Función inversa

1) Las siguientes relaciones funcionales no admiten función inversa. Para cada caso:

a) Explicar por qué y definir nuevas funciones que admitan inversa sin modificar sus leyes. b) Expresar las funciones inversas como aplicación.

Recordemos la definición de función inversa –pág. 40 Cálculo diferencial e Integral. Tomo I

Para la existencia de inversa, la biyectividad es condición necesaria y suficiente

Es decir, una función es suryectiva si todo elemento del conjunto de llegada es imagen de por lo menos, un elemento del Dominio de f

Dada una función f: A →B, se dice que es biyectiva, si es inyectiva y suryectiva a la vez.

Dada una función f: A → B, se dice que es suryectiva, si su codominio coincide con su imagen

Función suryectiva Función no suryectiva

f biyectiva f admite inversa

f es biyectiva es inyectiva y suryectiva

f es suryectiva Im f = Cf (Imagen igual a Codominio)

Función biyectiva

Función suryectiva

Es decir, una función es inyectiva si nunca toma el mismo valor dos veces, esto es: f(x1) ≠ f(x2) siempre que x1 ≠ x2

Dada una función f: A → B, se dice que es inyectiva, si a elementos distintos del dominio le corresponden imágenes distintas.

Para comprobar si una función es o no inyectiva, se puede realizar la prueba de la recta horizontal. Consiste en graficar rectas paralelas al eje de las abscisas y analizar en cuantos puntos dichas rectas cortan a la gráfica. Si encontramos por lo menos una recta horizontal que corta a la gráfica en más de un punto, entonces, como se ve en la figura A hay dos valores del dominio x1 y x2, con x1 x2

tales que f(x1) = f(x2), lo que significa que la función no es inyectiva. En cambio, si observamos que todas las rectas horizontales cortan en un máximo de un punto a la gráfica de la función, podemos decir la función es inyectiva (figura B).

Función inyectiva

f es inyectiva a, b є Df; a ≠ b f(a) ≠ f(b)

f(x) = x3 f(x) = x2

Para f(x) = x3, si x1 ≠ x2, entonces x13 ≠ x2

3 Esto se puede corroborar trazando rectas horizontales donde se ve que ninguna de ellas cruza la gráfica de f(x) = x3 más de una vez. Por lo tanto, mediante la prueba de la recta horizontal, f es inyectiva.

Para f(x) = x2, dados por ejemplo x1=2 ≠ x2 =-2, se tiene que f(2)= 4 =f(-2), por lo tanto tienen la misma imagen. Esto se puede corroborar trazando la recta y=4, que corta dos veces la gráfica de la función (en x1=2 y x2=-2). Además, se puede observar que hay otras rectas horizontales que cruzan la gráfica de f más de una vez. Por lo tanto, por la prueba de la recta horizontal, f no es inyectiva.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

x -80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

x

figura A figura B

a f(a)

-2 5

-1 2

1 π

3,5 2

Dom f = -2 ; -1 ; 1 ; 3,5 Codm f = Im f = 2 ; 5 ; En este caso, la función f no es biyectiva dado que no es inyectiva, ya que existen 2 elementos del dominio que tienen la misma imagen:

f(-1) = f(3,5)

Entonces, para que la función f sea inyectiva se podría eliminar el par de datos ( -1 ;2) o el (3,5; 2). Codm f = Im f = 2 ; 5 ; f suryectiva Siendo biyectiva, f admite inversa g. f: A → B {-2; -1; 1} → {5; 2; π} a → y=f(a) dada por la tabla

g : B → A {5; 2; π} → {-2; -1; 1} y → a/ g(y)=a f(a) = y

Resolución del ejercicio

Dom g = codom g = Im g = - 4 ; + ) En este caso, la función g no es inyectiva. Esto se puede ver ya que si trazamos rectas horizontales, encontramos que al menos una corta al gráfico de la función g en más de un punto. Por ejemplo la recta y = -1 marcada en el gráfico, que corta a la gráfica de g en 4 puntos Para que sea inyectiva, debemos restringir el Dominio de g, con lo cual definimos una nueva función gr

Tenemos varias posibilidades: Dgr = [0; 1,5] o Dgr= [1,5; +∞] o Dgr = [-∞; -1,5] o Dgr = [-1,5; 0]

Para el caso en que el Dgr = [0; 1,5] ( gr inyectiva ) Tomamos Codom gr = Im gr = [-4; 0] gr suryectiva gr: A → B [0; 1,5] → [-4; 0] x → y = gr(x) dada por la gráfica gr admite inversa h

h : B → A [-4; 0] → [0; 1,5] y → x/ h(y) = x gr(x) = y