estimación de parámetros de una línea de transmisión en sistemas eléctricos de potencia

ARTÍCULO No. ELE 14 ARTÍCULO ACEPTADO POR REFEREO

15vo CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA Y DE SISTEMAS (CNIES 2015)

México D.F., 19 al 23 de octubre del 2015 1

Estimación de Parámetros de Una Línea de Transmisión en Sistemas Eléctricos de Potencia

O. Y. Vidal León Romay1 D. Romero Romero2

Resumen— En este trabajo se presenta un algoritmo de estimación simultánea de estado y parámetros para solamente una línea de transmisión que se encuentra en el Sistema Eléctrico de Potencia (SEP). El algoritmo usa el método de estimación de parámetros por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales; con este método los parámetros de la línea que se sospecha que tiene errores de parámetros se incluyen en el vector de estado para así realizar el proceso de estimación simultánea de estado y parámetros [1]. El modelo que se adopta para las líneas de transmisión es el modelo π nominal para líneas de longitud corta y media [3]. Se usa la formulación de Mínimos Cuadrados Ponderados (WLS) para la solución del conjunto de ecuaciones normales a través del esquema de solución iterativa de Gauss-Newton. El algoritmo usa como mediciones las obtenidas de un estudio de flujos de potencia convencional sin añadirles un error intencional; éste se probó en el sistema de 9 nodos de [2] obteniéndose resultados muy cercanos a los valores de parámetros nominales. El proceso de identificación de líneas sospechosas no se incluye en el trabajo.

Palabras Clave— Estimación de Estado, Estimación de Parámetros, Mínimos Cuadrados Ponderados, Líneas de Transmisión, Sistemas Eléctricos de Potencia. Abstract— In this paper a computational algorithm of simultaneous state and parameter estimation is developed for a transmission line that is found in the Electric Power System (EPS). The algorithm employs a parameter estimation method by augmenting the state vector and using normal equations; with this method the transmission line parameters that is suspected to be in error are included in the state vector and both the state and parameters are simultaneously estimated [1]. The model that is used for transmission lines is the nominal π model for short and medium lines [3]. The Weighted Least Square (WLS) approach is used for the solution of normal equations through the iterative solution scheme of Gauss-Newton. The algorithm uses ideal measurements obtained from a conventional power flow study without adding an intentional error. The 9 node system from [2] have been analyzed and the estimations obtained through the algorithm shows that they are very similar to the nominal parameter values. The identification process of suspected lines is not included in the paper.

Keywords— State Estimation, Parameter Estimation, Weighted Least Squares, Transmission Lines, Electric Power Systems. __________________________

1 Alumno, SEPI-ESIME-ZACATENCO, INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL, Correo: [email protected].

2 Profesor-Investigador Titular "C", SEPI-ESIME-ZACATENCO, INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL, Correo: [email protected].

I. INTRODUCCIÓN

a estimación de estado en Sistemas Eléctricos de Potencia es una función importante de los Sistemas de Gestión de Energía (EMS) ya que obtiene un modelo de

