GU

ICE

G07

2EM

32-A

17V

1

GuíaFunción inversa Bloque 32

PROGR

AMA EGRESADOS

1Cpech

Ejercicios PSU

A continuación, se presentan los siguientes ejercicios, de los cuales sugerimos responder el máximo posible y luego, junto a tu profesor(a), revisar detalladamente las preguntas más representativas, correspondientes a cada grado de dificultad estimada. Solicita a tu profesor(a) que resuelva aquellos ejercicios que te hayan resultado más complejos.

1. Sea g(x) = p – px una función real tal que p y x son números reales, con p > 1. Si el conjunto de partida de g es [1, 2], ¿cuál debe ser el conjunto de llegada para que g sea sobreyectiva?

A) [0, 1] B) [– p, 0] C) [– 1, 0] D) [– p, p] E) [0, p]

2. Sea g(x) = mx + n, con m y n números reales y x ≥ 0. Si el conjunto de llegada de g corresponde a los reales no negativos, ¿cuál(es) de las siguientes condiciones, por separado, permite(n) concluir que g es una función sobreyectiva?

I) m = 0 y n ≠ 0 II) m > 0 y n = 0 III) m > 0 y n ≠ 0

A) Solo II B) Solo III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

MATEMÁTICA

2 Cpech

3. Sea f una función tal que f : IR → IR. Si f es biyectiva, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Todas las rectas paralelas al eje de las ordenadas intersectan a la gráfica de f en un solo punto.

II) Todas las rectas paralelas al eje de las abscisas intersectan a la gráfica de f en un solo punto.

III) Existe la función inversa de f.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

4. Sea f una función tal que f : IR → IR. Si f es biyectiva, ¿cuál de las siguientes expresiones podría representar a f(x)?

A) x – x3

B) log x2

C) 1x

D) �x2 + 1

E) x3 + x

5. Si las siguientes funciones tienen como conjunto de partida y conjunto de llegada los reales positivos, ¿cuál(es) de ellas es (son) biyectiva(s)?

I) f(x) =�2x

II) g(x) = 2x3

III) h(x) = 12x

A) Solo II B) Solo I y II C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

Guía

3Cpech

6. Sea f una función real tal que f(x) = x2 + 2x – 3. ¿En cuál de los siguientes intervalos se cumple que f es inyectiva?

A) IR B) [– 3, 1] C) [– 3, 0] D) [1, + ∞[ E) [– 3, + ∞[

7. Sea g: [– 10, 4] → [0, 20] una función real definida por

g(x) = 2x + 20 , si - 10 ≤ x < 0x2 - 9x + 20 , si 0 ≤ x ≤ 4

Es correcto afirmar que

I) g es inyectiva en [– 10, 0]. II) g es sobreyectiva en [0, 4]. III) g es biyectiva en todo su dominio.

Es (son) verdadera(s)

A) solo I. B) solo II. C) solo I y II. D) solo I y III. E) I, II y III.

8. La función real f es biyectiva en el intervalo [a, b]. Es correcto afirmar que

I) el recorrido de f es [a, b]. II) f es inyectiva en ]a, b[. III) f(b) > f(a).

Es (son) siempre verdadera(s)

A) solo I. B) solo II. C) solo I y II. D) solo II y III. E) ninguna de ellas.

MATEMÁTICA

4 Cpech

9. Sea f(x) = x3 – 3x2 + 2x una función real, tal que el conjunto de partida de f es M y el conjunto de llegada de f es {– 6, 0, 6}. ¿Cuál de los siguientes conjuntos podría ser M, de modo que f sea una función inyectiva?

A) {– 2, – 1} B) {– 2, 2} C) {0, 1} D) {1, 2} E) {– 1, 0}

10. Se define g(x) = x2 + 1, tal que el conjunto de partida y el conjunto de llegada de g es [0, +∞[. Entonces, es correcto afirmar que g

A) es una función biyectiva. B) no es una función. C) es una función sobreyectiva, pero no inyectiva. D) es una función inyectiva, pero no sobreyectiva. E) es una función, pero no es inyectiva ni sobreyectiva.

11. Sea f: A → B una función real, tal que f(x) = x2 + 6x – 16. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si A = ]– ∞, – 3] y B = IR, entonces f es inyectiva. II) Si A = [– 8, 2] y B = [– 25, 0], entonces f es sobreyectiva. III) Si A = [2, + ∞[ y B = [0, + ∞[, entonces f es biyectiva.

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

12. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La función f definida por f(x) = x3 – x, cuyo dominio es el conjunto de los números reales, es inyectiva.

