1. Representa, razonadamente, la gráfica de 𝒇𝒇(𝒙𝒙), haciendo un estudio de:

e. Su dominio f. Puntos de corte g. Asíntotas h. Máximos, mínimos y puntos de inflexión.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑥𝑥

𝑥𝑥2 + 1

El dominio de la función son todos los números reales, puesto que no se anula el denominador:

𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑓𝑓 = ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ Los puntos de corte son: Con el eje Y, 𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑓𝑓(0) = 0 ⇒ (0,0) Con el eje X, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 ⇒ (0,0) Sólo tiene un único punto de corte con los ejes. Asíntotas: No tiene asíntota oblicua (A.O.), porque el grado del numerador es menor que el del denominador. Tampoco tiene asíntotas verticales, puesto que no presenta singularidades en el dominio. Sí que va a tener, en cambio, asíntotas horizontales (A.H.). Tiene también una A.H. en: 𝑦𝑦 = lim

𝑥𝑥→±∞

𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1

= 0 Los puntos críticos los hallamos derivando la función:

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =1 − 𝑥𝑥2

(𝑥𝑥2 + 1)2 = 0 ⇒ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 = ±1 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑒𝑒𝑒𝑒𝐷𝐷 𝑐𝑐𝑐𝑐í𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝐷𝐷

𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) =2𝑥𝑥(𝑥𝑥2 − 3)(𝑥𝑥2 + 1)3

Como 𝑓𝑓′′(1) = −1/2 < 0 ⇒ en 𝑥𝑥 = 1,𝑦𝑦 = 1/2 hay un máximo. Como 𝑓𝑓′′(−1) = 1/2 > 0 ⇒ en 𝑥𝑥 = −1,𝑦𝑦 = −1/2 hay un mínimo. Haciendo 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 0 vemos que ésta se anula para 𝑥𝑥 = 0 y 𝑥𝑥 = ±√3. Con todo esto, ya podemos esbozar la gráfica.

2. Representa, razonadamente, la gráfica de 𝒇𝒇(𝒙𝒙), haciendo un estudio de: a. Su dominio b. Puntos de corte c. Asíntotas d. Máximos, mínimos y puntos de inflexión.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥

Lo primero de todo, vamos a operar para conseguir una función más fácil de manejar.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 −2𝑥𝑥

Lo que nos será útil más adelante cuando tengamos que derivar. El dominio de la función viene limitado por los puntos donde se anula el denominador, es decir:

𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑓𝑓 = ℝ− {0} Puesto que tiene una indeterminación en 𝑥𝑥 = 0, sólo presenta puntos de corte con el eje X (𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0), donde

𝑥𝑥2 − 2 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = ±√2 Es decir, tiene dos puntos de corte con el eje X, en �−√2, 0� y en �√2, 0� No tiene asíntota horizontal (A.H.), porque el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador. Sí que va a tener, en cambio, asíntotas verticales (A.V.) y oblicuas (A.O.). Tiene una A.V. en 𝑥𝑥 = 0 y se da que:

lim𝑥𝑥→0+

𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0+

𝑥𝑥 −2𝑥𝑥

= −∞ lim𝑥𝑥→0−

𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0−

𝑥𝑥 −2𝑥𝑥

= +∞ La pendiente de la asíntota oblicua la hallo mediante

𝐷𝐷 = lim𝑥𝑥→+∞

𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→+∞

𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥2 = 1

La ordenada en el origen se obtiene, a su vez, mediante

𝑒𝑒 = lim𝑥𝑥→+∞

[𝑓𝑓(𝑥𝑥) −𝐷𝐷𝑥𝑥] = lim𝑥𝑥→+∞

�𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥

− 𝑥𝑥� = lim𝑥𝑥→+∞

�𝑥𝑥2 − 2 − 𝑥𝑥2

𝑥𝑥 � = lim𝑥𝑥→+∞

−2𝑥𝑥

= 0

Por lo tanto, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) tendrá una asíntota oblicua en 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥. Los puntos críticos los hallamos derivando la función:

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

�𝑥𝑥 −2𝑥𝑥� = 1 +

2𝑥𝑥2

= 0 ⇒ 𝑥𝑥2 = −2 ≠ 0 ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ ⇒ ∄𝐷𝐷á𝑥𝑥𝑒𝑒𝐷𝐷𝐷𝐷𝑒𝑒 𝐷𝐷 𝐷𝐷í𝑒𝑒𝑒𝑒𝐷𝐷𝐷𝐷𝑒𝑒. La derivada segunda de 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥), nos dará los posibles puntos de inflexión:

𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = −4𝑥𝑥3

≠ 0 ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ Por lo que tampoco tiene puntos de inflexión. Ya con todo esto podemos hacernos una idea de cómo es la función y representarla.