red en tiempo real que es usado por funciones de seguridad y control del EMS [1, 4]. Los datos de entrada que generalmente necesita un estimador de estado convencional son las mediciones analógicas variantes en el tiempo del sistema de Supervisión, Control y Adquisición de Datos (SCADA), pseudo-mediciones ajustadas, parámetros de red y de la topología actual del sistema de potencia [5]. Tradicionalmente [6], la estimación de estado se lleva a cabo suponiendo que los errores de medición son estadísticamente pequeños, la redundancia de los datos es adecuada, además de que la configuración y los parámetros de red son correctos. A menudo estas hipótesis no son absolutamente verdaderas [7]. Los datos medidos están sujetos a ruido o errores en el sistema de medición y en el proceso de comunicación. Los parámetros de red pueden estar sujetos a errores en los parámetros de las líneas y a las posiciones de los taps de transformadores. Todos estos errores pueden impactar severamente la calidad de la solución de la estimación de estado [8]. Cuando se ignoran los errores en los parámetros de la red, la mayoría de los algoritmos de estimación de estado relacionan cualquier inconsistencia detectada durante el proceso de estimación a errores en las mediciones analógicas [9]. Como consecuencia, los errores de los parámetros de las líneas permanecen sin ser detectados por un largo periodo de tiempo, lo que ocasiona errores permanentes en los resultados de las funciones de aplicación del EMS [6, 7]. Los parámetros del circuito equivalente de las líneas de transmisión presentan errores de 25% a 30% comparados con los valores reales [13]. Si la precisión de la estimación de estado puede ser incrementada, entonces se obtendrá una representación más confiable del sistema de potencia y las funciones de aplicación del EMS pueden tener un mejor desempeño. En la sección II se presenta una breve descripción del modelo usado para líneas de transmisión y los parámetros a tomar en cuenta en el proceso de estimación, en la sección III se detallan los errores que pueden presentar los parámetros de las líneas debido a las desviaciones de las condiciones ideales con que se calcularon. La sección IV describe el proceso de estimación de estado convencional usando el método de Mínimos Cuadrados Ponderados (WLS), la sección V presenta una clasificación de los métodos de

L




estimación de parámetros que se encuentra en la literatura y en la sección VI se desarrolla el proceso de estimación de parámetros para una línea de transmisión que presenta errores de parámetros. La sección VII presenta los resultados del algoritmo propuesto en el sistema de 9 nodos [2] y en la sección VIII se presentan las conclusiones.

II. MODELO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

El análisis de las líneas de transmisión se puede llevar a cabo en un modelo por fase ya que operan normalmente con carga trifásica balanceada [3, 10]. La línea de transmisión es frecuentemente descrita por un modelo π de 2 puertos en el que sus parámetros corresponden al circuito equivalente de secuencia positiva de las líneas de transmisión [1]. A continuación se muestra el modelo π nominal de una línea de transmisión [4].

Figura 1.- Modelo π nominal equivalente de una línea de transmisión.

De donde:

- es la impedancia serie total por fase de la línea en p.u.

- es la admitancia en derivación total por fase al neutro de la línea sobre dos en p.u.

- es el nodo de envío. - es el nodo de recepción.

Los parámetros que contiene la impedancia serie de la línea son la resistencia y la reactancia serie total por fase de la línea y los que contiene la admitancia en derivación son la conductancia y susceptancia en derivación total por fase de la línea sobre dos. Para líneas de transmisión aéreas la conductancia en derivación generalmente se desprecia [11]. Para líneas cortas de 60 Hz que tienen menos de 80 km la admitancia en derivación puede omitirse por completo en la figura 1 y para líneas de longitud media que están entre 80 km y 240 km se pueden representar con el modelo de la figura 1 [3].

III. ERRORES DE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

Desde que las estimaciones son obtenidas de ecuaciones que relacionan las mediciones a las variables de estado, cualquier error de parámetro de línea afecta las estimaciones proporcionadas por el estimador de estado [12]. Las empresas eléctricas en la mayoría de los casos usan valores teóricos para el cálculo de los parámetros del circuito equivalente de las líneas de transmisión [13]. Además existen otros factores que influyen en los parámetros de las líneas como los siguientes:

- Los cambios en la capacitancia de la línea son debidos al pandeo de la misma [14].

- La resistencia de la línea cambia significativamente con la temperatura ambiente y otros factores como la corriente que transporta y el comportamiento del viento [14].

- El valor de reactancia serie usado es el de una línea idealmente transpuesta aunque ésta no lo es debido al costo de construcción adicional generado por alterar mecánicamente las posiciones de los conductores cada 1/3 de la distancia entre torres de transmisión [13]. Además de que la construcción de nuevas líneas en paralelo con acoplamiento mutuo afecta las bases de datos anteriores.

Según [15] las bases de datos de los parámetros que tienen las distintas empresas eléctricas pueden ser incorrectos como resultado de:

- Datos de fabricación incorrectos o una mala calibración de los equipos de medición de los fabricantes.

- Cambios en la red que no se actualizaron apropiadamente en la base de datos.