II) Si g: S → S es una función inyectiva, entonces g es sobreyectiva. III) Si (f ○ g) es una función inyectiva, entonces g es una función inyectiva.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

Guía

5Cpech

13. Sea la función real g(x) = axn, con a un número real distinto de cero, n un número entero mayor que 1 y x un número real. Se puede afirmar que g es inyectiva en los reales, si:

(1) a es positivo. (2) n es impar.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

14. Sea la función real f(x) = log (x + p) – q, con p y q números reales. Entonces, f – 1(x) es

A) – log (x + p) + q

B) 10x + q – p

C) 10x + p + q

D) – log (x – p) – q

E) 1log (x + p) - q

15. Sea f una función biyectiva en los reales. Si g es la función inversa de f, entonces para cualquier valor real de x es correcto afirmar que

I) f(x) • g(x) = 1 II) f(g(x)) = 1 III) g es una función biyectiva en los reales.

Es (son) verdadera(s)

A) solo I. B) solo II. C) solo III. D) solo II y III. E) ninguna de ellas.

MATEMÁTICA

6 Cpech

16. En la figura adjunta se muestra la representación gráfica de la función real f. ¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor a la gráfica de la función inversa de f?

y

x

A) y

x

B) y

x

C) y

x

D) y

x

E) y

x

Guía

7Cpech

En los diagramas adjuntos se representan esquemáticamente las funciones f y g.

f

A A

abcde

abcde

g

A A

abcde

abcde

A continuación, completa los esquemas para así representar la composición de f con la función g, en ambos sentidos, y la función inversa de f.

Composición de f con una función g Función inversa de f

A A AA A A

f ○ g g ○ f f –1

abcde

abcde

abcde

abcde

abcde

abcde

Respecto a f y g, ¿son funciones biyectivas? ¿Por qué?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

En este caso particular, ¿qué puedes decir sobre las funciones (f ○ g) y (g ○ f)?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Estrategia de síntesis

MATEMÁTICA

8 Cpech

17. Sea h(x) = 3xx – 2 una función real definida de manera que es biyectiva. Entonces, h-1(4) + h(4) es

A) 0

B) 376

C) 14

D) 8

E) 397

18. Sea la función real h(x) = 1 - x2x

, con x un número real tal que 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes

funciones reales corresponde a la función inversa de h?

A) f(x) = 12x + 1

B) g(x) = 2x1 - x

C) m(x) = 11 - x

D) p(x) = xx + 1

E) q(x) = x

2x + 1

19. Sea f(x) = 3x, una función real con x un número real positivo. Se define g como la función inversa de f y h una función tal que h(x) es igual a la suma entre f(x) y g(x). Si h(m) = 2, entonces g(m) es igual a

A) 0,3 B) 6 C) 0,2 D) 1 E) 0,6

Guía

9Cpech

20. Sea f(x) = x – 32x + 1

una función real definida de manera que es biyectiva. Si f –1 corresponde a la

función inversa de f, entonces f -1(x) es igual a

A) 2x + 1x – 3

B) 3x + 1x – 2

C) x + 31 – 2x

D) 2 – x3x + 1

E) 3x – 2x + 1

21. Sea f una función real tal que f(x) = 7x – 2. Si f – 1 corresponde a la función inversa de f, entonces f – 1(x) es igual a

A) x + 2

7

B) x – 7

2

C) – x + 2

7

D) – x + 7

2

E) x – 2

7

22. Sea g(x) = ax + b, una función real con a, b y x números reales. Entonces, para cualquier valor de x, la función g es igual a su función inversa siempre que

A) b = 0 B) a = 1 C) a = b D) a = – 1 E) a = 0

MATEMÁTICA

10 Cpech

23. Sea f(x) = x3 + 27 una función con dominio en los números reales y g la función inversa de f. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) g(35) = 2 II) El dominio de g es [27, + ∞[. III) El recorrido de g son los números reales mayores o iguales que cero.

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

24. Sea f(x) = 3

5x – 2 una función real definida de tal manera que es biyectiva. ¿Cuál de las siguientes

expresiones representa a la función inversa de f ?

A) g(x) = 5x – 2

3

B) h(x) = 3 – 2x

5

C) j(x) = 5 + 2x

3x

D) m(x) = 5x

3x – 2

E) n(x) = 2x + 3

5x

25. Sea f una función real tal que f: A → B. Se puede determinar que f – 1 existe, si se sabe que:

(1) Para todo a y b perteneciente a A se cumple que a = b cuando f(a) = f(b). (2) Rec f = B

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

Guía

11Cpech

Torpedo Álgebra Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y estúdialo, ya que te podría ser de utilidad al momento de la ejercitación.

Definiciones

• Término algebraico: relación entre números (factor numérico o coeficiente) y letras (factor literal) mediante multiplicación, división, potencia y/o raíces.

• Términos semejantes: son aquellos que tienen exactamente el mismo factor literal.Ejemplo: 3ab y − 7ab son términos semejantes, 9a2b y 2ab2 no son términos semejantes.

• Expresiones algebraicas: relación entre términos algebraicos mediante la suma y/o resta. Se clasifican en: monomios, binomios, trinomios, polinomios, etc.

