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El Valor del dinero en tiempoAutor: LUIS FLORES CEBRIAN

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La tasa de Interés, el interés, la tasa activa, tasa pasiva, tasa vencida, tasaadelantada... En este curso, originalmente titulado 'El valor del dinero en tiempo",veremos definiciones de economía relacionadas con las tasas de interés.

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1. Tasa de interés[http://www.mailxmail.com/curso-valor-dinero-tiempo/tasa-interes]

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Facultad de Ciencias Administrativas

EAP Administración de Negocios Internacionales

El Valor del dinero en tiempo

- La Tasa de Interés

- Interés efectivo, nominal y proporcional

- El Valor Futuro

- El Valor Actual

Luis Flores Cebrián

1.1 CONCEPTO

El INTERÉS ( I ), es el beneficio monetario obtenido por el uso de un capital propioo el coste por el uso del capital ajeno durante determinado período de tiempo y alcual se aplica una determinada tasa . Se expresa en términos monetarios



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La TASA DE INTERÉS ( i ), es la expresión del interés como una fracción proporcionaldel capital inicial. Se expresa en porcentaje generalmente a término anual

1.2 CLASIFICACIÓN DE LAS TASAS DE INTERÉS

De acuerdo a la nomenclatura bancaria

Tasa activa : es aquella que se aplica a las operaciones de colocación de fondos víaprestamos (descuentos, créditos ordinarios, creditos hipotecarios, etc.)

Tasa pasiva ; es aquella que el banco paga a los depositantes o ahorristas por lacaptación de depósitos ( ahorros, cuentas corrientes, depósitos a plazo, etc.)

De acuerdo al momento en que se cobran los intereses :

Tasa vencida (i) : es aquella tasa que se aplica al vencimiento del plazo de laoperación pactada , es un cálculo racional pues presupone el paso del tiempo comorequisito para el cobro de intereses

Tasa adelantada (d) : es aquella que se descuenta del capital antes del transcursodel tiempo . Determina en cuanto disminuye un valor nominal de un título valor(valor actual)

De acuerdo al cumplimiento de la obligación :

Tasa compensatoria : es la contraprestación por el uso del dinero, es la tasacorriente tanto para operaciones de crédito como de captación de fondos

Tasa moratoria : es aquella que se aplica al incurrir el prestatario en atraso en elpago de sus obligaciones.

Considerando el valor del dinero en el tiempo

Tasa efectiva ( i ) : es aquella que efectivamente se paga o cobra en una transacciónfinanciera. No considera el efecto de la inflación

Tasa real ( r ) : es aquella que considera el efecto del la inflación (IPC) pues éstefenómeno económico afecta la capacidad adquisitiva del dinero . Su expresión es :

Según el efecto de la capitalización

Tasa nominal ( j ) : Se aplica a operaciones de interes simple y es susceptible deproporcionalizarse ( dividirse o multiplicarse ) j / m veces al año.

Tasa efectiva ( i ) : Es aquella que se obtiene a partir de una tasa nominal yconsidera el efecto de la capitalización (m).






2. Interés nominal. interés efectivo[http://www.mailxmail.com/curso-valor-dinero-tiempo/interes-nominal-interes-efectivo]

2.1. TASA NOMINAL ( j )

Es la tasa de interés que generalmente se refiere a una tasa anual y que esfraccionada según el número de capitalizaciones.

Se aplica a operaciones de interés simple y es susceptible de proporcionalizarse(dividirse o multiplicarse) j / m veces en un año ( m es el número decapitalizaciones en un año).

tasa nominal j / m número de capitalizaciones al año

Así, si calculamos la tasa nominal diaria correspondiente a una tasa nominal anualde 32% tendremos :

jp = (32 / 360 ) = 0.08888889

y si queremos la tasa nominal de 15 dias :

jp = 0.08888889 x 15 = 1.33333333

a esta tasa (1.33% ) se le llama tasa proporcional nominal

2.2 TASA EFECTIVA : ( i )

Es la que realmente se aplica en la operación financiera y considera el efecto decapitalización de los intereses.

