ALUMNO: JOSE ANGEL BAÑUELOS

TEMA: • INYECTIVA • SOBREYECTIVA• BIYECTIVA

DOCENTE: ING. JUAN ANTONIO SALINAS

22-SEP-15CALCULO DIFERENCIAL

FUNCION INYECTIVA

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales N a N es una función inyectiva.

Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros Z (esto incluye

números negativos) porque tienes por ejemplo:

f(2) = 4 y

f(-2) = 4

Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco

como si fuera biyectiva.

Una función f: " X→Y", es inyectiva si a cada valor del conjunto "X" (dominio) le corresponde un valor

distinto en el conjunto "Y "(imagen) de "f", es decir a cada elemento del conjunto "Y" le corresponde un

solo valor de "X" tal que, en el conjunto "X" no puede haber dos o mas elementos que tengan la

misma imagen.

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento

del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se

repiten.Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de

pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se

repiten o no.

EJEMPLO 1 : 

1.  Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f(x) = x2 – 2 Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta:

 x  -3  -2 -1  0 1  2  3 f(x) 5  2  -1  -2  -1  2  5

Otra forma de expresión matemática 

Ejemplo 1:Sea A={1,2,3} B={1,2,3};   f: A.B: f={(1,2), (2,1), (3,3)}Es decir, gráficamente queda:

Nótese que cada elemento delconjunto B recibe solamente una línea.ENTONCES ES INYECTIVA.  

FUNCION SUPRAYECTIVA

Una función f (de un conjunto A a otro B) es suprayectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x

en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es suprayectiva si y sólo si f(A) = B.

Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.

Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales N al de los números

pares no negativos es sobreyectiva.

Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales N a N no es sobreyectiva,

porque, por ejemplo, ningún elemento de N va al 3 por esta función.

Una función f: X → Y es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva),

si esta aplicado sobre todo el codominio, es decir , cuando a cada elemento de "Y" es la imagen de

como mínimo un elemento de X.

De manera complementaria:

Funciones suprayectivas. Cuando el rango y el codominio son iguales la función es suprayectiva.

 Ejemplo 1: Sean los conjuntos:

A = {1,2,3} y  B = {2,4}  y la función  f = {(1,2), (2,2), (3,4)} 

Gráficamente queda: 

Al conjunto B = {2,4} se le llama codominio.  El rango de la función también es I = {2,4},.Como el

codominio y el rango son iguales la función es SUPRAYECTIVA

FUNCIÓN BIYECTIVA

Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que

cumple que f(x) = y

Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo:

Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es

inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

f(2)=4 yf(-2)=4)

Una función f: X → Y, es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva(suprayectiva), es decir si todos los elementos  del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada y a acada elemento del conjunto  de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida. 

Funciones Biyectivas. Para que una función sea biyectiva se requiere  que sean al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva. 

Ejemplo 1. 

La función f(x)=y = x-1 es al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva; por lo tanto es biyectiva. 

CONCLUSION

Al comenzar esta presentacion decidi primero investigar que es una Funcion, que es lo primordial de este trabajo, las funciones son las relaciones que asocian a cada valor con una variable tomada del conjunto, un unico valor al que se le llama.Posteriormente comprendi que una funcion es inyectiva siempre que no existan diferentes valores del dominio que reflejen una misma imagen.Una funcion suprayectiva tambien tiene varios nombres, es una imagen de uno o varios elementos y una funcion biyectiva es cuando es inyectiva y suprayectiva a la vez.

WEBGRAFIA

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http://acreditacion.itmazatlan.edu.mx/vinculacion

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