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TEORA DEL CIERRE CATEGORIAL APLICADO A LAS MATEMTICAS

Julin Velarde Lambraa

i. Naturaleza de las Matemticas

En las clasificaciones usuales de las ciencias las Matemticas aparecen junto con la Lgica entre las llamadas Ce. Formales frente a las llamadas Ce. Naturales y tambin frente a las Ce. Humanas'.

Ahora bien, muchas de tales clasificaciones adolecen de criterios rigurosos, de una autntica idea de ciencia tal que: (1) permita separar las disciplinas cientficas de las que no lo son, y (2) permita separar las Ce. Formales de las Ce. Naturales o de las Ce. Humanas. Lo que se busca, pues, es (1) un anlisis gnoseolgico de una disciplina dada su naturaleza gnoseolgica interna, en este caso de las Matemticas, y (2) una clasificacin gnoseolgica de las ciencias que ubique a las Matemticas en la Repblica de las ciencias.

Para lo primero es preciso disponer de una idea de ciencia que posibilite un anlisis riguroso. Utilizamos aqu la idea de ciencia configurada desde la Teora del cierre categorial, teora elaborada por G. Bueno' y que l mismo y otros de su equipo hemos aplicado al anlisis de varias disciplinas: la Economa, la Lingstica, etc.

' Confer., por ej. Wundt, W.: Principios de Filosofa, Vil; Rougier, Traite de la Connaisance, Pars, 1955, pp. 37-38; Camap, Einfhrung in die SymboUsche Logik, Viena, Springcr, 1954, p.l.

' Idea de ciencia desde la teora del cierre categorial, Sanumder, Univ. Internacional M. Pelayo, 1976; En tomo al concepto de ciencias humanas, El Basilisco, 2 (1978), 12-46; El cierre categorial aplicado a las ciencias fsico-qumicas, en Actas del I Congreso Teora y Metodologa de las Ciencias, Oviedo, Pentalfa. 1982, pp. 101-175; y otros varios trabajos en El Basilisco

Revista Meta, Congreso sobre la filosofa de Gustavo Bueno (enero 1989), Editorial Complutense 1992

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Los trminos de la expresin cierre categorial provienen, respectivamen-te, de las Matemticas y de la Filosofa.

En las primeras se habla de operaciones cerradas o de conjuntos cerrados o de sistemas axiomticos cerrados frente a operaciones o conjuntos o sistemas abiertos. Una operacin es cerrada o interna con respecto a un conjunto de trminos si, aplicada a dos cualesquiera de stos, el trmino resultante pertene-ce tambin al conjunto. Por ejemplo, la operacin x es interna al conjunto de los nmeros naturales. Habida cuenta de que cuando hablamos de cierre categorial no nos referimos a una operacin aislada respecto de un conjunto, sino, ms bien, a un sistema de operaciones respecto de un conjunto de varias clases de trminos.

En filosofa, la nocin de categora es susceptible (y as se toma aqu) como equivalente a concepto y en cuanto contrapuesto a idea. Las catego-ras o conceptos son las nociones que nacen, se originan y se mantienen en un mbito especfico disciplinar sin perjuicio de que en un momento dado puedan trascender ese mbito, en cuyo caso dejan de ser categoras para convertirse en ideas. Las ideas, a su vez, pueden influir en las categoras reorganizndolas de otro modo. La nocin de funcin, por ejemplo, fue, en un principio, una categora de las Matemticas. Naci en el siglo XVII con Fermat, pero slo como conjunto de operaciones a efectuar. Se aplica de forma especial a partir de la creacin del clculo integral (Leibniz) y de los desarrollos por parte de BemouUi, Euler y Weierstrass, funcionando como categora estrictamente aritmtica: funcin analtica, pero que desborda, por otra parte, el campo de la Aritmtica; y as, en Riemann y Dirichlet funcin es toda correspondencia entre dos conjuntos. Al campo de la Lgica pasa de la mano de Boole y especialmente de la de Frege. Frege ampla el crculo de las operaciones del clculo que contribuyen a la creacin de una funcin, y asimismo ampla el crculo de lo que puede aparecer como argumento y como valor de una funcin. Con el anlisis de las proposiciones como descompuestas en dos partes, argumento y fun-cin, las categoras especficas de la lgica (concepto, proposicin, predicado, relacin, etc.) sufren una nueva reorganizacin. Y, a su vez, esta idea de funcin le sirve a Frege para reorganizar las categoras especficas de la Aritmtica. Critica la idea de funcin de Dirichlet (a quien siguieron Riemann, Hankel y Dedekind): correspondencia entre clases de objetos cuales-quiera (no restringidos a clases de nmeros), porque la nocin de clase es, para Frege, algo derivado. No cabe determinar la nocin de funcin a partir de la nocin de clase sino viceversa. La nocin de funcin as entendida es ms amplia que la tradicional matemtica. Pero que le permite a Frege alcanzar las categoras especficas de la Aritmtica: los nmeros.

l.l. Anlisis gnoseolgico de una ciencia

Segn la teora de cierre categorial, una ciencia no queda definida por su objeto formal, sino por una multiplicidad de objetos. Por ej., la lingstica queda definida, no como la ciencia del lenguaje, sino por una esfera de categoras (o


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conceptos): fonemas, diptongos, monemas, slabas, etc. El campo de una disciplina no constituye un conjunto o clase homognea, sino un conjunto de clases, de partes formales cuya unidad debe ser determinada desde su interior a partir de los propios nexos que enlazan esas partes. El campo de una ciencia deber constar, pues, de ms de una clase de trminos. Y esas diversas clases estn vinculadas no slo por relaciones de semejanza o de identidad, sino tambin por relaciones de diversidad o de sinexin (unin necesaria de los trminos sin perjuicio de su diversidad). As, en Lgica, una clase a puede estar formada por el conjunto de los valores (dos en Lgica bivalente; ms de dos en Lgica polivalente), y una clase p, por el conjunto de las variables (variables proposicionales, predicativas, etc.) que, a su vez, constituyen configuraciones de otras clases, como puede ser la clase de las funciones (funciones de un argumento, de dos, de tres, etc.), de suerte que las variables proposicionales vendran ahora determinadas por las funciones de cero argumentos.

En Matemticas, una clase a puede estar formada por el conjunto de las series (convergentes, divergentes, oscilantes, finitas, infinitas, etc.) y una clase P por el conjunto de los nmeros (naturales, primos, etc.) respecto de unas u otras series. Entre esas clases median relaciones de sinexin, por cuanto que una serie puede venir configurada a travs de un proceso operatorio sobre otra; as, por ejemplo, si de la serie de los cuadrados de los enteros 0^ IS 4, 9, 16, 25, 36... restamos de cada uno de ellos el anterior, obtenemos la serie de los impares 1, 3, S, 7, 9, 11... de suerte que la serie de los impares aparece ahora, no como primitiva, sino como configurada a partir de otra tomada como primitiva, y ello en virtud de un proceso operatorio presidido por la ley (identidad sinttica), segn la cual la diferencia entre los trminos n-simo y (n-l)-simo de la sucesin de cuadrados es:

n' - (n-1)^ = 2n-l Los trminos dados no son, pues, entidades primitivas, atmicas; y no slo

porque podemos distinguir en ellos componentes ms complejos, por ejemplo, el nmero de argumentos que posee una funcin en Lgica, o bien el nmero de trminos de una serie si es finita o infinita en Matemticas, sino porque se hace preciso distinguir distintos estratos o niveles que exigen atribuir una estructura matricial a esos trminos primitivos. Los trminos dados son primi-tivos o simples en la medida en que se combinan con otros formando confgu-raciones; en la medida en que se establecen relaciones y operaciones entre ellos. Por ej. el conjunto ( 0 ) es tomado como trmino primitivo, sujeto a relaciones y operaciones con otros trminos primitivos {x,), jx,, Xj} incluidos en el conjunto X, en tanto que aparece, por ej. en la configuracin {x,) O (Xj, x,} = {0) .