La tasa efectiva se obtiene de la tasa nominal mediante la expresión:

donde :

j = tasa de interés nominal

m = frecuencia de capitalización (en un año)

n = períodos de capitalización ( si es un año ,m = n )

Ejemplo 1:

¿Cuál es la tasa efectiva de interés anual correspondiente a una tasa nominal anualde 25% con capitalización mensual?

Datos Solución

i = ? i = ((1+0.25 / 12)12 -1) x 100

j = 25%



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m = 12 i = ((1+0.0208333) 12 -1) x 100

i = ((1.0208333) 12 -1 ) x 100

i = (1.28073156 - 1) x 100

i = 28.07 % tasa efectiva anual

2.3 TASA EFECTIVA PROPORCIONAL (p)

Cuando se quiere conocer la tasa efectiva proporcional para períodosinferiores a un año se aplica la siguiente fórmula :

donde :

p = interés efectivo proporcional

i = interés efectivo anual

m = subperíodo inferior a un año ( dia,semana, mes , etc.)

n : Total de subperiódos en un año

Ejemplo 2 :

Se tiene una tasa efectiva anual de 18% encontrar la tasa efectiva mensual.

Datos Solución

i = 18% p = ((1+0.18) 1/12 - 1) x 100

m = 1

n : 1 x 12 = 12 p = ((1+0.18) 0.08333333 - 1) x 100

p = ?

p = [(1.18) 0.08333333 - 1) x 100

p = ((1.01388843) 0.08333333 - 1) x 100

ip = 1.39% efectivo mensual

2.4. TASAS EQUIVALENTES :

Tasa efectiva (i) equivalenteatasa nominal (j)

i = ( ( 1 + j / m ) n - 1 ) X 100






Ejemplo 3:

Calcular la tasa efectiva anual de interés correspondiente a una tasa nominal anualde 17% , con capitalización mensual.

Datos Solución

i = ?

j = 17% = 0.17 i = ( ( 1+ 0.17 / 12) 12 – 1 ) x 100

m = 12

n = 12 i = [ ( 1+ 0.01416667) 12 – 1 ) x 100

i = (( 1.01416667) 12– 1) x 100

i = 18.40 % tasa efectiva anual

Tasa nominal ( j ) equivalente a tasa efectiva ( i )

j = ( ( 1+ i ) 1 / n - 1 ) x m x100

Ejemplo 4 :

¿ Cuál es la tasa nominal anual equivalente a una tasa efectiva anual de 12.5% , si lacapitalización es trimestral ?

Datos Solución

i : 12.5% =0.125 j = ( ( 1+ 0.125)1/4 - 1 ) x m x 100

n : 4

m : 4 j = ( (1.125) 0.25 – 1) x 4 x 100

j : ?

j = ( 1.02988357 – 1) x 4 x 100

j = ( 0.02988357) x 4 x 100

j = 11.95% nominal anual

Ejemplo 5 :

¿ Cuál es la tasa nominal anual equivalente a una tasa efectiva anual de 23.% , si lacapitalización es mensual

Datos Solución

i = 23 % =0.23 j = ( (1+ 0.23) 1/12 - 1 ) x m x 100

j = ?

m = 12 j = (1.01740084 - 1 ) x 12 x 100

n = 12

j = 20.88% tasa nominal anual






3. El valor futuro (VF)[http://www.mailxmail.com/curso-valor-dinero-tiempo/valor-futuro-vf]

El valor futuro o capitalización es el proceso por el cual los intereses se suman alcapital o renta y puede darse en las siguientes situaciones :

Valor futuro de un Stock o MontoValor futuro de una Renta

3.1 Valor futuro de un Stock

i

i

Va Vf

0 1 2 3 ……………………………………………n

En estos casos se utiliza la siguiente expresión :



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El factor se denomina factor simple de capitalización - FSC

Ejemplo 6 :

Se tiene un capital de s/. 250,000 , el cual se ha depositado en un banco duranteocho meses a una tasa efectiva mensual de 5%. Calcule el monto al finalizar elperíodo.

