
dr
ddSend
drdzd
Sendzrddzddrrd
2)
2(_/
0)2
(2))((
(Ecuación 1)
Planteando
Equilibrio
Figure 10.4 Elemento cilíndrico
polar, antes y despues de la
deformación.
Figura
Ley de Hooke
(Ecuación 3)
(Ecuación 2)
,,: rrIncognitas
Presurizados Internamente
Presurizados ExternamenteAplicando condiciones de frontera:
σr =-Pi en r=ri
σr=-Pi en r=ro
(Ecuación 4)
Sustituyendo Ec1 en Ec2 y Ec3
Donde Ec4 se puede expresar como:
Integrando y simplificando:
Sustituyendo Ec5 y Ec6 en Ecuación3:
(Ec6)
(Ec5)
De la Ecuación 2:
Integrando de nuevo:
Figure 10.5 Cilindro de pared gruesa
internamente presurizado, que muestra
los esfuerzos circunferencial (en el aro)
y radial para diferentes valores del
radio. [Juvinall (1967).]
Figure 10.6 Cilindro de pared gruesa
externamente presurizado que muestra los
esfuerzos circunferencial(aro), y
radial(diferentes radios).[Juvinall (1967).]
Figure 10.7 Esfuerzos en un
cilindro en rotación con agujero
central y sin presurización.
[Juvinall (1967).]
Figure 10.8 Esfuerzos en cilindros macizos
en rotación y sin presurización. [Juvinall
(1967).]
Figure 10.9 Vista lateral que muestra la interferencia en un ajuste a presión de
un eje hueco con su agujero.
Figure 10.10 Vista frontal que muestra (a) cilindro
ensamblado con un ajuste por interferencia y b) agujero
y eje hueco desensamblados(también se muestra la
presión de interferencia).
Empleando la formulación de cilindros de pared gruesa, donde:
Pi= Pf; r = rf y ri = rf, sustituyendo:
Agujero
fr
fo
fof
t
P
rr
rrP22
22 )(
Eje:
fr
if
iff
t
P
rr
rrP22
22 )( Para ejes macizos (ri=0).
)(
222
2
fo
off
rrrE
rrP
))((
)(2
;/
)(
)(
)(
)(
2222
223
22
22
22
22
iffoh
ioff
r
hshs
s
ifh
if
h
h
foh
fo
ffr
rrrrE
rrPr
EEE
EsrrE
rr
ErrE
rrPr
Deformación.
222
camáx
lr
P
lr
P
f
cc
f
aa
2
2
2
2
Relación: esfuerzos axial y circunferencial.
klPrkrFT
lPrrFT
lr
FP
fffmáxefectivo
fffmáx
f
máxfmáx
)2(
2
2
2
2
Fuerza y Par
K =1/ b=∞
K =0/ b=0
K =0,8/ b=d
Aplicaciones de Cilindro de Presión interna
Ejemplo
Calcular el ajuste necesario para transmitir 40 CV sobre un eje hueco de do=50 mm y
di= 30 mm mediante una polea de dext=90 mm.
Datos: Sadm= 2500 kg/cm2, n= 500 rpm, μ=0,12 Acero-Acero. B=5 cm, k=0,8
1HP= 746W
Ejemplo: Esfuerzos Térmicos
1. El conjunto mostrado en la figura consta de una cubierta de aluminio
totalmente adherida a un núcleo de acero y no tiene esfuerzos cuando la
temperatura es de 20 C. Considerando solo deformaciones axiales,
hallar el esfuerzo en la cubierta de aluminio cuando la temperatura sube
a 180ºC.