Los trminos primitivos, en cuanto dados, constituyen el campo material de la disciplina en cuestin. Cuando entre ellos se dan ciertas relaciones y ofwra-ciones tales que nos permiten pasar de trminos a configuraciones y viceversa, es decir, cuando queda el campo cerrado categorialmente, se constituye la ciencia en cuestin.



El grado de cientificidad de una disciplina corresponde, segn esto, al grado de su cierre categorial. Unas disciplinas estn ms cerradas que otras; y, dentro de una disciplina, unas partes estn ms cerradas que otras. El criterio es, pues: con respecto a tales y cuales relaciones y operaciones la Aritmtica est ms sistematizada que la Teora de Conjuntos, por ej.; o el clculo de clases ms cerrado que el de relaciones. La constitucin de un campo cerrado de categoras viene, por lo dems, determinado dentro de un proceso histrico-cultural muy preciso. As, en el siglo XIX se inicia el proceso de rigorizacin del anlisis en el que toman parte Cauchy, Weierstrass, Abel, Jacobi... y culmina con Dedekind.

La categora misma de funcin era controvertida entre los matemticos. Bolzano inicia en 1817 el estudio de las propiedades de las funciones. Examina las diferentes demostraciones del teorema fundamental del lgebra: toda funcin algebraica racional de una variable puede ser descompuesta en factores reales de primer o de segundo grado. Todas las pruebas (desde la primera ofrecida por Gauss en 1799) caen en la alternativa: crculo vicioso o recurso a la intuicin geomtrica. Para escapar a sta busca Bolzano un fundamento objetivo en las definiciones. Y, as, pasa a ofrecer la definicin de continuidad en sentido moderno; definicin que ser perfeccionada por Weierstrass. En esta definicin, como en la demostracin del teorema que establece la existencia de ceros en las funciones continuas [si f(x) es continua en el intervalo [a, b] y en los extremos toma valores f(a) y f(b) de signos opuestos, entonces f(x) posee al menos un valor igual a cero entre a y b], Bolzano apela a categoras aritmticas; y, como Bolzano, tambin Cauchy fundamenta el concepto de lmite en consideraciones estrictamente aritmticas. Y, fmalmente, con E>edekind [Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872)] culmina el proceso llamado aritmetizacin del anlisis. Mediante el procedimiento de las cortaduras establece una fundamentacin terica definitiva de los nmeros reales, recons-truyendo stos a partir de los racionales y, por tanto, a partir de los naturales (ya que los racionales son fcilmente definibles en trminos de los naturales). Con ello todo el Anlisis (clculo diferencial e integral) puede ser tratado en trminos de nmeros naturales y su aritmtica, mostrando as la posibilidad de reconstruir la matemtica sobre la base de un reducido nmero de categoras elementales de la Aritmtica. Pero culminada esta etapa, este cierre aritmti-co, otra nueva tarea emprenden Dedekind y Frege en los aos 80: la tarea logicista de fundamentar la Aritmtica reconstruyendo sus categoras sobre categoras lgicas.

Este es el contexto histrico-cultural, en el que se plantea la reconstruccin de una de las ramas principales de las Matemticas, la Aritmtica. A partir de este contexto nos parece que resulta tambin pertinente aplicar el anlisis gnoseolgico desde la teora del cierre categorial restringido a la Aritmtica.

Con la aritmetizacin del Anlisis, muchos matemticos creyeron haber obtenido la rigorizacin y fundamentacin de las Matemticas. Estas quedaban cerradas aritmticamente; podan ser construidas desde categoras nica-mente aritmticas. Esa era la verdad de la frase de Kronecker: El buen Dios



ha creado los nmeros enteros; todo lo dems es obra del hombre. Sin embargo, Dedekind y Frege van ms all de Kronecker. Su proyecto consiste en reconstruir las categoras aritmticas desde categoras lgicas. Ha resultado o puede resultar ello posible? Frege, sobre todo, en su intento, pasa revista a otros proyectos, a otras alternativas, que sitan el campo material y los conte-nidos de la Aritmtica fuera de donde l los sita, fuera de la Lgica, de manera que completando su examen podemos, primero, analizar las alternativas posi-bles (que de hecho han sido propuestas) sobre los contenidos del campo de la Aritmtica. Para organizar el examen de estas alternativas utilizaremos el siguiente criterio. Consideramos que en la estructura aritmtica hay tres com-ponentes (o bien que el espacio aritmtico est limitado por tres clases de elementos): los sujetos, los objetos y el lenguaje.

Que los sujetos sean componentes indispensables de la estructura aritmti-ca, por cuanto que sin la presencia de los sujetos (sujetos gnoseolgicos, sobre los que luego volveremos) no habra Aritmtica, consideramos no necesita mayor justificacin.

Tambin consideramos superfluo justificar la necesidad de los objetos como componentes de la estructura aritmtica: sin objetos no habra Aritmtica.

La justificacin del lenguaje (de los signos) como componente esencial y necesario de la estructura aritmtica es ya ms complicada. Es indiscutible, en primer lugar, que la Aritmtica, como tambin las restantes ciencias, est vinculada al lenguaje. Mas es, precisamente, la naturaleza del vnculo lo que se discute, lo que hay que dilucidar. Pues bien, consideramos que la vinculacin es interna, en el sentido de que sin lenguaje no podra ser pensada la racionalidad cientfica, si bien esta racionalidad no se reduce al marco estrictamente lingstico. Toda ciencia (y toda disciplina) exige un lenguaje (libros, vocabulario de trminos especficos, etc.) que, en su funcin pragmtica, tiene como objetivo recoger e indicar los mtodos de conducta de los sujetos para reproducir o reiterar los objetos que constituyen el campo de tal disciplina. Esos objetos que constituyen el campo de la disciplina guardan cierto tipo de relaciones y son sometidos a cierto tipo de operaciones; mas esas relaciones y operaciones no subsisten ni son posibles al margen de los sujetos que los cultivan (que en tal disciplina se pueda prescindir de tal o cual sujeto no quiere decir que se pueda prescindir de todos los sujetos). Los sujetos, ciertamente, son intercambiables, sustituibles; pero tal sustitucin queda posibilitada por esa funcin pragmtica del lenguaje. Es el lenguaje el que preside, el que sirve para establecer la conexin entre la actividad subjetiva entre los objetos y la recurrencia de esa actividad. El lenguaje es el cauce de la interconexin entre las operaciones intrasubjetivas (enlace de las operaciones y sensaciones pasadas, presentes y futuras del sujeto gnoseolgico consigo mismo - autologismo, necesidad de la memoria) y de las operaciones intersubjetivas (enlace entre los diversos sujetos dedicados a la construccin cientfica posibilitadora de la sistematizacin de los mltiples contenidos de la ciencia).

Ahora bien, el lenguaje (los signos) es un componente esencial y necesario de la Aritmtica no slo desde la perspectiva pragmtica, sino desde el eje



semntico, en ei sentido de que sin lenguaje no habra Aritmtica, por cuanto que la Aritmtica viene dada en frmulas lingsticas y desde la perspectiva del materialismo formalista (a la que luego haremos referencia ms explcita) las frmulas de las ciencias formales llevan en su propia suppositio materialis, en su ser significantes, su propio contenido material, su propio significado. Los smbolos lgicos, matemticos, constituyen el propio contenido material y llevan incluidas estructuras lgicas y matemticas particulares.

Con estas distinciones creemos poder pasar revista de forma crtica y gnoseolgicamente positiva a las diversas teoras sobre los contenidos del campo de la Aritmtica, restringindonos, como antes hemos sealado, al perodo que se inicia con la fundamentacin de la Aritmtica y atenindonos al orden seguido por Frege en su exposicin crtica.

