el método símplex r1
TRANSCRIPT
Producción I
El Método SímplexFormulación y variantes
2011
Índice
i. Introducción
ii. El Método Símplex Primal
iii. La Técnica M o de Penalización
iv. La Técnica de dos fases
v. El Método Símplex Dual
Diagnóstico
Planeación de la
Producción
Distribución Asignación de recursos limitados
Inventarios Programación de Actividades
Pronósticos de
Demanda
Medio Ambiente
Análisis de Líneas de
Espera
Analisis de Sistemas
de Producción
Información Cuantitativa y Cualitativa del Sistema en estudio
Selección del Modelo
Modelos Determinísticos Modelos Probabilísticos
Programación Lineal
SolucionesReales
Programación Lineal Entera
Soluciones Enteras
Programación Lineal por
metasSoluciones en
orden de prioridad
Programación Dinámica
Soluciones en etapas continuas
Optimización de Redes Soluciones
orientadas a la distribución
óptima
Control de Inventarios
Soluciones por etapas (n+1)
PronósticosComportamie-nto futuro del
sistema basado en
datos históricos
Teoría de Colas
Determinación de tiempos de
espera y longitud de la cola promedio
Simulación de Sistemas
Estimación de las medidas de
desempeño del sistema
modelado
Mapa conceptual de la IO
- i -Introducción
Fundamento El método gráfico presentado en la PL muestra que la
solución óptima está siempre asociada con un punto extremo o de esquina, del espacio de soluciones factibles
Es precisamente esta idea la que conduce a la creación del Método Símplex
Básicamente, lo que hace el método es trasladar la definición geométrica del punto extremo o de esquina a una definición algebraica
Entonces, ¿cómo identifica el Método Símplex los puntos extremos en forma algebraica?
Generalidades El método requiere que cada una de las restricciones esté
en una forma estándar especial, en la que todas las restricciones se expresan como ecuaciones, mediante la adición de variables de holgura o de exceso, según sea necesario
Inecuaciones (desigualdades) Ecuaciones (Igualdades)
Este tipo de conversión conduce normalmente a un conjunto de ecuaciones simultáneas donde el número de variables excede al número de ecuaciones, lo que generalmente significa que las ecuaciones dan un número infinito de puntos de solución
Soluciones básicas Los puntos extremos de este espacio pueden identificarse
algebraicamente por medio de las soluciones básicas del sistema de ecuaciones simultáneas
Una solución básica se obtiene igualando a cero las variables necesarias con el fin de igualar el número total de variables y el número total de ecuaciones para que la solución sea única y luego se resuelve el sistema con las variables restantes
Fundamentalmente, la transición del procedimiento gráfico al algebraico se basa en la validez de la siguiente relación importante
Puntos extremos soluciones básicas
Soluciones básicas · 2 Al no haber un espacio de soluciones gráficas que sirva de
guía hacia el punto óptimo, se necesita un procedimiento que identifique en forma inteligente las soluciones básicas promisorias
El método identifica una solución inicial y luego se mueve sistemáticamente a otras soluciones básicas que tengan el potencial de mejorar el valor de la función objetivo
Luego, se determina la solución básica correspondiente a la óptima con lo que termina el proceso de cálculo
El Método Símplex es un procedimiento de cálculo iterativo donde cada iteración esta asociada con una solución básica
Variantes del método Las dos variantes del Método Símplex son los algoritmos
del Método Símplex Primal y los del Símplex Dual En principio los dos métodos parecen ser diferentes, pero
no es así, lo esencial de los dos algoritmos es que se basan en la idea de que los puntos extremos del espacio de soluciones son completamente identificables por las soluciones básicas del modelo de PL
Los dos algoritmos parecen diferentes porque están diseñados para sacar ventaja de la estructuración inicial especial del modelo de PL
La forma estándar Un modelo de programación lineal PL puede incluir
restricciones de los tipos , o = Las variables pueden ser no negativas o no tener
restricciones de signo (no restringidas o irrestrictas) Para desarrollar un método de solución general, el
problema de PL debe ponerse en un formato común, al que se denomina la forma estándar
Propiedades
Las propiedades de la forma estándar son: 1. Todas las restricciones son ecuaciones o sea
igualdades, con los segundos miembros no negativos si el modelo se resuelve por medio del método símplex primal
2. Todas las variables son no negativas3. La función objetivo puede ser de la forma
maximización o minimización
La pregunta ¿Cómo se puede poner cualquier modelo de PL en
el formato estándar? Se requiere que cada una de las inecuaciones se
expresen como ecuaciones, mediante la adición de variables de holgura o de exceso, según sea necesario
Restricciones · 1 Una restricción del tipo , puede convertirse en
una ecuación mediante la suma de una variable de holgura (o restando una variable de exceso) al primer miembro de la restricción
Por ejemplo, en la restricción x1 + 2x2 6
se suma una holgura s1 0 para obtener
x1 + 2x2 + s1 = 6
Restricciones · 2 Por otra parte, considérese la restricción
3x1 + 2x2 – 3x3 5Como el primer miembro de la ecuación es mayor que el segundo, se resta una variable de exceso s2 0 para obtener
3x1 + 2x2 – 3x3 – s2 = 5
Restricciones · 3 El segundo miembro de la ecuación puede hacerse
no negativo si ambos lados se multiplican por – 1 Por ejemplo, la ecuación
2x1 + 3x2 – 7x3 – 5
es equivalente a– 2x1 – 3x2 + 7x3 5
Restricciones · 4 La dirección de una desigualdad se invierte cuando
ambos miembros se multiplican por – 1 Por ejemplo,
dado que 2 < 4 y –2 > –4
entonces, la desigualdad 2x1 – x2 – 5
se puede reemplazar por – 2x1 + x2 5
Variables · 1 Una variable irrestricta (o no restringida) yi puede
expresarse en términos de dos variables no negativas mediante el uso de la sustitución
donde:
La sustitución debe efectuarse en todas las restricciones y en la función objetivo
'''iii yyy
0, ''' ii yy
Variables · 2 El problema de PL normalmente se resuelve en términos de
yi’ y yi
