inferencia: estimación puntual y por intervalos

Tem

a 2.

Inf

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cia:

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Pun

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y P

or I

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s

Inferencia: Estimación Inferencia: Estimación Puntual y por IntervalosPuntual y por Intervalos

Tema 2Tema 2

Tem

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Inf

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y P

or I

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s

““I keep saying the sexy job in the next ten I keep saying the sexy job in the next ten years will be statisticians. People think years will be statisticians. People think I'm joking, but who would've guessed I'm joking, but who would've guessed that computer engineers would've been that computer engineers would've been the sexy job of the 1990s?“the sexy job of the 1990s?“

Hal VarianEconomista en Jefe de Google

Enero 2009

Tem

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or I

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s

Contenido programáticoContenido programático Muestreo y Estimación puntualMuestreo y Estimación puntual La media muestralLa media muestral

Ley de los Grandes NúmerosLey de los Grandes Números Teorema central del LímiteTeorema central del Límite

Estimación por Intervalos de Estimación por Intervalos de confianzaconfianza

Distribuciones asociadas a la Normal Distribuciones asociadas a la Normal en el muestreoen el muestreo

Tem

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s

¿Qué es Inferencia?¿Qué es Inferencia? Objetivo: usar datos muestrales Objetivo: usar datos muestrales

para extraer información de la para extraer información de la

población:población: Estimar parámetrosEstimar parámetros Construir intervalos de confianzaConstruir intervalos de confianza Realizar pruebas acerca de los valores de Realizar pruebas acerca de los valores de

los parámetroslos parámetros Determinar el tipo de distribución que Determinar el tipo de distribución que

caracteriza a la poblacióncaracteriza a la población

Tem

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s MUESTREO ALEATORIO MUESTREO ALEATORIO SIMPLESIMPLE

Representativa de la población

Seleccionar observaciones más convenientes

Muestra aleatoriaExperimento aleatorio

Variable aleatoria

Sesgo

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s

MUESTREO ALEATORIO MUESTREO ALEATORIO SIMPLESIMPLE

Dada una Variable aleatoria X, un Dada una Variable aleatoria X, un conjunto {Xconjunto {X11, X, X22, ...,X, ...,Xnn} de variables es } de variables es una una Muestra Aleatoria SimpleMuestra Aleatoria Simple (MAS) (MAS) de X si:de X si:

1.1. Cada XCada Xii tiene la misma distribución que X. tiene la misma distribución que X.

2.2. Las variables XLas variables X11, X, X22, ...,X, ...,Xnn son son estadísticamente independientes entre sí.estadísticamente independientes entre sí.

Tem

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s

MUESTREO ALEATORIO MUESTREO ALEATORIO SIMPLESIMPLE

No confundir el concepto de muestra No confundir el concepto de muestra como:como:

Resultado de observar el valor que Resultado de observar el valor que toman las n variables {toman las n variables {XX11, X, X22, ...,X, ...,Xnn} } en un proceso de muestreo.en un proceso de muestreo.

Tem

a 2.

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s

MuestraMuestra

Las propiedades estadísticas que aquí se estudian Las propiedades estadísticas que aquí se estudian se refieren a la MAS como variable aleatoria se refieren a la MAS como variable aleatoria multivariada y no como al conjunto de números multivariada y no como al conjunto de números resultantes de la observación de la misma.resultantes de la observación de la misma.

Proceso Proceso de de MuestreoMuestreo

XXnn……..XX22XX11

6,86,8……7,37,38,58,5

Tem

a 2.

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s

Las variables X1…Xn constituyen una muestra

aleatoria de tamaño n de una distribución

cuya media es µ y cuya varianza es σ2. En

otras palabras, cada Xi tiene media µ y

varianza σ2.

Tem

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s

EstadísticosEstadísticos Un Un estadísticoestadístico es una función de la muestra { es una función de la muestra {XX11, X, X22, ...,X, ...,Xnn}. }. Constituye una Constituye una nueva variable aleatorianueva variable aleatoria construida a construida a

partir de la muestra aleatoria simple. partir de la muestra aleatoria simple. Es más sencillo operar con él que con la muestra como Es más sencillo operar con él que con la muestra como

tal.tal. Ejemplos:Ejemplos:

Media muestralMedia muestral MáxMáx = máximo {= máximo {XX11, X, X22, ...,X, ...,Xnn}}

MínMín = mínimo {= mínimo {XX11, X, X22, ...,X, ...,Xnn}} RangoRango = máx - mín. = máx - mín.

Varianza muestralVarianza muestral

n

kk mX

ns

1

22 )()1(

1

n

XXXm n

21

Tem

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s

Muestreo EstadísticoMuestreo Estadístico Propósito:Propósito:

Hacer inferencias acerca de la población. Hacer inferencias acerca de la población. Específicamente: Específicamente:

estimar los parámetros (estimar los parámetros (θθ11, , θθ2, 2, ...) ...) desconocidos de la variable aleatoria X que desconocidos de la variable aleatoria X que

representa a la población.representa a la población.

Ej.: Si la vida de un Venezolano se caracteriza Ej.: Si la vida de un Venezolano se caracteriza con una distribución exponencial X(con una distribución exponencial X(θθ), ), Hallar Hallar θθ que es su esperanza de vida. que es su esperanza de vida.

Tem

a 2.

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s

¿Cómo se estima?¿Cómo se estima? Mediante estadísticos adecuados, útiles, Mediante estadísticos adecuados, útiles,

cuyas distribuciones se conocen, como la cuyas distribuciones se conocen, como la

media muestral, la varianza muestral, el media muestral, la varianza muestral, el

máximo de la muestra, etc..máximo de la muestra, etc.. Supuestos:Supuestos:

El tipo de distribución es conocidaEl tipo de distribución es conocida Los parámetros son desconocidosLos parámetros son desconocidos

Tem

a 2.

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s

EstimadoresEstimadores

T es un T es un estimadorestimador de θ de θ si es un estadístico que si es un estadístico que

permite estimar un parámetro θpermite estimar un parámetro θ

Estimación puntual de θ:Estimación puntual de θ: resultado de T calculado resultado de T calculado

sobre los valores específicos de la muestrasobre los valores específicos de la muestra

Tem

a 2.

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s

Proceso de MuestreoProceso de Muestreo

EstimadoresEstimadores

EstimaciónEstimación

5577MuestrMuestraa 667788

6,65

67578

m

EstimadorEstimador

XX33XX22 XX55XX44XX11MuestrMuestraa

551 XX

m

Tem

a 2.

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s

Propiedades de los Propiedades de los estimadores puntualesestimadores puntuales

Tem

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s

La estimación puntual es La estimación puntual es similar al proceso de similar al proceso de disparar con una pistola a disparar con una pistola a un blanco o lanzar un un blanco o lanzar un dardo a una dianadardo a una diana

Tem

a 2.

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s

•El estimador es semejante a la pistolaEl estimador es semejante a la pistola

•una estimación en particular, a la bala una estimación en particular, a la bala

•y el parámetro de interés al centro del blanco.y el parámetro de interés al centro del blanco.

• Sacar una muestra de la población y estimar el Sacar una muestra de la población y estimar el valor del parámetro es equivalente a disparar un valor del parámetro es equivalente a disparar un solo tiro al blanco. solo tiro al blanco.

Tem

a 2.

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s

•Suponga que una persona dispara un solo tiro al Suponga que una persona dispara un solo tiro al blanco y que el tiro da en el centro. blanco y que el tiro da en el centro.

•¿Concluimos que es un excelente tirador? ¿Concluimos que es un excelente tirador?

•¿Querría usted sostener el blanco mientras se dispara ¿Querría usted sostener el blanco mientras se dispara el segundo tiro? el segundo tiro?

Evidentemente, no decidiríamos que el hombre es un Evidentemente, no decidiríamos que el hombre es un tirador experto basados en tan escasa evidencia. tirador experto basados en tan escasa evidencia.

Tem

a 2.

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s

Sin embargo, si un millón de tiros Sin embargo, si un millón de tiros sucesivos dan en el centro del blanco, sucesivos dan en el centro del blanco, podríamos tener suficiente confianza en el podríamos tener suficiente confianza en el tirador para sostener el blanco en el tirador para sostener el blanco en el siguiente tiro. siguiente tiro.

El hecho que se desea enfatizar es: El hecho que se desea enfatizar es:

No podemos evaluar la bondad de un No podemos evaluar la bondad de un procedimiento de estimación puntual procedimiento de estimación puntual basándonos en una sola estimación, más basándonos en una sola estimación, más bien debemos observar los resultados y bien debemos observar los resultados y utilizar el procedimiento de estimación utilizar el procedimiento de estimación muchas, muchas veces. muchas, muchas veces.

Tem

a 2.

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s

Precisión y ExactitudPrecisión y Exactitud PrecisiónPrecisión: que las estimaciones no se dispersen : que las estimaciones no se dispersen

demasiadodemasiado ExactitudExactitud: que si se realizan numerosos experimentos : que si se realizan numerosos experimentos

el promedio del estadístico sea el parámetro a el promedio del estadístico sea el parámetro a estimar.estimar.

θ ImprecisoEbrio

θ InexactoTuerto

Características deseables de un buen Características deseables de un buen estimadorestimador

Tem

a 2.

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s

Precisión y ExactitudPrecisión y Exactitud

PrecisiónPrecisión

ExactitudExactitud

VarianzaVarianza

Valor esperadoValor esperado

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s

T es un T es un estimador insesgadoestimador insesgado de θ de θ si E(T) = θ. si E(T) = θ.

Supongamos que se tiene un número indefinido de Supongamos que se tiene un número indefinido de

muestras de una población, todas ellas del mismo muestras de una población, todas ellas del mismo

tamaño tamaño nn. .

Sobre cada muestra el estimador nos ofrece una Sobre cada muestra el estimador nos ofrece una

estimación concreta del parámetro que buscamos. estimación concreta del parámetro que buscamos.

Pues bien, el estimador es insesgado, si sobre dicha Pues bien, el estimador es insesgado, si sobre dicha

cantidad indefinida de estimaciones, el valor medio cantidad indefinida de estimaciones, el valor medio

obtenido en las estimaciones es obtenido en las estimaciones es θ.θ.

Tem

a 2.

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s

Error Cuadrático MedioError Cuadrático Medio(Mean Square Error)(Mean Square Error)

Si T es un estimador de Si T es un estimador de θθ, el MSE es , el MSE es una medida de dispersión de T una medida de dispersión de T respecto de respecto de θθ..

MSE = E(T -MSE = E(T - θ θ))22

Propiedad Propiedad

MSE = VAR(T) + (E( T) -MSE = VAR(T) + (E( T) - θ θ))22

Tem

a 2.

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s

.

.

.

.

.

.

.

.

. ..

θ)ˆ(E

.

.

. .BB

.

22 B)ˆV()ˆE(MSE

entonces

)ˆE(B

aSesgollamaráSe


.

.

. .

Tem

a 2.

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s


InsesgadoInsesgado T es un T es un estimador insesgadoestimador insesgado de θ de θ si E(T) = si E(T) =

θθ Se entiende por Se entiende por sesgosesgo del estimador a la del estimador a la

diferencia: E(T) – θdiferencia: E(T) – θ

MSE = Var(T) + (sesgo)MSE = Var(T) + (sesgo)22

Objetivo: minimizar ambos términos varianza y Objetivo: minimizar ambos términos varianza y sesgosesgo

Tem

a 2.

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s

Insesgados de Varianza Insesgados de Varianza MínimaMínima

TT es unes un estimador insesgado de varianza estimador insesgado de varianza mínima mínima de θde θ si es el de menor varianza entre si es el de menor varianza entre todos los estimador insesgados.todos los estimador insesgados.

Insesgado E (T1) = E ( T2) = θθ

V (T1) > V ( T2)

θθ

T1

T2

Deseadoθθ

Tem

a 2.

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valo

s Ejemplo:

2

2ˆ

7

...ˆ

4612

7211

XXX

XXX

Sea X1, X2,…, X7 una muestra aleatoria de una población que tiene media μ y varianza σ2. Considere los siguientes estimadores de μ :

a) ¿Alguno de estos estimadores es insesgado?

b) ¿Cuál estimador es el “mejor”?

Tem

a 2.

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s

La lectura de un voltímetro conectado a un circuito de prueba tiene una distribución uniforme en el intervalo (θ, θ+1θ, θ+1) en donde θθ es el verdadero pero desconocido voltaje del circuito. Suponga que Y1, Y2,…, Yn es una muestra aleatoria de tales lecturas.

Demuestre que es un estimador sesgado de θθ y calcule su sesgo.

Y

Ejemplo:

Tem

a 2.

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valo

s Teorema de ChebychevTeorema de Chebychev(Tchebisheff, Tchebichev)(Tchebisheff, Tchebichev)

La desigualdad de Chebychev provee una cota que no depende de la distribución, sino de la varianza de X

Sea X una variable aleatoria. Entonces, para cualquier k>0:

2

2

2

Var(X)y E(X)

1

11

donde

kkXP

ok

kXP

Tem

a 2.

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s

kk Regla de Regla de ChebychevChebychev

Distribución Distribución normalnormal

1.51.5 Menor que 44.4%Menor que 44.4% 13.4%13.4%

22 Menor que 25.0%Menor que 25.0% 4.6%4.6%

33 Menor que 11%Menor que 11% 0.27%0.27%

44 Menor que 6.3%Menor que 6.3% 0.01%0.01%

PORCENTAJE DE LA DISTRIBUCIÓN MAYOR QUE K DESVIACIONES ESTÁNDAR A PARTIR DE LA MEDIA

La cota que ofrece la desigualdad de Chebychev puede ser grosera en algunos casos, pero debemos recordar que la desigualdad sirve para todas las distribuciones.

Tem

a 2.

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s Teorema de ChebychevTeorema de Chebychev(Tchebisheff, Tchebichev)(Tchebisheff, Tchebichev)

También puede escribirse:

2

2

XP

µ-ε µ µ+ε

Tem

a 2.

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s

SiSi E(X)=5 y V(X)=100/12. ( E(X)=5 y V(X)=100/12. (εε=4)=4)

P(|X – 5| > 4) <= P(|X – 5| > 4) <= ??

Si ahora suponemos Si ahora suponemos XX~U(0,10), ~U(0,10), ¿cuánto es la probabilidad¿cuánto es la probabilidad??

Ejemplo:

Tem

a 2.

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s

ConsistenciaConsistencia

Concentración del estimador en torno a θ a Concentración del estimador en torno a θ a medida que la muestra crece (cuando la medida que la muestra crece (cuando la información aumenta).información aumenta).

Es esta propiedad de consistencia de un Es esta propiedad de consistencia de un estimador lo que permite conformarse con el estimador lo que permite conformarse con el valor observado de un estimador y asumirlo como valor observado de un estimador y asumirlo como representativo del verdadero valor del parámetro representativo del verdadero valor del parámetro θ. θ.

T5

θθ

T100

θθ

N= 100 N= 5

Tem

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s

ConsistenciaConsistencia TTnn es un es un estimador consistenteestimador consistente de θ si: de θ si:

Para todos los valores de θ y donde ε es un Para todos los valores de θ y donde ε es un

número positivo arbitrario.número positivo arbitrario.

1)|(|Problim

n n

T

O, en forma equivalente,

Tem

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s

0)(lim

si de econsistentestimador

un es insesgado estimador

n n

n

TV

paraTUn

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s

Media MuestralMedia MuestralSea X de valor esperado μ y desviación estándar σSea X de valor esperado μ y desviación estándar σy {Xy {X11, X, X22, ...,X, ...,Xnn} muestra aleatoria simple de X.} muestra aleatoria simple de X.

Por las propiedades ya establecidas sobre la Por las propiedades ya establecidas sobre la suma de variables aleatorias independientes:suma de variables aleatorias independientes:

E(m)= μ E(m)= μ

V(m)=σV(m)=σ22/n /n

Luego, m es un estimador insesgado de μ.Luego, m es un estimador insesgado de μ.

n

XXXm n

21

Tem

a 2.

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valo

s

De aquí, la media de la media muestral (m) De aquí, la media de la media muestral (m) es igual a la media de la distribución de la es igual a la media de la distribución de la cual se seleccionó la muestra aleatoria, pero cual se seleccionó la muestra aleatoria, pero la varianza de m es solo 1/n veces la la varianza de m es solo 1/n veces la varianza de esa distribución.varianza de esa distribución.

La distribución de probabilidad de la media muestral estará más concentrada alrededor del valor medio µ que la distribución original.

Media MuestralMedia Muestral

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s

Concentración de la Media Concentración de la Media MuestralMuestral

La media muestral tiene el mismo valor La media muestral tiene el mismo valor esperado pero está más concentrada en torno esperado pero está más concentrada en torno a μ, ya que la desviación estándar disminuye a μ, ya que la desviación estándar disminuye con la raíz cuadrada de n.con la raíz cuadrada de n.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

n

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s

Varianza MuestralVarianza Muestral

1

)(1

2

2

n

XXS

n

ii

La varianza muestral:

Es un estimador insesgado de σ2

En cambio,

Es un estimador sesgado de σ2

n

XXS

n

ii

1

2

2

)(

E(S2) = σ2

Tem

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s

Varianza MuestralVarianza Muestral

Es un estimador insesgado de la varianza de la Es un estimador insesgado de la varianza de la

población, E(Spoblación, E(S22) = V(X) ) = V(X)

Es consistenteEs consistente

No existe un teorema de convergencia como el No existe un teorema de convergencia como el

teorema central del límiteteorema central del límite

N

kk mx

Ns

1

22 )()1(

1Observe el denominador

Tem

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s

Importancia de la Media Importancia de la Media Muestral Muestral

Su relevancia en la estadística se resume en dos grandes Su relevancia en la estadística se resume en dos grandes propiedades:propiedades:

Ley de los Grandes NúmerosLey de los Grandes Números

Teorema Central del LímiteTeorema Central del Límite

Tem

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s

Ley de los Grandes Ley de los Grandes Números Números

La media muestral es un La media muestral es un estimador consistente de μestimador consistente de μ

La consistencia es el fundamento La consistencia es el fundamento teórico para la estimación de la media teórico para la estimación de la media poblacional por la media muestral.poblacional por la media muestral.

Tem

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s

Tem

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s

Ley de los Grandes Ley de los Grandes Números Números

La Ley de los Grandes Números indica La Ley de los Grandes Números indica que que mm se concentra entorno a μ, pero se concentra entorno a μ, pero no indica cómo es la distribución de la no indica cómo es la distribución de la media muestral. El siguiente teorema media muestral. El siguiente teorema tiene ese propósito:tiene ese propósito:

Tem

a 2.

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s


Cuando n Cuando n + +∞∞ la distribución de la media muestral la distribución de la media muestral

(m) se aproxima a la distribución de una Normal; más (m) se aproxima a la distribución de una Normal; más

precisamente el estadístico de la media estandarizada:precisamente el estadístico de la media estandarizada:

n

- m = Z

Normal Estándar

Tem

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valo

s

Teorema Central del LímiteTeorema Central del Límite Cuando el tamaño de la muestra crece la distribución de Cuando el tamaño de la muestra crece la distribución de

la muestra se asemeja a la normal. la muestra se asemeja a la normal.

X

Tem

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s

Uso del Teorema Central del Uso del Teorema Central del LímiteLímite

Cualquiera sea la variable aleatoria X, su media Cualquiera sea la variable aleatoria X, su media muestral puede considerarse Normal si el tamaño muestral puede considerarse Normal si el tamaño muestral (N) es suficientemente “grande”. muestral (N) es suficientemente “grande”.

¿Cuán grande debe ser la muestra?¿Cuán grande debe ser la muestra? X parecida a una Normal X parecida a una Normal N N ≥≥ 12 12 X asimétrica X asimétrica N N ≥≥ 30 30 X muy asimétrica o multimodal X muy asimétrica o multimodal N N ≥≥ 50 50

Tem

a 2.

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s


Tem

a 2.

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y P

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valo

s

No todos los estadísticos son asintóticamente normales, por más grande que sea el N

Cuan grande es el N para que se observe la tendencia de la media muestral a la distribución normal, depende de la distribución de la población.

Tem

a 2.

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y P

or I

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valo

s Distribución Uniforme

Tem

a 2.

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Pun

tual

y P

or I

nter

valo

s

Distribución Uniforme

Tem

a 2.

Inf

eren

cia:

Est

imac

ión

Pun

tual

y P

or I

nter

valo

s DistribuciónExponencialN=15

N=30

N=50

Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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ión

Pun

tual

y P

or I

nter

valo

s

Suponga que en una población grande de seres humanos, el diámetro craneal sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 185.6 mm y una desviación estándar de 12 mm. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 16 de esta población tenga una media mayor que 190?


Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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Pun

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y P

or I

nter

valo

s

Los resultados de las pruebas de aptitud académica de todos los alumnos de los liceos de Maracaibo tiene una media de 60 y una varianza de 64. El valor de la media de una generación específica de cierto liceo de Mérida con n=100 alumnos fue 58 ¿Puede afirmarse que este liceo tiene peores resultados que los de Maracaibo?


Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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y P

or I

nter

valo

s

Alumnos de Liceos de Maracaibo Alumnos de Liceos de Mérida


Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

imac

ión

Pun

tual

y P

or I

nter

valo

s

El Centro de apoyo de Ingeniería y Vivienda del Ejército El Centro de apoyo de Ingeniería y Vivienda del Ejército de Estados Unidos patrocinó en fechas recientes un de Estados Unidos patrocinó en fechas recientes un estudio de las características de confiabilidad, estudio de las características de confiabilidad, disponibilidad y mantenimiento de sistemas pequeños disponibilidad y mantenimiento de sistemas pequeños que trabajan con diesel y gas en instalaciones militares y que trabajan con diesel y gas en instalaciones militares y comerciales. El estudio reveló que el tiempo, comerciales. El estudio reveló que el tiempo, xx, antes de , antes de que sea necesario dar mantenimiento correctivo a que sea necesario dar mantenimiento correctivo a sistemas diesel auxiliares continuos tiene una sistemas diesel auxiliares continuos tiene una distribución exponencial aproximada con una media distribución exponencial aproximada con una media estimada de 1700 horas. estimada de 1700 horas. Suponiendo Suponiendo µµ=1700 calcule la probabilidad de que el =1700 calcule la probabilidad de que el tiempo medio antes de dar mantenimiento correctivo a tiempo medio antes de dar mantenimiento correctivo a una muestra de 70 sistemas diesel auxiliares continuos una muestra de 70 sistemas diesel auxiliares continuos exceda las 2500 horas.exceda las 2500 horas.


Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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Pun

tual

y P

or I

nter

valo

s

Si se extrae una muestra aleatoria de n observaciones, ySi se extrae una muestra aleatoria de n observaciones, y11, , yy22, …, y, …, ynn, de una población con una media finita , de una población con una media finita μμ y una y una varianza varianza σσ22, entonces, si n es lo bastante grande, la , entonces, si n es lo bastante grande, la distribución de muestreo de la sumadistribución de muestreo de la suma

Se puede aproximar con una función de densidad normal Se puede aproximar con una función de densidad normal con parámetros: con parámetros:

n

iiy

1

Distribución de muestreo de una suma Distribución de muestreo de una suma de variables aleatoriasde variables aleatorias

El estadístico sería

·

·

n

nZ

μΣ=nμ y σ2Σ=

nσ2

Tem

a 2.

Inf

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y P

or I

nter

valo

s

El gerente de Mercadeo de pinturas Montana afirma que con un galón de pintura se pinta una media de 20 metros, con una varianza de 2. Supongamos que se desea pintar un área que tiene 630 metros. ¿Serán suficientes 32 galones? ¿Qué probabilidad tengo de que no me alcance?


Tem

a 2.

Inf

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Est

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Pun

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y P

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nter

valo

s

El sueldo mensual promedio de los habitantes de Venezuela se distribuye uniformemente entre BsF. 500 y BsF. 3.500. Calcule la probabilidad de que al seleccionar al azar a 100 personas, la suma de sus sueldos supere los 220 mil bolívares.


Tem

a 2.

Inf

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cia:

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Pun

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y P

or I

nter

valo

s

Estimación por IntervalosEstimación por Intervalos Un estimador proporciona un valor aproximado de un Un estimador proporciona un valor aproximado de un

parámetro θ . ¿parámetro θ . ¿Es suficienteEs suficiente??

¿Cuán próxima es la estimación al parámetro? ¿Cuán próxima es la estimación al parámetro?

La estimación por intervalos de confianza La estimación por intervalos de confianza es la respuestaes la respuesta..

med=170 cm La estatura media de los estudiantes de ingeniería es aproximadamente 170 cm.

La estatura media de los estudiantes de ingeniería se encuentra entre 169 y 172 cm

169 <= μ<=172 cm

Estimación

puntual

Estimación por

intervalos

Tem

a 2.

Inf

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Pun

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y P

or I

nter

valo

s

DefiniciónDefinición Si {X1, X2, ...,Xn} es una MAS de una Si {X1, X2, ...,Xn} es una MAS de una

Variable X, y se desea estimar θ, un Variable X, y se desea estimar θ, un intervalo de confianza intervalo de confianza (1-(1-αα)) es un es un intervalo intervalo [inf, sup][inf, sup], que tiene una , que tiene una probabilidad (1-probabilidad (1-αα) de cubrir al parámetro ) de cubrir al parámetro θθ..

Inf y sup son dos estadísticos de la muestra Inf y sup son dos estadísticos de la muestra que cumplen:que cumplen:

Prob (inf ≤ θ ≤ sup) = 1 - Prob (inf ≤ θ ≤ sup) = 1 - αα

Tem

a 2.

Inf

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Est

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y P

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nter

valo

s

Interpretación frecuentistaInterpretación frecuentista

Si se toman 100 muestras aleatorias de la Si se toman 100 muestras aleatorias de la

población, y se construye un intervalo de población, y se construye un intervalo de

confianza [inf, sup] del 95% para cada una confianza [inf, sup] del 95% para cada una

de ellas, se espera que en 95 de ellas el de ellas, se espera que en 95 de ellas el

intervalo contenga al parámetro.intervalo contenga al parámetro.

Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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nter

valo

s

Interpretación frecuentistaInterpretación frecuentista

5 rojos

2

blancos

6 rojos

1 blanco

Tem

a 2.

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valo

s

Consideraciones AdicionalesConsideraciones Adicionales Lo aleatorio es el intervalo [inf, sup] Lo aleatorio es el intervalo [inf, sup]

θ es desconocido pero fijoθ es desconocido pero fijo

El El método de construcciónmétodo de construcción es el que es el que posee el nivel de confianzaposee el nivel de confianza

Observada la muestra y construido el Observada la muestra y construido el intervalo concreto éste contendrá o no al intervalo concreto éste contendrá o no al parámetro.parámetro.

Tem

a 2.

Inf

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Est

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nter

valo

s

Consideraciones AdicionalesConsideraciones Adicionales No se sabe si el intervalo obtenido con No se sabe si el intervalo obtenido con

una muestra en particular contiene o no una muestra en particular contiene o no el verdadero valor del parámetro, el verdadero valor del parámetro,

pero el método utilizado para obtener el pero el método utilizado para obtener el intervalo hace que éste contenga el intervalo hace que éste contenga el valor verdadero el (1 - valor verdadero el (1 - αα)% de las veces. )% de las veces.

Tem

a 2.

Inf

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nter

valo

s

Intervalos de Confianza de Intervalos de Confianza de Poblaciones NormalesPoblaciones Normales

De la media con σ conocidaDe la media con σ conocida

De la media con σ desconocidaDe la media con σ desconocida

De la varianzaDe la varianza

Tem

a 2.

Inf

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valo

s

α/2 α/2

-zα/2 zα/2

¿Cómo se construye un Intervalo de Confianza?¿Cómo se construye un Intervalo de Confianza?

Si X es N(μ, σSi X es N(μ, σ22) y tenemos una muestra de tamaño N, su ) y tenemos una muestra de tamaño N, su media muestral m se distribuye también Normal pero N(μ, media muestral m se distribuye también Normal pero N(μ, σσ22/N). /N).

Distribución de la estadística

N

- x Z

P(Z > zα) = α

Tem

a 2.

Inf

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valo

s

12/2/n

zx n

zx P

12/2/ z

n

x z P

Despejando la media teórica, nos queda:

Esta expresión hace referencia a que, con una probabilidad de 1-α, el intervalo aleatorio contendrá el valor de μ.

P(Z > zα) = α

Tem

a 2.

Inf

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nter

valo

s

Se sabe que la duración, en horas, de un bombillo de 75 watts tiene una distribución aproximadamente normal, con una desviación estándar de 20 horas. Se toma una muestra aleatoria de 25 bombillos, la cual resulta tener una duración promedio de 1014 horas. Construya un intervalo de confianza bilateral del 95% para la duración promedio de los bombillos.

Intervalo de confianza para la media, varianza conocida

Tem

a 2.

Inf

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y P

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valo

s

¿Qué observa al construir un intervalo de confianza bilateral del 99% para la duración promedio de los bombillos.


Un equipo de investigadores está interesado en la puntualidad de los pacientes en las citas concertadas. En un estudio de flujo de pacientes en los consultorios de médicos generales se encontró que una muestra de 35 pacientes llegaba 17,2 minutos tarde a las citas, en promedio. Una investigación previa había demostrado que la desviación era de 8 minutos aproximadamente. Se tuvo la sensación de que la distribución de la población era normal. ¿Cuál es el intervalode confianza de 90% para µ, que es el promedio real de impuntualidad en las citas?


Tem

a 2.

Inf

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valo

s

Un fabricante produce anillos para los pistones de un motor de automóvil. Se sabe que el diámetro del anillo está distribuido aproximadamente de manera normal, y que tiene una desviación estándar σ = 0,001 mm. Una muestra aleatoria de 15 anillos tiene un diámetro promedio de m = 74,036 mm.

•Construya el intervalo de confianza bilateral del 99% para el diámetro promedio del anillo.


Tem

a 2.

Inf

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valo

s

Intervalo de Confianza de la Intervalo de Confianza de la Media μ con σ desconocidaMedia μ con σ desconocida

Si se desconoce σ, se debe recurrir a la Si se desconoce σ, se debe recurrir a la distribución t de Student distribución t de Student

Sea X d N(μ, σSea X d N(μ, σ22), {X), {X11,.....,X,.....,Xnn} una M.A.S., m y s, } una M.A.S., m y s, media y desviación estándar muestral; entonces media y desviación estándar muestral; entonces el estadístico:el estadístico:

) n

s (

- m = t

es una es una tt con con n-1 n-1

grados de libertadgrados de libertad

Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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Pun

tual

y P

or I

nter

valo

s Dada la distribución del estadístico y el nivel de confianza, se tiene la Dada la distribución del estadístico y el nivel de confianza, se tiene la siguiente igualdad:siguiente igualdad:

Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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y P

or I

nter

valo

s

Su aplicación inmediata es que:Su aplicación inmediata es que:

n

stx

n

stx nn 1,2/1,2/

Es un intervalo de confianza de probabilidad (1-Es un intervalo de confianza de probabilidad (1-αα) ) del valor esperado, μ. del valor esperado, μ.

12/2/ t

n

sx

t P

Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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y P

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nter

valo

s

La dirección médica de una clínica desea estimar el número promedio de días necesarios para el tratamiento de pacientes con edades entre 25 y 34 años. Una muestra aleatoria de 500 pacientes de la clínica con esas edades proporcionó una media de 5.4 días y una desviación estándar de 3.1 días. Obtenga un intervalo de confianza de 95% para el promedio del tiempo de estancia de la población de pacientes de la cual se obtuvo la muestra.

Intervalo de confianza para la media, varianza desconocida

Tem

a 2.

Inf

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cia:

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y P

or I

nter

valo

s

Un ingeniero de control de calidad midió el espesor de la pared de 25 botellas de vidrio de dos litros. La media muestral es m=4.05 mm, mientras que la desviación estándar muestral es s=0.08 mm. Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la media del espesor de la pared de las botellas.

Intervalo de confianza para la media, varianza desconocida

¿La población tiene una

distribución normal?

¿La muestra es grande? ¿La muestra

es grande?

¿Se conoce la varianza

de la población?


de la población?


de la población?

z t ó z

z t

z t ó z

NP

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

NoNo

No

NoNo

Se aplica el teorema central del límite

No

NP: Método no paramétrico

Tem

a 2.

Inf

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y P

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nter

valo

s Intervalo de confianza para diferencia de medias, para observaciones no apareadas

Se toman dos muestras aleatorias independientes de dos poblaciones de interés. Es decir, la selección de elementos para una muestra no afecta, ni es afectada por, la selección de elementos para la otra muestra.

Ej: Estudiar la presión sanguínea en mujeres que toman o no cierta hormona. Tomamos un grupo de mujeres que la toman y un grupo de mujeres que no la toman.

Diferencia entre dos poblaciones

Tem

a 2.

Inf

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valo

s

Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias, varianzas conocidas

Desviación de la diferencia muestral:

Tem

a 2.

Inf

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cia:

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y P

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nter

valo

s

Se prueban dos fórmulas diferentes de un combustible oxigenado para motor en cuanto al octanaje. La varianza del octanaje para la fórmula

1 es σ21=1.5 mientras que para la fórmula 2 es

σ22=1.2. Se prueban dos muestras aleatorias de

tamaño n1=15 y n2=20. Los octanajes promedios

observados son m1=89.6 y m2=92.5. Construya un

intervalo de confianza bilateral del 95% para la diferencia en el octanaje promedio.


Tem

a 2.

Inf

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cia:

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y P

or I

nter

valo

s

Se administra dos somníferos A y B a dos grupos de pacientes en un hospital. El A especifica que su desviación estándar es 1 hora, mientras el B especifica 1.5 horas. Si los tamaños muestrales

son n1=15 y n2 = 20 para los grupos A y B y las

medias de sueño en esa noche fueron 10 y 9 horas respectivamente, construya un intervalo de confianza bilateral del 95% para la diferencia de horas de sueño entre los somníferos


Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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valo

s

¿Cuál somnífero concluye usted que es mejor?


83.117.0 21

De acuerdo al intervalo de confianza, podemos concluir que el somnífero A produce más sueño que el B.

Es más, se tiene una confianza del 95% que el somnífero A produce entre 0.17 y 1.83 horas más de sueño que el somnífero B.

Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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y P

or I

nter

valo

s

¿Cuál somnífero hubiese concluido usted que ¿Cuál somnífero hubiese concluido usted que

produce mejores resultados si el intervalo de produce mejores resultados si el intervalo de

confianza le hubiese quedado, por ejemplo?confianza le hubiese quedado, por ejemplo?


3.15.1 21

Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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nter

valo

s Intervalo de confianza para diferencia de medias, para observaciones no apareadas

Se toman dos muestras aleatorias independientes de dos poblaciones de interés. Es decir, la selección de elementos para una muestra no afecta, ni es afectada por, la selección de elementos para la otra muestra.

Ej: Estudiar la presión sanguínea en dos grupos de mujeres que toman cierta hormona. Tomamos un grupo de mujeres que la toman y un grupo de mujeres que no la toman.

Diferencia entre dos poblaciones

Tem

a 2.

Inf

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cia:

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or I

nter

valo

s Intervalo de confianza para diferencia de medias, para observaciones apareadas

Existen solo n unidades experimentales diferentes y los datos están recopilados por pares => cada unidad experimental está formada por dos observaciones

Ej: Estudiar la presión sanguínea en un grupo de mujeres antes y después de tomar cierta hormona. (En este ejemplo los datos son los conjuntos de medidas en las mismas personas).

Muestras apareadas

Tem

a 2.

Inf

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cia:

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y P

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valo

s Intervalo de confianza para diferencia de medias, para observaciones apareadas

Programador

Sitio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Lenguaje 1 17 16 21 14 18 24 16 14 21 23 13 18

Lenguaje 2 18 14 19 11 23 21 10 13 19 24 15 20

Un científico de la computación está investigando la utilidad de dos lenguajes de diseño para mejorar las tareas de programación. Se pide a doce programadores expertos, familiarizados con los dos lenguajes, que codifiquen una función estándar en ambos lenguajes, anotando el tiempo, en minutos, que requieren para hacer esta tarea. Los datos obtenidos son los siguientes:

Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en los tiempos de codificación promedio. ¿Existe algo que indique una preferencia por alguno de los lenguajes?

DiferenciaDiferencia -1-1 22 22 33 -5-5 33 66 11 22 -1-1 -2-2 -2-2

d = 2/3

Tem

a 2.

Inf

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y P

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valo

s

Intervalo de Confianza de la Intervalo de Confianza de la Media μ cuando se conoce σMedia μ cuando se conoce σ

PrecisiónPrecisión

La estatura media está entre 171 y 173 cm con una confianza del 95%

La estatura media está entre 165 y 175 cm con una confianza del 99%

Precisión

+

-

Tem

a 2.

Inf

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cia:

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Pun

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valo

s


Se puede dar un intervalo con una Se puede dar un intervalo con una confianza del 100%confianza del 100%

Z0,0 = ∞

(-∞ , ∞)

““El peso promedio de los estudiantes de ingeniería se encuentra El peso promedio de los estudiantes de ingeniería se encuentra entre -∞ y ∞”. Esto es cierto, pero inútilentre -∞ y ∞”. Esto es cierto, pero inútil

Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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y P

or I

nter

valo

s ¿De qué tamaño debo ¿De qué tamaño debo tomar la muestra?tomar la muestra?

Cuando se realiza un muestreo ingenuamente Cuando se realiza un muestreo ingenuamente

se quiere que la estimación sea:se quiere que la estimación sea:

Exacta o al menos muy precisaExacta o al menos muy precisa

Verdadera o al menos muy confiableVerdadera o al menos muy confiable

BarataBarata

Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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y P

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nter

valo

s

¿Confiable preciso y barato?¿Confiable preciso y barato? Cuando se estima μ y σ es conocido, el intervalo Cuando se estima μ y σ es conocido, el intervalo

de confianza tiene una longitud de:de confianza tiene una longitud de:

estableciéndose una relación simple entre:estableciéndose una relación simple entre: La confianza (1-La confianza (1-αα ) ) La precisión LLa precisión L El tamaño muestral NEl tamaño muestral N

n

zL

2/2

Tem

a 2.

Inf

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cia:

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nter

valo

s


n

zL

2/2

LongitudLongitud

• Mayor es la seguridad de que el intervalo contenga el verdadero valor del parámetro

• Menor información se tiene acerca del valor verdadero

• Menor es la precisión

Mientras más grande es la longitud del intervalo

Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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y P

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nter

valo

s

Tamaño MuestralTamaño Muestral ¡Obsérvese que no se puede fijar ¡Obsérvese que no se puede fijar

arbitrariamente los 3 números!arbitrariamente los 3 números!

1-α L

N

Confianza Precisión

Tamaño Muestral

¡Sólo se puedenfijar 2!

Tem

a 2.

Inf

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cia:

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valo

s

Tamaño MuestralTamaño Muestral Si se fija precisión (L) y confianza (1-Si se fija precisión (L) y confianza (1-αα) )

resulta:resulta:

Para disminuir el intervalo a la mitad es Para disminuir el intervalo a la mitad es necesario cuadriplicar la muestra. necesario cuadriplicar la muestra.

2

2/.2

L

zN

Tem

a 2.

Inf

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cia:

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y P

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nter

valo

s

Si xbarra se utiliza como estimación de μ, entonces puede tenerse una confianza del 100(1-α)% de que el error no será mayor que una cantidad específica E cuando el tamaño de la muestra sea:

2

2/

E

zn

Definición

Determinación del tamaño de la muestra para la estimación de las medias

Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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Pun

tual

y P

or I

nter

valo

s

x μn

zx

2/ nzx

2/

n

z

2/2Longitud del intervalo =

Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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y P

or I

nter

valo

s

x μ

)max( xerrorE

nzx

2/ n

zx

2/

Longitud del intervalo (L) = 2E

Tem

a 2.

Inf

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cia:

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y P

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valo

s


2

2/

E

zn

TamañoTamaño de la muestra de la muestra

donde )max( xE

Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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y P

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valo

s

2

2/

E

zn

TamañoTamaño de la muestra de la muestra

Considerando el resto de los parámetros fijos:

Conforme disminuye la longitud del intervalo 2E, el tamaño requerido de la muestra aumenta.

A medida que aumenta σ, el tamaño requerido de la muestra aumenta.

Conforme aumenta el nivel de confianza, el tamaño de la muestra aumenta.

Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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Pun

tual

y P

or I

nter

valo

s Tamaño Muestral en función Tamaño Muestral en función de L/sigmade L/sigma

Tem

a 2.

Inf

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cia:

Est

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Pun

tual

y P

or I

nter

valo

s

Un nutricionista, va a efectuar una encuesta entre una población de muchachas adolescentes con el fin de determinar su ingestión diaria promedio de proteínas, por lo que desea saber qué tamaño de la muestra debería tomar. Suponga que el nutricionista quiere un intervalo con una dimensión de aproximadamente 10 grs., un intervalo de confianza de .95 y que, con base en su experiencia previa, sabe que la desviación estándar de la población es de alrededor de 20 grs.

Determinación del tamaño de la muestra para la estimación de las medias

Tem

a 2.

Inf

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cia:

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y P

or I

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valo

s

Tamaño MuestralTamaño Muestral ¿Qué hacer si σ es desconocido?¿Qué hacer si σ es desconocido? No es posible sustituirla por No es posible sustituirla por s s ya que ya que

depende de m y Ndepende de m y N

¿Existe una estimación previa?¿Existe una estimación previa? ¿Opinión de expertos confiable? ¿Opinión de expertos confiable?

¿Existe una estimación anterior de σ ¿Existe una estimación anterior de σ con su intervalo de confianza con su intervalo de confianza adecuado?adecuado?

Tem

a 2.

Inf

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cia:

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y P

or I

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valo

s

Muestreo PreliminarMuestreo Preliminar Si no se dispone de una estimación anterior Si no se dispone de una estimación anterior

de σ, es necesario hacer un muestreo de σ, es necesario hacer un muestreo preliminar:preliminar: Conservador:Conservador: Calcule un intervalo de confianza Calcule un intervalo de confianza

de σ, (con confianza=0,7; por ejemplo)de σ, (con confianza=0,7; por ejemplo)

use su extremo superior como σ si desea ser use su extremo superior como σ si desea ser cauteloso aunque el N obtenido sea grande.cauteloso aunque el N obtenido sea grande.

Pragmático: Pragmático: Úsese directamente el Úsese directamente el ss muestral muestral estimado si confía en la estimación preliminar, estimado si confía en la estimación preliminar, corriendo el riesgo de que el N sea subestimadocorriendo el riesgo de que el N sea subestimado

S

Tem

a 2.

Inf

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cia:

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tual

y P

or I

nter

valo

s Intervalo de confianza para la proporción de una población

nppzp /)ˆ1(ˆˆ 2/

elementosdetotalNúmero

condicioncumplenelemNump

___

___ˆ

Tem

a 2.

Inf

eren

cia:

Est

imac

ión

Pun

tual

y P

or I

nter

valo

s Intervalo de confianza para la proporción de una población

Un grupo de investigadores encontró que en una muestra de 591 pacientes en un hospital psiquiátrico, 204 pacientes admitieron que consumieron marihuana al menos una vez durante su vida. Se pretende construir un intervalo de confianza de 95% para la proporción de individuos que consumieron marihuana durante su vida en la población de internos del hospital.

Tem

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Inf

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Est

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ión

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tual

y P

or I

nter

valo

s Determinación del tamaño de la muestra para la estimación de proporciones

2

22/ )1(

E

ppzn

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y P

or I

nter

valo

s

Se planea realizar una encuesta para determinar qué proporción de familias en cierta área carece de servicio médicos. Se cree que la proporción no puede ser mayor que 0.35. Se desea un intervalo de confianza del 95% con E = 0.05. ¿Cuántas familias deben encuestarse?

Determinación del tamaño de la muestra para la estimación de proporciones

Tem

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Inf

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Est

imac

ión

Pun

tual

y P

or I

nter

valo

s Intervalo de Confianza de la Intervalo de Confianza de la VarianzaVarianza

Cuando se desea estimar la varianza teórica (σCuando se desea estimar la varianza teórica (σ22) )

a partir de una muestra de tamaño n, se debe a partir de una muestra de tamaño n, se debe

recurrir a la distribución recurrir a la distribución (Ji-cuadrado) (Ji-cuadrado)

con n-1 grados de libertad con n-1 grados de libertad La distribución considera la varianza muestral La distribución considera la varianza muestral

SS22::

2

2 S ) 1 - n ( Es una Es una con n-1 con n-1

grados de libertad.grados de libertad.

21n

21n

Tem

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y P

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s

Intervalo de Confianza de la Intervalo de Confianza de la VarianzaVarianza

De la ecuación anterior se deduce que :De la ecuación anterior se deduce que :

21

22

)1( nn

s

Tem

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y P

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s Intervalo de confianza para la varianza de una población

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y P

or I

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valo

s

Si sSi s22 es la varianza muestral de una muestra aleatoria de tamaño es la varianza muestral de una muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una distribución normal con varianza desconocida n, tomada de una distribución normal con varianza desconocida σσ22, , entonces, un intervalo de confianza del 100(1-entonces, un intervalo de confianza del 100(1-αα))% para % para σσ22 es: es:

donde X2α/2,n-1 y X2

1-α/2,n-1 son los puntos críticos superior e inferior respectivamente que corresponden a la probabilidad α/2 de la distribución ji-cuadrada con n-1 grados de libertad

21,2/1

22

21,2/

2 )1()1(

nn

snsn

Intervalo de confianza para la varianza de una distribución normal

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y P

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s

La técnica de estimación se aplica a n tanto grandes como pequeñas, siempre que se suponga que la población de la cual se seleccionó la muestra tiene aproximadamente, una distribución normal.

Intervalo de confianza para la varianza de una población

Supuesto:Supuesto:

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valo

s Intervalo de confianza para la varianza de una población

Un supervisor de control de calidad en una enlatadora Un supervisor de control de calidad en una enlatadora sabe que la cantidad exacta contenida en cada lata varía, sabe que la cantidad exacta contenida en cada lata varía, pues hay ciertos factores imposibles de controlar que pues hay ciertos factores imposibles de controlar que afectan la cantidad de llenado. El llenado medio por lata afectan la cantidad de llenado. El llenado medio por lata es importante, pero igualmente importante es la es importante, pero igualmente importante es la variación variación σσ22 de la cantidad de llenado. Si es grande de la cantidad de llenado. Si es grande algunas latas contendrán muy poco y otras demasiado. A algunas latas contendrán muy poco y otras demasiado. A fin de estimar la variación fin de estimar la variación σσ22 del llenado de la enlatadora, del llenado de la enlatadora, el supervisor escoge al azar 10 latas y pesa el contenido el supervisor escoge al azar 10 latas y pesa el contenido de cada una, obteniendo los siguientes pesos (en onzas):de cada una, obteniendo los siguientes pesos (en onzas):

7.96 7.90 7.98 8.01 7.97 7.96 8.03 8.02 8.04 8.027.96 7.90 7.98 8.01 7.97 7.96 8.03 8.02 8.04 8.02

Establezca un intervalo del 90% para la variación del Establezca un intervalo del 90% para la variación del llenado de las latasllenado de las latas

Tem

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s Intervalo de confianza para la varianza de una distribución normal

Se utiliza el término jitter o perturbación oscilatoria (www.canare.com.hk/ Tech%20Notes/Jitter.htm) para describir las variaciones en el tiempo de conducción de un sistema de energía modular de agua pulsada. Es indispensable que el jitter de transferencia sea bajo para que una tecnología de línea de agua tenga éxito. Una investigación del jitter de transferencia en el interruptor de abertura de plasma de un sistema prototipo produjo para el tiempo de conducción en n=18 pruebas, una media = 334.8 nanosegundos y s=6.3 nanosegundos .

•Establezca un intervalo de confianza de 95% para la verdadera desviación estándar de los tiempos de conducción del sistema prototipo.

•Se considera que un sistema tiene jitter de transferencia bajo si la verdadera desviación estándar del tiempo de conducción es menor que 7 nanosegundos ¿El sistema prototipo satisface este requisito?

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s

Un fabricante de detergente líquido está interesado en la uniformidad de la máquina utilizada para llenar las botellas. De manera específica, es deseable que la desviación estándar σ del proceso de llenado sea menor que 0.15 onzas de líquido; de otro modo, existe un porcentaje mayor del deseable de botellas con un contenido menor de detergente. Supóngase que la distribución del volumen de llenado es aproximadamente normal. Al tomar una muestra aleatoria de 20 botellas, se obtiene una varianza muestral s2 = 0.0153 (onzas de líquido)2. Con estos valores ¿podría usted afirmar que la desviación estándar del proceso es la deseable? Considere un intervalo superior de confianza del 95%.

Intervalo de confianza para la varianza de una distribución normal

22

1,

2)1(

nX

sn2

1,1

22 )1(

nX

sn

Cota de confianza inferior del (1-α)% Cota de confianza superior del (1-α)%

Tem

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valo

s Intervalo de confianza para el cociente de varianzas de dos distribuciones normales

Comparar varianzas

Se hace inferencia acerca del cociente o razón σ12/σ2

2

Tem

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s

Grados de libertad del numerador

Grados de libertad del denominador

Distribución F

Nx

Ny

FNx

Ny

1

12

1

21

Cociente de dos variables Chi-cuadrada divididas entre sus grados de libertad

Distribución F con Ny-1 y Nx-1 grados de libertad

Tem

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Tem

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y P

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s

Densidad de la Distribución F con r y s grados de libertad

Intervalo de confianza para el cociente de varianzas de dos distribuciones normales

Tem

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y P

or I

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valo

s

Si s12 y s2

2 son las varianzas muestrales de dos muestras aleatorias de tamaños n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales e independientes con varianzas σ1

2 y σ22 desconocidas,

entonces, un intervalo de confianza del 100(1-α)% para el cociente σ1

2/σ22 es:

donde fα/2,n2-1,n1-1 y f1-α/2,n2-1,n1-1 son los puntos críticos superior e inferior que corresponden al porcentaje α/2 de la distribución F con n2-1 y n1-1 grados de libertad en el numerador y denominador, respectivamente.

11,12,2/2

2

2

12

2

2

111,12,2/12

2

2

1 nnnn ff

ss

ss


Tem

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12,11,2/11,12,2/1

1

nnnn f

f

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s

Una empresa ha estado experimentando con dos disposiciones Una empresa ha estado experimentando con dos disposiciones físicas distintas de su línea de ensamble. A fin de obtener una físicas distintas de su línea de ensamble. A fin de obtener una disposición que permita un mayor control del proceso, usted disposición que permita un mayor control del proceso, usted sugiere que se adopte de manera permanente la disposición que sugiere que se adopte de manera permanente la disposición que exhiba la varianza más pequeña en el número de unidades exhiba la varianza más pequeña en el número de unidades terminadas producidas al día. Dos muestras aleatorias terminadas producidas al día. Dos muestras aleatorias independientes producen los siguientes resultados:independientes producen los siguientes resultados:

nn11 = 21 días = 21 días nn22=25 días =25 días ss1122 = 1.432 = 1.432 ss22

22=3.761=3.761

Establezca un intervalo de confianza del 95% para Establezca un intervalo de confianza del 95% para σσ1122//σσ22

22 , la razón , la razón

de las varianzas del número de unidades terminadas para las dos de las varianzas del número de unidades terminadas para las dos disposiciones de línea de ensamble. Con base en el resultado, disposiciones de línea de ensamble. Con base en el resultado, ¿cuál de las dos disposiciones recomendaría usted?¿cuál de las dos disposiciones recomendaría usted?


Tem

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y P

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Si el intervalo hubiese sido:

¿Cuál hubiese sido su conclusión?

55.1163.0 2

2

2

1

Tem

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y P

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s

Distribuciones en el muestreo Distribuciones en el muestreo asociadas a la Normalasociadas a la Normal

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y P

or I

nter

valo

s

Distribución T de Student Distribución T de Student Características Características

Nexo entre las medias muestral y teórica Nexo entre las medias muestral y teórica en una población normal.en una población normal.

Simétrica, como una normal aplastadaSimétrica, como una normal aplastada Cuando los grados de libertad (gl) crecen, Cuando los grados de libertad (gl) crecen,

la distribución t tiende a una Normal la distribución t tiende a una Normal Estándar.Estándar.

Si gl > 30 no se distingue de una normal Si gl > 30 no se distingue de una normal estándar estándar

Tem

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y P

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s

Distribución T de Student Distribución T de Student

Parámetros Parámetros gl (Grados de libertad)gl (Grados de libertad)

Variable aleatoriaVariable aleatoriaTT

Valor esperadoValor esperadoE(X)= 0 E(X)= 0

Varianza Varianza V(X) = gl/(gl-2) V(X) = gl/(gl-2) para gl > para gl >

2 2

Función de Función de distribución distribución acumulada en el SAS acumulada en el SAS PROBT(t,gl)PROBT(t,gl)

InversaInversaTINV(p, gl).TINV(p, gl).

Tem

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s

Gráfica Distribución T de Gráfica Distribución T de Student Student

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y P

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s

Distribución Ji-Cuadrado Distribución Ji-Cuadrado

Características Características Nexo entre las varianzas de la población Nexo entre las varianzas de la población

y la muestral.y la muestral. Suma de n Normales estándares Suma de n Normales estándares

elevadas al cuadradoelevadas al cuadrado Toma valores positivosToma valores positivos AsimétricaAsimétrica Se desplaza a la derecha en función de Se desplaza a la derecha en función de

los grados de libertad los grados de libertad

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y P

or I

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valo

s


Parámetros Parámetros gl (Grados de libertad)gl (Grados de libertad) Distribución gamma Distribución gamma

con parámetro de con parámetro de forma forma αα = gl/2 y = gl/2 y de escala de escala θθ = 2. = 2.

Valor esperadoValor esperadoE(X)= gl E(X)= gl

VarianzaVarianzaV(X)= 2gl V(X)= 2gl

Función de Función de distribución distribución acumulada en el SAS acumulada en el SAS PROBCHI(x, gl)PROBCHI(x, gl)

Inversa Inversa CINV(p, gl)CINV(p, gl)

Que es la más útil en el Que es la más útil en el muestreo; donde gl muestreo; donde gl significa grados de significa grados de libertad.libertad.

Tem

a 2.

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Pun

tual

y P

or I

nter

valo

s


inferencia: estimación puntual y por intervalos

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