1.2. Teoras sobre la Aritmtica

Partiendo, pues, de que en el campo de la Aritmtica entran tres componen-tes (o bien que el espacio aritmtico est limitado por tres clases de elementos formando un tringulo): los sujetos, los objetos y el lenguaje, las teoras que efectivamente se han presentado con pretensiones de determinar el campo de la Aritmtica quedan agrupadas en cada uno de los lados del tringulo: A) Teoras que ponen la Aritmtica en el lado del sujeto sea ste emprico

ipsicologismo), sea el sujeto trascendental (trascendentalismo). El psicologismo hunde sus races en ciertas definiciones de Aristteles que

hacen descansar los axiomas en la evidencia. El trmino psicologismo fue usado por primera vez en Alemania para designar las doctrinas de Fries y Beneke, quienes critican el apriorismo trascendental kantiano, aunque mante-niendo la forma a priori entendida en sentido psicolgico. Las leyes de la Aritmtica como las de la Lgica son, para Fries, no leyes de las cosas, sino leyes de la pensabilidad de las cosas. Esta direccin psicologista es la que sigue tambin Husserl en su Filosofa de la Aritmtica (1891), antes de conocer la crtica de Frege al psicologismo.

El psicologismo est arraigado en multitud de teoras: Boole pensaba estar describiendo las leyes del pensamiento cuando escriba sus obras de lgebra. Si la ley de dualidad (la ms fundamental, segn l, del lgebra booleana) es x^=x y no x'=x, es porque nuestro pensamiento, opina Boole, funciona por dicotomas y no por tricotomas.

Tambin para Mili, las leyes de la Aritmtica se basan, bien en la experien-cia familiar, bien en un viejo y familiar hbito de pensar. Su psicologismo unido a su empirismo hacen de las verdades fundamentales de la Aritmtica eviden-cias de los sentidos; simples generalizaciones inductivas a partir de hechos observados; esas verdades nos son conocidas por la primitiva y constante experiencia.

El psicologismo empirista de Mili qued triturado por Frege en sus Funda-mentos de la Aritmtica, obra en la que tambin ataca el subjetivismo trascen-dental kantiano. Kant entiende el mtodo matemtico como construccin, esto



es, como la introduccin de elementos particulares (los nmeros) en cuanto distintos de los conceptos generales, por eso reclama para esa construccin el carcter de sinttica. Los juicios aritmticos 7+5=12 por ej. son sintticos, y son a priori; los conceptos que los componen nos vienen dados en la intuicin, y por lo tanto a priori: todo conocimiento matemtico tiene esta peculiaridad: debe, primero, exhibir sus conceptos en la intuicin y hacerlo as a priori; en una intuicin que no es emprica, sino pura; sin esto las matemticas no pueden dar un paso\

Otros, despus de Kant, han mantenido la fundamentacin de la matemtica en la intuicin, entendida sta, bien en sentido kantiano, bien en otros sentidos.

Para Kronecker toda operacin sobre entes matemticos, y principalmente sobre nmeros naturales encuentra su fundamento en la intuicin; ni la teora de conjuntos, ni la construccin de los nmeros reales, ni (en el fondo) ninguna construccin matemtica puede basarse en el infinito actual.

Poincar, en otro sentido, entiende la intuicin como una facultad innata, una especie de adivinacin o una iluminacin sbita que invade el espntu del matemtico y que permite la invencin matemtica\ Una demostracin matemtica no es una simple yuxtaposicin de silogismos, son silogismos colocados en un cierto orden, y el orden en el cual estn colocados estos elementos es mucho ms importante que ellos mismos. A travs de la intuicin de ese orden tenemos todos los elementos y esta intuicin del orden matem-tico es la que hace al matemtico adivinar las armonas y las relaciones ocultas'.

El intuicionismo de Brouwer y Heyting, por su parte, constituye una de las alternativas ms slidas a la fundamentacin de la Matemtica. La Matem-tica, segn Heyting, se identifica con la parte exacta de nuestro pensamiento; y tambin: La Matemtica intuicionista consiste en construcciones mentales y el pensamiento matemtico no nos proporciona verdad alguna acerca del mundo exterior, sino que slo se ocupa de construcciones mentales' y la matemtica intuicionista es un fenmeno de la vida, una actividad natural del hombre'.

Los intuicionistas reclaman el criterio cartesiano de verdad: la evidencia. Mientras que los formalistas en su axiomtica formal evitan todo recurso a evidencias no controladas y renuncian a apoyarse en representaciones sensibles para figurar objetos ideales, los intuicionistas fjan las entidades matemticas (los nmeros naturales, por ej.) valindose de una representacin material: a cada entidad de la construccin de x le asocia, por ej., un punto que marcamos sobre un papel'.

' Prolegmeno, 7. * Poincar, H.: Ciencia y Mtodo. III. Trad. cast. Madrid, Espasa Calpe. 1944. p. 48. ' fhfdem, p. 42. ' Introduccin al intuicionismo, trad. de V.Snchez de Zavala, Madrid, Tecnos. 1976, p. 19. ' Ibdem, p. 20. Ibdem, p. 24.



Y para Brouwer la matemtica es una actividad mental no lingstica, que tiene su origen en el fenmeno fundamental de la percepcin de un fluir del tiempo. Fluir que es el rompimiento de un momento de vida en dos cosas distintas, una de las cuales cede el paso a la otra, pero es retenido por la memoria. Si la bi-unidad as originada viene despojada de todo contenido cualitativo, queda el sustrato comn a toda la bi-unidad, la creacin mental de la bi-unidad abstracta'.

De manera que para los intuicionistas la construccin matemtica debe basarse exclusivamente sobre los nmeros naturales y stos, a su vez, sobre los conceptos de individuacin singular y de repetibilidad. En primer lugar, el acto mental de aislamiento que constituye la realizacin de una bi-unidad. Tal aislamiento singular queda posibilitado por la intuicin primaria del fluir del tiempo; intuicin entendida en sentido kantiano: a priori; y, en segundo lugar, el acto mental de repetir un nmero finito de bi-unidades las cuales: (1) deben ser ordenadas con respecto al tiempo en que vienen realizadas; y (2) deben ser tales que sus tiempos de realizacin no se superpongan ni siquiera en parte.

Queda por examinar qu entienden exactamente los intuicionistas por intuicin; concepto que queda mejor analizado (gnoseolgicamente) en el planteamiento de la metodologa intuicionista. B) Teoras que ponen la Aritmtica en el lado del objeto: sean los objetos

empricos (empirismo), sean los objetos ideales {idealismo). El empirismo de Mili ha sido duramente criticado por Frege. Las verdades

matemticas son para Mili verdades experimentales: se basan en la observacin y en la experiencia'"; y las ecuaciones matemticas pueden ser consideradas como defniciones; por ejemplo, la ecuacin 3=2+1 puede ser considerada como la definicin del nmero tres; pero tales defniciones dependen, en realidad, de hechos empricos que son establecidos por experiencia e induccin. Esta aritmtica de tarta de nueces, o de guijarros no obedece, segn Frege, a un procedimiento racional, sino a un mtodo que no puede ser ms antimatemtico: El empirismo de Mili concibe los nmeros como configuraciones de objetos fsicos que impresionan los sentidos con las imgenes de unas u otras descom-posiciones de colecciones dadas; mas qu objetos fsicos estn en la base del nmero cero?

Entre las teoras objetivistas empricas ms conocidas que sitan la Aritm-tica en la esfera de la fsica estn ciertas corrientes del Crculo de Viena que desarrollan el empirismo que aflora en el Tractatus Logico-Philosophicus, de Wittgenstein. Las proposiciones de la Lgica y de la Matemtica se reparten en dos clases: las proposiciones fundamentales (atmicas) que no son ms que registros de datos empricos inmediatos, que son las que hacen el lenguaje imagen del mundo; y las proposiciones moleculares que, por el contrario, son

' Brouwer, L.E.; Points and Space, Canadian Journal of mathematics, 6 (1954), pp. 1-17; p. 2.

' Mili, J.S.: A System of Logic, Libro 11, cap. 5, 4.


Teora del "Cierre categorial aplicado a las matemticas 113

funciones de verdad de las primeras y tienen como caracterstica peculiar el ser falsables o verificables sobre la base de las leyes del pensamiento. El principio de verificacin (el sentido de una proposicin es el mtodo de su verifica-cin) formulado por Wittgenstein hacia 1929 y comunicado a Schlick y Waismann en 1930 fue aplicado por ste ltimo a la filosofa matemtica.

Tambin Russell sigue el empirismo en algunas etapas del desarrollo de su pensamiento, especialmente en la primera etapa de su produccin literaria; en su Ensayo sobre los fundamentos de la geometra (1897), distingue dos clases de axiomas: (a) los que expresan (son aceptados como) las condiciones de la experiencia; y (b) los que son tomados de la experiencia, los cuales son leyes empricas, obtenidas como las leyes empricas de otras ciencias, a travs del estudio positivo del objeto (177).

Ms fuerza han tenido las teoras objetivistas que, considerando la teora platnica como paradigma, colocan la matemtica en un campo constituido por ciertas entidades ideales. Los principios matemticos, las verdades matemti-cas, etc., constituyen entidades existentes en s mismas, anteriores a, e indepen-dientes de, todo lenguaje y de todo hombre.

Modernamente cabe sealar como defensor de esta teora a Leibniz con su doctrina de las verdades de razn (cuales son las de la Lgica y la Matemtica), vlidas en todos los mundos posibles. Seguidor de Leibniz es Bolzano, quien sostiene el aspecto objetivo (ideal) de la matemtica. La Matemtica, dice Bolzano, no es, como errneamente supona Kant, una ciencia de construccin de conceptos en correspondencia con intuiciones puras, sino que es una ciencia conceptual a priori, al igual que la Lgica y la Metafsica; es la ciencia de las leyes (formas) universales a las que deben ajustarse las cosas en su modo de existencia", en donde leyes significa las condiciones de posibilidad de las cosas.

Las dos obras fundamentales de Bolzano: la Wissenschaftslehre {IS33) y las Paradoxien der Unendlichen (publicadas postumamente, en 1851) constituye-ron dos firmes bases del objetivismo ideal en Matemticas. Las Paradoxien der Unendlichen constituyen el punto de partida para las investigaciones de Cantor sobre el infinito matemtico y sobre los conjuntos. &i la Wissenschafstlehre encuentran los fenomenlogos, Brentano, Meinong y Husserl varias tesis que configuran su teora sobre la Matemtica.

Husserl, siguiendo a Brentano, sostiene que todos los actos mentales son intencionales; los objetos intencionales son ideales, distintos de los objetos reales y esta esfera ideal es la propia de la lgica pura y la aritmtica; stas, como ciencias de las individualidades ideales de ciertos gneros, o de lo que se f\xn& a priori en la esencia ideal de estos gneros, sepranse de la psicologa, como ciencia de los ejemplares individuales de ciertas clases empricas'^ y

" Wissenschqftslehre, 1833. " Investigaciones Lgicas, trad. de M.Oarca Morente y J.Gaos, Madrid, Revisu de Occiden-

te, 1976, p. 154.



las leyes aritmticas, lo mismo las numricas o aritmtico-singulares que las algebraicas o antmtico-generales, se refieren a esas individualidades ideales (especies nfimas en un sentido sealado, que es radicalmente distinto de las clases empricas). No enuncian absolutamente nada sobre lo real, ni sobre lo que se cuenta, ni sobre los actos reales en que se cuenta... Tratan pura y simplemente de los nmeros y de sus combinaciones, en su pureza e idealidad abstractas... Son leyes que se fundan puramente en la esencia ideal del gnero nmero. Las ltimas individualidades, que caen bajo la esfera de estas leyes, son ideales".

El ms firme sostenedor del carcter objetivo-ideal de la lgica y de la aritmtica es Frege, para quien los axiomas de la Lgica (y de la aritmtica a ellos reducibles) emanan de ese mundo ideal e invisible, de un tercer reino, que no es ni el de los objetos del mundo exterior, ni el de las representaciones subjetivas. No son hiptesis, sino principios verdaderos, necesarios, inmutables y nicos; hay juicios verdaderos independientemente del hecho de que los individuos humanos los efecten o no. Esas proposiciones primitivas (los axiomas) no pueden por s mismos probar su validez ni indicar su origen. Estn ah; y, cuando juzgamos, no podemos rechazarlos'*. Y es posible acceder a los objetos de ese tercer reino, aunque, ciertamente, no a travs de la sensibilidad: por eso rechaza Frege la tesis de Kant de que sin la sensibilidad no nos sera dado ningn objeto: el cero, el uno, son objetos que no nos pueden venir dados por los sentidos, sino que son dados directamente a la razn, la cual los puede contemplar como lo ms propio de s mismo... No hay nada ms objetivo que las leyes aritmticas'^ As, por ejemplo, el teorema de Pitgoras es intemporal; o tambin: que 3 cae bajo el concepto de nmero primo es una verdad objetiva; cuando la expreso no quiero decir que encuentro en m una idea que llamo 'tres' y otra que llamo 'nmero primo', y que estas dos ideas se relacionan. Hablar as sera amputar el verdadero sentido de dicha frase... Lo mismo pasara si, en lugar de decir: 'encuentro en m estas ideas', dijese: 'construyo en m estos conceptos', porque tampoco ahora daramos cuenta ms que de un proceso interior, en tanto que nuestra frase tiende a afirmar algo que fue y ser siempre objetivamente vlido, independientemente de nuestra vigilia y de nuestro sueo y con indiferencia con respecto al hecho de que haya habido o vaya a haber individuos para reconocer, o no, esta verdad".

Las leyes de la aritmtica versan, segn Frege, sobre un conjunto de objetos que no son objetos fsicos (bolas, guijarros), ni tampoco psquicos (sentimien-tos, sensaciones), pero son, ciertamente, objetos: los nmeros son objetos comunes para muchos, y sin duda son exactamente los mismos para todos".

" bdem, p. 150. " Grundgesene, I, p. xvii. " Fundamentos de la Aritmtica, trad. de U.Moulines, Barcelona, Laia, 1972, p. 124. " ber das Trgheisgesetz (1890), en Kleine Schriften, Edic. I, Angelelli, O. Olms,

Hildesheim, 1967, p. 122. " Fundamentos de la Aritmtica, p. 116.



En Introduccin a la Filosofa Matemtica (1919). B. Russell se adhiere a estas tesis de Frege. Defiende la identidad entre Matemtica y Lgica, y reta a quien opine lo contrario a que indique en qu punto de las sucesivas defini-ciones y deducciones de sus Principia Mathematica acaba la Lgica y empieza la Matemtica. Es imposible, segn Russell, trazar una Hnea entre las dos; las dos son, efectivamente, una sola cosa. Los contenidos de la Lgica y la Matemtica no son cosas particulares ni propiedades particulares, sino que son \& formas. Decimos que uno y uno son dos, pero no que Scrates y Platn son dos. Un mundo en el que no hubiera tales individuos continuara siendo un mundo en el que uno y uno seran dos'*. Como para Leibniz las verdades de razn, para Russell las verdades de la matemtica son vlidas en todos los mundos posibles; subsisten al margen de lo que ocurra en el mundo real (Hay proposiciones verdaderas y proposiciones falsas, como hay rosas blancas y rosas rojas)"; pero, adems, constituyen las leyes de los estados de cosas, de manera que la matemtica, y en ltimo trmino la Lgica a la que aquella se reduce, constituyen el alfabeto del libro de la vida, la imagen del mundo, la cosmologa. C) Teoras que ponen la Aritmtica en el lado del lenguaje sea entendido ste

como descriptivo, sea entendido como convencional. Como teora lingstica ms representativa en el primer sentido cabe citar

la expuesta por Camap en Meaning and Necessity (1947) en donde se junta la tradicin del positivismo lgico y la tradicin wittgensteiniana; all el campo de la Matemtica es el de los enunciados analticos; y analtico equivale a verda-dero, a a priori. El concepto de verdad empleado por Camap (L-verdadero) es un concepto que se define respecto de un Lenguaje. Dado un sistema lingstico en el que el vocabulario de predicados primitivos y constantes individuales permita ofrecer una especificacin de los enunciados atmicos del sistema. Una clase de enunciados del sistema dado es denominada descripcin de un posible estado en el sistema si contiene para cada enunciado atmico o bien ese enunciado o bien su negacin, pero no ambos ni otros. Se ofrece adems un conjunto de reglas que determinan si un enunciado es verdadero en una determinada descripcin de estado. Y a partir de ah se define la verdad as: Un enunciado es L-verdadero en el sistema si es verdadero para toda descrip-cin de estado en el sistema.

Tambin Camap es el paladn del convencionalismo matemtico y lgico. En su obra capital Logische Syntax der Sprache (1934) enuncia el llamado principio de tolerancia, segn el cual no existen unas leyes lgicas privile-giadas sobre otras, porque los sistemas lgicos son sistemas lingsticos y todo lenguaje posee sus propias reglas sintcticas, y cada cual es libre de expresarse en el lenguaje que desee, con tal de especificar el mbito y la sintaxis. Para defender su teora Camap slo necesita reformular el aforismo de Wittgenstein:

'" Meinong's theory of complexes and assumptions, Mind, 13 (1904): p. 523. " Ibdem.



1.1 El mundo es la totalidad de los hechos, no de las cosas, de este modo: La ciencia es un sistema de proposiciones y no de nombres. En esta obra la Matemtica es considerada como un conjunto de lenguajes, cada uno de los cuales ampla los precedentes, pero que no pueden quedar absorbidos todos en un nico lenguaje cerrado.

Y Ayer, en la 1* edic. de Language, Truth and Logic (1936) escribe: Los principios de la lgica y de la matemtica son universalmente verdaderos, sencillamente porque nunca les permitimos ser otra cosa. Y la razn de esto es que no podemos abandonarlos sin contradecimos a nosotros mismos, sin faltar a las normas que rigen el uso del lenguaje^".

Pero quienes de manera ms sistemtica han desconectado la Lgica y la Matemtica de los contenidos objetivos y de los subjetivos retrotrayndolos al plano simblico (formal) (al lado del lenguaje) han sido los formalistas (Hilbert, Bemays, von Neumann, Zermelo), tratando a la Matemtica como una teora axiomtica formal, y demostrando que dicha teora est exenta de contradic-cin. Este proyecto formalista recibe el nombre de metamatemtica o Beweistheorie (Teora de la prueba), desarrollada por Hilbert entre 1904 (ber die Grundlagen der Logik und der Arithmetik) y 1918 {Axiomatisches Denken). En la axiomtica formal todos los componentes subjetivos (las intui-ciones, las evidencias) as como toda referencia a un orden de objetos o de significados exteriores al sistema han de quedar eliminados. El sistema lo es de smbolos de varios tipos y el sentido de los smbolos queda precisado por las condiciones de su empleo.

Como antecedentes del formalismo de Hilbert estn Hankel (Jheorie der complexen Zahlensyseme (1867) y J. Thomae {Elementare Theorie der analytischen Funktionen einer complexen Varnderlichen (1898). Para ste ltimo la aritm-tica es un juego con signos que se dicen vacos; no poseen otro contenido que el que les es asignado por su comportamiento respecto de las reglas de juego.

Esas reglas del juego son en el sistema de Hilbert los axiomas. Los axiomas son para Hilbert definiciones implcitas y los trminos que designan los elementos primitivos pueden ser considerados como variables libres. As, en su axiomatizacin de la Geometra, dice Hilbert que pudo haber escrito silla, mesa y vaso en lugar de punto, recta y plano. Precisamente en esa formalizacin reside, segn l, el paso de la axiomtica intuitiva a la axiomtica formal, de manera que a un sistema de frmulas corresponde una pluralidad de interpretaciones, lo que significa admitir la posibilidad de que los signos que figuran en esas frmulas o los signos en general tengan mltiples denotaciones y mltiples sentidos (multivocidad=Ve/defi^:) de los signos. En la axiomtica formal los objetos de la teora estudiada y las relaciones que entre ellos se establecen son expresados por smbolos desprovistos de toda significacin. Reciben, solamente de una forma implcita, su determinacin a travs de los axiomas, de modo que en todas sus consideraciones la axiomtica

" Trad. de M.Surez, Barcelona, Martnez Roca, 1971, p. 88.



formal no utiliza ms relaciones primitivas que las formuladas expresamente por los axiomas^'.

El mtodo axiomtico, nacido con Euclides y perfeccionado por Hilbert, se convierte en dogma para el bourbakismo. El mtodo axiomtico dice Bourbaki" aplicado a entes matemticos complejos, permite disociar de ellos sus propiedades y agruparlos en tomo a un pequeo nmero de nociones, esto es, clasificarlos siguiendo las estructuras a las que p)ertenecen (bien entendido que una misma estructura puede intervenir a propsito de entes matemticos diversos). En este sentido, una vez establecido el concepto de estructura a travs del de sistema formal axiomtico, las Matemticas quedarn clasifi-cadas de acuerdo con los diversos tipos de estructuras.

1.3. Anlisis gnoseolgico de la Aritmtica

Hasta aquf hemos examinado las diversas teoras sobre la Matemtica en general, y ms en concreto sobre la Aritmtica, que podramos denominar teoras reduccionistas, por cuanto que reducen los contenidos del campo de dicha ciencia a uno de los tres componentes que, como hemos visto, intervienen necesariamente en la configuracin de toda ciencia.

La teora del cierre categorial pretende escapar al reduccionismo, integran-do los tres componentes necesarios a toda ciencia, analizados gnoseolgicamente, estableciendo tres ejes de coordenadas (partiendo de las tres dimensiones del lenguaje, conjuncin Bhler-Morris): ejes sintctico, semntico y pragmtico, juntamente con sus dimensiones.

Dado que los elementos intervinientes son: sujetos (S), objetos (O) y signos (2), y supuesto que cada elemento interviniente tiene lugar por la mediacin de los otros, tendremos:

I. Eje sintctico, dividido en tres secciones: (1) Trminos dado por la mediacin de O en las relaciones (2, Z ); (2) Relaciones de (S, S) a travs de O, y de (O, O) a travs de S; y (3) Operaciones los pares (2, S) y (S, Z), en cuanto mediadores de las relaciones (Z, Z) nos ponen en presencia de la propia actividad de los sujetos, en tanto que componen unos signos con otros. Los contenidos de una ciencia, considerados en su perspectiva sintctica caern en una de estas tres figuras gnoseolgicas del eje sintctico: trminos, relaciones y operaciones.

n. Eje semntico, comprende: (1) la seccin asociada al par (Z, O) en tanto que los signos se resuelven en los objetos: seccin Fisicalista; (2) la seccin asociada al par (O, Z) en tanto que consideramos al objeto (O) tal como aparece significado por : seccin Fenomenolgica; y (3) la seccin asociada al par (O, O) en tanto que est presupuesto en las relaciones formalmente semnticas: seccin ontolgica.

" Hilbert y Bemays: Grundlagen der Malhematik, I, 1, p. 7. " Elements de Mathmatique, Libro I: Thorie des ensembtes. Introduccin.



Referenciales, fenmenos y esencias son las figuras gnoseolgicas del eje semntico.

III. Eje pragmtico: (1) La seccin asociada a los pares (2, S) en cuanto conjunto de signos que se resuelven en los sujetos individuales S: seccin Autolgica; (2) la seccin asociada a los pares (S, 2) interpretados como emblemas de actividades de cada sujeto S que se resuelve en signos 2, y que, por lo tanto, remiten a otros sujetos diferentes del dado: seccin Dialgica; y (3) la seccin asociada a los pares (S,S) en cuanto componentes materiales de las relaciones pragmticas y que presiden las relaciones autolgicas y dialgicas: seccin Normas.

Autologismos, dialogismos y normas son las figuras del eje pragmtico. Estos tres ejes de coordenadas gnoseolgicas constituyen un mtodo de

anlisis de las diversas ciencias, mediante el cual cabe sealar las partes formales y la masa de conceptos de una ciencia. En nuestro caso para analizar los conceptos y las partes formales (los contenidos del campo) de la Matemtica.

La Matemtica, junto con la Lgica, constituyen las llamadas ciencias formales en oposicin a las ciencias naturales y a las ciencias humanas. Aunque slo sea etimolgicamente las ciencias formales pueden ir asociadas (y de hecho se ha propuesto tal asociacin) al esquema de la oposicin forma-materia. Segn esta oposicin (por lo dems gnoseolgicamente ambigua), la sede de la verdad de estas ciencias est en la forma (verdad formal o validez, en sentido de Camap) frente a la materia, sede de la verdad material. Segn esto, la construcin de las ciencias formales se mantendra dentro del eje sintctico, prescindiendo del eje semntico. Mas, segn nuestro anlisis gnoseolgico, las ciencias formales, como toda ciencia, exigen que su construccin sea con trminos fsicos y con operaciones sobre esos trminos fsicos, de manera que necesariamente han de incluir en su construccin la seccin fisicalista del eje semntico. Ello significa que no cabe hablar de la Lgica o de la Matemtica puramente formales, y por lo tanto hace una crtica (coincidente en parte con la de Frege) al formalismo de Hilbert que propugna la teora de las frmulas vacas, destituidas de todo contenido y significativas nicamente en virtud de las relaciones que entre ellas median dentro del sistema axiomtico. Slo es admisible el formalismo en su momento negativo, en la desconexin semntica respecto de todo contenido exterior a los smbolos. Pero, como Frege seala, los signos no pueden quedar desprovistos de todo sentido y referencia, so pena de que no sepamos de qu estamos hablando. (En esta hiptesis quedara justificada la afirmacin de Russell: En Matemticas no se sabe de qu se habla ni si lo que se dice es verdad). El formalismo ha de ser entendido, pues, no como la evacuacin de toda interpretacin o contenido, sino como la evacuacin de toda interpretacin que no est contenida en el ejercicio de sus significantes. El materialismo formalista dice Bueno" reconoce a los

Bueno, G.: Operaciones autoformantes y heteroformantes. Ensayo de un criterio de demarcacin gnoseolgico entre Lgica formal y Matemtica, I, El Basilisco, 7 (1980): p. 29.



smbolos un contenido material, a saber, la propia entidad de sus significantes y toda la estructura geomtrica (ordenaciones, permutaciones a derecha e izquierda, etc.) que en su propia realidad de significantes ha de ir implicado. Y ello porque los signos de las frmulas matemticas o lgicas son autogricos.

Llama as Bueno a los signos que son, a la vez, autnimos y tautogricos. Un signo es denominado autnimo, si su significado es causa del significante qua tale, de manera que resulte un significante semejante (y precisamente segn un contenido material de semejanza recortado en el proceso mismo) al significado. El significante resultar ser, as, parte lgica del significado, como en los smbolos autorreferentes (palabra es una palabra, predicable es predicable).

Un signo es denominado tautogrico, si el significante es causa (con-causa) del significado, sin que por ello ste deba ser semejante a aqul, siendo la situacin lmite el signum sui, en donde el significante nos remite ordine essendi al significado. Por ejemplo, los signos mgicos o religiosos (ego te absolvo; ego te baptizo, etc.); los actos perlocucionarios de Austin: (fuera).

Cuando el signo es, a la vez autnimo y tautogrico es denominado autogrico. La flecha del tiempo dice Bueno" podra valer como ejemplo de signo autogrico, si suponemos que ella significa el tiempo en virtud del mismo movimiento (=tiempo) significado que le conforma como significante, ... en virtud del movimiento de la mano de quien la traza o acaso del movimiento del ojo de quien, recorrindola precisamente en un sentido, la percibe.

Los signos de la Matemtica y de la Lgica seran, segn esto, autogricos. En su propia suppositio materialis van incluidas las estructuras matemticas, lgicas, que pueden darse ordinariamente al margen de los significantes, pero que son ya sus significados. Estos signos, lejos de haber eliminado su referencia semntica la tienen incorporada en su misma entidad de signos (de significantes en cuanto coordinables con otros).

En la igualdad algebraica: (a + b)^ = a= + 2ab + b=

las letras no son variables libres (susceptibles de fgurar como emblemas de entidades tipogrficas), sino que figuran como indeterminadas, cuya determi-nacin (significado) est contenida (le viene dada) en su propia entidad de signos: a^ queda determinado al contar las menciones de a, en cuanto que a es un ente real, un elemento de las clase de las fguras del mismo signo patrn, y no un signo formal, cuya funcin se agota en representar otro distinto de s. La funcin de a', al margen de su valor como esquema o modelo respecto de otros contenidos materiales (monedas, aceleraciones, etc.), viene determinada por las operaciones a las que queda sometida el lgebra de los propios significantes algebraicos, por cuanto que el sistema de smbolos algebraicos reproduce l

IMdem, p. 25.



mismo la estructura autolgica de otros sistemas fisicalistas y, en particular, el enclasamiento de todos los smbolos.

Lo que se niega, pues, es la consideracin de la Matemtica o de la Lgica Formales como la Teora General de las estructuras (matemticas, lgicas) en cuanto puramente formales o generales aplicables a cualquier materia, tal como las entiende Bourbaki cuando dice": Poco importa, en efecto, cuando se trata de escribir o de leer un texto formalizado, que se asigne a las palabras o signos de ese texto tal o cual significacin, o tambin, que no se le asigne ninguna; slo importa la observacin correcta de la sintaxis. En este sentido se le atribuye a la Matemtica Pura una universalidad genrica de las estructuras, comn a las diversas realizaciones en los mbitos categoriales. Formal o abstracto significa genrico, universal, como trama a priori del Mundo: Lo mismo que el arte de hablar correctamente una lengua preexiste a la gramtica, as tambin el mtodo axiomtico ha sido practicado antes de la invencin de los lenguajes formalizados".

Desde el Materialismo formalista, por el contrario, la Matemtica Pura no sera tanto la Matemtica universal que refleja las diversas estructuras fsicas, categoriales, cuanto una matemtica particular: la construccin de un campo cerrado en un espacio de dos dimensiones sometido a unas estructuras geomtricas (ordenaciones, leyes de posicin, etc.) y fsicas (temperatura, color, etc.). Este campo lleva en s su propia matemtica interna particular y eventualmente precisamente por la artificiosidad de sus figuras (smbolos), en cuanto que han sido construidas y reconstruidas ntegramente por un sujeto operatorio puede ser utilizado como metro para analizar otro tipo de relacio-nes soportadas por otro tipo de materialidades (nmeros, guijarros, individuos, etc.) De modo que la conexin entre Matemtica (o Lgica) universal, pura, formal, y las matemticas (lgicas) particulares no es una conexin de tipo gnero (todo) a especie (parte), sino, ms bien, de especie (parte) a especie (parte).

El formalismo de Hilbert y Bourbaki se apoya en un esquema de conexin metafsico del dualismo clsico formal materia. Metafsico por cuanto que supone una sustantivacin de los trminos componentes: se supone la materia como dada sin forma alguna (materia prima) o la forma como existiendo sin materia (formas separadas), y se formulan diversos esquemas de conexin metamrica" entre los trminos.