Datos Solución

Va : S/250,000 Vf = 250,000 x (1+0.05)8

i : 5%

n : 8 Vf = 250,000 x 1.47745544

Vf : ?

Vf = s/.369,363.86

Si deseamos calcular sólo el interés tenemos :

I = 250,000 x ( 1 - (1 + 0.05)8 )

I = s/. 119,363.86

También se puede expresar en forma tabular, es decoir mediante un cuadro decapitalización :

n M n-1 I M1 250,000 12,500 262,5002 262,500 13,125 275,6253 275,625 13,781.25 289,406.254 289,406.25 14,470.31 303,876.565 303,876.56 15,193.83 319,070.396 319,070.39 15,953.52 335,023.917 335,023.91 16,751.20 351,775.118 351,775.11 17,588.76 369,363.87






Valor futuro de Rentas

R1 R2 R3 R4 Rn

0 1 2 3 4 n

En estos casos se utiliza la expresión :

(FCS)factor de capitalización de la serie

IMPORTANTE :En el curso se está trabajando con rentas vencidas

Ejemplo 7:

A cuánto ascenderá el monto de una anualidad vencida de $10,000 durante 8 añossi se invierte a la tasa del 6% de interés efectivo anual ?

Datos Solución

i : 6%






Vf : ? Vf = 10,000 x ( 1+ 0.06) 8 - 1

R : 10,000 0.06

N : 8

Vf = 10,000 x 1.59384807 -1

0.06

Vf = 10,000 x 9.897468

Vf = $ 98,974.68

Respuesta : al cabo de 8 años el monto obtenido sera igual a $98,974.68

Vamos a efectuar el mismo cálculo utilizando el método tabular

Período Saldocapital

Renta Interés

Renta+

interés

1

2

3

4

5

6

7

8

10,000.00

20,600.00

31,836.00

43,746.16

56,370.93

69,753.19

83,938.38

98,974.68

10,000

10,000

10,000

10,000

10,000

10,000

10,000

10,000

0.00

600.00

1,236.00

1,910.16

2,624.77

3,382.26

4,185.19

5,036.30

10,000.00

10,600.00

11,236.00

11,910.16

12,624.77

13,382.26

14,185.19

15,036.30






TOTALES 80,000

18,974.68

98,974.68

Ahora utilzando la hoja electronica tenemos :






4. El valor actual (VA)[http://www.mailxmail.com/curso-valor-dinero-tiempo/valor-actual-va]

Valor actual es aquel monto o renta , que a una determinada fecha anterior ofecha focal, tendrá un valor equivalente ( a interés compuesto ), es decir es un valoractuarial.

Se tienen dos situaciones :

Actualización de un MontoActualización de una serie

4.1 Actualización de un monto

i

Va =? Vf

0 1 2 3 …………………………………………n

Fórmula :

FSA-Factor simple de Actualización

donde:



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Va = Capital , valor actual o valor presente

Vf = Monto o valor futuro

i = Tasa de interés efectiva

n = Período de tiempo

Ejemplo 8

Hallar el valor actual de $5,000. pagaderos en 5 años a la tasa anual efectiva de 6%

Datos Solución

Va : ? C = 5000 / (1+0.06) 5

Vf : $5,000.

n : 5 C = 5000 / 1.33822558

i : 6%

C= $ 3,736.29

4.2 Actualización de Rentas

R 1 R 2 R3 ………… ………… Rn






0 1 2 3.............................................n

Fórmula :

FAS-factor de actualización de la serie)

Ejemplo 9 :

Determinar el valor actual de una anualidad vencida de s/.40,000, que será pagadadurante 3 años a la tasa de interés del 45%.