’’ de los cuales yi se determina por sustitución inversa Una propiedad interesante de yi
’ y yi’’ es que en la solución
óptima (símplex) de PL, sólo una de las dos variables puede tomar un valor positivo, pero nunca ambas
Por lo tanto, cuando yi’ >0 entonces, yi
’’ =0 y viceversa En el caso en el que yi (irrestricta) representa holgura y
exceso, se puede considerar que yi’ es una variable de
holgura y que yi’’ es una variable de exceso porque solo una
de las dos puede tomar un valor positivo a la vez
Función objetivo · 1 Aunque el modelo estándar de PL puede ser utilizado para
resolver problemas de maximización o de minimización de la función objetivo, algunas veces sirve para cambiar una forma a la otra
La maximización de una función equivale a la minimización del negativo de la misma función y viceversa
Por ejemplo, Maximizar z = 2x1 + 3x2 + 7x3
Es lo mismo que Minimizar – z = – 2x1 – 3x2 – 7x3
Función objetivo · 2 Equivalencia significa que para el mismo conjunto de
restricciones los valores óptimos de x1, x2 y x3 son los mismos en ambos casos
La única diferencia es que los valores de las funciones objetivo, pese a ser numéricamente iguales, figurarán con signos opuestos
Nuevas variables Según la desigualdad de la inecuación, se introducen
las nuevas variables
Tipo de desigualdad Tipo de variable que aparece – exceso + artificial= + artificial + holgura
Ejercicio Escribir el siguiente modelo de PL en la forma
estándar Maximizar z = 2x1 + 3x2
Sujeto a x1 + x2 = 10
– 2x1 + 3x2 –5
– 7x1 – 4x2 6 x1 irrestricta
x2 0
Acciones
Se deben efectuar los siguientes cambios:1. Sumar la holgura s2 0 al primer miembro de la
segunda restricción 2. Sumar una variable de holgura s3 0 al primer
miembro de la tercera restricción3. Sustituir x1 = x1
’ – x1’’ donde x1
’ – x1’’ 0, en la
función objetivo y en todas las restricciones
Solución Por lo tanto, la forma estándar puede expresarse de
la siguiente forma: Maximizar z = 2 x1
’ – 2x1’’ + 3x2
Sujeto a x1’ – x1
’’ + x2 = 10
– 2 x1’ + 2x1
’’ + 3x2 + s2 = –5
– 7 x1’ + 7x1
’’ – 4x2 + s3 = 6
x1’ , x1
’’ , x2 , s2 , s3 0
Ecuaciones e incógnitas Consideremos el modelo estándar de PL definido antes con
m ecuaciones y n incógnitas Una solución básica asociada se determina haciendo n – m
variables iguales a cero (0) y luego, resolviendo las m ecuaciones con las restantes n variables siempre que la solución resultante exista y sea única
Para ilustrar esto, considérese el siguiente sistema de ecuaciones:
2x1 + x2 + 4x3 + x4 = 2
x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 3
Soluciones básicas · 1 En el ejemplo se tiene m = 2 y n = 4 Luego, una solución básica esta asociada con n
- m = 4 – 2 = 2 variables nulas Esto significa que el conjunto de ecuaciones dado tiene
n!/[m! (n - m) !] = 4!/2!2! = 6 posibles soluciones básicas
Se dice soluciones básicas “posibles” porque algunas combinaciones pueden no conducir en absoluto a soluciones básicas
Por ejemplo, considérese la combinación donde x2 y x4 se hacen igual a cero (0)
Soluciones básicas · 2 Si x2 y x4 se hacen igual a cero En este caso el sistema se reduce a
2x1 + 4x3 = 2
x1 + 2x3 = 3 Las dos ecuaciones son inconsistentes y por consiguiente,
no existe una solución La conclusión es que x1 y x3 no pueden constituir una
solución básica y por ello, no corresponden a un punto extremo
Soluciones básicas · 3 En forma alternativa, considérese el caso en el que x3 y x4
se hacen igual a cero En este caso el sistema se reduce a
2x1 + x2 = 2
x1 + 2x2 = 3 La solución única correspondiente (x1 = 1/3, x2 = 4/3),
junto con x3 = 0 y x4 = 0, define una solución básica y por consiguiente, determina un punto extremo del espacio de soluciones de la PL
Soluciones básicas factibles En la PL, se hace referencia a las n – m variables
que se hacen iguales a cero como variables no básicas y a las m variables restantes como variables básicas, siempre que exista una solución única
Se dice que una solución básica es factible si todos los valores de su solución son no negativos, que es una condición necesaria de la PL
Un ejemplo de este caso es la solución factible básica
x1 = 1/3, x2 = 4/3, x3 = 0, x4 = 0
Soluciones básicas no factibles En el caso de una solución básica no factible,
considérese la combinación donde las variables no básicas son x1 = 0 y x2 = 0
Las ecuaciones anteriores dan4x3 + x4 = 2
2x3 + x4 = 3
La solución básica correspondiente es (x3 = – 1/2, x4 = 4), que es no factible porque x3 es negativa
Aplicación En los problemas de PL interesan tanto las
soluciones básicas factibles como las no factibles En el método símplex primal siempre todas las
iteraciones están sólo asociadas con soluciones básicas factibles
Además, el método símplex dual trata con soluciones básicas no factibles hasta la última iteración, en la que la solución básica asociada debe ser factible
Solución factible final En principio, el método símplex primal sólo trata con
los puntos extremos, mientras que en el método símplex dual todas las iteraciones, excepto la última, están asociadas con puntos extremos no factibles
Al final, ambos métodos dan soluciones básicas factibles como lo estipula la condición de no negatividad del modelo de PL
- ii -El Método Símplex Primal
El Método Símplex Primal El método parte de una solución básica factible
(punto extremo) y se continúa iterando a través de soluciones básicas factibles sucesivas hasta alcanzar el óptimo
Véase el proceso aplicado al modelo del caso Pintucolor
Primeras iteraciones
62 IE xx82 IE xx1 EI xx2Ix0Ix0Ex
Maximizar
Sujeto aIE xxz 23
xI
xE
12
Iteraciones 1 y 2 El proceso comienza en el origen extremo (punto A) y se
mueve a lo largo del borde A-B del espacio de soluciones hasta el punto extremo adyacente B (iteración 1)
De B se mueve a lo largo del borde B-C hasta el punto extremo adyacente C (iteración 2), que es el óptimo
Obsérvese que el procedimiento no es capaz de cortar a través del espacio de soluciones (por ejemplo, de A a C) sino que debe siempre moverse a lo largo de los bordes entre puntos extremos adyacentes
¿Cómo se expresa algebraicamente el procedimiento iterativo indicado antes?
Espacio de soluciones Todo lo que se tiene que hacer es mostrar cómo se
identifican los puntos extremos, tales como el A, B y C, sin utilizar la gráfica del espacio de soluciones
Considérese el modelo propuesto en su forma estándar
Forma estándar PintucolorMaximizar z=3xE+2xI+0s1+0s2+0s3+0s4
Sujeto a xE+2xI+s1 =6
2xE+ xI +s2 =8
– xE+ xI +s3 =1
xI +s4=2
xE, xI, s1 , s2 , s3 , s4 0El modelo tiene m = 4 ecuaciones y n = 6 variables, de forma tal que el número de variables no básicas (nulas) debe ser igual a 6 – 4 = 2
Consideración inicial Si se escogen xE = 0 y xI = 0 como las variables
no básicas, inmediatamente, y sin ningún cálculo, se obtiene la solución básica factible
sI = 6, s2 = 8, s3 = 1 y s4 = 2
que es el punto origen A de la gráfica Esta solución básica representa la solución inicial
(iteración 0) del método símplex El valor objetivo se determina resolviendo la función
objetivo z
Solución básica inicial El valor objetivo correspondiente se determina expresando
la función objetivo z, así:z – 3xE – 2xI = 0
Puesto que xE y xI en A son iguales a cero (0), el valor asociado de z lo da directamente el segundo miembro de la ecuación (0)
La solución básica inicial en el modelo se debe a que: – Cada ecuación tiene una variable de holgura – Los segundos miembros de las restricciones son no negativos
Primera solución básica
62 1 sxx IE
82 2 sxx IE
13 sxx IE
24 sxI
0,, 4321 ssssxx IE
Maximizar
Sujeto a4321 000023 ssssxxz IE
xI
xE
Factibilidad inicial La primera propiedad de la forma estándar implica
que el número de holguras sea igual al número de ecuaciones
De esta manera, las variables restantes pueden usarse como variables no básicas, es decir, cero (0)
Además, por la segunda propiedad de la forma estándar los segundos miembros de las ecuaciones son no negativos; entonces, la solución básica resultante es automáticamente factible, tal como se requiere en el método símplex primal
Siguiente paso EI siguiente paso a la solución inicial, es realizar el
desplazamiento a una nueva solución básica Desde el concepto de optimización, pasar a otra
solución básica sólo interesa si se puede inferir que el valor de la función objetivo mejore
Una nueva solución básica se obtiene con solo hacer básica, cuando menos, una de las variables actuales no básicas (nulas) o cero (0)
En el método se hace el cambio de las variables no básicas, una a la vez
Mejora del valor objetivo En términos del modelo xE y xI son no básicas en A,
es decir, iguales a cero (0) En la ecuación z función objetivo
z – 3xE – 2xI = 0
Se observa que un incremento unitario de xE aumenta a z en 3 y un incremento unitario de xI la incrementa en 2, en miles de pesos
Puesto que se trata de una maximización, con cualquiera de las dos variables se puede mejorar el valor objetivo
Variable que entra Para generar una regla de cálculo no ambigua, el método
símplex utiliza un procedimiento heurístico y es el siguiente: en el caso de una maximización, la variable no básica seleccionada es aquella que tiene el coeficiente más negativo en la ecuación z
Esta condición da como resultado considerar a xE como la variable que entra
El procedimiento heurístico permite, aunque no lo garantiza, que al pasar de una iteración a otra el método produzca los “saltos” máximos en el valor objetivo, alcanzando de esta manera el punto óptimo en el menor número de iteraciones
Variable que sale Al aceptar la variable que entra, la nueva solución básica
obtenida debe incluir exactamente m variables básicas, lo que implica que una de las variables básicas actuales deba salir de la solución
En este caso, la variable que sale o variable saliente debe ser una de las variables s1 , s2 , s3 , s4
En la gráfica se observa que el valor de la variable que entra xE en la nueva solución corresponde al punto B, y cualquier incremento más allá de este punto se sitúa fuera del espacio factible
De acuerdo con la definición de las restricciones, esto significa que s2, asociada con la restricción , será igual a cero (0), lo que indica que ésta es la variable saliente
Selección de la variable que sale La variable saliente se puede elegir a partir de las
ecuaciones de restricción, calculando las intersecciones no negativas de todas las restricciones con el eje xE, la menor de tales intersecciones identifica la variable que sale
En el modelo solo las restricciones y intersectan el eje xE en la dirección positiva, estas intersecciones son iguales a 6/1 = 6 y 8/2 = 4
Como la intersección menor (= 4) esta asociada con la restricción , entonces la variable básica s2 debe salir de la solución
Intersección de las restricciones ¿Cómo se puede automatizar el proceso de selección de
la variable saliente sin ayuda del espacio de soluciones gráficas?
Se tienen que calcular las intersecciones de las restricciones con el eje xE, las cuales son iguales a la razón del segundo miembro al coeficiente de restricción correspondiente de xE, o sea:
intersección de la restricción 1 = 6/1 =6intersección de la restricción 2 = 8/2 =4intersección de la restricción 3 = 1/ –1 = – 1intersección de la restricción 4 = 2/0 =
Intersecciones con xE
62 IE xx82 IE xx1 IE xx2Ix0, IE xx
xI
xE
IE xxz 23 Maximizar
Sujeto a
xE=8/2=4xE=6/1=6xE=1/–1=–1
Sobre las intersecciones Las primeras tres intersecciones se muestran en la gráfica y
la no puede mostrarse porque es paralela al eje xE
La restricción no intersecta en ningún punto al eje xE
La intersección no interesa porque es negativa, lo que significa que no limita a xE en la dirección positiva
Solo quedan las intersecciones y de tal forma que debe ser s2 la variable saliente, por ser la de menor valor
Se puede automatizar el proceso considerando sólo aquellas restricciones que tienen coeficientes de restricción estrictamente positivos para la variable entrante
Condiciones del procedimiento Los procedimientos presentados para seleccionar las
variables entrantes y salientes se denominan condiciones de optimalidad y factibilidad
La condición de factibilidad (intersección mínima) es aplicable por igual tanto a problemas de maximización como de minimización
En problemas de minimización, la condición de optimalidad difiere porque la variable entrante se asocia con el coeficiente no básico más positivo, en comparación con el más negativo en el caso de la maximización
Condición de optimalidad La variable entrante en una maximización (o en una
minimización) es la variable no básica con el coeficiente más negativo (o más positivo) en la ecuación z objetivo
Un empate entre variables puede romperse arbitrariamente
EI óptimo se alcanza cuando todos los coeficientes no básicos en la ecuación z son no negativos (o no positivos)
La optimalidad Es la condición que se aplica a la variable no básica
entrante
Objetivo Coeficiente en zMinimización Más positivoMaximización Más negativo
El óptimo El óptimo se alcanza cuando todos los coeficientes
no básicos en la función objetivo z son:
Objetivo Coeficiente en zMinimización No positivos Maximización No negativos
Condición de factibilidad En los problemas de maximización y de
minimización la variable saliente es la variable básica actual, con la menor intersección (razón mínima con denominador estrictamente positivo) en la dirección de la variable entrante
Un empate cualquiera se rompe arbitrariamente
La factibilidad Es la condición que se aplica a la variable básica
saliente
Objetivo Intersección en dirección de la variable entrante
Minimización Menor o mínimaMaximización Menor o mínima
Los pasos iterativos del métodoLos pasos iterativos formales del método símplex primal son: Paso 0: Usando la forma estándar, con los segundos
miembros no negativos, se determina una solución inicial básica factible
Paso 1: Se selecciona una variable entrante entre las variables actuales no básicas, usando la condición de optimalidad
Paso 2: Se selecciona la variable saliente entre las variables actuales básicas, usando la condición de factibilidad
Paso 3: Se determinan los valores de las nuevas variables básicas, haciendo a la variable entrante básica y a la variable saliente no básica. Luego, se vuelve al paso 1
Explicación En una solución básica dada (punto extremo) se busca una
nueva solución básica, sólo si un incremento en los valores de cualquiera de las variables no básicas actuales mejora el valor objetivo, que es la condición de optimalidad
Si se encuentra esa variable no básica, debe salir de la solución una de las variables básicas actuales para satisfacer el requisito de que el número de variables básicas sea exactamente igual a m, lo cual se hace mediante la condición de factibilidad
El proceso de intercambiar una variable básica por una no básica equivale a moverse entre puntos extremos adyacentes a lo largo de los bordes del espacio de soluciones factibles
El caso Pintucolor Para solucionar el problema con el método símplex primal el
modelo debe expresase en la forma estándar; entonces, las ecuaciones se resumen mediante la siguiente tabla:
Básica z xE xI s1 s2 s3 s4 Solución
z 1 -3 -2 0 0 0 0 0
s1 0 1 2 1 0 0 0 6
s2 0 2 1 0 1 0 0 8
s3 0 -1 1 0 0 1 0 1
s4 0 0 1 0 0 0 1 2
Solución básica inicial La solución básica inicial del modelo se presenta en la
siguiente tabla. La columna “básica” identifica las variables básicas actuales s1 , s2 , s3 y s4, cuyos valores se dan en la columna “solución”
Básica z xE xI s1 s2 s3 s4 Solución
z 1 -3 -2 0 0 0 0 0 Ecuación z
s1 0 1 2 1 0 0 0 6 Ecuación s1
s2 0 2 1 0 1 0 0 8 Ecuación s2
s3 0 -1 1 0 0 1 0 1 Ecuación s3
s4 0 0 1 0 0 0 1 2 Ecuación s4
Primera aproximación Las variables no básicas xE y xI, no presentes en la columna
“básica” tienen valor cero (0) El valor correspondiente de la función objetivo es:
z = 3*0 + 2*0 + 0*6 + 0*8 + 0*1 + 0*2 = 0
tal como se muestra en la columna solución Al aplicar la condición de optimalidad, xE tiene el coeficiente
más negativo en la ecuación z y por esto se escoge como la variable entrante
La condición de factibilidad muestra que s2 corresponde a la menor intersección, por lo que debe salir de la solución
Método de eliminación Una vez identificadas las variables entrantes y salientes, es
necesario determinar la nueva solución básica que debe incluir ahora a s1 , xE , s3 y s4
Esto se logra aplicando el método de eliminación de Gauss-Jordan
El método comienza identificando la columna debajo de la variable entrante xE como la columna entrante
El renglón asociado con la variable saliente se denomina ecuación pivote y el elemento en la intersección de la columna de entrada y la ecuación pivote se denomina elemento pivote
Definición de términos La siguiente tabla presenta las anteriores definiciones:
Columna de entrada
Básica z xE xI s1 s2 s3 s4 SoluciónIntersecciones
xE
z 1 -3 -2 0 0 0 0 0 (Razones)
s1 0 1 2 1 0 0 0 6 6/1=6
s2 0 2 1 0 1 0 0 8 8/2=4
s3 0 -1 1 0 0 1 0 1 —
s4 0 0 1 0 0 0 1 2 —
Ecuación pivote
Elemento pivote
Método Gauss-Jordan Con el método Gauss-Jordan se efectúa un cambio de
base empleando dos operaciones de cálculo: 1. La ecuación pivote
Nueva ecuación pivote = ecuación pivote ÷ elemento pivote
2. Las demás ecuaciones, incluyendo la ecuación zNueva ecuación = ecuación anterior – (coeficientes de la columna
entrante * nueva ecuación pivote)
Al efectuar estas operaciones se genera la nueva solución básica, al sustituir la variable entrante en todos los renglones, excepto en la ecuación pivote
Cálculos del tipo 1 Para hacer los cálculos, se divide la ecuación s2 entre el
elemento pivote que es =2, entonces xE reemplaza a s2 en la columna básica y los cálculos del tipo 1 cambian la tabla inicial como se muestra a continuación: Básica z xE xI s1 s2 s3 s4 Solución
z
s1
xE 0 1 1/2 0 1/2 0 0 8/2=4
s3
s4
La columna “solución” arroja el nuevo valor de xE=4, que es igual a la razón mínima de la condición de factibilidad
Ecuación pivote y coeficientes Con el objeto de realizar los cálculos del tipo 2 y
completar la tabla, se plantea:a) La nueva ecuación pivote:ecuación pivote: (0 1 1/2 0 1/2 0 0 4)
b) Los coeficientes de la columna entrante xE :z = –3, s1 = 1 , s3 = – 1, s4 = 0
Cálculos del tipo 2 Entonces, se procede a realizar los siguientes
cálculos del tipo 2
1. Ecuación z: ecuación z anterior + (1 –3 –2 0 0 0 0 0) –(–3) * nueva ecuación pivote (0 3 3/2 0 3/2 0 0 12) =nueva ecuación z (1 0 –1/2 0 3/2 0 0 12)
2. Ecuación s1: ecuación s1 anterior + (0 1 2 1 0 0 0 6)
–(1) * nueva ecuación pivote (0 –1 –1/2 0 –1/2 0 0 –4)
=nueva ecuación s1 (0 0 3/2 1 –1/2 0 0 2)
Más cálculos del tipo 2
3. Ecuación s3: ecuación s3 anterior + (0 –1 1 0 0 1 0 1)
–(–1) * nueva ecuación pivote (0 1 1/2 0 1/2 0 0 4)
=nueva ecuación s3 (0 0 3/2 0 1/2 1 0 5)
4. Ecuación s4:
La nueva ecuación s4 es la misma que la ecuación s4 anterior porque su coeficiente de la columna de entrada es cero (0)
Nueva tabla completa Incluyendo los cálculos anteriores, la nueva tabla completa
resulta como sigue:
Básica z xE xI s1 s2 s3 s4 SoluciónIntersecciones
xI
z 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12 (Razones)
s1 0 0 3/2 1 -1/2 0 0 2 2/(3/2)=4/3
xE 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4 4/(1/2)=8
s3 0 0 3/2 0 1/2 1 0 5 5/(3/2)=10/3
s4 0 0 1 0 0 0 1 2 2/1=2
La nueva solución es xE=4, xI=0 (punto B) y el valor de z ha aumentado de 0 a 12 ¿Por qué?
Respuesta El incremento en z se debe a que cada incremento unitario
en xE aumenta 3 al valor de la función objetivo z, de tal forma que el incremento total en z es 3*4 = 12
La nueva tabla tiene las mismas propiedades que la anterior; es decir, cuando se igualan a cero (0) las variables no básicas xI y s2, los valores de las variables básicas se dan de inmediato en la columna de soluciones
Esto es precisamente lo que hace el método Gauss-Jordan
Nueva iteración Examinando la tabla anterior, la condición de optimalidad
selecciona a xI como la variable que entra debido a que su coeficiente en z es –1/2
Así mismo, la condición de factibilidad demuestra que s1 es la variable que sale
Las razones que se presentan en la tabla anterior indican que xI introduce como solución básica el valor 4/3 (= razón mínima), con lo que se mejora el valor de la función objetivo z en
(4/3)*(1/2) = 2/3
Nuevas operaciones Las siguientes operaciones de Gauss-Jordan producen una
nueva tabla: (i) Nueva ec. pivote (s1) = ec. s1 anterior ÷ (3/2)
(ii) Nueva ec. z = ec. z anterior – (– 1/2) * nueva ec. pivote
(iii) Nueva ec. xE = ec. xE anterior – (1/2) * nueva ec. pivote
(iv) Nueva ec. s3 = ec. s3 anterior – (3/2) * nueva ec. pivote
(v) Nueva ec. s4 = ec. s4 anterior – (1) * nueva ec. pivote
Iteración (solución) final
Cálculos que llevan a la siguiente tabla: Básica z xE xI s1 s2 s3 s4 Solución
z 1 0 0 1/3 4/3 0 0 12 1/3
xI 0 0 1 2/3 – 1/3 0 0 4/3
xE 0 1 0 – 1/3 2/3 0 0 10/3
s3 0 0 0 – 1 1 1 0 3
s4 0 0 0 – 2/3 1/3 0 1 2/3
La nueva solución es xE=3 1/3, xI=1 1/3 (punto C) y el valor de z ha aumentado a 12 2/3 ¿Por qué?
Solución óptima El incremento (12 2/3 - 12) = 2/3 es el resultado de que
xI aumente de 0 a 4/3, porque cada incremento de una unidad contribuye en (1/2) a la función objetivo z, de forma tal que el incremento total en z resulta igual a:
(4/3)*(1/2) = 2/3 La última tabla resulta óptima porque ninguna de las
variables no básicas tiene un coeficiente negativo en la función z
Esto completa los cálculos del método símplex primal
Solución Artificial Inicial En el modelo Pintucolor todas las restricciones son
del tipo Esta propiedad, junto al hecho de que el segundo
miembro de todas las restricciones es no negativo, proporciona una solución factible básica inicial que contiene todas las variables de holgura
Tales condiciones no se satisfacen en todos los problemas de PL, lo que hace necesario diseñar un procedimiento de cálculo automático para comenzar las iteraciones Símplex
Variables artificiales Esta tarea se logra agregando variables artificiales
donde sea necesario para utilizarlas como variables de holgura
Sin embargo, como tales variables artificiales no tienen significado físico en el modelo original (de ahí el nombre de artificiales), deben tomarse medidas para llevarlas al nivel cero (0) en la iteración óptima
Es decir, se utilizan para comenzar la solución y se eliminan una vez cumplido su propósito
Cómo se hace Se debe conseguir volver esas variables poco
atractivas desde el punto de vista de la optimización Una manera lógica de llevar a cabo ese objetivo es
penalizando las variables artificiales en la función objetivo
Para este propósito existen dos métodos muy relacionados que se basan en la utilización del recurso de penalización
La técnica M o método de penalización y la técnica de dos fases
- iii -La Técnica M o de Penalización
La Técnica M o de Penalización La Técnica M es un método de penalización que se
desarrolla tal como se muestra en el siguiente ejemplo:
Minimizar z = 4x1 + x2
Sujeto a 3x1 + x2 = 3
4x1 + 3x2 6 x1 + 2x2 4 x1, x2 0
La forma estándar del modelo La forma estándar de este modelo es entonces:
Minimizar z = 4x1 + x2
Sujeto a 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 – x3 = 6
x1 + 2x2 + x4 = 4 x1, x2 , x3 , x4 0
Agregar variables artificiales Las dos primeras ecuaciones no tienen variables
que desempeñen la función de holgura, por lo cual se agregan en éstas dos variables artificiales R1 y R2 de la siguiente forma:
3x1 + x2 + R1 = 3
4x1 + 3x2 – x3 + R2 = 6
Penalización Se penaliza R1 y R2 en la función objetivo fijándoles
un coeficiente M > 0 muy grande, por lo que la PL con su variable artificial se transforma en:
Minimizar z = 4x1 + x2 + MR1 + MR2
Sujeto a 3x1 + x2 + R1 = 3
4x1 + 3x2 – x3 + R2 = 6 x1 + 2x2 + x4 = 4
x1, x2 , x3 , R1, R2 , x4 0
Razón para usar las variables Obsérvese por qué se usan las variables artificiales,
pues se tienen 3 ecuaciones y 6 incógnitas Por lo tanto, la solución básica inicial debe incluir
6 – 3 = 3 variables con valor cero (0)
Si se coloca x1, x2 y x3 en el nivel cero (0), de inmediato se obtiene la solución R1 = 3, R2 = 6 y x4 = 4, que es la solución factible inicial que se necesita
El “nuevo” modelo Este hace que R1 y R2 sean cero (0) Porque como se realiza un proceso de minimización
asignando M a R1 y R2 en la función objetivo, el proceso de optimización que busca el valor mínimo de z asigna, por último, valores cero (0) a R1 y R2 en la solución óptima
Véase que las iteraciones inmediatas anteriores a la iteración óptima no son importantes, por lo tanto, resulta intrascendente si se incluyen o no variables artificiales en el nivel positivo
El caso de maximizar ¿Cómo cambia la técnica M si se maximiza en vez
de minimizar la función objetivo? Mediante el uso de la misma lógica de penalizar la
variable artificial, se debe asignar el coeficiente –M de la función objetivo (M > 0), con lo cual se vuelve poco atractivo mantener la variable artificial en un nivel positivo en la solución óptima, luego la ecuación se formula:
Maximizar z = 4x1 + x2 – MR1 – MR2
Condicionar el problema Habiendo construido una solución factible inicial, se
debe “condicionar” el problema de modo que cuando se plantee en la tabla, la columna del lado derecho produzca la solución inicial en forma directa
Esto se hace mediante el uso de las ecuaciones de restricción para sustituir R1 y R2 en la función objetivo, de forma que,
R1 = 3 – 3x1 – x2
R2 = 6 – 4x1 – 3x2 + x3
La función objetivo reformulada Por lo tanto, la función objetivo se convierte en
z = 4x1 + x2 + M(3 – 3x1 – x2)
+ M(6 – 4x1 – 3x2 + x3 )
z = (4–7M) x1 + (1–4M) x2 + Mx3 + 9M
Y la ecuación z figura ahora en la tabla como,z – (4–7M) x1 – (1–4M) x2 – Mx3 = 9M
Si x1= x2 = x3 = 0, el valor de z es 9M, como debe ser cuando R1 = 3 y R2 = 6
Para llegar a la solución Este es un problema de minimización, de manera
que la variable que entra debe tener el coeficiente más positivo en la ecuación z
Se llega al óptimo cuando todas las variables no básicas tienen coeficientes z no positivos
No hay que olvidar que M es una constante positiva muy grande
Se realiza la sucesión de tablas que conducen a la solución óptima
Iteración 0
En esta iteración x1 entra y R1 sale
Básica x1 x2 x3 R1 R2 x4 Solución
z -4+7M -1+4M –M 0 0 0 9M
R1 3 1 0 1 0 0 3
R2 4 3 –1 0 1 0 6
x4 1 2 0 0 0 1 4
Iteración 1
En esta iteración x2 entra y R2 sale
Básica x1 x2 x3 R1 R2 x4 Solución
z 0(1+5M)
/3–M
(4-7M)/3
0 0 4+2M
x1 1 1/3 0 1/3 0 0 1
R2 0 5/3 –1 -4/3 1 0 2
x4 0 5/3 0 -1/3 0 1 3
Iteración 2
En esta iteración x3 entra y x4 sale
Básica x1 x2 x3 R1 R2 x4 Solución
z 0 0 1/5 8/5-M -1/5-M 0 18/5
x1 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5
x2 0 1 –3/5 -4/3 3/5 0 6/5
x4 0 0 1 1 -1 1 1
Iteración 3
En esta iteración se llega a la solución óptima
Básica x1 x2 x3 R1 R2 x4 Solución
z 0 0 0 7/5-M -M -1/5 17/5
x1 1 0 0 2/5 0 -1/5 2/5
x2 0 1 0 -1/5 0 3/5 9/5
x3 0 0 1 1 -1 1 1
Solución final La solución óptima es x1= 2/5, x2 = 9/5 y z = 17/5
Como no contiene variables artificiales en el nivel positivo, la solución es factible con respecto al problema original, antes de que se sumaran las variables artificiales
Si el problema no tiene solución factible, cuando menos una variable artificial resulta positiva en la solución óptima
Este caso se analiza a continuación
- iv -La Técnica de dos fases
La Técnica de dos Fases Como se observa en el ejercicio anterior, una
desventaja de la técnica M es el posible error de cálculo que puede resultar al asignar un valor muy grande a la constante M
El método de dos fases se ha diseñado para reducir esta dificultad
Aunque las variables artificiales se agregan de la misma manera que en la técnica M, el uso de la constante M se elimina resolviendo el problema en dos etapas o dos fases
Fase I Se agregan variables artificiales según sea
necesario para asegurar una solución inicial Se formula una nueva función objetivo que busque
la minimización de la suma de las variables artificiales sujeto a las restricciones del problema original modificado por las variables artificiales
Si el valor mínimo de la nueva función objetivo es cero (0), lo que significa que todas las artificiales tienen valor cero (0), el problema tiene un espacio de soluciones factible
Fase I Si se cumple la anterior condición, entonces, se
pasa a la fase II De lo contrario, si el mínimo es positivo, el problema
no tiene solución factible y termina el procedimiento
Fase II Se utiliza la solución básica óptima de la fase I
como solución inicial para el problema original
Aplicación al ejemplo anterior Como se necesitan las variables artificiales R1 y R2
en la primera y segunda ecuaciones, el problema en la fase I se plantea como:
Minimizar r = R1 + R2
Sujeto a 3x1 + x2 + R1 = 3
4x1 + 3x2 – x3 + R2 = 6 x1 + 2x2 + x4 = 4
x1, x2 , x3 , R1, R2 , x4 0
Sustitución de R1 y R2 Como R1 y R2 están en la solución inicial, deben
sustituirse en la función objetivo en la siguiente forma:
Minimizar r = R1 + R2
Luego, r = (3 – 3x1 – x2 )+ ( 6 – 4x1 – 3x2 + x3)
= – 7x1 – 4x2 + x3 + R2 + 9
Tabla inicial convertida
Por consiguiente, la tabla inicial se convierte en:
Básica x1 x2 x3 R1 R2 x4 Solución
r 7 4 –1 0 0 0 9
R1 3 1 0 1 0 0 3
R2 4 3 –1 0 1 0 6
x4 1 2 0 0 0 1 4
La columna “solución” da el nuevo valor de x4=4, que es igual a la razón mínima de la condición de factibilidad
Tabla óptima
La tabla óptima se obtiene en dos iteraciones y está dada por:
Básica x1 x2 x3 R1 R2 x4 Solución
r 0 0 0 –1 –1 0 0
x1 1 0 1/5 3/5 –1/5 0 3/5
x2 0 1 –3/5 –4/5 3/5 0 6/5
x4 0 0 1 1 –1 1 1
Como el mínimo es r = 0, el problema tiene una solución factible y por lo tanto se pasa a la fase II
El paso a la fase II Las variables artificiales han servido ahora a su
propósito y deben eliminarse en todos los cálculos subsiguientes
Esto significa que las ecuaciones de la tabla óptima en la fase I se pueden escribir como:
x1 +1/5 x3 = 3/5 x2 – 3/5 x3 = 6/5
x3 + x4 = 1
Problema original reformulado Las ecuaciones son exactamente equivalentes a
las de la forma estándar del problema original, antes de agregar variables artificiales, por lo tanto el modelo inicial se puede escribir como :
Minimizar z = 4x1 + x2
Sujeto a x1 +1/5x3 = 3/5
x2 – 3/5x3 = 6/5
x3 + x4 =1
x1, x2 , x3, x4 0
Aportes de la fase I Como se puede ver, la contribución principal de los
cálculos de la fase I consiste en proporcionar una solución inicial ajustada al problema original
Como el problema tiene 3 ecuaciones y 4 variables, al hacer la variable 4 – 3 = 1, es decir, x3 igual a cero (0), inmediatamente se obtiene la solución factible básica inicial x1 = 3/5, x2 = 6/5 y x4 = 1
Sustitución de las variables Para resolver el problema, se sustituyen las
variables básicas x1 y x2 en la función objetivo como se hace en la técnica M o de Penalización
Esto se logra mediante el uso de las ecuaciones de restricción de la siguiente forma:
z = 4x1 + x2
= 4(3/5–1/5x3) + (6/5+3/5x3)
= –1/5x3 + 18/5
Tabla inicial fase II
Por lo tanto, la tabla inicial para la fase II se convierte en:
Básica x1 x2 x3 x4 Solución
r 0 0 1/5 0 18/5
x1 1 0 1/5 0 3/5
x2 0 1 –3/5 0 6/5
x4 0 0 1 1 1
La tabla no es óptima, ya que x3 debe entrar en la solución. Si se hacen los cálculos, la solución óptima se obtiene en una sola iteración (revisar)
Consideraciones La eliminación de las variables artificiales al final de la
fase I se efectúa solo cuando todas son no básicas Sin embargo, es posible que una o más variables
artificiales permanezcan básicas, pero a nivel cero (0), lo que ocurre al final de la fase I
Si éste es el caso, tal variable necesariamente forma parte de la solución inicial de la fase II
En sí, los cálculos en la fase II deben modificarse para prevenir que una variable artificial resulte con un valor positivo durante las iteraciones en esta fase
La regla aplicable La regla para garantizar que una variable artificial cero
(0) nunca resulte positiva en la fase II, es sencilla Obsérvese que en la columna de entrada, el coeficiente
de restricción asociado con el renglón de la variable artificial puede ser positivo, cero o negativo
Si es positivo, define automáticamente al elemento pivote, porque corresponde a la razón mínima de cero (0), y la variable artificial sale necesariamente de la solución básica para convertirse en no básica en la siguiente iteración
Coeficiente cero (0)
Si el coeficiente es cero (0), entonces, aunque el elemento pivote esté en alguna otra parte de la columna de entrada, la naturaleza de las operaciones en los renglones garantiza que el renglón artificial permanezca sin cambio, lo cual deja a la variable artificial básica a nivel cero (0), tal como se quiere
EI único caso restante es aquel del coeficiente negativo
Coeficiente negativo En este caso, el elemento pivote se encuentra
necesariamente en alguna otra parte de la columna de entrada y si la razón resultante mínima es positiva, la variable tendrá un valor positivo en la siguiente iteración ¿puede verse por qué?
Para impedir esto, todo lo que se tiene que hacer es obligar a la variable artificial a salir, seleccionando el coeficiente negativo como el elemento pivote de la iteración
La factibilidad del problema Aunque no se esté respetando la regla de la razón
mínima, no se hace lo mismo con la factibilidad del problema, que es lo fundamental de la regla de la razón mínima, porque la variable artificial tiene como valor cero (0)
De esta manera, cuando se efectúan las operaciones de renglón, el segundo miembro de la tabla permanece constante y por ello, factible
Resumen La “nueva” regla de la fase II, estipula que la
variable artificial debe salir de la solución básica en el momento en que su coeficiente de restricción en la columna de entrada adopte un valor diferente de cero (0) sea positivo o negativo
De hecho, esta regla se puede aplicar a cualquier variable básica cero (0) en cualquier tabla Símplex sin temor a infringir la condición de factibilidad
Flujograma del método
- v -El Método Símplex Dual
Método Símplex Dual Existe una clase de problemas de PL que no tienen una
solución factible básica inicial con solo holguras, pero que pueden resolverse sin utilizar variables artificiales
El procedimiento para resolver esta clase de problemas se denomina Método Símplex Dual
En este método la solución comienza siendo no factible y óptima (en comparación con el Símplex Primal que comienza siendo factible, pero no óptima)
Primero, se presenta el planteamiento del método simplex dual en forma gráfica y luego, en forma algebraica
Ejercicio Considérese el siguiente modelo de PL Maximizar z = 3x1 + 2x2
Sujeto a 3x1 + x2 3
4x1 + 3x2 6 x1 + x2 3 x1, x2 0
Nueva formulación Si se convierten las restricciones a ecuaciones,
aumentando variables de exceso u holgura, el problema puede expresarse como sigue:
Maximizar z = 3x1 + 2x2
Sujeto a –3x1 – x2 + x3 = – 3
– 4x1 – 3x2 + x4 = – 6
x1 + x2 + x5 = 3
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
Forma estándar La forma anterior es considerada la forma estándar del
método simplex dual La conversión se hace de tal forma que todas las variables
de exceso en las restricciones tengan un coeficiente de +1 multiplicando simplemente sus ecuaciones por –1
En este caso, el segundo miembro de la restricción resulta negativo y entonces se puede ver que la solución básica inicial
x3= –3 , x4 = –6 , x5 = 3
es no factible
Condiciones iniciales Pero si bien es no factible, al mismo tiempo, es
óptima (de hecho, mejor que óptima) porque el valor asociado de z es cero (x1= x2 = 0), la que no puede ser nada menor para x1 0 y x2 0, porque todos sus coeficientes son positivos: 3 y 2
Estas condiciones iniciales son las características que se necesitan para la aplicación del método simplex dual
Condición general La idea general del procedimiento símplex dual es
que mientras la primera iteración comienza siendo no factible y (mejor que) óptima, las siguientes iteraciones se mueven hacia el espacio factible, sin perder jamás su propiedad de optimalidad
El símplex regular mantiene la factibilidad al moverse hacia la optimalidad
En la iteración donde la solución resulta factible por primera vez, el proceso termina
Solución gráfica
óptimo:x1 = 3/5, x2 = 6/5z = 2 1/5
1 2 30
1
2
3
A D
C
B
x1
x2
Análisis de la solución La gráfica ilustra esta idea. La solución comienza en el
punto A x1 = x2=0 , x3= –3, x4 = –6 , x5 =0 y z =0
que es no factible con respecto al espacio de soluciones factibles
La siguiente iteración se alcanza moviéndose al punto B x1 =0 y x2=2 con z =4
que todavía no es factible La solución se alcanza en el punto C (x1 =3/5, x2=6/5), en
donde z =2 1/5
Final del proceso Como es la primera vez que se encuentra una solución
factible, el proceso de iteración termina Las iteraciones podrían haber procedido en el orden A-D-C
en lugar de A-B-C, llegando a la misma conclusión En realidad, el símplex dual selecciona una trayectoria
específica Véase también que los valores de z asociados con A, B y C
son 0, 4 y 4 1/5, respectivamente; lo que explica por qué la solución comienza en A, siendo mejor que óptima
Coincidencias y diferencias Las iteraciones símplex dual continúan estando asociadas
con los puntos extremos, tal como en el método simplex primal
Por consiguiente, las iteraciones sucesivas se obtienen aplicando las operaciones regulares en renglones de Gauss-Jordan
La diferencia principal entre los dos procedimientos se refleja en la manera como se seleccionan las variables de entrada y salida
Tabla inicial del método
Básica x1 x2 x3 x4 x5 Solución
z –3 –2 0 0 0 0
x3 –3 –1 1 0 0 –3
x4 –4 –3 0 1 0 –6
x5 1 1 0 0 1 3
La tabla inicial para la iteración símplex dual del ejemplo es:
Variable entrante
Variable saliente
Esta tabla corresponde al punto A de la gráfica, el reglón objetivo satisface la condición de optimalidad (minimización)
Resultado inicial Tampoco es factible porque x3 y x3 resultan con valores
negativos Estas son las condiciones necesarias para la iteración inicial
del método símplex dual, que sea óptima y no factible Como el objetivo es eliminar la no factibilidad, se procede
excluyendo de la solución las variables básicas negativas Aunque x3 (= –3) y x4 (= –6) califican para este propósito,
una regla práctica sugiere la eliminación de la variable menos factible (es decir, la más negativa) de entre todas las posibles, para que conduzca a la solución factible en forma más rápida
Así, se selecciona x4 como la variable que sale
Variable que entra Luego, del conjunto de las variables actuales no básicas se
selecciona la variable que entra, con tal de que no se pierda la optimalidad
Esto se logra tomando las razones entre los coeficientes del primer miembro de la ecuación z y los coeficientes correspondientes en la ecuación de la variable saliente
Para mantener la optimalidad, se descartan las razones con denominadores positivos o cero (0)
La variable entrante es la asociada con la razón que tenga el valor más pequeño
Cálculo de las razones En la tabla inicial, las razones se calculan como sigue:
Las razones muestran que x2 debe entrar en la solución, pues 2/3 < 3/4
Variable x1 x2 x3 x4 x5
Ecuación z –3 –2 0 0 0
Ecuación x4 –4 –3 0 1 0
Razón 3/4 2/3 – – –
Operación en los renglones Luego, efectuando operaciones regulares en los renglones,
se conduce a la siguiente tabla:
Básica x1 x2 x3 x4 x5 Solución
z –1/3 0 0 –2/3 0 4
x3 –5/3 0 1 –1/3 0 –1
x2 4/3 1 0 –1/3 0 2
x5 –1/3 0 0 1/3 1 1
Razón 1/5 – – 2 –
Entonces, x3 debe salir de la solución básica y entrar x1
Resultado En esta iteración, x3 sale de la solución la básica y entra x1
lo que conduce a la siguiente tabla:
Básica x1 x2 x3 x4 x5 Solución
z 0 0 –1/5 –3/5 0 2 1/5
x1 1 0 –3/5 1/5 0 3/5
x2 0 1 4/5 –3/5 0 6/5
x5 0 0 –1/5 2/5 1 6/5
Ahora, la tabla es factible y óptima, la solución es x1= 3/5,
x2 = 6/5 y z = 2 1/5
Problemas de maximización El método símplex dual se aplica igualmente a
problemas de maximización, siempre que la solución inicial sea óptima, pero no factible
La única diferencia se presenta en la condición para seleccionar la variable entrante que depende de la condición de optimalidad
Condición de factibilidad La variable saliente es la variable básica con el valor
más negativo, los empates se rompen de forma arbitraria
Si todas las variables básicas son no negativas, el proceso termina
Condición de optimalidad La variable entrante es la variable no básica asociada con:
– la razón más pequeña, si se trata de una minimización– con el valor absoluto más pequeño de las razones, si se trata de
una maximización– Rompiéndose los empates arbitrariamente
Las razones se determinan dividiendo los coeficientes del primer miembro de la ecuación z entre los coeficientes negativos correspondientes en la ecuación asociada con la variable saliente
Si todos los denominadores son cero (0) o positivos, no existe solución factible
Otras aplicaciones El método símplex dual, aparte de utilizarse para
resolver una clase especial de problemas de PL, es útil para efectuar post-optimizaciones en el análisis de sensibilidad y en la programación paramétrica
Interpretación de los resultadosDe la tabla símplex se puede obtener información
complementaria como la siguiente: La solución óptima El estado de los recursos Los precios duales (valor unitario de los recursos) y
los costos reducidos La sensibilidad de la solución óptima a cambios en
la disponibilidad de recursos, ganancia -costo marginal (coeficientes de la función objetivo) y el uso de los recursos por las actividades del modelo
Problema Determinar la producción de pinturas para interiores
y exteriores, en toneladas, para: Maximizar z = 3xE + 2xI (función objetivo)
Sujeto a (materia prima A) (materia prima B) (demanda) (demanda)
62 1 sxx IE
82 2 sxx IE
13 sxx IE
24 sxI
0,,,,, 4321 ssssxx IE
Tabla óptima
La tabla óptima está dada como: Básica xE xI s1 s2 s3 s4 Solución
z 0 0 1/3 4/3 0 0 12 2/3
xI 0 1 2/3 – 1/3 0 0 1 1/3
xE 1 0 – 1/3 2/3 0 0 3 1/3
s3 0 0 – 1 1 1 0 3
s4 0 0 – 2/3 1/3 0 1 2/3
La solución es xE=3 1/3, xI=1 1/3 (punto C) y z=12 2/3
La solución óptima La clasificación matemática de las variables como básicas y
no básicas no tiene ninguna importancia y debe ignorarse en su totalidad en la interpretación de la solución óptima
Las variables no incluidas en la columna “básicas” tienen necesariamente valores de cero (0)
El resto de las variables tienen sus valores en la columna solución
Para la solución óptima interesa la mezcla de pintura para exteriores e interiores, es decir, las variables de decisión xE y xI
Decisiones en la solución óptima En la tabla óptima:
Variable de decisión Valor óptimo Decisión
xE 3 1/3 Producir 3 1/3 toneladas diarias de pintura para exteriores
xI 1 1/3 Producir 1 1/3 toneladas diarias de pintura para interiores
z 12 2/3 La utilidad resultante por la venta de pintura es de 12 2/3 de miles de pesos diarios
Compruébese que z=3xE+2xI=3*3 1/3+2*1 1/3=12 2/3, como se presenta en la tabla óptima
Estado de los recursos Una restricción se clasifica como escasa o abundante, ya
sea que la solución óptima “consuma” o no la cantidad total disponible del recurso asociado.
Esto se deduce de la tabla óptima. En el modelo hay cuatro restricciones del tipo
Las primeras que representan el uso de materias primas (A y B) son restricciones de recursos “auténticas”
Las segundas restricciones tienen que ver con limitaciones de demanda impuestas por las condiciones del mercado, por lo tanto, éstas se pueden considerar como “recursos” limitados, ya que aumentar los límites de la demanda equivale a ampliar la participación de la compañía en el mercado
Consideraciones En términos monetarios, lo anterior tiene el mismo efecto
que incrementar la disponibilidad de recursos físicos (como materias primas) a través de la asignación de fondos adicionales
En cualquier modelo de PL, el estado de los recursos abundante o escaso se puede obtener en forma directa de la tabla óptima observando los valores de las variables de holgura
Una holgura positiva significa que el recurso no se usa totalmente, o sea, que es abundante
Una holgura cero (0) indica que la cantidad total del recurso se consume por las actividades del modelo
Explicación del estado En la tabla óptima:
Recurso Holgura Estado del recurso
Materia prima A S1=0 Escaso
Materia prima B S2=0 Escaso
Límite en el exceso de pintura de interiores sobre la de exteriores
S3=3 Abundante
Límite en la demanda de pintura para interiores
S4= 2/3 Abundante
Los recursos que se pueden incrementar para mejorar la utilidad z son las materias primas A y B, ya que son escasos
Precios duales Esta información se obtiene fácilmente en la tabla símplex
óptima, obsérvense los coeficientes de la función z debajo de las variables básicas iniciales en la tabla óptima, así:
Básica xE xI s1 s2 s3 s4 Solución
z 0 0 1/3 4/3 0 0 12 2/3
Los coeficientes (1/3, 4/3, 0, 0) son los precios duales obtenidos
Precio dual Del procedimiento gráfico desarrollado para el problema
de Pintucolor, mostrado en la presentación de la PL, se obtuvieron precios duales
Considerando que y1, y2 , y3 y y4 son los precios duales de los recursos 1, 2, 3 y 4, del modelo que fue planteado se obtienen los siguientes resultados:
y1 = 1/3 miles de pesos por tonelada adicional de la materia A
y2 = 4/3 miles de pesos por tonelada adicional de la materia B
y3 = 0 y4 = 0
Comentarios La teoría muestra que siempre es posible asegurar el precio
dual de un recurso a partir de los coeficientes de las variables básicas iniciales
No debe presentarse confusión en cuanto a qué coeficiente se aplica a qué recurso, ya que si está asociada exclusivamente con el recurso i
Se puede obtener el mismo resultado directamente de la ecuación z óptima del modelo, así:
)003
4
3
1(
3
212 4321 ssssz
Explicación Si cambia s1 de su nivel cero (0) actual, el valor de z cambia
a razón de 1/3 de miles de pesos por tonelada Pero un cambio en s1 en realidad equivale a cambiar el
recurso 1 (materia prima A) en una cantidad igual, como puede verse en la ecuación de restricción asociada
xE+2xI+s1=6 Esto significa que el precio dual de la materia prima A es
1/3. Un argumento similar se aplica al recurso 2 En cuanto a los recursos 3 y 4, sus precios duales son cero
(y3 = y4 = 0), como era de esperarse, puesto que los dos recursos ya son abundantes, como se demuestra por el hecho que sus valores asociados de holgura son positivos
Casos especialesEn la aplicación del método símplex se pueden presentar
casos especiales, entre los que se cuentan: Degeneración Opciones óptimas Soluciones no acotadas Soluciones inexistentes o no factibles
Resumen Se han presentado dos variantes del método símplex: el
primal y el dual Ambas variantes se basan en la teoría fundamental que
establece que la solución óptima, está asociada con un punto extremo o esquina del espacio de soluciones y que los puntos extremos quedan identificados completamente por las soluciones básicas de la forma estándar del PL
EI símplex primal comienza factible, pero no óptimo y continúa siendo no óptimo hasta que se alcanza la iteración final
El símplex dual comienza (mejor que) óptimo, pero no factible y continúa siendo no factible hasta el final del proceso iterativo
SíntesisProgramación Lineal PL
Método SímplexVariante Primal DualSolución Factible No factible
No óptima Óptima y mejorMétodo de cálculo Eliminación de Gauss-JordanSolución básica Determina los puntos extremosCondiciones Factibilidad
Optimalidad
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Facultad de Ciencias Económicas
Escuela de Administración de Empresas y Contaduría Pública
Administración de Empresas
PRODUCCIÓN I, Grupo 1, Código: 2016121
GUILLERMO OSPINA VARÓNIngeniero Civil · Magíster en Administración
Universidad Nacional de ColombiaDiplôme d’Université Sciences de Gestion
Université de Rouen, [email protected]