Pero cabe tambin ensayar entre los trminos del par forma/materia un esquema de conexin diamrica". En virtud de este esquema, cada trmino del par no es tomado de modo global, sino en partes homogneas. Preparado uno de los trminos en partes extra partes, el otro trmino constituye la relacin entre las partes del primero. En nuestro caso, partimos de la pluralidad de

" Elements de Mathmatique, libr. I, p. 3. Ibdem. " Confer Bueno, G.: Conceptos Conjugados, El Basilisco, 1 (1978), pp. 88-92. Ibdem.



contenidos materiales que se relacionan entre s de diferentes maneras. Supues-ta una materia M, como conjunto de partes: m, n, r,..., con una disposicin N y otra disposicin N', la transformacin F de N en N' es una permutacin de los trminos de M. F dice Bueno" puede ser un molde en el sentido en el que se dice que una cadena de helicoide de ADN, una vez desdoblada, es un molde para las unidades precursoras que flotan en la clula, puede ser un negativo fotogrfico. F determina como causa formal (no eficiente) la disposi-cin N'. No genera los propios trminos m, n, r, que se suponen dados. N' los 'reorganiza'... Lo que hemos conseguido con esto es, simplemente, eliminar el dualismo sustancial entre las Formas y la Materia: la forma es la misma materia cuando se relaciona con otras de un cierto modo.

Este esquema de conexin diamrica permite recuperar el hilemorfismo despojado de sus adherencias metafsicas que comporta siempre que se entienda la materia como pudiendo darse sin forma alguna, o la forma como pudiendo existir sin la materia (formalismo de Hilbert o Bourbaki). El carcter negativo (metafsico) del formalismo bourbakista reside en la hipstasis de las formas matemticas, de los lenguajes formalizados y axiomatizados. Y lo que se niega es que haya sistemas formales abstractos, desvinculados de todo contenido o materia. Las frmulas algebraicas no son frmulas vacas, ya que, si bien son independientes de todo contenido exterior a sus smbolos, llevan su referencia y su significado en su misma materialidad tipogrfica, sujeta a manipulaciones (operaciones) y relaciones precisas. En consecuencia, desde la perspectiva de la teora del cierre categorial, la Matemtica se nos presentar, no tanto como el tratado sobre las estructuras abstractas o formales, cuanto como un sistema particular de significantes tipogrficos, como una construccin con trminos fsicos (los propios smbolos matemticos), entre cuyos trminos median relacio-nes materiales (de semejanza, de distancia, de posicin) y operaciones caracte-rsticas dadas dentro de configuraciones o contextos determinantes.

La construccin cientfica se diferencia de otras construcciones (ideolgi-cas, mitolgicas) porque obedece a principios internos al propio campo mate-rial categorial de la ciencia en cuestin. Y esos principios internos, gnoseolgicos, no son otra cosa que el desarrollo de los trminos del campo, en tanto que estos trminos aparecen en ciertas configuraciones contextos determinantes que resultan ms o menos frtiles para la reconstruccin de los trminos del campo contextos determinados, para la construccin de esquemas de identidad (verdades internas).

Segn esto, determinadas leyes o teoremas sern principios internos a la Matemtica, cuando resultan necesarias para la subsistencia del propio campo de trminos matemticos; y no slo necesarios, sino que constituyen contextos determinantes frtiles. Examinemos algunos ejemplos.

La ley de dualidad, x^ == x, es considerada por Boole como la ley fundamental de su lgebra. Prescindiendo de las connotaciones psicologstas de

" Ensayos Materialistas, Madrid, Tauros, 1972, p. 342.



la exposicin de Boole, podemos, sin embargo, seguir manteniendo su carcter fundamental desde un punto de vista gnoseolgico, a saber, en la medida en que resulta un contexto determinante frtil para la reconstruccin del campo categorial del lgebra booleana. La ley sirve para cerrar un campo de trminos, y de ah su potencia. A partir de ella es posible llegar a otras leyes o principios (identidades), por ejemplo: al principio de no-contradiccin:

x' = x X - x^ = O

X (1 - X) = O As mismo, la eliminacin de elementos que no se atienen a dicha ley

reorganiza el campo, dando lugar a nuevos principios. Boole mismo llama la atencin^ hacia la circunstancia de que la ecuacin

en la que se expresa esta ley fundamental es una ecuacin de segundo grado. Podra pensarse, pues sigue diciendo que la existencia de la ecuacin x^ = X exige la existencia de la ecuacin de tercer grado x' = x. De hecho Boole haba admitido esta ley:

que denomin ley del ndice, y que le permita obtener su funcin (funcin booleana) a partir del teorema de McLaurin para el desarrollo de una funcin polinmica f(x):

f(x) = f(0) + (f'(0)/l!)x + (f"(0)/2!)x^ + (f'"(0)/3!)x' + ... + (f(0)/n!)x" + + Tn(x)

en donde Tn(x) recibe el nombre de trmino complementario, y los coeficientes vienen dados a travs de las derivadas sucesivas de f(x): f, f", f".

A partir de esta frmula procede Boole para obtener su funcin como sigue: puesto que los valores que las variables booleanas (smbolos electivos) pueden tomar son lyO,y supuesta la ley x = x^ = x' = ... = x", la frmula de McLaurin puede ser reescrita as:

(1) f(x) = f(0) + (f'(0)/l! + f"(0)/2! + f"'(0)/3! + ... + f'(0)/n! + Tn)x (2) f(l) = f(0) + f'(0)/l! + f"(0)/2! + f"(0)/3! + ... + f(0)/n! + Tn (3) f(l) - f(0) = r(0)/ l! f"(0)/2! + f"'(0)/3! + ... + f(0)/n! + Tn

Sustituyendo ahora en (1) todo el parntesis por su equivalente (segundo miembro de la igualdad (3)), obtenemos:

f(x) = f(0) + (f(l) -f(0))x = f(l)x + f(0)-f(0)x =f(l)x + f(0)(l - X)

* An investigation of the laws of thoughl, reimpr., Nueva York, Dover, 1951, pp. 50-1.



Como hemos visto, este desarrollo es vlido slo si se admite en el desarro-llo numrico de McLaurin la ley x = x^ = x' = ... = x". Pero restringindonos ahora al campo categorial del lgebra booleana, hay diferencias entre x^ = x y x^ = X. Boole explica esas diferencias aduciendo razones psicologistas, como que nuestro entendimiento opera por dicotomas y no por tricotomas, de modo que la ley fundamental (porque as es la ley de nuestro pensamiento) es la expresada mediante la ecuacin x^ = x. Pero Boole mismo ofrece otras razones que consideramos gnoseolgicamente pertinentes. Las ecuaciones x^ = x y x' -X slo son equiparables en un plano abstracto, algebraico. Pero internamente, situados en el campo categorial del lgebra de clases, esas leyes son de naturaleza distinta. La ecuacin x^ = x no constituye, como x^ = x, un contexto determinante frtil en el sentido de organizar los trminos del campo; antes bien, conlleva elementos ajenos a, no interpretables en, el campo. Al escribir x^ = X en cualquiera de las formas

( l )x( l - x ) ( l +x) = 0 (2) x(l - X) (-1 - X) = O

nos encontramos con que tanto en (1) como en (2) aparecen elementos no interpretables en el lgebra de Boole (no sujetos a la ley x( 1 - x) = O, a la que se ajustan todos los elementos del lgebra de clases). Estos elementos son: (1 + x) y (-1). Resulta, en efecto, que:

(1) (-1)' f - 1 , es decir que 1 + 1 . O (2) Si (1 + x)^ = 1 + x

y x^ = X entonces l + x + x + x = l + x de donde x + x = O

vlido slo si X = 0. Pero en ese caso se contraviene la interpretacin que Boole da a la operacin +, a la que exige que se establezca entre clases mutuamente excluyentes con lo que queda eliminada la ecuacin x -- x x.

Los principios gnoseolgicos aparecen, as, como principios materiales en su aspecto constructivista. Brotando del desarrollo de los trminos, reorganizan internamente el campo categorial. No son meras tautologas.