- Desgaste de los materiales. - Parámetros que dependen de la temperatura. - Cambios en las condiciones ideales con las que se

calculó el modelo . En el artículo [13] se afirma que debido a las desviaciones de las condiciones ideales supuestas durante los cálculos y pocas mediciones reales, los valores de las líneas de transmisión de alta tensión en las bases de datos de las empresas eléctricas, tienen errores que pueden llegar a ser de hasta 25% a 30% comparados con los valores reales. Como los parámetros de las líneas de transmisión tienen una influencia en los resultados del estimador de estado y por lo tanto también afectan a las distintas funciones de aplicación del EMS, es evidente la necesidad de encontrar métodos para estimar los parámetros del modelo de línea de transmisión.

IV. ESTIMACIÓN DE ESTADO CONVENCIONAL POR MÍNIMOS CUADRADOS PONDERADOS

El estimador de estado está basado en el siguiente modelo de medición no lineal [16]:

(1) De donde:

- es el vector de mediciones. Contiene las mediciones de magnitud de voltaje, flujos de potencia activa y reactiva e inyecciones de potencia activa y reactiva.

- es el vector de estado a ser estimado. Contiene las magnitudes y ángulos de fase (sin incluir el de referencia) de los nodos del sistema.

- . es una función vectorial no lineal que relaciona las mediciones a los estados (ecuaciones de flujos de potencia).

- es un vector de error en las mediciones.




El vector de error en las mediciones generalmente es

considerado una variable aleatoria conjuntamente gaussiana

con media cero y una matriz de covarianza [17].

Usando el enfoque de Mínimos Cuadrados Ponderados, el

estimador de estado busca determinar un vector tal que

minimice la siguiente función objetivo [1]:

(2)

La ecuación 2 es diferenciada para tener las condiciones

óptimas de primer orden.

0 (3)

La ecuación 3 se expande en series de Taylor alrededor del

vector de estado y despreciando los términos de orden

superior conduce al esquema de solución iterativa conocido

como el método de Gauss-Newton [4].

(4)

De donde:

- es la matriz de ganancia en la k-

ésima iteración.

- es el vector de incrementos de

los estados en la k-ésima iteración.

- es la matriz jacobiana de mediciones

en la k-ésima iteración y contiene las derivadas

parciales de las mediciones disponibles con

respecto a las magnitudes y ángulos de fase de los

nodos del sistema (sin incluir el nodo de

referencia).

- es la transpuesta de la matriz

jacobiana de mediciones descrita anteriormente.

- es la inversa de la matriz de covarianza de los

errores de medición.

- es el vector de mediciones.

- es la función de medición en la k-ésima

iteración.

El conjunto de ecuaciones normales dado por la ecuación 4,

se resuelve en cada iteración hasta que el máximo valor

absoluto del vector de incrementos esté por debajo de una

tolerancia .

V. CLASIFICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE

PARÁMETROS

Los métodos de estimación de parámetros de líneas de

transmisión, así como de taps de transformadores se pueden

clasificar como sigue [1, 7]:

- Métodos basados en el análisis de sensibilidad

residual [1, 7, 19, 20]: Estos métodos se realizan al

final del proceso de estimación de estado y toma

ventaja de los resultados del estimador de estado

para realizar el proceso de estimación de

parámetros. La principal ventaja de este enfoque es

que los procedimientos de identificación y

estimación de parámetros constituyen rutinas

adicionales y por lo tanto, no es necesario modificar

el código principal del estimador de estado.

- Métodos que aumentan el vector de estado: En esta

clase de métodos el vector de estado es aumentado

incluyendo los parámetros que se sospechan

presentan errores. Para enriquecer el método es

necesario agregarle una rutina de identificación de

parámetros sospechosos para inicialmente

identificar los parámetros candidatos. Usando este

enfoque es necesario modificar la rutina de

estimación de estado existente. Existen 2 técnicas

para tratar con el modelo aumentado, las cuales son:

� Solución usando ecuaciones normales [1, 7, 8, 21]:

Es una extensión del modelo de estimación de

estado convencional. Se pueden usar varias

capturas de medición, de forma simultánea o

secuencial, para incrementar la redundancia

alrededor de los parámetros sospechosos.