3. Representa, razonadamente, la gráfica de 𝒇𝒇(𝒙𝒙), haciendo un estudio de: a. Su dominio b. Puntos de corte c. Asíntotas d. Máximos, mínimos y puntos de inflexión.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑥𝑥2

𝑥𝑥2 − 1

El dominio de la función viene limitado por los puntos donde se anula el denominador: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑓𝑓 = ℝ− {±1}

Los puntos de corte son: Con el eje Y, 𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑓𝑓(0) = 0 ⇒ (0,0) Con el eje X, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 ⇒ (0,0) Sólo tiene un único punto de corte con los ejes. Asíntotas: No tiene asíntota oblicua (A.O.), porque el grado del numerador es igual al de denominador. Sí que va a tener, en cambio, asíntotas verticales (A.V.) y horizontales (A.H.). Tiene una A.V. en 𝑥𝑥 = 1 y otra en 𝑥𝑥 = −1 y se da que:

lim𝑥𝑥→1+

𝑥𝑥2

𝑥𝑥2 − 1= +∞ lim

𝑥𝑥→1−𝑥𝑥2

𝑥𝑥2 − 1= +∞

lim𝑥𝑥→−1+

𝑥𝑥2

𝑥𝑥2 − 1= +∞ lim

𝑥𝑥→−1−𝑥𝑥2

𝑥𝑥2 − 1= +∞

Tiene también una A.H. en:

𝑦𝑦 = lim𝑥𝑥→±∞

𝑥𝑥2

𝑥𝑥2 − 1= 1

Los puntos críticos los hallamos derivando la función:

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =2𝑥𝑥(𝑥𝑥2 − 1) − 2𝑥𝑥 · 𝑥𝑥2

(𝑥𝑥2 − 1)2 =−2𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 − 1)2 = 0 ⇒ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 = 0 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑒𝑒𝑒𝑒𝐷𝐷 𝑐𝑐𝑐𝑐í𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝐷𝐷

𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) =−2(𝑥𝑥2 − 1)2 + 8𝑥𝑥2(𝑥𝑥2 − 1)

(𝑥𝑥2 − 1)4 =6𝑥𝑥2 + 2

(𝑥𝑥2 − 1)3

Como 𝑓𝑓′′(0) = −2 < 0 ⇒ en 𝑥𝑥 = 0,𝑦𝑦 = 0 hay un máximo en ese punto. También vemos que 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) ≠ 0 ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ ⇒⇒ 𝑒𝑒𝐷𝐷 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑒𝑒𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑓𝑓𝑖𝑖𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒ó𝑒𝑒. Por lo tanto, con todos estos datos podemos dibujar la siguiente gráfica.

4. Dada la siguiente función:

𝒇𝒇(𝒙𝒙) =𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏

𝒙𝒙 − 𝟏𝟏

a. Halla su dominio b. Estudia sus asíntotas. c. Represéntala cualitativamente.

Como su dominio es: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑓𝑓 = ∀𝑥𝑥ℝ − {1} es muy probable que presente una asíntota vertical en 𝑥𝑥 = 1, para ello debemos hacer los límites cuando 𝑥𝑥 → 1±.

lim𝑥𝑥→1+

𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥 − 1

= lim𝑥𝑥→1+

(𝑥𝑥 + 1)2

𝑥𝑥 − 1= +∞

lim𝑥𝑥→1−

𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥 − 1

= lim𝑥𝑥→1−

(𝑥𝑥 + 1)2

𝑥𝑥 − 1= −∞

Es decir, presenta una discontinuidad inevitable en 𝑥𝑥 = 1 y, por tanto, tiene una asíntota vertical en dicho punto. Como el grado del numerador es mayor, en 1 unidad, que el del denominador, va a tener una asíntota oblicua del tipo 𝑦𝑦 = 𝐷𝐷𝑥𝑥 + 𝑒𝑒. La pendiente, 𝐷𝐷, la vamos a hallar por medio de:

𝐷𝐷 = lim𝑥𝑥→+∞

𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→+∞

𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→+∞

𝑥𝑥2

𝑥𝑥2= 1

La ordenada en el origen, en cambio, será:

𝑒𝑒 = lim𝑥𝑥→+∞

�𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1

𝑥𝑥 − 1− 𝑥𝑥� = lim

𝑥𝑥→+∞�𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥

𝑥𝑥 − 1 � = lim𝑥𝑥→+∞

�3𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥 − 1

� = 3

Por lo tanto, la asíntota vertical corresponderá a la recta:

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 2 Con estos datos, podemos dibujar cualitativamente la recta tal y como se muestra a continuación.