• Valorización: corresponde a la asignación de un valor numérico o literal a cada variable de una expresión algebraica y la resolución de las operaciones indicadas en ella. Ejemplo:Si a = 1 y b = − 2, entonces a + b2 = 1 + (− 2)2 = 5

Suma y resta de términos Multiplicación

Sólo se pueden sumar o restar los términos que son semejantes (se conoce también como reducción de términos semejantes). Se realiza la operación con los factores numéricos, manteniendo el factor literal intacto. Ejemplo: la suma entre 5xy2 y 3xy2 es igual a 8xy2, mientras que la suma entre 4xy y 9x2y2 no es posible de realizar.

Monomio por monomio: se multiplican coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal. Ejemplo: 4a2b3 • − 3a4b = (4 • − 3)(a2 • a4)(b3 • b) = − 12 a6 b4

Monomio por polinomio: se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Ejemplo:

a (b + c + d) = ab + ac + ad

Polinomio por polinomio: se multiplica cada término de un polinomio con todos los términos del otro polinomio. Ejemplo:

(a + b)(x + y + z) = ax + ay + az + bx + by + bz

Ecuaciones

Ejemplo:

5x – 7 = 2x – 255x – 7 – 2x = 2x – 25 – 2x

3x – 7 = – 253x – 7 + 7 = – 25 + 7

3x = – 183x3 = – 18

3x = – 6

En la resolución de una ecuación se deben considerar las siguientes propiedades:

• Al sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad, esta se mantiene.

• Al multiplicar o dividir a ambos lados de una igualdad por una misma cantidad (distinta de cero), la igualdad se mantiene.

En general, para resolver una ecuación se tiene que despejar la incógnita, para lo cual deben efectuarse operaciones que permitan reducir términos o coeficientes hasta lograr despejarla.

MATEMÁTICA

12 Cpech

Funciones

f(x) = y ← Imagen↑

Preimagen

Es una relación entre dos variables tal que para cada valor de x se obtiene un único valor de f(x).

Conceptos generales de funciones

f : A → B

x |→ f(x)

a

b

c

d

e

p

q

r

s

t

f

A BSea f una función que relaciona elementos del conjunto A con elementos de B:

Variable independiente: valor que no depende de otra variable. Se denota con la letra x.

Variable dependiente: valor que depende de otra variable. Se denota con la letra y. Se dice que “y depende de x” o que “y está en función de x”.

Dominio de f: conjunto de todas las preimágenes, es decir, de todos los elementos que pertenecen al conjunto de partida (A) que tienen imagen. En el diagrama sagital adjunto, Dom f = A.

Recorrido de f: conjunto de todas las imágenes, es decir, de todos los elementos que pertenecen al conjunto de llegada (B) que tienen preimagen. En el diagrama sagital adjunto, Rec f = {p, s, t}.

Evaluación de una función

Ejemplos:1. Si f(x) = 3x + 5, entonces f(– 1) es:

f(– 1) = 3 • (– 1) + 5f(– 1) = – 3 + 5f(– 1) = 2

2. Si f(x) = x2 – 3, entonces f(a + 3) es:

f(a + 3) = (a + 3)2 – 3f(a + 3) = (a2 + 2 • 3a + 32) – 3f(a + 3) = a2 + 6a + 9 – 3f(a + 3) = a2 + 6a + 6

Gráfico de una función

a

b

f

x

f(x) = yf(a) = b

⇓(a, b) = (a, f(a))

Está formado por todos los pares ordenados (x, y) que se obtienen al evaluar la función para distintos valores de x.

Guía

13Cpech

Tabla de corrección

Ítem Clave Habilidad Dificultad estimada1 Comprensión Media2 Comprensión Media3 Comprensión Media4 Comprensión Media5 Aplicación Fácil6 Aplicación Media7 ASE Difícil8 ASE Fácil9 ASE Media

10 ASE Media11 ASE Difícil12 ASE Difícil13 ASE Media14 Comprensión Media15 Comprensión Fácil16 Comprensión Media17 Aplicación Media18 Aplicación Fácil19 Aplicación Difícil20 Aplicación Fácil21 Aplicación Fácil22 ASE Media23 ASE Media24 ASE Media25 ASE Media

MATEMÁTICA

14 Cpech

Mis apuntes

Guía

15Cpech

Mis apuntes

Registro de propiedad intelectual de Cpech.Prohibida su reproducción total o parcial.

_____________________________________________________Han colaborado en esta edición:

Directora AcadémicaPaulina Núñez Lagos

Directora de Desarrollo Académico e Innovación InstitucionalKatherine González Terceros

Coordinadora PSUFrancisca Carrasco Fuenzalida

Equipo EditorialRodrigo Cortés RamírezPablo Echeverría SilvaMarcelo Gajardo VargasAndrés Grandón Guzmán

Equipo Gráfico y DiagramaciónCynthia Ahumada PérezDaniel Henríquez FuentesVania Muñoz DíazTania Muñoz RomeroElizabeth Rojas Alarcón

Equipo de Corrección IdiomáticaPaula Santander Aguirre

Imágenes Banco Archivo Cpech

El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias.