Equivalencia de tasas,tasa de interés efectiva (TEF)y tasa de interés nominal (TNA)

Módulo 5 - Finanzas

El factor de capitalización trimestral aplicado una vez, debe produ-cir el mismo resultado que el factor de capitalización mensual aplicado 3 veces:

Comparando los dos cálculos vemos que la tasa bimestral es mayor que 2% y la tasa trimestral es mayor que 3%. Esto se relaciona con lo que veíamos más arriba. Las tasas equivalentes no son propor-cionales; es decir que las tasas no se multiplican ni dividen. Lo que se multiplican y dividen son los factores de capitalización. Al estar inmersos en un fenómeno de capitalización, las tasas son exponen-ciales y no proporcionales (la operación aritmética a utilizar es la potencia y no la multiplicación).

Entendido esto, podemos derivar la tasa anual equivalente; la cual, al tener al año como período, cobra una importancia singular. Siguien-do con el mismo razonamiento:

El factor de capitalización anual aplicado una vez, debe producir el mismo resultado que el factor de capitalización mensual aplicado 12 veces:

Generalizando, dada una tasa mensual iM, la TEA es:

Donde m es el factor de capitalización en el año (12 si es mensual, 4 si es trimestral, 2 si es semestral, 1 si es anual)

Como vimos recientemente la frecuencia de capitalización provoca que los interese que se van generando período a período pasen a incluirse en los capitales subsiguientes, aumentado el total final pro-ducido.Entonces, una tasa anual con una capitalización trimestral producirá una tasa efectiva anual mayor a la misma tasa pero con capitaliza-ción semestral, y esto es que porque capitalizará los intereses inter-medios una mayor cantidad de veces en el lapso de un año (4 veces versus 2).

abitualmente suelen hablarse de tasas nominales anua-les cuando se enuncian a las mismas en alguna opera-ción financiera (un préstamo, un plazo fijo, etc.), pero las “verdaderas” tasas de interés (las que realmente se

pagan o se cobran) son siempre “tasas efectivas”. Para entenderlo mejor veamos lo siguiente.

Interés en un período único cualquiera:Un capital inicial + un interés = Capital Final. Así, se puede definir el interés como el crecimiento de un capital inicial en un período determinado.Otra forma de definir la tasa de interés: es el interés producido por cada peso de capital inicial, en un período determinado. O, también: la tasa de interés es la tasa de crecimiento del capital, en un período de tiempo determinado.

Ejemplo: Se invierten 1.000 ARS. Al cabo de 1 año se obtienen 1.150 ARS. Resulta una ganancia de 150 ARS. El rendimiento anual de la inversión es:

Interés en 2 o más períodos: el factor de capitalización:Ya vimos anteriormente que llamamos capitalización a la incor-poración del interés al capital y que matemáticamente podemos resolverlo con Cn=C0 × 1+ inA partir de ello, una forma rápida de cuantificar la evolución del capital es plantear el cociente entre el valor final y el valor inicial del capital.Fórmula:

Ejemplo: Se invierten 25.000 ARS en títulos y acciones. Al año se vende el paquete en 28.000 ARS. Esta suma se reinvierte en nuevos papeles que, al cabo del 2do año se venden en 35.000 ARS. Si calculamos el rendimiento de la inversión en el 1er año, en el 2do año y en los 2 años juntos tenemos:

La inversión rindió 12% el 1er año y 25% el 2do año. Ahora bien, en los 2 años corridos, el rendimiento total fue del 40%. Observemos que la tasa de rendimiento de los 2 años es mayor que la simple suma de los rendimientos anuales: 40% > (12% + 25%).

Esto es muy importante! Cuando estamos en el “mundo” de la capi-talización, los rendimientos no se suman, se multiplican. Estricta-mente, lo que se multiplica, es el factor de capitalización. En el ejem-plo anterior, si queremos llegar al rendimiento de los 2 años a partir de los rendimientos de cada año, el cálculo correcto es:

Lo que está sucediendo aquí es que la capitalización de los intere-ses al final del primer año, que pasan a integrar el capital del inicio del segundo año, provoca la obtención de nuevos intereses adicio-nales a los calculados únicamente sobre los capitales “puros” origi-nales.

