estimación de parámetros de líneas de transmisión en sistemas eléctricos de potencia

Presenta: Ing. Omar Yamil Vidal León Romay

Ciudad de México, Junio de 2016

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

UNIDAD ZACATENCOSECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

Directores de tesis:Dr. David Romero Romero

M. en C. Jesús Reyes GarcíaQue para obtener el grado de:Maestro en Ciencias en Ingeniería Eléctrica

Desarrollar un algoritmo para la estimación de parámetros de líneas de transmisiónque procese un conjunto de mediciones del sistema eléctrico de potencia, use laformulación de mínimos cuadrados ponderados y además que incluya el análisis derobustez numérica de matrices, el proceso de detección de datos erróneos y el cálculode intervalos de confianza e indicadores de precisión de los parámetros estimados.Asimismo, desarrollar un algoritmo para la estimación de estado convencional queprocese un conjunto de mediciones del sistema eléctrico de potencia, use laformulación de mínimos cuadrados ponderados y además que incluya el análisis derobustez numérica de matrices y el proceso de detección de datos erróneos.

2

Desde que las estimaciones son obtenidas de ecuaciones que relacionan lasmediciones a las variables de estado (ecuaciones de flujos de potencia), cualquiererror de parámetro de línea puede afectar las estimaciones proporcionadas por elestimador de estado, ya que el proceso de estimación supone que todos losparámetros son conocidos y las emplea en el algoritmo de estimación de estado enforma iterativa para obtener un vector de estado del SEP.

Kusic y Garrison afirman que debido a las desviaciones de las condiciones idealessupuestas durante los cálculos de los parámetros de líneas de transmisión y pocasmediciones reales, los valores encontrados en las bases de datos de las empresaseléctricas presentan errores que pueden llegar a ser de hasta 25% a 30% comparadoscon los valores reales.

3

4

Posibles Causas

Datos de fabricación incorrectos

Cambios en la red que no se

actualizaron en la base de

datos

Desgaste de materiales

Parámetros dependientes

de la temperatura

Cambios en las condiciones con

las que se calculó el modelo 휋

5

Posibles consecuencias

Degradación de los resultados del

estimador de estado

Mediciones correctas son identificadas

como mediciones erróneas

Desconfianza del operador en los resultados del estimador de

estado

6

ESTIMACIÓN DE ESTADOCONVENCIONAL

7

1 1 1 2 1

2 2 1 2 2

1 2

( , , , )( , , , )

( )

( , , , )

n

n

m m n m

z h x x x ez h x x x e

z h x e

z h x x x e

2

1minimizar

sujeto a ( ) , 1, ,

m

ii ii

i i i

W r

z h x r i m

( ) ( ) ( )TJ x z h x W z h x

1( ) ( ) ( )k k T k kG x x H x W z h x

Modelo de medición no lineal

Problema a resolver

Función objetivo

Conjunto de ecuaciones normales

8

1

Lectura de datos

Inicializa el vector de estado

Forma la matriz de admitancia nodal

Forma la matriz de ponderación

Forma la matriz de incidencia elemento-nodo

INICIO

Añade error a las mediciones

Añade error a los parámetros de algunas

líneas

1

i=1, it

Calcula la función de mediciones

Calcula el vector de los residuales

Calcula la matriz Jacobiana de mediciones

Calcula el miembro derecho del conjunto de ecuaciones normales

Calcula la matriz de Ganancia

Resolver el conjunto de ecuaciones normales para el vector de incrementos de

los estados

Actualiza el vector de estado

Calcula el máximo valor absoluto del vector de incrementos

¿Máximo valor absoluto es menor a

una tolerancia?i=it

STOP

NoNo

Sí

Sí

Calcula la función objetivo

Calcula la transpuesta de la matriz Jacobiana de mediciones

2

Imprime los resultados del estudio de estimación de estado

FIN

Calcula las mediciones estimadas

Calcula los residuales de medición estimados

2

Figura 1: Diagrama de flujo del algoritmo de estimación de estado

convencional.

El vector de estado es:

9

1

2

2

3

k

k

kk N

k

k

kN

VV

Vx

p

pq

qp

pq

qp

p

p

V

P

P

z Q

Q

P

Q

El vector de mediciones es:

Es de dimensión 푛 × 1.Tal que 푛 = 2푁 − 1 y el nodo1 es el de referencia.

Es de dimensión 푚 × 1.Tal que 푚 = 푚푉 + 푚퐹푃퐴 +푚퐹푃푅 + 푚퐼푃퐴 + 푚퐼푃푅.

Figura 2: Estructura del vector de estado en la k-ésima

iteración. Figura 3: Estructura del vector de mediciones.

10

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

kp

kpq

kqp

k kpq

kqp

kp

kp

V x

P x

P x

h x Q x

Q x

P x

Q x

Es de dimensión 푚 × 1.Tal que 푚 = 푚푉 + 푚퐹푃퐴 + 푚퐹푃푅 + 푚퐼푃퐴 + 푚퐼푃푅.

Figura 4: Estructura de la función de mediciones en la k-ésima iteración.

