Estimacin de parmetros

*Estimador insesgadoDefinicin 1:Un estadstico q es un estimador insesgado del parmetro q si y slo si E(q) = q .

En otras palabras, si el valor esperado (promedio) de un estimador, es igual al parmetro que se estima, entonces el estimador es insesgado.

*Estimador consistenteDefinicin 2:Un estadstico q es un estimador consistente del parmetro q si y slo si: lim P( |q - q | c) = 0, cuando n

o, en forma equivalente, si y slo si:lim P( |q - q | c) = 1, cuando n

*Estimador eficienteSi se tienen dos estimadores q1 y q2 para un parmetro y Var(q1) es menor a la Var(q2), entonces se dice que el estimador q1 es ms eficiente que el estimador q2.

En general se dir que un estimador es eficiente si es de varianza mnima.

*Estimador suficienteSe dice que un estimador q es un estimador suficiente si utiliza toda la informacin de una muestra relevante para la estimacin del parmetro q de la poblacin; es decir, si todo el conocimiento que se obtiene acerca de q, se puede obtener de la misma manera slo observando los valores del estadstico q.

*Estimacin de punto y de intervaloSi utilizamos el valor de un estadstico para calcular un parmetro de una poblacin, este valor es una estimacin de punto del parmetro.

Una estimacin de intervalo de un parmetro q es un intervalo de la forma, q1 q q2 donde q1 y q2 dependen del valor de q y de la forma de su distribucin muestral.

*Estimacin de intervaloComo q1, q, q2 son v. a., podemos utilizar la distribucin muestral de q para elegir q1, q2 tal que para cualquier probabilidad especificada (1 - a), donde 0 a 1, se tenga:

P ( q1 q q2 ) = 1 a

*Teorema 1Si Xm es el valor de la media de una muestra aleatoria de tamao n tomada de una poblacional normal con la varianza poblacional conocida s2 el intervalo de confianza del (1-a)100% para m est dado por:Xm Z(a+a/2) *(s /n) m Xm +Z(a+a/2)*(s /n)De acuerdo al grado de confianza (1 - a), se determina Z(a+a/2) de la tabla normal estandarizada.

*Intervalo de confianza para mediasEn virtud del Teorema central del lmite, el resultado anterior se puede utilizar para muestras aleatorias tomadas de poblaciones no normales con la varianza s2 conocida, siempre que n sea lo suficientemente grande, es decir, para n mayores o iguales a treinta.

*EjercicioSi una muestra aleatoria de tamao n = 20 tomada de una poblacin normal con la varianza s2= 225 tiene la media Xm = 64,3; construya el intervalo de confianza del 95% de la media poblacional m.

*Teorema 2Si Xm y S son los valores de la media y la desviacin estndar de una muestra aleatoria de tamao n tomada de una poblacional normal con la varianza poblacional desconocida s2, el intervalo de confianza del (1-a)100% para m est dado por:Xm- t(a/2, n-1)*(S/n) m Xm+t(a/2, n-1)*(S/n)

*EjercicioUn fabricante de software desea determinar el tiempo de ejecucin promedio de un nuevo paquete computacional. Si en 12 pruebas de igual tamao, l obtuvo un tiempo medio de 66,3 segundos y una desviacin estndar de 8,4 segundos, construya el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional m.

*Teorema 3Si S2 es el valor de la varianza de una muestra aleatoria de tamao n tomada de una poblacional normal, el intervalo de confianza del (1-a)100% para s2 est dado por:

(n 1) S2 s2 (n 1) S2 c2(a/2, n-1) c2(1-a/2, n-1)

*EjercicioEn 16 recorridos de prueba, el consumo de gasolina de un motor experimental tuvo una desviacin estndar de 2,2 litros. Construya un intervalo de confianza del 99% para s2, midiendo la variable real del consumo de gasolina de este motor. Supongan que los datos provienen de una poblacin normal.

*Teorema 4Si Xm1 y Xm2 son los valores de las medias de muestra aleatoria independientes de tamao n1 y n2 tomadas de poblaciones normales con las varianzas poblacionales conocida s12 y s22, el intervalo de confianza del (1-a)100% para (m1 - m2) est dado por:(Xm1- Xm2) - Z(a+a/2) * [(s12 /n1) + (s22 /n2)](1/2) (m1 - m2) (Xm1- Xm2) + Z(a+a/2)*[(s12 /n1) + (s22/n2)](1/2)

*Intervalo de confianza para (m1 - m2) con las varianzas s12 y s22 conocidasDe acuerdo al grado de confianza (1 - a), se determina Z(a+a/2) de la tabla normal estandarizada.Los resultados del intervalo de confianza para (m1 - m2) con las varianzas s12 y s22 conocidas, puede usarse para poblaciones no normales, siempre que n1 y n2 sean lo suficientemente grande (mayor o igual a 30).

*EjercicioConstruya un intervalo de confianza del 94% de la diferencia real entre las duraciones en promedio de dos tipos de focos elctricos, dado que una muestra tomada al azar de 40 focos de un tipo dur en promedio 418 horas de uso continuo y 50 focos de otra clase duraron en promedio 402 horas. Las desviaciones estndar de las poblaciones, segn se sabe, son s1 = 26 y s2 = 22.

*Teorema 5Si Xm1 y Xm2 son los valores de las medias de muestra aleatoria independientes de tamao n1 y n2 tomadas de poblaciones normales con las varianzas poblacionales desconocida pero iguales s12 = s22, el intervalo de confianza del (1-a)100% para (m1 - m2) est dado por:

*Teorema 5

(Xm1-Xm2) t(a/2, n1 + n2 -2)*Sp*[(1/n1)+(1/n2)](1/2) (m1 - m2) (Xm1-Xm2)+ t(a/2, n1 + n2 -2)*Sp*[(1/n1)+(1/n2)](1/2)

*Intervalo de confianza para (m1 - m2) con las varianzas s12 = s22 desconocidasEl valor de Sp se obtiene como:

Sp = (n1 - 1) S12 + (n2 - 1) S22 (n1 + n2 - 2)y el valor de t(a/2, n1 + n2 -2) se obtiene de la distribucin t de Student con n = (n1+ n2 - 2) grados de libertad

*EjercicioSe ha realizado un estudio para comparar el contenido de nicotina de dos marcas de cigarrillos. Diez cigarrillos de la marca A tuvieron un contenido de nicotina en promedio de 3,1 mg y con s1= 0,5 mg, mientras que ocho cigarrillos de marca B tuvieron un contenido de nicotina en promedio de 2,7 mg y con s2= 0,7 mg. Suponiendo que las varianzas poblacionales son iguales determine el intervalo de confianza del 95%.

*Teorema 6Si S12 y S22 son los valores de las varianzas de muestra aleatoria independientes de tamao n1 y n2 tomadas de dos poblaciones normales, el intervalo de confianza del (1-a)100% para s12 / s22 est dado por:(S12 / S22) * (1/ F(a/2, n1-1, n2-1) ) (s12 / s22) (S12 / S22) * (F(a/2, n2-1, n1-1) )

*EjercicioPara el ejercicio del estudio de nicotina en dos marcas de cigarrillos, obtenga un intervalo de confianza del 98% de s12/s22.

*Intervalo de confianza para proporcionesExisten muchos problemas en los cuales debemos obtener proporciones, como la proporcin de unidades defectuosas, el ndice de mortalidad de una enfermedad, etc. En muchos de estos casos es razonable pensar que se muestrea una poblacin binomial y, por consiguiente, nuestro problema consiste en determinar el parmetro binomial Q. adems, para n grande la distribucin binomial se aproxima a la normal.

*Intervalo de confianza para proporcionesEntonces, para la variable aleatoria Z:

Z = X nq [n * q * (1-q)]1/2

se puede considerar como si tuviese la distribucin normal estndar

*Teorema 7El intervalo de confianza del (1-a)100% para el porcentaje o proporcin Q (o parmetro binomial q) est dado por:q - Z(a+a/2) * [(q * (1- q) )/ n](1/2) Q q + Z(a+a/2)* [(q * (1- q) )/ n](1/2)

donde q = x / n

*EjercicioSe hace un estudio para determinar la proporcin de votantes de una comunidad cuantificable que favorecen la construccin de una planta de energa elctrica. Si se tiene que slo 140 de los 400 votantes seleccionados al azar favorecen el proyecto, obtenga un intervalo de confianza del 95% de la proporcin de todos los votantes de esta comunidad que se expresan a favor del proyecto.

*Teorema 8Si q1 y q2 son los valores de los parmetros binomiales de dos muestra aleatoria independientes de tamao n1 y n2, el intervalo de confianza del (1-a)100% para (Q1 - Q2) est dado por:(q1- q2)-Z(a+a/2)*[(q1(1- q1)/n1) + (q2(1- q2)/n2)](1/2) (Q1 - Q2) (q1-q2)+Z(a+a/2) *[(q1(1- q1)/n1)+(q2(1- q2)/n2)] (1/2)

*EjercicioEn una muestra de 400 adultos y 600 jvenes que vieron una pelcula, 100 adultos y 300 jvenes reconocieron que les haba gustado. Obtenga un intervalo de confianza del 99% de la diferencia en proporciones de todos los adultos y jvenes que no les gust la pelcula.