La consideracin de las leyes lgicas o matemticas como tautologas parte de Wittgenstein y, reformulada, la han hecho suya algunos de los principales representantes del crculo de Viena y sus seguidores filsofos analticos (y tambin Russell, en la 2* edicin de los Principia). Wittgenstein, habiendo defnido el sentido de una proposicin como su valor de verdad, una tautologa ser desprovista de sentido al ser incondicionalmente verdadera y no refirin-dose a ningn estado de cosas real; y llega a sostener no slo que los teoremas lgicos son tautologas, sino que es precisamente su naturaleza tautolgica, es decir, enunciados que no tienen necesidad de ser comparados con los hechos, lo que explica que las tautologas sean deducibles. Todo teorema lgico es, pues, una tautologa; y recprocamente; y puesto que los teoremas matemticos



son teoremas lgicos, se sigue que las Matemticas son una gigantesca tautologa.

Esta nocin wittgensteniana de tautologa se acopla perfectamente a la teora del positivismo lgico, segn la cual todo conocimiento no analtico se basa en la experiencia. De una proposicin se puede decir que es o bien verdadera o bien falsa, slo si es (1) analtica o bien (2) capaz, al menos en principio, de comprobacin experimental. Y en este esquema las verdades lgicas y matemticas son tautologas, lo que equivale a decir que son analti-cas, necesarias y a priori.

Las verdades de la Lgica y de la matemtica son proposiciones analticas o tautologas dice Ayer^'; y ms adelante contradice a Kant por suponer que todas las proposiciones a priori necesarias son sintticas; por el contrario: son, sin excepcin, proposiciones analticas o, en otras palabras, tautologas, como por ejemplo la proposicin 7 + 5 = 12; su verdad reside, segn Ayer, en el hecho de que la expresin simblica 7 + 5 es sinnima de 12, de igual modo que la verdad de la proposicin todo oculista es un doctor en ojos depende del hecho de que el smbolo doctor en ojos sea sinnimo de oculista".

Nos oponemos a esta caracterizacin de las verdades matemticas. La observacin emprica del uso lingstico podr establecer, a lo sumo, que ciertas expresiones en un determinado lenguaje son sinnimas o parcialmente sinnimas, por ej., que en castellano doctor en ojos es sinnimo de oculis-ta. Pero la sinonimia de doctor en ojos y oculista no es garanta de la necesidad de la proposicin todo oculista es doctor en ojos. Y ms grosero an nos parece fundamentar la necesidad (y la verdad) de las ecuaciones matemticas en el concepto de sinonimia o de analiticidad en el sentido expresado. Primero, porque, como indicamos al comienzo, los trminos de un campo categorial no son entidades primitivas, atmicas, aisladamente, sino en la medida en que se combinan con otros formando configuraciones. As, por ejemplo, el concepto de factorial, introducido por Arbogast, constituye una funcin aplicable en coordinatoria a elementos (nmero de objetos) teniendo en cuenta el orden. Las coordinaciones resultantes de hacer que cada uno de los elementos considerados ocupe sucesivamente todos los lugares posibles se llaman permutaciones, y se expresa por n!, siendo:

n! = n ( n - l ) ( n - 2 ) . . . ( n - n + 1) o bien

n! = 1 2 3... n Segn esta caracterizacin de factorial qu concepto puede haber ms absurdo que O!, donde no hay elementos ni pueden, por tanto, ocupar posibles lugares? An se entiende (intuitivamente) 1! que por ser elemento nico slo podr

" Lenguaje, verdad y lgica, ed. cast., p. 88. " Ibdem, p. 97.



ocupar un lugar: 1! = 1. Pero cmo entender que O! = 1? Como una propo-sicin analtica en el sentido de que el concepto O! es sinnimo del concepto 1 o del concepto 1!, ya que

O! = 1! = 1 ? De ningn modo. Nuestra explicacin es que O! no es un trmino primitivo (como tampoco lo es la clase vaca {0} 3"), sino que lo es en tanto que resulta en el proceso operatorio de otros trminos y que, una vez segregado, puede soportar (como trmino primitivo) relaciones y operaciones con otros trminos de su misma clase. As, diramos que O! carece de significado, pero de las frmulas (de las configuraciones):

m! = (m - l)!m y por tanto:

(m - 1)! = m!/m y siendo m = 1, tenemos:

( 1 - 1 ) ! = 1!/1 = O! = 1

Esta ltima ecuacin no constituye una proposicin (o identidad) analtica, sino una identidad sinttica en el sentido de que no se trata de una relacin simple, sino de una relacin resultado de un proceso operatorio: cuando sus trminos quedan inmersos en otras configuraciones y son resultados de otras operacio-nes, y confluyen en esa igualdad a travs de varios procesos operatorios; la igualdad resultante, entonces, constituye el nexo el contexto determinante que preside todo el proceso operatorio.

Y, finalmente, el principio de induccin matemtica es el paradigma del proceso de construccin de las verdades matemticas entendidas como identi-dades sintticas, como resultado de la confluencia de varios procesos operatorios. Por eso consideramos (y aqu nos ponemos de parte de Poincar frente a los logicistas) que dicho principio no puede ser considerado como analtico, ni siquiera en el sentido que Frege da al trmino analtico, en cuanto asociado a la deduccin: para l una proposicin es analtica si se deduce de los principios lgicos y de las definiciones. Y por ello intenta Frege en los Funda-mentos de la Aritmtica reformular el principio de induccin matemtica en trminos lgicos. Y tambin sabemos que dicha reformulacin result ser una definicin impredicativa (con las dificultades que ello puede conllevar de cara a las paradojas: las paradojas envuelven siempre defniciones impredicativas).

La demostracin por recurrencia no es ni inductiva ni deductiva en el sentido tradicional (aritotlico) de estos trminos. Por cuanto que se trata aqu de todos y partes, no distributivos (propios de las extensiones lgicas), sino atributivos. No se trata de extender una propiedad P distributiva (ser par o ser pequeo, p. ej.) observada en algunos casos a todos los nmeros (induccin



baconiana), sino demostrar o construir una igualdad (identidad sinttica) que considerada como propiedad es atributiva, por cuanto que corresponde a cada elemento en cuanto que stos vienen dados en una serie (en relaciones sintagmticas, en orden) y por eso el primer paso de la parte al todo comienza con el primero de la serie. La propiedad que se demuestra (o construye) es una igualdad (identidad sinttica) en cuanto resultancia de procesos operatorios diferentes entre trminos particulares y un trmino general. Por ej., sea la propiedad (la igualdad): la suma de los n primeros nmeros impares es el cuadrado de n. La demostracin (o construccin) tiene lugar a travs de procesos operatorios diferentes:

(I) Uno horizontal, mediante el que, comenzando por el primero de la serie, operamos por contigidad, segn relaciones asimtricas (de orden) sintagmticas, sobre trminos particulares.

(II) Otro vertical, mediante el cual operamos por semejanza, segn relaciones paradigmticas y con un trmino general.

Y de la confluencia de ambos procesos operatorios obtenemos la propiedad (la identidad sinttica). As:

1 1+3 1+3+5 l+3+5+...+(2n-l)

= P -* = 2' = 32 -* = n'

l+3+5+...+(2n-l)+(2n+l) - nM2n+l)\(n+l)^ El paso de n a n+7 no se hace por induccin emprica, sino por construccin

a partir de la nueva confguracin (la ley de potencias de un binomio: identidad sinttica) resutado de, y que al mismo tiempo preside:

1) el proceso operatorio vertical, en virtud del cual vamos obteniendo sucesivamente los cuadrados de los nmeros naturales: V, 2^, 3^ ..., n^ (n+l)l

2) el proceso operatorio horizontal, en virtud del cual a la suma anterior = n^ aadimos el siguiente nmero impar: n^ + (2n+l).

En consecuencia, las verdades matemticas entendidas como identidades sintticas constituyen, no una relacin (de identidad o de igualdad) simple, sino un complejo de relaciones y operaciones que aplicadas a trminos pertenecien-tes a diversas clases anudan a stos en una configuracin en un contexto determinante, frtil para reconstruir todos (o buena parte) de los trminos del campo categorial considerado.


el cierre categorial aplicado a las matemáticas.pdf

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