� Solución usando la teoría de filtros de Kalman [1,

7, 4, 22]: Este enfoque recurre a varias muestras de

medición para procesarlas secuencialmente y así

mejorar los valores de parámetros en una forma

recursiva. En el procesamiento de cada muestra de

medición es necesario la actualización de una

matriz de covarianza de error de parámetros, lo cual

hace que el método sea complicado cuando el

número de parámetros es grande.

VI. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE UNA LÍNEA DE

TRANSMISIÓN

El método de estimación de parámetros usado en el

algoritmo de este trabajo es el de estimación de parámetros

por el aumento del vector de estado usando ecuaciones

normales que se describe en [1, 7, 18].

El método aumenta el vector de estado con los parámetros

de la línea sospechosa como si fuesen variables

independientes, por lo tanto éstas se calculan junto con las

magnitudes y ángulos de fase de los nodos del sistema. Los

parámetros que se añaden al vector de estado son la

conductancia serie ( ), la susceptancia serie ( ) y la

susceptancia en derivación sobre 2 ( ).

Al usar el enfoque de Mínimos Cuadrados Ponderados, la

función objetivo que se busca minimizar con el vector de

estado aumentado es [1]:

, , (5)

En la ecuación 5, representa un vector que contiene todos

los parámetros de la línea sospechosa ( , , ) y

éstas afectan solamente al conjunto de mediciones

adyacentes.

Como el vector de estado es aumentado, la matriz jacobiana

dada en la ecuación 4 debe aumentarse para colocar tantas

columnas como nuevas variables de estado fueron añadidas,

por lo que la matriz jacobiana aumentada tiene la siguiente

estructura [1, 7, 18]:




(6) De donde:

- es la matriz jacobiana de mediciones usada por el estimador de estado convencional.

- es la matriz jacobiana de parámetros que contiene las derivadas parciales de las mediciones disponibles con respecto a cada uno de los parámetros de la línea sospechosa que se van a estimar.

- es la matriz jacobiana aumentada. Sustituyendo la ecuación 6 en la ecuación 4 se obtiene el esquema de solución iterativa para el modelo ampliado que incluye los parámetros de la línea sospechosa como se muestra a continuación:

(7) De donde:

- es la matriz de ganancia aumentada en la k-ésima iteración.

- es el vector de incrementos aumentado en la k-ésima iteración.

- es la matriz jacobiana aumentada descrita por la ecuación 6.

- es la transpuesta de la matriz jacobiana aumentada.

- es la inversa de la matriz de covarianza de los errores de medición.

- es el vector de mediciones. - es la función de medición en la k-ésima

iteración. El conjunto de ecuaciones normales dada por la ecuación 7, se resuelve en cada iteración hasta que el máximo valor absoluto del vector de incrementos aumentado esté por debajo de una tolerancia . Cabe aclarar que al comenzar el proceso iterativo de la ecuación 7 con perfil plano de magnitudes y ángulos de fase, esto conducirá a una matriz de ganancia aumentada casi singular durante la primera iteración. Por eso es necesario [1] aumentar el vector de estado a partir de la segunda iteración para evitar este problema.

VII. RESULTADOS

Para la prueba del algoritmo se usó el sistema de 9 nodos de [2] que es mostrado en la figura 2 junto con el conjunto de mediciones que se empleó.

1

9 3872

5 6

4

: Medición de flujo de potencia activa/reactiva

: Medición de magnitud de voltaje

: Medición de inyección de potencia activa/reactiva Figura 2.- Sistema de 9 nodos. Los datos del sistema se pueden ver en [2].

Para ejecutar las pruebas se utilizaron las siguientes consideraciones:

- Los valores de mediciones que se usaron en el algoritmo fueron los resultados exactos que se obtuvieron de un estudio de flujos de potencia convencional .