Ahora, a partir de manejar los factores de capitalización, se pueden obtener las tasas equivalentes. Este cálculo es muy útil porque no siempre dispondremos de una tasa expresada para el período de tiempo que estamos utilizando. Esto es fácil verlo con un ejemplo. Supongamos que tenemos una tasa de interés mensual de 1%; vamos a definir la tasa bimestral y la trimestral, equivalentes:

El factor de capitalización bimestral aplicado una vez, debe produ-cir el mismo resultado que el factor de capitalización mensual aplicado 2 veces:

H

Monto del interésMonto del Capital Iniciali=

Capital FinalCapital Inicial = (1+i)

150100

i= = 0.15=15%

Por último, a las tasas anuales que se enuncian sin una especifica-ción de la frecuencia de capitalización se las denomina tasas nomi-nales anuales (TNA). El hecho de que su valor no tenga en cuenta cada cuanto tiempo deben calcularse los intereses correspondien-tes y capitalizarse posteriormente, hace que no puedan usarse para una comparación correcta y por ello siempre debemos manejarnos con las tasas efectivas anuales (TEA).

Por ejemplo, si una inversión “A” nos ofrece una TNA del 48% anual y otra alternativa “B” nos asegura una TNA de 45% anual, pareciera que la alternativa “A es más conveniente.Sin embargo, luego conocemos que la alternativa “A” capitaliza semestralmente sus intereses mientras que la alternativa “B” lo hace cada mes, así el enunciado de la TNA se vuelve insuficiente y debe-mos calcular la TEA de ambas opciones.

Sabemos que:

Calculando para la opción A:

Calculando para la opción B:

Entonces, si tenemos en cuenta tanto el valor de la TNA como su frecuencia de capitalización m, la opción más conveniente es la “B” cuando a primera vista no lo parecía.

El factor de capitalización trimestral aplicado una vez, debe produ-cir el mismo resultado que el factor de capitalización mensual aplicado 3 veces:

Comparando los dos cálculos vemos que la tasa bimestral es mayor que 2% y la tasa trimestral es mayor que 3%. Esto se relaciona con lo que veíamos más arriba. Las tasas equivalentes no son propor-cionales; es decir que las tasas no se multiplican ni dividen. Lo que se multiplican y dividen son los factores de capitalización. Al estar inmersos en un fenómeno de capitalización, las tasas son exponen-ciales y no proporcionales (la operación aritmética a utilizar es la potencia y no la multiplicación).

Entendido esto, podemos derivar la tasa anual equivalente; la cual, al tener al año como período, cobra una importancia singular. Siguien-do con el mismo razonamiento:

El factor de capitalización anual aplicado una vez, debe producir el mismo resultado que el factor de capitalización mensual aplicado 12 veces:

Generalizando, dada una tasa mensual iM, la TEA es:

Donde m es el factor de capitalización en el año (12 si es mensual, 4 si es trimestral, 2 si es semestral, 1 si es anual)

Como vimos recientemente la frecuencia de capitalización provoca que los interese que se van generando período a período pasen a incluirse en los capitales subsiguientes, aumentado el total final pro-ducido.Entonces, una tasa anual con una capitalización trimestral producirá una tasa efectiva anual mayor a la misma tasa pero con capitaliza-ción semestral, y esto es que porque capitalizará los intereses inter-medios una mayor cantidad de veces en el lapso de un año (4 veces versus 2).

abitualmente suelen hablarse de tasas nominales anua-les cuando se enuncian a las mismas en alguna opera-ción financiera (un préstamo, un plazo fijo, etc.), pero las “verdaderas” tasas de interés (las que realmente se

pagan o se cobran) son siempre “tasas efectivas”. Para entenderlo mejor veamos lo siguiente.

Interés en un período único cualquiera:Un capital inicial + un interés = Capital Final. Así, se puede definir el interés como el crecimiento de un capital inicial en un período determinado.Otra forma de definir la tasa de interés: es el interés producido por cada peso de capital inicial, en un período determinado. O, también: la tasa de interés es la tasa de crecimiento del capital, en un período de tiempo determinado.

Ejemplo: Se invierten 1.000 ARS. Al cabo de 1 año se obtienen 1.150 ARS. Resulta una ganancia de 150 ARS. El rendimiento anual de la inversión es:

Interés en 2 o más períodos: el factor de capitalización:Ya vimos anteriormente que llamamos capitalización a la incor-poración del interés al capital y que matemáticamente podemos resolverlo con Cn=C0 × 1+ inA partir de ello, una forma rápida de cuantificar la evolución del capital es plantear el cociente entre el valor final y el valor inicial del capital.Fórmula:

Ejemplo: Se invierten 25.000 ARS en títulos y acciones. Al año se vende el paquete en 28.000 ARS. Esta suma se reinvierte en nuevos papeles que, al cabo del 2do año se venden en 35.000 ARS. Si calculamos el rendimiento de la inversión en el 1er año, en el 2do año y en los 2 años juntos tenemos:

La inversión rindió 12% el 1er año y 25% el 2do año. Ahora bien, en los 2 años corridos, el rendimiento total fue del 40%. Observemos que la tasa de rendimiento de los 2 años es mayor que la simple suma de los rendimientos anuales: 40% > (12% + 25%).

Esto es muy importante! Cuando estamos en el “mundo” de la capi-talización, los rendimientos no se suman, se multiplican. Estricta-mente, lo que se multiplica, es el factor de capitalización. En el ejem-plo anterior, si queremos llegar al rendimiento de los 2 años a partir de los rendimientos de cada año, el cálculo correcto es:

Lo que está sucediendo aquí es que la capitalización de los intere-ses al final del primer año, que pasan a integrar el capital del inicio del segundo año, provoca la obtención de nuevos intereses adicio-nales a los calculados únicamente sobre los capitales “puros” origi-nales.

Ahora, a partir de manejar los factores de capitalización, se pueden obtener las tasas equivalentes. Este cálculo es muy útil porque no siempre dispondremos de una tasa expresada para el período de tiempo que estamos utilizando. Esto es fácil verlo con un ejemplo. Supongamos que tenemos una tasa de interés mensual de 1%; vamos a definir la tasa bimestral y la trimestral, equivalentes:

El factor de capitalización bimestral aplicado una vez, debe produ-cir el mismo resultado que el factor de capitalización mensual aplicado 2 veces:

28.00025.000Primer año:

=1,12

35.00028.000Segundo año:

=1,25

35.00025.000Dos años:

=1,40

Rendimiento de 2 años = [1+Rendimiento año 1 × 1+Rendimiento año 2]-1

i2 años = (1+i1) × (1+ i2) -1 = 1,12 × 1,25-1 = 0,4 = 40%

(1+ iB) = (1+ iM)2 iB = (1+ iM)2 - 1 iB = 0,0201

Por último, a las tasas anuales que se enuncian sin una especifica-ción de la frecuencia de capitalización se las denomina tasas nomi-nales anuales (TNA). El hecho de que su valor no tenga en cuenta cada cuanto tiempo deben calcularse los intereses correspondien-tes y capitalizarse posteriormente, hace que no puedan usarse para una comparación correcta y por ello siempre debemos manejarnos con las tasas efectivas anuales (TEA).

Por ejemplo, si una inversión “A” nos ofrece una TNA del 48% anual y otra alternativa “B” nos asegura una TNA de 45% anual, pareciera que la alternativa “A es más conveniente.Sin embargo, luego conocemos que la alternativa “A” capitaliza semestralmente sus intereses mientras que la alternativa “B” lo hace cada mes, así el enunciado de la TNA se vuelve insuficiente y debe-mos calcular la TEA de ambas opciones.

Sabemos que:

Calculando para la opción A:

Calculando para la opción B:

Entonces, si tenemos en cuenta tanto el valor de la TNA como su frecuencia de capitalización m, la opción más conveniente es la “B” cuando a primera vista no lo parecía.

El factor de capitalización trimestral aplicado una vez, debe produ-cir el mismo resultado que el factor de capitalización mensual aplicado 3 veces:

Comparando los dos cálculos vemos que la tasa bimestral es mayor que 2% y la tasa trimestral es mayor que 3%. Esto se relaciona con lo que veíamos más arriba. Las tasas equivalentes no son propor-cionales; es decir que las tasas no se multiplican ni dividen. Lo que se multiplican y dividen son los factores de capitalización. Al estar inmersos en un fenómeno de capitalización, las tasas son exponen-ciales y no proporcionales (la operación aritmética a utilizar es la potencia y no la multiplicación).

Entendido esto, podemos derivar la tasa anual equivalente; la cual, al tener al año como período, cobra una importancia singular. Siguien-do con el mismo razonamiento:

El factor de capitalización anual aplicado una vez, debe producir el mismo resultado que el factor de capitalización mensual aplicado 12 veces:

Generalizando, dada una tasa mensual iM, la TEA es:

Donde m es el factor de capitalización en el año (12 si es mensual, 4 si es trimestral, 2 si es semestral, 1 si es anual)

Como vimos recientemente la frecuencia de capitalización provoca que los interese que se van generando período a período pasen a incluirse en los capitales subsiguientes, aumentado el total final pro-ducido.Entonces, una tasa anual con una capitalización trimestral producirá una tasa efectiva anual mayor a la misma tasa pero con capitaliza-ción semestral, y esto es que porque capitalizará los intereses inter-medios una mayor cantidad de veces en el lapso de un año (4 veces versus 2).

abitualmente suelen hablarse de tasas nominales anua-les cuando se enuncian a las mismas en alguna opera-ción financiera (un préstamo, un plazo fijo, etc.), pero las “verdaderas” tasas de interés (las que realmente se

pagan o se cobran) son siempre “tasas efectivas”. Para entenderlo mejor veamos lo siguiente.

Interés en un período único cualquiera:Un capital inicial + un interés = Capital Final. Así, se puede definir el interés como el crecimiento de un capital inicial en un período determinado.Otra forma de definir la tasa de interés: es el interés producido por cada peso de capital inicial, en un período determinado. O, también: la tasa de interés es la tasa de crecimiento del capital, en un período de tiempo determinado.

Ejemplo: Se invierten 1.000 ARS. Al cabo de 1 año se obtienen 1.150 ARS. Resulta una ganancia de 150 ARS. El rendimiento anual de la inversión es:

Interés en 2 o más períodos: el factor de capitalización:Ya vimos anteriormente que llamamos capitalización a la incor-poración del interés al capital y que matemáticamente podemos resolverlo con Cn=C0 × 1+ inA partir de ello, una forma rápida de cuantificar la evolución del capital es plantear el cociente entre el valor final y el valor inicial del capital.Fórmula:

Ejemplo: Se invierten 25.000 ARS en títulos y acciones. Al año se vende el paquete en 28.000 ARS. Esta suma se reinvierte en nuevos papeles que, al cabo del 2do año se venden en 35.000 ARS. Si calculamos el rendimiento de la inversión en el 1er año, en el 2do año y en los 2 años juntos tenemos:

La inversión rindió 12% el 1er año y 25% el 2do año. Ahora bien, en los 2 años corridos, el rendimiento total fue del 40%. Observemos que la tasa de rendimiento de los 2 años es mayor que la simple suma de los rendimientos anuales: 40% > (12% + 25%).

Esto es muy importante! Cuando estamos en el “mundo” de la capi-talización, los rendimientos no se suman, se multiplican. Estricta-mente, lo que se multiplica, es el factor de capitalización. En el ejem-plo anterior, si queremos llegar al rendimiento de los 2 años a partir de los rendimientos de cada año, el cálculo correcto es:

Lo que está sucediendo aquí es que la capitalización de los intere-ses al final del primer año, que pasan a integrar el capital del inicio del segundo año, provoca la obtención de nuevos intereses adicio-nales a los calculados únicamente sobre los capitales “puros” origi-nales.

Ahora, a partir de manejar los factores de capitalización, se pueden obtener las tasas equivalentes. Este cálculo es muy útil porque no siempre dispondremos de una tasa expresada para el período de tiempo que estamos utilizando. Esto es fácil verlo con un ejemplo. Supongamos que tenemos una tasa de interés mensual de 1%; vamos a definir la tasa bimestral y la trimestral, equivalentes:

El factor de capitalización bimestral aplicado una vez, debe produ-cir el mismo resultado que el factor de capitalización mensual aplicado 2 veces:

(1+ iT) = (1+ iM)3 iT = (1+ iM)3 - 1 iT = 0,0303

(1+ iA) = (1+ iM)12 iA = (1+ iM)12 - 1 iA = 0,1268

(1+ iA) = (1+ iM)m iA = (1+ iM)m - 1

Por último, a las tasas anuales que se enuncian sin una especifica-ción de la frecuencia de capitalización se las denomina tasas nomi-nales anuales (TNA). El hecho de que su valor no tenga en cuenta cada cuanto tiempo deben calcularse los intereses correspondien-tes y capitalizarse posteriormente, hace que no puedan usarse para una comparación correcta y por ello siempre debemos manejarnos con las tasas efectivas anuales (TEA).

Por ejemplo, si una inversión “A” nos ofrece una TNA del 48% anual y otra alternativa “B” nos asegura una TNA de 45% anual, pareciera que la alternativa “A es más conveniente.Sin embargo, luego conocemos que la alternativa “A” capitaliza semestralmente sus intereses mientras que la alternativa “B” lo hace cada mes, así el enunciado de la TNA se vuelve insuficiente y debe-mos calcular la TEA de ambas opciones.

Sabemos que:

Calculando para la opción A:

Calculando para la opción B:

Entonces, si tenemos en cuenta tanto el valor de la TNA como su frecuencia de capitalización m, la opción más conveniente es la “B” cuando a primera vista no lo parecía.

El factor de capitalización trimestral aplicado una vez, debe produ-cir el mismo resultado que el factor de capitalización mensual aplicado 3 veces:

Comparando los dos cálculos vemos que la tasa bimestral es mayor que 2% y la tasa trimestral es mayor que 3%. Esto se relaciona con lo que veíamos más arriba. Las tasas equivalentes no son propor-cionales; es decir que las tasas no se multiplican ni dividen. Lo que se multiplican y dividen son los factores de capitalización. Al estar inmersos en un fenómeno de capitalización, las tasas son exponen-ciales y no proporcionales (la operación aritmética a utilizar es la potencia y no la multiplicación).

Entendido esto, podemos derivar la tasa anual equivalente; la cual, al tener al año como período, cobra una importancia singular. Siguien-do con el mismo razonamiento:

El factor de capitalización anual aplicado una vez, debe producir el mismo resultado que el factor de capitalización mensual aplicado 12 veces:

Generalizando, dada una tasa mensual iM, la TEA es:

Donde m es el factor de capitalización en el año (12 si es mensual, 4 si es trimestral, 2 si es semestral, 1 si es anual)

Como vimos recientemente la frecuencia de capitalización provoca que los interese que se van generando período a período pasen a incluirse en los capitales subsiguientes, aumentado el total final pro-ducido.Entonces, una tasa anual con una capitalización trimestral producirá una tasa efectiva anual mayor a la misma tasa pero con capitaliza-ción semestral, y esto es que porque capitalizará los intereses inter-medios una mayor cantidad de veces en el lapso de un año (4 veces versus 2).

abitualmente suelen hablarse de tasas nominales anua-les cuando se enuncian a las mismas en alguna opera-ción financiera (un préstamo, un plazo fijo, etc.), pero las “verdaderas” tasas de interés (las que realmente se

pagan o se cobran) son siempre “tasas efectivas”. Para entenderlo mejor veamos lo siguiente.

Interés en un período único cualquiera:Un capital inicial + un interés = Capital Final. Así, se puede definir el interés como el crecimiento de un capital inicial en un período determinado.Otra forma de definir la tasa de interés: es el interés producido por cada peso de capital inicial, en un período determinado. O, también: la tasa de interés es la tasa de crecimiento del capital, en un período de tiempo determinado.

Ejemplo: Se invierten 1.000 ARS. Al cabo de 1 año se obtienen 1.150 ARS. Resulta una ganancia de 150 ARS. El rendimiento anual de la inversión es:

Interés en 2 o más períodos: el factor de capitalización:Ya vimos anteriormente que llamamos capitalización a la incor-poración del interés al capital y que matemáticamente podemos resolverlo con Cn=C0 × 1+ inA partir de ello, una forma rápida de cuantificar la evolución del capital es plantear el cociente entre el valor final y el valor inicial del capital.Fórmula:

Ejemplo: Se invierten 25.000 ARS en títulos y acciones. Al año se vende el paquete en 28.000 ARS. Esta suma se reinvierte en nuevos papeles que, al cabo del 2do año se venden en 35.000 ARS. Si calculamos el rendimiento de la inversión en el 1er año, en el 2do año y en los 2 años juntos tenemos:

La inversión rindió 12% el 1er año y 25% el 2do año. Ahora bien, en los 2 años corridos, el rendimiento total fue del 40%. Observemos que la tasa de rendimiento de los 2 años es mayor que la simple suma de los rendimientos anuales: 40% > (12% + 25%).

Esto es muy importante! Cuando estamos en el “mundo” de la capi-talización, los rendimientos no se suman, se multiplican. Estricta-mente, lo que se multiplica, es el factor de capitalización. En el ejem-plo anterior, si queremos llegar al rendimiento de los 2 años a partir de los rendimientos de cada año, el cálculo correcto es:

Lo que está sucediendo aquí es que la capitalización de los intere-ses al final del primer año, que pasan a integrar el capital del inicio del segundo año, provoca la obtención de nuevos intereses adicio-nales a los calculados únicamente sobre los capitales “puros” origi-nales.

Ahora, a partir de manejar los factores de capitalización, se pueden obtener las tasas equivalentes. Este cálculo es muy útil porque no siempre dispondremos de una tasa expresada para el período de tiempo que estamos utilizando. Esto es fácil verlo con un ejemplo. Supongamos que tenemos una tasa de interés mensual de 1%; vamos a definir la tasa bimestral y la trimestral, equivalentes:

El factor de capitalización bimestral aplicado una vez, debe produ-cir el mismo resultado que el factor de capitalización mensual aplicado 2 veces:

Autor: Enrique Roura

Por último, a las tasas anuales que se enuncian sin una especifica-ción de la frecuencia de capitalización se las denomina tasas nomi-nales anuales (TNA). El hecho de que su valor no tenga en cuenta cada cuanto tiempo deben calcularse los intereses correspondien-tes y capitalizarse posteriormente, hace que no puedan usarse para una comparación correcta y por ello siempre debemos manejarnos con las tasas efectivas anuales (TEA).

Por ejemplo, si una inversión “A” nos ofrece una TNA del 48% anual y otra alternativa “B” nos asegura una TNA de 45% anual, pareciera que la alternativa “A es más conveniente.Sin embargo, luego conocemos que la alternativa “A” capitaliza semestralmente sus intereses mientras que la alternativa “B” lo hace cada mes, así el enunciado de la TNA se vuelve insuficiente y debe-mos calcular la TEA de ambas opciones.

Sabemos que:

Calculando para la opción A:

Calculando para la opción B:

Entonces, si tenemos en cuenta tanto el valor de la TNA como su frecuencia de capitalización m, la opción más conveniente es la “B” cuando a primera vista no lo parecía.

(1+ )m - 1 = TEMTNAm

(1+ )2 - 1 = 53,76%0,482

(1+ )12 - 1 = 55,55%0,4512