Datos Solución

Va : ? Va = 40,000 x 1 - (1 + 0.45) - 3

R : S/ 40,000 0.45

n : 3

i :45% Va = 40,000 x 1 – 0.32801673

0.45

Va = 40,000 x 1.49329616

Va = S/. 59,731.85

El valor actual de las tres rentas de s/. 59.731.85






5. Ejercicios propuestos. Tasas de interés[http://www.mailxmail.com/...curso-valor-dinero-tiempo/ejercicios-propuestos-tasas-interes]

1. Una empresa exportadora de esparragos ha decidido ahorrar $ 30,200. El Banconos paga 2.4% mensual. Se pide :

Transcurridos ocho meses calcule el Valor futuroElabore la comprobación tabular

R: M = $36,509.56

2. Hallar el Valor futurode la siguiente serie :

R : Vf = 4,667.17

3. Dentro de 180 días se tiene que pagar una letra de S/.12,300. Transcurridos 55 díasqueremos cancelar la obligación. ¿ A cuánto ascenderá el valor actual si la tasa deinterés mensual es de 1.8%

Grafique la operación

R: Va = S/. 11,418.18

4. Se tiene dos opciones para ahorrar S/. 33,100 durante 7 meses :

a) El Banco X que nos paga 10.3% anual efectivo

b) El banco W que nos paga 2.22 % trimestral efectivo

c) El banco Z que nos paga 0.95% mensual efectivo

¿ Cual es la mejor opción?

R : El Banco Z con M = S/. 35,364.89

5. Se ha adquirido un equipo de aire acondicionado para el albergue "Shipibo" , elcual será pagado en ocho cuotas iguales de $ 122.40. La tasa de interés efectivamensual es de 3.29%. Se pide :

Grafique la operaciónCalcule el Valor actual al término del segundo período

R : Va =$ 656.74

6. Hallar el valor futuro de :



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R : Vf = 5,869.98

7. Hallar el Valor actual del siguiente flujo ( Interés mensual : 4.10%)

R : Va = 2,185.77

8. Se desea adquirir un vehiculo de transporte y se tienen tres propuestas :

DETALLEInicial de $4,800 y seis letras mensuales de $2,000 cada unaSeis letras mensuales de $1,500 cada una y seis letras mensuales de$1,200 cada una ( consecutivas)Inicial de $ 2,500 y ocho letras mensuales de $1,650

Elabore el gráfico de cada propuesta¿ que propuesta elegiría?- La tasa de interes paralas tres propuestas del 2.7% mensual efectiva- Utilize la actualización (Va)

R : - Propuesta A : C = $15,742.94

- Propuesta B : C = $13,803.01

- Propuesta C : C = $ 14,230.48

BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA

ALIAGA VALDEZ, Carlos. Matemáticas Financieras Un enfoque práctico. Edic. PrenticeHall. Colombia. 2002ESPINOZA HUERTAS, Abdías. Matemática Financiera Simplificada.Lima .2000FLORES CEBRIÁN ,Luis . Matemáticas Financieras . Lima , 2001GITMAN J.,Lawrence . Principiosde Administración Financiera. Edic. Addison Wesley. México.2000MARIÑOS ALFARO, César. Matemáticas Financiera simplificada en EXCEL . Lima2002ALIAGA VALDEZ, Carlos. Funciones y herramientas de EXCEL para lagestiónfinanciera. Edic. CITEC. Lima 2000

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R : Vf = 5,869.98

7. Hallar el Valor actual del siguiente flujo ( Interés mensual : 4.10%)

R : Va = 2,185.77

8. Se desea adquirir un vehiculo de transporte y se tienen tres propuestas :

PROPUESTA DETALLEA Inicial de $4,800 y seis letras mensuales de $2,000 cada una

B Seis letras mensuales de $1,500 cada una y seis letras mensuales de$1,200 cada una ( consecutivas)

c Inicial de $ 2,500 y ocho letras mensuales de $1,650Elabore el gráfico de cada propuesta¿ que propuesta elegiría?- La tasa de interes paralas tres propuestas del 2.7% mensual efectiva- Utilize la actualización (Va)

R : - Propuesta A : C = $15,742.94

- Propuesta B : C = $13,803.01

- Propuesta C : C = $ 14,230.48

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