Datos:
Aluminio EAl =70 GPa, αAl = 23x 10-6 C-1
Acero EAc = 200 GPa, αAc = 11x 10-6 C-1
2. Un bloque de una aleación de aluminio se coloca entre las dos mordazas
rigidas de una prensa, las cuales se aprietan ligeramente. La temperatura del
ensamble completo se eleva a 250°C en un horno. Las áreas de las secciones
transversales son de 65 mm2 para el bloque y de 160 mm2 para los tornillos de
acero inoxidable. Hallar esfuerzos en los tornillos y el bloque
Ejemplo: Esfuerzos Térmicos
Aluminio EAl =70 GPa, αAl = 24x 10-6 C-1 Acero inox: EAc = 200 GPa, αAc = 17x 10-6 C-1
Esfuerzos Térmicos
Material Modulus of Elas ticity, EGPa Mpsi
MetalsAluminumAluminum alloysa
Aluminum tinBabbitt, lead-based white metalBabbitt, tin-based white metalBrassesBronze, aluminumBronze, leadedBronze, phosphorBronze, porousCopperIron, grey castIron, malleable castIron, spheroidal graphiteb
Iron, porousIron, wroughtMagnesium alloysSteel, low alloysSteel, medium and high alloysSteel, stainlessc
Steel, high speedZinc alloysd
6270632952
10011797
11060
12410917015980
17041
19620019321250
9.010.29.14.27.5
14.517.014.116.08.7
18.015.824.723.111.624.75.9
28.429.028.030.77.3
PolymersAcetal (polyformaldehyde)Nylons (polyamides)Polyethylene, high densityPhenol formaldehydee
Rubber, naturalf
2.71.90.97.0
0.004
0.390.280.131.02
0.0006Ceramics
Alumina (Al2O3)GraphiteCemented carbidesSilicon carbide (SiC)Silicon nitride (Si3N4)
39027
450450314
56.63.9
65.365.345.5
aStructural alloysbFor bearingscPrecipitation-hardened alloys up to 211 Gpa (30 Mpsi).dSome alloys up to 96 Gpa (14 Mpsi).eFilledf2.5%-carbon-black “mechanical” rubber.
Material Linear Thermal Expans ionCoefficient, a
(°C) -1 (°F) -1
MetalsAluminumAluminum alloysa
Aluminum tinBabbitt, lead-based white metalBabbitt, tin-based white metalBrassesBronzesCopperCopper leadIron, castIron, porousIron, wroughtMagnesium alloysSteel, alloyb
Steel, stainlessSteel, high speedZinc alloys
23 x 10-6
24 x 10-6
24 x 10-6
20 x 10-6
23 x 10-6
19 x 10-6
18 x 10-6
18 x 10-6
18 x 10-6
11 x 10-6
12 x 10-6
12 x 10-6
27 x 10-6
11 x 10-6
17 x 10-6
11 x 10-6
27 x 10-6
12.8 x 10-6
13.3 x 10-6
13.3 x 10-6
11 x 10-6
13 x 10-6
10.6 x 10-6
10.0 x 10-6
10.0 x 10-6
10.0 x 10-6
6.1 x 10-6
6.7 x 10-6
6.7 x 10-6
15 x 10-6
6.1 x 10-6
9.5 x 10-6
6.1 x 10-6
15 x 10-6
PolymersThermoplasticsc
Thermosetsd
Acetal (polyformaldehyde)Nylons (polyamides)Polyethylene, high densityPhenol formaldehydee
Rubber, naturalf
Rubber, nitrileg
Rubber, silicone
(60-100) x 10-6(10-80) x 10-6
90 x 10-6
100 x 10-6
126 x 10-6
(25-40) x 10-6
(80-120) x 10-6
34 x 10-6
57 x 10-6
(33-56) x 10-6
(6-44) x 10-6
50 x 10-6
56 x 10-6
70 x 10-6
(14-22) x 10-6
(44-67) x 10-6
62 x 10-6
103 x 10-6
CeramicsAlumina (Al2O3)
h
Graphite, high strengthSilicon carbide (SiC)Silicon nitride (Si3N4)
5.0 x 10-6
1.4-4.0 x 10-6
4.3 x 10-6
3.2 x 10-6
2.8 x 10-6
0.8-2.2 x 10-6
2.4 x 10-6
1.8 x 10-6
aStructural alloysbCast alloys can be up to 15 x 10-6/(°C)cTypical bearing materialsd25 x 10-6(°C)-1 to 80 x 10-6(°C)-1 when reinforcedeMineral filledfFillers can reduce coefficientsgVaries with compositionh0 to 200°C
Bibliografía
• Mecánica de los Materiales
Timoshenco y Gere. Cuarta Edición.
International Thomson Editores .
•Mecánica de los Sólidos
Edgor P. Popov. Segunda Edición.
Pearson Educación.