- Las desviaciones estándar de las mediciones se calcularon como /3, donde es la precisión del medidor (en este trabajo se consideró

2%). - Se usó una tolerancia de 1 10 para el

criterio de convergencia. - Los transformadores del sistema de la figura 2 se

consideraron sin errores de parámetros. - Para este sistema se tiene un índice de redundancia

de 2.85 (57 mediciones/20 variables de estado) para este conjunto de mediciones.

Varias simulaciones se realizaron a este sistema pero debido a las limitaciones de espacio, solamente 2 pruebas representativas se presentan a continuación. Los errores de parámetros que se usaron para las siguientes pruebas se encuentran dentro del rango que [13] afirma se encuentran estos.

PRUEBA I En esta prueba se añade error a los 3 parámetros de la línea 5-7 (errores de 25% con respecto a los valores correctos de la resistencia y reactancia serie y susceptancia en derivación). La tabla I presenta los resultados de las variables de estado obtenidos del estudio de estimación de estado convencional suponiendo que los parámetros de la línea 5-7 se consideran correctos. La tabla II presenta los resultados de los flujos de potencia de la línea 5-7 con los resultados de la tabla I. La tabla III muestra los resultados del estudio de estimación de parámetros para esa misma línea.




Para esta prueba el algoritmo de estimación de parámetros se tomó 6 iteraciones para converger a la tolerancia especificada.

Tabla I.- Resultados del estudio de estimación de estado convencional-Prueba I

Variable de

estado

Valor correcto

Valor con errores de

parámetros

% error de variable de

estado ° 9.280023 10.768214 16.036501 ° 4.664672 5.809420 24.540804 ° -2.216783 -2.367187 -6.784787 ° -3.988786 -4.430576 -11.075801 ° -3.687398 -3.819523 -3.583150 ° 3.719698 5.024171 35.069326 ° 0.727503 1.729087 137.674209 ° 1.966659 2.966441 50.836571 (pu) 1.040001 1.006675 -3.204420 (pu) 1.025001 0.997505 -2.682534 (pu) 1.025001 0.997032 -2.728680 (pu) 1.025789 0.991976 -3.296292 (pu) 0.995632 0.960617 -3.516862 (pu) 1.012655 0.979255 -3.298261 (pu) 1.025770 0.998311 -2.676916 (pu) 1.015883 0.988385 -2.706808 (pu) 1.032354 1.004607 -2.687741

Nota: El porciento de error de variable de estado es el por ciento de error que hay del valor con errores de parámetros con respecto al valor correcto.

Tabla II.- Resultados de flujos de potencia-Prueba I

Flujo de potencia

Valor correcto


parámetros

% error de flujo de potencia

-84.32006 -77.504790 8.082620 -11.31277 -13.762740 -21.656676 86.62002 80.115190 -7.509615 -8.3809 -9.812380 -17.080266

Nota: El porciento de error de flujo de potencia es el por ciento de error que hay del valor con errores de parámetros con respecto al valor correcto.

Tabla III.- Resultados del estudio de estimación de parámetros-Prueba I

Parámetro Valor inicial

Valor estimado

Valor correcto

% error de

estimación(pu) 0.040000 0.032000 0.032000 0.000000 (pu) 0.201250 0.161001 0.161000 0.000621 (pu) 0.191250 0.153003 0.153000 0.001960

Nota: El porciento de error de estimación es el por ciento de error que hay del valor estimado con respecto al valor correcto.

PRUEBA II En esta prueba se añade error a los 3 parámetros de la línea 6-9 (errores de 30% con respecto a los valores correctos de la resistencia y reactancia serie y susceptancia en derivación). La tabla IV presenta los resultados de las variables de estado obtenidas del estudio de estimación de estado convencional suponiendo que los parámetros de la línea 6-9 se consideran correctos. La tabla V presenta los resultados de los flujos de potencia de la línea 6-9 con los resultados de la tabla IV. La tabla VI muestra los resultados del estudio de estimación de parámetros para esa misma línea. Para esta prueba el algoritmo de estimación de parámetros se tomó 6 iteraciones para converger a la tolerancia especificada. Tabla IV.- Resultados del estudio de estimación de estado

convencional-Prueba II Variable

de estado

Valor correcto


parámetros

% error de variable de

estado ° 9.280023 10.182712 9.727228 ° 4.664672 5.810255 24.558704 ° -2.216783 -2.317772 -4.555656 ° -3.988786 -4.028258 -0.989574 ° -3.687398 -3.962376 -7.457237 ° 3.719698 4.472581 20.240433 ° 0.727503 1.630091 124.066567 ° 1.966659 2.997802 52.431204

(pu) 1.040001 1.017268 -2.185863 (pu) 1.025001 1.002484 -2.196778 (pu) 1.025001 1.002755 -2.170339 (pu) 1.025789 1.002727 -2.248221 (pu) 0.995632 0.971872 -2.386424 (pu) 1.012655 0.989374 -2.299006 (pu) 1.025770 1.003284 -2.192109 (pu) 1.015883 0.993810 -2.172790 (pu) 1.032354 1.010284 -2.137833

Nota: El porciento de error de variable de estado es el por ciento de error que hay del valor con errores de parámetros con respecto al valor correcto.

Tabla V.- Resultados de flujos de potencia-Prueba II

Flujo de potencia

Valor correcto


parámetros

% error de flujo de potencia

-59.46231 -53.381020 10.227134 -13.4569 -16.559730 -23.057539

60.81614 54.876960 -9.765796 -18.07473 -23.448670 -29.731786

Nota: El porciento de error de flujo de potencia es el por ciento de error que hay del valor con errores de parámetros con respecto al valor correcto.




Tabla VI.- Resultados del estudio de estimación de parámetros -Prueba II

Parámetro Valor inicial

Valor estimado

Valor correcto

% error de

estimación(pu) 0.050700 0.038999 0.039000 -0.002564 (pu) 0.221000 0.169994 0.170000 -0.003529 (pu) 0.232700 0.179002 0.179000 0.001117

Nota: El porciento de error de estimación es el por ciento de error que hay del valor estimado con respecto al valor correcto.

VIII. CONCLUSIONES

Se presenta un algoritmo de estimación simultánea de estado y parámetros que usa el método que aumenta el vector de estado para incluir los parámetros de la línea que se considera tiene errores de parámetros como variables de estado a estimar. Los resultados de las pruebas realizadas en el sistema de 9 nodos de [2] muestran que tomando como mediciones los resultados exactos de un estudio de flujos de potencia convencional, se logran obtener estimaciones de parámetros casi exactos, con lo cual se comprueba la validez del algoritmo empleado. Se deben hacer evaluaciones contemplando el error en las mediciones obtenidas del estudio de flujos de potencia para tener una mejor perspectiva del estudio de estimación de estado y parámetros. El algoritmo usado en este trabajo es válido para estimar solamente los parámetros de una línea, y es necesario proporcionar la línea a la cual se considera sospechosa. Por lo tanto este puede ser mejorado usando un método de identificación de líneas sospechosas.

IX. AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen al Instituto Politécnico Nacional, a la Sección de estudios de Estudios de Posgrado e Investigación de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco, al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología y al Instituto de Ciencia y Tecnología del Distrito Federal por el apoyo brindado.

X. REFERENCIAS

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XI. BIOGRAFÍA

Dr. David Romero Romero

- Profesor-Investigador Titular "C" (TCE). - Member, IEEE. -Miembro del Comité Internacional de IASTED. - Doctor en Ciencias en Ingeniería Eléctrica en la Universidad de Purdue, USA, 1984. - Maestro en Ciencias en la Universidad de Purdue, USA, 1981. - Maestro en Ciencias en Ingeniería Eléctrica. SEPI-ESIME-ZACATENCO, IPN, 1976. - Ingeniero Electricista, Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, IPN, 1974.

Ing. Omar Yamil Vidal León Romay

- Student Member, IEEE. - Estudiante de 4° semestre, Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica, SEPI-ESIME-ZACATENCO, IPN. - Ingeniero Electromecánico, Instituto Tecnológico de Minatitlán, Campus Minatitlán, 2012.

estimación de parámetros de una línea de transmisión en sistemas eléctricos de potencia

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