5. Dada la función: 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒆𝒆−𝒙𝒙𝟐𝟐

Calcula: a. Asíntotas. b. Máximos, mínimos y puntos de inflexión. c. Dibújala.

Como su dominio son todos los números reales, no va a tener asíntota vertical; y como no es un cociente, tampoco va a tener asíntota oblicua. Sin embargo, sí va a tener asíntota horizontal:

lim𝑥𝑥→± ∞

𝑒𝑒−𝑥𝑥2 = 0 Va a tener una asíntota horizontal en 𝑦𝑦 = 0. Para hallar los máximos, mínimos y puntos de inflexión, derivamos e igualamos a cero:

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑥𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 0 Para discriminar si en 𝑥𝑥 = 0 tenemos un máximo o un mínimo, tenemos que hacer la segunda derivada. 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥).

𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = −2𝑒𝑒−𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥2𝑒𝑒−𝑥𝑥2 ⇒ 𝑓𝑓′′(0) = −2 < 0 Por lo tanto, en 𝑥𝑥 = 0 e 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(0) = 1, tenemos un máximo. Los puntos de inflexión los hallamos mediante 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 0. 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = −2𝑒𝑒−𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥2𝑒𝑒−𝑥𝑥2 = 𝑒𝑒−𝑥𝑥2(−2 + 4𝑥𝑥2) = 0 ⇒ −2 + 4𝑥𝑥2 = 0 ⇒

⇒ 𝑥𝑥 = ±1√2

= ±√22

Para comprobarlo, tenemos que hacer 𝑓𝑓′′′(𝑥𝑥)

𝑓𝑓′′′(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑥𝑥2(−2 + 4𝑥𝑥2) + 8𝑥𝑥𝑒𝑒−𝑥𝑥2 = 𝑒𝑒−𝑥𝑥2(4𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 − 2) Si hacemos 𝑓𝑓’’’ �± √2

2� ≠ 0, por lo que sí son puntos de inflexión. Por lo

tanto, la gráfica pedida será:

6. Representa, razonadamente, la gráfica de 𝒇𝒇(𝒙𝒙), haciendo un estudio de: a. Su dominio. b. Puntos de corte. c. Asíntotas. d. Máximos, mínimos y puntos de inflexión.

𝒇𝒇(𝒙𝒙) =𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟒𝟒

El dominio de la función viene limitado por los puntos donde se anula el denominador:

𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑓𝑓 = ℝ− {±2} Los puntos de corte son: Con el eje Y, 𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑓𝑓(0) = −2 ⇒ (0,−2) Con el eje X no corta, puesto que, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≠ 0 ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ Sólo tiene un único punto de corte con los ejes. Asíntotas: No tiene asíntota oblicua (A.O.), porque el grado del numerador es igual al de denominador. Sí que va a tener, en cambio, asíntotas verticales (A.V.) y horizontales (A.H.). Tiene una A.V. en 𝑥𝑥 = 2 y otra en 𝑥𝑥 = −2 y se da que:

lim𝑥𝑥→2+

𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥2 − 4

= +∞ lim𝑥𝑥→2−

𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥2 − 4

= −∞

lim𝑥𝑥→−2+

𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥2 − 4

= −∞ lim𝑥𝑥→−2−

𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥2 − 4

= +∞ Tiene también una A.H. en:

𝑦𝑦 = lim𝑥𝑥→±∞

𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥2 − 4

= 1 Los puntos críticos los hallamos derivando la función:

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =2𝑥𝑥(𝑥𝑥2 − 4) − 2𝑥𝑥 · (𝑥𝑥2 + 8)

(𝑥𝑥2 − 4)2 =−24𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 − 4)2 = 0 ⇒ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 = 0 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑒𝑒𝑒𝑒𝐷𝐷 𝑐𝑐𝑐𝑐í𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝐷𝐷

𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) =−24(𝑥𝑥2 − 4)2 + 96𝑥𝑥2(𝑥𝑥2 − 4)

(𝑥𝑥2 − 4)4 =24(3𝑥𝑥2 + 4)

(𝑥𝑥2 − 4)3

Como 𝑓𝑓′′(0) = −3/2 < 0 ⇒ en 𝑥𝑥 = 0,𝑦𝑦 = −2 hay un máximo en ese punto. También vemos que 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) ≠ 0 ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ ⇒ 𝑒𝑒𝐷𝐷 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑒𝑒𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑓𝑓𝑖𝑖𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒ó𝑒𝑒. Por lo tanto, con todos estos datos podemos dibujar la siguiente gráfica.