UNIVERSIDAD DE COSTA RICA MA0125 I 2013

PROF. JASON UREA A.

Funciones Biyectivas

FUNCIN BIYECTIVA

Es decir, si cada elemento del codominio

(mbito=codominio) posee una nica

preimagen.

UNA FUNCIN BIYECTIVA ES AQUELLA QUE

ES INYECTIVA Y SOBREYECTIVA A LA VEZ.

Cuando en una funcin ocurre que el mbito es

igual al codominio, se dice que la funcin es

sobreyectiva.

Luego si en una funcin cada imagen posee una

nica preimagen, se dice que la funcin es inyectiva

(esto slo ocurre cuando una funcin es creciente o

decreciente).

DEFINICIONES FORMALES

EJEMPLOS:

REDEFINIR LAS FUNCIONES PARA QUE SEAN

BIYECTIVAS.

Sabemos que la funcin cuadrtica es creciente y

decreciente en todo su dominio, con lo que NO es

inyectiva y se debe redefinir.

Por otro lado desconocemos el mbito y codominio

de la funcin, de esta forma se deben definir estos

aspectos tambin para hacer la funcin

sobreyectiva.

ANLISIS

Ya que la funcin no es inyectiva,

basta determinar un intervalo

donde la funcin slo crezca o

decrezca.

Estos intervalos pueden ser

y el otro

De esta forma la funcin f con

cualquiera de estos dominios es

inyectiva.

Respecto a la sobreyectividad basta determinar el mbito para cualquier

dominio seleccionado, en el caso del primer dominio el mbito

correspondiente es , en el caso del segundo dominio el mbito es

A partir de lo anterior se pueden formar dos funciones biyectivas:

Sabemos que por la grfica de la funcin radical,

la funcin es montona, por lo tanto es inyectiva.

Por otro lado slo falta determinar el mbito

correspondiente al dominio donde la funcin es

montona.

ANLISIS

El dominio de la funcin es

Ahora nada ms falta determinar el mbito

correspondiente a ese dominio.

El mbito es este caso es

A partir de los datos anteriores podemos definir una funcin

biyectiva

EJEMPLOS:

DETERMINAR SI LAS FUNCIONES QUE SE BRINDAN

SON INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS O BIYECTIVAS.

ANALIZAR LAS CARACTERSTICAS PARA HACERLAS

INYECTIVAS O SOBREYECTIVAS.

En el dominio de la funcin, esta crece y decrece,

con lo que no es inyectiva. (Sin embargo se puede

elegir un intervalo donde slo crezca o decrezca).

Tampoco el codominio es igual al mbito.

Por lo tanto, f no es inyectiva ni sobreyectiva.

INYECTIVIDAD

Por ejemplo:

o Podramos decir que un intervalo donde la funcin crece es

Con lo que es inyectiva la funcin

Tambin

o Podramos decir que un intervalo donde la funcin decrece es

Con lo que es inyectiva la funcin

SOBREYECTIVIDAD

Se aprecia que para todo el

dominio dado , el

codominio

no es igual que el mbito

que es

Con lo que la funcin cuyo codominio es igual al

mbito es sobreyectiva

BIYECTIVIDAD

Para que una funcin sea Biyectiva,

esta debe ser inyectiva y

sobreyectiva a la vez, con lo que la

funcin se debe redefinir a un

dominio donde la funcin sea

inyectiva y en consecuencia un

codominio (que sea igual a su mbito)

para el nuevo dominio.

Por ejemplo: Para los dominios de inyectividad anteriores.

o Sabemos que la funcin es inyectiva en en este dominio, el

mbito es . As una funcin biyectiva es

o Sabemos que la funcin es inyectiva en en este dominio, el

mbito es . As otra funcin biyectiva es

En el dominio de la funcin, esta es montona (es un

logaritmo), con lo que es inyectiva.

Ahora, por otro lado se debe analizar si el mbito

(con respecto al dominio dado) es igual al

codominio para saber si la funcin es sobreyectiva.

SOBREYECTIVIDAD

Se aprecia que para todo el

dominio dado , el

mbito es , con lo

que no es igual que el

codominio , de esta forma

la funcin no es

sobreyectiva.

Para que la funcin sea

sobreyectiva basta cambiar

el codominio por el mbito

segn el dominio dado.

As la funcin

es sobreyectiva.

Adems desde un inicio, la funcin en el dominio dado es inyectiva y se

redefini para que fuera sobreyectiva tambin, por lo tanto se obtiene

as una funcin biyectiva.

Desde un inicio sabemos que la funcin valor

absoluto no es montona en el dominio R, pero hay

que analizarla en el dominio dado para saber si es o

no inyectiva.

Luego, debemos analizar cul es el mbito de la

funcin en el dominio dado, para saber si esta es o

no sobreyectiva.

ANLISIS

Logramos apreciar que

efectivamente la funcin no es

inyectiva en el dominio dado,

porque no es montona.

Por otro lado el mbito de la

funcin en el dominio dado es

y es igual que el codominio, por lo

tanto la funcin s es

sobreyectiva.

Ahora, sabiendo que la funcin es sobreyectiva, si queremos hacerla

inyectiva conservando el codominio (en este caso igual que el mbito),

basta restringir el dominio a un intervalo, donde el mbito no se

modifique y la funcin sea montona.

Un intervalo as es

As la funcin tambin es

inyectiva, concluyendo tambin con una funcin biyectiva.