11

1 2 3 2 3

3

4

1

2

1 0 0 0 0 0 0 0 ( )0 1 0 0 0 0 0 0 ( )0 0 1 0 0 0 0 0 ( )

0 0 0 1 0 0 0 0 ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )

k

k

k

kN

k k k kpq pq pq pq k

pqk kk kp qp

k k k k k k k

q

k kqp qp

k

N

kp

kNV V

V xV

V

xV x

V x

P x P x P x P xP x

V V

P x P xV

x

V

H

1

2

1

1

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

k kqp qp k

qpk kkp qq

k k k kpq pq pq pq k

pqk kk kp qp q

k k k kqp qp qp qp k

qpk kk k

k k

k k

p qp q

P x P xP x

V

Q x Q x Q x Q xQ x

V

P x P x

V

Q x Q x Q x Q xQ x

V

V V

V

1 1 1 1 11

2 2 2 2 2 2 2

2 3 43

2 3 41 2 3

2 3 41

22

3 3 3

3

3 3

2

3 3

k k k k k k

k k k kk kNN

k k k k k k k k

k k k kk k k kNN

k k k k k k k

k kk k k kN

N k

k

P x P x P x P x P x P xP

V V

P x P x P x P x P x P x P x P xP

V V V V

P x P x P x P x P x P x P x

V V V

x

V

x

2 3 41 2 3

33

1 1 1 1

2

1 1 1

3 411

2

2

2

3

1

2

k

k kN

k k k k k k k k

k k k kk k k kNN

k k k k k k k k

k k k kk k k k

k

N N N N N N N

NN

k

kN

N

k k

k

k

N

P xP

P x P x P x P x P x P x P x P xP

V V V V

Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q xQ

V V V V

Q x Q x

V V

x

x

x

2 2 2 2 2 22

3 3 3 3 3 3 3 3

2 3 43

2 3 41

2

32 3

21 3

k k k k k k

k k k kk kNN

k k k k k k k k

k k k kk k k kNN

k k k k

k

k

N N Nk k

kk k k kN

N N N

Q x Q x Q x Q x Q x Q xQ

V V

Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q xQ

V

x

xV V V

Q x Q x Q x Q x Q x Q x

V V V V

3 4

N N kk

k kN

N

k

k xQ x Q x

Q

Es de dimensión 푚 × 푛.

Tal que 퐻(푥 ) = ( ) y el nodo 1 es elde referencia.

Figura 5: Estructura de la matriz Jacobiana de mediciones en la k-

ésima iteración.

Especifica la importancia relativa de cada medición con respecto a las demás en ladeterminación del vector de estado.

12

21

212

2

1 0 0

10 0

10 0 0m

W R

Es de dimensión 푚 × 푚.

Figura 6: Estructura de la matriz de ponderación.

Es de dimensión 푛 × 푛. Viene dada por la siguiente ecuación.

13

( ) ( ) ( )k T k kG x H x WH x

Para que el conjunto de ecuaciones normales tenga solución única, la matriz deGanancia 퐺(푥 ) debe ser no singular. Para esto es necesario que la matriz Jacobianade mediciones 퐻(푥 ) sea de rango columna completo, si lo es, entonces se asegura que퐺(푥 ) es definida positiva y el conjunto de ecuaciones normales tiene solución única.

14

2

1

ˆ( )ˆ( )

mi i

i i

z h xJ x

ˆ( ( ))E J x m n

2 2( )ˆ[ ( ) ( )]E m nJ x m n

0 ˆ: ( ( ))H E J x m n

1 ˆ: ( ( ))H E J x m n

2,1m nC

Función objetivo evaluada con el estado estimado Distribución de 푱(풙)

Hipótesis consideradasLímite estadístico

15

Lectura de datos

¿Función objetivo evaluada con la estimación de estado es mayor o igual al

valor de la distribución chi-cuadrada?

FIN

INICIO

Calcula la función objetivo evaluada con la estimación de

estado

Llama a subrutina DCHIIN y obtén el valor de la distribución chi-cuadrada con

el nivel de confianza especificado

“Se han detectado datos erróneos”

“No se han detectado datos erróneos”

Realiza el estudio de estimación de estado de WLS

No

SíPara esta tesis se ocupó un nivelde confianza de 95%.

Figura 7: Diagrama de flujo de la prueba 휒 .

16

iNi

ii

rr

SR

0 : ( ) 0NiH E r

1 : ( ) 0NiH E r

Distribución de 풓풊푵

Hipótesis consideradas

Residual normalizado de la i-ésima medición

ˆ( )i i ir z h x ( ) 0NiE r

1( )N N Ti iE r r

17

Lectura de datos

¿Máximo residual normalizado es mayor a un límite estadístico

propuesto?

FIN

INICIO

Calcula los residuales normalizados de medición

Encuentra el máximo residual normalizado

“Se han detectado datos erróneos”

“No se han detectado datos erróneos”

Realiza el estudio de estimación de estado de WLS

No

SíPara esta tesis se ocupó 퐶 = 3para un nivel de confianza de99.73%.

Figura 8: Diagrama de flujo de la prueba 푟 .

18

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROSDE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

19

1 1 2 1 21 1

2 1 2 1 22 2

1 2 1 2

( , , , , , , , )

( , , , , , , , )( , )

( , , , , , , , )

n np

n np

m mm n np

h x x x pl pl plz eh x x x pl pl plz e

z h x pl e

z eh x x x pl pl pl

2

1minimizar

sujeto a ( ) , 1, ,

m

ii ii

i i aum i

W r

z h x r i m

( ) ( ) ( )Taum aum aumJ x z h x W z h x

1( ) ( ) ( )k k T k kaum aum aum aum aum aumG x x H x W z h x

Modelo de medición no lineal para el estimador de parámetros

Problema a resolver

Función objetivo para el modelo aumentado

Conjunto de ecuaciones normales para el modelo aumentado

20

1

Lectura de datos

Inicializa el vector de estado aumentado


Forma la matriz de ponderación

Forma la matriz de incidencia elemento-nodo

INICIO

Añade error a las mediciones

Añade error a los parámetros de algunas

líneas

1

i=1, it

Calcula la función de mediciones

Calcula el vector de los residuales

Calcula la matriz Jacobiana aumentada

Calcula el miembro derecho del conjunto de ecuaciones normales

Calcula la matriz de Ganancia aumentada

Resolver el conjunto de ecuaciones normales para el vector de

incrementos aumentadoActualiza el vector

de estado aumentado

Calcula el máximo valor absoluto del vector de incrementos aumentado

¿Máximo valor absoluto es menor a

una tolerancia?i=it

STOP

NoNo

Sí

Sí

Calcula la función objetivo

Calcula la transpuesta de la matriz Jacobiana aumentada

i=1

Realiza una iteración de estimación de

estado convencional

Actualiza los vectores de admitancia serie y admitancia en derivación con los valores estimados de parámetros


Sí No

2

2

Imprime los resultados del estudio de estimación de parámetros

Calcula las mediciones estimadas

Calcula los residuales de medición estimados

Actualiza los vectores de admitancia serie y admitancia en derivación con los valores estimados de parámetros


FIN

Figura 9: Diagrama de flujo del algoritmo de estimación de parámetros.

21

El vector de estado aumentado es: La función de mediciones es:

Es de dimensión (푛 + 푛 ) × 1Tal que 푛 = 2푁 − 1 y el nodo1 es el de referencia.

Es de dimensión 푚 × 1Tal que 푚 = 푚푉 + 푚퐹푃퐴 +푚퐹푃푅 + 푚퐼푃퐴 + 푚퐼푃푅.

1

2

2

3

k

k

kNk

k

kaum

kN

kpqkpq

kshpq

VV

V

x

gb

b

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

kp aum

kpq aum

kqp aum

k kaum pq aum

kqp aum

kp aum

kp aum

V x

P x

P x

h x Q x

Q x

P x

Q x

Figura 10: Estructura del vector de estado aumentado

en la k-ésima iteración.

Figura 11: Estructura de la función de mediciones para el

modelo aumentado en la k-ésimaiteración.

22

Es de dimensión 푚 × (푛 + 푛 )Tal que 퐻 (푥 ) =

( ) ( ) y el nodo 1 es el dereferencia.

1 2 3

1

2 3 4

2

3

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ( )

( ) (

( )

kk k shpq pq pq

kaum

kaum

kaum

kN aum

kpq aum pq aum

kp

kaum a

k k k k

u

k k k kN N

m

g b b

V x

V x

V x

V x

P x P xV

V V

H x

V V

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

k k k k k kpq aum pq aum pq aum pq aum pq aum k

pq aumkk k k kk shp q pq pqq pq

k k k k kqp aum qp aum qp aum qp aum qp aum qp a

k k kk kp q pqp q

P x P x P x P x P xP x

g bV b

P x P x P x P x P x P xgV V

) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

(

k kum qp aum k

qp aumkk shpq pq

k k k k k k kpq aum pq aum pq aum pq aum pq aum pq aum pq aum k

pq aumkk k k kk k shp q pq pqp q pq

qp aum

P xP x

b b

Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q xQ x

g bV V b

Q x

2 3

1 1 1

3

1 1

2

1

1

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

k k k k k k kqp aum qp aum qp aum qp aum qp aum qp aum k

qp aumkk k k kk k shp q pq pqp q pq

k k k k k kaum aum aum aum a

k kk k k k

u

N

um a m

Q x Q x Q x Q x Q x Q xQ x

g b

P x P x P x P x P x P x

V V V V

V V b

1 1 1 1 11

2 2 2

4

2 3 41 2

2 2 2 2 2 2 2

3

k k k k kaum aum aum aum aum k

aumkk k shpq pq pq

k k k k k k k k k kaum aum aum

k kN

k k k kk k k

aum aum aum aum aum aum aumk kpq pq

kNN

P x P x P x P x P xP x

b

P x P x P x P x P x P x P x P x P x P x

V

g b

V V g bV

2 3 41

22

3 3 3 3 3

2 3

3 3 3 3 3 33

1

kaum k

aumkshpq

k k k k k k k k k k kaum aum aum aum aum aum aum aum aum aum aum k

aumkk k shpq pq pq

kN aum

k k k kk k k kNN

k

P xP x

P x P x P x P x P x P x P x P x P x P x P xP x

bV V V V

P x P

V

b

g b

2 3 42 3

21 2 3

1 1 1 1 1 1

k k k k k k k k k kN aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum k

N aumkkk k k kk k kNN

kk k

k shpq pq pq

k k k k kaum aum aum aum au

k

m a

kN

x P x P x P x P x P x P x P x P x P xP x

bV V V

Q x Q x Q x Q x Q x Q x

V V V V

g b

1 1 1 1 11

2 2 2

3 4

2 3

2 2 2 2 2 2 2

41 2 3

k k k k k kum aum aum aum aum aum k

aumkk k shpq pq pq

k k k k k k k k kaum aum aum aum aum aum a

k k kN

k k k kk k

um aum aum

k kNN

aukpq

Q x Q x Q x Q x Q xQ x

b

Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x

V V gV

g b

V

22

3 3 3 3 3 3 3 3

2 3 41 2 3

3 3 33

k km aum k

aumkk shpq pq

k k k k k k k k k k kaum aum aum aum aum aum aum aum aum aum aum k

aumkk k k k shpq pq pq

N

k kk k k kNN

au

Q xQ x

b

Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q xQ x

bV V V V

Q x

b

g b

2 3 41 2 3

k k k k k k k k k k km N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum N aum k

N aumkk k shpq p

k k k kq pq

k k k kNN

Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q x Q xQ x

bV V gV bV

Figura 12: Estructura de la matriz Jacobiana aumentada

en la k-ésima iteración.

23

( ) ( ) ( )k T k kaum aum aum aum aum aumG x H x WH x

Es de dimensión (푛 + 푛 ) × (푛 + 푛 ). Viene dada por la siguiente ecuación.

Una red es observable con respecto a la estimación simultánea de estado yparámetros si y solo si la matriz Jacobiana aumentada 퐻 (푥 ) es de rangocolumna completo. Si lo es, entonces se asegura que 퐺 (푥 ) es no singular y elconjunto de ecuaciones normales tiene solución única.

Teorema 1. Sea 퐴 ∈ ℝ × , entonces existe una matriz ortogonal 푈 ∈ ℝ × , unamatriz ortogonal 푉 ∈ ℝ × y una matriz diagonal 훴 ∈ ℝ × tales que:

24

TA U V

De donde 훴 = 푆 00 0 , 푆 = 푑푖푎푔(휎 , … ,휎 )휖ℝ × y 휎 ≥ 휎 ≥ ⋯ ≥ 휎 > 0. En el que su

versión abreviada es:

11 11 2

2

00 0

TT

T

S VA U SVU U

V

Los tamaños de las submatrices son determinados por 푟 (el cual debe ser ≤푚푖푛 푚,푛 ), es decir, 푈 ∈ ℝ × , 푈 ∈ ℝ ×( ), 푉 ∈ ℝ × , 푉 ∈ ℝ ×( ) y los bloquesde 0 en Σ presentan dimensiones adecuadas

25

( )rank A r

Ax b

max

min

( )( )( )Acond AA

max ( ) Máximo valor singular de A A

min ( ) Mínimo valor singular de A A

min

max

( ) 1( )( ) ( )ADR AA cond A

Rango de una matriz

Número de condición de una matriz

Distancia relativa a la singularidad de una matriz

26

Lectura de datos

FIN

INICIO

Llama a subrutina DLSVRR y obtén la SVD de la matriz Jacobiana aumentada y

la matriz de Ganancia aumentada de la ultima iteración

Calcula el rango numérico de la matriz Jacobiana aumentada y la matriz de Ganancia

aumentada de la ultima iteración

Imprime los resultados del análisis de robustez numérica

Realiza el estudio de estimación de parámetros por el aumento del vector de

estado usando ecuaciones normales

Calcula el número de condición de la matriz de Ganancia aumentada de la

ultima iteración

Calcula la distancia relativa a la singularidad de la matriz de Ganancia

aumentada de la ultima iteración

Figura 13: Diagrama de flujo del algoritmo de análisis de

robustez numérica.

27

2ˆii

pii

pl plTc

2 ˆ ˆ( ) ( ) ˆ( )ˆ

Taum aum aum

p p

z h x W z h x J xn n n nm m

2 2, ( ) , ( )2 2

ˆ ˆi i ii im n n m n np ppl t c pl pl t c

Distribución t de las estimaciones de parámetros

Valor estimado de la varianza de error

Intervalo de confianza del parámetro 풑풍풊

28

,max ,min

2i i

ii

bpl

2

, ( )2

ˆ ii m n np

i

cb tpl

1 min( ,1)i iI b

Desviación máxima de la estimación

Desviación máxima en función de la distribución t

Indicador de precisión del i-ésimoparámetro estimado

29

Lectura de datos

FIN

INICIO

Llama a subrutina DTDF y obtén la distribución t con el nivel de confianza

especificado

Calcula los intervalos de confianza de los parámetros

Imprime los intervalos de confianza y los indicadores de

precisión

Realiza el estudio de estimación de parámetros por el aumento del vector de

estado usando ecuaciones normales

Calcula los indicadores de precisión de la estimación de parámetros

Calcula la inversa de la matriz de Ganancia aumentada de la última

iteración del estimador de parámetros

Calcula el valor estimado de la varianza de error

Figura 14: Diagrama de flujo del algoritmo de cálculo de intervalos

de confianza e indicadores de precisión.

Para esta tesis se ocupó unnivel de confianza de 95% yun nivel de relevancia del 5%.

30

RESULTADOS

Se tomó en cuenta una tolerancia de ퟏ × ퟏퟎ ퟓ para el criterio de convergencia yuna potencia base de 100 MVA.

Asimismo, se consideraron errores de mediciones de hasta ±ퟐ% con unadistribución normal y se simulan errores de parámetros de +ퟑퟎ% con respecto alos valores nominales encontrados en los datos de parámetros de red del SEP.

Se consideraron las siguientes desviaciones estándar para los dispositivos demedición: Para mediciones de magnitudes de voltaje 휎 = 0.014. Para mediciones de flujos de potencia 휎 = 0.028. Para mediciones de inyecciones de potencia 휎 = 0.030. Para mediciones de inyecciones cero 휎 = 0.012.

31

El sistema cuenta con: 39 nodos de los cuales 12 son

nodos de paso. 10 generadores. 34 líneas. 12 transformadores (taps fuera

del nominal).

32

1

3

30 5

1113

35

36

37

38

34

2 3314

3239

1831

10 25

8

26

27

2829

24

6

2221

1617

15

19

20

4

23

7[E1]

[E2]

[E3]

[E4]

[E5]

[E6]

[E7]

[E8]

[E9] [E10]

9

[E11]

[E12]

12

[E13]

[E14]

[E15]

[E16]

[E17]

[E18][E19]

[E20]

[E21]

[E22]

[E23]

[E24][E25]

[E26]

[E27]

[E28]

[E29]

[E30]

[E31]

[E32][E33]

[E34][E35]

[E36]

[E37]

[E38][E39]

[E40]

[E41]

[E42]

[E43] [E44]

[E45]

[E46]

Figura 15: Diagrama unifilar del sistema Nueva Inglaterra

de 39 nodos.

El conjunto de mediciones comprende: 39 mediciones de magnitudes de

voltaje. 92 mediciones de flujos de potencia

activa. 92 mediciones de flujos de potencia

reactiva. 39 mediciones de inyecciones de

potencia activa (de los cuales 12son de inyección cero).

39 mediciones de inyecciones depotencia reactiva (de los cuales 12son de inyección cero).

33Figura 16: Esquema de 301

mediciones del sistema Nueva Inglaterra de 39 nodos.

1

3

305

1113

35

36

37

38

342

33 14

3239

18

31

10 25

8

26

27

28 29

24

6

2221

16

17

15

19

20 4

23

7

9

12

34

1

3

305

1113

35

36

37

38

342

33 14

3239

18

31

10 25

8

26

27

28 29

24

6

2221

16

17

15

19

20 4

23

7

9

12

Errores de +30%en las líneas 15-16y 21-22

Figura 17: Esquema de 301 mediciones con líneas erróneas

para el caso 1.

35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 390.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

Comparación de las Magnitudes de Voltajes NodalesCorrectos y Estimados Para el Caso 1

Nodos

|V p| (

pu)

CorrectoCon Errores de Parámetros

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Porcentajes de Error de las Magnitudes de Voltajes Nodales Para el Caso 1

Nodos

Err

or |V

p| (%

)

% Error

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Comparación de los Ángulos de Fase NodalesCorrectos y Estimados Para el Caso 1

Nodos

p (°

)


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39-50

0

50

100

150

200

Porcentajes de Error de los Ángulos de Fase Nodales Para el Caso 1

Nodos

Err

or

p (%

)

% Error

Resultados de la Estimación de Estado Convencional

36

Tabla 1 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.

흈풎풂풙 푯(풙) 흈풎풊풏 푯(풙) 풓풂풏풌 푯(풙)1307.792297 1.704713 77

Tabla 2 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.

흈풎풂풙 푮(풙) 흈풎풊풏 푮(풙) 풓풂풏풌 푮(풙) 풄풐풏풅 푮(풙) 푫푹 푮(풙)8081269023.834400 7852.688502 77 1029108.568625 0.000000971715

Resultados de Robustez Numérica de la Estimación de Estado Convencional

Prueba 흌ퟐ de la Estimación de Estado ConvencionalTabla 3 Prueba 휒2 para el caso 1 tomando en cuenta los valores

de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.Distribución 흌ퟐ Función Objetivo ¿Datos Erróneos?

259.912993 1360.428113 Sí

37

Prueba 풓푵 de la Estimación de Estado Convencional

1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197 211 225 239 253 267 281 2950

3

6

9

12

15

Residuales Normalizados de las Mediciones Para el Caso 1

Número de Medición

r N

rN

Tabla 4 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20 y 29.

Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos?3 16.233122 Sí

38

Tabla 5 Resultados del estudio de estimación de parámetros de los elementos 20 y 29 para el caso 1.

Parámetro 풓ퟏퟓ ퟏퟔ 풙ퟏퟓ ퟏퟔ 풃ퟏퟓ ퟏퟔ풔풉

Valor Inicial (pu) 0.001170 0.012220 0.111150Valor Estimado (pu) 0.000907 0.009363 0.084472Valor Correcto (pu) 0.000900 0.009400 0.085500

% Error de Estimación 0.744231 -0.396114 -1.202646Parámetro 풓ퟐퟏ ퟐퟐ 풙ퟐퟏ ퟐퟐ 풃ퟐퟏ ퟐퟐ

풔풉


% Error de Estimación 0.502220 -0.108659 -1.215385

Tabla 6 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la estimación de parámetros los elementos 20 y 29 para el caso 1.

흈풎풂풙 푯풂풖풎(풙풂풖풎) 흈풎풊풏 푯풂풖풎(풙풂풖풎) 풓풂풏풌 푯풂풖풎(풙풂풖풎)1308.620000 0.010000 83

Tabla 7 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de parámetros los elementos 20 y 29 para el caso 1.흈풎풂풙 푮풂풖풎(풙풂풖풎) 흈풎풊풏 푮풂풖풎(풙풂풖풎) 풓풂풏풌 푮풂풖풎(풙풂풖풎) 풄풐풏풅 푮풂풖풎(풙풂풖풎) 푫푹 푮풂풖풎(풙풂풖풎)2007850000.000000 0.181948 83 11035275719.779600 0.000000000091

Resultados de la Estimación de Parámetros

Resultados de Robustez Numérica de la Estimación de Parámetros

39

Tabla 8 Prueba 휒2 para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20 y 29.

Distribución 흌ퟐ Función Objetivo ¿Datos Erróneos?259.912993 65.389195 No

Tabla 9 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1 tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20 y 29.

Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos?3 2.570851 No

Intervalos de Confianza e Indicadores de Precisión de los Parámetros Estimados

Prueba 풓푵 de la Estimación deParámetros

Tabla 10 Intervalos de confianza e indicadores de precisión de parámetros estimados de los elementos 20 y 29 para el caso 1.

Parámetro 품ퟏퟓ ퟏퟔ 풃ퟏퟓ ퟏퟔ 풃ퟏퟓ ퟏퟔ풔풉

Valor Inicial (pu) 7.763908 -81.089708 0.111150Valor Estimado (pu) 10.247089 -105.813716 0.084472

Intervalo de Confianza (pu) (9.593581, 10.900598) (-106.448098, -105.179334) (0.080143, 0.088800)Indicador de Precisión 0.936225 0.994005 0.948756

Parámetro 품ퟐퟏ ퟐퟐ 풃ퟐퟏ ퟐퟐ 풃ퟐퟏ ퟐퟐ풔풉


Intervalo de Confianza (pu) ( 3.921214, 4.273819) (-71.444662, -71.096725) (0.122568, 0.130814)Indicador de Precisión 0.956973 0.997559 0.967457

Prueba 흌ퟐ de la Estimación deParámetros

40

1

3

305

1113

35

36

37

38

342

33 14

3239

18

31

10 25

8

26

27

28 29

24

6

2221

16

17

15

19

20 4

23

7

9

12

Errores de +30%en las líneas 15-16,16-21 y 21-22

Figura 18: Esquema de 301 mediciones con líneas erróneas

para el caso 1A.

41

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 390.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

Comparación de las Magnitudes de Voltajes NodalesCorrectos y Estimados Para el Caso 1A

Nodos

|V p| (p

u)


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Porcentajes de Error de las Magnitudes de Voltajes Nodales Para el Caso 1A

Nodos

Err

or |V

p| (%

)

% Error

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Comparación de los Ángulos de Fase NodalesCorrectos y Estimados Para el Caso 1A

Nodos

p (°

)


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39-50

0

50

100

150

200

250

300Porcentajes de Error de los Ángulos de Fase Nodales Para el Caso 1A

Nodos

Err

or

p (%

)

% Error

Resultados de la Estimación de Estado Convencional

42

Resultados de Robustez Numérica de la Estimación de Estado Convencional

Prueba 흌ퟐ de la Estimación de Estado Convencional

Tabla 11 Robustez numérica de la matriz Jacobiana de mediciones para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29.

흈풎풂풙 푯(풙) 흈풎풊풏 푯(풙) 풓풂풏풌 푯(풙)1307.361643 1.711120 77

Tabla 12 Robustez numérica de la matriz de Ganancia para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29.

흈풎풂풙 푮(풙) 흈풎풊풏 푮(풙) 풓풂풏풌 푮(풙) 풄풐풏풅 푮(풙) 푫푹 푮(풙)8076066999.765720 7879.674654 77 1024923.915594 0.000000975682

Tabla 13 Prueba 휒2 para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29.

Distribución 흌ퟐ Función Objetivo ¿Datos Erróneos?259.912993 2596.05793 Sí

43

Prueba 풓푵 de la Estimación de Estado Convencional

1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197 211 225 239 253 267 281 2950

3

6

9

12

15

18

21

24Residuales Normalizados de las Mediciones Para el Caso 1A

Número de Medición

r N

rN

Tabla 14 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros perturbados de los elementos 20, 23 y 29.

Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos?3 23.048502 Sí

44

Resultados de la Estimación de ParámetrosTabla 15 Resultados del estudio de estimación de parámetros

para los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A.Parámetro 풓ퟏퟓ ퟏퟔ 풙ퟏퟓ ퟏퟔ 풃ퟏퟓ ퟏퟔ

풔풉


% Error de Estimación 0.553599 -0.395387 -1.123428Parámetro 풓ퟏퟔ ퟐퟏ 풙ퟏퟔ ퟐퟏ 풃ퟏퟔ ퟐퟏ

풔풉


% Error de Estimación 177.049632 -5.187440 -3.172012Parámetro 풓ퟐퟏ ퟐퟐ 풙ퟐퟏ ퟐퟐ 풃ퟐퟏ ퟐퟐ

풔풉

Valor Inicial (pu) 0.001040 0.018200 0.166725Valor Estimado (pu) -0.000025 0.014283 0.129972Valor Correcto (pu) 0.000800 0.014000 0.128250

% Error de Estimación -103.186137 2.020960 1.342677

45

Resultados de Robustez Numérica de la Estimación de Parámetros

Tabla 16 Robustez numérica de la matriz Jacobiana aumentada de la estimación de parámetros los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A.

흈풎풂풙 푯풂풖풎(풙풂풖풎) 흈풎풊풏 푯풂풖풎(풙풂풖풎) 풓풂풏풌 푯풂풖풎(풙풂풖풎)1308.370000 0.000300 86

Tabla 17 Robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de la estimación de parámetros los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A.흈풎풂풙 푮풂풖풎(풙풂풖풎) 흈풎풊풏 푮풂풖풎(풙풂풖풎) 풓풂풏풌 푮풂풖풎(풙풂풖풎) 풄풐풏풅 푮풂풖풎(풙풂풖풎) 푫푹 푮풂풖풎(풙풂풖풎)2007090000.000000 0.000123 86 16281006136940.30000 0.0000000000000614

Prueba 풓푵 de la Estimación deParámetros

Prueba 흌ퟐ de la Estimación deParámetros

Tabla 18 Prueba 휒2 para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20, 23 y 29.Distribución 흌ퟐ Función Objetivo ¿Datos Erróneos?

259.912993 64.414264 No

Tabla 19 Prueba de los residuales normalizados para el caso 1A tomando en cuenta los valores de parámetros estimados de los elementos 20, 23 y 29.

Límite Máximo Residual Normalizado ¿Datos Erróneos?3 2.569834 No

46

Intervalos de Confianza e Indicadores de Precisión de los Parámetros Estimados

Tabla 20 Intervalos de confianza e indicadores de precisión de parámetros estimados de los elementos 20, 23 y 29 para el caso 1A.

Parámetro 품ퟏퟓ ퟏퟔ 풃ퟏퟓ ퟏퟔ 풃ퟏퟓ ퟏퟔ풔풉



Parámetro 품ퟏퟔ ퟐퟏ 풃ퟏퟔ ퟐퟏ 풃ퟏퟔ ퟐퟏ풔풉



Parámetro 품ퟐퟏ ퟐퟐ 풃ퟐퟏ ퟐퟐ 풃ퟐퟏ ퟐퟐ풔풉

Valor Inicial (pu) 3.129499 -54.766226 0.166725Valor Estimado (pu) -0.124945 -70.013401 0.129972

Intervalo de Confianza (pu) (-1.360668, 1.110779) (-80.250543, -59.776259) (0.095852, 0.164092)Indicador de Precisión 0.000000 0.853783 0.737480

47

CONCLUSIONES YAPORTACIONES

De los resultados del estimador de estado convencional para el caso 1 y 1A delsistema Nueva Inglaterra de 39 nodos se concluye que al usar el estimador de estadoconvencional contemplando valores de parámetros de líneas perturbados conporcentajes de error de +30%, se obtienen porcentajes de error de variables de estadoque son mayores en los ángulos de fase estimados en comparación de las magnitudesde voltajes nodales estimados. En estos casos se obtuvieron los mayores errores devariables de estado en los nodos cercanos a las líneas con parámetros erróneos, perono únicamente en los nodos a los que están conectados dichas líneas.

De la prueba 푟 (residuales normalizados) del caso 1 y 1A del sistema NuevaInglaterra de 39 nodos se concluye que los residuales normalizados que sobrepasan ellímite de 3 para un nivel de confianza de 99.73% corresponderán a las medicionescercanas a las líneas con parámetros erróneos, pero no únicamente a las medicionesde dichas líneas.

48

Del caso 1 y 1A del sistema Nueva Inglaterra se concluye que el máximo residualnormalizado 푟 obtenido de la prueba 푟 no siempre corresponderá a una mediciónde una línea con parámetros erróneos pero si al de una línea cercana a las quepresentan errores de parámetros.

Se concluye que tener la menor cantidad de mediciones no significa tener una menorrobustez ya que pueden existir diferentes cantidades de nodos de paso y es por lasmediciones de inyecciones cero en estos nodos que pueden influir en la determinacióndel caso menos robusto para un sistema.

49

Se concluye que solamente contando con mediciones de magnitudes de voltaje ymediciones de inyecciones de potencia (en el conjunto de mediciones) no es posibledetectar la presencia de líneas con parámetros erróneos usando la prueba 휒 (chi-cuadrada) y la prueba 푟 (residuales normalizados).

Se concluye del caso 1 del sistema Nueva Inglaterra que al realizar la estimación deparámetros por el aumento del vector de estado usando ecuaciones normales seincrementa el número de condición de la matriz de Ganancia aumentada 퐺 (푥 )en comparación de la matriz de Ganancia 퐺(푥) para el estimador de estadoconvencional como consecuencia de agregar nuevas columnas que corresponden a losparámetros de líneas que se van a estimar.

50

Se concluye que a pesar de que en las pruebas se tienen matrices de rango columna completo,asegurando la observabilidad del Sistema Eléctrico de Potencia (SEP), las estimaciones proporcionadaspor el estimador de parámetros no son siempre buenas debido al mal condicionamiento de matrices comose vio en el caso 1A del sistema Nueva Inglaterra. A medida que aumenta el número de parámetros aestimar, se incrementa el número de condición 푐표푛푑[퐺 (푥 )] y disminuye la distancia relativa a lasingularidad 퐷푅[퐺 (푥 )] de la matriz de Ganancia aumentada 퐺 (푥 ) para el estimador deparámetros. Esto se ve reflejado en un incremento en las iteraciones del proceso de estimación deparámetros para llegar a la convergencia del método.

Del caso 1A del sistema Nueva Inglaterra, se observó que el estimador de parámetros de líneas detransmisión puede proporcionar valores de parámetros estimados irrazonables con porcentajes de errormayores del que se comenzó el proceso de estimación y aun así la función objetivo se minimiza y laspruebas de detección de datos erróneos fallan en detectar errores de parámetros. Los cálculos de losintervalos de confianza y de los indicadores de precisión presentados en esta tesis proporcionan unaherramienta para decidir que parámetros deben ser corregidos con las estimaciones de parámetros quese obtuvieron. Los parámetros que tienen posibilidad de error y con un buen indicador de precisión sonlos que deben corregirse con los valores de parámetros estimados. Debido al mal condicionamiento de lamatriz de Ganancia aumentada 퐺 (푥 ) que se genera al estimar un gran número de parámetros serecomienda tomar en cuenta un indicador de precisión mayor a 0.90 para la corrección de los parámetrosde líneas de transmisión.

51

El algoritmo desarrollado en esta tesis es válido para la estimación de los parámetrosde una o varias líneas simultáneamente, pero es necesaria una redundanciaadecuada (como la redundancia del caso 1 o caso 1A del sistema Nueva Inglaterra de39 nodos) usando el método que aumenta el vector de estado, esto es ya que losparámetros de las líneas se consideran nuevas variables de estado a estimar y porconsiguiente los grados de libertad se reducen en el proceso de estimación deparámetros.

52

Se programó el algoritmo de estimación de estado convencional y el algoritmo deestimación de parámetros de líneas de transmisión por el aumento del vector deestado usando ecuaciones normales. Por lo que se proporcionan los programas parano solo estimar el estado del sistema, sino también para estimar valores deparámetros de líneas de transmisión que no son directamente medidos en un SEP. Elprograma de estimación de parámetros puede estimar los parámetros deconductancia serie, susceptancia serie y susceptancia en derivación (sobre dos) delíneas de transmisión a partir de datos de mediciones de magnitudes de voltaje, flujosde potencia (activa y reactiva) e inyecciones de potencia (activa y reactiva), ademásde que es capaz de simular mediciones de inyecciones cero en nodos de paso.

Se desarrollaron dos subrutinas para la detección de datos erróneos, los cuales son laprueba 휒 (chi-cuadrada) y la prueba 푟 (residuales normalizados). Con esto sepueden detectar la presencia de líneas con parámetros erróneos en caso de queexistan en la base de datos de los elementos del SEP.

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Se programó una subrutina que analiza la robustez numérica de las matrices involucradas en elproceso de estimación de estado convencional y en el proceso de estimación de parámetros usandola Descomposición de Valores Singulares. Con esto se proporciona una herramienta que calcula elrango numérico y un número que indica el mal condicionamiento que puede tener la matriz deGanancia 퐺(푥) y la matriz de Ganancia aumentada 퐺 (푥 ) de la última iteración del procesode estimación, además de mostrar la cercanía de estas matrices a la singularidad. Esto es de granimportancia en el proceso de estimación ya que puede ocasionar un retardo en la convergencia delmétodo y además puede ocasionar malas estimaciones.

Se desarrolló una subrutina que calcula los intervalos de confianza y los indicadores de precisiónde los parámetros estimados. Con esta herramienta el usuario puede evaluar los resultados y laprecisión de la estimación de parámetros. Con los intervalos de confianza se pueden definir losparámetros con posibilidad de error que deben ser corregidos y por otra parte los indicadores deprecisión proporcionan información cuantitativa acerca de la precisión de la estimación deparámetros. Esto se realiza ya que la estimación de parámetros puede proporcionar resultadosincorrectos como resistencias negativas o valores de parámetros muy grandes aun cuando lafunción objetivo se minimiza.

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GRACIAS POR SU ATENCIÓN

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estimación de parámetros de líneas de transmisión en sistemas eléctricos de potencia

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